计量经济学多元线性回归
计量经济学多元线性回归
调整过的R2(The Adjusted R-squared)
因此， R2增加并不意味着加入新的变量一定 会提高模型拟合度。
调整过的R2是R2一个修正版本，当加入新的 解释变量，调整过的R2不一定增加。
R 21(SS /n (R (k 1 ) )1n(k 1 )SSR
SS /n (T 1 )
定义：
y i y 2 to su to a s m flqS ua S总 rT es平
y ˆi y 2exp slu o as m ifq nu e Sd a Sr解 E es释 u ˆi2 ressiu d os m u fq au S l a SrR 残 es 差平
SST= SSE + SSR
3
重新定义变量
为什么我们想这样做？ 数据测度单位变换经常被用于减少被估参数小数
点后的零的个数，这样结果更好看一些。 既然这样做主要为了好看，我们希望本质的东西
不改变。
4
重新定义变量：一个例子
以下模型反映了婴儿出生体重与孕妇吸烟量和家 庭收入之间的关系：
(1) b w g h t ˆ 0 ˆ 1 c ig s ˆ 2 fa m in c
explog考虑如果我们想知道时的百分比变化我们不能只报告因为所以22含二次式的模型u的模型我们不能单独将b解释为关于xy变化的度量我们需要将b如果感兴趣的是给定x的初始值和变动预测y的变化那么可以直接使用1
课堂提纲
重新定义变量的影响
估计系数 R 平方 t 统计量
函数形式
对数函数形式 含二次式的模型 含交叉项的模型
24
wage
7.37
3.73
24.4
exper
25
对含二次式模型的进一步讨论
计量经济学课程第4章(多元回归分析)
§4.1 多元线性回归模型的两个例子
一、例题1：CD生产函数
Qt AKt 1 Lt 2 et
这是一个非线性函数，但取对数可以转变为一个 对参数线性的模型
ln Qt 0 1 ln Kt 2 ln Lt t
t ~ iid(0, 2 )
注意：“线性”的含义是指方程对参数而言是线 性的
R 2 1 RSS /(N K 1) TSS /(N 1)
调整思想： 对 R2 进行自由度调整。
Page 20
基本统计量TSS、RSS、ESS的自由度：
1.
TSS的自由度为N-1。基于样本容量N，TSS
N i1
(Yi
Y
)2
因为线性约束 Y 1 N
Y N
i1 i
而损失一个自由度。
分布的多个独立统计量平方加总，所得到的新统计量就服从
2 分布。
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 23
双侧检验
概 率 密 度
概率1－
0
2 1 / 2
2 /2
图4.3.1
2
（N-K-1）的双侧临界值
双侧检验：统计值如果落入两尾中的任何一个则拒绝原假设
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 24
单侧检验
概 率 密 度
概率 概率
0
2 1
2
图4.3.2 （2 N-K-1）的单侧临界值
H0：
2
2，
0
HA :
2
2 0
(整理)计量经济学 第三章 多元线性回归与最小二乘估计
第三章 多元线性回归与最小二乘估计3.1 假定条件、最小二乘估计量和高斯—马尔可夫定理1、多元线性回归模型：y t = β0 +β1x t 1 + β2x t 2 +…+ βk - 1x t k -1 + u t (3.1) 其中y t 是被解释变量（因变量），x t j 是解释变量（自变量），u t 是随机误差项，βi , i = 0, 1, … , k - 1是回归参数（通常未知）。
对经济问题的实际意义：y t 与x t j 存在线性关系，x t j , j = 0, 1, … , k - 1, 是y t 的重要解释变量。
u t 代表众多影响y t 变化的微小因素。
使y t 的变化偏离了E( y t ) = β0 +β1x t 1 + β2x t 2 +…+ βk - 1x t k -1 决定的k 维空间平面。
当给定一个样本（y t , x t 1, x t 2 ,…, x t k -1）, t = 1, 2, …, T 时, 上述模型表示为 y 1 = β0 +β1x 11 + β2x 12 +…+ βk - 1x 1 k -1 + u 1,y 2 = β0 +β1x 21 + β2x 22 +…+ βk - 1x 2 k -1 + u 2, (3.2) ………..y T = β0 +β1x T 1 + β2x T 2 +…+ βk - 1x T k -1 + u T经济意义：x t j 是y t 的重要解释变量。
代数意义：y t 与x t j 存在线性关系。
几何意义：y t 表示一个多维平面。
此时y t 与x t i 已知，βj 与 u t 未知。
)1(21)1(110)(111222111111)1(21111⨯⨯-⨯---⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡T T k k k T k T TjT k j k jT T u u u x x x x x x x x x y y yβββ (3.3) Y = X β + u (3.4)2假定条件为保证得到最优估计量，回归模型（3.4）应满足如下假定条件。
计量经济学第三章多元线性回归模型
⒈零均值假定
E( i) 0 i 1,2,, n
E(U) 0
⒉同方差和无自相关假定
COV (i , j ) E(i E(i ))( j E( j ))
2 i j
E(i
j
)
0
i j
VAR(U ) E(U E(U))(U E(U))
Yˆi ˆ1 ˆ2 X 2i ˆK X Ki
i 1,2,, n
Yi Yˆi ei
Yˆi
ˆ j
E(Y
j
X 2i ,,
X Ki
)
注意：β1一般情况下没有明确的经济含义，但一般 总包含在回归模型中。
3.1多元线性回归模型及古典假定
二、多元线性回归模型的矩阵形式
总体回归函数描述了一个被解释变量与多个解释
变量之间的线性关系，线性是针对参数而言的。
其中， j 为偏回归系数，表示：在控制其他变量 不变的条件下，第j个解释变量的单位变动对被解释 变量平均值的影响。
j
Y X j(保持其他变量不变)
Y X j
3.1多元线性回归模型及古典假定
样本回归函数：
(XX)1 X 2ΙX(XX)1 2 (XX)1 XX(XX)1 2 (XX)1
i 1
ei 0
N
( ei2 )
i 1
ˆ2
N
2
N i 1
(Yi
ˆ1
ˆ2 X 2i
ˆK
X Ki ) X 2i
2
ei X 2i 0
偏 导
第三章多元线性回归模型(计量经济学,南京审计学院)
Yˆ 116.7 0.112X 0.739P
R2 0.99
(9.6) (0.003) (0.114)
Y和X的计量单位为10亿美元 (按1972不变价格计算).
P
食品价格平减指数 总消费支出价格平减指数
100，（1972
100）
3
多元线性回归模型中斜率系数的含义
上例中斜率系数的含义说明如下： 价格不变的情况下，个人可支配收入每上升10
c (X X )1 X D
从而将 的任意线性无偏估计量 * 与OLS估计量 ˆ 联系
起来。
28
cX I
由
可推出：
(X X )1 X X DX I
即 I DX I
因而有 D X 0
cc (X X )1 X D (X X )1 X D ( X X )1 X D X ( X X )1 D
第三章 多元线性回归模型
简单线性回归模型的推广
1
第一节 多元线性回归模型的概念
在许多实际问题中，我们所研究的因变量的变动 可能不仅与一个解释变量有关。因此，有必要考虑线 性模型的更一般形式，即多元线性回归模型：
Yt β0 β1X1t β2 X 2t ... βk X kt ut t=1,2,…,n
Yt
ˆ0
βˆ 1
X
1t
... βˆ K X Kt
2
为最小，则应有：
S
S
S
ˆ0 0, ˆ1 0, ..., ˆ K 0
我们得到如下K+1个方程（即正规方程）：
13
β0 n
β1 X1t ...... β K X Kt Yt
β 0 X 1t β1 X 1t 2 ...... β K X 1t X Kt X 1tYt
计量经济学-多元线性回归模型
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y为因变 量，X1, X2,..., Xk为自变量，β0, β1,..., βk为回归 系数，ε为随机误差项。
多元线性回归模型的假设条件
包括线性关系假设、误差项独立同分布假设、无 多重共线性假设等。
研究目的与意义
研究目的
政策与其他因素的交互作用
多元线性回归模型可以引入交互项，分析政策与其他因素（如技 术进步、国际贸易等）的交互作用，更全面地评估政策效应。
实例分析：基于多元线性回归模型的实证分析
实例一
预测某国GDP增长率：收集该国历史数据，包括GDP、投资、消费、出口等变量，建立 多元线性回归模型进行预测，并根据预测结果提出政策建议。
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用 于找到最佳函数匹配数据。
残差是观测值与预测值之间的差，即 e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)e = y (beta_0 + beta_1 x_1 + cdots + beta_k x_k)e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是使残差平方和最小。
t检验
用于检验单个解释变量对被解释变量的影响 是否显著。
F检验
用于检验所有解释变量对被解释变量的联合 影响是否显著。
拟合优度检验
通过计算可决系数（R-squared）等指标， 评估模型对数据的拟合程度。
残差诊断
检查残差是否满足独立同分布等假设，以验 证模型的合理性。
04
多元线性回归模型的检验与 诊断
计量经济学(庞浩)第三章-多元线性回归模型(1)
矩阵X的秩为K(注意X为n行K列)。
Ran(X)= k
Rak(X'X)=k
即 (X'X) 可逆 假定6:正态性假定
ui ~ N (0, 2 )
u ~ N (0, 2I)
12
第二节 多元线性回归模型的估计
一、普通最小二乘法（OLS）
原则：寻求剩余平方和最小的参数估计式 min : ei2 (Yi Yˆi )2
1
X 22
Xk
2
2
u2
Yn
1 X 2n
X
kn
k
un
Y
X
βu
n 1
nk
k 1 n1
9
9
矩阵表示方式
总体回归函数 E(Y) = Xβ 或 Y = Xβ + u
样本回归函数 Yˆ = Xβˆ 或 Y = Xβˆ + e
其中： Y,Yˆ,u,e 都是有n个元素的列向量
β, βˆ 是有k 个 元素的列向量
多重可决系数：在多元回归模型中，由各个解释
变量联合起来解释了的Y的变差，在Y的总变差中占
的比重，用 R2表示 与简单线性回归中可决系数 r的2 区别只是 不Yˆi 同
多元回归中
Yˆi ˆ1 ˆ2 X2i ˆ3 X3i ˆk Xki
多重可决系数可表示为
R2 ESS TSS
(Yˆi Y )2 (Yi Y )2
0
2
X 2i
Yi
(ˆ1
ˆ2
X 2i
ˆ3
X 3i
ˆki
X ki )
0
(i 1, 2, n)
( j 1, 2, n)
ei 0
X2iei 0
2
计量经济学第二章(第二部分)
其中，有k个解释变量；k+1个回归参数
3
计量经济学 第二章B
同 上
（2）矩阵形式： Y XB N Y1 Y2 Y ... Y n 1 1 X ... 1 0 u1 1 u2 , B , N ... ... u n 1 k (k 1) 1 n n 1 X 11 X 12 ... X 1n X 21 X 22 ... X 2n ... ... ... ... X k1 X k2 ... X kn n (k 1)
2
（2）当 R
2
k n -1
时，
R
2
<0 ,此时， 使
2
用 R 将失去意义。因此， R 只适
2
用于Y与解释变量整体相关程度较的
情况。
34
计量经济学 第二章B
四、回归方程的显著性检验
(1) 提出原假设 (2) 构造统计量 H 0 : 1 2 ... k 0 F ESS/k RSS/n (3) 对于给定的显著性水平 （4）判定方程的显著性， 若 F F ， 则拒绝原假设 若 F F ，则接受原假设 H 0，即模型的线性关系 F 检验； - k -1 ~ F(k, n - k - 1) ( 在 H 0 成立时） F
不管其质量的好坏，而所要求的样本容量
的下限。
20
计量经济学 第二章B
同 上
ˆ 由 B ( X X)
-1
ˆ X Y 中看到，要使 B
存在，
必须保证(XˊX)-1存在，因此，必须满
足|XˊX|≠0 ，即XˊX为满秩矩阵，而
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低碳农业发展影响因素分析——以新疆南疆五地州为例学生姓名方芳学号１０７５７１７００８所属学院经济与管理学院专业农村与区域发展塔里木大学教务处制目录1 引言 (1)2 数据来源和研究方法 (1)2.1数据来源 (1)2.2研究方法 (2)3 模型检验与结果 (3)3.1初始模型计量 (3)3.2检验 (3)4 结论与建议 (4)5 参考文献 (4)低碳农业发展影响因素分析--以新疆南疆五地州为例方芳摘要：全球变暖问题引起世界各国的广泛关注，这一变化使得自然灾害频发，甚至危及人类安全，因此解决这一问题迫在眉睫。
通过对新疆南疆五地州的农业总产值与化肥施用量、农用机械总动力及农作物总播种面积进行回归分析后，发现化肥施用量对农作物的总产值影响极大，是其主要的制约因素。
要发展低碳农业应转变农业生产方式，实施保护性耕作；应推广施肥新技术，提高化肥利用率；应改进装置，利用新技术生产化肥；发展生态农业，实现经济循环发展。
关键字：低碳农业影响因素回归分析1 引言近年来气候变化所导致的高温热潮、暴雨连连、旱灾、沙尘暴频发事件的概率持续增加，CO2是造成该现象的源头之一，因此，发展低碳经济、发展节能减排成为全球关注的热点。
2014 年《中美气候变化联合声明》提出我国将于2030 年左右达到碳排放峰值的庄严承诺，2015 年12 月12 日，195个缔约方在巴黎达成了新的全球气候协议———《巴黎协议》，提出努力将气温升幅限制在1.5℃内的目标。
农业碳排放量介于电热生产和尾气之间，成为第二大排放源，占我国碳排放总量的17%。
新疆位于亚欧大陆腹地，地处中国西北边陲，是中国面最大、交界邻国最多、陆地边境线最长的省区，肩负着与重要世界经济资源大国沿边开放的重任。
同时，新疆作为我国重要的种植业和畜牧业基地，以8%的绿洲面积承载了90%以上的人口、耕地和生产总值，绿色生态压力相当严峻。
新疆南疆位于天山以南的塔里木盆地 ,四周高山环抱。
在行政区划上包括巴音郭楞、阿克苏、喀什、克孜勒苏、和田等五地州及生产建设兵团的四个农业师。
塔里木河是我国最大的内陆河,它由西向东1321km,流域覆盖新疆南部地区,面积102万km2,人口825.7万 ,分别占新疆自治区的61%和 47%,是我国重要的棉花基地。
冉锦成、苏洋等人研究表明，南疆各地 (州，市) 区域差异明显，喀什地区属碳排放量、碳排放强度“双高”型地区，因此,通过对农业产值与化肥施用量、机械总动力以及农作物播种面积的回归分析,试图找到影响低碳农业发展的主要因素,并提出相关的建议,促进农业实现低碳生产。
2 数据来源和研究方法2.1数据来源本文选取的是新疆2006--2016年的农业生产数据，其中包括：农业总产值(亿)Y，化肥施用量（万吨）（X１）、农用机械总动力（万千瓦）（X2）、农作物总播种面积（万公顷）（X３）,数据来源于《中国统计年鉴》和《新疆统计年鉴》（2006--2016），数据见表１。
表1 新疆统计年鉴2006-2016样本数据图1 样本数据折线图其中, Y ——农业总产值(亿),X1——化肥施用量(万吨),X2——农用机械总动力(万千瓦),X3——农作物总播种面积(万公顷)。
从表1可以看出南疆五地州的农业总产值从2005年之2015年呈现逐年增长的趋势，年平均增长率为26.15%，尤其是从2011年开始出现快速增长的趋势，2010年至2014年南疆五地州的农业总产值增加381亿元，年平均增长率为20.83%。
2015年呈现稍微下降趋势，2015年比2014年农业总产值减少60.75亿。
化肥施用量呈现平稳上升趋势，年平均增加率为12.76%，不难看出随着化肥施用量的增加，农业总产值也在呈现出上升的趋势。
农用机械总动力上升趋势最为明显，由2005年360.7693×104kw增加到2015年的1051.4138×104kw，增加了690.6445×104kw，年平均增长率为19.14%，由此看出农业机械总动力的提升对农业生产总值有很大的推动作用。
农作物总播种面积从2005年为147.043×104khm2增加到2015年277.964khm2，种植面积增加了130.921khm2，年平均增长率为8.90%，农作物的总播种面积在逐年平稳增加，这使得农业总产值逐年增加。
总体来看，波动最大的是农用机械总动力，增长趋势基本与农业总产值相一致，波动最小的是化肥的施用量。
2.2研究方法本文选取化肥施用量、农用机械总动力以及农作物总播种面积作为解释变量,对农业总产值进行回归分析,找出对农业总产值影响最为显著的因素,本文应用的模型如下:Y=β0+β1X 1+β2X 2+β3X 3+ε3 模型检验与结果3.1初始模型计量运用普通最小二乘法(OLS 法)，利用Eviews 对初始模型对Y=β0+ β1X 1+ β2X 2+ β3X 3+ε进行估计，计算结果如下：表2 模型检验表所以可以得到回归方程为：Y=-146.99+9.94X 1+0.491X 2-1.76X 3Se(c) (3.784) (0.258) (0.926) T (2.626) (1.904) (-1.905) R 2=0.982 F=127.8683.2检验经济意义检验模型估计结果说明，在假定其他量不变的情况下，农业总产值每增长1亿元，化肥施用量增加9.94×104t,农用机械总动力增加0.491×104kw,农业总播种面积减少1.76khm2。
统计检验拟合优度：由检验结果可得到R 2=0.982，修正的可决系数2R =0.974,这说明模型对样本的拟合很好。
F 检验：在5%的显著性水平下，在F 分布表中查出自由度为k-1=3和n-k=10的临界值F a (3,10)=3.71，由于F=127.868>F a （3,10）=3.71，则应拒绝原假设，说明回归方程显著， 即“化肥施用量”、“农用机械总动力”、“农作物总播种面积”这几个变量联合起来对“农业总产值”有显著性影响。
t 检验：给定显著性水平为5%，查得t 分布表得自由度205.0t （n-k ）=7的临界值为2.365，说明“化肥施用量”对“农业总产值”有显著性影响，给定显著性水平为10%，查得t 分布表得自由度210.0t （n-k ）=7的临界值为1.895，说明“化肥施用量”、“农用机械总动力”、“农作物总播种面积”这几个变量对“农业总产值”均有显著性影响。
Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -146.9948 86.70483 -1.695347 0.1338 X1 9.936301 3.784249 2.6257 0.0341 X2 0.491613 0.25825 1.903637 0.0987 X3 -1.764502 0.926141-1.905220.0984 R-squared 0.982079 Mean dependent var 503.9753 Adjusted R-squared 0.974399 S.D. dependent var225.6464 S.E. of regression 36.10447 Akaike infocriterion 10.286 Sum squared resid 9124.727 Schwarz criterion 10.43069 Log likelihood -52.57299 Hannan-Quinncriter.10.19479 F-statistic 127.8675 Durbin-Watson stat1.969476Prob(F-statistic)0.00004 结论与建议据最终的模型可知,化肥施用量对农业产值的影响程度最大。
化肥是为农业服务的,我国是世界上化肥消耗量最大的国家。
化肥的需求量巨大,因此农业要作战略性调整,化肥工业应该及时作相应的调整。
因为我国主要是用煤来生产合成氨(如果制成尿素)的,而每吨氨约要排放3.4吨二氧化碳,这仅仅是在化肥的生产过程中释放的CO2。
而施肥不当也会加剧温室效应,土壤本身储存着大量的有机碳,不仅是土壤质量和功能的核心,而且有利于作物的生长。
但由于化肥的大量施用,加速了农田土壤中有碳的矿化,进而向大气中排放了大量的二氧化碳和甲烷等温室气体。
因此,化肥的施用使得农业产值单位GDP碳排量增加,农业产值的背后是不可再生能源的间接消耗和CO2的大量排放,因此,高碳农业向低碳农业转变已成为不可避免的选择。
针对影响低碳农业发展的制约因素,提出以下几点建议:1.转变农业生产方式,实施保护性耕作实施保护性耕作具有防治农田扬尘和水土流失、蓄水保墒、培肥地力、节本增效、减少秸秆焚烧和温室气体排放、促进农业可持续发展等作用。
数据表明:与传统耕作比较,保护性耕作可减少工序3～ 4道,省工5～ 8个/亩,节省柴油约3.2公升/亩;免耕比翻耕减少风蚀量31.76% ,提高土壤有机质0.03% ,减少化肥投入量10%左右,比焚烧秸秆减少30%的二氧化碳排放量。
据初步统计, 2008年我国实施保护性耕作面积4297.85万亩,节省用工约2.1～3.4亿个、新增粮食56～ 168万吨、节本增收总效益大约36.2亿元,减少二氧化碳等温室气体排放量达166～ 364万吨。
2.推广施肥新技术,提高化肥利用率围绕“测土、配方、配肥、供肥、施肥指导” 5个环节,做到“测土到田、配方到厂、供肥到点、指导到户”改变盲目大量施用化肥的习惯,使农民重视有机肥的使用,比如减少不合理施用化肥(纯量) 662吨,相当于节约煤炭927吨,减少二氧化碳排放量2317吨,有力地推动了农业节能减排工作,减少了化肥对地下水和土壤的浸染,改善了土质。
3.改进装置,利用新技术生产化肥运用合成氨装置和尿素装置,将排出的氮气、氢气和二氧化碳回收利用生产化肥。
既能实现原煤“吃干榨净”又能实现煤炭行业低碳排放。
不断研发新技术,巧妙利用二氧化碳“化肥”。
4.发展生态农业,实现经济循环发展进一步调整农业产业结构,大力发展生态农业、有机农业,科学使用农药、化肥和农用薄膜,减少化肥施用量和农用机械的能耗量,研制对温室气体吸收能力强的新型作物,合理使用土地,保护农田生态系统,实现农业循环、低碳发展。
5 参考文献［1］蔡硕.新疆低碳农业发展（以棉花种植为例).经济论坛，2017（22）。
［2］冉锦成，苏洋，胡金凤，唐洪松，汪晶晶，崔盼.新疆农业碳排放时空特征、峰值预测及影响因素研究.2017,38（8）。
［3］漆雁斌，陈卫洪.低碳农业发展影响因素的回归分析.农村经济.2012（2）。