1.2.3复合函数的导数公式
课件10：1.2.3 导数的四则运算法则
，
特别地当 f(x)＝1 时有g（1x）′＝ －gg′2（（xx））
．
知识2：复合函数的导数 问题导思 已知函数 y＝2x＋π6＋sin x，y＝sin2x＋π6，y＝ln(x＋2)． 这三个函数都是复合函数吗？ 答：函数 y＝sin2x＋6π，y＝ln(x＋2)是复合函数，函数 y ＝2x＋6π＋sin x 不是复合函数．
本节内容结： (1)y＝cos(2x－1)； (2)y＝2xe－x. 解：(1)y′＝－sin(2x－1)·(2x－1)′＝－2sin(2x－1)． (2)y′＝(2x)′e－x＋2x(e－x)′＝2e－x－2xe－x.
类型3：导数运算法则的综合应用
例3：求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程．
例 1：求下列函数的导数． (1)y＝x4－2x2－3x＋3； (2)y＝xx2＋＋33； (3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(4)y＝xtan x.
解：(1)y′＝(x4－2x2－3x＋3)′＝4x3－4x－3 (2)y′＝xx2＋＋33′ ＝（x＋3）′（x2＋（3）x2＋－3（）x＋2 3）（x2＋3）′ ＝－（xx22－＋63x）＋23.
(3)函数 y＝log2(1－x)可看作函数 y＝log2u 和 u＝1－x 的复 合函数， ∴ yx ＝5 yu · ux ＝5(log2u)′·(1－x)′ ＝u－ln52＝（x－15）ln 2.
(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合 函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的 复合函数． ∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′ ＝3u2·cos x＋3cos v ＝3sin2x cos x＋3cos 3x.
学案4：1.2.3 导数的四则运算法则
1.2.3 导数的四则运算法则学习目标(1)能利用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式求简单函数的导数；(2)理解并掌握复合函数的求导法则．知识导学一、导数的四则运算法则1．函数和(或差)的求导法则若f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)，(f(x)－g(x))′＝f′(x)－g′(x)．注意：(1)设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)．(2)对任意有限个可导函数，有(f1(x)±f2(x)±…±f n(x))′＝f1′(x)±f2′(x)±…±f n′(x)．2．函数积的求导法则对于可导函数f(x)，g(x)，有[f(x)g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)．注意：(1)若C为常数，则[Cf(x)]′＝C′f(x)＋Cf′(x)＝0＋Cf′(x)＝Cf′(x)，即[Cf(x)]′＝Cf′(x)，即常数与函数之积的导数，等于常数乘函数的导数．(2)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)，a，b为常数．切忌把[f(x)·g(x)]′记成f′(x)·g′(x)．3．函数的商的求导法则对于可导函数f(x)，g(x)，有[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)g2(x)(g(x)≠0)．注意：在两个函数积f(x)g(x)的导数公式中，f′(x)g(x)与g′(x)f(x)之间为“＋”号；而两个函数商f(x)g(x)的导数公式中，f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之间为“－”号．二、复合函数的求导法则1．复合函数的求导法则一般地，设函数u＝φ(x)在点x处有导数u x′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y u′＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处也有导数，且y x′＝y u′·u x′或f′(φ(x))＝f′(u) φ′(x)或d y d x＝d y d u·d ud x，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘中间变量对自变量的导数．2．求复合函数的导数的步骤(1)适当选定中间变量，正确分清复合关系；(2)分步求导；(3)把中间变量代回原自变量的函数．整个过程可简记为“分解——求导——回代”．熟练后，可省略中间过程．若遇多重复合，可相应的多次用中间变量．3．求复合函数的导数应处理好以下环节：①中间变量的选择应是基本函数结构；②关键是正确分析函数的复合层次；③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；④善于把一部分表达式作为一个整体；⑤最后要把中间变量换成自变量的函数．三、导数计算中的化简技巧有关导数的运算一般要按照导数的运算法则进行，但也不能盲目地套用公式，要仔细观察函数式的结构特点，适当地对函数式中的项进行“合”与“拆”，进行优化组合，有的放矢，但每部分易于求导，然后运用导数运算法则进行求解．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免运处算失误．探究点一 导数的四则运算例1 求下列函数的导数．(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝x －1x ＋1； (4)y ＝2x ＋1x 2＋x 22x ＋1.归纳总结(1)熟练掌握和运用函数的和、差、积、商的导数公式，并进行简单、合理的运算，注意运算中公式运用的准确性．(2)灵活运用公式，化繁为简，如小题(2)这种类型，展开化为和、差的导数比用积的导数简单容易．练一练1.求下列函数的导数：(1)y＝x4－3x3＋2x2－4x－1；(2)y＝x cos x；(3)y＝sin2x；(4)y＝tan x＋cot x；(5)y＝x2ln x＋1log a x(a>0且a≠1，x>0)．探究点二复合函数的导数例2 求下列函数的导数．(1)y＝sin3x；(2)y＝3－x.方法总结复合函数的求导需注意以下问题：(1)分清复合函数的复合关系，看它是由哪些基本初等函数复合而成的，适当选定中间变量；(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin2x )′＝2cos2x ，而(sin2x )′≠cos2x ；(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；(4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写．练一练2.求下列函数的导数：(1)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π6； (2)y ＝ln(2x 2＋3x ＋1)．探究点三 求导法则的综合应用例3 求和S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1(x ≠0，n ∈N ＋)．方法总结 本题事实上可用数列中的错位相减法求和解决，若利用导数转化，则可成为等比数列求和问题，从而简化运算．求解时要注意需对x 是否等于1分类讨论．练一练3.求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程．当堂检测1.求函数y ＝x 3·cos x 的导数．解：y ′＝(x 3)′cos x ＋x 3·(cos x )′＝3x 2cos x －x 3sin x .2.求y ＝x 2sin x的导数．3.求复合函数y ＝(2x ＋1)5的导数．4.函数f (x )＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)的导数为( )A ．x 2－x ＋1B ．(x ＋1)(2x －1)C ．3x 2D ．3x 2＋15、已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)·…·(x －2015)，则f ′(0)＝________.课堂小结导数的四则运算法则⎩⎪⎨⎪⎧ 函数和差积商的求导法则掌握复合函数的求导法则理解参考答案探究点一 导数的四则运算例1 解：(1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－3(x 2)′－5x ′＋(6)′＝4x 3－6x －5.(2)解法1：y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11.解法2：∵y ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.(3)解法1：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2 ＝(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. 解法2：∵y ＝1－2x ＋1，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1－2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋1′ ＝－(2)′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. (4)y ′＝⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 2′＋⎝⎛⎭⎫x 22x ＋1′＝(2x ＋1)′x 2－(2x ＋1)(x 2)′x 4＋(x 2)′(2x ＋1)－x 2(2x ＋1)′(2x ＋1)2＝2x 2－4x 2－2x x 4＋4x 2＋2x －2x 2(2x ＋1)2＝－2x －2x 3＋2x 2＋2x (2x ＋1)2. 练一练1.解：(1)y ′＝4x 3－9x 2＋4x －4.(2)y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′＝cos x －x sin x .(3)y ′＝(sin2x )′＝(2sin x cos x )′＝(2sin x )′cos x ＋2sin x (cos x )′＝2cos 2x －2sin 2x ＝2cos2x .(4)y ′＝(tan x ＋cot x )′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＋⎝⎛⎭⎫cos x sin x ′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝1cos 2x －1sin 2x＝－cos2x cos 2x sin 2x ＝－4cos2x sin 22x . (5)y ′＝2x ln x ＋x 2·1x ＋0－1x ln a log 2a x＝2x ln x ＋x －ln a x ln 2x . 探究点二 复合函数的导数例2 解：(1)设y ＝sin u ，u ＝3x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝cos u ·3＝3cos3x .(2)设y ＝u ，u ＝3－x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝12u ·(－1)＝－123－x. 练一练 2.解：(1)设y ＝cos u ，u ＝3x －π6， ∴y ′x ＝－sin u ·3＝－3sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6. (2)设y ＝ln u ，u ＝2x 2＋3x ＋1，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(4x ＋3)＝4x ＋32x 2＋3x ＋1. 探究点三 求导法则的综合应用例3 解：当x ＝1时，S n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2； 当x ≠1时，∵x ＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝x (x n －1)x －1， ∴S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1＝(x ＋x 2＋x 3＋…＋x n )′＝(x n ＋1－x x －1)′ ＝(x n ＋1－x )′(x －1)－(x n ＋1－x )(x －1)′(x －1)2＝1－(n ＋1)x n ＋nx n ＋1(x －1)2. 练一练3.解：设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－2.故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)． ① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0. ② 又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12. 故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)， 即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.当堂检测1.解：y ′＝(x 3)′cos x ＋x 3·(cos x )′＝3x 2cos x －x 3sin x .2.解：y ′＝(x 2)′sin x －x 2·(sin x )′sin 2x＝2x sin x －x 2cos x sin 2x. 3.解：∵函数y ＝(2x ＋1)5由函数y ＝u 5和u ＝2x ＋1复合而成， ∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u 5)′u ·(2x ＋1)′x＝5u 4·2＝5(2x ＋1)4·2＝10(2x ＋1)4，即y ′x ＝10(2x ＋1)4.4.【答案】 C【解析】 因为y ＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)＝x 3＋1， 所以y ′＝(x 3＋1)′＝3x 2，故选C.5.【答案】 －(1×2×3× (2015)【解析】 依题意，设g (x )＝(x －1)(x －2)·…·(x －2015)， 则f (x )＝x ·g (x )，f ′(x )＝[x ·g (x )]′＝g (x )＋x ·g ′(x )， 故f ′(0)＝g (0)＝－(1×2×3×…×2015)．。
1.2.3导数的四则运算法则
=25(5x+3)4
（2） y ln(x2 1) 解：（2）y=ln(x2+1)
令u=x2+1，则y=lnu， 所以y’= 1 ·(2x)
u 2x
x2 1
（3） y e2x3
解：y=e－2x－3 令u=－2x－3，则y=eu， 所以y’=eu·(－2)=－2e－2x－3 .
x
x
(3) 当x 0, y 常数 x
一．函数和（或差）的求导法则
法则1: 两个函数的和（或差）的导数， 等于这两个函数的导数的和（或差），即：
[ f (x) g(x)] f (x) g(x).
证明：令y=f(x)+g(x)，则
y f (x x) g(x x) [ f (x) g(x)]
三．函数的商的求导法则
❖ 设f(x)，g(x)是可导的函数，g(x)≠0，
❖ 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的
积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的
平方 。即
[ f (x)]' g(x)
f
'(x)g(x) f (x)g '(x) g 2 ( x)
例4．求y=tanx的导数。
解 : (1) y' ( sin x )' c os x
解：设x有一改变量△x，则对应于u，y分
别有改变量△u，△y，
由 y y u
x u x
得 lim y lim y lim u
x0 x u0 u x0 x
而
u lim x0 x
u '(x) a
所以
dy dx
a[ f
求导公式大全24个
求导公式大全24个1.常数函数的导数为零：(c)'=0。
2.幂函数的导数：(x^n)'=n*x^(n-1)。
3.反比例函数的导数：(1/x)'=-1/x^2。
4. 指数函数的导数：(a^x)' = a^x*lna，其中lna为以e为底数的对数。
5. 对数函数的导数：(ln x)' = 1/x，其中x>0。
6. 正弦函数的导数：(sin x)' = cos x。
7. 余弦函数的导数：(cos x)' = -sin x。
8. 正切函数的导数：(tan x)' = sec^2 x = 1/cos^2 x。
9. 反正弦函数的导数：(arcsin x)' = 1/√(1-x^2)。
10. 反余弦函数的导数：(arccos x)' = -1/√(1-x^2)。
11. 反正切函数的导数：(arctan x)' = 1/(1+x^2)。
12. 双曲正弦函数的导数：(sinh x)' = cosh x。
13. 双曲余弦函数的导数：(cosh x)' = sinh x。
14. 双曲正切函数的导数：(tanh x)' = sech^2 x = 1/cosh^2 x。
15. 反双曲正弦函数的导数：(arcsinh x)' = 1/√(x^2+1)。
16. 反双曲余弦函数的导数：(arccosh x)' = 1/√(x^2-1)。
17. 反双曲正切函数的导数：(arctanh x)' = 1/(1-x^2)。
18.真分式的导数：(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-g'(x)f(x))/g^2(x)。
19.复合函数的导数：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
20.积的导数：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
复合函数的导数
所以
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
例 3 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
yx yu ux (eu )u (tan x)x
= elnx ·(ln x) e ln x 1
x
x 1 x 1 .
x
例 12 设 u x2 y2 z2 , 求证：
u x
2
u y
2
u z
2
1
.
证明
u x 2
x2
1 y2
z2
(x2
y2
z 2 )x
x
x
,
x2 y2 z2 u
同理，得
u y ,u z ,代等式左边得解 先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，
然后又会遇到复合函数 1 x2 的求导.
[ln(x 1 x2 )]
1
( x 1 x2 )
x 1 x2
1
[1 ( 1 x2 )]
x 1 x2
x
1 1
x2
1
1. 1 x2
x 1
x2
例 11 设 y = sh x， 求 y .
解
y
(shx)
一、复合函数的求导法则
定理 2 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且 或
或
证 设变量 x 有增量 x，相应地变量 u 有 增量 u，从而 y 有增量 y. 由于 u 可导，
所以lim u 0. x0
课件2：1.2.3导数的四则运算法则
【名师点评】 利用复合函数求导法则求复合函数的导数的 步骤： (1)分解复合函数为基本初等函数，适当选取中间变量； (2)求每一层基本初等函数的导数； (3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数．
跟踪训练 2．求下列函数的导数： (1)y＝ 3x－x2； (2)y＝e2x＋1； (3)y＝ 1－13x4； (4)y＝cos2x.
跟踪训练
3．求下列函数的导数： (1)y＝5log2(2x＋1)．
(2)y＝sin2(2x＋π)． 3
解：(1)设 y＝5log2u，u＝2x＋1， 则 y′＝yu′·ux′＝5(log2u)′(2x＋1)′＝u1ln0 2
＝
10 2x＋1ln
2.
(2)法一：∵
y＝121－
cos4x＋23π
＝12－12cos(4x＋23π)，
(2)由于(a3x)′＝a3xln a·(3x)′＝3a3xln a， [cos(2x＋1)]′＝－sin(2x＋1)·(2x＋1)′ ＝－2sin(2x＋1)． ∴y′＝[a3xcos(2x＋1)]′ ＝(a3x)′cos(2x＋1)＋a3x[cos(2x＋1)]′ ＝3a3xln a·cos(2x＋1)－2a3xsin(2x＋1)． 【名师点评】 如果函数(或变形后的函数)解析式中一部分 是复合函数，可先求出复合函数的导数，然后再用导数的四 则运算法则求导数．
v＝
cos(2x＋π)， 3
v′＝2，
∴
y′＝
yu′
·uv′
·vx′
＝
4sin(2x＋π)·cos(2x＋π)
3
3
＝2sin(4x＋23π)．
方法感悟
1．导数公式和运算法则为我们求导提供了更好的工具,求 导前要先将函数解析式进行化简． 2．求复合函数的导数要分析函数的复合层次，把复合函数 从外及内分解成若干个常见的基本初等函数，然后利用求 导法则进行求导．
123复合函数求导
(2) y= x 4 (3) y= x -2
y 4x3
y
2x3
2 x3
(4) y= 2 x (5) y=log3x
y 2x ln 2
y 1 x ln 3
练习2、求下列函数的导数。
1、y=5
2、y=xn
3、y=sinx
4、y=cosx
5、y=ax
6、y=ex
7、y=logax 9、y=x5+sinx-7x
-4t3+16t2.
4
(1)此物体什么时刻在始点?
(2)什么时刻它的速度为零?
解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得:
t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点.
(2) s(t) t 3 12t 2 32t, 令s(t) 0, 即t3-12t2+32t=0,
导数的运算法则：
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的
导数的和(差),即: f (x) g(x) f (x) g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,
即: f (x) g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
0.05eu 0.05e0.05x1.
3函数y sinx 可以看作函数y sin u和
u x 的复合函数.
由复合函数求导法则有
y
' x
yu'
u
' x
sin u' x '
cosu cosx .
数学中求导的公式
数学中求导的公式求导是微积分中的一个重要概念，用于描述一个函数在某一点的变化率。
在数学中，求导的公式是通过对函数进行微分来计算它的导数。
导数表示了函数在某一点的切线斜率，也可以用来求函数的最值、高阶导数等。
在求导的过程中，我们常用的求导公式有以下几个：1. 常数函数的导数公式：对于常数函数y = c，其中c为常数，其导数为0。
这是因为常数函数的图像是一条水平直线，斜率为0。
2. 幂函数的导数公式：对于幂函数y = x^n，其中n为常数，其导数为y' = n * x^(n-1)。
这个公式可以通过使用定义来推导，也可以使用幂函数的特殊性质来求导。
3. 指数函数的导数公式：对于指数函数y = a^x，其中a为常数且不等于1，其导数为y' = ln(a) * a^x。
指数函数的导数与函数自身成正比，且比例常数是ln(a)。
4. 对数函数的导数公式：对于对数函数y = log_a(x)，其中a为常数且大于0且不等于1，其导数为y' = 1 / (x * ln(a))。
对数函数的导数可以通过换底公式和指数函数的导数公式推导得到。
5. 三角函数的导数公式：对于三角函数sin(x)、cos(x)、tan(x)等，它们的导数公式分别为cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)等。
这些公式可以通过使用极限定义来推导。
6. 反三角函数的导数公式：对于反三角函数arcsin(x)、arccos(x)、arctan(x)等，它们的导数公式分别为 1 / sqrt(1 - x^2)、-1 / sqrt(1 - x^2)、1 / (1 + x^2)等。
这些公式可以通过使用反函数的导数与原函数导数互为倒数的性质来推导。
7. 复合函数的导数公式：对于复合函数y = f(g(x))，其中f和g 分别为函数，其导数可以通过链式法则来计算。
链式法则表示，复合函数的导数等于外层函数在内层函数的导数上乘以内层函数的导数。
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yx ' yu ' ux ' (u 2 )'(2x 3)' 4u 8x 12
(2) y e
0.05 x 1
yx ' yu ' ux ' (eu ) '(0.05x 1) ' 0.05e 0.05e
u 0.05 x 1
(3) y sin( x ) 其中 , 均为常数 .
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).
对于S1 , y 2 x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2 , y 2( x 2), 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
二. 知识复习 导数运算法则
1.( f ( x) g ( x))' f ' ( x) f ' ( x) 2.( f ( x) g ( x))' f ' ( x) g ( x) f ( x) g ' ( x) f ( x) f ' ( x) g ( x) f ( x) g ( x)' 3. g ( x) 2 g ( x) 4.(cf ( x))' cf ' ( x) 1 g ' ( x) 5.[ ]' 2 f ( x) g ( x)
1 4 t 4
小结：
一、基本初等函数的求导公式
常数的导数 (C ) 0 (C 为常数) 幂函数 ( x n ) nx n1 ( n 为有理数) 三角函数 (sin x ) cos x , (cos x ) －sin x 指数函数 (a x ) a x ln a (a 0，a 1) 特殊地 (e x ) e x 1 1 (a 0, 且a 1) 对数函数 (log a x ) log a e x x ln a 1 特殊地 (ln x ) x
yx ' yu ' ux ' (sin)' ( x )' cos u cos( x )
复合函数求导三步曲： 第一步，分层（从外向内分解成基本函 数用到中间变量）； 第二步，层层求导（将分解所得的基本 函数进行求导）； 第三步，做积还原（将各层基本函数的 导数相乘，并将中间变量还原为原来的 自变量）。
—. 知识复习
练习 一
求下列函数的导数
1.
y = x 1+ x
2
2
p 2.y sin 2 x 3
3.y=ln(2-3x)5
sin 3 x 4. y = 2x e
练习 二 1.求曲线y=8sin3x在点P
的切线方程
y= 1
( ,1) 处 6
2 2.求曲线 x - 3x 在点 P(4,1/2)处的切线程
发展性例题2
.求下列函数的导数
(1) y (3 x
3 5) 4
1 ( 2) y 1 3x (3) y sin(x )
9 y ' (3x 5) 4 3 3 y ' (1 3x) 2 2
1 4
y' cos(x )
例3.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2, 若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.
三.复合函数的导数法则:
f ( g ( x)) 的导数与函数 y f (u ) 和 u g ( x ) 的导数间关系为：
复合函数 y
y y u x u x
或
y x f '(u ) g '( x )
即复合函数y对x的导数等于: y对u的导数 与 u对x的导数 的乘积.
2 x1 2( x2 2) x1 0 x1 2 或 . 因为两切线重合, 2 2 x1 x2 4 x2 2 x2 0
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.
所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.
复合函数 y f ( g ( x)) 的导数和函数 y f (u ) , u g ( x) 的导数间的关系为 yx ' yu ' ux ' , 即 y 对 x 的 导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.
例 1：求下列函数的导数 (1) y (2 x 3)2
二、导数运算法则
[ f ( x) g ( x)]' f ( x) ' g ( x) ' [ f ( x) g ( x)]' f ( x) ' g ( x) f ( x) g ( x) ' f ( x) f ( x) ' g ( x) f ( x) g ( x) ' [ ]' g ( x) [ g ( x)]2
'
思考以下问题 1.什么是复合函数 2.怎么求复合函数的导 数
三、复合函数的概念
一般地 , 对于两个函数 y f (u ) 和 u g ( x) , 如果通 过变量 u, y 可以表示成 x 的函数 , 那么称这个函数 y f (u ) 和 u g ( x) 的复合函数,记作 y f ( g ( x))
1.2.3导数的计算
几种常见复合函数 的导初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
例4.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) s(t ) t 3 12t 2 32t , 令s(t ) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.