2012广东高考数学理科试题及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设i 为虚数单位，则复数56ii-= A ．65i + B ．65i - C ．65i -+ D ．65i --2. 设集合{}{}1,2,3,4,5,6,1,2,4U M ==，则U C M =A ．UB ．{}1,3,5C ．{}3,5,6D ．{}2,4,6 3. 若向量(2,3),(4,7)BA CA ==，则BC =A ．(2,4)--B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(6,10)-- 4. 下列函数中，在区间(0, )+∞上为增函数的是A ．ln(2)y x =+B ．1y x =-+C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1y x x =+5. 已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．1- 6. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是A ．49B ．13C ．29D ．198. 对任意两个非零向量α,β，定义⋅⋅αβαβ=ββ,若向量a,b 满足||||0≥>a b ，a,b 的夹角(0,)4πθ∈，A ．12 B ．1 C ．32 D ．52二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

（一）必做题（9~13题）9. 不等式|2|||1x x +-≤的解集为 。

10. 261()x x+的展开式中3x 的系数为 。

（用数字作答）11. 已知递增的等差数列{}n a 满足21321,4a a a ==-，则n a = 。

12. 曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为 。

13. 执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为 。

（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 参数方程分别为()x tt y t =⎧⎪⎨=⎪⎩为参数和2cos ()2sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，则曲线1C 和2C 的交点坐标为 。

15. （几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为1，,,A B C 为圆周上的三点，满足30ABC ∠=︒，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则PA = 。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16. （本小题满分12分） 已知函数()2cos()6f x x πω=+（其中0,x R ω>∈）的最小正周期为10π1）求ω的值； 2）设56516,[0,],(5),(5)235617f f πππαβαβ∈+=--=，求cos()αβ+的值。

某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100。

1）求图中x 的值；2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望。

18. （本小题满分13分）如图5，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ABCD ⊥平面，点E 在线段PC 上，PC BDE ⊥平面（1）证明：BD PAC ⊥平面（2）若1,2PA AD ==，求二面角B PC A --的正切值。

19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1*1221,n n n S a n N ++=-+∈，且123,5,a a a +成等差数列。

（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++<。

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为e =且椭圆C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n ，使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同的两点,A B ，且AOB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的AOB ∆的面积；若不存在，请说明理由。

21.（本小题满分14分）设1a <，集合{}{}2|0,|23(1)60A x R x B x R x a x ax =∈>=∈-++>，D A B =（1）求集合D （用区间表示）；（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案：1—8: DCAAB CDB注：第8题解析：因为||cos cos ||2θθ⋅==≥>⋅a b a a b b b b ，||cos cos 1||θθ⋅==≤<⋅b a b b a a a a 且a b 和b a 都在集合{|}2∈nn Z 中， 所以，||1cos ||2θ==b b a a ，||1||2cos θ=b a ，所以2||cos 2cos 2||θθ==<a a b b9. ]21,(-∞（写成集合形式也给分1|2x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭） 10. 20 11. 21n - 12. 210x y -+= 13. 8 14. (1,1) 15. 3 第9题注解：|2|||1x x +-≤⇔|x-(-2)|-|x-0|1≤ 即数轴上到-2的点与到0点距离只差小于1的点的集合。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16. （本小题满分12分）已知函数()2cos()6f x x πω=+（其中0,x R ω>∈）的最小正周期为10π（1）求ω的值；（2）设56516,[0,],(5),(5)235617f f πππαβαβ∈+=--=，求cos()αβ+的值。

解：（1）由题意210ππω=，解得15ω=。

（2）由题62cos()25162cos 17παβ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即3sin 58cos 17αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又,[0,]2παβ∈，可得4cos 515sin 17αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以48315cos()cos cos sin sin 5175171385αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-。

17. （本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100。

（1）求图中x 的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望。

解：（1）由题意：(0.0540.010.0063)101x ++⨯+⨯=，解得0.018x =；（2）80~90分有500.018109⨯⨯=人；90~100分有500.006103⨯⨯=人。

ξ所有可能的取值为0, 1, 2211299332221212121291(0); (1); (0)222222C C C C P P P C C C ξξξ=========故 129101222222212E ξ=⨯+⨯+⨯=。

18. （本小题满分13分）如图5，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ABCD ⊥平面，点E 在线段PC 上，PC BDE ⊥平面（1）证明：BD PAC ⊥平面（2）若1,2PA AD ==，求二面角B PC A --的正切值。

（1）证明：∵PA ABCD ⊥平面，∴PA BD ⊥；∵PC BDE ⊥平面，∴PC BD ⊥。

又PAPC P =，∴BD PAC ⊥平面。

（2）解：设,AC BD 交于O ，连结OE ，由题, PC BE PC OE ⊥⊥，所以BEO ∠即为二面角B PC A --的平面角。

由（1）知，BD AC ⊥，所以四边形ABCD 为正方形，易得2212, 1832OC AC PC PA AC ===+=+=。

由（1）知90OEC PAC ∠=∠=︒又OCE PCA ∠=∠，有OECPAC ∆∆，故OE OC PA PC =，23OC OE PA PC =⋅=。

在Rt BOE ∆中，tan 3OBBEO OE∠==。

所以二面角B PC A --的正切值为319．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1*1221,n n n S a n N ++=-+∈，且123,5,a a a +成等差数列。

（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++<。

解：（1）由题21232212()21a a a a a ⎧=-+⎪+=-+⎨，解得115a a =⎧⎪=⎨ 1.a =（2）当1n =时，11a =；当2n ≥时，11221n n n S a ++=-+ ① 1221nn n S a -=-+ ② 由①-②得： 122n n n n a a a +=--，整理得111332,1(1)222nn nn n n na a a a +++=-+=+， 故1(2)2n na n ⎧⎫+≥⎨⎬⎩⎭为公比为32的等比数列， 首项为229124a +=，故29331()()2422n nn n a -+=⋅=，32n n n a =-，经验证当1n =时，1132a ==-综上*32()n n n a n N =-∈。

（3）当3n ≥时32(12)2n n n n n a =-=+-12211122222n n n n n n n C C C --=+⋅+⋅++⋅+-122111222n n n n n C C C --=+⋅+⋅++⋅2222(1)n C n n >⋅=-又因为2522(21)a =>⨯⨯-，所以，2(1),2n a n n n >-≥。

所以，11111()2(1)21n a n n n n <=--- 所以，12311111111111131(1)1(1).2234122n a a a a n n n ++++<+-+-++-=+-<- 20. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为e =且椭圆C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n ，使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同的两点,A B ，且AOB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的AOB ∆的面积；若不存在，请说明理由。