圆锥曲线定义(适合公开课)
圆锥曲线-基本定义-第一定义
学术正刊 圆锥曲线 基本定义高中 1 LeO 著 第一定义定义1.0（椭圆第一定义）：平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数2a (2a >|F 1F 2|)的动点P 的轨迹称之为椭圆。
即：|PF 1|+|PF 2|=2a 。
定义1.1（椭圆焦点）：两定点F 1、F 2称作椭圆的左右焦点。
定义1.2（椭圆焦距）：两焦点距离|F 1F 2|=2c 称作椭圆的焦距。
解：如图1，建立直角坐标系，设两焦点坐标F 1(−c,0)、F 2(c,0)，动点坐标P (x,y )，依题意有：√(x +c )2+y 2+√(x −c )2+y 2=2a ⋯〈1〉〈1〉式移项后再平方：(x +c )2+y 2=4a 2−4a√(x −c )2+y 2+(x −c )2+y 2继续化简：(a 2−c 2)x 2+a 2y 2=a 2(a 2−c 2) ⋯〈2〉〈2〉式中令b 2=a 2−c 2，化简得：x 2a 2+y 2b 2=1 证毕。
图1 图2定义2.0（双曲线第一定义）：平面内到两定点F 1、F 2的距离的差等于常数2a (2a <|F 1F 2|)的动点P 的轨迹称之为双曲线。
即：||PF 1|−|PF 2||=2a 。
定义2.1（双曲线焦点）：两定点F 2、F 1称作双曲线的左右焦点。
定义2.2（双曲线焦距）：两焦点距离|F 1F 2|=2c 称作双曲线的焦距。
解：如图2，建立直角坐标系，设两焦点坐标F 2(−c,0)、F 1(c,0)，动点坐标P (x,y )，依题意有：√(x +c )2+y 2−√(x −c )2+y 2=±2a ⋯〈1〉〈1〉式移项后再平方：(x +c )2+y 2=4a 2±4a√(x −c )2+y 2+(x −c )2+y 2继续化简：(c 2−a 2)x 2−a 2y 2=a 2(c 2−a 2) ⋯〈2〉〈2〉式中令b 2=c 2−a 2，化简得：x 2a 2−y 2b 2=1 证毕。
高等数学教材圆锥曲线
高等数学教材圆锥曲线圆锥曲线是高等数学中重要的概念之一，它在数学和物理学等领域中发挥着重要的作用。
本文将对圆锥曲线的定义、性质以及常见类型进行探讨。
一、定义圆锥曲线是二维平面上由一个定点和一个到该定点不同的定直线上的所有点构成的曲线。
这个定点称为焦点，定直线称为准线。
焦点和准线之间的距离称为焦距。
根据焦距与准线的相对位置，圆锥曲线可以分为三种类型：椭圆、双曲线和抛物线。
二、椭圆椭圆是指焦距小于准线长度的圆锥曲线。
它的定义可以通过以下几何性质描述：1. 椭圆上的任意一点到焦点和准线的距离之和等于常数，这个常数称为椭圆的长轴；2. 椭圆的准线是它的对称轴，椭圆的焦点在对称轴上；3. 椭圆是一个闭合曲线，且是有界的。
三、双曲线双曲线是指焦距大于准线长度的圆锥曲线。
它的定义可以通过以下几何性质描述：1. 双曲线上的任意一点到焦点和准线的距离之差等于常数，这个常数称为双曲线的离心率；2. 双曲线的准线是它的对称轴，双曲线的焦点在对称轴上；3. 双曲线是一个开放曲线，无界。
四、抛物线抛物线是指焦距等于准线长度的圆锥曲线。
它的定义可以通过以下几何性质描述：1. 抛物线上的任意一点到焦点和准线的距离相等；2. 抛物线的焦点位于曲线上方，并且与曲线的对称轴的距离等于离心率。
五、其他类型的圆锥曲线除了椭圆、双曲线和抛物线外，还存在一些特殊的圆锥曲线，如直线、圆以及各种退化的情况，如焦点和准线重合的情况等。
六、应用领域圆锥曲线在众多学科中都有广泛的应用。
在几何学中，圆锥曲线可以用于描述光学器件的曲面形状；在物理学中，圆锥曲线可以用于描述天体运动的轨迹；在工程学中，圆锥曲线可以用于建模和设计弧线造型等。
总结：圆锥曲线是高等数学中重要的内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线等多个类型。
通过对圆锥曲线的定义和性质的研究，我们能够更深入地了解其形状特征和应用场景。
在实际问题中，合理运用圆锥曲线的知识，可以帮助我们解决各种复杂的数学和物理问题。
圆锥曲线定义的应用课件
双曲线
• 双曲线的定义及性质 • 双曲线的标准方程 • 双曲线的渐近线
抛物线
• 抛物线的定义及性质 • 抛物线的标准方程 • 抛物线的焦点和准线
应用
• 圆锥曲线在工程、物理、化学等领域的应用 • 圆锥曲线在艺术中的应用
结语
• 圆锥曲线的重要性 • 继续深入研究圆锥曲线的意义与益处
圆锥曲线定义的应用ppt 课件
本课件介绍圆锥曲线的定义及其广泛的应用领域。探讨直线、椭圆、双曲线 和抛物线的性质、方程和应用。深入了解这一重要数学概念。
概述
• 圆锥曲线的定义 • 不同种类的圆锥曲线
直线的方程
• 直线的一般式方程和截距式方程 • 直线与圆锥曲线的交点
椭圆
• 椭圆的定义及性质 • 椭ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的标准方程 • 椭圆的焦点和准线
第四讲 圆锥曲线定义
第四讲 圆锥曲线定义一、复习目标：1．熟练掌握圆锥曲线的定义、标准方程、简单的几何性质及椭圆的参数方程 2．掌握方程的思想，数形结合的思想；待定系数法，参数思想等 二．基础知识： 1．椭圆1)椭圆的两种定义：①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长(定长大于两定点间的距离)的点的轨迹。
其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。
②平面内一动点到一个定点的距离到一定直线的距离之比是小于1的正常数的点的轨迹。
注意：(1)椭圆的定义用点集语言叙述：①点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；②点集M={P|e dPF=，0＜e ＜1的常数｝。
(2)定义①中的定长大于| F 1F 2|避免了动点轨迹是线段或不存在的情况,定义②中的0＜e ＜1,区别于另两种曲线。
2)标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。
其中22b a c -=（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。
其中22b a c -=注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。
3)性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）有以下性质： ① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ；② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）； ③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；④ 离心率：e=ac（焦距与长轴长之比）； ⑤ 准线方程：ca x 2±=；⑥焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。
圆锥曲线学生公开课教案教学设计课件资料
圆锥曲线学生公开课教案教学设计课件资料一、教学目标1. 知识与技能：理解圆锥曲线的概念和性质。
掌握圆锥曲线的标准方程及其求法。
学会运用圆锥曲线解决实际问题。
2. 过程与方法：培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
培养学生的逻辑思维能力和数学美感。
培养学生的合作交流和表达能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对圆锥曲线的兴趣和好奇心。
培养学生对数学美的感知和欣赏能力。
培养学生勇于探索和创新的思维精神。
二、教学内容1. 圆锥曲线的概念与性质引导学生通过观察圆锥的切割和展开，理解圆锥曲线的形成过程。
引导学生探究圆锥曲线的几何性质，如曲率、渐近线等。
2. 圆锥曲线的标准方程引导学生利用圆锥曲线的性质推导出标准方程。
引导学生理解不同类型的圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线）的标准方程及其特点。
3. 圆锥曲线的应用引导学生运用圆锥曲线解决实际问题，如测量问题、轨迹问题等。
引导学生运用圆锥曲线方程进行优化问题求解。
三、教学过程1. 导入通过展示圆锥曲线在现实生活中的应用实例，引发学生对圆锥曲线的兴趣。
引导学生回顾之前的数学知识，为新课的学习做好铺垫。
2. 知识讲解利用多媒体课件，生动形象地展示圆锥曲线的形成过程。
引导学生通过合作交流，探究圆锥曲线的几何性质。
利用数学软件，动态展示圆锥曲线的变化，增强学生对圆锥曲线的理解。
3. 例题讲解与练习讲解典型例题，引导学生掌握解题方法。
安排适量练习题，巩固所学知识。
4. 课堂小结总结本节课的主要内容和知识点。
强调圆锥曲线在实际生活中的应用价值。
四、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习题评价：通过学生完成的练习题，评估学生对圆锥曲线知识点的掌握程度。
3. 小组讨论评价：评估学生在合作交流中的表现，如观点阐述、团队协作等。
五、教学资源1. 多媒体课件：展示圆锥曲线的形成过程、几何性质和应用实例。
2. 数学软件：动态展示圆锥曲线的变化，增强学生直观感受。
圆锥曲线的分类及基本方程
圆锥曲线的分类及基本方程圆锥曲线是解析几何中最为重要的一类曲线，不仅在数学领域有广泛应用，在物理、化学、工程等多个领域中也有着重要的作用。
本文将围绕圆锥曲线的分类及基本方程展开讨论。
一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是指由一个固定点F（焦点）和一个固定直线L（直角母线）所确定的点P（动点）的轨迹。
如果点P在直线L同侧与焦点F的距离大于点P到直线L的距离，则称此为椭圆；如果点P在直线L同侧与焦点F的距离等于点P到直线L的距离，则称此为双曲线；如果点P在直线L的另一侧，且距离相等，则称此为圆。
二、圆锥曲线的分类根据圆锥曲线的定义，可以将它们分为三类：椭圆、双曲线和圆。
下面分别进行讲解。
1. 椭圆椭圆是指在平面直角坐标系中，到空间内两个定点F1、F2距离之和为定值2a、固定数e小于1的点P所形成的轨迹。
其中，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴，c为椭圆的焦距，e为椭圆的离心率，有以下基本方程：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1其中，如果椭圆的中心在坐标系原点上，则方程为：x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 12. 双曲线双曲线是指在平面直角坐标系中，到空间内两个定点F1、F2距离之差为定值2a、固定数e大于1的点P所形成的轨迹。
其中，a为双曲线的半轴，b为双曲线的次轴，c为双曲线的焦距，e为双曲线的离心率，有以下基本方程：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1其中，如果双曲线的中心在坐标系原点上，则方程为：x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 13. 圆圆是指在平面直角坐标系中离空间内一个固定点O距离相等的点P所组成的轨迹，该固定点称为圆心，离圆心最远的点称为圆的周围。
圆的方程为：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2其中，（a，b）为圆心坐标，r为圆的半径。
三、圆锥曲线的性质1. 椭圆的离心率小于1，且对称轴平行于 y 轴，故对称于 x 轴的部分也是椭圆。
圆锥曲线课件
标准方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)
1. 范围：双曲线在x轴上的范围是[±a, ±∞]，在y轴上 的范围是[0, b]。
3. 渐近线：双曲线有两条渐近线，斜率分别为y=±b/a 。
抛物线
定义：抛物线是指由平面内 与一个固定点F和一条直线l
的距离相等的点的轨迹。
极坐标系的基本概念
01
极坐标系是平面坐标系的一种形式，由极点、极轴和极径等构
成。
圆锥曲线在极坐标系中的表示
02
将圆锥曲线置于极坐标系中，探究其在极坐标系中的形式及其
性质。
极坐标与直角坐标的转换
03
掌握极坐标与直角坐标的转换公式，能够将极坐标方程转化为
直角坐标方程。
圆锥曲线在实际问题中的优化方案
实际问题的数学建模
折射定律
折射定律也是光学原理中的重要内容之一，它描述了 光线在不同介质之间传播时的偏转规律。在一些复杂 的光学系统中，如望远镜、显微镜等，需要对多个曲 面进行精确的设计和加工，而这些曲面常常是按照圆 锥曲线的形状进行设计和加工的。通过对这些曲面的 精确设计和加工，我们可以更好地控制光线的折射方 向和强度，从而制造出更好的光学器材和设备。
计算坐标
根据圆锥曲线的方程，计算出各个点的坐标 。
确定圆锥曲线的形状和大小
根据圆锥曲线的性质和特点，确定形状和大 小，选择合适的参数。
绘制图形
使用绘图软件或手绘，根据计算出的坐标绘 制圆锥曲线。
焦点半径法
01
02
03
确定焦点
根据圆锥曲线的类型和方 程，确定焦点位置。
计算半径
根据圆锥曲线的方程和焦 点的位置，计算出曲线的 半径。
数学苏教版选修1-1 圆锥曲线的定义ppt名师课件
四、课堂反馈练习：
1 若点Px, y 在运动过程中，总满足关系式
x2 y 32 x2 y 3Leabharlann 10 ，则点M的轨迹 是（ ）
A、椭圆
B、双曲线
C、不存在
D、直线
2 已知定点 F1 2,0 ，F2 2,0 ，平面内满足下列
条件的动点P的轨迹中，为双曲线的是（ ）
二 圆锥曲线的统一定义：
平面内到一个定点F和一条定直线 l (F不 在l上)的距离之比是一个常数e
三 例题讲解：
例1：设有两定点 F1 、F2 且 ︳F1F2 ︳= 4， 动点 M满足 MF1 MF2 4，则动点 M的轨迹 是（ ）
A．椭圆
B.直线
C.圆
D.线段
例2：若动圆M过定点A（-3，0），并且在定
圆B：(x-3)2 y2 64 的内部与其内切，
求动圆圆心M的轨迹方程。
例3：已知圆C1:(x+3)2 +y2 =1和圆C2:(x-3)2 +y2 =9， 动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆 圆心M的轨迹方程。
例4：动圆与定圆(x 2)2 +y2 =1外切， 又与直线x+1=0相切，求动圆 圆心的轨迹方程。
4、已知 ABC 的底边BC长为12，且底边固定，
顶点A是动点，使sin B sin C 1 sin A ，
2
求点A的轨迹方程。
5、求平面内到点F（0，1）的距离比它到直线
l：y= 2 的距离小1的点的轨迹方程
A、PF1 PF2 3 C、PF1 PF2 5
B、PF1 PF2 4 D、PF1 2 PF2 2 4
3、动点Px, y 到直线x+4=0的距离减去它 到点M 2,0 的距离等于2，则点P的轨迹 是（ ）
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2019/09/30
CONTENTS
1 圆锥曲线 前世今生
定义
两直线相交，其中一条直线 以另外一条直线为旋转轴进 行旋转所形成的曲面，称为 圆锥面。
也可以理解为两个全等的圆 锥顶点重合，高线重合，相 对放置时，两个侧面所形成 的的整体。
母线和圆锥的夹角为半顶角α。
平面截圆锥面所得到的曲线，叫做圆锥曲线。 根据平面与圆锥轴线所成的角θ不同，所截圆锥曲线也不同。
如果我是反比例函数，你就是那坐标轴 虽然我们有缘，能够生在同一个平面 然而我们又无缘，恩~慢慢长路无交点 为何看不见，等式成立要条件 难到正如书上说的，无限接近不能达到 为何看不见，明月也有阴晴圆缺 此事古难全，但愿千里共婵娟 此事古难全，但愿千里共婵娟
3 圆锥曲线 光学性质
一个焦点处出发的 光，经反射后汇聚 到另 行光。
一个焦点处出发的光， 经反射后看上去就好像 是从另一个焦点处出发 的光。
词、曲、唱：王渊超 如果我是双曲线，恩~你就是那渐近线 如果我是反比例函数，你就是那坐标轴 虽然我们有缘，能够生在同一个平面 然而我们又无缘，恩~慢慢长路无交点 为何看不见，等式成立要条件 难到正如书上说的，无限接近不能达到 如果我是双曲线，恩~你就是那渐近线
圆
椭圆 抛物线 双曲线
2 圆锥曲线 平面定义
圆 平面内，到一个定点的距离为定长的点构成的集 合.
椭圆 平面内，到两个定点的距离之和为定长（大于两 定点之间的距离）的点构成的集合.
抛物线 平面内，到一个定点的距离与到一条定直线（不 过定点）的距离相等的点构成的集合.
双曲线 平面内，到两个定点的距离之差为定长（小于两 定点之间的距离）的点构成的集合.