圆锥曲线定义与应用
高考数学 圆锥曲线的概念,解题方法、题型、易误点总结 试题
卜人入州八九几市潮王学校数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：〔1〕第一定义中要重视“括号〞内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的间隔的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段F F，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的间隔的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F F|，定义中的“绝对值〞与＜|F F|不可无视。
假设＝|F F|，那么轨迹是以F，F为端点的两条射线，假设﹥|F F|，那么轨迹不存在。
假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。
比方：①定点，在满足以下条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是A．B．C．D．〔答：C〕；②方程表示的曲线是_____〔答：双曲线的左支〕〔2〕第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母〞，其商即是离心率。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点间隔与此点到相应准线间隔间的关系，要擅长运用第二定义对它们进展互相转化。
如点及抛物线上一动点P〔x,y〕,那么y+|PQ|的最小值是_____〔答：2〕2.圆锥曲线的HY方程〔HY方程是指中心〔顶点〕在原点，坐标轴为对称轴时的HY位置的方程〕：〔1〕椭圆：焦点在轴上时〔〕〔参数方程，其中为参数〕，焦点在轴上时＝1〔〕。
方程表示椭圆的充要条件是什么？〔ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B〕。
比方：①方程表示椭圆，那么的取值范围为____〔答：〕；②假设，且，那么的最大值是____，的最小值是___〔答：〕〔2〕双曲线：焦点在轴上：=1，焦点在轴上：＝1〔〕。
方程表示双曲线的充要条件是什么？〔ABC≠0，且A，B异号〕。
比方：①双曲线的离心率等于，且与椭圆有公一共焦点，那么该双曲线的方程_______〔答：〕；②设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，那么C的方程为_______〔答：〕〔3〕抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。
圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义圆锥曲线的统一定义：1. 什么是圆锥曲线：圆锥曲线是指满足特定条件的曲线，它利用三角函数与立体几何图形结合生成。
简言之，当一条曲线贯穿一个圆孤和一个平面，并在圆上和平面上满足有关关系时，它就是圆锥曲线。
2. 圆锥曲线的数学特征：圆锥曲线是一种曲线，它满足特定的约束关系，可以由方程组表示：r=z/cosθ或r=1/sinθ。
其中，r为曲线上任意点到圆锥的拱顶的距离，z为曲线上任意点到圆锥的中心的距离，θ为曲线上任意点到拱顶的夹角。
3. 圆锥曲线的物理应用：圆锥曲线是多方面用途，在工程应用中有着重要地位，主要是因为圆锥曲线可用来表示周向和纵向的形变，它们也经常用于航空、船舶和汽车的设计。
例如，它可以用来表示飞机机翼的形状。
4. 圆锥曲线的构成：圆锥曲线由一个圆锥和一个平面构成，所以它也常被称为圆锥-平面曲线，是指当一条曲线贯穿一个圆锥和一个平面，并在圆锥上和平面上满足有关关系（且这两个关系上的函数要满足l次可积方程）时，它就称为圆锥曲线。
5. 相关几何定义：圆锥曲线通过以下几何定义确定：它可以由一个圆柱体和一个平面构成，其中圆柱体由一条等流线和一条垂直于它的矢量组成，平面由它的法线矢量和一条曲线组成。
该曲线（椭圆或双曲线）的一条切线扫描等流线，而另一条切线与平面的法线构成的平面垂直；这两条切线将圆柱体分成两个由圆盘和一段圆锥组成的元件。
6. 解析表达式：可以使用两个方程描述圆锥曲线：r=z/cosθ或r=1/sinθ，其中，r为曲线上任意点到圆锥的拱顶的距离；z为曲线上任意点到圆锥的中心的距离；θ为曲线上任意点到拱顶的夹角。
结合几何定义及数学特征，可以更容易地理解两个方程。
圆锥曲线所有知识点和二级结论
圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种基本形式。
它们在数学、物理、工程等领域均有重要应用，具有广泛的研究价值。
下面将从几何、代数、物理等多个角度对圆锥曲线进行系统介绍和分析。
一、圆锥曲线的概念圆锥曲线的定义：在平面上依旧定点F到平面上所有定点P的距离的比值（|PF|/|PM|）为常数e（e>1）的动点M所得的轨迹即为双曲线。
在平面上的直线l与定点F的距离与到定点P的距离的比值始终为常数e（0<e<1）时，动点P所得的轨迹即为椭圆。
在平面上的直线上的所有点P到定点F的距离与到直线l的距离的差始终为常数e时，点P的轨迹即为抛物线。
二、椭圆的知识点1. 定义及表示：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的所有点P的集合。
2. 几何性质：椭圆有等轴对称性、焦点F1和F2为椭圆的两个焦点、平行于长轴或短轴的弦都过椭圆的焦点、焦距等于长轴长度、离心率等于c/a（c为焦距，a为长轴半径）等。
3. 参数方程：椭圆的参数方程为x = a*cos(t), y = b*sin(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与长短轴的关系。
三、双曲线的知识点1. 定义及表示：双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点P的集合。
2. 几何性质：双曲线有两条渐近线、两个焦点F1和F2、两个顶点、离心率等于c/a（c为焦距，a为顶点到中心的距离）等。
3. 参数方程：双曲线的参数方程为x = a * cosh(t), y = b * sinh(t)，其中t为参数。
4. 离心率：离心率e的定义，离心率与距离关系。
四、抛物线的知识点1. 定义及表示：抛物线是平面上到定点F和直线l的距离相等的点P 的集合。
2. 几何性质：抛物线有顶点、准直线、对称轴、离心率等。
3. 参数方程：抛物线的参数方程为x = a * t^2, y = 2*a*t，其中t为参数。
圆锥曲线在高考数学中的应用
圆锥曲线在高考数学中的应用圆锥曲线在高考数学中的应用是一个广为人知的话题。
圆锥曲线是数学中非常重要的一个概念，它在几何、代数、物理等多个领域中都有着广泛的应用，同时也是高中数学中的重要知识点之一。
在高考中，圆锥曲线不仅是数学选择题中常出现的题型，而且在解析几何中也有重要的应用和指导意义。
一、圆锥曲线的定义和分类在空间直角坐标系中，对于任意给定的两个定点 F1 和 F2 ，以及一个正实数 e（离心率），设点 P(x, y，z) 在平面 F1PF2 上，且点 P 到 F1、F2 两点的距离之比为 e，则称 P(x, y，z) 所在的曲线为椭圆，当 e=1 时，称为双曲线。
以直角坐标系中的 x 轴为对称轴，离心率为 e 的曲线称为扁平椭圆，离心率为 1 的曲线称为各向同性圆；以直角坐标系中的 y 轴为对称轴，离心率为 e 的曲线称为长圆，离心率为 1 的曲线称为抛物线；直角坐标系中过 y 轴的某一条直线称为对称轴，离心率为 e 的曲线称为双曲线，当 e=1 时，曲线即为平行于对称轴的两条渐进线的双曲线。
二、圆锥曲线在高考中的应用1. 选择题中的圆锥曲线圆锥曲线作为数学中重要的知识点之一，也是高考数学试卷中出现频率较高的题型之一。
在选择题中，考生通常需要根据所给出的条件来确定所求函数方程的类型，根据曲线的性质推算出符合条件的答案。
例如：已知点 A(2,0)、B(0,1) 和抛物线 C:y=mx^2+mx-1 的顶点在直线AB 上，且交点为 D。
则一个满足 D(-2,-3) 的曲线方程式为(A)双曲线(B)椭圆(C)抛物线(D)圆这道问题主要考察考生对于曲线类型的判断能力和对于直线方程、抛物线特征等知识点的掌握能力。
2. 解析几何中的圆锥曲线在解析几何中，圆锥曲线是几何学中不可或缺的内容之一。
其中，椭圆、双曲线和抛物线最为常见，它们的数学模型、特征方程以及轨迹方程等知识点在高考中都有一定的出现概率。
例如：已知椭圆的中心在坐标原点，长轴为 10，短轴为 6，曲线经过点（8，0）和（-8，0），则该椭圆的方程是：(A)x^2/25+y^2/9=1(B)x^2/100+y^2/36=1(C)x^2/36+y^2/100=1(D)x^2 /9+y^2/25=1这个问题主要考察考生通过已知条件推导出椭圆的方程的能力，需要对于椭圆的中心、坐标轴长度等特征有较为准确的掌握。
圆锥曲线类型
03
圆锥曲线在实际生活中的应
用
天文学中的应用
彗星轨道
彗星的椭圆轨道是典型的圆锥曲 线，通过观测和研究彗星的轨迹 ，科学家可以了解太阳系的演化 历史和天体的运动规律。
天体测量
在天文学中，利用望远镜等设备 观测天体，可以获得天体的位置 、距离等信息，这些数据可以通 过圆锥曲线进行描述和预测。
物理学中的应用
圆锥曲线在物理学中也有广泛应用，如行星运动轨迹、电磁波的传 播路径等。
圆锥曲线在工程学中的应用
圆锥曲线在工程学中也有广泛应用，如建筑设计、机械制造和航空 航天等领域。
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THANKS
02
圆锥曲线在几何学中具有重要地位，是解析几何和代数几何的
重要研究对象。
圆锥曲线在光学中的应用
03
圆锥曲线在光学中有重要应用，如透镜的设计和折射原理等。
பைடு நூலகம்
圆锥曲线的研究现状
圆锥曲线在数学中的研究进展
现代数学家对圆锥曲线的研究已经深入到了代数几何和微分几何等 领域，研究方法也更加多样化和复杂化。
圆锥曲线在物理学中的应用
卫星轨道
人造卫星的轨道是圆锥曲线的一种， 通过精确计算和控制卫星的轨道，可 以实现全球通信、气象观测、地理定 位等功能。
粒子运动
在物理学中，粒子在电场、磁场等作 用力下的运动轨迹通常是圆锥曲线， 研究这些轨迹有助于深入了解粒子的 性质和运动规律。
工程学中的应用
桥梁设计
在桥梁设计中，桥梁的曲线形状常常需要用到圆锥曲线的知识，如圆弧拱桥、 抛物线拱桥等，利用圆锥曲线可以优化桥梁的结构设计，提高其稳定性和安全 性。
圆锥曲线的代数定义
01
圆锥曲线可以通过代数方程来表示。对于椭圆，其一般方程为 $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是
圆锥曲线的定义与性质及其应用
圆锥曲线的定义与性质及其应用圆锥曲线是数学中研究的一类平面曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们具有独特的性质和广泛的应用。
本文将对圆锥曲线的定义、性质以及一些实际应用进行介绍。
1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是在一个平面上，以一点为焦点，一条直线为准线，到该直线上各点的距离与到焦点的距离之比等于一个常数的点构成的曲线。
根据准线与焦点的位置关系，圆锥曲线可以分为三类：椭圆、双曲线和抛物线。
2. 椭圆的性质与应用椭圆是一种闭合的曲线，其定义为到两个焦点距离之和等于常数的点的集合。
椭圆具有以下性质：- 椭圆的长轴和短轴：椭圆的两个焦点之间的距离等于椭圆的长轴，而通过椭圆中心且垂直于长轴的线段称为椭圆的短轴。
- 焦点定理：对于椭圆上的任意一点P，其到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴的长度。
- 在物理学和天文学中，椭圆常用来描述行星、彗星和卫星的轨道。
3. 双曲线的性质与应用双曲线是一种开放的曲线，其定义为到两个焦点距离差的绝对值等于常数的点的集合。
双曲线具有以下性质：- 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，其与曲线的距离趋近于零，且曲线无限延伸。
- 双曲线的离心率：双曲线的离心率大于1。
离心率是描述焦点与准线距离关系的重要参数。
- 在物理学中，双曲线常用来描述电磁波的传播和光学系统中的折射现象等。
4. 抛物线的性质与应用抛物线是一种开放的曲线，其定义为到焦点距离等于到准线的距离的点的集合。
抛物线具有以下性质：- 抛物线的对称性：抛物线以焦点为中心，与焦点到准线垂直的线段称为对称轴。
抛物线上的任意一点到焦点和准线的距离相等。
- 抛物线的焦距：焦点到对称轴的距离称为抛物线的焦距，是抛物线性质研究和计算的重要参数。
- 在物理学中，抛物线常用来描述抛射物的运动轨迹，以及天文学中的天体运动等。
5. 圆锥曲线的应用举例圆锥曲线在科学和工程领域具有广泛的应用，以下举几个例子：- 天体运动：行星、彗星和卫星的轨道通常用椭圆来描述，能够帮助科学家研究它们的运动规律。
圆锥曲线知识点整理
圆锥曲线知识点整理圆锥曲线是数学中的重要概念，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种形式。
本文将整理圆锥曲线的基本定义、性质和应用。
1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是由平面与一个圆锥相交而产生的曲线。
根据与圆锥相交的方式不同，可以分为三种类型：椭圆、双曲线和抛物线。
2. 椭圆的性质椭圆是圆锥曲线中最简单的一种形式。
它具有以下性质：- 椭圆是一个闭合曲线，其形状类似于拉伸的圆。
- 椭圆有两个焦点，对称轴为椭圆的长轴。
- 椭圆的离心率是一个小于1的正实数。
- 椭圆的周长和面积可以通过一系列公式计算得出。
3. 双曲线的性质双曲线与椭圆相似，但具有一些不同的性质：- 双曲线是一个非闭合曲线，其形状类似于拉伸的超越函数。
- 双曲线有两个焦点，对称轴为双曲线的长轴。
- 双曲线的离心率是一个大于1的正实数。
- 双曲线的性质使得它在几何光学和天体力学等领域中有广泛应用。
4. 抛物线的性质抛物线是另一种常见的圆锥曲线形式，具有以下性质：- 抛物线是一个非闭合曲线，其形状类似于开口向上或向下的碗。
- 抛物线只有一个焦点和一条对称轴。
- 抛物线的离心率为1。
- 抛物线的性质使得它在物理学和工程学等领域中有广泛应用，如抛物线天线和抛物线反射面。
5. 圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和实际应用中有广泛的应用，包括：- 电磁学中的电磁波传播和天线设计。
- 物理学中的天体力学和轨道计算。
- 工程学中的光学设计和结构建模。
总结：圆锥曲线是由平面与一个圆锥相交而产生的曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线三种形式。
每种曲线都有其独特的性质和应用。
理解和掌握圆锥曲线的知识对于数学学习和实际应用都具有重要意义。
通过本文的整理，希望读者能够对圆锥曲线有更深入的了解，并能应用于相关领域的问题解决中。
数学圆锥曲线知识点
数学圆锥曲线知识点数学圆锥曲线是数学中的重要分支，也是历史悠久的数学类型之一。
具有很多特殊性质和应用。
本文将深入探讨数学圆锥曲线的各个知识点。
一、圆锥曲线的定义数学圆锥曲线是指由平面上的一段任意长度的虚线与平面内心点固定的某一时间点所构成的平面几何图形，常见圆、椭圆、双曲线和抛物线四种。
二、圆锥曲线的分类1、圆圆是圆锥曲线的基础，是用一个固定的点和轨迹上的任意一点的距离相等的所有点的集合。
其方程式可表示为：（x-a）² +（y-b）² = r²其中（a，b）为圆心的坐标，r 为圆半径。
2、椭圆椭圆是另一种比较常见的圆锥曲线。
椭圆的形状是一个类似于卵形的曲线，其方程式可表示为：(x/a)² + (y/b)² = 1其中 a 和 b 分别为椭圆在x 和y 方向上的半轴长度。
3、双曲线双曲线是由两支曲线组成，其方程式可表示为：(x/a)² - (y/b)² = 1其中 a 和 b 的长度不同，双曲线的两支分别在 a 和-a 点处相切。
4、抛物线抛物线是圆锥曲线中的一种特殊曲线，其形状类似于一个倒置的杯子。
其方程式为：y = ax² + bx + c其中a、b、c 为常数。
三、圆锥曲线的性质1、对称性圆锥曲线具有很多对称性。
其中，关于坐标轴的对称性和对称中心的性质是最常见的。
例如，椭圆和双曲线在横轴和纵轴对称；抛物线在纵轴对称。
2、焦点和准线圆锥曲线的焦点和准线是一些重要性质的基础之一。
对于椭圆和双曲线，其焦点是指使得该曲线上所有点到其虚轴和实轴的距离之和为定值的一对点。
而对于抛物线，其焦点在无限远处；准线则是代表方程式中的对称轴。
3、离心率离心率是指圆锥曲线上每个点的距离到其焦点和准线的距离比。
对于椭圆，其离心率小于1；对于双曲线，其离心率大于1；而抛物线则恰好为1。
4、直径圆锥曲线的直径是指其上的最长线段，连接其上两个点，并穿过其中心点。
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C
返回 > <
第二定义.gsp
点评：
1、在求轨迹方程时先利用定义判断曲 线形状,可避免繁琐的计算;
2、一般，设A为曲线含焦点F的区域内一点在 曲线上求一点P，使|PF|+1/e|PA| 的值最小，都 可以过点A作与焦点F相应准线的垂线，则垂线 段与曲线的交点即为所求之点。
返回 < >
四、小结反思： 1、本节的重点是掌握圆锥曲线的定义在解题中的应 用，要注意两个定义的区别和联系。 •2、利用圆锥曲线的定义解题时，要注意曲线之间的 共性和个性。 •3、利用圆锥曲线的定义解题时，要用数形结合、化 归思想，以得到解题的最佳途径。 4.有些最值问题要灵活地利用圆锥曲线的定义将折 线段和的问题化归为平面几何中的直线段最短来解决。
义
双曲线——平面内与两个定点F１、 F1
F２的距离的差的绝对值是常数（小 于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.
|MF1|-|MF2|= 2a
抛物线——平面内与一定点F和一
定直线l的距离相等的点的轨迹叫
做抛物线.
o
F2 x
y
M
oF
x
返回 < >
第二定义
点M（x，y）到定点F的距离与它到定直线l的距离的比 是常数e（e＞0）的点的轨迹，0<e<1时是椭圆; e=1时是 抛物线; e>1时是双曲线.e为离心率。
•经典回顾 •定义应用 •探究引申 •小结反思
第一定义 第二定义
距离问题 坐标问题
轨迹问题 最值问题
<
>
一、经典回顾
圆锥曲线的定义
y
M
椭圆——平面内与两个定点F１、 F２ 的距离的和等于常数（大于|F１F２ F1
o
F2
x
|）的点的轨迹叫做椭圆.
第
|MF1|+|MF2|=2a
yM
一 定
注分意（析到1：）：本AaM题=5中;b53的=A3B系;∴取数c得=4最53; 小有值何; 意义？y
离心率 e= 3
d
A
5
Dd
(１)设点P到准线的距离为d
A
M
x
| AB| e 3 d 5 | AB|
|
d
AM
|
5
|
5
AB
|
d
3
|
AM
|
3
故，当AM⊥l 时有最小值. l
BO
返回 < >
三、引申探究
3、求动点的轨迹问题。 例3、已知动圆A和圆B：(x+3)2+y2=81内切，并和圆 C：(x-3)2+y2=1外切，求动圆圆心A的轨迹方程。
分析：圆内外切时圆心与 切点有何关系？
y Q
变式1：求三角形ABC面积 的最大值；
APLeabharlann BOCx返回 < >
第二定义.gsp
4、求最值问题
变式2已知椭圆 x 2 y2 1 中B、C分 别为其 左、右焦2点5和点1M6(2,2)，试在椭圆
上找一点A ,使：
（1） AM 5 AB 取得最小值; 3
y
A
M
B
O
C
x
<>
已知椭圆
x2 25
y2 16
1中B、C分别为其 左、右焦
点；又点M(2,2) ,试在椭圆上找一点 A,使：
l M
·F
l M
F·
l
· N M ·F
0＜e ＜1
e＞1
e=1
返回 < >
统一定义
二、定义应用
1、求距离问题。
例1、椭圆
x2 y2
25 16
1 上一点P到右焦点F2的
距离为7，求P到左焦点的距离。 y
思考:
P1
P
P2
变式1:求点P到左准线的距
离?
F1 O
F2
变式2:求点P到右准线的距 离?
作业：见试卷
返回 <
L1
L2
返回 < >
2、求坐标问题。
例2．求抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的
坐标
ly
由例2请大家在椭圆或双曲线 上设计一道题目？？？
· N M · o F x
注意：1、涉及椭圆双曲线上的点与两个焦点构成的三角 形问题，常用第一定义来解决;
2、涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点中的 三者，常用统一定义解决问题.