圆中最值问题的求解方法
初中圆的线段最值问题的解法
初中圆的线段最值问题的解法圆的线段最值问题也叫圆的最大最小线段问题，它是一个广为人知的数学问题，可以说是初中数学学习的重要内容。
本文将详细介绍圆的线段最值问题的历史背景、实验方法、理论解法和应用场景等内容。
1.概述圆的线段最值问题传说起源于古希腊数学家坎普勒斯（C.K.Clos），他在其著作《经营思维》中提出了这一概念，可以说是初中数学学习的重要内容之一。
圆的线段最值问题的主要内容是：在给定的圆内，求出由圆心和一点构成的线段，使得该线段的长度是最长或最短的。
这种问题还可以扩展到许多其他几何图形中，除了圆形外，还有椭圆、圆锥、圆柱等。
2.实验方法为了解决圆的线段最值问题，我们首先通过实验来探索该问题的特征，采用模拟实验法进行探究，绘制一个圆，将圆心设定在坐标原点，将圆上的点分别放置在圆上的不同点，计算出该点离圆心的最大线段的长度，以及最小线段的长度，比较不同点之间的最大线段和最小线段的长度，从而找出圆上由圆心和一点构成的线段的最大最小长度，即最大最小线段问题。
3.理论解法经过实验分析得出，圆上由圆心和一点组成的线段的最大最小长度分别为圆的直径和圆的弦的长度。
我们可以进一步用数学语言来描述这一结论，可以证明：任一圆，任一点都同圆心构成的线段的最大长度等于圆的直径，最小长度等于圆的弦的长度。
4.应用场景圆的线段最值问题的研究既有深远的数学意义，也有广泛的应用场景。
在建筑设计、地理学、机械工程、材料科学等领域，都可以利用最大最小线段的原理来解决一系列实际问题，如设备安装、物体组合、图形变换等。
总结以上就是关于圆的线段最值问题的历史背景、实验方法、理论解法和应用场景等内容的详细介绍，其中包括了古希腊数学家坎普勒斯的理论和用数学语言描述的结论，以及在建筑设计、地理学、机械工程、材料科学等领域的广泛应用。
从理论上讲，均匀圆形的最大最小线段的长度与圆的直径和弦的长度成正比，而实际应用中，圆的线段最值问题为我们提供了一系列更加精确高效的解决方案，从而改善和提高了工作效率。
与圆有关的最值(范围)问题
xx与圆有关的最值（范围）问题圆是数学中优美的图形，具有丰富的性质．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形性质，利用数形结合求解．当然，根据《教学要求》的说明，“平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想”，因此在此类问题的求解中，有时也会用到函数思想和基本不等式思想等．本文将就与圆的最值问题有关的题目进行归纳总结,希望能为学生在处理此类问题时提供帮助． 类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22(3)1x y -+=上任一点,则PQ 的最小值为 。
【分析】：这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题,可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应用．解：如图1，圆心C到直线y=x +1的距离d =圆半径1r =，故1PQ PC r ≥-=变题1：已知A （0,1），B （2,3）,Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QABS的最小值为 。
【分析】本题要求QABS的最大值，因为线段AB 为定长，由三角形面积公式可知，只需求“Q 到AB l 的最小值"，因此问题转化为“圆上一动点到直线的最小距离”，即例1． 解:如图2，设Q h 为Q 到AB l 的距离，则11)42QABQ Q SAB h =⋅===+图1 图2变题2：由直线y=x +1上一点向圆C :22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 【分析】一般地，当直线和圆相切时，应连接圆心和切点,构造直销三角形进行求解．因为222PA PC r =-，故即求PC 的最小值，即例1．解：如图3，22221PA PC r PC =-=-，∵min PC=∴min PA变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB ，A 、B 为切点,则当PC= 时，APB ∠最大．【分析】APB APC ∠=∠，故即求角APC ∠的最大值，利用其正弦值即可转化为求PC 的最小值，即例1．解：如图4，∵APB APC ∠=∠，1sin APC PC∠=,∵min PC =,∴PC =APC ∠最大，即APB ∠最大．图3 图4变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .【分析】将四边形面积转化为两个全等的三角形的面积，从而转化为PA 的最小值，问题又转化为求切线段的最小值问题．解：如图4，1222PAC PAB PAB S S S S PA AC PA ∆∆∆=+==⨯⋅⋅=四边形PACB ，由变式2可知，min PA =PACB【解题回顾】在上面例1及几个变试题的解题过程中，我们可以总结一句“万变不离其宗”，一般地，求“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，“圆心到直线的距离加半径”即为最大距离，这一结论在解题时可直接应用．另:和切线段有关的问题常利用“连接圆心和切点,构造直销三角形“进行求解．也即将“ 两个动点的问题转化为一个动点的问题”．如下例．例2已知圆C:222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标．【分析】本题中，由于点P 和点M 均在动，故直接做很难求解．联系到PM 是切线段，因此可利用222PM PC r =-将条件PM=PO 转化为只含有一个变量P 的式子即可求解．解：由题意，令(,)P x y ，∵222PM PC =-，∴222PC PO -=，即2222(1)(2)2x y x y ++--=+,化简得：2430x y -+=．∵PM=PO ，∴即求直线2430x y -+=到原点O （0，0)的最小距离．d==PMx类型二：利用圆的参数方程转化为三角函数求最值例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．【分析】本题是典型的用圆的参数方程解决的题型，利用圆的参数方程将所求式转化为三角函数求最值，利用辅助角公式即得最大值．解：22(1)(2)5x y ++-=，令1()2x R y θθθ⎧=-+⎪∈⎨=+⎪⎩，则255cos()5x y θθθϕ-=-+-=+-(其中cos ϕϕ==) ∴当cos()1θϕ+=时，max (2)550x y -=-=，故x —2y 的最大值为0．【解题回顾】和圆有关的一次式的求解，利用圆的参数方程可以比较方便的求到最值．类型三:抓住所求式的几何意义转化为线性规划问题求最值若所求式子具有较明显的几何意义,值．比如例2，除了用圆的参数方程求解,这类题通常转化为直线方程的纵截距求解． 解法二：令2x y z -=,则1122y x z =-,由题意，当直线的纵截距最小时,z 最大，此时直线和圆相切，故圆心到直线的距离d ==故010z =-或，由题意，max 0z =，即x-2y 的最大值为0．除了转化为直线的截距求解，还有一些式子具有明显的几何意义，比如斜率、两点间距离、点到直线的距离等．比如在上例中，改为求12y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围,则可以分别用如下方法求解： 对12y x --，转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 连线斜率的最大值,可设过点(2,1)A 的直线为1(2)y k x -=-，直线和圆相切时，即圆心到直线的距离d ==，可得122k =-或,故1[2,)(,2k ∈+∞⋃-∞-．对22(2)(1)x y -+-,转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 距离的平方的取值范围,由例1易得[PA CA CA ∈+，即222(2)(1)[50PA x y =-+-∈-+对1x y --，联想到点到直线的距离公式中有类似的元素．可将问题转化为圆上任意一点P 到直线10x y --=的距离的问题，易得，圆心到直线的距离为P （x ，y）到直线10x y--=,即1[4x y--∈.【解题回顾】当所求式子含有明显的几何意义时，注意联系线性规划，用线性规划的思路求解可将问题简单化和直观化．类型四：向函数问题转化平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想．有些问题，单纯利用圆的几何性质无法求解．此时应考虑如何利用代数思想将问题转化为函数问题．例4(2010年高考全国卷I理科11）已知圆O：221x y+=，P A、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点，则PA PB⋅的最小值为【分析】本题中,由于A、B都是动点，故将PA PB⋅转化为坐标形式较难求解．此时考虑到向量数量积的定义，令2APBα∠=，cos2PA PB PA PBα⋅=，而切线段PA=PB也可用α表示,故所求式可转化为关于α的三角函数求解．解:令2((0,))2APBπαα∠=∈，cos2PA PB PA PBα⋅=，1tanPA PBα==，∴222222cos2cos cos2(1sin)(12sin)tan sin sinPA PBαααααααα⋅--⋅===，令2sin(0)t tα=>，则(1)(12)1233t tPA PB tt t--⋅==+-≥（当且仅当2t=2sin2α=时取等号）【解题回顾】本题以向量定义为载体，巧妙地利用了设角为变量，将与圆有关的问题转化为三角函数的问题求解．将几何问题代数化，利用函数思想求解．同时运用了换元思想，基本不等式思想等解题方法，是一道综合题．类型五：向基本不等式问题转化例5已知圆C：22+24x y+=（），过点(1,0)A-做两条互相垂直的直线12l l、，1l交圆C 与E、F两点，2l交圆C与G、H两点，（1）EF+GH的最大值．(2）求四边形EGFH面积的最大值．【分析】由于EF和GH都是圆的弦长，因此可利用222=+半径半弦长弦心距将EF+GH转化，用基本不等式的相关知识点．解:（1）令圆心C 到弦EF 的距离为1d ，到弦GH 的距离为2d ,则EF +GH =，又222121d d CA +==,2≤==(当且仅当122d d ==取等号)故EF +GH ≤=（2)∵EF GH ⊥，∴22128()12722d d S EF GH -+=⋅=≤⋅=四边形EFGH(当且仅当122d d ==取等号）【解题回顾】本题(1）是利用2a b +≤（2)2a b +．基本不等式是求最值的基本方法．在利用基本不等式求最值时应注意如何构造“定量”．由于圆的对称性，在与圆有关的最值问题中,应把握两个“思想"：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心,将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想,即利用圆的参数方程．同时，由于最值问题从代数意义上讲和函数的最值联系紧密，因此在解题过程中灵活的应用函数、不等式等代数思想使问题代数化、简单化也是需要注意的．。
与圆有关的最值求解“四法”
一 一 ｄ ｄＬ （ｄ ）１２ … ｛） 一一 ‘ 嘉 一 １ ≥ ４ １
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＋＇ ， 的最， 值为 一１ ２ Ｊ 、 — √。
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四 、 他 法 其 例 ４ 直线 ２ ｘ一６ ＋２ （ ａ ， ＝０ 口＞０ ｂ＞Ｏ始终平 ， ， ）
分圆 ＋ ＋ ｘ ４ ＋ ＝ 的周长， 口＋ Ｄ ２一ｙ １ ０ 。 则 ÷ 的
最小值为（ ） 。
Ｉ ＯＩ ｊ Ｐ
西
＝Ｉ ０ｌ代入 ， Ｚ２ 一４ Ｐ ， 得 ：ｘ ｙ＋３ 。要求 Ｉ ＭＩ ＝０ Ｐ 的最 小值 ， 只需求 Ｉ ＯＩ Ｐ 的最小值 。
。
。 。
＋ｂ １口 ０ ｂ ０下 ， Ｌ＋ 的最小值。 ＝ （ ＞ ， ＞ ） 求＿ ÷
（） １通分 放缩 ： １
。
、
点评 ： 与圆有关的最值 问题 ， 对于具有几何意义 的， 可利用几何法来求 解 ， 利用几何法可 回避繁杂的 运算 ， 使问题快速获解 。
二 、 数 法 代
思路 方法
Ｓ
与 圆有 关 的最值 求解 “ 四法 ’ ’
● 王
一
江
点评 ： 过三 角换元 ， 圆 的方程 化 为参 数 方 通 将 程， 从而将 问题化 为三角 问题 。
、
几 何 法
＾、பைடு நூலகம் ｙ
例 １ 已知 圆 Ｃ： ＋ ＋ ２ 一４ ｙ＋３＝０ 从 圆 Ｃ夕 — ， — 点 Ｐ向圆引一条切线 ， 切点为 Ｍ， ０为坐标原点 ， 且有 Ｉ ＭＩ Ｐ ＝Ｉ Ｏｌ求 ＩＭｌ Ｐ ， Ｐ 的最小值 。 解 ： Ｐ（ Ｙ ， Ｉ Ｍ ｌ 设 ， ） 由 Ｐ
与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题圆是自然界中优美的图形之一，也是数学中的重要研究对象．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形特点，利用数形结合来求解．当然，我们也会用到函数思想和基本不等式来处理与圆有关的最值问题．在处理与圆有关的最值问题时，应把握两个“思想”：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心，将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想，即利用圆的参数方程．【与圆有关的最值类型】①一定点与定圆上动点间距离的最大与最小值.处理方法：利用定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①定直线与定圆上动点间距离的最大与最小值. 处理方法：定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①分别在两定圆上的两动点间距离的最大与最小值. 处理方法：圆心距加(减)两圆的半径.例1.(1)圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是( ).A.6；3.B.6；4.C.5；3.D.5；4.(2)已知点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，则a 2＋b 2的最小值是_____． 解:(1)法1.圆心O 到直线的距离为d=25√32+42=5，而圆的半径为1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是5+1=6和5-1=4.故应选B.法2.设圆x 2＋y 2＝1上的点P(cos θ,sinθ)，点P 到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离d ′， 则 d ′=|3cosθ+4sinθ−25|5=|sin (θ+φ)−5|，① −1≤sin (θ+φ)≤1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是6和4.故应选B.(2)法1. ① 圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0的圆心和半径分别为(1，-2)，r=5.而圆心到原点的距离d=√5，① 5−√5≤√a 2+b 2≤5+√5,⇒30−10√5≤a 2+b 2≤30+10√5. 因此，a 2＋b 2的最小值是30－10 5.法2. ① 点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，可设P(1+5cos θ，-2+5sin θ)， ① a 2＋b 2=(1+5cos θ)2+(-2+5sin θ)2=30+10√5sin (θ+φ)，① −1≤sin (θ+φ)≤1， ① a 2＋b 2的最小值是30－10 5.例2.在圆x 2+y 2=4上且与直线4x+3y -12=0距离最小的点的坐标是( ). A.(85，65). B.( 85，−65). C.( −85，65) D.( −85，−65). 解:法1.过原点且与直线4x+3y -12=0垂直的直线为3x -4y=0， 联立{x 2+y 2=4,3x −4y =0,⇒{x =85y =65或{x =−85y =−65.结合图4.7—1知选A. xyO 4x+3y -12=0CAE FGHxOM N y 图3.7—2法2.由圆的几何性质可知，所求点为与直线4x+3y -12=0平行且与圆x 2+y 2=4相切的切点.设切线方程为4x+3y+c=0，由|c|5=2,⇒c =∓10.结合图3.7—1 知，c=10.联立{4x +3y −10=0,x 2+y 2=4,⇒{x =85y =65, 故应选A. 法3.对于选择题，可结合图形知所求点应在第一象限内，再看选择支，极易确定选A.想一想①：1.圆x 2+y 2=1上与直线4x -3y -12=0距离最短的点坐标是 .2.已知A (0，1)，B (2，3).Q 为圆C:(x -3)2+y 2=1上任一点，则S ΔOAB 的最小值为 .3.若实数x 、y 满足x 2+y 2+2x -4y=0，求x -2y 的最大值．例2.(1)已知a 、b 是单位向量且a ①b.若向量c 满足|c -a -b |=1，则|c |的取值范围是 .(2)已知点A(-1，1)和圆C ：(x -5)2+(y -7)2=4.一束光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是( ).A.10.B.2√6.C.4√6.D.8. 解:(1) ① a 、b 是单位向量且a ①b ，可设a=(1，0)，b=(0，1)，c=(x ，y)，又① |c -a -b |=1，① (x -1)2+(y -1)2=1. ① 原点O 到圆心(1，1)的距离为√2.① |c | =√x 2+y 2∈[√2−1，√2+1].(2)由光学原理知，点A 关于x 轴的对称点A ′(-1，-1)在反射线上，① 光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是过A ′且与圆相切的切线段长|A ′T|=√(−1−5)2+(−1−7)2−4= 4√6.应选C.例3.已知圆C ：(x+2)2+y 2=4，过点A(-1，0)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1交圆C 与E 、F两点，l 2交圆C 与G 、H 两点.(1)EF+GH解:(1)令圆心C 到弦EF 的距离为d 1，到弦GH 则EF +GH =2(√4−d 12+√4−d 22)，又d 12+d 22=CA 2=1由：√4−d 12+√4−d 222≤√8−(d 12+d 22)2=√8−12= √142，(当且仅当d 1=d 2= √22取等号).故EF +GH ≤√14. (2)① EF ⊥GH ，① S 四边形EFGH =12EF ×GH =2(√4−d 12√4−d 22 ≤2×8−(d 12+d 22)2=7.(当且仅当d 1=d 2= √22取等号).例4(1)如图3.7—3(1).点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan①BOC=m ，则m 的取值范围是_________．(2)如图3.7—3(2).在边长为1的等边①OAB 中，以边AB 为直径作①D ， C 为半圆弧AB 上的一个动点(不与A 、B 两点重合).BC=a ，AC=b ，求a+b 的最大值.(3)如图3.7—3(3).线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边①ACD 和等边①BCE ，①O 外接于①CDE ，则①O 半径的最小值为( ). A.4. B. 2√33. C. √33. D.2._ B_y_ COED解:(1)由已知，点C 是第一象限内在圆(x -3)2+y 2=4点，结合图2.8—4(1)知，tan①AOC ∈(0，2√55]，∵①AOC 与①BOC 互余，① m ≥√52. (2)① AC 2+BC 2=AB 2，即a 2+b 2=1 由柯西不等式得，(12+12)(a 2+b 2)≥(a+b)2， ① (a+b)≤√2，故 a +b 的最大值为√2.(3)设外接圆的半径为R ，由已知可得∠DOE =600.再由正弦定理知DE=2Rsin600,① R=√33DE .在∆DCE 内由余弦定理可得DE 2=DC 2+CE 2-DC ∙CE =(DC+CE)2-3DC ∙CE =16-3DC ∙CE ≥16-3(DC+CE 2)2=4，即DE ≥2. ① R=√33DE ≥2√33.应选B.想一想①：1.如图3.7—4.①M ，①N 的半径分别为2cm ，4cm ，圆心距MN=10cm ．P 为①M 上的任意一点，Q 为①N 上的任意一点，直线PQ 与连心线所夹的锐角度数为α，当P 、Q 在两圆上任意运动时，tan α的最大值为( ).A.√612B.43.C.√33.D.34.2.如图3.7—5.①BAC=600，半径长为1的圆O 与①BAC 的两边相切， P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ). A.3. B.6. C. .3√32.D. 3√3.例5.(1)过点M(−2，,0)的直线l 与曲线y=√4−x 2相交于A ，B 两点，当∆ABO (O 为坐标原点)的面积最大时，直线l 的斜率为 . (2)两个圆C 1：x 2+y 2+2ax+a 2-4=0(a ∈R )与圆C 2：x 2+y 2-2by+b 2-1=0(b ∈R )恰有三条公切线，则a+2b 的取值范围为 . 解:(1) ① 曲线y=√4−x 2的方程可变形为x 2+y 2=4(y ≥0)，① 此曲线表示以原点为圆心，2为半径，在x 轴及其上方的半圆，如图3.7—6.① S ∆ABO =12OA ×OB ×sin∠AOB =2sin∠AOB ， 当∆ABO 的面积最大时，∠AOB =900，此时∆ABO为等腰直角三角形，① 点O 到直线AB 的距离为√2. 设直线AB 的方程为 y=k(x+2√2)，即kx -y+2√2k =0， ①2√2k √1+k 2=√2，解得k=±√33，又由已知k>0，① k= √33.(2) ① 圆C 1的圆心为C 1(-a ，0)，半径为2；圆C 2的圆心为C 2(0，b)，半径为1.l xy MABO 图3.7—6图3.7—4P QMNA D E BCP. . O图3.7—5由已知两圆外切，① | C 1 C 2|=2+1=3，即a 2+b 2=9.令a+2b=m ，则 √1+4≤3，解得 −3√5≤m ≤3√5，① a+2b 的取值范围为[−3√5，3√5].习题3.71.已知A 、B 两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，①C 的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D 是①C 上的一个动点，射线AD 与y 轴交于点E ，则①ABE 面积的最大值是( ).A.3.B. 103. C.103. D.4. 2.圆x 2+y 2-2x -2y+1=0上的点到直线2x y -=距离的最大值是( ).A.2.B.1+√2.C.2+√22. D.1+2√2.3.由直线y=x +1上一点向圆C :(x -3)2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为 .4.已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：(x -3)2+y 2=1的切线PA ，PB(A 、B 为切点)，则四边形PACB 面积的最小值为 .5.求过直线2x+y+4=0和圆x 2+y 2+2x -4y+1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程.①过原点；①有最小面积.6.求圆(x -2)2+(y+3)2=4上的点到直线x -y +2=0最远和最近的距离.7.已知圆M 过两点C(1，-1)，D(-1，1)，且圆心M 在x+y -2=0上. (1)求圆M 的方程. (2)设P 是直线3x+4y+8=0上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点.求四边形PAMB 面积的最小值.8.在平面直角坐标系中，M(3，4)，P 是以M 为圆心，2为半径的①M 上一动点，A(-1，0)、B(1，0)，连接PA 、PB ，求PA 2+PB 2最大值.9.过定点M 的直线l 1：ax+y -1=0与过定点N 的直线l 2：x - ay +2a -1=0交于点P.求|PM|∙|PN|的最大值.【参考答案】想一想①：1. (45，−35). 2.4+√2. 3.10.想一想①：1.D.考虑PQ 为两圆的内公切线时的情形.2.在△ADE 中，由正弦定理得|DE|=2Rsin600，其中R 为△ADE 的外接圆半径.如图2.8—4(3)知，AP 的最大值为|OP|+1=3，① |DE|max =3√3. 故应选D.习题3.71. A.2. B.3. √7.4. √7.5.(1)设圆的方程为x 2+y 2+2x -4y+1+λ(2x +y +4)=0，① 所求圆过原点，得λ=−14. ①x 2+y 2+32x+74y =0为所求.(2)设圆的方程为x 2+y 2+2x -4y+1+λ(2x +y +4)=0，① R 2=D 2+E 2−4F 4=5λ2−16λ+164，① 当 λ=85时R 2最小. ① x 2+y 2+265x −125y +375=0为所求6.7√2−42;7√2+42. 7.(1)设圆M 的方程为:(x -a)2+(y -b)2=r 2(r >0).根据题意得， {(1−a)2+(1+b)2=r 2,(−1−a)2+(1−b)2=r 2,a +b −2=0. 解得a=b=1，r=2.故所求圆M 的方程为(x -1)2+(y -1)2=4.(2)① 四边形PAMB 的面积S=S ①PAM +S ①PBM =|AM|·|PA|+|BM|·|PB|,又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，① S=2|PA|,而|PA|=√|PM|2−|AM|2=√|PM|2−4， 即S=2√|PM|2−4.因此要求S 的最小值,只需求|PM|的最小值即可, 即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小, ① |PM|min =√32+42=3.因此，四边形PAMB 面积的最小值为S=2√|PM|2−4=2√5.8.设P(3+2cos θ，4+2sin θ)，则PA 2+PB 2=60+24cos θ+32sin θ=60+40sin(θ+φ)≤100. ① PA 2+PB 2最大值为100.9. 1. 由已知有，直线l 1过定点M(0，1)，直线l 2过定点N(1，2)，且|MN|=√2，l 1⊥l 2.由平面几何的知识知，点P 在以MN 为直径的圆上运动.设点P 到MN 的距离为PD ，则有|PM|∙|PN|=|MN||∙|PD| =√2∙|PD|，∴ 当|PD|取最大值√22 时，(|PM|∙|PN|)max =√2∙√22=1.。
圆三角换元法求最值
圆三角换元法求最值
圆三角换元法是一种常见的数学方法，用于求解与圆相关的最值问题。
其基本思想是通过引入一个或多个三角函数，将问题转化为三角函数的最值问题，然后利用三角函数的性质或不等式等知识求解。
以下是一个简单的例子，假设有一个圆的半径为r，圆心为点(a,b)，现在要求解圆上一点到原点的距离的最大值。
我们可以设该点为(x,y)，然后用距离公式表示出该点到原点的距离，即sqrt(x^2+y^2)。
由于圆的方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，因此可以将其代入到距离公式中，得到sqrt((x-a)^2+(y-b)^2)。
由于(x-a)^2+(y-b)^2可以看作是一个三角函数，因此我们可以使用三角换元法，将其转化为三角函数的形式，即：sqrt((x-a)^2+(y-b)^2)=sqrt(r^2cost^2+r^2sint^2)。
由于cost^2和sint^2的值域都在[0,1]之间，因此当cost^2=sint^2=1/2时，sqrt(r^2cost^2+r^2sint^2)取得最大值，即最大距离为sqrt(2r^2)。
圆三角换元法可以将复杂的圆相关问题转化为简单的三角函数问题，从而简化求解过程。
但是需要注意的是，在使用圆三角换元法时，需要根据具体问题选择合适的三角函数和换元方式，并确保换元后的等式或不等式具有可解性。
圆的最值问题解题技巧
方法二：一元一次方程给我们的启示 形如： ax b 解的情况分析 （1） a 0 ，方程无解 （2） a 0 ，方程的解 x
b a
（3）特别的 a 0, b 0 ，方程的解围任意实数
y kx 9k 12 可以转换为： y 12 ( x 9)k ，若直线过定点，则与 k 无关
令 y 12 0, x 9 0 即可
知识点 2：过圆内一点 P 的弦中，最短的弦是：连接 OP，作 OP 的垂线 与圆相交于 CD，弦 CD 最短。 证明： 假设还有一条弦 AB 过点 P，设圆 O 半径为 r 过圆心 O 作弦 AB 的垂线，垂足为 E，连接 AO、CO
AE r 2 OE 2 ， CP r 2 OP 2
在 Rt ABC 中， OP OE （斜边大于直角边） 所以 AE CP ，则弦 CD 长度小于 AB
如图，在平面直角坐标系中，圆 O 经过点 A（0，25） ，直线 y kx 9k 12 与圆 O 交于 点 B、C，则弦 BC 的最小值为（ A、20 B、40 C、 25 2 ） D、 15 5
知识点 1：函数图象过定点问题 判别函数图象是否过定点的方式
方法一：代入法 直线 y kx 9k 12 如果过定点，那么可能有 n 条直线，这些直线 k 不同而已 随便假设二个 k 值，列二元一次方程组求解 假设 k=1，有 y x 3 ①，假设 k=2，有 y 2 x 6 ②，联立解得： x 9, y 12 即过定点 (9, 12) ，可以带入验证下
与圆有关的最值问题的求解策略
与圆有关的最值问题的求解策略本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March与圆有关的最值范、围问题的求解策略知识梳理 (1)主要类型：①圆外一点与圆上任一点间距离的最值．②直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值．③过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值．④直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线段长的最小值问题．⑤两圆相离，两圆上点的距离的最值．⑥解决与圆有关的最值问题的常用方法（1）形如u ＝y －b x －a的最值问题，可转化为定点(a ，b )与圆上的动点(x ，y )的斜率的最值问题 （2） 形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；（3）形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题． 类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径1 、已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22(3)1x y -+=上任一点，则PQ 的最小值为 .2、已知A (0,1),B (2,3),Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QAB S 的最小值为 .3、由直线y=x +1上一点向圆C ：22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为5、 由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )A ．(－1,1)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(1,3)6、已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则当PC= 时，APB ∠最大．7、已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .8、已知圆C ：222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标．类型二：利用圆的参数方程转化为三角函数求最值9、若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．类型三：抓住所求式的几何意义转化为线性规划问题求最值10、已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．11、P (x ，y )在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上移动，则x 2＋y 2的最小值为________．类型四：向函数问题转化平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想．有些问题，单纯利用圆的几何性质无法求解．此时应考虑如何利用代数思想将问题转化为函数问题． 12、已知圆O ：221x y +=，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PA PB ⋅的最小值为类型五：向基本不等式问题转化13、已知圆C ：22+24x y +=（）， 过点(1,0)A -做两条互相垂直的直线12l l 、，1l 交圆C 与E 、F 两点，2l 交圆C 与G 、H 两点，（1）EF +GH 的最大值．(2) 求四边形EGFH 面积的最大值．题型 有关定直线、定圆的最值问题 13、 已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为________． 题型三 综合性问题(1)圆中有关元素的最值问题(2)与其他知识相结合的范围问题14 、已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是________．15、（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 .16、已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点． (1)若AM ⊥直线l ，过A 作圆M 的两条切线，切点分别为P ，Q ，求∠PAQ 的大小；(2)若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，求点A 横坐标的取值范围．。
初中圆的最值问题三种解法
在初中数学中，圆的最值问题可以通过三种不同的解法来求解。
以下是三种常见的解法：
1. 几何解法：
首先，确定问题中圆的相关条件，例如圆的半径或圆心坐标等。
然后，利用几何性质和定理来分析问题。
对于圆的最值问题，常常使用切线和切线长度来解决。
通过找到与切线相关的角度和长度关系，可以求得圆的最大值或最小值。
2. 代数解法：
这种方法使用代数方程和函数来解决圆的最值问题。
首先，将圆的方程转化为合适的形式，例如标准方程或一般方程。
然后，利用代数的方法，对方程进行求导或化简，找到函数的最值点。
最后，将最值点带入原始问题中，求得圆的最大值或最小值。
3. 组合解法：
这种方法结合了几何和代数的思想。
首先，利用几何性质和定理来确定问题中的几何关系。
然后，将几何关系转化为代数方程或函数。
接下来，通过代数的方法求解方程或函数的最值点。
最后，将最值点代入几何关系中，求得圆的最大值或最小值。
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圆中最值问题的求解方法
有关圆的最值问题，往往知识面广、综合性大、应用性强，而且情境新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，本文按知识点分类，以近几年中考题为例，归纳总结此类试题的解题方法．
一、直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短
例1 （2012宁波）如图1，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝22，
D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于点E，F，连结EF，则线段EF长度的最小值为_______．
分析由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短．
解如图2，连结OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H．
∵在Rt△ADB中，
∠ABC＝45°，AB＝22，
∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2．
由圆周角定理，可知
∠EOH＝1
2
∠EOF＝∠BAC＝60°，
∴在Rt△EOH中，
EH＝OE·sin∠EOH
＝
33
1
22
⨯=．
由垂径定理，可知EF＝2EH＝3
点评本题是一道融垂径定理、圆周角定理、解直角三角形于一体的综合应用题．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆．
二、两点之间线段最短
例2 （2014三明）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是CD CD
上的一个动点，连结AP，则AP的最小值是_______．
分析 如图4，取BC 的中点E ，连结AE ，交半圆于点P 2，在半圆上取点P 1，连结AP 1，EP 1，可得，AP 1＋EP 1>AE ，即AP 2是AP 的最小值．再根据勾股定理求出AE 的长，然后减掉半径即可．
解 如图4，取BC 的中点E ，连结AE ，交半圆于点P 2，在半圆上取点P 1，连结AP 1，EP 1，可得，AP 1＋EP 1>AE ， ∵22215AE =+=，P 2E ＝1．
∴AP 251=-．
即AP 2是AP 的最小值．
点评 本题考查了勾股定理、最短路径问题，利用两点之间线段最短是解题的关键．
三、利用轴对称，求直线上一点到直线同侧两点的线段之和最短
例3 （2014张家界）如图5，AB 、CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB ＝8，CD ＝6，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，则PA ＋PC 的最小值为_______．
分析A 、B 两点关于MN 对称，因而PA ＋PC ＝PB ＋PC ，即当B 、C 、P 在一条直线上时，PA ＋PC 的最小，即BC 的值就是PA ＋PC 的最小值．
解 如图6，连接OA ，OB ，OC ，作CH 垂直于AB 于点H ．
根据垂径定理，得到
在Rt △BCH 中，根据勾股定理得到
BC ＝72，
则PA ＋PC 的最小值为72．
点评 正确理解BC 的长是PA ＋PC 的最小值，是解决本题的关键．
例4（2014东营）如图7，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8cm ，AC CD BD ==，
M 是AB 上一动点，则CM ＋DM 的最小值是_______cm ．
解析 如图8，作点C 关于AB 的对称点C'，连结C'D 与AB 相交于点M ，根据轴对称确定最短路线问题，点M 为CM ＋DM 的最小值时的位置，根据垂径定理可得'AC AC ，然后求出C'D 为直径，从而得解．
∴CM ＋DM 的最小值是8cm ．
点评 本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出CM ＋DM 的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键．
四、利用切线的性质求最小值
例5（2010苏州）如图9，已知A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心坐标为（－1，0），半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是( )
(A)2 (B)1 (C)2－22 (D)2－2
解析 根据三角形的面积公式，△ABE 底边BE 上的高AO 不变，BE 越小，则面积越小，可以判断当AD 与⊙C 相切时，BE 的值最小．根据勾股定理求出AD 的值，然后根据相似三角形求出OE 的长度，代入三角形的面积公式进行计算即可求解．
如图10，由题意知道当DA 是圆C 的切线时，OE 最短，此时△ABE 面积最小．
AC ＝2＋1＝3．CD ＝1．
故选C ．
点评 本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形对应边成比例列式求出OE 的长度是解题的关键．
五、立体图形上两点之间最短距离
例6（2014兰州）如图11，有一个圆锥形的粮堆，其主视图是边长为6cm 的正三角 形，母线的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B 处沿圆锥表面去偷袭老鼠，求小猫经过的最短路程．
解析 如图12，先确定扇形的圆心角，根据两点之间线段最短，再确定起点和终点，从而求解，
∵△ABC 为正三角形．
∴BC ＝6．
∴l ＝2π×3＝6π．
根据底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得
66180
n ππ⨯= 故n ＝180°，则∠B'AC ＝90°，
∴B'P 36935+=．
答：小猫所经过的最短路程是＝5
点评 本题考查平面展开最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，根据勾股定理求解．
以圆为载体的最值问题在中考试题中通常以选择、填空的压轴题频繁出现．这类试题“小而精”，集多个知识点于一体，能全方位地考查学生的基本知识、基本技能、解题技巧、以及数学思维和数学素养，成为中考试题中的一朵奇葩，希望同学们在平时学习中，多注意练习总结这类题型的解题方法．。