岩石力学与工程岩石本构关系与强度理论

6.弹性后效：是加载或卸载时，弹性应变滞后 于应力的现象。
7.粘性流动：即蠕变一段时间后卸载，部分应 变永久不恢复的现象。
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二、研究蠕变的意义
1.中硬以下岩石及软岩中开挖的地下工程，大 都需要经过半个月甚至半年时间变形才能稳 定，或处于无休止的变形状态，直至破坏失 稳。
2.解决地下工程的设计和维护问题。
3 岩石本构关系与强度理论
3.1 概念
一、本构关系
本构关系是指材料在受力过程中的“应力—应变” 关系。
1.弹性本构关系 即当岩石在外载荷作用下，岩石变形处于弹性变形 阶段时的本构关系。
2.塑性本构关系 即当岩石在外载荷作用下，岩石变形处于塑性变形 阶段时的本构关系。
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1
3.流变本构关系 如果岩石在外载荷不变的条件下，岩石的应变或应 力还随时间而变化，则称该岩石具有流变性，此时 的本构关系称为岩石的流变本构关系。
将岩石介质理想化，归纳成各种模型，模型 可用理想化的具有基本性能（弹性、塑性和 粘性）的元件组合而成。通过这些元件不同 形式的串联和并联得到一些典型的流变模型 体。
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3.4.3 基本元件
一、弹性元件（虎克体H） 1.定义 如果材料在载荷作用下，其变形性质完全符合虎克 定律，即是一种理想的弹性体，则称此种材料为虎 克体，用符号H代表。 2.力学模型
（3）应力保持恒定时，应变也保持不变，即无蠕变 性质。
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二、塑性元件（库仑体C）
1.定义 当物体所受的应力达到屈服极限时，便开始产生塑 性变形，即使应力不再增加，变形仍然不断增长， 具有这一性质的物体为塑性体，用符合Y来代表。 2.力学模型
图3-3 塑性体力学模型及其动态
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0
k2
0 k1 k2
0
t
图3-17饱依丁-汤姆逊体蠕变曲线
四、卸载方程（弹性后效）
若本模型在受恒载 0 的t t1时刻突然卸载，此时产生
的蠕变应变为：
1
0
k2
1
k1
k1 k2
e
k1k2 k1 k2
t1
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为了研究模型卸载后应变变化情况，因此令此时刻
为零时刻，即 t 0 ，并且有 0 ，根据本构方
一、力学模型
图3-9 开尔文体力学模型
二、本构方程
由于二元并联关系可得：
1 2, 1 2 1 k1 k 2 2
因此开尔文体的本构方程为：
k
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三、蠕变方程
如果在 t 0 时，施加一个不变的应力 0 后，保持
恒定，根据本构方程可得：
0 k
k
1
0
解上述微分方程，代入初始条件，可得蠕变方程：
其蠕变曲线和弹性后效曲线，如图3-15所示。
蠕变曲线
0 k2
0 k1
弹性后效
0
t1
t
图3-15 广义开尔文体蠕变曲线和卸载曲线
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3.4.4.5 饱依丁-汤姆逊体（PTh：H/M）
一、力学模型 k1,1
k2 , 2
图3-16 饱依丁-汤姆逊体力学模型
二、本构方程
本模型是由马克斯威尔体与虎克体并联而成，由并 联规则：
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图3-4 牛顿流体力学模型及其动态
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3.本构方程
d 或
dt
将（5-13）式积分，得：
1t C
式中：C——积分常数，当时，C=0，则：
1t
4.牛顿体的性质
（1）从上式可以看出，当t=0时，ε=0。当应力为 0 时，完成其相应的应变需要时间 t1 ，说明应变与时 间有关，牛顿体无瞬时变形。
程可得：
k1
k2
k1k2
0
解上式微分方程可得：
e
k1k2 k1 k2
t
1
从上式可以看出：当t 0 时的应变 1 ；当 t
时， 0 。应力在 t t1时刻就已经为零了，而应变
则需要更长时间才能回零，因而，本模型具有弹性
后效性质。
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六、马克斯威尔体的特性
1.具有瞬时变形，并随着时间增长应变逐渐增大， 即具有等速蠕变的性质；
2.当应变恒定时，应力随时间的增长而逐渐减小， 即马克斯威尔体模型具有松弛效应。
图3-8 马克斯威尔体的蠕变曲线和松弛曲线
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3.4.4.3 开尔文体（K:H/N）
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（2）当 0 时，即 0 ，积分后得 常数 ，表明
除去外力后应变为常数，活塞的位移立即停止，不 再恢复，只有再受到相应的压力时，活塞才回到原 位。所以牛顿体无弹性后效，有永久形变。
（3）当应变 常数 时， 0，说明当应变保持 某一恒定值后，应力为零，即无应力松弛性能。
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3.4.4 组合流变模型
三种基本元件进行组合时应力、应变的计算规则：
1.串联组合体中各元件的应力相等；应变等于各元件应 变之和。 2.并联组合体中各元件的应变相等；应力等于各元件应 力之和。
5.4.4.1 圣维南体（St.V:H-C）
一、力学模型
图3-5 圣维南体力学模型
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3.4.4.2马克斯威尔体（M:H-N）
一、力学模型
图3-7 马克斯威尔体力学模型
二、本构方程
由串联关系可得： 1 2
1 2
由于
1
1 k
2
1
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所以本构方程为：
1 1 k
三、蠕变方程
在恒定载荷
可化简为：
作用下，
0则
d
dt
0
，其本构方程
1
0
当在恒定的应力 0作用下，此时 0 ，则本构方
程变为：
k1
0
k1
k2
k1k2
解上述式微分方程，可得：
0
1
k1
e
k1k2 k1 k2
t
k2 k1 k2
从上式分析可以得出：
1.当 t
0
时， 0
0
k1 k2
；
2.当
t
时，可得： 0
k2
。
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由1、2可知上式所表达的蠕变曲线如图3-17所示， 且此蠕变属于稳定蠕变。
图3-2 虎克体力学模型及其动态
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3.本构方程
K
4.虎克体的性能
（1）具有瞬时弹性变形性质，无论载荷大小，只要 不为零，就有相应的应变，当为零时，也为零，说 明虎克体没有弹性后效，即与时间无关；
（2）应变恒定时，应力也保持恒定不变，应力不会 因时间增长而减小，故无应力松弛性质；
一、流变性 研究岩石在流变过程中的应力、应变和时间的 关系。主要是通过应力、应变和时间组成的流 变方程来表示。
二、流变方程 主要包括本构方程、蠕变方程和松弛方程。
1.经验方程法
根据岩石蠕变试验结果，由数理统计学的回 归拟合方法建立的方程。通常形式为：
t 0 1 t 2 t 3 t
2.微分方程法
y
x
21
xy E xy
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4
4.边界条件
（1）位移边界条件
us us，vs vs
（2）应力边界条件
l x m yx s f x s
m y
l xy
s
f y s
（3）混合边界条件
（在 su上）
（在 s 上）
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3.4 岩石流变理论
3.4.1概念
解此微分方程，代入初始条件，得蠕变方程：
1
0t
0
k
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四、松弛方程
当保持 不变时，则有 0 ，因此本构方程可变为：
1 1 0 k
解此方程，代入初始条件，可得松弛方程：
kt
0e
五、松弛时间
令
t1
k
，则上式可变为：
t
当t=t1时
0e t1
0e1 0.37 0
定义：规定应力降到初始应力的37%时，所需要的 时间为松弛时间。
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三、蠕变的三个阶段
如图3-1中的abcd曲线所示，
ε
蠕变过程可分为三个阶段：
A
1.第一蠕变阶段：如曲线中ab段
d
c
B
所示，应变速率随时间增加而减 b
a
小，故称为减速蠕变阶段或初始
C
蠕变阶段；
0
t
图3-1 岩石蠕变曲线
2.第二蠕变阶段：如曲线中bc段所示，应变速率保持不
变，故称为等速蠕变阶段；
一、流变现象
1.流变现象：材料变形过程中具有时间效应 的现象。
2. 流变性质：是指材料的应力-应变关系与时 间因素有关的性质。
3.岩石的流变包括蠕变、松弛和弹性后效。
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4.蠕变：是当应力不变时，变形随时间的增加 而增长的现象。
5.松弛：是当应变不变时，应力随时间增加而 减小的现象。
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3.4.4.4 广义开尔文体（广义K:H-K）
一、力学模型
k1 , 1
k2 , 2
,2
图3-14 广义开尔文体力学模型
二、本构方程 由于串联有： 对于弹簧有： 对于开尔文体有：
1 2, 1 2, 1 2
1 k11, 1 k11
2 k22 2
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四、卸载方程
0
k
kt
1 e
在t t1 时卸载，即 0，代入本构方程：
k 0
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解上述微分方程可得：
kt
A1e
当t t1 时， 1 ，结合蠕变方程，可得卸载方程 ：
0
k
k
e
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt1
kt 1 e
或
k
1e
t1
t
由上两式 可得如下曲线
图3-10 开尔文体蠕变曲线和弹性后效曲线
物理方程或本构方程
结合边界条件
应力场解 位移场解
1.平衡微分方程
x
x
yx
y
fx
0
xy
x
y
y
fy
0
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3
2.几何方程
x
u x
y
v y
xy
v x
u y
3.物理方程（弹性本构关系）
x
12
E
x
1
y
y
12
E
y
1
x
21
xy
E xy
x
1 E
x
y
y
1 E
所以
2
k1
k2
2
1
k1
k1
k1
k2
化简上式可得广义开尔文体本构方程：
k1
1
k2 k1
k2
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三、蠕变方程
在恒定载荷
作用下，由于广义开尔文体由弹簧和
0
开尔文体两部分组成，其蠕变也是由两部分组成。
对于弹簧有瞬时变形
0
k1
，对于开尔文体，其蠕变方
程为
0
k2
1
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五、松弛方程 当模型的应变恒定时，即 0 常数，此时的本构 方程为：
k
由上式可以看出，当应变保持恒定时，应力也保持 恒定，并不随时间增加而减小，即本模型没有应力 松弛性质。
六、开尔文体的特性
1.属于稳定蠕变模型； 2.具有弹性后效性质，没有松弛性质。
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1 2
1 2
1 2
1 2
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由马克斯威尔体的本构关系可得：
1 k1
1
1
1
则：1
k1
1
由虎克体可得：
即：
2 k2
且有 2 k2
1 2 k2
1
k1
k2
代入化简，即可得到本模型的本构方程：
k1
k1
k2
k1k2
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三、蠕变方程
20
二、本构方程
s ,
k
s ,
本构图形
图3-6 圣维南体本构关系示意图
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三、卸载特性
如在某一时刻卸载，使 0 ，则弹性变形全部
恢复，塑性变形停止，但已发生的塑性变形永久 保留。
四、圣维南体的特性
1.代表理想弹塑性体，它无蠕变，无松弛也无弹 性后效。
2.本构关系与时间t无关，故不属于流变模型，但 它是复合体模型中常见的一个组成部分。
二、强度理论
指采用判断、推理的方法，推测材料在复杂应力状 态下破坏的原因，而建立理论和准则。
岩石的力学性质可分为变形性质和强度性质两类， 变形性质主要通过本构关系来反映，而强度性质则 主要通过强度准则来反映。
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3.2 岩石的弹性本构关系
一、岩石弹性问题的求解步骤
平衡微分方程
几何方程
3.第三蠕变阶段：如曲线中cd段所示，应变速率迅速增 加直到岩石破坏，故称为加速蠕变阶段。
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四、岩石的长期强度
当岩石的应力超过某一临界值时，蠕变向不 稳定蠕变发展；当岩石的应力小于该临界值 时，蠕变按稳定蠕变发展。通常称此临界应 力为岩石的长期强度。
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3.4.2 流变模型理论
e
k，2 t 可应用叠加法，所以广义开尔
文体在恒定应力作用下的蠕变方程为：
0
k1
0
k2
k2 t
1 e
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四、弹性后效（卸载效应）
如果在 t1
时刻卸载，虎克体产生的弹性变形
0 k1
立即
恢复，但是开尔文体的变形则需要经过较长时间才
能恢复到零，其卸载方程和开尔文体的卸载方程相
类似，只是 用 2 代替即可。
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3.本构方程 当 s时， 0, s时，
4. 塑性体的性能
（1）当物体所受的应力小于屈服极限时，模型表现 为刚形体；
（2）当物体所受的应力大于或等于屈服极限时，模 型表现为理想塑性体，即具有塑性流动的特点。
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三、粘性元件（牛顿体N） 1.定义 牛顿流体是一种理想粘性体，即应力与应变速率成 正比，用符号N表示 。 2.力学模型