统计学参数估计精
参数估计三要素
参数估计三要素参数估计是统计学中非常重要的一部分，它涉及到如何通过样本数据来得到总体参数的估计值。
而参数估计的实质就是利用样本信息来推断总体信息。
在进行参数估计的过程中需要掌握三要素，分别是点估计、区间估计以及最小二乘估计。
一、点估计点估计就是通过样本数据，估计总体参数的具体数值，也就是说利用样本数据来估计总体参数的单个值，这个单个值有可能等于总体参数，但也有可能不等于总体参数。
因为样本数据是有误差的，并且不能代表总体，所以点估计得到的估计量只是在数值上比较接近总体参数，而不是完全等于总体参数。
常见的点估计方法有矩估计和最大似然估计。
矩估计就是通过样本的前几个矩来估计总体参数的值，并且要求估计量是样本矩的函数。
最大似然估计是通过知道样本中观测值的概率分布，来确定估计量的值。
而在实际应用中，矩估计和最大似然估计常常同时使用，这样能够提高估计量的精确度。
点估计通过样本数据，确定总体参数的具体数值，它有其实际意义，但在实际应用中不能确定它的准确性。
二、区间估计点估计得到的估计量通常由于样本误差，不能代表总体参数。
在进行参数估计时，我们还需要确定一个区间，使得这个区间内的任一数值均可能是总体参数的真实值，这个区间就是区间估计。
对于总体参数的区间估计，我们可以利用统计量来求解。
如对于正态分布总体，其参数$\mu$，则样本均值是其最佳估计，而其标准差是未知的，所以我们的目的是得到一个包含总体参数的置信区间来进行估计。
假设总体的分布是正态分布，求出样本均值和样本标准差，以及统计学的知识，可以得到一个置信区间。
这个置信区间就是在某个置信水平下，总体参数落在这个区间内的概率为这个置信水平。
总体参数的置信区间是通过样本统计量计算而来的，而这个样本统计量的置信区间大小和置信水平有关，也和样本数量有关。
在实际应用中，当样本数量越大时，区间估计的精度就会越高。
三、最小二乘估计在线性回归分析中，最小二乘估计是一种广泛使用的估计方法。
统计学中的参数估计方法
统计学中的参数估计方法统计学中的参数估计方法是研究样本统计量与总体参数之间关系的重要工具。
通过参数估计方法，可以根据样本数据推断总体参数的取值范围，并对统计推断的可靠性进行评估。
本文将介绍几种常用的参数估计方法及其应用。
一、点估计方法点估计方法是指通过样本数据来估计总体参数的具体取值。
最常用的点估计方法是最大似然估计和矩估计。
1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）最大似然估计是指在给定样本的条件下，寻找最大化样本观察值发生的可能性的参数值。
它假设样本是独立同分布的，并假设总体参数的取值满足某种分布。
最大似然估计可以通过求解似然函数的最大值来得到参数的估计值。
2. 矩估计（Method of Moments）矩估计是指利用样本矩与总体矩的对应关系来估计总体参数。
矩估计方法假设总体参数可以通过样本矩的函数来表示，并通过求解总体矩与样本矩的关系式来得到参数的估计值。
二、区间估计方法区间估计是指根据样本数据来估计总体参数的取值范围。
常见的区间估计方法有置信区间估计和预测区间估计。
1. 置信区间估计（Confidence Interval Estimation）置信区间估计是指通过样本数据估计总体参数，并给出一个区间，该区间包含总体参数的真值的概率为预先设定的置信水平。
置信区间估计通常使用标准正态分布、t分布、卡方分布等作为抽样分布进行计算。
2. 预测区间估计（Prediction Interval Estimation）预测区间估计是指根据样本数据估计出的总体参数，并给出一个区间，该区间包含未来单个观测值的概率为预先设定的置信水平。
预测区间估计在预测和判断未来观测值时具有重要的应用价值。
三、贝叶斯估计方法贝叶斯估计方法是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法。
贝叶斯估计将先验知识与样本数据相结合，通过计算后验概率分布来估计总体参数的取值。
贝叶斯估计方法的关键是设定先验分布和寻找后验分布。
《统计学》第10讲 参数估计(复习+习题)
（二）方差的区间估计
1.总体方差的区间估计
对于来自正态总体的容量为n的简单随机样本，统 计量 n 1s 2 / 2 服从自由度为 n 1 的卡方分布。
n 1 s 2
2
~ 2 n 1
总体方差在1- 置信水平下的置信区间为
2 n 1 s
2
2 2 2 2 s1 s2 s1 s2 , F 2 F1 2
F分布两个自由度
24
（三）总体比率区间估计
1.单样本比率的区间估计
当样本容量充分大时，样本比率p近似服从以总体比
率P为数学期望，以P(1-P)/n为方差的正态分布。
1. 样本比率的数学期望
E (p) P
2. 样本比率的方差
P (1 P ) n
n1 n2
18
( n1 3 0， n 2 3 0 )
大样本，方差已知（两个总体分布没有要求）
1. 两个样本均值之差 x 1 x 2 的抽样分布服从正态
分布，其数学期望为两个总体均值之差
E (x1 x 2 ) 1
2
2. 方差为各自的方差之和
2 x1 x 2
12 22 n1 n2
•
分别从两个独立的随机总体中抽取容量为n1和n2的 独立样本，当两个样本都为大样本时，两个样本比 率之差的抽样分布可用正态分布来近似。 数学期望为
• •
E ( p 1 p 2 ) P1 P 2
方差为各自的方差之和
27
2 p1 p 2
P1 (1 P1 ) P2 (1 P2 ) n1 n2
2
2 2 x n
统计学参数估计
统计学参数估计参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指在推断统计问题中，通过样本数据对总体参数进行估计的过程。
这一过程是通过样本数据来推断总体参数的未知值，从而进行总体的描述和推断。
在统计学中，参数是指总体的其中一种特征的度量，比如总体均值、总体方差等。
而样本则是从总体中获取的一部分观测值。
参数估计的目标就是基于样本数据来估计总体参数，并给出估计的精确程度，即估计的可信区间或置信区间。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
点估计是一种通过单个数值来估计总体参数的方法。
点估计的核心是选择合适的统计量作为估计量，并使用样本数据计算出该统计量的具体值。
常见的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种寻找参数值，使得样本数据出现的概率最大的方法。
矩估计则是通过样本矩的函数来估计总体矩的方法。
然而，点估计只能提供一个参数的具体值，无法提供该估计值的精确程度。
为了解决这个问题，区间估计被引入。
区间估计是指通过一个区间来估计总体参数的方法。
该区间被称为置信区间或可信区间。
置信区间是在一定置信水平下，总体参数的真值落在该区间内的概率。
置信区间的计算通常涉及到抽样分布、标准误差和分位数等概念。
在实际应用中，参数估计经常用于统计推断、统计检验和决策等环节。
例如，在医学研究中，研究人员可以通过对患者进行抽样调查来估计其中一种药物的有效性和不良反应的发生率。
在市场调研中，市场研究人员可以通过抽取部分样本来估计一些产品的市场份额或宣传效果。
参数估计的准确性和可靠性是统计分析的关键问题。
估计量的方差和偏倚是影响估计准确性的主要因素，通常被称为估计量的精确度和偏倚性。
经典的参数估计要求估计量是无偏且有效的，即估计量的期望值等于真值，并且方差最小。
总之，参数估计是统计学中的一个重要概念，它通过样本数据对总体参数进行估计，并给出估计值的精确程度。
参数估计在统计推断、统计检验和决策等领域具有广泛的应用。
估计量的准确性和可靠性是参数估计的关键问题，通常通过方差和偏倚的分析来评价估计量的性质。
统计学参数估计PPT课件
在应用参数估计时，需要注意样本的代表性、数据的准确性和可靠性等问题， 以保证估计的准确性和可靠性。
对未来研究的建议
01
进一步探讨参数估计的理论基础
可以进一步探讨参数估计的理论基础，如大数定律和中心极限定理等，
以更好地理解和掌握参数估计的方法和原理。
02
探索新的估计方法
随着统计学的发展，可以探索新的参数估计方法，以提高估计的准确性
指导决策
评估效果
基于参数估计结果，制定科学合理的 决策。
利用参数估计，评估政策、项目等实 施效果。
预测未来
通过参数估计，预测未来的趋势和变 化。
02
参数估计的基本概念
点估计
定义
点估计是用一个单一的数值来估 计未知参数的值。
举例
在调查某班级学生的平均身高时， 我们可能使用所有学生身高的总 和除以人数来估计平均身高，这 里的总和除以人数就是点估计。
最小二乘法的缺点是假设误差项独立 同分布，且对异常值敏感，可能影响 估计的稳定性。
最小二乘法的优点是简单易行，适用 于线性回归模型，且具有优良的统计 性质。
贝叶斯估计法
贝叶斯估计法是一种基于贝叶 斯定理的参数估计方法，通过 将先验信息与样本数据相结合 来估计参数。
贝叶斯估计法的优点是能够综 合考虑先验信息和样本数据， 给出更加准确的参数估计。
高维数据的参数估计问题
1 2 3
高维数据对参数估计的影响
随着数据维度的增加，参数估计的复杂度和难度 也会相应增加，容易出现维度诅咒等问题。
高维数据参数估计的方法
针对高维数据，可以采用降维、特征选择、贝叶 斯推断等方法进行参数估计，以降低维度对估计 的影响。
统计学总体参数估计
配对号
来自总体A 旳样本
来自总体B旳样本
1
2
0
2
5
7
3
10
6
4
8
5
第六章 总体参数估计
第六章 总体参数估计
1、假定条件两个总体服从二项分布能够用正态分布来近似两个样本是独立旳2、两个总体百分比之差P1-P2在1- 置信水平下旳置信区间为
第六章 总体参数估计
【例】在某个电视节目旳收视率调查中，农村随机调查了400人，有32%旳人收看了该节目；城市随机调查了500人，有45%旳人收看了该节目。试以95%旳置信水平估计城市与农村收视率差别旳置信区间
【例】一家瓶装饮料制造商想要估计顾客对一种新型饮料认知旳广告效果。他在广告前和广告后分别从市场营销区各抽选一种消费者随机样本，并问询这些消费者是否据说过这种新型饮料。这位制造商想以10%旳误差范围和95%旳置信水平估计广告前后懂得该新型饮料消费者旳百分比之差，他抽取旳两个样本分别应涉及多少人？(假定两个样本容量相等)
10名学生两套试卷旳得分
学生编号
试卷A
试卷B
差值d
1
78
71
7
2
63
44
19
3
72
61
11
4
89
84
5
6
91
74
17
5
49
51
-2
7
68
55
13
8
76
60
16
9
85
77
8
10
55
39
16
第六章 总体参数估计
解: 根据样本数据计算得
两种试卷所产生旳分数之差旳置信区间为6.33分~15.67分
统计学参数估计公式
统计学参数估计公式统计学参数估计公式指的是通过统计学方法估计参数的一组数学公式。
不同的统计学参数估计公式各有特点、应用场景和优劣，它们通常用来估计描述性统计或者回归系统的参数。
本文将讨论统计学参数估计公式，并详细说明下面常见参数估计公式：极大似然估计、贝叶斯估计、最小二乘估计、局部加权线性回归和最小化重要性采样。
极大似然估计(MLE)也叫最大似然估计，是一种基于极大似然法的估计统计量的方法。
它的目的是最大化制定概率模型的参数的后验概率。
MLE得出的结果往往比矩估计更加精确。
与贝叶斯估计不同，MLE不需要选择先验分布，且不考虑实证概率，只考虑已知数据。
贝叶斯估计(Bayesian Estimation)是基于概率模型进行参数估计时，结合预先取得的知识，使用条件概率的方法。
基于已有的先验知识，贝叶斯估计将未知参数的概率分布转化为后验的概率，以此来进行估计。
贝叶斯估计法可以克服极大似然估计出现的不平滑问题，而且还能考虑实证概率的影响。
最小二乘估计(Least Square Estimation,LSE)是一种基于数据拟合的参数估计方法。
它将未知数参数表示为一个函数，并使得残差平方和最小，最小化残差平方和来估计未知参数，也就是拟合曲线最适合数据点。
实际运用中往往会遇到过度拟合和欠拟合等问题，所以LSE在多项式回归时需要采用正则化项依据损失函数来控制模型的复杂度，以避免过拟合的情况。
局部加权线性回归(Local Weighted Linear Regression,LWLR)是一种用来解决非线性问题的回归方法。
它的特点是对未知的值的预测引入了权重，在线性回归的基础上引入一个滑动窗口，把预测点以外的点的权重不断减少，越靠近预测点的点的权重越大，这样做的目的是为了使参数估计更加准确和稳定。
最小化重要性采样(Minimum Importance Sampling,MIS)是一种非参数估计参数的方法，它不会估计参数本身，而是通过采样数据而且采样频次是以后验分布的形式定义的，从而用采样数据来估计参数的分布。
统计学总体参数估计
例题：一家保险公司收集到由36投保人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄数据如表所示。试建立投保人年龄90%的置信区间。样本标准差: 表：36个投保人年龄的数据 S=
23
35
39
27
36
44
36
42
46
43
31
33
42
53
45
54
第六章 总体参数估计
1 1２, 2２已知时,两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信区间为 2
2 1２、 2２未知时,两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信区间为
第六章 总体参数估计
例1 某地区教育委员会想估计两所中学的学生高考时的英语平均分数之差,为此在两所中学独立抽取两个随机样本,有关数据如右表 ,建立两所中学高考英语平均分数之差95%的置信区间
第六章 总体参数估计
例题： 一家食品生产企业以生产袋装食品为主，每天的产量大约为8000袋左右。按规定每袋的重量应为100g。为对产量质量进行监测，企业质监部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量（单位：g）如表所示。
第六章 总体参数估计
二、总体比例的区间估计（大样本） 总体比例P在 置信水平下的置信区间 当P未知时，用p来代替P
第六章 总体参数估计
例题： 某城市要估计下岗职工中女性所占的比例，随机抽取了100名下岗职工，其中65人为女性。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间。
A
B
较小的样本容量
较大的样本容量
P( )
第六章 总体参数估计
第二节 一个总体参数的区间估计
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1. 估计量：用于估计总体参数的随机变量
– 如样本均值，样本比例、样本方差等
– 例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量
2. 参数用 表示，估计量用ˆ 表示
3. 估计值：估计参数时计算出来的统计量的 具体值
– 如果样本均值 x =80，则80就是的估计值
二战中的 点估计
点估计与区间估计
点估计 (point estimate)
无偏性
(unbiasedness)
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被 估计的总体参数
P(ˆ)
无偏
有偏
A
B
ˆ
有效性
(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计
量，有更小标准差的估计量更有效
P(ˆ)
ˆ1 的抽样分布
B
A
ˆ2 的抽样分布
ˆ
一致性
(consistency)
一致性：随着样本容量的增大，估计量的 值越来越接近被估计的总体参数
1. 用样本的估计量直接作为总体参数的估计值 用什么样的估计量来估计参数呢？ 实际上没有硬性限制。任何统计量，只要人们觉得 合适就可以当成估计量。 ▪ 例如：用样本均值直接作为总体均值的估计 ▪ 例如：用两个样本均值之差直接作为总体均 值之差的估计
2. 没有给出估计值接近总体参数程度的信息
区间估计
表示了0.05上侧分位数zα=z0.05及相应的尾概率（ α =0.05）。有些书用符号z1－α而不是Ｚα ；因此在
看参考文献时要注意符号的定义。
N(0,1)分布右侧尾概率P(z>z)=的示意
图
Tail Probability for N(0,1)
0.4
0.35
0.3
Density of N(0,1)
P( X x )
这里的a也称为上（右）侧尾概率 （upper/right tail probability）。
显然，对于连续对称分布，α上侧分位数等 于(1－α)下侧分位数，而(1－α)下侧分位 数等于α上侧分位数。
通常用zα表示标准正态分布的α上侧分位数，即对于 标准正态分布变量Z，有P(Z>zα)= α 。
– 我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真 值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包 含参数真值的区间中的一个
点估计值
置信区间
(95%的置信区间)
重复构造出的20个置信区间
置信区间与置信水平
均值的抽样分布
x
/2
1 –
/2
x x
(1 - ) % 区间包含了 % 的区间未包含
评价估计量的标准
P(ˆ) 较大的样本容量 B
较小的样本容量
A
ˆ
5.2 一个总体参数的区间估计
5.2.1 总体均值的区间估计 5.2.2 总体比例的区间估计 5.2.3 总体方差的区间估计
一个总体参数的区间估计
总体参数 均值 比例 方差
符号表示 样本统计量
x
p
2
s2
分位数
我们有必要引进总体的下侧分位数、上侧分位数以 及相应的尾概率的概念。
0.25
0.2
0.15
0.1
P(z<z0.05)=1- =0.95
2. 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总 体参数的接近程度给出一个概率度量
– 比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%
•点估计给出一个数
字，用起来很方便；
而区间估计给出一
个区间，说起来留
有余地；不像点估
计那么绝对。
置信下限
置信区间
样本统计量 (点估计)
置信上限
区间估计的图示
第 5 章 参数估计
5.1 参数估计的一般问题 5.2 一个总体参数的区间估计 5.3 两个总体参数的区间估计 5.4 样本容量的确定
学习目标
1. 估计量与估计值的概念 2. 点估计与区间估计的区别 3. 评价估计量优良性的标准 4. 一个总体参数的区间估计方法 5. 两个总体参数的区间估计方法 6. 样本容量的确定方法
3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%
相应的 为0.01，0.05，0.10
置信区间
(confidence interval)
1. 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称 为置信区间
2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真 正的总体参数，所以给它取名为置信区间
3. 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的 区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是 否包含总体参数的真值
对于连续型随机变量X，a下侧分位数（又称为a分 位数，a-quantile）定义为数xa，率（lower/left tail probability）
而a上 侧分 位 数 （ 又 称a 上分 位数 ，a-upper
quantile）定义为数xa，它满足关系
x z 2 x
x
- 2.58x
x
-1.65 x
+1.65x + 2.58x
-1.96 x
+1.96x
90%的样本
95% 的样本
99% 的样本
置信水平
1. 将构造置信区间的步骤重复很多次，置 信区间包含总体参数真值的次数所占的 比例称为置信水平
2. 表示为 (1 -
为是总体参数未在区间内的比例
• 从不同的样本得到的结论也不会完全一样。虽 然真实的比例在这种抽样过程中永远也不知道； 但可以知道估计出来的比例和真实的比例大致 差多少。
5.1 参数估计的一般问题
5.1.1 估计量与估计值 5.1.2 点估计与区间估计 5.1.3 评价估计量的标准
估计量与估计值
估计量与估计值
(estimator & estimated value)
• 估计就是根据你拥有的信息来对现实世界进行 某种判断。
• 你可以根据一个人的衣着、言谈和举止判断其 身份
• 你可以根据一个人的脸色，猜出其心情和身体 状况
• 统计中的估计也不例外，它是完全根据数据做 出的。
• 如果我们想知道北京人认可某饮料的比例，人 们只有在北京人中进行抽样调查以得到样本， 并用样本中认可该饮料的比例来估计真实的比 例。
(interval estimate)
当描述一个人的体重时，你一般可能不会说这个 人是76.35公斤，你会说这个人是七八十公斤， 或者是在70公斤到80公斤之间。这个范围就是区 间估计的例子。
区间估计 (interval estimate)
1. 在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间 范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的