2021届天津市静海县第一中学高三12月月考数学(文)试题Word版含答案
静海区静海区第一中学高三上学期12月月考数学试题
静海一中2019-2020第一学期高三数学（12月）学生学业能力调研试卷一、选择题:（每小题5分，共45分）1.已知全集为R ，集合{}1,0,1,2,3A =-，201x B x x ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，则A B I 元素个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】求出集合B ，利用交集的定义求出A B I ，即可得到A B I 元素个数 【详解】由201x B xx ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，可得：()[)B=,12,-∞-⋃+∞，所以{}=2,3A B ⋂，即A B I 元素个数为2， 故答案选B【点睛】本题考查分式不等式的解法以及集合交集的定义，属于基础题． 2.设23342,log 5,log 5a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. b c a <<D. c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】先根据1来分段，然后根据指数函数性质，比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】由于203221-<=，而344log 5log 5log 41>>=，故a c b <<，所以选A.【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于基础题. 3.已知：1:12p a -<<，[]:1,1q x ∀∈-，220,x ax --<则p 是q 成立的（ ）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充分必要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件【答案】A 【解析】 【分析】构造函数()22f x x ax =--，先解出命题q 中a 的取值范围，由不等式()0f x <对[]1,1x ∀∈-恒成立，得出()()1010f f ⎧-<⎪⎨<⎪⎩，解出实数a 的取值范围，再由两取值范围的包含关系得出命题p 和q 的充分必要性关系．【详解】构造函数()22f x x ax =--，对[]1,1x ∀∈-，()0f x <恒成立， 则()()110110f a f a ⎧-=-<⎪⎨=--<⎪⎩，解得11a -<<，()1,11,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭Q Ü，因此，p 是q 的充分但不必要条件，故选A. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，一般利用集合的包含关系来判断两条件的充分必要性：（1）A B Ü，则“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件； （2）A B Ý，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件； （3）A B =，则“x A ∈”是“x B ∈”的充要条件；（4）A B ⊄，则“x A ∈”是“x B ∈”的既不充分也不必要条件．4.设直线:340l x y a ++=，圆22:(2)2C x y -+=，若在圆C 上存在两点P ，Q ，在直线l 上存在一点M ，使得90PMQ ∠=︒，则a 的取值范围是（ ）． A. [18,6]-B. [6-+C. [16,4]-D.[66---+【答案】C 【解析】 如图：过圆心C 作CE l ⊥交于E ， 过E 作圆C 的切线交圆于F 、G ，FEG ∠是圆心两点与l 上一点形成最大的角，只要90FEG ∠≥︒满足条件，即45FEC ∠≥︒，2CF =2EF ≤2EC ≤，即625a d +=≤，610a +≤， 164a -≤≤．故选C5.将函数2()23)sin 2sin 12f x x x x ππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭图像向左平移ϕ(0)ϕ>个单位后图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则ϕ的值可能为（ ）A.6π B.34π C.712π D.23π 【答案】B 【解析】 【分析】先将函数化简整理，再向左平移，根据平移后图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，列出等式，即可得出结果.【详解】由题意可得：2())sin 2sin 12cos 22sin(2)26f x x x x x x x πππ⎛⎫=-++-=-=- ⎪⎝⎭，将函数()f x 图像向左平移ϕ个单位后，得到2sin(22)6y x πϕ=-+，又平移后图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称， 所以22,36k k Z ππϕπ⨯-+=∈，因此,42k k Z ππϕ=-+∈，又因为0ϕ>，所以0,42k k Z ππ-+>∈，即1,2k k Z >∈， 当2k =时，34πϕ=. 故选B【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，以及已知对称中心求参数的问题，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.6.过抛物线24y x =焦点F 的直线与双曲线221(0)y x m m-=>的一条渐近线平行，并交抛物线于,A B 两点，若|||AF BF >且||3AF =，则m 的值为（ ）A. 8B.C.D. 4【答案】A 【解析】 【分析】设A （x 0，y 0），根据抛物线的定义可得x 0，y 0，代入直线AB 的方程，求出m 的值即可. 【详解】抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0），准线方程为x 1=-，双曲线x 22y m-=1的一条渐近线方程为y x ，不妨设直线AB 为y x 1-），设A （x 0，y 0），则|AF |＝x 013+=，∴x 0＝2，又∵2004y x =且|AF |＞|BF |，∴y 0>0，∴y 0＝=，代入y x 1-），解得m ＝8， 故选A ．【点睛】本题考查了直线和抛物线的关系，以及抛物线的定义和双曲线的性质，属于中档题． 7.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且1453,23n n n S S a a a +=+++=，则8S =（ ）． A. 72 B. 88C. 92D. 98【答案】C 【解析】试题分析：1133n n n n n S S a a a ++=++⇒-=⇒{}n a 为等差数列，公差为3，所以由4523a a +=得118127231,8873922a d a S +=⇒==+⨯⨯⨯=，选C.考点：等差数列定义8.某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科.学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 19【答案】D 【解析】 【分析】首先求出事件的对立事件，然后用减法求解.【详解】从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中任选三科的方法有3620C =种方法，从物理、政治、历史三科中至少选考一科的对立事件是一科都不选，即从剩下的三科选三科，共1种方法，所以学生甲的选考方法种数有20-1=19种方法. 故选：D【点睛】本题考查组合问题，意在考查转化与计算，属于基础题型.9.已知函数21(0)()21(0)x xx f x e x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪++<⎩，若函数(())1y f f x a =--有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1(11)(23]e，，+⋃ B. 11(11)(23]3ee ⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬⎩⎭，，C. 11(11)[23)3ee ⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬⎩⎭，， D. 2(11)(23]e+⋃，，【答案】B 【解析】【详解】该题属于已知函数零点个数求参数范围的问题，解决该题的思路是转化为方程解的个数来完成，需要明确函数图象的走向，找出函数的极值，从而结合图象完成任务. 详解：(())10f f x a --=，即(())1f f x a -=，结合函数解析式，可以求得方程()1f x =的根为2x =-或0x =，从而得到()2f x a -=-和()0f x a -=一共有三个根，即(),()2f x a f x a ==-共有三个根，当0x ≥时，()11xxf x e =+>，21'()x x xx e xe xf x e e--==，从而可以确定函数()f x 在(,1)-∞-上是减函数，在(1,1)-上是增函数，在(1,)+∞上是减函数，且1(1)0,(1)1f f e-==+，此时两个值的差距小于2，所以该题等价于20111a a e -<⎧⎪⎨<<+⎪⎩或2011a a e -=⎧⎪⎨=+⎪⎩或2001a a -=⎧⎨<≤⎩或02111a a e <-≤⎧⎪⎨>+⎪⎩或12111a ea e ⎧-=+⎪⎪⎨⎪>+⎪⎩，解得111a e <<+或23a <≤或13a e=+，所以所求a 的范围是11(1,1)(2,3]3e e ⎧⎫++⎨⎬⎩⎭U U ，故选B.点睛：解决该题的关键是明确函数图象的走向，利用数形结合，对参数进行分类讨论，最后求得结果，利用导数研究函数的单调性显得尤为重要.二、填空题：（每小题5分，共30分）10.i 是虚数单位，则51ii+-的值为_____________．【解析】 【分析】 首先化简复数51ii+-，然后求复数的模.【详解】()()()()51546231112i i i iz i i i i ++++====+--+23z i ∴=+==【点睛】本题考查复数的化简和计算，意在考查基本的计算能力，属于基础题型.11.已知正三棱柱的所有顶点都在球O 的球面上，且该正三棱柱的底面边长为2，，则球O 的表面积为________． 【答案】253π 【解析】 【分析】首先判断正三棱柱外接球的球心，即上下底面正三角形中心连线的中点，然后构造直角三角形求半径，代入公式24S R π=求解.【详解】如图：设1O 和2O 分别是上下底面等边三角形的中心，由题意可知12O O 连线的中点O 就是三棱柱外接球的球心，连接2,OA OO ，ABC ∆Q 是等边三角形，且2AB =，23AO ∴=，22OO =22222512R AO ∴==+=⎝⎭⎝⎭，∴球O表面积22543S R ππ==.故答案为：253π 【点睛】本题考查求几何体外接球的表面积的问题，意在考查空间想象能力和转化与化归和计算能力，属于基础题型. 12.已知,m n 为正实数，则当nm =__________时922m n m n m++取得最小值. 【答案】1 【解析】题中所给的代数式即：92992112211521212m n n n n n m n m m m m m⎛⎫⎛⎫+=+⨯+-≥⨯⨯+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+⨯+⨯，当且仅当92112nn m m=⨯++⨯即1nm=时等号成立.故答案为1.13.已知函数22019()20192019log (1)2x x f x x x -=-+++，则关于x 不等式()(23)4f x f x +->的解集为_______．【答案】(,1)-∞ 【解析】 【分析】设()()()22019220192019log 1xxg x f x x x -=-=-+++，判断函数()g x 的奇偶性和单调性，将不等式()(23)4f x f x +->，转化为()()32g x g x >-，利用函数性质解不等式. 【详解】设()()()22019220192019log 1xxg x f x x x -=-=-+++()()()22019220192019log 1x x g x f x x x --=--=-++- ，()()0g x g x +-= ，∴函数()()2g x f x =-是奇函数，且()()()22019220192019log 1xxg x f x x x -=-=-+++在()0,∞+单调递增，()00g =，()()2g x f x ∴=-在R 上是单调递增函数，且是奇函数()()234f x f x ∴+->()()()2232232f x f x f x ⇒->--+=---⎡⎤⎣⎦ ，即()()()2332g x g x g x >--=-，32x x ∴>-，解得：1x <，∴ 解集为(),1-∞.故答案为：(),1-∞【点睛】本题考查构造函数，利用函数的性质解抽象不等式，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.14.如图，在平行四边形ABCD 中，3∠=πBAD ，2=AB ，1=AD ，若M ，N 分别是边AD ，CD 上的点，且满足==MD NCλAD DC，其中[]0,1∈λ，则⋅u u u v u u u u v AN BM 的取值范围是______．【答案】[]3,1-- 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，作DH AB ⊥，求得点的坐标，由点的坐标可得532,22AN AD DD λ⎛⎫∴=+=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v ，()131,22BM λ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u v ，利用平面向量数量积的坐标运算和二次函数求值域的方法可得AN BM ⋅u u u v u u u u v的取值范围. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，作,,13DH AB BAD AD Q π⊥∠==，13,2AH DH ∴==()()53130,0,2,0,,22A B C D ⎛⎛∴ ⎝⎭⎝⎭，()(),1,1MD NCAM AD DN DC AD DCλλλ==∴=-=-u u u u v u u u v u u u v Q u u u v ， ()()()1353112,0222AN AD DD AD DC u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v λλλ⎛⎛∴=+=+-=+-=- ⎝⎭⎝⎭， 同理可得：()1BM AM AB AD AB λ=-=--u u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v ()131,22λ⎛=- ⎝⎭()2,0-3133,2222λλ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭， 5331332222AN BM λλ⎛⎛⎫∴⋅=-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u u v 22113324λλλ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭. [][]21130,1,3,124AN BM λλ⎛⎫∈∴⋅=+-∈-- ⎪⎝⎭u u u v u u u u v Q .故AN BM ⋅u u u v u u u u v的取值范围是[]3,1--.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 15.定义域为R 的函数()f x 满足(2) 4 ()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，2,[0,1)()1),[1,2)x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨+∈⎪⎩，若[2,0)x ∈-时，对任意的[1,2)t ∈都有2()168t a f x t ≥-成立，则实数a 的取值范围是______． 【答案】[6,)+∞ 【解析】 【分析】首先求出当[)0,2x ∈时，函数的最小值14-，再根据条件可得()()124f x f x =+，从而确定[)2,0x ∈-时，函数的最小值116-，转化为2116816t a t -≤-，再根据参变分离可得322a t t ≥+ [1,2)t ∈时恒成立，即()32max 2a t t ≥+，转化为求函数()32g t t t =+的最大值. 【详解】当[)0,2x ∈时，2,[0,1)()1),[1,2)x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨+∈⎪⎩，[)0,1x ∈时，()221124f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 函数的最小值是14-， 当[)1,2x ∈时，())1f x x =+，函数是单调递增函数，函数的最小值是()122f ==，∴当[)0,2x ∈时，()f x 的最小值是14-. 由题意可得()()124f x f x =+， 当[)2,0x ∈-时，[)20,2x +∈，[)2,0x ∴∈-时，函数的最小值是116-，当[)2,0x ∈-时，对任意的[1,2)t ∈都有2()168t af x t≥-成立， 即2116816t a t -≤-成立， 整理为：322a t t ≥+ [1,2)t ∈时恒成立， 令()32g t t t =+，()2320g t t t '=+≥恒成立，当[1,2)t ∈时，∴函数()g t 在[1,2)t ∈上是单调递增函数，()()max 212g t g ==，即2126a a ≥⇒≥，∴a 的取值范围是[)6,+∞.故答案为：[)6,+∞【点睛】本题考查分段函数的应用和函数性质的综合问题，意在考查转化与变形和计算能力，属于中档题型，本题的关键是利用条件转化为()()124f x f x =+，求[)2,0x ∈-时的最小值. 三、解答题：（本大题共4小题，共55分）16.ABC V 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，满足)(sin )sin A B B B A +=+.（Ⅰ）已知cos C =，3a =，求sin B 与b 的值； （Ⅱ）若0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4cos()5A B -=，求sin B .【答案】（Ⅰ）sin 6B +=；1b =+310【解析】 【分析】)(sin )sin A B B B A +=+化简整理得到sin A A =，求出3A π=，再由cos 3C =求出sin C ，根据sin sin()B A C =+求出sin B ，再由正弦定理，即可求出结果； （Ⅱ）先由4cos()5A B -=结合题中条件，求出3sin()5A B -=，再由sin sin(())B A A B =--展开，即可求出结果.【详解】)(sin )sin A B B B A +=+得cos sin sin sin sin A B A B B A B A =+，故sin A A =，因为(0,)A π∈，且cos 0A ≠，所以tan A =3A π=.因为cos C =(0,)C π∈，所以sin 3C = 因此sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=12==， 由正弦定理知：sin sin b aB A=，即1b =+（Ⅱ）因为0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0,33A B B ππ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，又4cos()5A B -=， 所以3sin()5A B -=， 所以sin sin(())sin cos()cos sin()B A A B A A B A A B =--=---=【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理、两角和与差的正弦公式等即可，属于常考题型.17.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，12a =且14n n n S a a +=⋅，()*n N ∈，数列{}n b 中，114b =，且()*1(1)nn nnb b n N n b +=∈+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12332n nnb ac +=，求{}n c 的前n 项和n T ；（3）证明：对一切*n N ∈，()221322321i ia na i -=⋅<-∑【答案】（1）1q =或2q =-；（2）1(31)(2)9nn n S -+-=；（3）见解析【解析】 【分析】（1）当2n ≥时，构造114n n n S a a --=⋅，变形为114n n a a +--=，再求数列的通项公式；（2）由已知变形为()1111111n n n b nb n n +⎡⎤-=--⎢⎥++⎣⎦，利用累加法求数列{}n b 的通项公式，然后再求数列{}n c 的通项公式，利用错位相减法求和；（3）()2213221i ia na i -=⋅-∑表示求数列()22223221n n -⎧⎫⋅⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前n 项和，然后将通项放缩为2n ≥时，()()()()2212211232343411414141412141n n n n n n n nn ----⋅⋅⋅=<=-------，然后利用裂项相消法求和.【详解】（1）1n =时，可得24a =，2n ≥时，14n n n S a a +=⋅，114n n n S a a --=⋅，两式相减，得()114n n n n a a a a +-=- ，0n a ≠Q ，114n n a a +-∴-=，∴数列{}n a 的奇数项和偶数项分别成以4为公差的等差数列，当21n k =-，*k N ∈时，()()21114422212n k a a a k k k n -==+-⨯=-=-=， 当2n k =，*k N ∈时，()221442n k a a a k k n ==+-⨯== ，2n a n ∴=，*k N ∈.（2）Q ()*1(1)nn nnb b n N n b +=∈+-,1111n n n b nb n ++∴=- ，即()()111111n n n b nb n n +=-++，整理为：()1111111n nn b nb n n +⎡⎤-=--⎢⎥++⎣⎦， 21111122b b ⎛⎫∴-=-- ⎪⎝⎭， 3211113223b b ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭ ， 4311114334b b ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， …………………………,()1111111n n nb n b n n -⎡⎤-=--⎢⎥--⎣⎦，2n ≥时， 这1n -个式子相加可得11111n nb b n ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭ ， 131n b n ∴=+，当1n =时，111314b ==+成立， 131n b n ∴=+，1231213333n n n b ++=+=+， 1222n n n n nc +∴== ， 23123......2222n n n T =++++，12n T = 231121 (2222)n n n n+-++++ ， 两式相减可得：23111111......222222n n n nT +=++++-111112212212n n n n T +⎛⎫- ⎪⎝⎭=-- ，222n nn T +∴=-（3）()2213221i ia na i -=⋅-∑表示求数列()22223221n n -⎧⎫⋅⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前n 项和，设前n 项和为n T ， 当1n =时，1312933T ==<成立， 当2n ≥时，()()()()2212211232343411414141412141n n n n n n n nn ----⋅⋅⋅=<=-------122311111111......3414141414141n n n T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111212341413413n n ⎛⎫=+-=-< ⎪---⎝⎭. 综上可知23n T <， ∴对一切*n N ∈，()221322321i i a na i -=⋅<-∑.【点睛】本题考查了数列通项公式的求法和数列求和，已知考查转化与化归和计算能力，属于中高档习题，本题的难点是第三问放缩求数列的和，一般数列求和的方法包含1.公式法求和；2.错位相减法求和；3.裂项相消法求和；4.分组转化法求和；5.倒序相加法求和. 18.如图，已知等腰梯形ABCD 中，1//,2,2AD BC AB AD BC E ===是BC 的中点，AE ⋂BD M =，将BAE ∆沿着AE 翻折成1B AE ∆，使平面1B AE ⊥平面AECD ．（Ⅰ）求证：1CD B DM ⊥平面； （Ⅱ）求二面角1D AB E --的余弦值；（Ⅲ）在线段1B C 上是否存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，若存在，求出11B P B C值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角的余弦值为；（Ⅲ）存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，且．【解析】【详解】试题分析：（ I ） 根据直线与平面垂直的判定定理，需证明CD 垂直平面1B AD 内的两条相交直线．由题意易得四边形ABED 是菱形，所以EA BD ⊥，从而CD BD ⊥，即1,CD B M CD MD ⊥⊥，进而证得平面．（Ⅱ） 由（ I ）可知，、、两两互相垂直，故可以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得二面角的余弦值．（Ⅲ）根据直线与平面平行的判定定理，只要能找到一点P 使得PM 平行平面内的一条直线即可．由于12AM CD P ，故可取线段1B C 中点P ，1B D 中点Q ，连结,,MP PQ AQ ．则//PQ CD ，且1=2PQ CD ．由此即可得四边形AMPQ 是平行四边形，从而问题得证．试题解析：（ I ） 由题意可知四边形ABED 是平行四边形，所以，故．又因为AB BE =，M 为AE 的中点所以BM AE ⊥， 即.DM AE ⊥又因为//AD BC ， 2.AD CE == 所以四边形ADCE 是平行四边形． 所以//.AE CD 故CD DM ⊥． 因平面平面， 平面平面，1B M ⊂平面所以平面．1.B M AE ⊥ 因为平面， 所以CD ．因为，、平面，所以平面．（Ⅱ） 以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，． 平面的法向量为．设平面的法向量为， 因为，，， 令得，．所以， 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．（Ⅲ） 存在点P ，使得//MP 平面1B AD ．法一: 取线段1B C 中点P ，1B D 中点Q ，连结,,MP PQ AQ ．则//PQ CD ，且1=2PQ CD ． 又因为四边形AECD 是平行四边形，所以//AE CD ． 因为M 为AE 的中点，则//AM PQ ．所以四边形AMPQ 是平行四边形，则//MP AQ ． 又因为AQ ⊂平面1AB D ，所以//MP 平面1AB D ． 所以在线段上存在点，使得平面，．法二：设在线段上存在点，使得平面，设11B P B C λ=u u u r u u u r ，（），(2,3,0)C ，因为11MP MB B P =+u u u r u u u u r u u u r．所以(2,3,33)MP λλλ=-u u u r．因为平面， 所以0MP m ⋅=u u u r r，所以， 解得， 又因为MP ⊄平面，所以在线段上存在点，使得平面，．考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角．19.已知直线220x y -+=经过椭圆C : ()222210x y a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线,AS BS 与直线103x =分别交于,M N 两点． （1）求椭圆方程；（2）求线段MN 的长度的最小值；（3）当线段MN 的长度最小时，在椭圆上有两点12,T T ，使得1T SB ∆,2T SB ∆的面积都为15，求直线12T T 在y 轴上的截距．【答案】(1) 2214x y +=；(2) 83 ；(3) 32 【解析】 【分析】（1）因为直线过椭圆的左顶点与上顶点，故可解出直线与坐标轴的交点，即知椭圆的长半轴长与短半轴长，依定义写出椭圆的方程即可．（2）引入直线AS 的斜率k ，用点斜式写出直线AS 的方程，与l 的方程联立求出点M 的坐标，以及点S 的坐标，又点B 的坐标已知，故可解 出直线SB 的方程，亦用参数k 表示的方程，使其与直线l 联立，求出点N 的坐标，故线段MN 的长度可以表示成直线AS 的斜率k 的函数，根据其形式选择单调性法或者基本不等式法求最值，本题适合用基本不等式求最值． （3）在上一问的基础上求出的参数k ，则直线SB 的方程已知，可求出线段SB 的长度，若使面积为15，只须点T 到直线BS的距离为4即可，由此问题转化为研究与直线SB 平行且距离为4的直线与椭圆的交点个数问题，求出平行直线l '，即有得到y 轴上的截距． 【详解】解（1）由已知得椭圆C 的左顶点A (-2，0)，上顶点D （0，1），得2,1a b ==,故椭圆方程：2214x y +=（2）直线AS 的斜率k 显然存在，且大于0，故设直线AS ：(2)y k x =+， 得1016(,)33k M 由22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222214161640k x k x k +++-= 设11(,)S x y ，则()212164-214k x k -=+，可得2122814k x k-=+ 从而12414ky k =+，即222284,1414k k S k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭B （2，0），直线BS ：1(2)4y x k=-- 1(2)4103y x kx ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得101,33N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，16133k MN k =+，0,k >1618333k MN k =+≥= ，当且仅当14k =时，线段MN 长度最小值为83．（3）14k =，直线BS的方程为6420.,555x y S BS ⎛⎫+-=∴= ⎪⎝⎭，，椭圆上有两点使三角形面积为15，则点12,T T 到BS， 设直线12T T ：0x y t ++=4=，得132t =-或252t =-①当132t =-，联立221432x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得251250x x -+=，检验440∆=>，符合题意．②152t =-，联立221452x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2520210x x -+=，检验200∆=-<，舍去．综上所述，直线12T T 在y 轴上的截距是32【点睛】本题是解析几何中直线与圆锥曲线位置关系中很复杂的题目，要求答题者拥有较高的探究转化能力以及对直线与圆锥曲线位置关系中特征有较好的理解，且运算能力较强才能胜任此类题的解题工作，这是一个能力型的题，好题． 【此处有视频，请去附件查看】20.已知函数()()xf x mx n e-=+（,m n R ∈，e 是自然对数的底数）.（1）若函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为30x ey +-=，试确定函数()f x 的单调区间；（2）①当1n =-，m R ∈时，若对于任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，都有()f x x ≥恒成立，求实数m 的最小值；②当1m n ==时，设函数()()()()xg x xf x tf x et R -'=++∈，是否存在实数[],,0,1a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）()f x 在()0,∞+上单调递减，在(),0-∞上单调递增；（2）①212e +；②存在(),323,2e t e ⎛⎫∈-∞--+∞ ⎪⎝⎭U ，使得命题成立【解析】【分析】（1）利用切线方程可知()21f e =，()11f e'=-，从而构造出方程组求得,m n ，得到()f x 解析式，根据导函数的符号确定()f x 的单调区间；（2）①将问题转化为1xm e x≥+对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立；设()1x x e x ϕ=+，利用导数求解()max x ϕ，可得()max m x ϕ≥；②设存在[],,0,1a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<，将问题转化为()()()()minmax 2g x g x <，利用导数分别在1t ≥，0t ≤和01t <<研究()g x 的最大值和最小值，从而根据最值的关系可求得t 的取值范围.【详解】（1）由题意()()()()2x xxx me mx n e mx m n f x e e -+-+-'==()f x Q 在点()()1,1f 处的切线方程为：30x ey +-=()21f e ∴=，()11f e '=-，即：21m n e en ee +⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 解得：1m =，1n = ()1x x f x e +∴=，()xxf x e'=- 当0x >时，()0f x '<，当0x <时，()0f x '>()f x ∴在()0,∞+上单调递减，在(),0-∞上单调递增（2）①由1n =-，m R ∈，1xmx x e -≥，即：1xm e x≥+ 对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，都有()f x x ≥恒成立等价于1xm e x ≥+对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立 记()1xx e x ϕ=+，()21xx e xϕ'=- 设()21xh x e x =-()320xh x e x '∴=+>对1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立 ()21x h x e x ∴=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增而1402h ⎛⎫=<⎪⎝⎭，()21204h e =-> ()21x x e x ϕ'∴=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点0x 当01,2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，当()0,2x x ∈时，()0x ϕ'> ()x ϕ∴在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在()02x ,上单调递增()x ϕ∴的最大值是12ϕ⎛⎫⎪⎝⎭和()2ϕ中的较大的一个()122m m ϕϕ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪∴⎝⎭⎨⎪≥⎩，即2212m m e ⎧≥⎪⎨≥+⎪⎩ 212m e ∴≥+， m ∴的最小值为212e +②假设存在[],,0,1a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<，则问题等价于()()()()minmax 2g x g x <()()211xx t x g x e+-+=Q ()()()1x x t x g x e ---'∴= ⑴当1t ≥时，()0g x '≤，则()g x 在[]0,1上单调递减()()210g g ∴<，即321t e -⋅<，得：312e t >-> 3,2e t ⎛⎫∴∈-+∞ ⎪⎝⎭（2）当0t ≤时，()0g x '≥，则()g x 在[]0,1上单调递增()()201g g ∴<，即32te-<，得：320t e <-< (),32t e ∴∈-∞- （3）当01t <<时，当[)0,x t ∈时，()0g x '<；当(],1x t ∈时，()0g x '>，()g x ∴在[)0,t 上单调递减，在(],1t 上单调递增 ()()(){}2max 0,1g t g g ∴<，即132max 1,t t t e e +-⎧⎫⨯<⎨⎬⎩⎭……（*） 由（1）知()1tt f t e+=在[]0,1t ∈上单调递减，故142t t e e +⨯≥，而33t e e -<∴不等式（*）无解综上所述，存在(),323,2e t e ⎛⎫∈-∞--+∞ ⎪⎝⎭U ，使得命题成立 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数的几何意义的应用、研究函数的单调性、恒成立问题的求解.本题的解题关键是能够将问题转化为函数最值之间的关系，从而将恒成立问题进行等价转化，转变为函数最值的求解问题，。
2021-2022年高三上学期12月月考数学(文)试题 含答案
2021-2022年高三上学期12月月考数学（文）试题 含答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设集合，集合，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.2．已知方程()2(4)40x i x ai a R ++++=∈有实根，且，则复数等于 （ ）A. B. C. D.3．下列选项中，说法正确的是( )A ．“”的否定是“”B ．若向量满足，则与的夹角为钝角C ．若，则D ．命题是命题的必要条件4. 已知函数的图象如图，则它的一个可能的解析式为( )A ．B ．C ．D ．5．在中，，AB=2,AC=1,E,F 为边BC 的三等分点，则等于( )A. B. C. D.6.阅读如下程序框图,如果输出,那么在空白矩形框中应填入的语句为（）A．B． C. D．7.已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.8．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（）A． B． C． D．9. 已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面为( )A. B. C. D.10．等比数列中，，则数列的前9项和等于（）A．6 B．9 C．12 D．1611.如图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是 ( )A． B． C． D．12．在实数集中定义一种运算“”，对任意，为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意，；（2）对任意，(0)(0)*=+*+*．a b ab a b关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为；②函数为偶函数；③函数的单调递增区间为．其中所有正确说法的个数为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题卡相应的位置）13．我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是________.14．设向量，，且，则________.15. . 已知则展开式中的常数项为 .16．设满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤--≤-+02301206y x y x y x ，若的最大值为，最小值为，则实数的取值范围为 ___________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分12分）（本小题满分12分17．（本小题满分12分）已知向量，向量，函数.(Ⅰ)求f(x)单调递减区间；(Ⅱ)已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，，c=4，且恰是f(x)在上的最大值，求A,b ，和的面积S.18．（本小题满分12分）一所学校计划举办“国学”系列讲座。
2021年高三12月月考试题数学 文 试题 含答案
2021年高三12月月考试题数学 文 试题 含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.设，则是的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是（ ）A. B. C. D.3．给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）： ①“若a,b ”类比推出“若a,b ”；②“若a,b,c,d d b c a di c bi a R ==⇒+=+∈,,则复数”类比推出“若a,b,c,d 则”；③“若a,b ” 类比推出“若a,b ”；其中类比结论正确的个数是 （ ）A. 0B. 1C. 2D. 34．已知等比数列的前项和为，，则实数的值是A ．B ．C ．D ．5．已知非零向量、，满足，则函数是A. 既是奇函数又是偶函数B. 非奇非偶函数C. 偶函数D. 奇函数4.已知各项为正的等比数列中，与的等比数列中项为，则的最小值A.16B.8C.D.45.在平面直角坐标系中，直线与圆相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于A. B. C. D.16.已知命题；命题的极大值为6.则下面选项中真命题是A. B. C. D.7.设变量满足约束条件，则的最小值为A.-2B.-4C.-6D.-88.已知命题；命题的极大值为6.则下面选项中真命题是A. B. C. D.9.设变量满足约束条件，则的最小值为A.-2B.-4C.-6D.-810．若函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是A ．B ．或C ．D ．11．设是定义在上的奇函数，当时，，则A． B. Ｃ.１Ｄ.３12．已知函数，且，则A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13.已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为 .14.已知，则 .15.已知函数的图象由的图象向右平移个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则= .16.已知定义在R的奇函数满足，且时，，下面四种说法①；②函数在［-6，-2］上是增函数；③函数关于直线对称；④若，则关于的方程在［-8，8］上所有根之和为-8，其中正确的序号 .三、解答题：本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在中，已知，.（1）求的值；（2）若为的中点，求的长.18.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）若，求的值。
2021年高三上学期12月月考数学(文)试题 含答案
2021年高三上学期12月月考数学（文）试题含答案考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．若复数满足，则的共轭复数的虚部是（）A． B． C． D．2．设，，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．下列四种说法中，正确的个数有（）① 命题均有的否定是：使得；② “命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件；③ ，使是幂函数，且在上是单调递增；④ 不过原点（0，0）的直线方程都可以表示成；A．3个 B．2个 C．1个 D．0个4．如图是底面积为，体积为的正三棱锥的主视图（等腰三角形）和左视图，此正三棱锥的左视图的面积为（）A． B．3 C． D．5．设，其中实数，满足，若的最大值为，则的最小值为（）A． B． C． D．6．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函数图像的一个对称中心是（） A． B． C． D．7．若数列，，，…，是首项为1，公比为的等比数列，则等于（）A． B． C． D．8．数列满足，对任意的都有，则（）A． B． C． D．9．定义在R上的奇函数满足，当时，，则在区间内是（）A．减函数且 B．减函数且C．增函数且 D．增函数且10．若函数的最小值为，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．11．在中，分别为角的对边，若，则的形状为（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形12．给出以下命题，其中正确的命题的个数是（ ）① 存在两个不等实数，使得等式成立； ② 若数列是等差数列，且，则；③ 若是等比数列的前n 项和，则成等比数列；④ 若是等比数列的前n 项和，且(n n S Aq B A B =+∈*其中、是非零常数,n N )， 则；⑤ 已知的三个内角所对的边分别为，若， 则一定是锐角三角形；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置． 13．对某同学的6次物理测试成绩（满分100分）进行 统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学物理 成绩的以下说法：①中位数为84； ②众数为85； ③平均数为85； ④极差为12； 其中，正确说法的序号是____________； 14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是__________；15．的外接圆圆心为，半径为， ，则在方向上的投影为____________；16．已知正三角形的三个顶点都在半径为的 球面上，球心到平面的距离为，否是点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是_________；三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知向量,BBA=(sin C=且A、B、C分别为△ABC的三边,=⋅Acos),sinsin,2),(cosa、b、c所对的角．（1）求角C的大小；（2）若18CAAB⋅ACBC-成等差数列，求c边的长．A且),(sin,,sinsin=18.（本小题满分12分）甲乙两个学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲Array校：乙校：（1）计算x ，y 的值．（2）若规定考试成绩在内为优秀，请分别估计两个学校数学成绩的优秀率；（3）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异. 参考公式： 临界值表P （K≥k 0） 0.10 0.05 0.010 k 02.7063.8416.63519．（本小题满分12分）如图，已知棱柱的底面是菱形，且面ABCD ， 为棱的中点，为线段的中点． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积．20．（本小题满分12分）已知椭圆（）的离心率为，且短轴长为2． （1）求椭圆的方程；（2）若与两坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于两点，为坐标原点， 且，，求直线的方程． 21．（本小题满分12分）已知函数的图像在点处的切线为． （1）求函数的解析式； （2）当时，求证：；（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；甲校 乙校 总计 优秀 非优秀 总计请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲如图，在中，，以为直径的圆交于，过点作圆的切线交于，交圆于点．（1）证明：是的中点；（2）证明：．23.（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同；曲线的方程是，直线的参数方程为（为参数，），设,直线与曲线交于两点.（1）当时，求的长度；（2）求的取值范围．24．（本小题满分10分）选修4一5：不等式选讲已知函数，．（1）解关于的不等式（）；（2）若函数的图象恒在函数图象的上方，求的取值范围．哈尔滨市第六中学xx 届十二月月考高三文科数学参考答案一、选择题 ：二、填空题： 13. ①③ 14. 3018 15. 3 16.17.（本小题满分12分）解：（1）)sin(cos sin cos sin B A A B B A n m +=⋅+⋅=⋅对于C B A C C B A ABC sin )sin(0,,=+∴<<-=+∆ππ， 又，（2）由B A C B C A sin sin sin 2,sin ,sin ,sin +=得成等差比数列，由正弦定理得， 即由余弦弦定理，，18、（本小题满分12分）解:（Ⅰ）甲校抽取110×60人，乙校抽取110×=50人，故x ＝10，y ＝7， ………4分 （Ⅱ）估计甲校优秀率为，乙校优秀率为2050＝40%. ………8分(Ⅲ) k 2＝≈2.83>2.706又因为 1－0.10＝0.9，故有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异。
2021年高三上学期12月月考数学文试题含答案
2021年高三上学期12月月考数学文试题含答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1．设R ，，，则. . . .2． 过点作圆的切线，则切线方程为. .. 或 .或3．已知向量，若与垂直，则A ． B. C. 2 D. 44．“”是“直线与直线相互垂直”的.充分必要条件 .充分而不必要条件.必要而不充分条件 .既不充分也不必要条件5．曲线在处的切线方程为A ．B ．C ．D ．6．已知直线（A 、B 不全为0），两点，若11221122()()0,Ax By C Ax By C Ax By C Ax By C ++⋅++>++>++则.直线与直线不相交 .直线与线段的延长线相交.直线与线段的延长线相交 .直线与线段相交7．若直线与圆有公共点，则实数取值范围是A. B. C. D.8．对于函数下列命题中正确的个数有①过该函数图象上一点的切线的斜率为；②函数的最小值为；③该函数图象与轴有4个交点；④函数在上为减函数，在上也为减函数..1个 .2个 .3个 .4个二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．若直线过点且与直线平行，则直线的方程是 ；若直线过点且与直线垂直，则直线的方程是 .10． 曲线的长度是 .11．在中，若，的面积为，则角 .12．若数列的前n 项和为，且．则的通项公式为 .13．O 为原点，C 为圆的圆心，且圆上有一点满足则.14．在圆 内，过点作条弦，它们的长构成等差数列，若为过该点最短的弦，为过该点最长的弦，且公差则= ，值为 . 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）已知函数21cos )sin(3sin )(2+⋅+-==x x x x f y π （Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求的最大值及取得最大值时x 的取值集合；（Ⅲ）若，求的值.16. （本小题满分13分）已知以点为圆心的圆与直线：相切．过点 的动直线与圆相交于、两点．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）当时，求直线的方程．17．（本小题满分13分）等差数列中，（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若,求的通项公式；（Ⅲ）若数列满足,求的前n 项和.18．（本小题满分14分）已知函数.（Ⅰ）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.19.（本小题满分14分）已知椭圆的一个焦点是，且离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设经过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.20.（本小题满分13分）已知数列.如果数列满足，，其中，则称为的“衍生数列”.（Ⅰ）写出数列的“衍生数列”；（Ⅱ）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：；（Ⅲ）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，….依次将数列，，，…的首项取出，构成数列.证明：是等差数列.北京市八一中学xx届高三12月月考答题纸数学学科（分值150分）考试时间150分钟制卷人：刘新红审卷人：李新萍一.9．___ ；10．__ _______11．__ _12．__ _________ _ 13．______ __ ____ 14．____；_______三．解答题：请将答案写在规定的方框中，写出方框答案一律无效.xx 届12月月考答案一．选择B,C,C,B,D,C,A,C二．填空,，，, ，，三．15 (1) (2)增区间，；减区间16（1） （2）17（1）T= （2）最大值4，相应的值 18（1）BC= （2）19（1）1,3,7 （2）首项2，公比2 （3） 20（1） （2）()()()3300-,,0a a a ，，，减区间时，增区间∞+∞>()()()33-;,0,0,0a a a ，减区间时，增区间∞+∞<28265 6E69 湩 26841 68D9 棙25139 6233 戳-38534 9686 隆% i23269 5AE5 嫥34793 87E9 蟩Z K。
天津市天津一中2021届高三上学期零月月考数学文试题 Word版含解析
天津一中2022-2021学年高三数学（文科）零月考考试试题一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1.设i 为虚数单位，则51ii-+等于（）A.-2-3iB.-2+3iC.2-3i D2+3i 【学问点】复数的运算. L4【答案解析】C 解析：5(5)(1)46231(1)(1)2i i i iii i i----===-++-，故选C.【思路点拨】利用复数乘法进行分母实数化.【题文】2.设变量x,y满足约束条件：3123x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y=+的最小值为（）A.6B.7C.8D.23 【学问点】线性规划. E5【答案解析】B 解析：画出可行域，平移直线23y x=-，可得最优解为两直线x+y=3与2x-y=3的交点A(2,1),所以目标函数23z x y=+的最小值为22317⨯+⨯=，故选B.【思路点拨】画出可行域，利用平移法确定最优解，进而求得目标函数的最小值.【题文】3.函数sin22y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，x R∈是（）A.最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D. 最小正周期为2π的偶函数【学问点】函数sin()y A xωϕ=+的图像与性质. C4【答案解析】C 解析：由于sin22y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭=cos2x ，此函数是最小正周期为π的偶函数，所以选C. 【思路点拨】利用诱导公式化简已知函数，从而得结论.【题文】4.阅读右面的程序框图，则输出的S=（）A.14B.30C.20D.55【学问点】程序框图. L1【答案解析】B 解析：依据程序框图得：循环过程依次为①S=1,i=2,②S=1+4=5,i=3,③S=1+4+9=14,i=4, ④S=1+4+9+16=30,i=5,此时满足i>4了,所以输出S=30，故选B.【思路点拨】依据程序框图得每次循环的结果，从而确定输出结果.【题文】5.已知()f x是定义在(),-∞+∞上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()()0.6412log7,log3,0.2a fb fc f⎛⎫===⎪⎝⎭，则,,a b c的大小关系是（）A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.a<b<c【学问点】函数的奇偶性与单调性. B3 B4【答案解析】C 解析：由()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数得：()122log 3log 3b f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，又()f x 在(],0-∞上是增函数，所以()f x 在[)0,+∞上是减函数，由于42122log 7log 7,log 3log 3,==-且0.622log 3log 710.2>>>>0，所以b<a<c ，故选C.【思路点拨】由奇偶性得()122log 3log 3b f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，再由()f x 在(],0-∞上是增函数得()f x 在[)0,+∞上是减函数，由于42122log 7log 7,log 3log 3,==-且0.622log 3log 710.2>>>>0，所以b<a<c.【题文】6.设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率e =（ ） A.5 B.5 C.52 D. 54【学问点】双曲线的几何性质. H6【答案解析】C 解析：可设双曲线方程为()2222104x y m m m -=>，则a=2m, 2245c m m m =+=,所以5522c m e a m ==，故选C. 【思路点拨】首先设出已知焦点位置及渐近线方程的双曲线的方程，由此得双曲线中的参数a,c 的值，从而求得双曲线的离心率.【题文】7.函数()244,143,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩的图像和函数()2log g x x =的图像的交点个数是（ ）A.1B.2C.3D.4 【学问点】函数及其表示. B1 【答案解析】C 解析：画出两函数图像得交点个数3，故选C.【思路点拨】在同一坐标系下画出两函数图像得交点个数.【题文】8.定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)()[)2 1.5,0,10.5,x 1,2x x x x f x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若[)4,2x ∈--时，()142t f x t ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A. [)()2,00,1- B. [)[)2,01,-+∞ C. []2,1- D. (](],20,1-∞-【学问点】函数的性质及应用. B1 B3 【答案解析】D 解析：(2)2(),f(x 4)2(2)4()f x f x f x f x +=∴+=+=∴当[4,2)x ∈--时，4[0,2)x +∈，24 1.5(4)(4),4[0,1)(4)4()(0,5),4[1,2)x x x x f x f x x +-⎧+-++∈⎪∴+==⎨-+∈⎪⎩ 即()22.51712,[4,3)4()1(0.5),[3,2)4x x x x f x x +⎧++∈--⎪⎪=⎨⎪-∈--⎪⎩，可得此时()f x 的最小值为1( 2.5)4f -=-.若[)4,2x ∈--时，()142t f x t ≥-恒成立，则min 11()( 2.5)424t f x f t -≤=-=-， 解得：t ∈(](],20,1-∞-，故选D.【思路点拨】依据条件，只要求出函数f （x ）在x ∈[-4，-2）上的最小值即可得到结论．二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）【题文】9.如左下图所示，是某校高三班级文科60名同学参与谋科考试所得成果（分数均为整数）整理后得出的频率分布直方图，依据该图这次考试文科60分以上的同学的人数为 .【学问点】频率分布直方图中的数据读取. I2【答案解析】45 解析：这次考试文科60分以上的同学的人数 =（0.015+0.030+0.025+0.005106045⨯⨯=.【思路点拨】依据频率分布直方图得所求=（0.015+0.030+0.025+0.005106045⨯⨯=. 【题文】10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .【学问点】三视图的意义. G2【答案解析】108+3π 解析：该几何体的体积=2266 1.5131083ππ⨯⨯⨯+⨯⨯=+.【思路点拨】由三视图可知该几何体是由两个底面边长是6，高是1.5的正四棱柱，和一个底面半径是1，高是3的圆柱组成的几何体.【题文】11.在ABC ∆中，AB=2，AC=3，D 是边BC 的中点，则AD BC ⋅= . 【学问点】平面对量的加减运算及数量积. F1 F3【答案解析】52 解析：()1,2AD AC AB BC AC AB =+=-, ()()()221122AD BC AC AB AC AB AC AB ∴⋅=+⋅-=-()22153222=-=.【思路点拨】由向量加法、减法的三角形法则得：,AD BC 用,AC AB 表示的表达式，然后再用向量数量积公式计算.【题文】12.已知圆C 的圆心与抛物线24y x =的焦点关于直线y=x 对称，直线4x-3y-2=0与圆C 相交于A,B 两点，且6AB =，则圆C 的标准方程为: . 【学问点】抛物线的性质；直线与圆的有关学问. H4 H7【答案解析】()22110x y +-= 解析：由已知条件得圆心C(0，1),C 到直线4x-3y-2=0的距离d=()223243--=+-1，所以圆的半径为221310+=，所以圆C 的标准方程为:()22110x y +-=.【思路点拨】依据已知条件求得圆心坐标及半径.【题文】13.如图，PC 切圆O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E. 已知圆O 的半径为3，PA=2，则CD= .【学问点】几何证明选讲. N1 【答案解析】245解析：连接OC 则90OCP ∠=,在OCP ∆中OC=3，OP=5从而PC=4由等面积法得：341255OC CP OC CP PO CE CE PO ⋅⨯⋅=⋅⇒===,所以CD=245. 【思路点拨】连接OC 则90OCP ∠=，在直角三角形OCP 中求得三边长后，再求斜边上的高即可. 【题文】14.函数()10,1x y a a a -=>≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny-1=0(mn>0)上，则11m n+的最小值为 . 【学问点】指数函数；基本不等式. B10 E6【答案解析】4 解析：由已知条件得A(1,1), 代入mx+ny-1=0得：m+n=1，由于m,n>0所以()111124m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当m=n=12时等号成立. 【思路点拨】由函数()10,1x y a a a -=>≠的图像恒过定点A 得A(1,1)，代入mx+ny-1=0得：m+n=1，由于m,n>0所以()111124m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当m=n=12时等号成立. 二、解答题：（本大题共6小题，共80分。
2021-2022年高三12月月考(文)数学试题 含答案
2021年高三12月月考（文）数学试题 含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，若复数满足，则为（ ）A ．B ．C ．D ．2.已知集合{}{}{}2|50,|6,|2M x x x N x p x MN x x q =-<=<<=<<，则等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．93.函数的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．4.在等比数列中，公比15241,17,16q a a a a <+==，则数列的前10项和等于（ ）A ．511B ．xxC ．xxD ．xx5．若向量、满足则向量与的夹角等于（ ）A ．B ．C ．D ．7．执行如下图所示的程序框图，输出的值 为（ ）A ．0B ．-1C ．D ．8．如上图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（）A． B． C． D．9．已知点为抛物线上的动点（不含原点），过点的切线交于轴于点，设抛物线的焦点为，则一定是（）A．钝角 B．锐角 C．直角 D．上述三种情况都可能10．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（）A．-3 B． C． D．311．已知曲线与轴的交点为，分别由两点向直线作垂线，垂足为，沿直线将平面折起，使平面平面，是四面体的外接球的表面积为（）A． B． C． D．12．已知函数231()1()32mx m n xf x x+++=+的两个极值点分别为，且，点表示的平面区域为，若函数的图像上存在区域内的点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13.在边长为2的正方形内部任取一点，则满足的概率为________．14.把函数的图象向右平移个单位，得到的图象，则函数的解析式是________．15.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则________．16.已知数列的前n 项和为，令，记数列的前n 项为，则________．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，，，角的平分线交于点，设；（1）求和；（2）若，求的长．18.央视记者柴静的《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数与雾霾天数进行统计分析，得出下表数据． 4 5 7 82 3 5 6（1）请画出上表数据的散点图；（画在答题卷上的坐标纸上）（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归直线方程；（3）试根据（2）求出线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数．（相关公式1221ˆˆˆ,n i ii n i i x y nx y b ay bx xnx =-=-==--∑∑） 19.（本小题满分12分）如图，四边形为矩形，平面，分别是的中点，，（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．20.（本题满分12分）已知椭圆22 22:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为，左、右焦点为，点是椭圆上任意一点，且的面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）过作垂直于轴的直线交椭圆于两点（点在第一象限），是椭圆上位于直线两侧的动点，若，求证：直线的斜率为定值．21.（本小题满分12分）已知函数，其中为常数，（1）当时，求的极值；（2）若是区间内的单调递增函数，求实数的取值范围；（3）过坐标原点可以作几条直线与曲线相切？请说明理由．22.（本小题满分10分）如图，是圆的一条切线，切点为，直线都是圆的割线，已知，求证：．23.在平面直角坐标系中，圆的参数方程为2cos2sin2x ry rθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（为参数，），以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若圆上的点到直线的最大距离为3，求的值．24.（本小题满分10分）已知函数，且满足的解集不是空集，（1）求实数的取值范围；（2）求的最小值．参考答案一、填空题1—5 DBBCD 6---10 AACCB 11---12 BC二、填空题：13． 14． 15．4 16． -xx三、解答题：17．解：（1）254sin sin 22sin cos5BAC ααα∠====， 32472sin sin()sin cos cos sin 252510C B A B A B A =+=+=+=， （2）由28cos 282824BA BC AB BC AB BC π=⇒=⇒=且sin 104sin 5AB C BC A === 由余弦定理得：2222cos 49325625AC AB BC AB BC B =+-=+-=， 所以18．解：（1）散点图如图所示：（2）4142537586106ii i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，，，42222214578154i i x ==+++=∑，则12221ˆˆ4106464ˆ1154464ni i i n ii x y xy b x x =-=--⨯⨯===-⨯-∑∑, ，故线性回归方程为，（3）由线性回归方程可以预测，燃烧烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7天．19．解：（1）∵，为的中点，∴， ∵平面，平面，∴ ∵，是平面内的两条相交直线， ∴，∵，∴，∵，∴∵是平面内的两条相交直线∴平面（2）111162233222F AED E AFD AFD DC V V S EF --∆==== 20．解：（1）由题①，的最大面积为即是②由方程组2221232,3,1c a bc a b c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⇒===⎨⎪=+⎪⎪⎩，所以椭圆方程为：（2），设直线方程为：，代入椭圆得：222(43)84120k x kmx m +++-=，所以121222840,,4343km m x x x x k k -∆>+==++，又由题是椭圆上位于直线两侧的动点， 若，等价于：化简得：，所以当时上式恒成立．所以直线的斜率为定值，且等于．另解：可以设直线的斜率求的坐标，再求斜率．21．解：（1）当时，2121(21)(1)()21(0)x x x x f x x x x x x----'=--==> 所以在区间内单调，在区间内单调递增，于是有极小值，无极大值．（2）易知在区间内单调递增，所以由题意可得在内恒成立，即在内恒成立，所以，因为函数在时单减，所以所以，的数取值范围是．（3）设切点为，则切线方程为：21(2)()ln y t a x t t at t t =------， 因为过原点，所在210(2)()ln t a t t at t t =------，化简得 设则，所以在内单调递增，又，故方程有唯一实根，所以满足条件的切线只有一条．22．证明：∵为切线，为割线，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴．23．解：圆的参数方程为2cos 22sin 2x r y r θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（为参数，），消去参数得： 22222(()(0)22x y r r +++=>，所以圆心，半径， 直线的极坐标方程为，化为普通方程为， 圆心到直线的距离为2222222d ---==，∵圆上的点到直线的最大距离为3，即，∴ ．24．（1）要的解集不是空集，则，2102108x x x x -+-≥--+=，∴（2）时，，3224432222a a a a a a++≥=当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3．。
2021年高三12月月考数学(文)试卷 含答案
2021年高三12月月考数学（文）试卷含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集，集合，，则（）A．B．C．D．2．已知是第三象限角，，则等于 ( )A．B．C．－D．３．下列各组中的两个向量共线的是（）A． B．C． D．４. 已知等差数列的前11项的和为33，则等于（）A．6 B．9 C．12 D．18５．已知的内角A满足，则（）A． B． C． D．６．若平面向量满足，，，则是（）A． B． C． D．７．若实数，满足，则目标函数的取值范围是（）A． B． C． D．８．数列{a n}中，满足，且是函数f（x）=的极值点，则的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4９．已知，若不等式恒成立，则的最大值等于（）A．10 B．9 C．8 D．710.数列的通项公式是，则该数列的前100项之和为（）A． B． C．200 D．15011.函数，若对于区间[]上的任意，都有，则实数t的最小值是（）A． B． C． D． 012.若函数在区间[－3，2]上单调递增，则实数的取值范围为（）A． B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，则=_________．14．三角形中，边AB=4,G为三角形的外心，那么=．15．若函数在上有最小值，则实数的取值范围为_________.16．下列命题中:①中，②数列的前项和，则数列是等差数列． ③锐角三角形的三边长分别为3，7，，则的取值范围是． ④若，则是等比数列真命题的序号是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程） 17．（本题满分10分） 已知向量(3,cos 4),(sin 4,1),(0)a x b x ωωω==>，令且的周期为．（1）求函数的解析式；（2）若时，求实数的取值范围．18.（本题满分12分） 已知等比数列满足，数列满足． （Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）令，求数列的前n 项和；19.（本题满分12分） 设函数，其中向量，． （1）求函数的最小正周期与单调递增区间； （2）在中，、、分别是角、、的对边，已知，，若外接圆半径，求的面积． 20．（本题满分12分）已知等差数列的前项和为，已知． （Ⅰ）求通项；（Ⅱ）记数列的前项和为，数列的前项和为，求证：． 21 ．（本题满分12分）已知函数（1）判断是否为定义域上的单调函数，并说明理由 （2）设恒成立，求的最小整数值 22. （本题满分12分）已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数有两个零点，求实数的取值范围．数学（文）高三月考卷答案1．A 【解析】因为，所以，所以． ２．Ｃ【解析】因为， ∴， ∴sin =－．３.D 【解析】若两向量满足则两向量共线，D 中所以两向量共线。
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2021届天津市静海县第一中学高三12月月考数学（文）试题考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题（102分）和第Ⅱ卷提高题（48分）两部分，共150分，考试时间为120分钟。
2. 试卷书写要求规范工整，卷面整洁清楚，如不符合要求，酌情减3-5分，并计入总分。
第Ⅰ卷 基础题（共102分）一、选择题: 每小题5分，共30分.1. 设全集U =R ，集合{}(){}210,20A x x B x x x =-<=-≥，则UA B =（ ）． A.{}10x x -<< B.{}01x x << C.{}02x x << D.{}02x x <≤2. 设变量,x y 满足约束条件10,210,1,x y x y x -+⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≤≤则目标函数2z y x =-的最大值为（ ）．A. 2B. 1-C. 3-D. 33. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“()f x 为[]0 1，上的增函数是“()f x 为[]3 4，上的减函数”的（ ）．A.既不充分也不必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.充要条件 4. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的K 和S 的值分别为（ ）．A ．49,9B ．511,11C ．613,13D ．715,155. 已知{}n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，则3a 的值为（ ）． A. 16 B. 16- C. 12 D. 12-6. 已知,a b 为单位向量，且2+=a b a b ，则a 在+a b 上的投影为（ ）．B 1俯视图侧视图正视图1111212A.13B.二、填空题：每小题5分，共20分.7．设i 为虚数单位，若()74,2ia bi ab i+=+∈-R ，则a b += ． 8. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为__________．9.设公比为() 0q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22443232S a S a =+=+，，则q =____________． 10. 已知函数()()3,f x ax bx a b =+∈R在x =处取得极值，则()2f = ．三、 解答题（本大题共4题，共52分）11. 已知函数()()2πsin 22cos 16f x x x x ⎛⎫=-+-∈ ⎪⎝⎭．R（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）讨论()f x 在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的单调性．12. 某家具厂有方木料390m ，五合板2600m ，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料30.1m 、五合板22m ；生产每个书橱需要方木料30.2m 、五合板21m .出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，怎样安排生产可使所得利润最大？最大利润为多少？13. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，,1,BCAD AB CD ==12AA AD BC ===,E F 为1,BC A B 的中点． (Ⅰ)证明：EF平面11A ACC ；(Ⅱ)证明：CD ⊥平面11A ABB ； （Ⅲ）求二面角11B A D A --的正切值．14.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且232,n n S a n n *=-∈N . (Ⅰ)求证：数列{}1n a +是等比数列； (Ⅱ)设n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .第Ⅱ卷 提高题（共48分）一、选择题: (每小题5分，共10分)15．已知P 是ABC △内的一点（不含边界），且23,30AB AC BAC ⋅=∠=︒，若,,PAB PBC PCA △△△的面积分别是 ,,x y z ，记()149,,F x y z x y z=++,则(),,F x y z 的最小值为（ ）． A. 26 B. 32 C. 36 D. 4816. 设定义域为R 的函数()lg 1,10,1x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，则关于x 的方程()()20f x bf x c ++=有7个不同实数解的充要条件是（ ）A ．0b <且0c >B ．0b >且0c <C ．0b <且0c =D ．0b ≥且0c = 二、填空题：(每小题5分，共10分)17．如图，已知45CAB ∠=︒，15ACB ∠=︒，AC =，CD =BD = ．A18.()()()22211,2,441ln 1,2x x x f x g x x x x x ⎧+⎛⎫∈-∞- ⎪⎪⎪⎝⎭==--⎨⎡⎫⎪+∈-+∞⎪⎢⎪⎣⎭⎩，对a ∀∈R ，存在b 使得()()0f a g b +=，则b 的取值范围为__________．三、解答题：(本大题共2小题，共28分)19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD 的顶点在椭圆C 上，且对角线,AC BD 均过坐标原点O ，若14AC BD k k ⋅=-（i ）求OA OB ⋅的范围；（ii ）求四边形ABCD 的面积．20. 已知函数()()ln f x x a x a =-∈R ．（Ⅰ）当2a =时，求函数()y f x =的图象在()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）设函数()()1ag x f x x +=+，求函数()y g x =的单调区间； （Ⅲ）设函数()1ah x x+=-，若[]01,e x ∃∈，使得()()00f x h x ≤成立，求实数a 的取值范围．2021届天津市静海县第一中学高三12月月考数学（文）试题第Ⅰ卷 基础题（共102分）一、选择题（每题5分，共30分）二、填空题（每题5分，共20分）7. 5 8. 3 9.3210. 10 三、 解答题（本大题共4题，共52分）11. （Ⅰ）()2π1sin 22cos 12cos 2cos 262f x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭1π2cos 2sin 226x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 2ππ2T ==，令()ππ2π62x k k +=+∈Z ，解得()ππ62kx k =+∈Z 所以，函数()f x 的最小正周期为π，对称轴方程为()ππ62kx k =+∈Z （Ⅱ）令π26t x =+，则函数sin y t =的单调递增区间是()ππ2π,2π22k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 由πππ2π22π262k x k -+++≤≤， 得ππππ36k x k -++≤≤()k ∈Z 设ππππ,,ππ,4436A B x k x k k ⎡⎤⎧⎫=-=-++∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭≤≤Z ，易知ππ,46AB ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ ，所以当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在区间ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减。
12. （Ⅰ）设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元．则⎩⎨⎧0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎨⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0，z ＝80x ＋120y ，可行域如图．由图可知：当直线y ＝－23x ＋z 120经过可行域上的点M 时，截距z120最大，即z 最大，解方程组29002600x y x y +=⎧⎨+=⎩得M 的坐标为(100,400)．∴z max ＝80x ＋120y ＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大，最大利润为56 000元.13. （Ⅰ）连结1AC,E F 为1,A B BC 中点1EFAC ∴11111EF A ACC AC A ACC ⊄⊂面，面 11FE A ACC ∴面（Ⅱ）取AD 中点为G ，联结BG ，1,1,BG CD AB AG ====BG AB ∴⊥又BGCD CD AB ∴⊥，又1A A CD ⊥∴ CD ⊥平面11A ABB（Ⅲ）过C 作AD 的垂线，垂足为H ，过H 作11A D 的垂线，垂足为Q ，连结CQ ，可知CQH ∠即为所求。
1tan 4CQH ∠=14.（Ⅰ）1n =时，11232S a =-，解得12a =2n ≥时，232n n S a n =-()112321n n S a n --=-- 两式相减并整理得，132n n a a -=+ ，所以，1131n n a a -+=+所以，{}1n a +是等比数列，首项113a +=，公比3q = （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，31n n a =-，故3n n b n n =⋅-()()()()231312323333n n T n n =⨯-+⨯-+⨯-++⨯-()()23323333123n n n =+⨯+⨯++⨯-++++设23323333n n R n =+⨯+⨯++⨯ ，利用错位相减可得1321344n n n R +-=+⨯ 所以，()112133442n n n n n T ++-=⨯+-第Ⅱ卷 提高题（共48分）一、选择题（本大题共2题，共10分）二、填空题（本大题共2题，共10分）3. 34. []1,5- 三、解答题（本大题共2题，共28分）5．（Ⅰ）由222e a b c ==+，可得2,a b c == ①由已知得，24ab = ② ，由①和②解得，2,1a b ==所以椭圆22:14x C y +=（Ⅱ）（1）当直线AB 的斜率不存在时，32OA OB ⋅=； （2）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+， 设()()1122,,,A x y B x y ，联立2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()222418440k x kmx m +++-= ()()()()2222284414416410km k m k m ∆=-+-=-+>12221228414441km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩14OA OB AC BD k k k k ⋅=⋅=- 121214y y x x ∴=-且120x x ≠ ()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++22222224481444141441m km m k km m k k k ---=++=-⋅+++ 整理上式，可得22241m k =+1212122332331,424122OA OB x x y y x x k ⎛⎫⎡⎫⋅=+==-∈- ⎪⎪⎢+⎝⎭⎣⎭又120x x ≠，故0OA OB ⋅≠ 综上， 33,00,22OA OB ⎡⎫⎛⎤⋅∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦（Ⅲ）由椭圆的对称性可知，4AOB ABCD S S =△四边形设原点到直线AB 的距离为d ，则12AOBS AB d =⋅=-△1== 所以，44AOB ABCD S S ==△四边形6．函数定义域为()()0,,'1af x x+∞=-（Ⅰ）当2a =时，()()()2ln 11,1,1f x x x f =-∴=切点为,()()()2'1,'1111,20f x k f y x x y x=-==-∴-=--+-=切线方程为：即：（Ⅱ）()()11ln a ag x f x x a x x x++=+=-+ ()()()()22221111'1x x a x ax a a a g x x x x x+⎡-+⎤--++⎣⎦∴=--== ①当1a ≤-时，()()10,'0a g x g x +≤≥∴的单调递增区间为()0,+∞ ②当1a >-时，令()'0,10g x x a ==+>解得∴ ()g x 的单调递减区间为()0,1a +，()1,a ++∞单调递增区间为（Ⅲ）[]01,e x ∃∈，使得()()00f x h x ≤成立[]01,e x ∴∃∈，使得()()000f x h x -≤成立，[]01,e x ∃∈即，使得()()0min 0,0g x g x ≤∴≤① 当11,0a a +≤≤即时，由（Ⅱ）可知：函数()[]1,g x e 在上单调递增()()min 1202g x g a a ∴==+≤∴≤-② 当11e,0e 1a a <+<<<-即时()()()()()()()min min 11ln 112ln 111e 0ln 110ln 12,g x g a a a a a a a a a a a a g x =+=+-++=+-+<+<∴<+<∴<+<∴>舍去③ 当1e,e 1a a +≥≥-即时，由（Ⅱ）可知函数()[]1,g x e 在上单调递减()()222min1e 1e 1e 1e e 0e 1e e 1e 1e 1a g x g a a a ++++∴==-+≤∴≥>-∴≥---综上所述， a 的取值范围是2e 12e 1a a a ⎧⎫+≤-≥⎨⎬-⎩⎭或．。