一元二次方程华师大版
华东师大版数学九年级上册22章一元二次方程复习课件(第一课时共30张)
及时反馈
1、下列方程是不是一元二次方程，若不是 一元二次方程，请说明理由：
(1) (x-1)2=4 (2) x2-2x=8 (3) x2=y+1
(4) x3-2x2=1 (5) ax2+bx+c=0 (6) 32x+x=1 (7) x2-3x+4=x2-7 (8) 3x2 1 2 0
华东师大版九年级上册
第22章 一元二次方程 章末复习 第一课时
学而不疑则怠，疑而不探则空
全章知识结构
一元二次方程 方程两边都是整式
的定义
只含有一个未知数
一 ax²+bx+c=0(a0) 未知数的最高次数是2
元
直接开平方法 (x a)2 b b 0
二
次 一元二次方程
方
的解法
程
因式分解法 (x a)(x b) 0
⑤(x-3)2=2(3-x) ⑥5(m+2)2=8 ⑦3y2-y-1=0
⑧2x2+4x-1=0 ⑨(x-2)2-16=0 ⑩x2-6x-9991=0
合适运用直接开平方法的
；
合适运用因式分解法的
；
合适运用公式法的
；
合适运用配方法的
.
3、将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加
一条竖线记成 a
c
b ，定义 a
一元二次方程，则( C )
A、m=±2
B、m=2
C、m=-2
D、m≠ ±2
4、若 m 2x2 m 2x 2 0是关于x的一元
二次方程，则m 。
5、若方程 (m 2)xm2 2 (m 1)x 2 0 是 关于x的一元二次方程，则m的值为 。
华师大版数学九年级上第2讲 一元二次方程及解法
第2讲 一元二次方程解法复习知识要点1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。
2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。
（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；③配方，即方程两边都加上 的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。
如果n ＜0，则原方程 。
（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于 ，得到两个 方程；④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。
3.一元二次方程的根的判别式 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根,即----------==2,1x x（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有两个 的实数根，即-----==21x x ,（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。
4. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x ，则12x x += ，12x x =提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。
经典考题：例1、若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______变式1、已知关于x 的方程x 2-3x+2k=0的一个根是1，则k=变式2、一元二次方程230x mx ++=的一个根为1-，则另一个根为 ．例2、一元二次方程x （x －2）=2－x 的根是（ ）A ．－1B ．2C ．1和2D ．－1和2变式1、一元二次方程x 2=16的解是 ．变式2、方程240x -=的根是（ ）A ．2x =B ．2x =-C ．1222x x ==-，D ．4x = 例3、已知关于x 的一元二次方程（a ﹣l ）x 2﹣2x+l ＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A 、a ＜2B 、a ＞2C 、a ＜2且a≠lD 、a ＜﹣2变式1、若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是(A)1k >- (B) 1k >-且0k ≠ (c)1k < (D) 1k <且0k ≠例4、若12x x ，是一元二次方程2560x x -+=的两个根，则12x x +的值是（ ）A ．1B ．5C ．5-D ．6变式1、已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12x x ，，且2212x x +=24，则k 的值是（ ）A ．8B ．7-C ．6D ．5 变式2、若方程2310x x --=的两根为1x 、2x ，则1211x x +的值为( ) A ．3 B ．－3C ．13D ．13- 例5、用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=变式1、用配方法解方程23610x x -+=，则方程可变形为（ ）A ．21(3)3x -=B ．213(1)3x -=C ．2(31)1x -=D ．22(1)3x -= 变式2、用配方法解一元二次方程542=-x x 的过程中，配方正确的是（ ）A ．（1)22=+xB ．1)2(2=-xC ．9)2(2=+xD ．9)2(2=-x例6、解方程：（1）0)3(2)3(2=-+-x x x （2）2(3)4(3)0x x x -+-=．（3）2420x x ++=． （4） 2230x x --=（5）2310x x --=． （6）2220x x --=（7）x 2﹣2x ﹣1=0 （8）x 2﹣7=6x（9）（2x +1）2=（2﹣3x ）2 （10）（x ﹣1）（x +2）=70．（11）（x ﹣1）2=4（x +1）2 （12） 3x （x ﹣2）=2（2﹣x ）（13）x （x +4）=621 （14）（x ﹣5）2﹣32=0课堂练习题一．选择题（共10小题）1．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞2 C．a＜﹣2 D．a＜2且a≠12．若一个三角形两边的长分别是3和7，且第三边的长恰好是方程x2﹣8x+12=0的一个实根，则这个三角形的周长为（）A．12 B．15 C．16 D．12或153．若关于y的一元二次方程ky2﹣4y﹣3=3y+4有实根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣B．k≥﹣且k≠0 C．k≤﹣D．k＞﹣且k≠04．已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则x12+x22的最大值是（）A．19 B．18 C．15 D．135．已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则b a的值是（）A．B．﹣C．4 D．﹣16．若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0没有实数根，则一次函数y=（k﹣1）x+3的图象经过（）A．第二、三、四象限 B．第一、二、三象限C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限7．下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（）A．若x2=4，则x=2 B．若x2+2x+k=0有一根为2，则k=﹣8C．方程x（2x﹣1）=2x﹣1的解为x=1 D．若分式的值为零，则x=1，28．若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（）象限．A．四B．三C．二D．一9．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=110．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为（）A．9 B．10 C．9或10 D．8或10二．填空题（共8小题）11．如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是．12．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．13．已知x=1是关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为．14．关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有两不等实根，则k的取值范围是．15．设m、n是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个根，则m2+4m+n=．16．设m、n是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个根，则m+n=，m2+5m+2n=．17．如果把一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根各加上1作为一个新一元二次方程的两根，那么这个新一元二次方程是．18．若m是方程x2+x﹣4=0的根，则代数式m3+5m2﹣5的值是．三．解答题（共10小题）19．已知关于x的方程x2+2（a﹣1）x+a2﹣7a﹣4=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；（2）若方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22=32，求a的值．20．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2=0（1）求证：该方程有两个不等的实根；（2）若该方程的两实根x1、x2满足x1+2x2=9，求m的值．22．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1•x2，求k的值．23．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根分别为x1、x2，求x+x的最小值．24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+2=2（1﹣x）有两个实数根x1、x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程的两实数根x1、x2满足|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．25．关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣1=0的两根x1、x2满足（2x1+x2）（x1+2x2）=6，求m的值．26．已知x1、x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a的取值范围；（2）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．27．已知二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m+=0的两个实数根为α和β，（1）求m的取值范围；（2）若|α|+|β|=2，求m的值．28．已知关于x的一元二次方程（x﹣k）2﹣2x+2k=0有两个实数根x1、x2．（1）求实数k的取值范围；（2）当实数k为何值时，代数式x12+x22﹣x1•x2+1取得最小值，并求出该最小值．。
华东师大版九年级数学上册《一元二次方程》评课稿
华东师大版九年级数学上册《一元二次方程》评课稿1. 引言《一元二次方程》是华东师大版九年级数学上册的一章内容。
本评课稿旨在对该章进行全面的评价，从课程设计、教学方法、教材内容、师生互动等多个方面进行细致分析，以期为改进教学提供参考。
2. 课程设计《一元二次方程》的课程设计合理、紧凑。
它以引入、理论讲解、例题演练和习题训练四个环节组成。
整个课程设计贯穿了数学的思维逻辑，帮助学生建立起从问题出发，提出假设，利用数学方法解决问题的思维方式。
2.1 引入环节课程以生动的小故事作为引子，引发学生对一元二次方程的兴趣与思考，激发了学生的学习动力。
同时，引入环节还通过提问和讨论的方式，让学生主动参与，积极思考。
2.2 理论讲解在理论讲解环节，教师系统地介绍了一元二次方程的定义、表达形式以及解的求法。
教师通过板书和举例等形式，使得抽象的数学概念变得具象可感。
同时，教师还提供了较多的实际应用案例，帮助学生将数学知识与实际问题联系起来。
2.3 例题演练通过例题演练环节，学生可以通过跟随教师一起解题，理解和掌握解题方法。
教师在解题过程中重点讲解解题思路和常见解题技巧，使学生能够快速掌握解题方法，并能独立解决类似问题。
2.4 习题训练习题训练环节是学生巩固知识、提高技能的关键环节。
习题训练环节提供了大量的练习题目，这些题目既包括基础训练题，又包括应用题。
习题的难度逐渐增加，有助于学生逐步提高解题能力和应用能力。
3. 教学方法针对《一元二次方程》这一知识点的教学方法使用了多种多样的形式，全面提高学生的参与度和主动性。
3.1 教师讲解与学生互动教师在理论讲解环节进行系统的教学，同时也积极鼓励学生提问，以检查他们的理解情况。
教师与学生的互动，使得教学过程充满活力。
3.2 小组合作学习在例题演练环节，教师将学生分组，让学生互相协作，共同解决问题。
这样的小组合作学习有助于学生间相互帮助、互相借鉴和共同进步。
3.3 互动探究式学习为培养学生的自主学习能力和解决问题的能力，课程设计中融入了互动探究式学习环节。
一元二次方程的解法--配方法PPT课件(华师大版)
26 2 2
综合应用
例题3. 用配方法解决下列问题 1. 证明:代数式-2y2+2y-1的值不大于
1 2
2. 证明:代数式8x2-12x+ 7的值恒大于0.
课堂练习
1.方程x2+6x-5=0的左边配成完全平方后所得方 程为（ A ）． （A）(x+3)2=14 （B） (x-3)2=14 （C） (x+6)2=14 （D）以上答案都不对 2.用配方法解下列方程，配方有错的是（ C ） （A）x2-2x-99=0 化为 (x-1)2=100 （B） 2x2-3x-2=0 化为 (x- 3/4 )2=25/16 （C）x2+8x+9=0 化为 (x+4)2=25 （D） 3x2-4x=2 化为(x-2/3)2=10/9
例题2. 用配方法解下列方程
2x2+8x-5=0
解： x2 4x 5
2
x2 4x 4 5 4
2
x 22 13
2 x2
26
2
练习2. 用配方法解下 列方程
1. 5x2+2x-5=0 2. 3y2-y-2=0 3. 3y2-2y-1=0 4. 2x2-x-1=0
x1
26 2 2
x2
x 2 6x 9 7 9 两边都加上一次项系数一半的平方
x 32 16 用直接开
x 3 4 平方法解 x1 1 x2 7 方程
用配方法解一元二次方程的步骤
1、 常数项 移到方程右边. 2、将方程左边配成一个 完全平方 式。 (两边都加上 一次项系数一半的平方 ) 3、用 直接开平方法 解出原方程的解。
课堂练习
3.若实数x、y满足(x+y+2)(x+y-1)=0，
华东师大版数学九年级上册2一元二次方程课件
x2＋10x－900=0.
（1）
2．问题二
学校图书馆去年年底有图书5万册，估计到明
年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
分析：设这两年的年平均增长率为x，去年年底的图
书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；
同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，
即5（1＋x）(1＋x)＝5(1＋x)2万册.
ax2 2 x 5x 2 1是一元二次方程？
课堂小结
1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2
的整式方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般情势为ax2＋bx＋c＝0(a≠0），
一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，
这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。
3、在实际问题转化为数学模型（ 一元二次方程 ）
2.什么叫做一元一次方程？
只含有一个未知数，并且未知数的次数为“1”
的整式方程，叫做一元一次方程。
1．问题一
创设情境
绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，
开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且
长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
分析：设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程
x(x＋10)＝900
解：化为一般形式为： 2 + − 14 = 0
二次项系数为：1，一次项系数为：1，常数项为：-14
2
(
x
3
)(
3
x
4
)
(
x
2
)
3.
解：化为一般形式为：2 2 + − 16 = 0
二次项系数为：2，一次项系数为：1，常数项为：-16
华师大版九年级数学上册《一元二次方程》课件(14张PPT)
You made my day!
我们，还在路上……
20．根据问题，列出关于x的方程：在圣诞节到来之际，九(3)班所 有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1 640张， 求九(3)班有多少同学？ 解：设九(3)班有x名同学，根据题意，得x(x－1)＝1640
21．k为何值时，关于x的方程(k＋3)(k－1)x2＋(k－1)x＋5＝0. (1)是一元一次方程？ 解：∵(k＋3)(k－1)＝0且k－1≠0，∴k＝－3.即当k＝－3时， 原方程是一元一次方程 (2)是一元二次方程？ 解：∵(k＋3)(k－1)≠0，∴k≠－3且k≠1.即当k≠－3且k≠1时， 原方程是一元二次方程
22．1 一元二次方程
1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是__2__的整式 方程，叫做一元二次方程．
2．判断一个方程是否是一元二次方程，必须满足下列条件：(1) 是___整__式___方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数 是__2__；(4)二次项系数不能为__0__．
3．关于 x 的一元二次方程的一般形式是 ax2＋bx＋c＝0(a，b， c 是已知数，a≠0)，其中___a_是二次项系数，__b__是一次项系 数；__c__是常数项．注意：“a≠0”是一元二次方程一般形式 的一个重要组成部分．
A．x(3x－4)＝0
B．5x2＝x(1－2x)源自C．(2x＋1)(1－x)＝0 D．x(1－x)＝x
知识点3：一元二次方程的根
7．已知x＝2是一元二次方程x2＋mx＋2＝0的一个解，则m的值
是(A )
A．－3
B．3
C．0
D．0或3
8．(1)(2014·哈尔滨)若x＝－1是关于x的一元二次方程x2＋3x＋
华师大版数学九年级上册一元二次方程根的判别式课件
回顾
用公式法求下列方程的根:
12x2 x 2 0
2 1 x2 x 1 0
4
3x2 x 1 0
解：a 2,b 1,c 2 b2 4ac116170
解：a 1 ,b 1, c 1 4
b2 4ac 11 0
解：a 1,b 1,c 1 b2 4ac 1 4 3 0
反之，同样成立！
完 毕 感 谢
·
The user can perform the presentation on a projector or computer, and the powerpoint can be printed out and made into film.
练习
例：不解方程，判断下列一元二次方程根的个数：
(1)2x2 5x 3 0
b2 4ac 1 0, 方程有两个不相等的根.
23x2 3 6x
b2 4ac 0,
方程有两个相等的根.
(3)x2 x 1 0
b2 4ac 习1
一元二次方程的根的情况
x b b2 4ac 1 17
2a
4
1 17 1 17 x1 4 , x2 4
x b b2 4ac 1 0 2
2a
1
2
x1 x2 2
所以原方程无实数根
视察与思考
思考1：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况?
b2 4ac
思考2：一元二次方程根的情况有几种？
一元二次方程的根
当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根
一元二次方程的根
我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的根的
判别式，用符号“ ”来表示. 即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),
九年级数学第二十二章 一元二次方程华东师大版
第二十二章一元二次方程一、知识结构二、学习一元二次方程这章内容作用．一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中代数中占有重要的地位，在学习一元二次方程及有关的知识之前，我们已经掌握了实数与代数式的运算、一元一次方程、分式方程和一次方程组，掌握了这些内容，为学习一元二次方程奠定了基础，而且通过一元二次方程的学习，又对以前学过的数学知识加以巩固，同时一元二次方程也为今后学习指数方程、对数方程、函数等等打下基础，掌握了一元二次方程之后，对学习其它学科知识也有重要的意义．三、知识要点：1．关于一元二次方程：①元的个数是一个，方程是整式方程；②含有未知数的最高次项的次数是二次；③若方程有实数根，则解的个数一定是两个．2．关于配方法解一元二次方程：①首先将二次项系数变为1；②方程两边各加上一次项系数一半的平方，这是配方法的关键的一步，方程左边配成完全平方式，当右边是非负实数时，用开平方法即可求得方程的解．3．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：x=(b2-4ac0)4．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式：Δ=b2－4ac，其作用如下：(1)=b2-4ac>0方程有两个不相等的实数根(2)=b2-4ac=0方程有两个相等的实数根(3)=b2-4ac<0方程没有实数根5．列方程解应用题：（列举几种类型仅供参考）①有关数字问题；②有关增长率问题；③有关几何图形面积问题；④有关溶液、浓度、求容器体积问题；⑤有关行程问题、工作量问题．四、实践与探索：设x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根，x1+x2=-，x1 x2=，其作用如下：①能运用它由已知方程的一个根，求出另一个根及未知数的系数；②可以利用它求出两根的平方和、立方和、两根倒数和的平方等等；③利用x1+x2和x1·x2的关系可以解特殊的二元二次方程组；④利用根与系数关系判定两根的符号及方程各项系数的符号；⑤利用根与系数的关系，可以造出新的一元二次方程ax2+bx+c=a(x－x1)(x－x2)五、本章主要数学思想、方法．在数学中，使一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象的思想称为转化的思想，有未知向已知的转化，复杂问题向简单问题的转化，实际问题向数学问题的转化，数与形的转化，一般与特殊的转化，不同的数学问题之间的转化等等．解决一些数学问题实质就是一个不断转化的过程．这样一些数学思想与数学方法与解题技巧在本章教学中有较多的体现．为了实现这些转化引入了许多数学方法．如本章中的降次法、换元法、配方法等．这里特别要指出的是，怎样转换？转换的结果如何？从而概括总结出一般规律，在学习这些重要方法时可以充分领略数学思想的风采，突出数学思想，提高数学素质，提高数学能力。