九年级数学上册第22章一元二次方程22.1一元二次方程教案新版华东师大版
九年级数学上册第22章一元二次方程22.1一元二次方程教案华东师大版(2021年整理)
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一元二次方程课题名称 一元二次方程三维目标 1.知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式02=++c bx ax （a ≠0）2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识3。
会用试验的方法估计一元二次方程的解重点目标 一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数"难点目标 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性导入示标 1。
知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式02=++c bx ax （a ≠0)2。
会用试验的方法估计一元二次方程的解目标三导 学做思一：问题 1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少？问题2学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底增加到7。
2万册。
求这两年的年平均增长率。
思考、讨论:这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1)和（2）。
22.1一元二次方程-华东师大版九年级数学上册教案
22.1 一元二次方程-华东师大版九年级数学上册教案一、教材内容概述本课程主要介绍了一元二次方程的概念、基本形式、适用范围以及解法等内容。
在内容上，主要分为以下几个方面：•一元二次方程的概念与基本形式•一元二次方程的根的判别式•一元二次方程的解法二、学习目标通过本章的学习，学生应该掌握以下几个方面的知识和技能：•掌握一元二次方程的定义和基本形式•掌握判别式的计算方法，能够判断方程解的情况•掌握一元二次方程的解法，能够正确解决一些实际问题三、教学重点•一元二次方程的定义和基本形式•一元二次方程的根的判别式四、教学难点•一元二次方程的解法五、教学过程5.1 自主学习•学生自主学习一元二次方程相关的知识，找出其中的难点与疑问。
5.2 导入新知识•通过复习一元一次方程的解法，引入一元二次方程。
5.3 讲解新知识•讲解一元二次方程的定义和基本形式，引出一元二次方程根的概念。
5.4 练习与展示•让学生分组进行练习，每组派出一名代表进行展示。
5.5 拓展•讲解一元二次方程解法中常用的方法和技巧，鼓励学生探究解题思路。
5.6 提高•针对一些解法困难的问题，给出帮助与指导，提高学生的解题能力。
5.7 小结•对本节课的内容进行小结，帮助学生回顾所学知识。
六、课后练习•练习册第22页1~10题七、教学反思本节课的教学过程中，我主要采用了讲解和练习相结合的方式，通过引导学生自主学习、分组讨论和展示等方式，调动了学生的学习积极性，提高了学生的学习效果。
但在授课时，我发现有些学生对一元二次方程的概念和解法还有些陌生，需要通过分组训练和个人指导来加强学生的认识和理解。
同时，在课堂练习中也出现了一些问题，需要在下一节课中进行修正和纠正。
华师大版九年级上 22.一元二次方程 教案
图23.1.1我们是用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形，上图23.1.1就是反映学校学生上学方式的扇子形统计、说出上右图中的圆心解、优弧、劣弧。
1、将图形23.1.3中的扇形AOB 绕点O 逆时针旋转某个角度，得到图23.1.4中的图形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现AOB =∠，AB AB =。
实质上，AOB ∠确定了扇形AOB 的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。
图23.1.3图23.1.43）如图，在⊙AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70（第4题）＝CD ︵＝DE ︵，∠本节课我们通过实验得到了圆不仅是中心对称图形，而由圆的对称性又得出许多圆的许多性）同一个圆中，相等的圆心角所对弧相等，所）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。
（3）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧相等。
圆心角、弧、弦关系图 23.1.5图 23.1.6试一试如图23.1.7，如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD 垂足为P ，再将纸片沿着直径CD 对折，比较AP 与PB 、AC ︵与你能发现什么结论？你的结论是：_________________________________________ ________________________________________________ 这就是我们这节课要研究的问题。
例截面如图示，如果油面宽是谈一下本节课的收获？还有何困惑？究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的解就叫做圆周角，而图（2）、（4）、（5）中的角都不是圆周角。
同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。
（顶（第1题）图23.1.9图23.1.10圆心角的度数的一半。
由上述操作可以猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。
为了验证这个猜想，如图使折痕经过圆心况：（1）折痕是圆周角的一条边，内部，（3）折痕在圆周角的外部。
初中数学华东师大九年级上册第22章一元二次方程华东师大版九年级上册教案2实
（2）若销售定价为x元，那么商店可以获利元.
【分析】
（1原定价52元是增加还是降低？利润（获利）可以怎样计算？
（3）问题1中，若商店希望获利2000元，则应进货多少台？销售定价为多少？
思考：
（1）本题如何设未知数较适宜？所列方程是什么？
（2）所列方程的解是否都符合题意？如何解释？
1.某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件．为尽快减少库存，商场决定降价促销．经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？
通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.
分层作业：
A层：P40，1
B、C层：P42，1，3
教师直接引入，激发学生学习兴趣，体验数学原与生活又应用与数学
。
学生自愿展示。其他学生补充教师必要指导。
学生独立完成，巩固本节的知识
教师引发学习回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.
教学反思
课题
实践与探索-利润问题
授课时间
授课班级
教学目标
知识与技能：使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题——利润问题，学会将实际问题转化为数学模型来建立一元二次方程.
过程与方法：让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中的等量关系.
情感态度与价值观：通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神.
重点难点
重点：列一元二次方程解决实际问题.
难点：寻找实际问题中的等量关系.
自主学习内容
华东师大版九年级数学上册第22章 《一元二次方程的解法》教案
22.2一元二次方程的解法1. 直接开平方法和因式分解法知识与技能：1.会用直接开平方法解形如a（x-k）2=b（a≠0，ab≥0）的方程.2. 灵活运用因式分解法解一元二次方程.3. 使学生了解转化的思想在解方程中的应用.过程与方法：创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学.情感态度：鼓励学生积极主动地参与“教”与“学”的整个过程，激发求知的欲望，体验求知的成功，增强学习的兴趣和自信心.教学重难点：重点：利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.难点：合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.一、情境导入，初步认识问：怎样解方程（x+1）2=256？解：（方法1）直接开平方，得x+1=±16.所以原方程的解为x1=15，x2=-17.（方法2）原方程可变形为（x+1）2-256=0.方程左边分解因式，得（x+1+16）（x+1-16）=0，即（x+17）（x-15）=0.所以x+17=0或x-15=0.所以原方程的解为x1=15，x2=-17.【教学说明】让学生说出作业中的解法，教师板书.二、思考探究，获取新知例1 用直接开平方法解下列方程：（1）（3x+1）2=7；（2）y2+2y+1=24；（3）9n2-24n+16=11.解：（1）直接开平方，得3x+1=±7.所以原方程的解为x=317-±. （2）原方程可变形为（y+1）2=24. 直接开平方，得y+1=±62.所以原方程的解为x=-1±62.（3）原方程可变形为（n -34）2=911. 直接开平方，得n -34=±311.所以原方程的解为x =3114 . 【教学说明】运用开平方法解形如（x +m ）2=n （n ≥0）的方程时，最容易出现的错误是漏掉负根.例2 用因式分解法解下列方程：（1）5x 2-4x =0； （2）3x （2x +1）=4x +2； （3）（x +5）2=3x +15. 解：（1）方程左边分解因式，得x （5x -4）=0. 所以x =0或5x -4=0. 所以原方程的解为x 1=0，x 2=54. （2）原方程可变形为6x 2-x -2=0. 方程左边分解因式，得6（x -32）（x +21）=0.所以x -32=0或x +21=0.所以原方程的解为x 1=32，x 2=-21.（3）原方程可变形为x 2+7x +10=0. 方程左边分解因式，得（x +2）（x +5）=0. 所以x +2=0或x +5=0.所以原方程的解为x 1=-5，x 2=-2.【教学说明】解这里的（2）（3）题时，注意整体化归的思想. 三、运用新知，深化理解 1. 用直接开平方法解下列方程：（1）3（x -1）2-6=0； （2）x 2-4x +4=5； （3）（x +5）2=25； （4）x 2+2x +1=4. 解：（1）x 1=1+2，x 2=1-2. （2）x 1=2+5，x 2=2-5.（3）x 1=0，x 2=-10. （4）x 1=1，x 2=-3.2. 用因式分解法解下列方程：（1）x 2+x =0；（2）x 2-23x =0；（3）3x 2-6x =-3；（4）4x 2-121=0；（5）（x -4）2=（5-2x ）2.解：（1）x 1=0，x 2=-1. （2）x 1=0，x 2=23.（3）x 1=x 2=1. （4）x 1=211，x 2=-211. （5）x 1=1，x 2=3.3. 把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.解：设小圆形场地的半径为x m. 则可列方程为2πx 2=π（x +5）2. 解得x 1=5+52，x 2=5-52（舍去）. 答：小圆形场地的半径为（5+52）m.【教学说明】可由学生自主完成例题，分小组展示结果，教师点评. 四、师生互动，课堂小结1. 引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤.2. 对于形如a （x -k ）2=b （a ≠0，b ≥0）的方程，只要把（x -k ）看作一个整体，就可将其转化为x 2=n （n ≥0）的形式用直接开平方法解.3. 当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解 法解. 五、教学反思本节课教师引导学生探讨直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，让学生小组讨论，归纳总结探究，掌握基本方法和步骤，合理、恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分解法，在整个教学过程中注意整体化归的思想.2. 配方法知识与技能：1. 使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程.2. 在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能. 过程与方法：通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法. 情感态度：学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增加学生学习数学的 兴趣. 教学重难点：重点：使学生掌握用配方法解一元二次方程.难点：发现并理解配方的方法. 一、情境导入，初步认识问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m ，且面积为16 m 2，场地的长和宽分别是多少？ 设场地的宽为x m ，则长为（x +6）m. 根据矩形的面积为16 m 2，得到方程为x （x + 6）=16. 整理，得x 2+6x -16=0.【教学说明】创设实际问题情境，让学生感受到生活中处处有数学，激发学生的主动性和求知欲.二、思考探究，获取新知探究：如何解方程x 2+6x -16=0？问题1： 通过上节课的学习，我们现在会解什么样的一元二次方程？举例说明. 【教学说明】用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的一元二次方程的特点：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即（x +m ）2=n （n ≥0），运用直接开平方法可求解.问题2： 你会用直接开平方法解下列方程吗？（1）（x +3）2=25；（2）x 2+6x +9=25；（3）x 2+6x =16；（4）x 2+6x -16=0.【教学说明】教师启发学生逆向思考问题的思维方式，将x 2+6x -16=0转化为（x +3）2=25的形式，从而求得方程的解. 解：（1）移项，得x 2+6x =16. 两边都加上9，即（26）2，使左边配成x 2+bx +b 2的形式，得x 2+6x +9=16+9， 左边写成完全平方形式，得（x +3）2=25. 开平方，得x +3=±5，（降次） 即x +3=5或x +3=-5.解一次方程，得x 1=2，x 2=-8.【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫作配方法. 例1 填空：（1）x 2+8x + 16 =（x + 4）2；（2）x 2-x +41=（x -21）2；（3）4x 2+4x +1=（2x +1）2.例2 解方程：（1）x 2+6x +5=0； （2）2x 2+6x +2=0； （3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0. 解：（1）x 1=-1，x 2=-5. （2）x 1=-2325-，x 2=2325-. （3）x 1=5-2，x 2=-5-2.【教学说明】教师可让学生自主完成例题，小组展示，教师点评归纳. 【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤： （1）把方程化为一般形式ax 2+bx +c =0； （2）把常数项移到方程的右边； （3）方程两边同时除以二次项系数a ；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方形式，利用直接开平方法来解. 三、运用新知，深化理解 1. 用配方法解下列方程：（1）2x 2-4x -8=0；（2）x 2-4x +2=0；（3）x 2-21x -1=0. 2. 如果x 2-4x +y 2+6y +2 z +13=0，求（xy ）z的值. 【答案】1. 解：（1）x 1=1+5，x 2=1-5. （2）x 1=-2+2，x 2=2+2. （3）x 1=41+417，x 2=41-417. 2. 解：由题意知，x =2，y =-3，z =-2. 所以（xy ）z=（-6）-2=361. 【教学说明】学生独立解答，小组内交流，上台展示并讲解思路. 四、师生互动，课堂小结1. 用配方法解一元二次方程的步骤.2. 用配方法解一元二次方程的注意事项. 五、教学反思本节课先创设情境导入一元二次方程的解法，引导学生将要解决的问题转化为已学过的直接开平方法来解，从而探索出配方法的一般步骤，熟练运用配方法来解一元二次方程.3. 公式法知识与技能：1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.2. 会熟练运用公式法解一元二次方程. 过程与方法：通过复习配方法解一元二次方程，引导学生推导出求根公式，使学生进一步认识特殊与一般的关系.情感态度：经历探索求根公式的过程，培养学生的抽象思维能力，渗透辩证唯物主义观点. 教学重难点：重点：求根公式的推导和公式法的运用. 难点：一元二次方程求根公式的推导. 一、情境导入，初步认识用配方法解方程：（1）x 2+3x +2=0；（2）2x 2-3x +5=0. 解：（1）x 1=-1，x 2=-2.（2）无解. 二、思考探究，获取新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx +c =0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题：已知ax 2+bx +c =0（a ≠0），试推导它的两个根：x 1=a ac b b 242-+-，x 2=aac b b 242---.【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多，现在不妨把a ，b ，c 也当成具体的数字，根据上面的解题步骤就可以推导下去.探究： 一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此， （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c =0，当b 2-4ac ≥0时，将a ，b ，c 代入式子x =aac b b 242-±-就得到方程的根，当b 2-4ac <0时，方程没有实数根.（2）x =aac b b 242-±-叫作一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的求根公式.（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.【教学说明】教师可以引导学生利用配方法推出求根公式，体验获取知识的过程，体会成功的喜悦，可让学生小组展示. 例1 用公式法解下列方程：①2x 2-4x -1=0； ②5x +2=3x 2； ③（x -2）（3x -5）=0； ④4x 2-3x +1=0. 解：①x 1=1+26，x 2=1-26.②x 1=2，x 2=-31.③x 1=2，x 2=35.④无解.【教学说明】（1）②，③要先化成一般形式；（2）强调确定a ，b ，c 的值，注意它们的符号；（3）先计算b 2-4ac 的值，再代入公式. 三、运用新知，深化理解 用公式法解下列方程：（1）x 2+x -12=0； （2）x 2-2x -41=0； （3）x 2+4x +8=2x +11； （4）x （x -4）=2-8x ； （5）x 2+2x =0； （6）x 2+25x +10=0. 解：（1）x 1=3，x 2=-4. （2）x 1=232+，x 2=232-. （3）x 1=1，x 2=-3.（4）x 1=-2+6，x 2=-2-6. （5）x 1=0，x 2=-2. （6）无解.【教学说明】用公式法解方程的关键是要先将方程化为一般形式再求解. 四、师生互动，课堂小结 1. 求根公式的概念及其推导过程. 2. 公式法的概念.3. 运用公式法解一元二次方程. 五、教学反思在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考，比较观察，交流与表述，体验知识获取的过程，激发学生的学习兴趣，利用师生的双边活动，适时调试，从而提高学习效率.4. 一元二次方程根的判别式知识与技能：1. 能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证.2. 会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围. 过程与方法：1. 经历一元二次方程根的判别式的产生过程.2. 向学生渗透分类讨论的数学思想.3. 培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力. 情感态度：1. 体验数学的简洁美.2. 培养学生的探索、创新精神和协作精神. 教学重难点：重点：根的判别式的正确理解与运用.难点：含字母系数的一元二次方程根的判别式的运用. 一、情境导入，初步认识用公式法解下列一元二次方程：（1）x 2+5x +6=0；（2）9x 2-6x +1=0；（3）x 2-2x +3=0. 解：（1）x 1=-2，x 2=-3. （2）x 1=x 2=31.（3）无解.【教学说明】让学生亲身感知一元二次方程根的情况，回顾已有知识. 二、思考探究，获取新知观察解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，需先确定a ，b ，c 的值，再求出b 2-4ac 的值，它能决定方程是否有解，我们把b 2-4ac 叫作一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b 2-4ac .我们回顾一元二次方程求根公式的推导过程发现：（x +a b 2）2=a acb 2244-.【归纳结论】（1）当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根：x 1=aacb b 242-+-，x 2=aacb b 242---；（2）当Δ=0时，方程有两个相等的实数根：x 1=x 2=-ab2； （3）当Δ<0时，方程没有实数根.例1 利用根的判别式判定下列方程的根的情况： （1））2x 2-3x -23=0；（2）16x 2-24x +9=0；（3）x 2-42x +9=0；（4）3x 2+10x =2x 2+8x . 解：（1）有两个不相等的实数根. （2）有两个相等的实数根. （3）无实数根.（4）有两个不相等的实数根.例2 当m 为何值时，方程（m +1）x 2-（2m -3）x +m +1=0. （1）有两个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根. 解：（1）m <41且m ≠-1.（2）m =41. （3）m >41. 【教学说明】注意（1）中的m +1≠0这一条件. 三、运用新知，深化理解1. 方程x 2-4x +4=0的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 有一个实数根D. 没有实数根2. 已知x 2+2x =m -1没有实数根，求证：x 2+mx =1-2m 必有两个不相等的实数根. 【答案】 1. B2. 证明：∵x 2+2x =m -1没有实数根， ∴4-4（1-m ）<0，解得m <0.将方程x 2+mx =1-2m 化为x 2+mx +2m -1=0，∴Δ=m 2-8m +4. ∵m <0，∴Δ>0，∴x 2+mx =1-2m 必有两个不相等的实数根. 【教学说明】引导学生灵活运用知识. 四、师生互动，课堂小结1. 用判别式判定一元二次方程根的情况：（1）当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根. （3）当Δ<0时，一元二次方程无实数根.2. 运用根的判别式解决具体问题时，要注意二次项系数不为0这一隐含条件. 【教学说明】可让学生先分组讨论，回忆整理，再由小组代表陈述. 五、教学反思本节课创设情境，启发引导，让学生充分感受理解知识的产生和发展过程，在教师适时的点拨下，学生在发现归纳的过程中积极主动地去探索，发现数学规律，培养了学生的创新意识、创新精神及思维能力.5. 一元二次方程的根与系数的关系知识与技能：1. 引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其关系的运用.2. 通过观察、实践、讨论等活动，经历从观察判断到发现关系的过程. 过程与方法：通过探究一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神. 情感态度：在积极参与数学活动的同时，初步体验发现问题，总结规律的态度及养成质疑和独立思考的习惯. 教学重难点：重点：一元二次方程根与系数之间的关系的运用. 难点：一元二次方程根与系数之间的关系的运用. 一、情境导入，初步认识 1. 完成下列表格：问题：你发现了什么规律？①用语言叙述你发现的规律；（两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项） ②设方程x 2+px +q =0的两根分别为x 1，x 2，用式子表示你发现的规律.（x 1+x 2=-p ，x 1x 2=q ） 2. 完成下列表格：问题：上面发现的结论在这里成立吗？（不成立） 请完善规律：①用语言叙述你发现的规律；（两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比）②设方程ax 2+bx +c =0的两根分别为x 1，x 2，用式子表示你发现的规律.（x 1+x 2=-a b ，x 1x 2=ac）二、思考探究，获取新知通过以上的活动你发现了什么规律？对一般的一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）这一规律是否成立？试通过求根公式加以说明.ax 2+bx +c =0的两根分别为x 1=a ac b b 242-+-，x 2=a ac b b 242---，则x 1+x 2=-a b ，x 1x 2=ac .【教学说明】教师可引导学生根据求根公式推导出根与系数之间的关系，体会知识形成的过程，加深对知识的理解.例1 不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：（1）x 2-6x -15=0； （2）3x 2+7x -9=0； （3）5x -1=4x 2.解：（1）x 1+x 2=6，x 1x 2=-15.（2）x 1+x 2=-37，x 1x 2=-3. （3）x 1+x 2=45，x 1x 2=41. 【教学说明】先将方程化为一般形式，再找出对应的系数.例2 已知方程2x 2+kx -9=0的一个根是-3，求另一根及k 的值. 解：另一根为23，k =3. 【教学说明】此题有两种解法，一种是根据根的定义，将x =-3代入方程先求k ，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答.例3 已知α，β是方程x 2-3x -5=0的两根，不解方程，求下列代数式的值.（1）βα11+； （2）βα22+； （3）βα-. 解：（1）βα11+=-53. （2）βα22+=19.（3）βα-=29或βα-=-29.三、运用新知，深化理解1. 不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：（1）x 2-3x =15； （2）5x 2-1=4x 2； （3）x 2-3x +2=10；（4）4x 2-144=0； （5）3x （x -1）=2（x -1）； （6）（2x -1）2=（3-x ）2.2. 两根均为负数的一元二次方程是（ ）A. 7x 2-12x +5=0B. 6x 2-13x -5=0C. 4x 2+21x +5=0D. x 2+15x -8=0【教学说明】两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数.【答案】1. 解：（1）x 1+x 2=3，x 1x 2=-15.（2）x 1+x 2=0，x 1x 2=-1.（3）x 1+x 2=3，x 1x 2=-8.（4）x 1+x 2=0，x 1x 2=-36.（5）x 1+x 2=35，x 1x 2=32. （6）x 1+x 2=-32，x 1x 2=-38. 2. C 【教学说明】可由学生自主完成抢答，教师点评.四、师生互动，课堂小结1. 一元二次方程的根与系数的关系.2. 一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件.五、教学反思本节课先由学生探究特殊一元二次方程的根与系数的关系，再猜想一般一元二次方程的根与系数的关系，并从理论上加以推导证明，加深学生对知识的理解，培养学生严密的逻辑思维能力.。
22.1 一元二次方程 华师大版数学九年级上册教案
第22章一元二次方程22.1 一元二次方程※教学目标※【知识与技能】1.理解一元二次方程的概念.2.掌握一元二次方程的一般形式，能分清一元二次方程的二次项及系数、一次项及系数、常数项.【过程与方法】通过观察,归纳一元二次方程的概念.【情态态度】进一步感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义.【教学重点】一元二次方程的概念及其一般形式.【教学难点】正确认识一元二次方程中二次项系数、一次项系数，常数项和列一元二次方程.※教学过程※一、情境导入问题1：绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块矩形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？（只列方程）分析：我们已经知道可以运用方程解决实际问题.设绿地的宽为x米，不难列出方程：x(x+10)=900.整理，得+10x-900=0.①问题2：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率.（只列方程）分析：设这两年的年平均增长率为x.已知去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册.同样，明年年底的图书数又是今年年底图书数的(1+x)倍，即5(1+x)(1+x)=5(万册).可得出方程：5=7.2.整理可得5+10x-2.2=0. ②二、探索新知1.请回答下面问题：（1）上面两个方程整理后是整式方程吗？含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们的最高次数是几？（学生分组讨论，然后各组交流）答：这两个方程（1）都是整式方程；（2）都只含一个未知数；（3）含未知数的项的最高次数都是2.2.一元二次方程的定义：一个整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.【例1】下列方程哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？（1）3x+2=5x-3;(2)=4;(3)(x-1)(x-2)=+8;(4)(x+3)(3x-4)=;(5)+2-3=0;(6)+2x=x(+x)+3.分析：（1）、（3）、（4）、（6）需要先整理成最简形式再进行判断.解：其中（1）、（3）是一元一次方程；（2）、（4）、（6）是一元二次方程.3.一元二次方程的一般形式：a+bx+c=0(a、b、c是已知数，a≠0).其中a叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项.【例2】把方程3x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数及常数项.解：去括号，得3-3x=2x+4+8.化简，得3-5x-12=0.二次项系数是3，一次项系数是-5，常数项是-12.【说明】通过例题的讲解，让学生明确一元二次方程的一般形式具有的两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0.此外二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的，不同的一元二次方程的差异实质上是系数的差异.但同一个一元二次方程写出的一般形式可能不同（只是符号不同），一般我们写二次项的系数为正的那个.三、巩固练习1.下列方程中哪些是关于x的一元二次方程？（1）-4x+2=0;(2)+x-=0;(3)=0(x,y都是未知数);（4）+x=0;(5)=(x-1)(x+1);(6)=+2.2.将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项：;答案：1.(1)(6)2.（1）原方程变形为=0.二次项系数为3，一次项系数为-1,常数项为-2.(2)原方程变形为+3=0.二次项系数为2，一次项系数为-7,常数项为3.(3)整理，得=0.二次项系数为1，一次项系数为-5,常数项为0.(4)整理，得-11=0.二次项系数为2，一次项系数为-5,常数项为-11.四、应用拓展【例3】方程在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？解：当a≠2时是一元二次方程；当a=2，b≠0时是一元一次方程.【例4】已知关于x的一元二次方程有一根为2，求m.分析：一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程.解：将x=2代入原方程，得4(m-1)+6-5m+4=0.解得m=6.五、归纳小结1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式为，一元二次方程的项及系数都是根据一般形式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.3.在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性.※课后作业※1.教材习题22.1第1、2、3题.。
华师大版数学九年级上册第22章《一元二次方程》教学设计
华师大版数学九年级上册第22章《一元二次方程》教学设计一. 教材分析《一元二次方程》是华师大版数学九年级上册第22章的内容，本章主要让学生掌握一元二次方程的解法、性质和应用。
一元二次方程是初中数学的重要内容，也是高中数学的基础。
通过本章的学习，学生能理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，并能运用一元二次方程解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于方程的概念和解法有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的性质和应用，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程，并通过例子让学生感受一元二次方程的应用。
三. 教学目标1.了解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法。
2.理解一元二次方程的性质，能运用一元二次方程解决实际问题。
3.培养学生的抽象思维能力，提高学生运用数学解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.一元二次方程的概念和性质。
2.一元二次方程的解法。
3.一元二次方程在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程。
2.利用数形结合法，帮助学生理解一元二次方程的性质。
3.运用实例讲解法，让学生感受一元二次方程的应用。
4.采用小组合作学习法，培养学生的团队合作精神。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生学习一元二次方程。
2.准备一元二次方程的例题，用于讲解一元二次方程的解法。
3.准备一元二次方程的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过呈现一个实际问题，引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程。
例如，某商品打8折后售价为120元，求原价。
2.呈现（10分钟）呈现一元二次方程的定义和性质，让学生了解一元二次方程的概念。
同时，通过例子讲解一元二次方程的解法，让学生掌握解一元二次方程的方法。
3.操练（15分钟）让学生独立完成一些一元二次方程的练习题，巩固所学知识。
2023九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法3公式法教案(新版)华东师大版
作用与目的：
-巩固学生在课堂上学到的“一元二次方程的解法--公式法”知识点和技能。
-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。
-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。
学生学习效果
1.知识与技能：
-学生能够理解一元二次方程的解法--公式法的基本概念和原理。
重点难点及解决办法
重点：一元二次方程的公式法及其应用。
难点：理解并运用公式法求解实际问题，掌握公式法与判别式之间的关系。
解决办法：
1.通过具体实例，引导学生理解一元二次方程的公式法，让学生在实际问题中体会公式的运用。
2.利用数形结合，让学生直观地理解公式法与判别式之间的关系，突破难点。
3.设计梯度性练习题，让学生在练习中逐步掌握公式法的运用，巩固知识点。
-学生能够运用公式法求解一元二次方程，并正确运用判别式判断方程的解的情况。
-学生能够在实际问题中运用公式法，求解实际问题，并能够解释结果的实际意义。
2.过程与方法：
-学生能够通过自主探索和小组合作的方式，积极主动地参与课堂学习和实践活动。
-学生能够通过听讲、思考和讨论，深入理解一元二次方程解法--公式法的内涵和应用。
3.在线学习平台：利用在线学习平台，提供丰富的学习资源和练习题，方便学生自主学习和巩固知识。
4.实物教具：使用实物教具，如数学模型、图形展示等，帮助学生更好地理解和掌握一元二次方程的解法。
5.练习册与评价工具：提供练习册和评价工具，及时检测学生的学习效果，为学生提供反馈和指导。
教学实施过程
1.课前自主探索
-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第22章一元二次方程
22．1 一元二次方程
1．知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
2．在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识．
重点
判定一个数是否是方程的根．
难点
由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．
一、情境引入
教师展示多媒体，引导学生列出方程，解决问题．
问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程
x(x＋10)＝900
整理可得
x2＋10x－900＝0.(1)
问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率．
解：设这两年的年平均增长率为x.
我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5(1＋x)万册，
同样，明年年底的图书数又是今年年底的(1＋x)倍，即5(1＋x)·(1＋x)＝5(1＋x)2万册，
可列得方程5(1＋x)2＝7.2，
整理可得
5x2＋10x－2.2＝0. (2)
二、探究新知
教师指出问题，学生小组讨论，归纳．
问题1和问题2分别归结为解方程(1)和(2)．显然，这两个方程都不是一元一次方程，那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
共同特点：
(1)都是整式方程；
(2)只含有一个未知数；
(3)未知数的最高次数是2.
【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0)．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，b叫做一次项系数，
c 叫做常数项．
例1 判断下列方程是否为一元二次方程：
①1－x 2＝0； ②2(x 2－1)＝3y ；
③2x 2－3x －1＝0; ④1x 2－2x
＝0； ⑤(x ＋3)2＝(x －3)2; ⑥9x 2
＝5－4x.
解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是．
【教学说明】(1)一元二次方程为整式方程；(2)类似⑤这样的方程要化简后才能判断． 例2 将方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
解：2x 2－13x ＋11＝0；2，－13，11.
三、练习巩固
1．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
(1)5x 2－1＝4x ；
(2)4x 2＝81；
(3)4x(x ＋2)＝25；
(4)(3x －2)(x ＋1)＝8x －3.
解：(1)5x 2－4x －1＝0；5，－4，－1；
(2)4x 2－81＝0；4，0，－81；
(3)4x 2＋8x －25＝0；4，8，－25；
(4)3x 2－7x ＋1＝0；3，－7，1.
2．根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x ；
(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x ；
(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.
解：(1)4x 2＝25；4x 2－25＝0；
(2)x(x －2)＝100；x 2－2x －100＝0；
(3)x ＝(1－x)2；x 2－3x ＋1＝0.
3．若x ＝2是方程ax 2＋4x －5＝0的一个根，求a 的值．
解：∵x＝2是方程ax 2＋4x －5＝0的一个根．
∴4a ＋8－5＝0，
解得a ＝－34
. 四、小结与作业
小结
1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式为ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，一元二次方程的项及系数都是根
据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的．
3．在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性．
布置作业
从教材相应练习和“习题22.1”中选取．
学习本课时，可让学生先自主探索再合作交流，小组内，小组之间充分交流后概括所得结论，从而强化学生对一元二次方程的有关概念的认识，掌握建模思想，利用一元二次方程解决实际问题．。