白国仲《高等代数》§6.8线性空间的同构.pdf
高等代数线性空间的同构
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
同构映射的性质
证 因为 σ 是 V 到 V′ 的一个单射，所有如果 σ(α) = σ(β)，则 α = β. 于是有
k1α1 + k2α2 + · · · + ksαs = 0 ⇔σ(k1α1 + k2α2 + · · · + ksαs) = σ(0) ⇔k1σ(α1) + k2σ(α2) + · · · + ksσ(αs) = 0′
i=1
i=1
∑n
∑n
= aiγi + biγi
i=1
i=1
= σ(α) + σ(β),
∑n
∑n
σ(kα) = σ( (kai)αi) = (kai)γi
i=1
i=1
∑n
= k aiγi V 到 V′ 的一个同构映射，从而 V ∼= V′.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
线性空间同构的概念
数域 P 上 n 维线性空间 V 与数域 P 上 n 元有序组组成的线性 空间 Pn 非常相像. 例如，对于 Pn 中向量组 α1, α2, · · · , αs 生成 的子空间 U = L(α1, α2, · · · , αs)，向量组 α1, α2, · · · , αs 的一个 极大线性无关组是 U 的一个基，dim U 等于 rank{α1, α2, · · · , αs}. 对于 V 中向量组生成的子空间也有同样的结论.
σ :V ∑n
α = aiαi
i=1
线性空间的同构
τ o σ (α + β ) = τ (σ (α ) + σ ( β ) )
= τ (σ (α ) ) + τ (σ ( β ) ) = τ o σ (α ) + τ o σ ( β )
§6.8 线性空间的同构
τ o σ ( kα ) = τ (σ ( kα ) ) = τ ( kσ (α ) )
的子空间， （6） 若W是V的子空间，则W在 σ 下的象集 ） 是 的子空间 在
σ (W ) = {σ (α ) α ∈ W }
子空间， 是的 V ′ 子空间，且 dimW = dim σ (W ). 证： 首先，σ (W ) ⊆ σ (V ) = V ′ 首先，
且 Q 0= σ ( 0 ) ∈ σ (W ) , ∴ σ (W ) ≠ ∅
2 所以， 所以， dim C = dim R .
故， V1 ≅ V2 .
§6.8 线性空间的同构
证法二： 证法二：构造同构映射 作对应 σ : C → R 2 , σ ( a + bi ) = ( a , b ) . 则 σ 为C到R2的一个同构映射 到 的一个同构映射.
§6.8 线性空间的同构
W ≅ σ (W ) 故 dim W = dim σ (W ).
注意
可知， 由2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合 可知 同构映射保持零元、负元、 及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间 及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间.
§6.8 线性空间的同构
3、两个同构映射的乘积还是同构映射. 、两个同构映射的乘积还是同构映射 证： 设 σ：V → V ′, τ : V ′ → V ′′ 为线性空间的同构 映射，则乘积 τ o σ 是 V 到V ′′ 的1－1对应 对应. 映射， － 对应 任取 α，β ∈ V , k ∈ P , 有
(优选)第八节线性空间的同构
k1 (1) + k2 (2) + … + kr (r) = 0 .
于是有
( k11+ k22 + … + krr ) = 0 ,
由于 是 双射，只有 (0) = 0，所以
k11+ k22 + … + krr = 0 , 即 1, 2 , … , r 线性相关.
证毕
3. V 中向量组 1, 2 , … , r 线性相关的充分 必要条件是，它们的像 (1) , (2) , … , (r)
线性相关.
证明 必要性 设 1, 2 , … , r 线性相关，
即有不全为零的数 k1 , k2 , … , kr 使
k11+ k22 + … + krr = 0 .
（优选）第八节线性空间的同 构
§6.8 线性空间的同构
一、引入
设 1 , 2 , … , n 是线性空间 V 的一个基，在
这个基下， V 中每个向量都有确定的坐标，而向 量的坐标可以看成 P n 的元素. 因此，向量与它的 坐标之间的对应实质上就是 V 到 P n 的一个映射. 这个映射既是单射又是满射， 换句话说，坐标给 出了线性空间 V 与 P n 的一个双射. 这个对应的重 要性表现在它与运算的关系上.
-1 (k ) = -1 ( -1 ( k ) ) = -1 (k -1 ( ) ) = -1 ( ( k -1 ( ) ) )
= -1 ( k -1 ( ) ) = k -1 ( ). 故 -1满足定义1中的条件1) 与 2) ，因而是同构映射.
现设 和 分别是线性空间 V 到 V 和 V 到 V 的同构映射， 下面证明乘积 是 V 到 V 的
高等代数课件(北大版)第六章-线性空间§6.7
引入
设 V1,V2为线性空间V的两个子空间，由维数公式 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
有两种情形： 1) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 此时 dim(V1 V2 ) 0, 即，V1 V2 必含非零向量.
2023/9/15§6.7 子空间的直和
2023/9/15§6.7 子空间的直和
而在和 V1 V3 中，向量 (2,2,2)的分解式是唯一的， (2,2,2) (2,2,0) (0,0,2)
事实上，对 (a1,a2 ,a3 ) V1 V3 , 都只有唯一分解式： (a1,a2 ,0) (0,0,a3 ).
故 V1 V2是直和.
j 1
i 1,2, , s
2023/9/15§6.7 子空间的直和
" " 假若V1 V2 Vs不是直和, 则零向量还有一个分解式
0 1 2 s , j Vj , j 1,2, , s （*）
在(*)式中，设最后一个不为0的向量是 i , (i s)
则(*)式变为 0 1 2 i ,
V1 V2 0
所以 Pn V1 V2 .
2023/9/15§6.7 子空间的直和
练习 1 设V1 、V2分别是齐次线性方程组① 与②的
解空间：
x1 x2
xn 0
①
x1 x2
xn
②
证明: Pn V1 V2
证：解齐次线性方程组①，得其一个基础解系
1 (1,0, ,0,1) 2 (0,1, ,0, 1)
1 2 , 1 V1,2 V
是唯一的，和 V1 V2就称为直和，记作 V1 V2 .
注: ① 分解式 1 2 唯一的，意即
6.8线性空间的同构
6.8线性空间的同构第六章线性空间学习单元8：线性空间的同构_________________________________________________________● 导学学习目标：了解同构映射的概念，掌握线性空间同构的概念；理解同构映射的性质；掌握线性空间同构的判别。
学习建议：建议大家多看书，认真阅读定义，理论联系实际，通过具体线性空间去理解相关概念与结论，对例题要深刻理解，认真完成练习题。
重点难点：重点：线性空间的同构映射的概念与性质。
难点：同构映射在实际问题中的应用。
_________________________________________________________● 学习内容一、n 维线性空间中向量与坐标的对应关系令V 为P 上n 维线性空间，1,,n ααL 为V 的一个基，V 中每个向量在1,,n ααL 下有唯一的坐标，令:n V P σ→αα→在1,,n ααL 下的坐标即当11n n x x ααα=++L 时，1()(,,)n x x σα=L 。
命题σ为V 到n P 的一一映射（双射），并且()()(),,V σαβσασβαβ+=+∈；()(),,k k k P V σασαα=∈∈。
注：这种对应正是几何问题转化为代数问题的理论依据。
二、线性空间同构的概念定义设V 与'V 均为数域P 上线性空间，若存在V 到'V 的双射σ满足。
（1）()()(),,V σαβσασβαβ+=+∈（即σ保持加法）。
（2）()(),,k k k P V σασαα=∈∈（即σ保持数乘）。
则称σ为V 到'V 的一个同构映射。
若V 到'V 之间存在同构映射，则称V 与'V 同构，记为'V V ?。
定理设V 为数域P 上n 维线性空间，则n V P ?。
三、线性空间同构的性质令,'V V 为P 上线性空间，σ为V 到'V 的同构映射。
线性空间的同构
§6.8 线性空间的同构教学目的 理解同构的定义、性质，并能应用其处理一般问题，初步了解现代代数学同构思想的实质.重 点 同构定理 难 点 同构的定义 课 型 新授课 教学过程一 同构映射设V 为n 维向量空间12,,,n εεε 为V p 的一个基作:ϕαα→在12,,,n εεε 下的坐标（12,,,n ααα ），V —P n 由坐标的唯一性，ϕ是一个1-1对应（1-1的，映上的） 11,nni i i i i i a b αεβε==∀==∑∑ p k ∈∀11(),()n ni i i i i i i a b k k αβεααε==+=+=∑∑()()()()11221212,,,,,,,,,n n n n b a b b a a a b b b ϕαβαα∴+=+++=+ ()()βϕαϕ+=()()()()1212,,,,,,n n k ka ka ka k a a a k ϕαϕα===ϕ 有一个很重要的特征，保持和的象=象的和，欲数的象的俗数,引出了下面重要的概念.定义11，设V, V ’用期为P 上线性空间，'11V V δ→-是的对应,使,,V k p αβ∀∈∀∈有（1）()()()δαβδαδβ+=+ （2）()()k k δαδα=则称δ为'V V →的一个同构映射，并称V 与V 同构，记作 'V V ≅注1o由前面的讨论，n V p =dim 则n P P V ≅注2o 要证'V V ≅只须找1个，同构映射即可，（不须找2个以上，甚至验证所在）二 基本性质3o 反射性 ,V V ≅而1,v ααα=→即可 4o 对称性：若'V V≅，则V V ≅'证：p k V ∈∈∀''',,βα设()()()()''''Q k k δααββαβαβδαα==+=+=则 ()()()()()11'1''1'1,,2δααδββδαββδδβ-----==+=+=∂+ ()()1'1'hd k k δαδα--== 1α-∴是一个同构映射V V V V ≅→‘',故 5o 传递性，若''''',:V V V V V V α≅≅≅则使 证：'':,,V V V k P ααβ→∀∈∈且()()()()()()()()()()τδαβτδαβτδαδβτδβτδαταβ+=+=+==+()()()()()()()()()()k c k k k k τδαδατδατδατδα==== 故'':V V ≅τδ附带说明了，同构映射的逆和积仍为同构映射结论：若数域P 上两个线性空间V ，V ′且‘'dim dim V V V v ≅=则 证：设 n n o P V P V n V V ≅≅=='’,1dim dim 由济由4o'V p n ≅由5o ，V ≌V ′反过来数域P 上的同构的线性空间是否维数相同？ 6o()()()00,δδαδα=-=-证 ()()()00.0.0δδαδα===()()()()()1.10δαδαα-=-=-=7o()()()11221122()r r r r k k k k k k δαααδαδαδα+++=+++()()1122)(r r k k k δαδαδ=+++∂= 左右 线性组俣的条是象的线性组合.8o 若12,,,s d d α 线性相关，则()()12,,,()s δαδαδα 线性相关 证：12,,,s k k k ∃ 不全为0，()()1122(00s s k k k δδαδαδαδδ=+++=== 左）（）（）（）右9o 若12,,,s ααα 线性无关，则()()()12,,s δαδαδα ,线性无关证：设()110,0ss i i i i i i k k δαδα==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑则()1100δδ-= 是的故0只有一个原象0，∑==∴si i i k 10α而1212,,,0s s k k k ααα∴==== 线性关 因此()()()1,,,s s δαδαδα 线性无关 10o设'11,V V V V V δ≤≅那么的象集()(){}'11V V V δδαα=∈≤证()()100V δδ∈= ()1‘1,V V 记作非空∂∴()()’''''111,,,,,V V αβαβααδββ∀∈∃∈∂==则使()1'''1V V ∈+=+∈+βαβαδβα且()'1'1V k k V k ∈=∈ααδα且 ''1V V ≤∴11o设()1111dim 'dim ,''V V V V V VV =≅≤则δδ证：设()121,,,''r i i V αααδαα=∈ 的基 ()()121112',',,'',,,r r L V V L αααααα∴⊆=⋯ 而()'''1‘1ββδββ=∈∃∈∀V V 则由()()()12111''',',,'r r ri i i i i i r i i i k d k k L ββδβααααα====⇒===∈∑∑∑()112'',',,'r V L ααα∴⊆即()112'',',,'r V L ααα= 由0912',',,'r ααα 线性无关，秩为r()()11212dim '',',,'',',,'r r V r αααααα=== 秩秩 1dim r =结论 若δ≅V 'dim dim 'V V V =则 证：'dim dim 'V V V =∴则映上δ综合上面2结论有定理12：数域P 上两个线性空间同构当且 仅它们维数相同线性空间并不问元素是什么，运算的意义是什么。
第八节线性空间的同构
其中 α , β 是 V 中任意向量， k 是 P 中任意的数，则称 σ 为 V 到 V ′ 的同构映 射，这时也称线性空间 V 与 V ′ 同构
注意：1）定义 12 中条件 1）2）于下面条件 3）等价： 注意 3） σ ( kα + lβ ) = kσ (α ) + lσ ( β ) ， ∀α , β ∈ V ， ∀k , l ∈ P 。
线性空间的同构一线性空间同构的概念定义12的11对应且满足的同构映射这时也称线性空间v同构注意
§8 线性空间的同构
一、线性空间同构的概念
定义 12 设 V 与 V ′ 是数域 P 上线性空间， σ 是 V 到 V ′ 的 1-1 对应，且满足 1） σ (α + β ) = σ (α ) + σ ( β ) ； 2） σ ( kα ) = kσ (α ) 。
2）任意线性空间都与自己同构。
3）数域 P 上任一 n 维线性空间都与 P n 同构。
例 1:设 V = { A | A = ( a ij ) ∈ P 3×3 , A′ = A} ，
W = { A | A = ( a ij ) ∈ P 3×3 , a ij = 0, i > j ,1 ≤ i, j ≤ 3} ，规定：
二、同构映射的性质
1） σ (0) = 0 ， σ ( −α ) = −σ (α ) ；
2） σ ( k1α 1 + k 2α 2 + L + k r α r ) = k1σ (α 1 ) + L + k r σ (α r ) ；
3）V 中向量组 α 1 , α 2 ,Lα r 线性相关（无关）等价于 σ (α 1 ), σ (α 2 ),Lσ (α r ) 线性相关（无关） 。
高等代数课件(北大版)第六章-线性空间§6.6
bt 1
x1
bt
2
x2
btn xn 0
的解空间，则 W1 W2 就是齐次线性方程组③
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
ab1s11
x1 x1
as2 x2 b12 x2
asn xn 0 b1n xn 0
③
bt 1
x1
bt
并不是R3的子空间. 因为它对R3的运算不封闭，如 (1,0,0), (0,1,0) V1 V2
但是 (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) V1 V2
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
三、子空间的交与和的有关性质
1、设 V1,V2 ,W 为线性空间V的子空间
1）若 W V1,W V2 , 则 W V1 V2 . 2）若 V1 W ,V2 W , 则 V1 V2 W .
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
注意：
V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如 V1 {(a,0,0) a R}, V2 {(0,b,0) b R}
皆为R3的子空间，但是它们的并集 V1 V2 {(a,0,0),(0,b,0) a,b R} {(a,b,0) a,b R 且a,b中至少有一是0}
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
2020/9/20
§6.6 子空间的交与和
一、子空间的交 二、子空间的和 三、子空间交与和的有关性质