河南中考复习专题圆
D O C B A
m
（第11题）
(2007河南)如图，PA、PB切⊙O 于点A、B，点C是⊙O上一点，且 ∠ACB=65°，则∠P= 50 度．
A P B O C
圆与圆的五种位置关系
用两圆的圆心距O1O2 =d与两圆的半径R,r的 数量关系来判别两圆的位置关系
弧长与扇形面积公式
nR S扇形 360 nR R 180 2 lR 2
.O
B (A)
D
C
3、已知⊙O的半径为13,AB为直 径,CD为弦,CD⊥AB,垂足为点E. 若CD=10, 求AE的长。
C
C
13 12
A
5
E
.O
B A
5 .O12 E
13
B
D
AE=OA-OE=1
D
AE=OA+OE=25
4、已知点P到⊙O上 的点的最大距离是7cm，最 小距离是1cm，则⊙O的半径是（ C ）
y C O D M B A x
(1,3)
• • • • • • •
解： ∵四边形OCDB是平行四边形，B（8,0）， ∴CD∥OA，CD＝OB＝8 …………2分 过点M作MF⊥CD于点F，则CF＝CD＝4 …………………………5分 过点C作CE⊥OA于点E， ∵A（10,0），∴OE＝OM－ME＝OM－CF＝5－4＝ 1…………7分 • 连结MC，则MC＝0A＝5。 • ∴在Rt△CFM中，MF＝＝＝3 • ∴点C的坐标为（1,3） …………………………9分
直线与圆的位置关系量化
r O ┐d r O r
●
●
l
●
O
d ┐
l
d
┐
如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l 的距离为d,那么 (1)d＜r 直线l 与⊙O相交
l
(2) d=r
(3) d ＞ r
直线l 与⊙O相切
直线l 与⊙O相离
切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直这条 半径的直线是圆的切线 几何语言表示:
r r
3)如图,已知扇形的半径为6cm，圆心角的度 数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围 成圆锥的底面圆的半径为（ 2 ）
A 6cm 120 O
B
4)如图,PA、PB切⊙O于A、B两点， 若∠APB=60°,⊙O的半径为3，则 阴影部分的面积为（ ）
A O
P B
9 3 3
5)如图，是一座圆弧形涵洞的入口的示意图，如 果涵洞的高CD为6米，涵洞入口处的地面宽度 AB为4米，请你求出这座涵洞圆弧所在圆的半 径的长 分析：此图形为垂径定理 的图形，利用垂径定理和 勾股定理可以解决
圆周角定理
定 理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周 角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
C2 C1 C3
推
论
半圆（或直径）所对的圆周 角是直角; A 90°的圆周角所对的弦是直径．
O
·
B
(2006河南10)如图，点A，B，C是 ⊙O上的三点，若∠BOC=56°，则 28° ∠A的度数为____________ ．
（2013河南中考）2. 下列图形中，既是轴对称图形 又是中心对称图形的是（ D ）
A
B
C
D D
本章知识易错易漏点
例1：△ABC是半径为2 cm的圆内接 三角形，若BC ﹦2cm，则 ∠A的度 A 30 °或 150 ° 数为 。
解：如图，连接OB、OC，
则OB=OC=BC=2cm
△OBC为等边三角形 ∠BOC=60°
例4、已知△ABC内接于⊙O,AB=AC， 圆心O到BC的距离为6，圆的半径为10。 求腰AB的长。 A A B
.O
B D C
.O
D
C
练一练：
1、两圆相切，圆心距为4cm，其中一圆的半径 为3cm，则另一圆的半径为 7cm或1cm 。
2、在半径为4cm的圆中，一条弦长 4 3 cm， 则这条弦所对的圆周角的度数 是 60°或120° 。所对的弧 A 8 cm或16 cm。 长为 3 3
.O
B
当A在优弧BC上时， ∴ ∠A=30° 当A在劣弧BC上时， ∠A=150°
(A)
C
例2：如图，AB、AC与⊙O相切于B、 C两点，且∠A=40°，若P是⊙O上异 于B、C两点的一动点，则∠BPC的度 B 数是（ C ）。 （ A ） 70° A （P） （ B ） 80° （ C） 70°或110° C （ D） 110°或80°
圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长
nl 2r 180
l
n°
l
O
r
(2007河南省14)四边形OABC为 菱形，点B、C在以点O为圆心的 上，若OA=3，∠1=∠2，则扇形 OEF的面积为 3π ．
O
1 2
A E
F C
（第14题图）
B
S 侧 =πrl
(r表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母 线长 )
.O
P
例3:在半径为5cm的圆内有两条互相 平形的弦,一条长8 cm,另一条长6cm, 则这两条弦之间的距离是 7cm或1cm F D 3cm E C A 4cm B A 4cm B 4cm 3cm 5cm E 5cm 3cm O .O
.
5cm
4cm
C
3cm
F
D
EF=OF-OE=1cm
EF=OF+OE=7cm
主要知识点及河南近五年中考题回顾
圆心角与弧、弦的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等。
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角 相等 ， 所对的弦________ 相等 ； _____
同圆或等圆中， 两个圆心角、两 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角 条弧、两条弦中 有一组量相等， 相等 ，所对的弧_________ 相等 ______ ． 它们所对应的其 余各组量也相等．
例 1 已知：如图 Z4－ 1，M 是⊙O 的直径 AB 上 任意一点，过点 M 作 AB 的垂线 MP，D 是 MP 的延长 线上一点，联结 AD 交⊙O 于点 C，且 PD＝PC. (1)判断直线 PC 与⊙O 的 位置关系，并证明你的结论； 2 (2)若 tanD＝ ， OA＝ 3， 2 过点 A 作 PC 的平行线 AN 交 ⊙ O 于点 N.求弦 AN 的长．
(2012河南11)母线长为3，底面圆的直 径为2的圆锥的侧面积为 3∏
(2011河南省10) CB切⊙O于点B，CA交⊙O于 点D且AB为⊙O的直径，点E是弧ABD上异于 点A、D的一点.若∠C=40°，则∠E的度数 为 40° .
(2008河南14)如图，小刚制作了一 个高12cm，底面直径为10cm的圆 锥，这个圆锥的侧面积是 65∏ cm2.
(2012河南8)如图，已知AB为⊙O的直径， AD切⊙O于点A, 弧EC=弧BC,则下列结论 不一定正确的是( D)
A．BA⊥DA C．∠COE=2∠CAE
B．OC∥AE D．OD⊥AC
垂径定理及 推论:
垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧
在⊙O中，直径CD⊥弦AB 1 ∴ AM = BM = AB 2
∵l⊥OA 于点A ,且OA为圆O的半径
∴ l是⊙O的切线
O A
l
问题与思考
将上页思考中的问题反过 来,如图如果直线l是⊙O的切 线,切点为A,那么半径OA与直 线 l 是不是一定垂直呢?
O
A
l
我们有切线的性质定理:
圆 的 切 线 垂 直 过 切 点 的 半 径.
可以用反 证法证明 这个结论.
(2010河南11) AB 切⊙ O 于点 A ， BO 交⊙ O 于点 ⌒ C，点D是CmA上异于点C、A的一点，若 ∠ABO=32°，则∠ADC的度数是 29° ． ______________
A C
O B
D
P
• 17.（1）连接OA，∵PA为⊙O的切线， ∴OA⊥PA. ……………………………1分 • 在Rt△AOP中，∠AOP=900－∠APO=900-300=600. • ∴∠ACP=∠AOP=×600=300. ……………………………………… …4分 • ∴∠ACP=∠APO, ∴AC=AP. • ∴△ACP是等腰三角 形. ………………………………………………………5分 • （2）① 1；………………………………………………………………………… …7分 • ②1. ………………………………………………………………………9分
A、4cm C、4cm或3cm B、3cm D、6cm
.A
.O .P .B .A
.O
.B.P
河南中考预测
1)如图,⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、 E、F，若∠A=70°，则∠EDF=（55） ° A E F B O
D
C
2)将两枚同样大小的硬币放在桌上， 固定其中一枚，而另一枚则沿着其边 缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了 ( C ) A．1圈 B．1.5圈 C．2圈 D．2.5圈
（第14题）
• 2013河南中考第7题 • 7. 如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于 点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结 论中不一定正确的是（ C ） • A. AG=BG B. AB//EF • C. AD//BC D. ∠ABC=∠ADC
C
O
A G B
E
D 第7题
F
• （2014河南中考）17.（9分）如图,CD是⊙O的直径，且 CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切 线PA、PB，切点分别为点A、B. • （1）连接AC,若∠APO＝300，试证明△ACP是等腰三 角形； • （2）填空： • ①当DP= cm时，四边形AOBD是菱形； • ②当DP= cm时，四边形AOBP是正方形．
河南省中考数学总复习圆第一节圆的基本性质课件
由AP和BP的长可得AB的长，从而得到半径，继而只需在
Rt△OCH中求解即可.
【自主解答】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如解图，
∵OH⊥CD，∴HC＝HD，∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝8，∴OA＝
4，∴OP＝OA－AP＝2，在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°，
1 2
∴OH＝
OP＝1，在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，∴CH＝
如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，
35 度. 直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝_____
考点二 垂径定理及其推论的相关计算
例2 (2018·枣庄)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，
AP＝2，BP＝6, ∠APC＝30°，则CD的长为(
)
【分析】要求弦CD的长，可先过O作CD的垂线，再连接OC，
42 12 ＝ 15 ，∴CD＝2CH＝2 15 .
OC2 OH2 ＝
1. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，
5 E直于弦CD，垂足为点E，∠A＝
4 2 22.5°，OC＝4，则弦CD的长为_____.
考点一 圆周角定理及其推论的相关计算 例1 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两 点，下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是( A．∠ADC C．∠BAC B．∠ABD D．∠BAD )
【分析】要求与∠ACD互余的角，观察图形，可知∠ACD＝ ∠ABD，由AB是⊙O的直径，及圆周角定理的推论可得∠ABD 与∠BAD互余，从而可得结论. 【自主解答】∵AB是⊙O的直径，∴∠ABD＋∠BAD＝90°， ∵∠ACD＝∠ABD(同弧所对的圆周角相等)，∴∠ACD＋∠BAD ＝90°，与∠ACD互余的角为∠BAD.
河南中考复习专题圆
(1,3)
• • • • • • •
解： ∵四边形OCDB是平行四边形，B（8,0）， ∴CD∥OA，CD＝OB＝8 …………2分 过点M作MF⊥CD于点F，则CF＝CD＝4 …………………………5分 过点C作CE⊥OA于点E， ∵A（10,0），∴OE＝OM－ME＝OM－CF＝5－4＝ 1…………7分 • 连结MC，则MC＝0A＝5。 • ∴在Rt△CFM中，MF＝＝＝3 • ∴点C的坐标为（1,3） …………………………9分
A、4cm C、4cm或3cm B、3cm D、6cm
.A
.O .P .B .A
.O
.B.P
河南中考预测
1)如图,⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、 E、F，若∠A=70°，则∠EDF=（55） ° A E F B O
D
C
2)将两枚同样大小的硬币放在桌上， 固定其中一枚，而另一枚则沿着其边 缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了 ( C ) A．1圈 B．1.5圈 C．2圈 D．2.5圈
D O C B A
m
（第11题）
(2007河南)如图，PA、PB切⊙O 于点A、B，点C是⊙O上一点，且 ∠ACB=65°，则∠P= 50 度．
A P B O C
圆与圆的五种位置关系
用两圆的圆心距O1O2 =d与两圆的半径R,r的 数量关系来判别两圆的位置关系
弧长与扇形面积公式
nR S扇形 360 nR R 180 2 lR 2
主要知识点及河南近五年中考题回顾
圆心角与弧、弦的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等。
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角 相等 ， 所对的弦________ 相等 ； _____
2024年河南省中考数学一轮复习专题：+圆的基本性质+课件
3.[2016河南，18] 如图，在 中， ，点 是 的中点，以 为直径作 分别交 ， 于点 ， ，连接 .
（1）求证： .
证明：在 中，点 是 的中点， ， . 四边形 是圆内接四边形， .又 , .同理可证： . ， .
【自主解答】证明: 是圆内接四边形 的外角, . , , .又 , .又 , , .
（2）若 ， 的半径为2，求 ．
[答案] .
（3）连接 ， ，若四边形 是平行四边形，则 的度数为_ ____.
（4）若 平分 ， ，求 的值.
（2）填空：
①若 ，当 时， ___；
2
②连接 ， ，当 的度数为_ ____时，四边形 是菱形.
▶▶ 完成练习册相关习题
作业：
90
一图串考法
考法1 圆周角定理及其推论（8年5考）
1.[2023河南，6] 如图，点 ， ， 在 上，若 ，则 的度数为( )
D
A. B. C. D.
2.[2019河南，17] 如图,在 中, , ,以 为直径的半圆 交 于点 ,点 是 上不与点 , 重合的任意一点,连接 交 于点 ,连接 并延长交 于点 .
考点2，4→
（第1题）
1.一题多问 如图，在 中， 是直径， 是弦， 与 交于点 ，连接 , , , , .
（1） ____ .
90
（2）若 ，则 ____ ， ____ ， ____ .
60
30
60
（3）若 ， ，则 ___.
2
（4）若 平分 ， ，则 _ ____.
1.垂径定理：垂直于弦的直径⑩______弦，并且⑪______弦所对的两条弧.
平分
平分
2.垂径定理的推论：平分弦（⑫________）的直径垂直于弦，并且⑬______弦所对的两条弧.
2024河南中考数学备考重难专题课件：真实情境中的圆问题
真实情境中的圆问题
目 录
1 典例精讲 2 课堂练兵 3 课后小练
考情分析
题题分
年份
背景素材
号型值
考查知识
设问形式 辅助线作法
(1)切线的性质、互为余 (1)求证：两 (1)过切点作铅
2022 22
角的性质；
角之和为 垂线的平行线；
10 滚铁环 (2)锐角三角函数，等角 90°；
PA PC =
PB PA
? PA2＝PB·PC
图中构成A字型相似（有 公共角，且另一组角相等）
⊙O的最低点到水 面的距离为2米
半径为5
DF=2
Rt△OFC中求得FC，BC
(2)解：如解图，过点O作OF⊥BC于点F，延长OF交⊙O于点D，连接OC，
∵BC为水平面，
答题步骤
∴D为⊙O的最低点，由题知DF＝2米，由垂径定理可得BC＝2CF， 作辅助线 在Rt△OFC中，OF＝OD－DF＝5－2＝3米，OC＝5米，
角平分线性
练课习堂(2练02兵3河南原创卷)我国的纸伞工艺能十想分到巧什妙么．？角线如平图分①，伞质不是论什张么开？还是缩拢，
伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAD，从而保证伞圈C能沿着伞柄滑 动．小明受此启发设计了一个“简易平分角的仪器”，如图②，其中AB＝AD，BC＝ DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们落在角的两边上， 沿AC画一条射线AE，则AE为∠PRQ的平分线． (1)如图②，试说明这个平分角的仪器的制作原理；
样作辅助线？
E
借助半径构造直径试试，并连接CE
例题图
(1)求证：∠PAC＝∠PBA；
观察图形还有什么发现？ 互余的性质得到 ∠AEC=∠PAC=∠PBA
2025年河南省九年级中考数学二轮复习特色专题课件：专项11+辅助圆的应用
本章知识导图
典例3 相切时有最值 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是 边AD上一动点，连接BE，作点A关于BE的对称点F，连接CF并延长 交边AD于点G，则AG的最大值为_2__.
本章知识导图
1．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点E，F分别在AB， BC上，且EF＝3，M是EF的中点，连接DM，则DM的最小值为__3_.5__.
A．4
B．5
C．145
D．156
本章知识导图
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是矩形内部的一个动点， 8
且∠APD＝90°，连接CP并延长交AB于点E，则AE的最大值为_3_.
本章知识导图
5．如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上， 且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则∠AFB＝__1_2_0_°__， CF的最小值是2___3． 提示：可证△ABD≌△BCE，则∠BAD＝∠CBE，可得∠AFB＝120°， 从而得点F在以点O为圆心，OA长为半径的弧上运动(∠AOB＝120°， OA＝2 3)，连接OC交⊙O于点N，当点F与点N重合时，CF的值最小
本章知识导图
(2)线圆最值 如图，点A是⊙O上一动点，l为⊙O外一直线，过点O作l的垂线，与 ⊙O交于点A1，A2，则点A到直线l的距离的最大值为A1P＝d＋r，最小 值为A2P＝d－r.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
本章知识导图
2．利用90°圆周角所对的弦是直径作圆 如图，当∠ACB＝90°时，弦AB为直径，点C的运动轨迹为⊙O(不与 点A，B重合)．
本章知识导图
类型3 四点共圆 典例5 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝ 30°，AD＝2，则△ABC面积的最大值为_3___3_.
中考数学总复习(河南)课件：第20讲 圆的基本性质
考点6正多边形与圆
名称
定义
中心
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的 中心
考点2垂径定理及其推论
平分
所对的两条弧
垂径定理：垂直于弦的直径__________弦，并且平分弦____________．
垂径定理的推论： ①平分弦(不是直径)的直径垂__直__于__弦__，并且平分弦所对的两条弧；
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
半径 中心角
外接圆的半径叫做正多边形的半径
正多边形每一边所对的_圆__心__角___叫做正多边形 的中心角()
边心距
正多边形的中心到正多边形边的_距__离____叫做正 多边形的边心距
3.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝60°，则∠DCE ＝___6_0_°___.
考点圆周角定理及其推论
【对应训练】 1．(2017·广州)如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂 足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是( D ) A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40° D．∠BOC＝2∠BAD(导学号 95604062)
2 ． (2017· 青 岛 ) 如 图 ， AB 是 ⊙O 的 直 径 ， 点 C ， D ， E 在 ⊙O 上 ， 若 ∠AED＝20°，则∠BCD的度数为( B ) A．100° B．110° C．115° D．120°
2024河南中考数学复习 圆的实际应用 强化精练 (含答案)
2024河南中考数学复习圆的实际应用强化精练基础题1.(2023岳阳)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”如图，其大意是：今有圆形材质，直径BD 为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD 达到7寸．则BC 的长是()第1题图A.674寸B.25寸C.24寸D.7寸2.(2023山西)中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线(即圆弧)，高铁列车在转弯时的曲线起点为A ，曲线终点为B ，过点A ，B 的两条切线相交于点C ，列车在从A 到B 行驶的过程中转角α为60°.若圆曲线的半径OA ＝1.5km ，则这段圆曲线AB ︵的长为()第2题图A.π4km B.π2km C.3π4km D.3π8km 3.(2023吉林省卷)如图①，A ，B 表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O 是圆心，半径r 为15m ，点A ，B 是圆上的两点，圆心角∠AOB ＝120°，则AB ︵的长为________m .结果保留π)第3题图4.(2023衡阳)如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________个．第4题图5.(2023郴州)如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器________台．第5题图6.(2023成都)为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳______名观众同时观看演出．(π取3.14，3取1.73)第6题图拔高题7.(2023新乡三模)考古学家在考古过程中发现一个圆盘，但是因为历史悠久，已经有一部分缺失，现希望复原圆盘，需要先找到圆盘的圆心，才能继续完成后续修复工作．在如图①所示的圆盘边缘上任意找三个点A，B，C.第7题图(1)请利用直尺(无刻度)和圆规，在图①中画出圆心O；(要求：不写作法，保留作图痕迹)(2)如图②，数学兴趣小组的同学在(1)的基础上，补全⊙O，连接AC，BC，过点A作⊙O的切线交CB的延长线于点E，过点C作CD∥AE，交⊙O于点D，连接AD.①求证：AD＝AC；②连接DB，若DB为⊙O的直径，AC＝70，BC＝4，求⊙O的半径．8.我国古代建筑屋顶大部分属于坡屋顶的范畴．与平屋顶相比，其优点是排水迅速、不易积水，所以一般不会形成渗漏并影响下部结构．各种坡屋顶类型早在秦汉时期就已基本形成，到宋代更为完备．可以将房脊抽象成数学问题．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点C，D，连接CD.连接PO，交⊙O于点F，交CD于点E.PO延长交⊙O于点G.第8题图(1)若∠CPD＝90°，连接OC，OD，判断四边形CODP的形状，并说明理由；(2)若PF＝20cm，EG＝30cm，求EF的长．参考答案与解析1.C 【解析】∵BD 是圆的直径，∴∠BCD ＝90°，∵BD ＝25，CD ＝7，∴在Rt △BCD 中，由勾股定理得，BC ＝252－72＝24寸．2.B 【解析】∵过点A ，B 的两条切线相交于点C ，∴AO ⊥AC ，BO ⊥BC ，∴∠OAC ＝∠OBC ＝90°，∴A ，O ，B ，C 四点共圆，∴∠AOB ＝α＝60°，∴圆曲线 AB 的长为60π·1.5180＝12π(km).3.10π【解析】∵∠AOB ＝120°，⊙O 半径r 为15m ，∴ AB 的长＝120π×15180＝10π(m).4.10【解析】∵多边形是正五边形，∴正五边形的每一个内角为：15×180°×(5－2)＝108°，∴∠O ＝180°－(180°－108°)×2＝36°，∴正五边形的个数是360°÷36°＝10.5.4【解析】∵∠P ＝55°，∴∠P 所对的弧所对的圆心角是110°，∵360°÷110°＝3311，∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台．6.184【解析】如解图，过O 作OC ⊥AB ，C 为垂足，∴AC ＝BC ，OC ＝5m ，∵cos ∠AOC ＝OC OA ＝510＝12，∴∠AOC ＝60°，AC ＝3OC ＝53m ，∴∠AOB ＝120°，AB ＝103m ，∴S 阴影部分＝S 扇形AOB －S △OAB ＝120π×102360－12×103×5＝1003π－253≈61.4(m 2)，∴61.4×3≈184(人).∴最多可容纳184名观众同时观看演出．第6题解图7.(1)解：画图如解图①；第7题解图①(2)①证明：如解图②，连接AO ，并延长交DC 于点F ，∵AE 为⊙O 的切线，∴OA ⊥AE ，∵AE ∥CD ，∴AF ⊥CD ，∴ AD ＝AC ，∴AD ＝AC ；第7题解图②解：如解图③，在解图②的基础上，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，连接BD ，则CM ＝12BC ＝2，∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BCD ＝90°，又∵∠OFC ＝∠OMC ＝90°，∴四边形OFCM 为矩形，∴OF ＝CM ＝2，设OA ＝OD ＝x ，∴DF 2＝x 2－22，∵DF 2＋AF 2＝AD 2＝AC 2，∴x 2－22＋(x ＋2)2＝(70)2，解得x 1＝5，x 2＝－7(舍去)，∴OA ＝5，即⊙O 的半径为5.8.解：(1)四边形CODP 是正方形，理由如下：∵AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D ，∴∠OCP ＝∠ODP ＝90°，∵∠CPD ＝90°，∴∠OCP ＝∠ODP ＝∠CPD ＝90°，∴四边形CODP 是矩形，∵OC ＝OD ，∴四边形CODP 是正方形；(2)设EF ＝x ，则GF ＝EG ＋EF ＝30＋x ，∴OG ＝OF ＝GF 2＝30＋x 2，OE ＝OF －EF ＝30＋x 2－x ＝30－x 2，OP ＝OF ＋PF ＝30＋x 2＋20＝70＋x 2，∵PA ，PB 分别与⊙O 相切于点C ，D ，∴PC ＝PD ，PO 平分∠APB ，∠PCO ＝90°，∴PE ⊥CD ，∴∠PEC ＝90°，∴△OEC ∽△OCP ，∴OC OP ＝OE OC ，即：30＋x 270＋x 2＝30－x 230＋x2，化简得x 2＋50x －600＝0，解得x ＝10或x ＝－60(不合题意，舍去)，故EF ＝10cm.。
2024河南中考数学复习 圆的基本性质 强化精练 (含答案)
2024河南中考数学复习圆的基本性质强化精练基础题1. (2023江西)如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为()第1题图A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个2. 如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若∠AOB＝80°，则∠C 的度数为()A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°第2题图3. (2023杭州)如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝()第3题图A. 23°B. 24°C. 25°D. 26°4. (2023宜昌)如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D.若AD＝CD＝8，OD ＝6，则BD的长为()第4题图A. 5B. 4C. 3D. 25. (2023山西)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O.若∠BAC ＝40°，则∠DBC的度数为()第5题图A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°6. 如图，⊙O是∠ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC的平分线交⊙O于点D，交AC 于点E，若∠C＝36°，则∠CED＝()第6题图A. 54°B. 60°C. 63°D. 72°7. (2023安徽)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD＝()第7题图A. 60°B. 54°C. 48°D. 36°8. (2023吉林省卷)如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点(点P不与点B重合)，连接CP.若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是()第8题图A. 70°B. 105°C. 125°D. 155°9. (2023绍兴)如图，四边形ABCD 内接于圆O ，若∠D ＝100°，则∠B 的度数是______．第9题图10.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，点C 是BD ︵的中点，延长AD 交BC 的延长线于点E .(1)求证：CE ＝CD ；(2)若AB ＝2，BC ＝1，求∠EDC 的度数以及AD 的长．第10题图拔高题11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(10，0)，直线y＝kx＋8与⊙O交于B，C两点，则弦BC的最小值为()第11题图A. 8B. 10C. 12D. 1612. 如图，AC是⊙O的直径，弦BC＝6 cm，AB＝8 cm，若动点M以2 cm/s的速度从C点出发沿着C到A的方向运动，点N以1 cm/s的速度从A点出发沿着A到B的方向运动，当点M到达点A时，点N也随之停止运动，设运动时间为t(s)，当∠AMN是直角三角形时，t 的值为()第12题图A. 4013s B. 5 sC. 257s D.4013s或257s13. (2023安徽改编)已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．(1)如图∠，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分∠BCD；(2)如图∠，E为⊙O内一点，满足AE∠BC，CE∠AB.∠连接BE，DE，证明：∠BDE是钝角三角形；∠若BD＝33，AE＝3，求BC的长．第13题图参考答案与解析1. D 【解析】根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆得，经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为6个．2. B 【解析】∵OA ，OB 是⊙O 的两条半径，点C 在⊙O 上，∠AOB ＝80°，∴∠C ＝12 ∠AOB＝40°.3. D 【解析】如解图，连接OC ，∵∠ABC ＝19°，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝38°，∵半径OA ，OB 互相垂直，∴∠AOB ＝90°，∴∠BOC ＝90°－38°＝52°，∴∠BAC ＝12∠BOC ＝26°.第3题解图4. B 【解析】∵AD ＝CD ＝8，OA ＝OC ，∴OB ⊥AC ，在Rt △AOD 中，OA ＝AD 2＋OD 2 ＝82＋62 ＝10，∴OB ＝10，∴BD ＝OB －OD ＝10－6＝4.5. B 【解析】∵BD 经过圆心O ，∴∠BCD ＝90°，∵∠BDC ＝∠BAC ＝40°，∴∠DBC ＝90°－∠BDC ＝50°.6. C 【解析】∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，又∵∠C ＝36°，∴∠ABC ＝54°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝12∠ABC ＝27°，∴∠AEB ＝63°，∴∠CED ＝63°.7. D 【解析】∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠BAE ＝（5－2）×180°5 ＝108°，∠COD＝360°5＝72°，∴∠BAE －∠COD ＝108°－72°＝36°.8. D 【解析】如解图，连接BC ，∵∠BAC ＝70°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝140°，∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝180°－140°2 ＝20°，∵点P 为OB 上任意一点(点P 不与点B 重合)，∴0°＜∠OCP ＜20°，∵∠BPC ＝∠BOC ＋∠OCP ＝140°＋∠OCP ，∴140°＜∠BPC ＜160°，D 选项符合题意．第8题解图9. 80°【解析】∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠B＋∠D＝180°，∵∠D＝100°，∴∠B ＝80°.10. (1)证明：如解图，连接AC，第10题解图∵AB为直径，∴∠ACB＝∠ACE＝90°，又∵点C是BD的中点，∴∠CAE＝∠CAB，CD＝CB，又∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACB(ASA)，∴CE＝CB，∴CE＝CD；(2)解：由(1)得，∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝1，∴∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，由(1)得，△ACE≌△ACB，∴AE＝AB＝2，∠E＝∠ABC＝60°，由(1)得，CE＝CD＝1，∴△CDE为等边三角形，∴DE＝CE，∴AD＝AE－DE＝AE－CE＝1.11. C【解析】如解图，连接OB，∵直线y＝kx＋8必过点D(0，8)，∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，∵点D的坐标是(0，8)，∴OD＝8，∵以原点O为圆心的圆过点A (10，0)，∴圆的半径为10，∴OB ＝10，∴由勾股定理得BD ＝6，∴BC ＝2BD ＝12，∴弦BC 的最小值为12.第11题解图12. D 【解析】如解图，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠B ＝90°.又∵BC ＝6 cm ，AB ＝8 cm ，∴根据勾股定理得AC ＝AB 2＋BC 2 ＝10 cm ，则AM ＝(10－2t )cm ，AN ＝t (cm).∵当点M 到达点A 时，点N 也随之停止运动，∴0＜t ≤5.①如解图①，当MN ⊥AB 时，MN ∥BC ，则△AMN ∽△ACB ，则AN AB ＝AM AC ，即t 8 ＝10－2t 10 ，解得t ＝4013 .②如解图②，当MN ⊥AC 时，易证△AMN ∽△ABC ，则AM AB ＝AN AC ，即10－2t 8 ＝t 10 ，解得t ＝257 .综上所述，当t ＝4013 s或t ＝257s 时，△AMN 为直角三角形．第12题解图13. (1)证明：∵OA ⊥BD ， ∴AB ＝AD ， ∴∠ACB ＝∠ACD ， 即CA 平分∠BCD ；(2)①证明：如解图①，延长BE 交⊙O 于点F ，连接DF ， ∵BD 为⊙O 的直径， ∴∠BFD ＝90°， ∴∠DEF ＜90°， ∴∠BED ＞90°， ∴△BDE 是钝角三角形；第13题解图①②解：如解图②，延长AE交BC于M，延长CE交AB于N，∵AE⊥BC，CE⊥AB，∴∠AMB＝∠CNB＝90°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠BAD＝∠CNB，∠BCD＝∠AMB，∴AD∥NC，CD∥AM，∴四边形AECD是平行四边形，∴CD＝AE＝3，∴在Rt△BCD中，由勾股定理得BC＝BD2－CD2＝（33）2－32＝32.第13题解图②。
2024年河南中考数学专题复习第六章+第一节+圆的基本性质+课件
_____A__C__(或___A_D__或__B__C_或___B_D__或___C_D__)____________是劣弧；(4)图中 和
_______A_D， 和BD______A__C，B 和ADB A是B等D弧. BAD Nhomakorabea图①
与圆有关 的性质
河南9年真题子母题
命题点 与圆周角、圆心角有关的计算9年4考
1. (2023河南6题3分)如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则 ∠AOB的度数为( D ) A. 95°B. 100°C. 105°D. 110°
第1题图
回归教材 1.1变设问——将求角度变为证明圆周角定理如图，点A，B，
例2题解图①
拓展探索 探究：直径所对的角
例3 已知AB是⊙O的直径，点C为直线AB外一点，连接AC，BC. (1)如图①，当点C在⊙O上时，∠C为直角，依据是 _直__径__所__对__的__圆__周__角__是__直__角_______；(2)如图②，当点C在⊙O内时，请证明： ∠C是钝角；
D
(2)证明：如图，延长AC交⊙O于点D， 连接BD，
正多边形 和圆
内角
外角 中心角
边心距 周长 面积
考点精讲
如图①，点A，B，C，D均在⊙O上，线段AB经过圆心O，且点D为弧AB
的中点，连接AC，OC，OD.(任填一个符合要求的答案)(1)图中________是
与圆有关 的概念 (图①)
圆周角，∠__B_A__C____________∠__A_O__C_(_或__∠__B_O_C__或__∠__A_O__D_或是∠圆B心O角D或(写∠出C小OD于) 180°的角即可)；(2)图中__________是弦，其中________是最长的弦；(3) 图中___A__C_(_或__A_B_)_______________A_B_________是优弧，
2024河南中考数学微专题复习 圆的相关证明与计算 课件
类型1 以实际情境为背景的圆问题
1.[2023洛阳三模] 如图（1）,中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计,包
含大量零部件和工艺,所彰显的智慧让人叹服.如图（2）是马车的侧面示意
图, 为车轮 ⊙ 的直径,过圆心 的车架 一端点 着地时,地面 与车
轮 ⊙ 相切于点 ,连接 , .
线，再在水池外取一点 ，测得 ， 的长，在 的延长线上取点 ，
使得 = ，在 的延长线上取点 ，使得 = ，最后测得 的
长即为直径 的长；
方案二：如图（3），先在水池边上取 ， 两点，使得 ， ， 三点共
线，再在水池外取一点 ，测得 ， 的长，在 的延长线上取点 ，
∴ ∠ = ∠ ， ∴ ∠ = ∠ .
（2）若木棒与水平面的夹角 ∠ = 45∘ ，切点 恰好为 的中点，则
石头的半径为多少？（结果保留根号）
[答案] 在 △ 中， ∠ = ∘ ，
= ，
∴ = ， ∴ = .
证明： ∵ 切 ⊙ 于点 ， 切 ⊙ 于点 ，
∴ ∠ = ∠ = ∘ ，
∴ ∠ + ∠ = ∘ − ∠ − ∠ = ∘ .
∵ ∠ + ∠ = ∘ ， ∴ ∠ = ∠ .
∵ 四边形 是正方形， ∴ // ，
=
,
= 米, = . 米,
∴ = = . 米.
答：车轮的半径长为0.55米.
2.[2023河南省实验中学三模] 阿基米德说：
“给我一个支点，我就能撬动地球．”如图
（1），这句话形容杠杆的作用之大：只要