第十一章多元函数积分学
高等数学第十一章多元函数积分学
1.化整为零
分D为 n 个小区域，
1, 2, , n
相应柱体分为n部分
V V 1 V 2 V n
D底面
Vi
i
顶面f(x,y) 侧面
曲顶柱体的体积
1.化整为零 V V 1 V 2 V n 平行于xoy面的平面
一、直角坐标系下二重积分的计算
方法 y
当 f(x,y)0时，D为有界区域，视二重积分为曲顶柱体的体积
f(x,y)dV曲顶柱体
D
z
D
y
x
b
V曲顶柱体a A(x)dx
f(x,y)dabA(x)dx
D
a
bx
A(x)
A(x) 怎样求得？
直角坐标系下二重积分的计算
d
z
A(x)c f(x,y)dy
2(x) f (x, y)dy 1(x)
0
i n1 jn 1(n in j)n12
n
1 n4
nn
i
i1 j1
j 1[n(n1)]21
n n4 2
4
3．二重积分的性质
◣ k (fx,y)dkf(x,y)d （k为常数）
D
D
◣ [f ( x ,y g ( x ,y )d ] f( x ,y ) d g ( x ,y ) d
D
D
D
解：因f(x,y)=xy在D上连续
xyd 存在
D
ij
将D均分为 n 2 个正方形小区域 ij
ij
1 n2
(i ,i ) 取右上角顶点( i , j ) nn
f(i,i)ijn injn12
n n ( i j) 1
多元函数积分知识点总结
多元函数积分知识点总结1. 多元函数的概念多元函数是指至少含有两个自变量的函数，它是自变量的多项式和、积、商或者反函数的复合函数。
多元函数的自变量可以是实数，也可以是复数。
例如，z=f(x,y)表示一个含有两个自变量的函数，其中x和y称为自变量，z称为因变量。
多元函数的图形通常是在三维坐标系中表示的，它描述了自变量之间的关系和对因变量的影响。
2. 多元函数的积分多元函数的积分是对多元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的所有微小部分进行求和。
多元函数的积分具有广泛的应用，例如在物理学、工程学、经济学等领域中都有重要应用。
多元函数的积分包括二重积分和三重积分两种重要形式。
3. 二重积分二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的面积进行求和。
二重积分的计算通常涉及到对区域进行分割、确定积分范围、选择合适的坐标系等步骤。
二重积分的求解可以利用极坐标、直角坐标等不同坐标系进行计算，根据具体问题的情况选择合适的坐标系可以简化计算过程。
4. 三重积分三重积分是对三元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的体积进行求和。
三重积分的计算通常涉及到对区域进行分割、确定积分范围、选择合适的坐标系等步骤。
三重积分的求解可以利用柱面坐标、球面坐标等不同坐标系进行计算，根据具体问题的情况选择合适的坐标系可以简化计算过程。
5. 多元函数的积分性质多元函数的积分具有一些重要的性质，包括线性性质、可加性、区域可加性等。
其中线性性质指的是积分运算满足线性运算规律，可加性指的是积分在不同区域的和等于对整个区域的积分，区域可加性指的是积分在求和区域上的分割等价性。
这些性质在多元函数积分的计算中起着重要的作用，可以帮助简化计算过程和求得精确解。
6. 多元函数的变限积分多元函数的变限积分是对多元函数在变化区域上的积分运算，它可以表示为对函数在变限区域上的所有微小部分进行求和。
多元函数的积分
多元函数的积分在数学中，多元函数的积分是一项重要的概念和计算方法。
与一元函数的积分类似，多元函数的积分可以帮助我们求解曲线下的面积、体积等问题，以及解决一些与实际问题相关的计算。
一、二重积分二重积分是多元函数积分中最基础的一种形式。
它的计算方法依赖于重积分的定义以及二重积分的性质。
对于二重积分来说，我们需要将待求的函数转化为极坐标形式、直角坐标形式等，并确定积分区域的范围。
通过分割积分区域成为若干小块，再对每个小块进行积分求和，最后将所有小块的积分结果相加，可以得到二重积分的值。
在实际应用中，二重积分可以用来计算平面图形的面积、求解平面质心等问题。
二、三重积分与二重积分类似，三重积分是多元函数积分中的另一种形式。
三重积分的计算方法也依赖于重积分的定义以及三重积分的性质。
与二重积分不同的是，三重积分需要确定积分区域的范围，并将待求的函数转化为球坐标形式、柱坐标形式等。
同样地，通过分割积分区域成为若干小块，再对每个小块进行积分求和，最后将所有小块的积分结果相加，可以得到三重积分的值。
在实际应用中，三重积分可以用来计算空间图形的体积、质心等问题。
三、重积分的性质重积分具有一些重要的性质，这些性质对于计算积分结果以及简化计算过程都非常有帮助。
其中一些常见的性质包括积分线性性、积分对称性、积分的加法性和积分的估值性等。
积分线性性：对于常数a和b，函数f(x,y)和g(x,y)，有∬[D](af(x,y)+bg(x,y))dA = a∬[D]f(x,y)dA + b∬[D]g(x,y)dA。
这个性质使得我们在计算重积分时可以将积分区域分解成若干个子区域进行计算。
积分对称性：如果函数f(x,y)在区域D上关于x轴对称，则有∬[D]f(x,y)dA = 2∬[D1]f(x,y)dA，其中D1是区域D在x轴上方的部分。
类似地，还有关于y轴对称和原点对称的性质。
积分的加法性：对于两个不重叠的区域D1和D2，有∬[D1∪D2]f(x,y)dA = ∬[D1]f(x,y)dA + ∬[D2]f(x,y)dA。
多元函数积分学总结
多元函数积分学总结引言多元函数积分学是微积分的一个重要分支，研究的是多个变量的函数在特定区域上的积分计算和性质。
在实际问题中，我们经常需要求解多元函数的积分，以求得面积、体积、质量等物理量。
本文将对多元函数积分学的基本概念、计算方法和应用进行总结和介绍。
一、多元函数积分的基本概念1. 二重积分二重积分是多元函数积分学中最基本的概念之一。
它表示在二维平面上的一个有界区域上对函数进行积分。
二重积分的计算可以通过投影到坐标轴上的两个一元积分来实现。
根据积分区域的形状和函数性质的不同，二重积分可以分为类型I和类型II两种。
•类型I：积分区域为矩形、正方形或一般的可由直线分割成有限个矩形的区域。
•类型II：积分区域不属于类型I的情况，一般需要进行变量替换或极坐标转化来简化计算。
2. 三重积分三重积分是对三维空间内的函数进行积分。
它可以用于计算体积、质量、重心等与物体形状和密度有关的物理量。
三重积分的计算方法较为复杂，一般需要采用适当的坐标变换或者使用球坐标、柱坐标等不同坐标系下的积分公式来进行计算。
二、多元函数积分的计算方法1. Fubini定理Fubini定理是多元函数积分计算的基础定理之一。
它建立了二重积分和三重积分之间的关系，使得计算复杂多元函数积分时可以拆分为若干个简单的积分。
Fubini定理主要有两种形式：对于矩形区域上的二重积分，可以通过交换积分次序将其转化为两次一元积分。
对于空间区域上的三重积分，也可以利用类似的方法进行计算。
2. 极坐标和球坐标对于具有相关几何特性的问题，使用极坐标和球坐标可以简化多元函数积分的计算过程。
极坐标常用于计算平面上的二重积分，而球坐标常用于计算空间中的三重积分。
通过引入极坐标或球坐标的坐标变换，我们可以将原积分区域变换为一个更简单的形式，从而简化积分计算。
在实际应用中，灵活运用极坐标和球坐标可以大大提高计算效率。
三、多元函数积分的应用多元函数积分在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。
第十一章 多元函数的积分学(最全)word资料
第十一章多元函数的积分学1. 计算下列二重积分：(1) ，；(2) ，；(3) ，；(4) ，．2 . 将二重积分化为不同顺序的累次积分：(1) 由轴与所围成；(2) 由及所围成；(3) 由和围成；(4) ．3 .改变下列累次积分的次序：(1) ；(2) ；(3) ．4 .设在所积分的区域上连续，证明．5. 计算下列二重积分：(1) ( ), 是由围成的区域；(2) 是由和围成的区域；(3) ：；(4) ：；(5) 由所围成；(6) 由所围成；(7) 是以和为顶点的三角形；(8) 由和所围成．6. 求下列二重积分：(1) ；(2) ；(3) ．7. 用极坐标变换将化为累次积分：(1) ：半圆；(2) ：半环；(3) ：圆；(4) ：正方形．8. 用极坐标变换计算下列二重积分：(1) ：；(2) 是圆的内部；(3) 由双纽线围成；(4) 由阿基米德螺线和半射线围成；(5) 由对数螺线和半射线围成．9. 在下列积分中引入新变量，将它们化为累次积分：(1) 若；(2) ( ) ，若；(3) ，其中＝，若；(4) ，其中＝( ) ，若．10 .作适当的变量代换，求下列积分：(1) 是由围成的区域；(2) 由围成；(3) 由围成．11 、利用二重积分求由下列曲面围成的立体的体积：(1) ；(2) ；(3) 球面与圆柱面（）的公共部分；(4) ( ) ；(6) ；(6) ．第十一章调用外部程序组件概览在ABAP/4 中，有多种使事务模块化的选项可供选择。
这些选项包括所有可以调用程序外部代码组件的方法。
这些外部组件可以是功能模块、其它事务、对话模块或报表。
内容嵌入程序调用.................................................................................................................................. １外部程序和滚动区 ..................................................................................................................... １外部程序和LUW 处理 ............................................................................................................... １调用功能模块.................................................................................................................................. ２访问功能库.................................................................................................................................. ２进行调用 ..................................................................................................................................... ２使用功能模块接口 ..................................................................................................................... ２处理例外情况 ............................................................................................................................ ３调用其它事务.................................................................................................................................. ４转到事务 ..................................................................................................................................... ４调用事务 ..................................................................................................................................... ４调用与调用程序共享SAP LUW 的事务 ................................................................................... ４调用对话模块.................................................................................................................................. ４运行时执行对话模块.................................................................................................................. ４用事务作为对话模块.................................................................................................................. ４提交报表........................................................................................................................................... ５向报表传送数据......................................................................................................................... ６保存或打印报表......................................................................................................................... ７在程序间传送数据........................................................................................................................... ７用SPA/GPA 参数传送数据...................................................................................................... ７详细信息，参见：嵌入程序调用(页１)调用功能模块(页２)调用其它事务(页４)调用对话模块(页４)提交报表(页５)在程序间传送数据(页７)嵌入程序调用外部程序组件由系统进行维护，对所有程序都可用。
多元函数积分学
多元函数积分学是数学的一个分支，它是对多元函数进行积分的理论。
与一元函数积分学相比，它更加复杂，但它为我们研究物理学、工程学和其他自然科学问题提供了更强大的工具。
在本文中，我将介绍的一些基本理论，包括重积分、极坐标变换、格林公式等。
一、重积分重积分是的基本概念，它是对多元函数在某一区域上的积分。
重积分可以表示为Riemann积分或Lebesgue积分两种形式，具体形式与多元函数的性质有关。
在Riemann积分中，我们将区域分成有限个小区域，对每个小区域内的多元函数进行积分，最后将积分结果相加。
而在Lebesgue积分中，我们采用测度的概念，将多元函数的定义域分成不可数个小区域，在每个小区域上定义一个测度，对多元函数在每个小区域内的值进行加权积分，最后求出所有小区域上的积分和即为整个区域上的积分。
重积分在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如计算物体的体积、求解场的强度等。
同时，重积分也是进一步研究多元函数性质的基础。
二、极坐标变换极坐标变换是一种将平面直角坐标系上的点表示为极径和极角的变换。
它可以将一些复杂的函数转化为简单的极坐标函数，使得对多元函数进行积分更加方便。
在极坐标系中，被积函数可以表示为一个积分项和一个积分域，积分项为正态函数，积分域为从 $0$ 到 $2\pi$ 的一个闭区间和一个在某个圆内部的有界区域，在这个有界区域上的积分相当于在平面直角坐标系上的二重积分。
因此，我们可以使用积分转化公式将多元函数在极坐标系中的积分转化为在平面直角坐标系中的二重积分。
极坐标变换在数学中有着广泛的应用。
例如，对于一个椭球体积的计算，使用极坐标变换可以将三维积分转化为二维积分，更加方便计算。
三、格林公式格林公式是中的一个重要定理，它是关于多元函数的一个等式，用于计算曲面积分和线积分之间的关系。
在平面上，格林公式是一个计算平面上曲线积分和面积的公式，它表明二元函数在解析条件下，其在一个闭合路径内的曲线积分等于该函数在这个区域内的面积积分。
多元函数的积分
多元函数的积分在数学中，多元函数的积分是一个重要的概念和计算方法。
与一元函数的积分不同，多元函数的积分需要考虑多个自变量和相应的积分变量。
一、多元函数的积分定义对于二元函数f(x, y)，其在有界闭区域D上的积分可以定义为：∬f(x, y)dA = limΔx,Δy→0 Σf(xi, yj)ΔA其中，Δx和Δy分别表示x和y方向的分割长度，Σ表示对所有的(i, j)求和，xi和yj表示分割后的小区域的任意点，ΔA表示小区域的面积。
对于n元函数f(x1, x2, ..., xn)，其在有界闭区域D上的积分可以定义为：∭f(x1, x2, ..., xn)dV = limΔx1,Δx2,...,Δxn→0 Σf(x1i, x2j, ..., xnk)ΔV其中，Δx1, Δx2, ..., Δxn分别表示各个方向的分割长度，Σ表示对所有的(i1, i2, ..., in)求和，x1i, x2j, ..., xnk表示分割后小区域的任意点，ΔV表示小区域的体积。
二、多元函数的积分计算与一元函数的积分类似，对于多元函数的积分计算也需要借助于定积分的性质、微积分的基本定理和换元积分法等方法。
1. 球坐标和柱坐标对于具有某种对称性的多元函数，可以选择适当的坐标系来简化积分计算。
常用的坐标系有球坐标和柱坐标。
球坐标系适用于具有球对称性的问题，对于三元函数可以表示为：x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ其中，r代表点到坐标原点的距离，θ表示点与正z轴的夹角，φ表示点在xy平面上与正x轴的夹角。
柱坐标系适用于具有柱对称性的问题，对于三元函数可以表示为：x = rcosθ, y = rsinθ, z = z其中，r代表点到z轴的距离，θ表示点在xy平面上与正x轴的夹角，z表示点在z轴上的坐标。
2. 积分的性质多元函数的积分具有类似于一元函数积分的一些性质，如线性性质、可加性质、保号性质等。
多元函数积分学课件
解析
首先将二重积分拆分为两个定积 分，然后分别进行计算。
答案
$frac{4}{9}$
答案
$-frac{1}{6}$
解析
同样拆分二重积分，然后进行计 算。
例题2
计算$int_{0}^{1}int_{0}^{y}(x y)dxdy$
三重积分习题与解析
例题1
计算 $int_{0}^{1}int_{0}^{1}int_{0}^{x}xydzdxdy $
传导问题。
在几何中的应用
曲面面积和体积计算
积分可以用来计算曲面的面积和三维物体的体积，这在几何学中 非常重要。
曲线积分
在几何学中，曲线积分被用来计算曲线长度、面积和线段上的变化 量。
参数曲线和曲面
参数曲线和曲面可以用积分表示，这有助于研究几何对象的形状和 性质。
在工程中的应用
流体动力学
在航空航天、船舶和车辆设计中 ，积分被用来计算流体动力学效 应，如压力分布、速度场和流线 。
多元函数积分学课件
目 录
• 多元函数积分学概述 • 多元函数积分的计算方法 • 多元函数积分的几何意义 • 多元函数积分的性质与定理 • 多元函数积分的应用 • 多元函数积分习题与解析
01
多元函数积分学概述
定义与性质
定义
多元函数积分学是研究多元函数的积 分及其性质的一门学科，其基础概念 包括二重积分、三重积分、曲线积分 和曲面积分等。
计算步骤
首先确定积分区域，然后选择合适的 积分次序，最后根据定积分的计算公 式进行计算。
曲线上的第一类曲线积分计算
定义
第一类曲线积分是计算曲线上的函数值 与其对应的参数的乘积的积分，即求曲 线上的一个物理量（如质量、热量等） 的分布情况。
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n 1
lim un1 lim 3n lim n 1 1 1
u n n
n n
n 3n 3
3n1
故由比值判别法可知级数
u
n
n 1
n
3 n 1
n 1
级数 绝对收敛. 1 n1 n
n 1
3 n 1
收敛，所以原
例9
判别级数
1n
1
nn
是否绝对收敛.
n 1
n!
解 因为
n 1n1
lim un1 u n
，表明A的极限不存在，所以该级
二、正项级数及其敛散性
如果 un ≥0（n=1,2,3…），则称级数
u
n
为正项级数
n 1
定理1 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数
列有界.
例1 证明正项级数
1
1 1
1
1
是收敛的
n0 n!
1! 2!
n!
证 因为 1 1 1 1 n 2,3,4,
n! 1 2 3 n 1 2 2 2 2n1
n
lim n
n 1!
nn
n 1n
lim
n n
n
lim1
1
n
n n
e
1
n!
故由比值判别法可知级数
un
n 1
n
n
n1 n!
发散，从而原
级数
1 n1
nn
不是绝对收敛.
n 1
n!
例10
证明级数
1 n1
条件收敛.
n n1
证
由莱布尼兹判别法知级数
1n
1
收敛，而
n n1
1 n1
1
为调和级数，它是发散的，故所给
的敛散性.
四、绝对收敛与条件收敛
定义3
对于任意项级数
un
n 1
,若
n 1
un
收敛，则称
un
n 1
是绝对收
敛的；若
n1
un收敛，而
n 1
u
n
发散，则称
n 1
u
是条件收敛的.
n
定理5 绝对收敛的级数必是收敛的.
事实上，如果
un
n 1
收敛， 由于 un ≤ u≤n
un
故从性质1及性质5知
un
也是收敛的.
第十一章 多元函数积分学
第一节 二重积分的概念与计算 第二节 二重积分的概念与计算(续) 第三节 二重积分应用举例
第一节 二重积分的概念与计算 一、二重积分的概念与性质 1．引例：曲顶柱体的体积 （1）曲顶柱体— 以曲面
z f x，y
为顶 （
f x，y 0 且连续
）以
xOy
平面上的有界闭域
D 为底，侧面是以
2 p 1
故收敛，于是当P
1
时，级数
1
np
n 1
收敛.
综上所述，P
级数 1
np
n 1
当P 1
时发散，当 P 1
时收敛.
注意 P 级数在判断正项级数的敛散性方面经常用到，
因此有关 P 级数敛散性的结论必须牢记.
例3判定级数 1
25
1 36
n
1
1n
4
的敛散性.
解
因为级数的一般项
1
un n 1n 4
4
，即
0.3 6
4
11
11
2．数项级数的基本性质
性质1 如果级数 un 收敛，其和为s, k为常数，则级数
n 1
kun也收敛，其和为ks；如果级数
un
发散，当k≠0时，
n 1
n 1
级数
ku
也发散.
n
n 1
由此可知，级数的每一项同乘以不为零的常数后，其
敛散性不变.
性质2 若级数
un
n 1
与 vn n 1
D 的边界线为准线、母线平行于 z 轴的柱面的立体（如图）称为曲顶柱体． （2）曲顶柱体的体积
V 如果曲顶柱体的高度不变，则它的体积等于底面积
高，但曲顶柱体的顶是曲面，因此不能直接用上面的公式求
例如，级数 1 1 1 12 23 34
的一般项为 un
1. n(n 1)
又如级数
ln(1 1) ln(1 1) ln(1 1)
数, 由于 q 2 1，所以级数是发散的
级数
1n
1
是公比为-1的几何级数,
n 1
由于 q 1 ，所以该级数发散.
注意
几何级数
aq n1
的敛散性非常重要.无论是用比
n 1
较判别法判别级数的敛散性，还是用间接法将函数
展开为幂级数，都经常以几何级数敛散性为基础.
.
例4
把循环小数
0.36
化为分数.
解
把
(1) n1 un (un 0, n 1, 2 , )
收敛，其和
S≤ u，1 其余项
n 1
≤ rn
u n1
例6 判定交错级数 1 1 1 1 1n1 1
234
n
解
此交错级数
un
1 n
, u n1
1，满足：
n 1
(1)
1 1 ；
n n1
(2)
1
lim
n
u
n
lim n n
0
由莱布尼兹判别法知级数收敛.
于是对任意的有
Sn
1 1 1!
1 2!
n
1
1!
1
1
1 2
1 22
1 2n2
1
1 1 2 n1 3
1
3
1 1
2 n2
2
即正项级数的部分和数列有界，故级数
1
收敛.
n0 n!
定理2（比较判别法）
设 和
un
vn
是两个正项级数，
n1
n 1
且 un vn
(1)若级数 vn
收敛，则级数
un
也收敛；
u n n
n n!
n n
所以级数
1
n 1
n
1!
收敛.
要判别一个正项级数是否收敛，通常按下列步骤进行：
(1)用级数收敛的必要条件
如果
lim
n
u
n
0
，则级数发散，否则需进一步判断.
(2)用比值判别法
如果
lim u n1 u n
n
1，即比值判别法失效，则改用比较判别法.
(3)用比较判别法
用比较判别法必须掌握一些敛散性已知的级数，以便与要 判定的级数进行比较，经常用来作为比较的级数有等比 级数，P P级 数等.
例1 判定级数
1
1 1 1
1
n1 n(n 1) 1 2 2 3 3 4
n(n 1)
的敛散性.
解 已知级数的前n项和是：
11
1
1 11
11
Sn
12 23
n(n 1)
(1 ) ( ) 2 23
( n
) n 1
1 1 n 1
因为
lim
n
Sn
lim1 n
n
1
1
1
,所以这个级数收敛,其
n 1
n 1
(2)若级数
u发n 散，则级数
n 1
vn 也发散.
n 1
例2
讨论
P
级数
n 1
1（P
np
0 ）的敛散性
解
当
P
1时，n1p
1，因为
n
1
n n 1
发散，所以由比较判别法知，
当 P 1 时，发散.
当 P 1时，顺次把 P 级数的第1项，第2项到第3项，4到7项，
8到15项，…加括号后得
11 1111 1
和为1.
例2 判定级数
ln1
1
ln11 ln1
1
ln1
1
n1 n
2
n
的敛散性
解 已知级数的前n项和是
Sn
ln11 ln1
1 2
ln1
1 n
ln1 n
因为
lim
n
Sn
lim ln1
n
n
，
所以这个级数发散.
例3 讨论等比级数（也称几何级数）
aqn1 a aq aq2 aqn1
数列 Sn 称为级数 un 的部分和数列．若此数列的 n 1
极限存在，即
lim
n
S
n
S
(常数),则S 称为 un 的和，
n 1
记作
un S
n 1
此时称级数
u
收敛．如果数列
n
Sn 没有极限，则
n 1
称级数
u
n
发散，这时级数没有和．
n 1
当级数收敛时，其部分和 Sn 是级数和S的近似值， 称 S Sn 为级数的余项，记作 rn ，即 ． rn S Sn un1 un2
x
积S与阴影表示的阶梯形面积An之间的关系.
1
1
1
A1
1, A2
2 , A3
, 3
An
n
所以，阴影部分的总面积为
n
11
1 n1
A Ak
k 1
1 23
n k k 1
它显然大于曲边梯形的面积S，即有
n
A Ak
k 1
n 1
1
1 x
dx