高中数学一对一讲义函数
反比例函数一对一辅导讲义
的图象如图 2 所示，则有 k1＞k2＞k3，但
|k1|＜|k2|＜|k3|
即当 k＜0 时，反比例函数的图象越靠近 y 轴，
k 的值越大，越远离 y 轴，k 的值越小。
性质 3：
设
y
k1 x
(k1
0),
y
k2 x
(k2
0)
的图象如图 3 所示，则有 k1＞k2 即反比例函数图象在一、
三象限内时
的 k 值恒大于图象在二、四象限内时的 k 值。
y 1 x 0的图象上，则点 E 的坐标是()。xA、 5 1, 2
5 2
1
B、
3
2
5 ,3 2
5
C、
5 1, 2
5 1 2
D、
3
2
5 ,3 2
5
第二课时 反比例函数知识考点（2）
知识点四：反比例函数 y= k 中 k 的意义与变化规律 x
㈠、反比例函数 y= k （k≠0）中比例系数 k 的意义 x
x
A
B
C
D
例 3．在同一平面直角坐标系中,函数 y=k(x－1)与 y= k (k 0) 的大致图象是( )。 x
A
B
C
D
例
4.若
M (
1 2
,
y1 ),
N (
1 4
,
1 y2 ), P( 2
,
y3 ) 三点都在函数
y
k x
（k<0）的图象上，则
y1 ,
y2 ,
y3
的大小关系是
（）
A． y2 y3 y1 B． y2 y1 y3
增大而减小．
请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数：
高三数学指对函数一对一讲义
XX教育，让每个孩子更优秀!XX教育学科教师辅导讲义组长签字：一、导入目录1、指数及指数运算2、指数函数及其性质3、对数及其运算性质4、对数函数及其性质5、指数与对数函数联系6、课堂习题与小结~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~二、课前自主学习回忆指数与对数函数的定义和相关性质~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~三、知识梳理+经典例题知识点一：指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n。
当n 是奇数时，a a nn =，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a anmnm)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质（1）r a ·sr r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． 知识点二：指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(1≠>⎪⎭⎫⎝⎛=a a a y x且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．Nx a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○2xN N a a x =⇔=log ；○3 注意对数的书写格式． 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ；○2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数b a ＝ N ⇔log a N ＝ b底数指数 对数 2、对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；○2=NMalog Ma log －N a log ；○3 n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式a bb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论数)1,0(≠>=a a a y x且中，x 是自变量，y 是函数，其定义域是R ，值域是（0，+∞）；在对数函数0(log >=a x y a ,且)1≠a 中，y 是自变量，x 是y 的函数，其定义域是（0，+∞），值域是R 。
高二数学一对一教案 函数(1)
教学内容 函数（1）教学目标熟练掌握函数的定义、定义域和值域、函数的单调性和奇偶性。
教学重、难点分析常考题型和解题方法。
考点梳理考点一：由函数的概念判断是否构成函数函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。
例1. 下列图像中，是函数图像的是（ ）① ② ③ ④ 例2. 下列式子能确定y 是x 的函数的有（ ） ①22x y +=2 ②111x y -+-= ③y=21x x -+-A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个考点二：同一函数的判定函数的三要素：定义域、对应关系、值域。
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。
例3. 下列哪个函数与y=x 相同（ ） A. y=x B. 2y x = C. ()2y x =D.y=t变式1.下列函数中哪个与函数32y x =-相同（ ）A. 2y x x =-B. 2y x x =--C. 32y x x =--D. 22y x x-= 变式2 下列各对函数中，图象完全相同的是（ ）。
（A ）y=x 与y=2x （B ）y=xx 与y=x 0（C ）y=(x )2与y=|x| （D ）y=11-⋅+x x 与y=)1)(1(-+x x考点三：求函数的定义域OOOOX X X Xyyyy1、分式的分母≠0.2、偶次方根的被开方数≥0.3、零次幂或负指数幂的底数≠0.4、对数函数的真数＞0.5、指、对数函数的底数＞0且≠1.6、实际问题中函数的定义域 例4. 求函数()20.5log 43y x x =-的定义域例5. 函数()f x =3472+++kx kx kx 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是 （ ）A ．0≤k <43B ．0<k <43C ．k <0或k >43D ．0<k ≤43变式1. 函数y=x111+的定义域是（ ）。
1对1教案讲义 函数的单调性与最值
个性化教学辅导教案学科：数学任课教师：吕老师授课时间：2020 年8月30日(星期日) 姓名年级高三性别教学课题函数的单调性与最值教学目标1、掌握函数单调性的定义2、理解函数最值的概念3、掌握函数的单调性的应用，会求函数的最值重点难点重点：函数单调性难点：函数单调性的应用和函数的最值课前检查课堂教学过程1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值3.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()(2)相同单调性函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性．()(3)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)＜f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．()(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．()(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．()(6)所有的单调函数都有最值．()(7)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在D上是增函数．()(8)函数y＝|x|是R上的增函数．()(9)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．()(10)函数y＝1－x21＋x2的最大值为1.()考点一 求函数的单调性(区间)命题点1.求具体解析式的函数的单调性(区间)2.求解析式含参数的函数的单调性(区间)[方法引航] 判断函数单调性的方法(1)定义法：取值，作差，变形，定号，下结论.(2)利用复合函数关系：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”. (3)图象法：从左往右看，图象逐渐上升，单调增；图象逐渐下降，单调减. (4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性.[例1] (1)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)(2)函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是________．(3)判断并证明函数f (x )＝axx 2－1(其中a ＞0)在x ∈(－1,1)上的单调性．1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A ．y ＝e －x B ．y ＝x C ．y ＝ln x D ．y ＝|x |2．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( )A ．(－∞，0) B.⎣⎡⎦⎤0，12 C ．[0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞3．已知a ＞0，函数f (x )＝x ＋ax(x ＞0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．考点二 利用函数的单调性求最值命题点1.求单调函数的最值2.求函数的值域[方法引航] 求函数最值的常用方法1单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；2图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；3基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；4导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；5m ＞f x 恒成立⇔m ＞f x max ；6m ＜f x 恒成立⇔m ＜f x min .[例2] (1)函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]上的最大值和最小值分别是________．(2)已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________.1． 定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．122．下列四个函数：①y ＝3－x ；②y ＝1x 2＋1；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (x ≤0)，－1x (x ＞0).其中值域为R 的函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个考点三 函数单调性的应用 命题点 1.比较函数值的大小2.求字母参数3.解不等式[方法引航](1)利用单调性比较大小，首先把不在同一个单调区间上的变量转化为同一个单调区间，再结合单调性进行比较.(2)已知函数的单调性确定参数的值域范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.[例3] (1)已知f (x )＝x 2－cos x ，则f (0.6)，f (0)，f (－0.5)的大小关系是( ) A ．f (0.6)＜f (0)＜f (－0.5) B ．f (0)＜f (－0.5)＜f (0.6) C ．f (0.6)＜f (－0.5)＜f (0) D ．f (－0.5)＜f (0)＜f (0.6)(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，那么a 的取值范围是________．1．若本例(1)中函数变为f (x )＝12x －sin x ，比较f (0.6)，f (0)，f (－0.5)的大小．2．在本例(2)中，若f (x )不变且a ∈⎣⎡⎭⎫32，2.解不等式f (4a 2－2a －5)＜f (a ＋2)．第7页。
高中数学一对一讲义——函数
3， 4 ）
分式中的分母不为零； 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一； 对 数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
正切函数
y
tan x
x
R, 且 x
k
2
,k
余切函数
y
cot x
x
R, 且 x
k ,k
反三角函数的定义域
函数 y ＝ arcsinx 的定义域是
[－ 1, 1]
ab ， a+b+c≥ 3 3 abc （ a， b ， c ∈
R
） ，求函数的最值，其题型特征解析式是
和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例：
x
2
2 x
(x 1 x 1 x
0) 3
3
=x (
2
x
2
1 x 3
3
1 x
3 3 者的乘积变成常数）
应用公式
如： f
x
1
ex
x ，求 f ( x).
13. 反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解 x ；②互换 x 、 y；③注明定义域）
如：求函数
f ( x)
1 x
x
2
x x
0 0
的反函数
在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题： (2004.全国理 )函数
值是（ ）
0 ，函数 f ( x)
x
3
ax在 1，
17. 函数 f(x) 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （ f(x) 定义域关于原点对称）
二次函数一对一辅导讲义(1对1辅导精品)
教学目标1、使学生理解二次函数的概念，学会列二次函数表达式和用待定系数法求二次函数解析式。
2、能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
重点、难点能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
考点及考试要求 考点1：二次函数的有关概念考点2：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系考点3：二次函数在生活中的运用教 学 内 容第一课时 二次函数知识重要考点（1）考点1、二次函数的概念定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数注意点：（1）二次函数是关于自变量x 的二次式，二次项系数a 必须为非零实数，即a ≠0，而b 、c 为任意实数。
（2）当b=c=0时，二次函数2ax y =是最简单的二次函数。
（3）二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a 自变量的取值为全体实数 （c bx ax ++2为整式） 典型例题：例1： 函数y=（m ＋2）x22-m ＋2x －1是二次函数，则m= ．例2：已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时， 是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数． 考点2、三种函数解析式：（1）一般式： y=ax2+bx+c （a ≠0）， 对称轴：直线x=ab 2- 顶点坐标：( a b ac a b 4422--， )（2）顶点式：()k h x a y +-=2（a ≠0）， 对称轴：直线x=h 顶点坐标为（h ,k ）（3）交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）, 对称轴:直线x=22x1x + (其中x 1、x 2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标).例1：抛物线822--=x x y 的顶点坐标为 ；对称轴是 。
例2：二次函数y=-4（1+2x ）（x-3）的一般形式是 。
高三三角函数一对一讲义
XX教育，让每个孩子更优秀!XX教育学科教师辅导讲义组长签字：一、导入目录1、任意角的概念与弧度制2、任意角的三角函数3、三角函数的图像与性质4、三角恒等变换5、课堂习题与小结~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~二、课前自主学习复习学过的角度的知识~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}(360k k ︒∈}(180k k ∈}()90180k k Z +∈}()36090360k k k Z α︒︒+<<+∈ }()90360180360k k k Z α︒︒+<<+∈ }()180360270360k k k Z α︒︒+<<+∈ }()270360360360k k k Z α︒︒+<<+∈、区分第一象限角、锐角以及小于90的角}()36090360k k k Z α︒︒<<+∈}90 小于90的角：}90为第二象限角，那么2α为第几象限角？π+90120角030 45 60 90 120 135 150 180 2703604π 3π 2π 2 34π 5 π32πsin α tan α cos α 第一象限：0,0.>>y x sin α>0,cos α>0,tan α>0, 第二象限：0,0.><y x sin α>0,cos α<0,tan α<0, 第三象限：0,0.<<y x sin α<0,cos α<0,tan α>0, 第四象限：0,0.<>y x sin α<0,cos α>0,tan α<0, 4、三角函数线设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P (,)x y ， 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向 延长线交于点T.由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有（Ⅳ）（Ⅱ）（Ⅰ）（Ⅲ）αα= cot1αcosα2sinαcosαsinααcos -，3、周期函数：一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，T 叫做该函数的周期.4、⑴)sin(ϕω+=x A y 对称轴：令2x k πωϕπ+=+，得ωϕππ-+=2k x对称中心：πϕωk x =+，得ωϕπ-=k x ，))(0,(Z k k ∈-ωϕπ；⑵)cos(ϕω+=x A y 对称轴：令πϕωk x =+，得ωϕπ-=k x ；对称中心：2ππϕω+=+k x ，得ωϕππ-+=2k x ，))(0,2(Z k k ∈-+ωϕππ；⑶周期公式:①函数sin()y A x ωϕ=+及cos()y A x ωϕ=+的周期ωπ2=T (A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0).②函数()φω+=x A y tan 的周期ωπ=T (A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0).5、三角函数的图像与性质表格sin y x =cos y x = tan y x =图像定义域 R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1- []1,1-R最值 当22x k ππ=+()k Z ∈时，当()2x k k Z π=∈时，既无最大值也无最小值函数 性 质8. 函数的变换： （1）函数的平移变换① 将图像沿轴向左（右）平移个单位 （左加右减）② 将图像沿轴向上（下）平移个单位 （上加下减）（2）函数的伸缩变换：① 将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍（缩短， 伸长）② 将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A 倍（伸长，缩短） （3）函数的对称变换：)0)(()(>±=→=a a x f y x f y )(x f y =x a )0()()(>±=→=b b x f y x f y )(x f y =y b )0)(()(>=→=w wx f y x f y )(x f y =w 11>w 10<<w )0)(()(>=→=A x Af y x f y )(x f y =1>A 10<<AA ．第一象限角B ． 第二象限角C ． 第三象限角D ． 第四象限角4.（08全国二10）．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（ ）A ．1 B ． 2 C ．3 D ．25.（08安徽卷8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~五、归纳总结认真思考下列问题：1、通过本堂课的学习我收获了什么？在知识点标题上画“√”2、我还有哪些没有解决的困惑？ 在知识点标题上画“×”~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~六、课后作业1.（08福建卷7）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2π个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为( ) A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x2.（08广东卷5）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数3.（08海南卷11）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ）A. －3，1B. －2，2C. －3，32 D. －2，324.（08湖北卷7）将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3π个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线,1x π=则θ的一个可能取值是（ ） A.512π B.512π- C.1112π D.1112π-5.（08江西卷6）函数sin ()sin 2sin2xf x xx =+是（ ）A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数6.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．27.（08山东卷10）已知π4cos sin 365αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ） A ．235-B ．235C ．45-D ．458.（08陕西卷1）sin330︒等于（ ）A ．32-B ．12-C ．12D ．32。
函数的单调性一对一讲义
y4-21 1 x2-1 0 志强教育一对一讲义教师: 日期: 星期: 时段: 学生签字:______课 题函数的单调性学习目标1、理解函数单调性，能判断和证明函数在给定区间上的单调性；了解函数单调区间的概念，并能根据图象说出函数的单调区间；2、体会从特殊到一般,从具体到抽象,从感性到理性的数学思维方法.学习重点 函数单调性的概念和判断；利用函数单调性的定义判断函数的单调性。
学习方法讲练结合学 习 内 容 与 过 程1、直观感知定义：观察下列函数的图象,由学生讨论交流并回答下列问题（几何画板动态展示）问题1:这两个函数图象有怎样的变化趋势？（上升？下降？）问题2:函数2()f x x =在区间 内y 随x 的增大而增大，在区间 内 y 随x 的增大而减小； 总结到一般情况下：在区间D 内在区间D 内图象图象特征 从左到右，图象上升 从左到右，图象下降 数量特征 y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小 直观性定义单调递增函数单调递减函数o xy -11 12(2)()f x x=(1)()1f x x =+y2()f x 1()f x 01x 2x xyx2()f x1()f x1x 2x3ox说明直观性定义：称左边的函数在区间D 上单调递增函数，右边的函数则称为区间I 上单调递减函数。
由表知：图象在区间D 内呈上升趋势当x 的值增大时，函数值y 也增大区间内有两个点1x 、2x ，当21x x <时，有)()(21x f x f < 问题：若区间内有两点21x x <时，有)()(21x f x f <，能否推出()f x 是单调递：增函数？构造反例:2)(x x f =，]2,2[-=D ，1,221=-=x x 。
构造反例，动画演示，引导学生对自变量取值的“任意性”的深刻理解。
2、归纳定义定义：一般地，设函数)(x f 的定义域为I:如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12x x 、，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是单调递增函数。
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高中数学函数知识点总结8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？()()例：函数的定义域是y x x x =--432lg()()()（答：，，，）022334Y Y函数定义域求法：● 分式中的分母不为零；● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一；●对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
●正切函数x y tan = ⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且● 余切函数x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且●反三角函数的定义域函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是.，函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, π) .当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。
10. 如何求复合函数的定义域？[]如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0义域是_____________。
[]（答：，）a a -复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。
例 若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。
11、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 求函数y=x1的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。
3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂.112..22222222ba y 型：直接用不等式性质k+x bxb. y 型,先化简，再用均值不等式x mx nx 1 例：y 1+xx+xx m x n c y 型 通常用判别式x mx n x mx nd. y 型x n法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉x x 1（x+1）（x+1）+1 1例：y （x+1）1211x 1x 1x 1==++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++4、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例 求函数y=6543++x x 值域。
5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
例 求函数y=11+-x x e e ，2sin 11sin y θθ-=+，2sin 11cos y θθ-=+的值域。
6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数y=+-25x log31-x （2≤x ≤10）的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。
换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。
例 求函数y=x+1-x 的值域。
8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例：已知点P （x.y ）在圆x 2+y 2=1上，2,(2),2(,20, (1)的取值范围 (2)y-2的取值范围解:(1)令则是一条过(-2,0)的直线. d 为圆心到直线的距离,R 为半径)(2)令y-2即也是直线d dyx x yk y k x x R d x b y x b R +==+-≤=--=≤例求函数y=)2(2-x +)8(2+x 的值域。
例求函数y=1362+-x x+ 542++x x的值域注：求两距离之和时，要将函数 9 、不等式法利用基本不等式a+b ≥2ab ，a+b+c ≥3abc 3（a ，b ，c ∈R+），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例：33()13()32x (3-2x)(0<x<1.5)x x+3-2x =x x (3-2x) (应用公式abc 时，应注意使3者之和变成常数）a b c +⋅⋅≤=++≤ 倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例 求函数y=32++x x 的值域多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂()如：，求fx e x f x x +=+1().13. 反函数存在的条件是什么？2(0)113322x =x (应用公式a+b+c 者的乘积变成常数）x x x x +>++≥=≥（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域） ()()如：求函数的反函数f x xx xx ()=+≥-<⎧⎨⎪⎩⎪1002在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。
请看这个例题：(2004.全国理)函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（ B ）A ．y=x 2－2x +2(x <1)B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)C ．y=x 2－2x (x <1)D ．y=x 2－2x (x ≥1)14. 反函数的性质有哪些？ 反函数性质： 1、 反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x 对应原函数中的y ） 2、 反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y 对应原函数中的x ）3、反函数的图像和原函数关于直线=x 对称（难怪点（x,y ）和点（y ，x ）关于直线y=x 对称①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；③设的定义域为，值域为，，，则y f(x)A C a A b C f(a)=b f 1=∈∈⇔=-()b a[][]∴====---f f a f b a f f b f a b 111()()()()，由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如 （04. 上海春季高考）已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________.15 . 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 判断函数单调性的方法有三种： (1)定义法：根据定义，设任意得x 1,x 2，找出f(x 1),f(x 2)之间的大小关系 可以变形为求1212()()f x f x x x --的正负号或者12()()f x f x 与1的关系(2)参照图象：①若函数f(x)的图象关于点(a ，b)对称，函数f(x)在关于点(a ，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）②若函数f(x)的图象关于直线x ＝a 对称，则函数f(x)在关于点(a ，0)的对称区间里具有相反的单调性。
（特例：偶函数）(3)利用单调函数的性质：①函数f(x)与f(x)＋c(c 是常数)是同向变化的②函数f(x)与cf(x)(c 是常数)，当c ＞0时，它们是同向变化的；当c ＜0时，它们是反向变化的。
③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）⑤函数f(x)与1()f x 在f(x)的同号区间里反向变化。
⑥若函数u ＝φ(x)，x[α，β]与函数y ＝F(u)，u ∈[φ(α)，φ(β)]或u ∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y ＝F[φ(x)]是递增的；若函数u ＝φ(x),x[α，β]与函数y ＝F(u)，u ∈[φ(α)，φ(β)]或u ∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y ＝F[φ(x)]是递减的。
（同增异减）⑦若函数y ＝f(x)是严格单调的，则其反函数x ＝f －1(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。
()如：求的单y x x =-+log 122216. 如何利用导数判断函数的单调性？()在区间，内，若总有则为增函数。
（在个别点上导数等于a b f x f x '()()≥0零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？f x '()≤0[)如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大a f x x ax a >=-+∞013()值是（ ）17. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称） 若总成立为奇函数函数图象关于原点对称f x f x f x ()()()-=-⇔⇔若总成立为偶函数函数图象关于轴对称f x f x f x y ()()()-=⇔⇔注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
（）若是奇函数且定义域中有原点，则。
2f(x)f(0)0=如：若·为奇函数，则实数f x a a a x x()=+-+=2221又如：为定义在，上的奇函数，当，时，，f x x f x xx ()()()()-∈=+1101241()求在，上的解析式。
f x ()-11判断函数奇偶性的方法 一、定义域法一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.二、 奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算)(x f -，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数f(x)1 偶函数f(-x)f(x)1 奇函数f(-x)==-三、复合函数奇偶性18. 你熟悉周期函数的定义吗？()（若存在实数（），在定义域内总有，则为周期T T f x T f x f x ≠+=0()()函数，T 是一个周期。