高中数学 同步辅导讲义 1.1.1集合

集合基本概念及题型分类学生用讲义

一、基本知识

1.1.1 集合的相关概念

(1) 集合、元素的含义：一般地把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就是这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）。构成集合的每个对象叫做集合的元素。 (2) 元素用小写字母Λ,,,c b a 表示；集合用大写字母Λ,,,C B A 表示。

(3) 不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ。空集是一个特殊又很重要的集合，很多问题的考虑，要注意空集的情况，这是容易忽略的问题，在学习中还要记住常用集合的记法，在今后的学习中使用频率较高，如实数集和整数集的记号，正整数集和自然数集的记号。 (4) 集合的分类：

①按照集合中元素个数的多少，可分为⎩⎨

⎧无限集

有限集

集合；

②按照集合中元素形式的不同，可分为⎩

⎨

⎧点集数集

集合；

③集合还可以分为⎩⎨

⎧集

不可列集

可列集合。

(5) 元素的性质：

①确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可。也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在不在集合中就确定了。例如，“山东的地级市”构成一个集合，济南、青岛、烟台、临沂在这个集合中，北京、南京……不在这个集合中；“比较大的数”不能构成一个集合，因为组成它的元素是不确定的。

②互异性：集合中的元素是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个，也就是说集合中的元素是不重复出现的。例如：good 中的字母构成的集合为},,{d o g ，而不是},,,{d o o g 。集合的三个特性中，互异性往往是我们考虑不周的地方，如含字母的集合中，求出字母的值，要代回原来的集合中检验。

③无序性：集合中的元素是无次序的，也就是说只要两个集合中的元素相同，这两个集合就相等。例如：

},,{},,{},,{a b c c a b c b a ==。

(6) 常见集合的表示

1.1.2 集合与元素的关系

元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”两种，如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于A ，记作A a ∈，a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉。

1.1.3 集合的表示法

a) 例举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括

号“{ }”内的表示集合的方法

例如：方程062

=--x x 的解的集合，可表示为}3,2{-，也可以表示为}2,3{-；又如方程组⎩⎨⎧=-=+0

2

y x y x

果元素个数较多或无限个，且当构成集合的元素具有明显的规律时，也可采用例举法，但必须把元素的规律显示清楚后才能用省略号。

思考：（1）a 与}{a 的不同；（2）Φ与}{Φ及}0{的不同。

b) 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如)}(|{x p A x ∈，)(x p 称为集合

的特征性质，x 称为集合的代表元素，A 为x 的范围，有时也写为}),(|{A x x p x ∈。

例如：大于3的所有整数表示为：}3|{>∈x Z x ；方程652

+-x x 的解集可表示为}65|{2

+-x x x 。

注意：（1）弄清集合是点集还是数集，点集用一个有序实数对来表示；（2）竖线后要准确说明集合中元素的共同特性；（3）若描述部分，出现元素记号以外的其它字母时，要对新字母说明其含义，并指出其取值范围。

说明：（1）错误表示}{实数集；（2）可以省去竖线及左边部分，如}{直角三角形。

c) 图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩图（Veen 图）。

例如：集合}5,4,3,2,1{用图示法表示为：

1.2.1 集合间的基本关系：

① 子集：若对任意的A x ∈有B x ∈，则称集合A 为集合B 的子集,记作B A ⊆（或A B ⊇），读作“A 含于B ”

（或“B 包含A ”）. ②集合相等的概念：如果集合A 是集合B 的子集（B A ⊆），且集合B 是集合A 的子集（A B ⊇），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作B A = 1.2.2 真子集：

如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，即如果B A ⊆且B A ≠，那么集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ）.例如{}3,2,1N 、{}b a ,{}c b a ,,等等. 子集与真子集

的区别在于“B A ⊆”允许B A =或A B ，而A B 是不允许“B A =”的，所以如果A

B 成立，则一定

有B A ⊆成立；但如果有B A ⊆成立，A

B 不一定成立.

备注：①注意强调：任何集合是它本身的子集；

②强调元素与集合间的关系，和集合与集合间关系的区别，以及符号表示上的不同。

1.3.1 并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集。

记作：B A Y 读作：“A 并B ”即： {}B x A x B A ∈∈=或,Y

说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。

1.3.2 交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集。

记作：B A I 读作：“A 交B ” 即： {}B x A x B A ∈∈=且,I

说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。 1 2 3 4 5