材料力学答案第十一章
《材料力学 第2版》_顾晓勤第11章第1节 惯性力问题
21.9
MPa
d max Kd st max 26.3 MPa
OB
al
A m
第 1 节 惯性力问题
第十一章 动载荷和疲劳
二、杆件作匀速转动时的应力计算
在设计飞轮时，要求用料少而惯性大，所以常把 飞轮设计成轮缘厚、中间薄的样式。若不考虑轮辐的 影响，可以近似地认为飞轮的质量绝大部分集中在轮 缘上，将飞轮简化为一个绕中心旋转的圆环。
16
第 1 节 惯性力问题
第十一章 动载荷和疲劳
例 11-4 钢质飞轮匀角速转动如图所示，轮缘外径
D 1.8 m，内径 d 1.4 m ，材料密度 7.85 103 kg/m3。 要求轮缘内的应力不得超过许用应力 [ ] 60 MPa，轮
辐影响不计。试计算飞轮的极限转速 n 。
解：由强度条件，得到 轮缘允许的线速度
解：由附表 4 查得 32a 工字钢：
10 a
2m
8m
2m
= 52.717kg/m；加速度 a = 0 时，
每根钢绳的拉力 Fst = mg /2，应力 32a 号工字钢
st
Fst πd 2 / 4
39.5106 N/m2
39.5 MPa
动荷系数：
Kd
1
a g
1
6 9.8
1.612
d Kd st 1.612 39.5 MPa 63.6 MPa
第 1 节 惯性力问第题十一章 动载荷和疲第劳十一章 动载荷和疲劳
静载荷：所加载荷的特点是由零缓慢地增加到某一 数值，以后保持不变，即是静载荷。由静载荷产生 的应力，称为静应力。
动载荷：主要是指随时间而变化的载荷，特别是冲 击载荷。 动应力：凡是由动载荷引起的构件的应力。
第十一章北航 材料力学 全部课件 习题答案
(c)
Fcr
π 2 EI 4l 2
11-7
试确定图示各细长压杆的相当长度与临界载荷。设弯曲刚度 EI 为常数。
题 11-7 图 (a)解:相当长度为
5
leq a
临界载荷为
π 2 EI a2 (b)解：压杆微弯状态的挠曲轴如图 11-7b 中的虚线所示。 Fcr
由此得
sin
kl kl kl 4k 2 EI kl [sin (1 )cos ] 0 2 2 2 cl 2
图示阶梯形细长压杆，左、右两段各截面的弯曲刚度分别为 EI1 与 EI2 。试 证明压杆的临界载荷满足下述方程：
11-11
tank1l tank2l
式中： k1 F /( EI1 ) ; k2 F /( EI 2 ) 。
Fcr， 1
π 2 EI l2
Fcr， 2
显然，压杆的临界载荷为
1.359EI l2
1.359EI l2
Fcr Fcr， 2
11-10
图示两端铰支细长压杆，弯曲刚度 EI 为常数，压杆中点用弹簧常量为 c 的
弹簧支持。试证明压杆的临界载荷满足下述方程：
sin
式中， k F /( EI ) 。
第十一章
压杆稳定问题
11-1
图示两端铰支刚杆－蝶形弹簧系统，试求其临界载荷。图中，c 代表使蝶形弹
簧产生单位转角所需之力偶矩。
题 11-1 图 解：系统的临界状态（微偏斜状态）如图 11-1 所示。注意到蝶形弹簧产生的转角为 2θ ， 由右段刚杆的力矩平衡方程
l c(2θ ) F (θ ) 0 2
材料力学第十一章习题选及其解答
11-2. 桥式起重机上悬挂一重量G=50kN 的重物，以匀速度v=1m/s 向前移动（在图中移动的方向垂直于纸面）。
若起重机突然停止移动，重物将象单摆一样向前摆动。
若梁为No14工字钢，吊索截面面积A=5×10-4m 2，试问当惯性力为最大值时，梁及吊索内的最大应力增加多少？解：（1）起重机突然停止时，吊索以初速v 作圆周运动，此时吊索轴力增量是kN Rv g G ma N n D 28.12=⋅==Δ（2）吊索的应力增量是MPa AN σDd 56.2==ΔΔ （3）梁内最大弯矩的增量是l N M D ΔΔ41=（4）查表得梁的抗弯截面系数3610102m W -⨯=（5）梁内最大正应力的增量是MPa WM σd 68.15'==ΔΔ11-4. 轴上装一钢质圆盘，盘上有一圆孔。
若轴与盘ω=40 1/s 的匀角速度转动，试求轴内因这一圆孔引起的最大正应力。
解：（1）假设挖空圆盘和圆孔部分的质量分别是M 和m ，它们的质心距轴线的距离分别为R 的r ，则有mr MR =（2）挖空圆盘的惯性力是kN ωr gVγωmr ωMR Ma F n n 64.10222=⋅==== 上式中钢的密度取3/8.76m kN γ=（3）轴内的最大正应力增量是MPa WlF W M σnd 5.1241max max ===Δ11-5. 在直径为100mm 的轴上装有转动惯量I=0.5kN ⋅m ⋅s2的飞轮，轴的转速为300r/min 。
制动器开始作用后，在20转内将飞轮刹住，试求轴内最大剪应力。
设在制动器作用前，轴已与驱动装置脱开，且轴承的磨擦力矩可以不计。
解：（1）飞轮作匀减速转动2220/25.120/42.3130s rad φωωεωs rad πn ωt t -=-=∴=== （2）惯性力距是kNm εI m d 96.1=-=（3）轴在飞轮和制动器之间发生扭转变形MPa d πTW T τm T t d 10163max ===∴= 11-6. 钢轴AB 的直径为80mm ，轴上有一直径为80mm 钢质圆杆CD ，CD 垂直于AB 。
工程力学材料力学答案-第十一章
11-6图示悬臂梁，横截面为矩形，承受载荷最大弯曲正应力，及该应力所在截面上F1与F2作用，且F1=2F2=5 kN，试计算梁内的K点处的弯曲正应力。
Mmax =7.5 kN解：（1）查表得截面的几何性质:y0 =20.3 mm b = 79 mm I 176 cm4（2）最大弯曲拉应力（发生在下边缘点处）解：⑴画梁的弯矩图1m4080y------ ”z30最大弯矩（位于固定端）CT +maxM（b-y。
） = 80X79-20.3）X0」2.67MPalx 176 10’⑶最大应力:计算应力:maxM maxW ZMbh2max67 5^10- ------- =176 MPa40 80K点的应力:yl zM maxbh7爲106330 =132 MPa40 80312M=80 N.m，试求梁内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。
11-7图示梁，由No22槽钢制成，弯矩12并位于纵向对称面（即x-y平面）内。
(3)最大弯曲压应力(发生在上边缘点处)y。
max80 20.3 10176 10'=0.92 MPa11-8图示简支梁，由No28工字钢制成，在集度为q的均布载荷作用下，测得横截面边的纵向正应变F3.0 XI0"4，试计算梁内的最大弯曲正应力, 已知钢的弹性模量C底E=200 Gpa, a=1 m。
解：(1)求支反力R A34 qa1R B= qa4(2)画内力图xx由胡克定律求得截面C下边缘点的拉应力为:也可以表达为:max_4 9；E =3.0 10 200 10 =60 MPa⑷梁内的最大弯曲正应力:二max2qaCT :CmaxM eW z W z小 29qaMmax ___ 32W z W z9 .蔦二C max =67.5 MPa811-14图示槽形截面悬臂梁，F=10 kN , M e =70 kNm ，许用拉应力［Z +］=35 MPa ，许用压应力［可=120 MPa ，试校核梁的强度。
材料力学答案第十一章
第十一章 能量方法第十一章答案11.1 图示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。
试求在F 力作用下，桁架的变形能。
12,2N N F F F ==32N F F =222222()2222N F F l l F x V dx EA EA EAε⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==+⎰2234F l EA=.11.2计算图示各杆的应变能。
(a) 2223244F l F l F l V EA EA EAε=+=. (b) 2212/32/3120022e e l l M M x x l l V dx dx EI EIε⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⎰⎰ /32/322221220023318l l e e M M l x x EIl EI ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.11.3 传动轴受力情况如图所示。
轴的直径为40mm ，材料为45钢，E = 210GPa，G = 80GPa 。
试计算轴的应变能。
51 / 6由扭转引起的应变能：20.220800.0322pV dx GI ε==⎰由弯曲引起的应变能：20.210(531.4)20.0292x V dx EIε==⎰120.061J V V V εεε=+=.11.4 计算图示梁的应变能，并说明是否满足叠加原理及其原因。
2230()26lFl Fx F l V dx EI EIε-==⎰而22310()22lFl F lV dx EI EIε==⎰22320()26lFx F l V dx EI EIε-==⎰.不满足叠加原理，因为应变能与内力的关系不是线性的。
11.5在外伸梁的自由端作用力偶矩e ，试用互等定理，并借助于附录E ，求跨度中点C 的挠度w c 。
（见课本下册p40例12-4）11.6 图示刚架的各杆的EI 皆相等，试求截面AC 的转角。
CM eA l /2 l /2B D a EIMe=FlFlx(a) A 点：在A 点加一个向下的单位力。
材料力学 第11章 组合变形习题集
横截面m-m上任一点C(y，z)处由 弯矩Mz和My引起的正应力分别为
M z y M cos y M y z M sin z
Iz
Iz
Iy
Iy
38
C点的正应力
' ''
M
cos
Iz
y
sin
Iy
z
悬臂梁固定端截面A的弯矩Mz和My 均达到最大值，故该截
面是危险截面。设yo、zo为中性轴上任一点的坐标，并令σ
算 圆轴表面上与轴线成30°方位上的正应变。
32
解: (1)由内力图知，所有截面均为危险截面，危险点为靠近
轴表面的各点，应力状态如图。计算危险点的主应力。轴力
引起的正应力
FN 4F
A πd 2
扭矩引起的切应力
T M 8F
Wp Wp 5πd 2
危险点处的主应力为
1
2
(
)2
( )2
它在y、z两轴上的截距分别为
y* z* h / 2
该截面惯性半径的平方为
iy2
Iy A
h2 12
iz2
Iz A
b2 12
28
中性轴①对应的核心边界上点1的坐标为
ey1
iz2 y*
0
ez1
iy2 z*
h 6
按上述方法可求得与它们对应的截面核
心边界上的点2、3、4，其坐标依次为：
ey2
b 6
ez2 0
车臂的直径d。
18
解：两个缆车臂各承担缆车重量的一半，如 图。则缆车臂竖直段轴力为FN=W/2=3kN 弯矩为M=Wb/2=540N·m 危险截面发生在缆车臂竖直段左侧，由强度条件
材料力学答案2及材料力学答案第十一章
习 题2-1 一木柱受力如图示，柱的横截面为边长20cm 的正方形，材料服从虎克定律，其弹性模量51010.0⨯=E MPa ．如不计柱自重，试求：（1）作轴力图； （2）各段柱横截面上的应力； （3）各段柱的纵向线应变； （4） 柱的总变形．解：（1） 轴力图（2） AC 段应力a a MP P σ5.2105.22.010100623-=⨯-=⨯-=CB 段应力a a MP P σ5.6105.62.010260623-=⨯-=⨯-=（3） AC 段线应变45105.2101.05.2-⨯-=⨯-==E σε N-图 CB 段线应变45105.6101.05.6-⨯-=⨯-==E σε （4） 总变形 m 3441035.15.1105.65.1105.2---⨯=⨯⨯-⨯⨯-=AB ∆2-2 图(a)所示铆接件，板件的受力情况如图（ｂ）所示．已知：P ＝7 kN ，t ＝0.15cm ，b 1＝0.4cm ，b 2=0.5cm ，b 3=0.6cml 。
试绘板件的轴力图，并计算板内的最大拉应力。
解:（2）a MP σ4.194101024.015.0767311=⨯⨯⨯⨯⨯=- a MP σ1.311101025.015.0767322=⨯⨯⨯⨯⨯=-a MP σ9.388101026.015.07673=⨯⨯⨯⨯=- 最大拉应力a MP σσ9.3883max ==2-3 直径为１cm 的圆杆，在拉力P ＝10 kN 的作用下，试求杆内最大剪应力，以及与横截面夹角为α＝30o 的斜截面上的正应力与剪应力。
解:（1） 最大剪应力a d MP ππP στ66.6310101102212672241max =⨯⨯⨯⨯===- （2）︒=30α界面上的应力()a MP ασσα49.952366.632cos 12=⨯=+= a MP αστα13.5530sin 66.632sin 2=⨯=⨯=︒ 2-4 图示结构中ABC 与CD 均为刚性梁，C 与D 均为铰接，铅垂力P ＝20kN 作用在C 铰，若（1）杆的直径d 1=1cm ，（2）杆的直径d 2=2cm ，两杆的材料相同，E ＝200Gpa ，其他尺寸如图示，试求（1）两杆的应力；（2）C 点的位移。
材料力学答案第十一章
第十一章能量要领之阳早格格创做第十一章问案图示桁架各杆的资料相共，截里里积相等.试供正在F 力效率下，桁架的变形能.估计图示各杆的应变能.传动轴受力情况如图所示.轴的直径为40mm ，资料为45钢，E = 210GPa ，G = 80GPa.由扭转引起的应变能： 由蜿蜒引起的应变能：估计图示梁的应变能，并证明是可谦脚叠加本理及其本果.而没有谦脚叠加本理，果为应变能取内力的闭系没有是线性的.借帮于附录E ，供跨度中面（睹课本下册p40例12-4）11.6 图示刚刚架的各杆的EI 皆相等，试供截里A 、B 的位移战截里C 的转角.(a)A 面：正在A 面加一个背下的单位力.M (x 1)=0, M (x 2)=Fx 2, M (x 3)=FbC 面：正在C 加一个顺时针的力奇矩为１的单位力奇(b) A 面：正在A面加一个背下的单位力B 面：正在B 面加一个背左的单位力图示桁架各杆的资料相共，截里里积相等C 处的火仄位移战笔直位移.CF BAR火仄位移：(122) 3.828Fl FlEA EA +=-=-.笔直位移：Fl EA ∆=-.2，E 索 = 177GPa.F = 20kN ，(a)假设横梁ABCD 为刚刚体，供C 面的笔直位移.(2)若没有把ABCD 假设为刚刚体，且已知其抗直刚刚度为EI 2，试再供C 面的笔直位移.(1)42110.87.891033F EA -⎛⎫∆=⨯=⨯ ⎪⎝⎭m.(2)20.44047.89102Fx dx EI -∆=⨯+⎰4447.8910 1.48109.3710---=⨯+⨯=⨯m.11.9 等截里直杆BC 的轴线为四分之三的圆周.若AB 杆可视为刚刚性杆，试供正在F 力效率下，截里B 的火仄位移及笔直位移.火仄位移：M ()=FR cos, ()sin M R θθ=33320sin cos 2FR FRd EI EI πθθθ∆==⎰.D CFAB60 ° 60 ° 800 400400RFO B BF ORA F笔直位移：()(1cos )M R θθ=--33.36FR EI =.11.10 图示圆弧形小直率杆，仄衡半径为R .力F笔直于圆环中线地圆的仄里.试供二个F 力效率面的相对于线位移.M ()=FR sin, ()sin M R θθ= T ()=FR (1-cos), ()(1cos )T R θθ=-333pFR FR EI GI ππ=+.11.11图示圆弧形小直率杆，仄衡半径为R .正在横截里A 取B 处受一对于集结力F 效率.力F 正在圆环中线地圆的仄里内.试供二个F 力效率面的相对于线位移. M ()=FR sin,()sin M R θθ=32320sin FR FRd EI EI πθπθ∆==⎰.11.12图示轴线为火仄里内四分之一圆周的直杆，正在自由端B 效率笔直荷载F ，设EI 战GI P 为已知，试供正在F 力效率下端里B 的笔直位移.F O O Rθ B F AM ()=FR sin, ()sin M R θθ= T ()=FR (1-cos), ()(1cos )T R θθ=- 33(38)44pFR FR EI GI ππ-=+.。
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50 第十一章能量法
第十一章能量方法
第十一章答案
11.1 图示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。
试求在 F 力作用下，桁架的变形能。
F
2
F F F , 3
F N 1 N 2 N
2
F
2
A
1 2
3 B
l
2
2
2
F
2 2
2
F l l
2
2
F (x) 2
N
V dx
2EA 2EA 2EA
l l
2 2
3F l
4EA
.
11.2计算图示各杆的应变能。
M e
A 2A A A EI
A A EI
A F C
A
C
B
l/3 2l/3
B
l l x1x2
(a) (b)
M e/l M e/l
(a) V
2 2
3 2
F l F l F l 2EA 4EA 4EA
.
(b)
2 2
M M
e e
x x
1 2
l l
l /3 2l /3
V dx dx
1 2
0 2EI 0 2EI
l /3 2l /3
2 2 2 2
M x x M l
e 1 2 e
2
2EIl 3 3 18EI
0 0
.
第十一章能量法51
11.3 传动轴受力情况如图所示。
轴的直径为40mm，材料为45钢，E = 210GPa，
G = 80GPa。
试计算轴的应变能。
0.36kN
(b)
1kN 0.8kN ·m
由扭转引起的应变能：
2
80
0.2
V dx 2
0 2 p
GI 0.32 200 200
由弯曲引起的应变能：
2
0.2
(531.4x)
V 2 dx 0.029
1
2EI
V V 1 V 2 0.061J.
11.4 计算图示梁的应变能，并说明是否满足
叠加原理及其原因。
Me=Fl
F
2 2 3
l (Fl Fx) F l
V dx
0 2 6
EI EI
EI
x
而
2 2 3
l (Fl ) F l
V dx
1 0
2EI 2EI
l
2 2 3
l ( Fx) F l
V dx
2 0
2EI 6EI
.
不满足叠加原理，因为应变能与内力的关系不是线性的。
52 第十一章能量法11.5 在外伸梁的自由端作用力偶矩M e，试用互等定理，并借助于附录E，求
M e
A
C
跨度中点 C 的挠度w c。
B D
l/2 l/2 a （见课本下册p40 例12-4）
11.6 图示刚架的各杆的EI 皆相等，试求截面A、B 的位移和截面 C 的转角。
q
a b
F
A x1
x3
x2 C
l/2
x
A
h
l h
(a) B (b)
(a) A 点：在A 点加一个向下的单位力。
M(x1)=0, M(x2)= F x2, M(x3)=Fb
M (x ) x , M (x2) Fx2 , M (x3) 0
1 1 h M (x )M(x ) Fabh
3 3
dx
3
EI EI
.
C 点：在C 加一个逆时针的力偶矩为１的单位力偶。
M (x2) 1, M (x3) 1
b M (x )M(x ) h M (x )M(x )
2 2
3 3
dx dx
2 3 0 0
EI EI
2
Fb Fbh 2EI EI
.
(b) A 点：在A 点加一个向下的单位力。
2
ql qx
M ( x) x ,
2 2
1
M (x) x
2
2 l
/ 2
2
1 qlx qx
x
4
2 2 2 5ql
dx
EI 384EI
.
B 点：在B 点加一个向右的单位力。
M (x) h
第十一章能量法53
l 0
2
qlx qx
h( )
3
ql h
2 2
dx
EI 12EI
.
11.7 图示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。
试求节点 C 处的水平位移和
2F
垂直位移。
F
C
B 杆号 1 2 3 4 5
F N F -F - 2 F F 0
F 水平0 0 2 -1 0
N
l
F 垂直0 0 0 -1 0
N
A
l l l 2 l l l
D
l
水平位移：
n F F l
Ni Ni i
EA i 1
2 2Fl Fl
EA EA
(1 2 2) Fl 3.828 F l
EA EA
.
垂直位移：
Fl
EA
.
2
11.8 图中绕过无摩擦滑轮的钢索的截面面积为76.36mm ，E 索= 177GPa。
F = 20kN，(a) 假设横梁ABCD 为刚体，求 C 点的垂直位移。
(2) 若不把ABCD 假
2
设为刚体，且已知其抗弯刚度为EI = 1440kN.m ，试再求 C 点的垂直位移。
(1)
2 1 1
F
EA
3 3
0.377.89 10 4 m.
A B 60°60° D
2
Fx C
(2) 4
0.910 2
0.3
4
EI
d x F
800 400 400
4 4 4 0.3310 1.48 10 9.37 10 m.
54 第十一章能量法
11.9 等截面曲杆BC 的轴线为四分之三的圆周。
若AB 杆可视为刚性杆，试求在F 力作用下，截面 B 的水平位移及垂直位移。
C 水平位移：M( )= F Rcos , M ( ) Rsin
F
A
B
3 3 3
.R FR sin cos FR
2
d
0 EI EI
2
垂直位移：M ( ) R(1 cos )
3 3 3
FR cos (1 cos ) (4 3 )FR 2
d
0 EI EI
4
3
0.38FR
.
EI
11.10 图示圆弧形小曲率杆，平均半径为R。
力F 垂直于圆环中线所在的平面。
试求两个 F 力作用点的相对线位移。
F O
R M( )=FRsin , M ( ) Rsin
T( )=FR(1-cos ), T( ) R(1 cos )
B
A
F
3 2 3 2
FR sin FR (1 cos )
2 2
d d
0 0
EI GI
p
3 3 3
. FR FR EI GI
p
第十一章能量法55
11.11 图示圆弧形小曲率杆，平均半径为R。
在横截面 A 与B 处受一对集中力
F 作用。
力F 在圆环中线所在的平面内。
试求两个 F 力作用点的相对线位移。
M( )=FRsin , M ( ) Rsin
2 0
3 2 3
FR sin FR
d
EI EI
.
F
O
O
θ
A
B
R
F
11.12 图示轴线为水平面内四分之一圆周的曲杆，在自由端B 作用垂直荷载F，设EI 和GI P 为已知，试求在 F 力作用下端面 B 的垂直位移。
R M( )=FRsin , M ( ) Rsin
O
B T( )=FR(1-cos ), T ( ) R(1 cos )
3 2 3 2
FR sin FR (1 cos )
/ 2 / 2
d d
0 EI 0 GI
p
F
56 第十一章能量法
3 (3 8) 3
.
FR FR
4EI 4GI p。