2019-2020学年人教A版高中数学选修2-2课件：第3章 数系的扩充与复数的引入3.模块备考方略
用数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步 骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立；
• 【考题4】 观察以下5个等式． • －1＝－1； • －1＋3＝2； • －1＋3－5＝－3； • －1＋3－5＋7＝4； • －1＋3－5＋7－9＝－5. • 照以上式子规律： • (1)写出第6个等式，并猜想第n个等式(n∈N*)； • (2)用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立(n∈N*)．
则当 x∈[2,4]时，f′(x)≤0 恒成立，即axx22－x＋x－11≤0 对 x∈[2,4]恒成立， 则 a≤x＋x21对 x∈[2,4]恒成立， 当 x∈[2,4]时，x＋x21＝1x＋x12≥156，所以 a≤156. 检验知当 a＝34或 a＝156时均符合题意． 综上得 a 的取值范围是－∞，156∪34，＋∞.
模块备考方略
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模块知识结构 模块题型总结 模块核心素养
模块知识结构
模块题型总结
题型一 导数的运算及其几何意义
对于求导数，要熟记公式，掌握规则，灵活应用．常用的导数公式： (1)c′＝0(c 为常数)；(2)(xα)′＝αxα－1(α∈Q*)； (3)(sin x)′＝cos x；(4)(cos x)′＝－sin x； (5)(ex)′＝ex；(6)(ax)′＝axln a； (7)(ln x)′＝1x；(8)(logax)′＝xln1 a.
• 那么，当n＝k＋1时，－1＋3－5＋7－9＋…＋(－1)k·(2k－1) ＋(－1)k＋1·(2k＋1)
• ＝(－1)k·k＋(－1)k＋1·(2k＋1)＝(－1)k＋1·(－k＋2k＋1)＝(－ 1)k＋1·(k＋1)，
题型五 演绎推理与直接证明
演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的 结论，它是直接证明的依据，而直接证明最常用的方法是综合 法．
故直线 l 的方程为 y＝－14x. 由yy＝ ＝－ x2＋14xa，， 得 x2＋14x＋a＝0， 依题意，Δ＝116－4a＝0，得 a＝614. 综上知，a＝1 或 a＝614.
题型二 利用导数研究函数的性质
以导数为工具，求函数的单调区间、极值与最值以及参数 的取值范围等，是导数的重要应用，涉及的重要知识如下：
(2)f′(x)＝1－eax， ①当 a≤0 时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数 f(x)无极值． ②当 a>0 时，令 f′(x)＝0，得 ex＝a，x＝ln a. x∈(－∞，ln a)，f′(x)<0； x∈(ln a，＋∞)，f′(x)>0， 故 f(x)在 x＝ln a 处取得极小值，且极小值为 f(ln a)＝ln a，无极大值． 综上，当 a≤0 时，函数 f(x)无极值； 当 a>0 时，f(x)在 x＝ln a 处取得极小值 ln a，无极大值．
• 【考题5】 已知PA⊥矩形ABCD所在的平面， M，N分别是AB，PC的中点．
• (1)求证：MN⊥CD； • (2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
证明 (1)如图，取 PD 的中点 E，连接 NE，AE.
∵N 为 PC 中点，E 为 PD 中点，
∴NE∥CD 且 NE＝12CD.
在运算的过程中常用来降幂的公式： (1)i 的乘方：i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i(k∈Z)； (2)(1±i)2＝±2i；
(3)设 ω＝－12± 23i，则 ω3＝1，ω2＝ ω ，1＋ω＋ω2＝0，ω1 ＝ω2，ω3n＝1，ω3n＋1 ＝ω(n∈N*)等；
(4)12± 23i3＝－1； (5)作复数除法运算时，有如下技巧： ab＋ －baii＝ab＋ －baiiii＝aa＋＋bbiii＝i，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化．
【典例 1】 已知函数 f(x)＝x－1＋eax(a∈R，e 为自然对数的底数)． (1)若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于 x 轴，求 a 的值； (2)求函数 f(x)的极值； (3)当 a＝1 时，若直线 l：y＝kx－1 与曲线 y＝f(x)没有公共点，求 k 的最大值． 解析 (1)由 f(x)＝x－1＋eax， 得 f′(x)＝1－eax. 又曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于 x 轴， 得 f′(1)＝0，即 1－ae＝0，解得 a＝e.
1 (1，＋∞)
0
＋
极小值
↗
(2)f′(x)＝axx22－x＋x－11， 若 f(x)在区间[2,4]上为增函数， 则当 x∈[2,4]时，f′(x)≥0 恒成立，即axx22－x＋x－11≥0 对 x∈[2,4]恒成立，则 a≥x＋x21 对 x∈[2,4]恒成立． 当 x∈[2,4]时，x＋x21＝1x＋x12≤34，所以 a≥34. 若 f(x)在区间[2,4]上为减函数，
由yy＝＝x22x＋，a， 得 x2－2x＋a＝0，
依题意 Δ＝4－4a＝0，得 a＝1.
(2)当 O(0,0)不是切点时，设直线 l 与曲线 y＝x3－3x2＋2x 相切于点 P(x0，y0)，则 y0＝x30－3x20＋2x0，
且 k＝y′|x＝x0＝3x20－6x0＋2，① 又 k＝yx00＝x20－3x0＋2，② 联立①②，得 x0＝32(x0＝0 舍去)， 所以 k＝－14，
• (3)利用导数求函数最值的方法
• 在闭区间[a，b]上连续的单调函数f(x)，在[a，b]上必有最大 值与最小值．设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导， 先求出f(x)在(a，b)内的极值，然后将f(x)的各极值与f(a)，f(b) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
(3)当 a＝1 时，f(x)＝x－1＋e1x. 令 g(x)＝f(x)－(kx－1)＝(1－k)x＋e1x， 则直线 l：y＝kx－1 与曲线 y＝f(x)没有公共点， 等价于方程 g(x)＝0 在 R 上没有实数解． 假设 k>1， 此时 g(0)＝1>0，gk－1 1＝－1＋ek11-1 <0.
所以 f(x)的单调递增区间为－1，－12和(1，＋∞)，
单调递减区间为－12，0和(0,1)． f(x)和 f′(x)随 x 的变化情况如下表.
x
－1，－12 －12
f′(x)
＋
0
－12，0 －
(0,1
↘
↘
由表知 f(x)的极大值为 f－12＝－2－2ln 2， 极小值为 f(1)＝1＋2ln 2.
导数的运算法则： (1)(u±v)′＝u′±v′；(2)(u·v)′＝u′·v＋u·v′； (3)uv′＝u′·v－v2 u·v′(v≠0)． 复合函数的求导法则： 设 y＝f(u)，u＝g(x)，则 y′x＝f′(u)·g′(x)． 函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的几何意义：曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线 的斜率，因而过切点的切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)．从而可以应用导数解决一 些与切线相关的问题．
• (2)∵∠PDA＝45°， • ∴△PAD为等腰直角三角形． • 又E为DP的中点， • ∴AE⊥PD. • 由(1)知CD⊥AE. • 又CD∩PD＝D， • ∴AE⊥平面PCD.由(1)知AE∥MN， • ∴MN⊥平面PCD.
题型六 复数的运算与技巧
复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除运算，加减法是对应实、 虚部相加减，而乘法类似多项式乘法，除法类似根式的分子、分母有理化，要注意 i2＝－1.
【考题 6】已知复数 z＝1－3＋3ii2，求|z|. 解析 由题知 z＝1－3＋3ii2＝－2－3＋2 i 3i ＝－2－3＋2 i3－i－2＋2＋2 23i3i＝－ 43＋14i. 所以|z|＝ － 432＋142＝12.
模块核心素养
素养一 数学抽象
数学抽象是数学的基本思想，是指舍去事物的一切物理属 性，得到数学研究对象的思维过程．高考中要求能够多角度理 解并能用准确的数学语言表达学过的数学概念、规则、命题与 模型；能够提炼出解决一类问题的数学方法，理解其中的数学 思想(思维与表达)．
• 【考题1】若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和 y＝x2＋a都相切，求a的值．
解析 易知点 O(0,0)在曲线 y＝x3－3x2＋2x 上． (1)当 O(0,0)是切点时， 由 y′＝3x2－6x＋2，得 y′|x＝0＝2， 即直线 l 的斜率为 2，故直线 l 的方程为 y＝2x.
题型三 求定积分的方法
(1)根据定义求定积分． 步骤：①分割；②近似代替；③作和；④求极限． (2)利用微积分基本定理求定积分bf(x)dx 的步骤：
a
①求 f(x)的一个原函数 F(x)； ②计算 F(b)－F(a)．
• (3)求平面图形面积的一般步骤： • ①画出图形，将其适当分割成若干个曲边梯形； • ②对每一个曲边梯形确定被积函数与积分上、下限，用定积
分表示其面积； • ③计算各个定积分，求出所求的面积．
• 关键环节：认定曲边梯形，选定积分变量；确定被积函数与 积分上、下限．
• 【考题3】 计算抛物线y2＝2x与直线y＝x－4所围成的图形的 面积S.
解析 方法一 画图，解得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．
S＝2[ 2x－(－ 2x)]dx＋8[ 2x－(x－4)]dx＝18.
又函数 g(x)的图象连续不断，由零点存在性定理，可知 g(x)＝0 在 R 上至少有一 解，与“方程 g(x)＝0 在 R 上没有实数解”矛盾，故 k≤1.
又 k＝1 时，g(x)＝e1x>0，知方程 g(x)＝0 在 R 上没有实数解． 所以 k 的最大值为 1.
【典例 2】 若1＋z z2∈R，复数 z 应满足什么条件？ 解析 设 z＝a＋bi(a，b∈R)， 则1＋z z2＝1＋a＋a＋bibi2＝1＋a2a－＋bb2＋i 2abi ＝1＋a2a－＋bb2＋i21a＋bia2－1＋b2a－2－2abb2－i 2abi ＝a1＋a2－b21＋＋2aa2b－2＋b2[2b－1＋2aab2i－2 b2－2a2b]i ＝a＋a13＋＋aa2b－2＋b22b＋－4baa22b－2 b3i.
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立；
• 【考题4】 观察以下5个等式． • －1＝－1； • －1＋3＝2； • －1＋3－5＝－3； • －1＋3－5＋7＝4； • －1＋3－5＋7－9＝－5. • 照以上式子规律： • (1)写出第6个等式，并猜想第n个等式(n∈N*)； • (2)用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立(n∈N*)．
则当 x∈[2,4]时，f′(x)≤0 恒成立，即axx22－x＋x－11≤0 对 x∈[2,4]恒成立， 则 a≤x＋x21对 x∈[2,4]恒成立， 当 x∈[2,4]时，x＋x21＝1x＋x12≥156，所以 a≤156. 检验知当 a＝34或 a＝156时均符合题意． 综上得 a 的取值范围是－∞，156∪34，＋∞.
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题型一 导数的运算及其几何意义
对于求导数，要熟记公式，掌握规则，灵活应用．常用的导数公式： (1)c′＝0(c 为常数)；(2)(xα)′＝αxα－1(α∈Q*)； (3)(sin x)′＝cos x；(4)(cos x)′＝－sin x； (5)(ex)′＝ex；(6)(ax)′＝axln a； (7)(ln x)′＝1x；(8)(logax)′＝xln1 a.
• 那么，当n＝k＋1时，－1＋3－5＋7－9＋…＋(－1)k·(2k－1) ＋(－1)k＋1·(2k＋1)
• ＝(－1)k·k＋(－1)k＋1·(2k＋1)＝(－1)k＋1·(－k＋2k＋1)＝(－ 1)k＋1·(k＋1)，
题型五 演绎推理与直接证明
演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的 结论，它是直接证明的依据，而直接证明最常用的方法是综合 法．
故直线 l 的方程为 y＝－14x. 由yy＝ ＝－ x2＋14xa，， 得 x2＋14x＋a＝0， 依题意，Δ＝116－4a＝0，得 a＝614. 综上知，a＝1 或 a＝614.
题型二 利用导数研究函数的性质
以导数为工具，求函数的单调区间、极值与最值以及参数 的取值范围等，是导数的重要应用，涉及的重要知识如下：
(2)f′(x)＝1－eax， ①当 a≤0 时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数 f(x)无极值． ②当 a>0 时，令 f′(x)＝0，得 ex＝a，x＝ln a. x∈(－∞，ln a)，f′(x)<0； x∈(ln a，＋∞)，f′(x)>0， 故 f(x)在 x＝ln a 处取得极小值，且极小值为 f(ln a)＝ln a，无极大值． 综上，当 a≤0 时，函数 f(x)无极值； 当 a>0 时，f(x)在 x＝ln a 处取得极小值 ln a，无极大值．
• 【考题5】 已知PA⊥矩形ABCD所在的平面， M，N分别是AB，PC的中点．
• (1)求证：MN⊥CD； • (2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
证明 (1)如图，取 PD 的中点 E，连接 NE，AE.
∵N 为 PC 中点，E 为 PD 中点，
∴NE∥CD 且 NE＝12CD.
在运算的过程中常用来降幂的公式： (1)i 的乘方：i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i(k∈Z)； (2)(1±i)2＝±2i；
(3)设 ω＝－12± 23i，则 ω3＝1，ω2＝ ω ，1＋ω＋ω2＝0，ω1 ＝ω2，ω3n＝1，ω3n＋1 ＝ω(n∈N*)等；
(4)12± 23i3＝－1； (5)作复数除法运算时，有如下技巧： ab＋ －baii＝ab＋ －baiiii＝aa＋＋bbiii＝i，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化．
【典例 1】 已知函数 f(x)＝x－1＋eax(a∈R，e 为自然对数的底数)． (1)若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于 x 轴，求 a 的值； (2)求函数 f(x)的极值； (3)当 a＝1 时，若直线 l：y＝kx－1 与曲线 y＝f(x)没有公共点，求 k 的最大值． 解析 (1)由 f(x)＝x－1＋eax， 得 f′(x)＝1－eax. 又曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于 x 轴， 得 f′(1)＝0，即 1－ae＝0，解得 a＝e.
1 (1，＋∞)
0
＋
极小值
↗
(2)f′(x)＝axx22－x＋x－11， 若 f(x)在区间[2,4]上为增函数， 则当 x∈[2,4]时，f′(x)≥0 恒成立，即axx22－x＋x－11≥0 对 x∈[2,4]恒成立，则 a≥x＋x21 对 x∈[2,4]恒成立． 当 x∈[2,4]时，x＋x21＝1x＋x12≤34，所以 a≥34. 若 f(x)在区间[2,4]上为减函数，
由yy＝＝x22x＋，a， 得 x2－2x＋a＝0，
依题意 Δ＝4－4a＝0，得 a＝1.
(2)当 O(0,0)不是切点时，设直线 l 与曲线 y＝x3－3x2＋2x 相切于点 P(x0，y0)，则 y0＝x30－3x20＋2x0，
且 k＝y′|x＝x0＝3x20－6x0＋2，① 又 k＝yx00＝x20－3x0＋2，② 联立①②，得 x0＝32(x0＝0 舍去)， 所以 k＝－14，
• (3)利用导数求函数最值的方法
• 在闭区间[a，b]上连续的单调函数f(x)，在[a，b]上必有最大 值与最小值．设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导， 先求出f(x)在(a，b)内的极值，然后将f(x)的各极值与f(a)，f(b) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
(3)当 a＝1 时，f(x)＝x－1＋e1x. 令 g(x)＝f(x)－(kx－1)＝(1－k)x＋e1x， 则直线 l：y＝kx－1 与曲线 y＝f(x)没有公共点， 等价于方程 g(x)＝0 在 R 上没有实数解． 假设 k>1， 此时 g(0)＝1>0，gk－1 1＝－1＋ek11-1 <0.
所以 f(x)的单调递增区间为－1，－12和(1，＋∞)，
单调递减区间为－12，0和(0,1)． f(x)和 f′(x)随 x 的变化情况如下表.
x
－1，－12 －12
f′(x)
＋
0
－12，0 －
(0,1
↘
↘
由表知 f(x)的极大值为 f－12＝－2－2ln 2， 极小值为 f(1)＝1＋2ln 2.
导数的运算法则： (1)(u±v)′＝u′±v′；(2)(u·v)′＝u′·v＋u·v′； (3)uv′＝u′·v－v2 u·v′(v≠0)． 复合函数的求导法则： 设 y＝f(u)，u＝g(x)，则 y′x＝f′(u)·g′(x)． 函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的几何意义：曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线 的斜率，因而过切点的切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)．从而可以应用导数解决一 些与切线相关的问题．
• (2)∵∠PDA＝45°， • ∴△PAD为等腰直角三角形． • 又E为DP的中点， • ∴AE⊥PD. • 由(1)知CD⊥AE. • 又CD∩PD＝D， • ∴AE⊥平面PCD.由(1)知AE∥MN， • ∴MN⊥平面PCD.
题型六 复数的运算与技巧
复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除运算，加减法是对应实、 虚部相加减，而乘法类似多项式乘法，除法类似根式的分子、分母有理化，要注意 i2＝－1.
【考题 6】已知复数 z＝1－3＋3ii2，求|z|. 解析 由题知 z＝1－3＋3ii2＝－2－3＋2 i 3i ＝－2－3＋2 i3－i－2＋2＋2 23i3i＝－ 43＋14i. 所以|z|＝ － 432＋142＝12.
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素养一 数学抽象
数学抽象是数学的基本思想，是指舍去事物的一切物理属 性，得到数学研究对象的思维过程．高考中要求能够多角度理 解并能用准确的数学语言表达学过的数学概念、规则、命题与 模型；能够提炼出解决一类问题的数学方法，理解其中的数学 思想(思维与表达)．
• 【考题1】若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和 y＝x2＋a都相切，求a的值．
解析 易知点 O(0,0)在曲线 y＝x3－3x2＋2x 上． (1)当 O(0,0)是切点时， 由 y′＝3x2－6x＋2，得 y′|x＝0＝2， 即直线 l 的斜率为 2，故直线 l 的方程为 y＝2x.
题型三 求定积分的方法
(1)根据定义求定积分． 步骤：①分割；②近似代替；③作和；④求极限． (2)利用微积分基本定理求定积分bf(x)dx 的步骤：
a
①求 f(x)的一个原函数 F(x)； ②计算 F(b)－F(a)．
• (3)求平面图形面积的一般步骤： • ①画出图形，将其适当分割成若干个曲边梯形； • ②对每一个曲边梯形确定被积函数与积分上、下限，用定积
分表示其面积； • ③计算各个定积分，求出所求的面积．
• 关键环节：认定曲边梯形，选定积分变量；确定被积函数与 积分上、下限．
• 【考题3】 计算抛物线y2＝2x与直线y＝x－4所围成的图形的 面积S.
解析 方法一 画图，解得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．
S＝2[ 2x－(－ 2x)]dx＋8[ 2x－(x－4)]dx＝18.
又函数 g(x)的图象连续不断，由零点存在性定理，可知 g(x)＝0 在 R 上至少有一 解，与“方程 g(x)＝0 在 R 上没有实数解”矛盾，故 k≤1.
又 k＝1 时，g(x)＝e1x>0，知方程 g(x)＝0 在 R 上没有实数解． 所以 k 的最大值为 1.
【典例 2】 若1＋z z2∈R，复数 z 应满足什么条件？ 解析 设 z＝a＋bi(a，b∈R)， 则1＋z z2＝1＋a＋a＋bibi2＝1＋a2a－＋bb2＋i 2abi ＝1＋a2a－＋bb2＋i21a＋bia2－1＋b2a－2－2abb2－i 2abi ＝a1＋a2－b21＋＋2aa2b－2＋b2[2b－1＋2aab2i－2 b2－2a2b]i ＝a＋a13＋＋aa2b－2＋b22b＋－4baa22b－2 b3i.
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2019-2020学年数学选修2-2人教A版课件：第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2
第二十四页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
(2)∵B(0，－1)，C(2,1)，
∴BC 的直线方程为 x－y－1＝0，
点 A 到 BC 的直线距离 d＝|1－32－1|＝322，
故
BC
边上的高为3
2
2 .
第二十五页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
命题方向3 ⇨复数模的计算
典例 3 已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z. [思路分析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入等式后，可利用复数相等的充要条 件求出a，b. [解析] 解法一：设 z＝a＋bi(a、b∈R)，
第三十二页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
『规律总结』 解决复数问题的主要思想方法有：(一)转化思想：复数问题 实数化；(二)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(三)整体化思 想：利用复数的特征整体处理．
第三十三页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
〔跟踪练习4〕 已知复数z1＝2－2i， (1)求|z1|； (2)若|z|＝1，试求复数z和z1所对应的两点间的距离的最大值．
(2)由已知得点 A，B，C 的坐标分别为(1,4)，(0，－3)，(2,0)，则 AC 的中点为
3 (2
，2)，由平行四
边形的性质知
BD
的中点也是(32，2)，若设
D(x0，y0)，则有
0＋2 x0＝32， －32＋y0＝2，
解得xy00＝ ＝37， ， 故 D(3,7)．
第二十二页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
第十一页，编辑于星期六：二十三点 五十八分。
2．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( C )
A．第一象限
(2)∵B(0，－1)，C(2,1)，
∴BC 的直线方程为 x－y－1＝0，
点 A 到 BC 的直线距离 d＝|1－32－1|＝322，
故
BC
边上的高为3
2
2 .
第二十五页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
命题方向3 ⇨复数模的计算
典例 3 已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z. [思路分析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入等式后，可利用复数相等的充要条 件求出a，b. [解析] 解法一：设 z＝a＋bi(a、b∈R)，
第三十二页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
『规律总结』 解决复数问题的主要思想方法有：(一)转化思想：复数问题 实数化；(二)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(三)整体化思 想：利用复数的特征整体处理．
第三十三页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
〔跟踪练习4〕 已知复数z1＝2－2i， (1)求|z1|； (2)若|z|＝1，试求复数z和z1所对应的两点间的距离的最大值．
(2)由已知得点 A，B，C 的坐标分别为(1,4)，(0，－3)，(2,0)，则 AC 的中点为
3 (2
，2)，由平行四
边形的性质知
BD
的中点也是(32，2)，若设
D(x0，y0)，则有
0＋2 x0＝32， －32＋y0＝2，
解得xy00＝ ＝37， ， 故 D(3,7)．
第二十二页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
第十一页，编辑于星期六：二十三点 五十八分。
2．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( C )
A．第一象限
2019-2020学年人教A版高中数学选修2-2课件：第3章 数系的扩充与复数的引入3.1.2
• 思维导引：利用复数与点的一一对应关系及点对应位置时坐 标解满析足∵的k 为条实件数求，∴解k2．－3k－4，k2－5k－6 都是实数，
∴复数 z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i 对应的点的坐标为(k2－3k－4，k2－5k－6)．
(1)由题意得kk22－ －35kk－ －46＞ ＝00， ， 解得kk＝＜－－11或或kk＝＞64，，
故满足条件的实数 a 的取值范围为(－2,1)． (2)由点 Z 位于直线 y＝x 上，得 a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得 a＝1.
故满足条件的实数 a 的值为 1.
考点二 复数的模
向量O→Z的模叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|.由模的定义知|z| ＝|a＋bi|＝ a2＋b2.
∴mm－ ＋21＝ ≠00， ， 解得 m＝2，∴z＝3i，∴|z|＝3.
课末随堂演练
课后限时作业
3 2i
对应的向量分别为O→A，O→B，O→C.
各复数的模：|1|＝1，
－12＋ 23i
＝ －122＋ 232＝1，
－12－ 23i＝ －122＋－ 232＝1.
• 【变式2】 若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i(m∈R)为纯虚数，求z 的模．
解析 ∵z＝(m－2)＋(m＋1)i(m∈R)为纯虚数，
• 【变式1】 求实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a －2＋(a2－3a＋2)i的点：
• (1)位于第二象限； • (2)位于直线y＝x上．
解析 根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数 z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i 的点就是点 Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．
(1)由点 Z 位于第二象限，得aa22－＋3aa－＋22<>00，， 解得－2＜a＜1.
∴复数 z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i 对应的点的坐标为(k2－3k－4，k2－5k－6)．
(1)由题意得kk22－ －35kk－ －46＞ ＝00， ， 解得kk＝＜－－11或或kk＝＞64，，
故满足条件的实数 a 的取值范围为(－2,1)． (2)由点 Z 位于直线 y＝x 上，得 a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得 a＝1.
故满足条件的实数 a 的值为 1.
考点二 复数的模
向量O→Z的模叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|.由模的定义知|z| ＝|a＋bi|＝ a2＋b2.
∴mm－ ＋21＝ ≠00， ， 解得 m＝2，∴z＝3i，∴|z|＝3.
课末随堂演练
课后限时作业
3 2i
对应的向量分别为O→A，O→B，O→C.
各复数的模：|1|＝1，
－12＋ 23i
＝ －122＋ 232＝1，
－12－ 23i＝ －122＋－ 232＝1.
• 【变式2】 若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i(m∈R)为纯虚数，求z 的模．
解析 ∵z＝(m－2)＋(m＋1)i(m∈R)为纯虚数，
• 【变式1】 求实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a －2＋(a2－3a＋2)i的点：
• (1)位于第二象限； • (2)位于直线y＝x上．
解析 根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数 z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i 的点就是点 Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．
(1)由点 Z 位于第二象限，得aa22－＋3aa－＋22<>00，， 解得－2＜a＜1.
人教A版高中数学选修2-2课件：第三章 3.1.2数系的扩充和复数的概念(共42张PPT)
最终你相信什么就能成为什么。因为世界上最可怕的二个词，一个叫执着，一个叫认真，认真的人改变自己，执着的人改变命运。只要在路 上，就没有到不了的地方。 奋斗的双脚在踏碎自己的温床时，却开拓了一条创造之路。 时间告诉我，无理取闹的年龄过了，该懂事了。 男人怕父母是孝顺，怕老婆是真爱。所以，好男人都是能耐大，脾气小，渣男则相反！ 贪婪是最真实的贫穷，满足是最真实的财富。
崇高的理想就象生长在高山上的鲜花。如果要搞下它，勤奋才能是攀登的绳索。 并非神仙才能烧陶器，有志的人总可以学得精手艺。 没有人能替你承受痛苦，也没有人能抢走你的坚强。 勤奋是学习的枝叶，当然很苦，智慧是学习的花朵，当然香郁。 知道自己目的地的人，才是旅行得最远的人。 如果放弃太早，你远是一个奴隶。——歌德 不如意的时候不要尽往悲伤里钻，想想有笑声的日子吧！ 意志力是人的一条救生索，它可以帮助我们脱离困境，引导我们走向胜利。 你的选择是做或不做，做不一定会成功，但不做就永远不会有机会。 世界上20%的人是吃小亏而占大便宜，而80%的人是占小一便宜吃大亏，大多数成功人士都源于那20%。 成功是一种观念，成功是一种思想，成功是一种习惯，成功是一种心态。 被朋友伤害了和被陌生人伤了其实是一样的，别怀疑友情，人家不欠你的，但要提防背叛你的人。 实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。 把自己当傻瓜，不懂就问，你会学的更多。
2019-2020数学人教A版选修2-2课件：第三章数系的扩充和复数的引入3.1 3.1.1
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课后课时精练
【跟踪训练 2】 已知 m∈R，复数 z＝mmm－＋12＋(m2＋2m－3)i，当 m 为何值时，
(1)z 为实数？ (2)z 为虚数？ (3)z 为纯虚数？
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解 (1)要使 z 为实数，需满足 m2＋2m－3＝0，且mmm－＋12有意义，即 m －1≠0，解得 m＝－3.
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答案
解析
3．已知复数 z＝a2－(2－b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3，则实数 a，b 的值分别是________．
答案 ± 2，5
解析 由题意得：a2＝2，－(2－b)＝3，所以 a＝± 2，b＝5.
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答案
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1．“a＝0”是“复数 a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的( ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A
解析 因为复数 a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0 且 b≠0，所以“a＝0” 是“复数 a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的必要不充分条件．
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4．复数相等的充要条件
在复数集 C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数 a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈
R)，规定：a＋bi 与 c＋di 的充要条件是 □12 a＝c 且 b＝d(a，b，c，d∈R)
．
课前自主预习
2019-2020学年人教A版数学选修2-2课件：第3章 3.1 3.1.1 数系的扩充和复数的概念
第六页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。
1．用 C，R 和 I 分别表示复数集、实数集和虚数集，那么有( )
A．C＝R∩I
B．R∩I＝{0}
C．R＝C∩I
D．R∩I＝
D [由复数的概念可知 R⊂C，I⊂C，R∩I＝ .]
第七页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。
2．复数 i－2 的虚部是( A．i C．1
第十页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。
合作探究 提素养
第十一页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。
复数的概念及分类
【例 1】 实数 x 分别取什么值时，复数 z＝x2－x＋x－3 6＋(x2－2x －15)i 是①实数？②虚数？③纯虚数？
第十二页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。
x2－2x－15＝0，
点)
2．通过复数有关概念的
3．掌握复数的分类及复数相等的充要条 应用，培养学生的数学
件．(重点、易混点)
运算的核心素养.
第二页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。
自主预习 探新知
第三页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。
1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)
全体复数所构成的集合 C＝ {a＋bi|a，b∈R} ，叫做复数集．
k2－3k－4＝0， ④当k2－5k－6＝0 时，z＝0，解得 k＝－1.
第十七页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。
复数相等的充要条件
[探究问题] 1．由 3>2 能否推出 3＋i>2＋i？两个实数能比较大小，那么两个 复数能比较大小吗？ [提示] 由 3>2 不能推出 3＋i>2＋i，当两个复数都是实数时， 可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．
1．用 C，R 和 I 分别表示复数集、实数集和虚数集，那么有( )
A．C＝R∩I
B．R∩I＝{0}
C．R＝C∩I
D．R∩I＝
D [由复数的概念可知 R⊂C，I⊂C，R∩I＝ .]
第七页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。
2．复数 i－2 的虚部是( A．i C．1
第十页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。
合作探究 提素养
第十一页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。
复数的概念及分类
【例 1】 实数 x 分别取什么值时，复数 z＝x2－x＋x－3 6＋(x2－2x －15)i 是①实数？②虚数？③纯虚数？
第十二页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。
x2－2x－15＝0，
点)
2．通过复数有关概念的
3．掌握复数的分类及复数相等的充要条 应用，培养学生的数学
件．(重点、易混点)
运算的核心素养.
第二页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。
自主预习 探新知
第三页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。
1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)
全体复数所构成的集合 C＝ {a＋bi|a，b∈R} ，叫做复数集．
k2－3k－4＝0， ④当k2－5k－6＝0 时，z＝0，解得 k＝－1.
第十七页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。
复数相等的充要条件
[探究问题] 1．由 3>2 能否推出 3＋i>2＋i？两个实数能比较大小，那么两个 复数能比较大小吗？ [提示] 由 3>2 不能推出 3＋i>2＋i，当两个复数都是实数时， 可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．
2019-2020学年高中数学选修2-2人教A版课件：第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 3.2.1
向量B→A对应的复数为 1＋2i，向量B→C对应的复数为 3－i，求点 C 对应的复数．
【思路探索】 由复数、点及向量的对应关系可知，所求 复数即为向量O→C对应的复数．由加、减法运算的几何意义得O→C ＝O→A＋A→C.
【解】 ∵B→A对应的复数为 1＋2i，B→C 对应的复数为 3－i， ∴A→C＝B→C－B→A对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又∵O→C＝O→A＋A→C， ∴C 点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
[名 师 点 拨] 两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加 减.
若 z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，z1＋z2
的和所对应的点在实轴上，则 a 为( )
A．－1
B．1
C．2
D.3
解析：z1＋z2＝5＋(a＋1)i，由题意知，a＋1＝0，a＝－1. 答案：A
题型二 复数加减法的几何意义 复平面内三点 A，B，C，A 点对应的复数为 2＋i，
第三章 数系的扩充 与复数的引入
3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算
及其几何意义
自主学习导航
梳理知识 夯实基础
目标导学
1．掌握复数代数形式的加、减运算法则． 2．了解复数代数形式的加、减法的几何意义．
‖知识梳理‖ 1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝ __a＋__c_＋_(_b_＋_d_)i____，z1－z2＝__a_－__c_＋__(_b_－__d_)i__，即两个复数的和 (或差)仍然是一个__复__数_____． 2．复数的加法满足：(1)交换律___z_1_＋__z2_＝__z_2＋__z_1_____；(2) 结合律_(_z_1＋__z_2_)＋__z_3_＝__z_1＋__(_z_2＋__z_3_)_.
【思路探索】 由复数、点及向量的对应关系可知，所求 复数即为向量O→C对应的复数．由加、减法运算的几何意义得O→C ＝O→A＋A→C.
【解】 ∵B→A对应的复数为 1＋2i，B→C 对应的复数为 3－i， ∴A→C＝B→C－B→A对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又∵O→C＝O→A＋A→C， ∴C 点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
[名 师 点 拨] 两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加 减.
若 z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，z1＋z2
的和所对应的点在实轴上，则 a 为( )
A．－1
B．1
C．2
D.3
解析：z1＋z2＝5＋(a＋1)i，由题意知，a＋1＝0，a＝－1. 答案：A
题型二 复数加减法的几何意义 复平面内三点 A，B，C，A 点对应的复数为 2＋i，
第三章 数系的扩充 与复数的引入
3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算
及其几何意义
自主学习导航
梳理知识 夯实基础
目标导学
1．掌握复数代数形式的加、减运算法则． 2．了解复数代数形式的加、减法的几何意义．
‖知识梳理‖ 1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝ __a＋__c_＋_(_b_＋_d_)i____，z1－z2＝__a_－__c_＋__(_b_－__d_)i__，即两个复数的和 (或差)仍然是一个__复__数_____． 2．复数的加法满足：(1)交换律___z_1_＋__z2_＝__z_2＋__z_1_____；(2) 结合律_(_z_1＋__z_2_)＋__z_3_＝__z_1＋__(_z_2＋__z_3_)_.
2019-2020学年人教A版高中数学选修2-2课件：第3章 数系的扩充与复数的引入3.2.1
• 2．对任意z1，z2，z3∈C，有zz12＋＋z1z2＝_______，z1(＋z(1z2＋＋zz3) 2)＋ z3＝____________．
要点二 复数加减法的几何意义
如图，设复数 z1，z2 对应的向量分别为O→Z1，O→Z2，四边形 OZ1ZZ2 为平行四边形，
→
→
则与 z1＋z2 对应的向量是__O_Z__，与 z1－z2 对应的向量是__Z_2_Z_1__.
考点二 复数加减法运算的几何意义
复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)分别对应复平面上的向量O→Z1，O→Z2， 则有O→Z1＝(a，b)，O→Z2＝(c，d)．
由平面向量的坐标运算，知O→Z1＋O→Z2＝(a＋c，b＋d)． 这说明两个向量O→Z1与O→Z2的和就是复数 z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i 对应的向量．因 此，复数的加法可以按照向量的加法来进行．这是复数加法的几何意义．
思考： 若复数 z1，z2 满足 z1－z2>0，能否认为 z1>z2? 提示 不能．如 2＋i－i＞0，但 2＋i 与 i 不能比较大小．
课堂深度拓展
考点一 复数的加减法运算
(1)设a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数． ①当b＝0，d＝0时，复数的加减法法则与实数的加减法法 则一致． ②加减运算的交换律、结合律在复数集中仍成立． ③符合向量加法的平行四边形法则．
个顶点 D 对应的复数为 x＋yi(x，y∈R)，于是A→D＝O→D－O→A对应的复数为
(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i；
B→C＝O→C－O→B对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝ห้องสมุดไป่ตู้－3i.
∵A→D＝B→C， ∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i， ∴yx－－21＝＝－1，3， 解得yx＝＝－2，1. 故点 D 对应的复数为 2－i.
要点二 复数加减法的几何意义
如图，设复数 z1，z2 对应的向量分别为O→Z1，O→Z2，四边形 OZ1ZZ2 为平行四边形，
→
→
则与 z1＋z2 对应的向量是__O_Z__，与 z1－z2 对应的向量是__Z_2_Z_1__.
考点二 复数加减法运算的几何意义
复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)分别对应复平面上的向量O→Z1，O→Z2， 则有O→Z1＝(a，b)，O→Z2＝(c，d)．
由平面向量的坐标运算，知O→Z1＋O→Z2＝(a＋c，b＋d)． 这说明两个向量O→Z1与O→Z2的和就是复数 z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i 对应的向量．因 此，复数的加法可以按照向量的加法来进行．这是复数加法的几何意义．
思考： 若复数 z1，z2 满足 z1－z2>0，能否认为 z1>z2? 提示 不能．如 2＋i－i＞0，但 2＋i 与 i 不能比较大小．
课堂深度拓展
考点一 复数的加减法运算
(1)设a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数． ①当b＝0，d＝0时，复数的加减法法则与实数的加减法法 则一致． ②加减运算的交换律、结合律在复数集中仍成立． ③符合向量加法的平行四边形法则．
个顶点 D 对应的复数为 x＋yi(x，y∈R)，于是A→D＝O→D－O→A对应的复数为
(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i；
B→C＝O→C－O→B对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝ห้องสมุดไป่ตู้－3i.
∵A→D＝B→C， ∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i， ∴yx－－21＝＝－1，3， 解得yx＝＝－2，1. 故点 D 对应的复数为 2－i.
2019-2020数学人教A版选修2-2课件：第三章数系的扩充和复数的引入3.2 3.2.1
[解] (1)原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i. (2)原式＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i＝－1－i.
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
第十页，编辑于星期日：点 二十分。
拓展提升 复数代数形式的加减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进 行加减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算 类似于初中的合并同类项．
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随堂达标自测
课后课时精练
答案
第二十二页，编辑于星期日：点 二十分。
拓展提升 掌握以下常用结论： 在复平面内，z1，z2 对应的点为 A，B，z1＋z2 对应的点为 C，O 为坐标原 点，则四边形 OACB： ①为平行四边形； ②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形 OACB 为矩形； ③若|z1|＝|z2|，则四边形 OACB 为菱形； ④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形 OACB 为正方形．
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
第十六页，编辑于星期日：点 二十分。
拓展提升 (1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标 运算或向量运算． (2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法 则． (3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了 可能．
3.2.1 复数代数形式 的加、
减运算及其几何意义
第一页，编辑于星期日：点 二十分。
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第二页，编辑于星期日：点 二十分。
1．复数的加法与减法
(1)复数的加减法运算法则
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答案
第十页，编辑于星期日：点 二十分。
拓展提升 复数代数形式的加减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进 行加减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算 类似于初中的合并同类项．
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课后课时精练
答案
第二十二页，编辑于星期日：点 二十分。
拓展提升 掌握以下常用结论： 在复平面内，z1，z2 对应的点为 A，B，z1＋z2 对应的点为 C，O 为坐标原 点，则四边形 OACB： ①为平行四边形； ②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形 OACB 为矩形； ③若|z1|＝|z2|，则四边形 OACB 为菱形； ④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形 OACB 为正方形．
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课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
第十六页，编辑于星期日：点 二十分。
拓展提升 (1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标 运算或向量运算． (2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法 则． (3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了 可能．
3.2.1 复数代数形式 的加、
减运算及其几何意义
第一页，编辑于星期日：点 二十分。
课前自主预习
第二页，编辑于星期日：点 二十分。
1．复数的加法与减法
(1)复数的加减法运算法则
2019-2020学年数学选修2-2人教A版课件：第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2
第二十九页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
共轭复数
典例 5
设 z∈C， z 为 z 的共轭复数，若 z ·z＋iz＝31＋0 i，求 z.
[错解] 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi，
因为 z ·z＋iz＝31＋0 i，
所以(a－bi)(a＋bi)＋i(a＋bi)＝3－i. 即 a2＋b2＋b＋ai＝3－i，
1．复数代数形式的乘法法则 设 z1 ＝ a ＋ bi ， z2 ＝ c ＋ di(a ， b ， c ， d∈R) ， 则 z1·z2 ＝ (a ＋ bi)(c ＋ di) ＝ ___(_a_c－__b_d_)_＋__(_ad_＋__b_c_)_i _____. 2．复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有
第二十六页，编辑于星期六：二十三点 五十八 分。
典例 4 已知关于 x 的方程ax＋bx＝1，其中 a、b 为实数．
(1)若 x＝1－ 3i 是该方程的根，求 a、b 的值；
(2)当 a>0 且ba>14时，证明该方程没有实数根． [解析] (1)将 x＝1－ 3i 代入ax＋bx＝1，
化简得(1a＋b4)＋( 43b－ a3)i＝1，
第四页，编辑于星期六：二十三点 五十八分。
自主预习学案
第五页，编辑于星期六：二十三点 五十八分。
在研究复数的乘法时，我们注意到复数的形式就像一个二项式，类比二项式 乘二项式的法则，我们可以得到复数乘法的法则让第一项与第二项的各项分别相 乘，再合并“同类项”，即得到乘法的结果．
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交换律 结合律 分配律
z1·z2＝__z_2·_z_1 ___
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) z1(z2＋z3)＝___z1_z_2＋__z_1_z3______
共轭复数
典例 5
设 z∈C， z 为 z 的共轭复数，若 z ·z＋iz＝31＋0 i，求 z.
[错解] 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi，
因为 z ·z＋iz＝31＋0 i，
所以(a－bi)(a＋bi)＋i(a＋bi)＝3－i. 即 a2＋b2＋b＋ai＝3－i，
1．复数代数形式的乘法法则 设 z1 ＝ a ＋ bi ， z2 ＝ c ＋ di(a ， b ， c ， d∈R) ， 则 z1·z2 ＝ (a ＋ bi)(c ＋ di) ＝ ___(_a_c－__b_d_)_＋__(_ad_＋__b_c_)_i _____. 2．复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有
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典例 4 已知关于 x 的方程ax＋bx＝1，其中 a、b 为实数．
(1)若 x＝1－ 3i 是该方程的根，求 a、b 的值；
(2)当 a>0 且ba>14时，证明该方程没有实数根． [解析] (1)将 x＝1－ 3i 代入ax＋bx＝1，
化简得(1a＋b4)＋( 43b－ a3)i＝1，
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在研究复数的乘法时，我们注意到复数的形式就像一个二项式，类比二项式 乘二项式的法则，我们可以得到复数乘法的法则让第一项与第二项的各项分别相 乘，再合并“同类项”，即得到乘法的结果．
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z1·z2＝__z_2·_z_1 ___
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) z1(z2＋z3)＝___z1_z_2＋__z_1_z3______
2019-2020数学人教A版选修2-2课件：第三章数系的扩充和复数的引入3.2 3.2.1
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解析
4．复数 z 满足 z－(1－i)＝2i，则 z 等于( )
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答案
所以点 C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 因为A→D＝B→C， 所以向量A→D对应的复数为 3－i，即A→D＝(3，－1)， 设 D(x，y)，则A→D＝(x－2，y－1)＝(3，－1)， 所以xy－－21＝＝－3，1， 解得xy＝＝50，. 所以点 D 对应的复数为 5.
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答案
解析
2．已知|z|＝3，且 z＋3i 是纯虚数，则 z 等于( ) A．－3i B．3i C．±3i D．4i
答案 B
解析 设 z＝x＋yi(x，y∈R)，由 z＋3i＝x＋(y＋3)i 为纯虚数，得 x＝0， 且 y≠－3，又|z|＝ x2＋y2＝|y|＝3，∴y＝3.故选 B.
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答案
解法二：设 O 为坐标原点， z1，z2，z1＋z2 对应的点分别为 A，B，C. ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1， ∴△OAB 是边长为 1 的正三角形， ∴四边形 OACB 是一个内角为 60°，边长为 1 的菱形，且|z1＋z2|是菱形的 较长的对角线 OC 的长， ∴|z1＋z2|＝|OC| ＝ |OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°＝ 3.
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课后课几何意义 若复数 z1，z2 对应的向量O→Z1，O→Z2不共线，则复数 z1＋z2 是以O→Z1，O→Z2为 邻边的平行四边形的对角线O→Z所对应的复数．