高考数学复习题库 (17)

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高考数学二十二个必考问题讲解17

必考问题17 与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题1．(2011·新课标全国)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )．A ．18B ．24C ．36D ．48答案： C [不妨设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为x ＝p2.代入y 2＝2px 得y ＝±p ，即|AB |＝2p ，又|AB |＝12，故p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3，故S △ABP ＝12×6×12＝36.]2．(2011·山东)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )．A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案：C [∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4＜y 0＋2，∴y 0＞2.]3．(2010·福建)若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则O P →·F P →的取值范围为( )．A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－74，＋∞D.⎣⎡⎭⎫74，＋∞ 答案：B [如图，由c ＝2得a 2＋1＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x23－y 2＝1.设P (x ，y )(x ≥3)，O P →·F P →＝(x ，y )·(x ＋2，y )＝x 2＋2x ＋y 2 ＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1(x ≥3)．令g (x )＝43x 2＋2x －1(x ≥3)，则g (x )在[3，＋∞)上单调递增．g (x )m i n ＝g (3)＝3＋2 3.∴O P →·F P →的取值范围为[3＋23，＋∞)．]4．(2012·浙江)定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________.解析因曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离为|0－(－4)|2－ 2＝2 2－2＝2，则曲线C 1与直线l 不能相交，即x 2＋a ＞x ，∴x 2＋a －x ＞0.设C 1：y ＝x 2＋a 上一点为(x 0，y 0)，则点(x 0，y 0)到直线l 的距离d ＝|x 0－y 0|2＝－x 0＋x 20＋a2＝⎝⎛⎭⎫x 0－122＋a －142≥4a －14 2＝2，所以a ＝94.答案 94本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大．复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去．解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值.必备知识有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用韦达定理，即作如下变形：|x2－x1|＝(x1＋x2)2－4x1x2；|y2－y1|＝(y1＋y2)2－4y1y2.(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．圆锥曲线中的最值(1)椭圆中的最值F1、F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有①|OP|∈[b，a]；②|PF1|∈[a－c，a＋c]；③|PF1|·|PF2|∈[b2，a2]；④∠F1PF2≤∠F1BF2.(2)双曲线中的最值F1、F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有①|OP|≥a；②|PF1|≥c－a.(3)抛物线中的最值点P为抛物线y2＝2px(p＞0)上的任一点，F为焦点，则有①|PF|≥p 2；②A(m，n)为一定点，则|P A|＋|PF|有最小值．必备方法1．定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．2．解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.圆锥曲线中的定点、定值问题该类问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明．难度较大．【例1】►(2012·湖南)在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．(1)求曲线C1的方程；(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．[审题视点][听课记录][审题视点] (1)直接根据曲线与方程的概念求解，或者转化为根据抛物线的定义求解均可；(2)首先建立圆的两条切线的斜率与点的坐标之间的关系，其次把圆的切线方程与抛物线方程联立消元，根据根与系数的关系得出纵坐标之和和纵坐标之积，最后从整体上消去参数(圆的切线斜率)即可得证．(1)解法一设M的坐标为(x，y)，由已知得|x＋2|＝(x－5)2＋y2－3.易知圆C 2上的点位于直线x ＝－2的右侧，于是x ＋2＞0，所以(x －5)2＋y 2＝x ＋5.化简得曲线C 1的方程为y 2＝20x .法二由题设知，曲线C 1上任意一点M 到圆心C 2(5,0)的距离等于它到直线x ＝－5的距离．因此，曲线C 1是以(5,0)为焦点，直线x ＝－5为准线的抛物线．故其方程为y 2＝20x .(2)证明当点P 在直线x ＝－4上运动时，P 的坐标为(－4，y 0)，又y 0≠±3，则过P 且与圆C 2相切的直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y －y 0＝k (x ＋4)，即kx －y ＋y 0＋4k ＝0.于是|5k ＋y 0＋4k |k 2＋1＝3.整理得72k 2＋18y 0k ＋y 20－9＝0.①设过P 所作的两条切线P A ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1，k 2是方程①的两个实根，故k 1＋k 2＝－18y 072＝－y 04.②由⎩⎪⎨⎪⎧k 1x －y ＋y 0＋4k 1＝0，y 2＝20x得k 1y 2－20y ＋20(y 0＋4k 1)＝0.③设四点A ，B ，C ，D 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3，y 4，则y 1，y 2是方程③的两个实根，所以y 1y 2＝20(y 0＋4k 1)k 1.④同理可得y 3y 4＝20(y 0＋4k 2)k 2.⑤于是由②，④，⑤三式得 y 1y 2y 3y 4＝400(y 0＋4k 1)(y 0＋4k 2)k 1k 2＝400[y 20＋4(k 1＋k 2)y 0＋16k 1k 2]k 1k 2＝400(y 20－y 20＋16k 1k 2)k 1k 2＝6 400.所以，当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6 400.解圆锥曲线中的定点、定值问题可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定值、定点问题的选择题或填空题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等．【突破训练1】设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线L 与C 相交于A ，B 两点．(1)设L 的斜率为1，求|AB |的大小； (2)求证：OA →·OB →是一个定值．(1)解 ∵F (1,0)，∴直线L 的方程为y ＝x －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x 得x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1. ∴|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·36－4＝8.(2)证明设直线L 的方程为x ＝ky ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x得y 2－4ky －4＝0. ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)．∵O A →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2 ＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3. ∴OA →·OB →是一个定值．圆锥曲线中的最值、范围问题该类试题设计巧妙、命制新颖别致，常求特定量、特定式子的最值或范围．常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇，成为近年高考热点．【例2】► (2012·浙江)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程． [审题视点] [听课记录][审题视点] (1)利用椭圆的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10求解．(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设为y ＝kx ＋m ，结合椭圆方程，线段AB 被直线OP 平分可求k 值．然后以AB 为底，点P 到直线AB 的距离为高表示出S △ABP 的表达式，借助导数求最值．解 (1)设椭圆左焦点为F (－c,0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2＋c )2＋1＝10，c a ＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2. 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M .当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12消去y ，整理得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，(1) 则Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.所以线段AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫－4km 3＋4k 2，3m3＋4k 2.因为M 在直线OP ：y ＝12x 上，所以3m3＋4k 2＝－2km 3＋4k 2. 得m ＝0(舍去)或k ＝－32.此时方程(1)为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则 Δ＝3(12－m 2)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33.所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝396·12－m 2. 设点P 到直线AB 距离为d ，则 d ＝|8－2m |32＋22＝2|m －4|13. 设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |·d ＝36·(m －4)2(12－m 2). 其中m ∈(－2 3，0)∪(0,2 3)．令u (m )＝(12－m 2)(m －4)2，m ∈[－2 3，2 3]， u ′(m )＝－4(m －4)(m 2－2m －6) ＝－4(m －4)(m －1－7)(m －1＋7)．所以当且仅当m ＝1－7，u (m )取到最大值．故当且仅当m ＝1－7，S 取到最大值．综上，所求直线l 方程为3x ＋2y ＋2 7－2＝0.求最值或范围常见的解法：(1)几何法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用图形性质来解决；(2)代数法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求最值；(3)求函数最值常用的代数法有配方法、判别式法、导数法、基本不等式法及函数的单调性、有界性法等．【突破训练2】 (2012·陕西五校联考)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为( )．A ．－2B ．－8116C ．1D ．0答案： A [由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y )(x ≥1)，则P A 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝4x 2－x －5.令f (x )＝4x 2－x －5，则f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值，即P A 1→·PF 2→取最小值，最小值为－2.]圆锥曲线中探索性问题此类问题命题背景宽，涉及知识点多，综合性强，探究平分面积的线、平分线段的线，或探究等式成立的参数值．常与距离、倾斜角、斜率及方程恒成立问题综合，形成知识的交汇．【例3】► (2011·重庆卷改编)如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22，且a 2c＝2 2.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P 满足：OP →＝OM →＋2ON →，其中M 、N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12.问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．[审题视点] [听课记录][审题视点] (1)利用e ＝22，a 2c＝22求a ，c .(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由OP →＝OM →＋2ON →可得x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2，又点M 、N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上，可得x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，再结合直线OM 与ON 的斜率之积为－12.可求得点P 满足方程x 2＋2y 2＝20.由椭圆的定义可求解．解 (1)由e ＝c a ＝22，a 2c ＝22，解得a ＝2，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1. (2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由OP →＝OM →＋2ON →，得(x ，y )＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)，即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.因为点M 、N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2) ＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知 k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20.所以P 点是椭圆x 2(25)2＋y 2(10)2＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1，F 2，则由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|为定值，又因c ＝(25)2－(10)2＝10，因此两焦点的坐标为F 1(－10，0)，F 2(10，0)．探究是否存在的问题，一般均是先假设存在，然后寻找理由去确定结论，如果真的存在，则能得出相应结论，如果不存在，则会由条件得出相互矛盾的结论．【突破训练3】 (2012·济南模拟)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)由已知，得直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程，得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理，得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于 Δ＝8k 2－4×⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由方程①，得x 1＋x 2＝－42k1＋2k 2，②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2 2.③而A (2，0)，B (0,1)，AB →＝(－2，1)，所以OP →＋OQ →与AB →共线等价于将②③代入上式，解得k ＝22，由(1)知k ＜－22或k ＞22，故没有符合题意的常数k .圆锥曲线“最”有应得椭圆、双曲线、抛物线的最值问题的解题方法较灵活，学生时常感到无从下手．常遇到面积最大最小问题，距离的最长最短问题，不定量的最大最小问题等等，下面给同学们提供两种解法，只要掌握了它们，就可以“最”有应得．一、几何法求最值【示例1】► 抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求△ABP 面积的最大值．[满分解答] (1)根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2，抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.(2分)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.所以OA →＋OB →＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2.故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线方程为x 2＝－2y .(6分)(2)设P (x 0，y 0)，依题意，知当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大．对y ＝－12x 2求导，得y ′＝－x ，所以－x 0＝2，即x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，即P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离d ＝|2·(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝45＝4 55.(9分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4， |AB |＝ 1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋22·(－4)2－4·(－4)＝4 10.于是，△ABP 面积的最大值为 12×4 10×4 55＝8 2.(12分) 老师叮咛：当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值问题时，可以通过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线，则两条平行线间的距离，就是所求的最值，切点就是曲线上取得最值的点，这种求最值的方法称为切线法．切线法的基本思想是数形结合，其中求曲线的切线方程需要利用导数知识，判断切线与曲线的最值需要借助几何图形的直观性，通过图形来确定何时取得最大值，何时取得最小值．二、函数法求最值【示例2】► (2012·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程；(2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．[满分解答] (1)由e ＝ca＝a 2－b 2a 2＝ 23，得a ＝3b ，椭圆C ：x 23b 2＋y 2b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2，设P (x ，y )为C 上任意一点，则|PQ |＝ x 2＋(y －2)2＝－2(y ＋1)2＋3b 2＋6，－b ≤y ≤b .若b ＜1，则－b ＞－1，当y ＝－b 时，|PQ |max ＝－2(－b ＋1)2＋3b 2＋6＝3，又b ＞0，得b ＝1(舍去)，若b ≥1，则－b ≤－1，当y ＝－1时，|PQ |max ＝－2(－1＋1)2＋3b 2＋6＝3，得b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(6分)(2)法一假设存在这样的点M (m ，n )满足题意，则有m 23＋n 2＝1，即n 2＝1－m 23，－3≤m ≤ 3.由题意可得S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12，当∠AOB ＝90°时取等号，这时△AOB 为等腰直角三角形，此时圆心(0,0)到直线mx ＋ny ＝1的距离为22，则1m 2＋n2＝22，得m 2＋n 2＝2，又m 23＋n 2＝1，解得m 2＝32，n 2＝12，即存点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫62，22，⎝⎛⎭⎫62，－22，⎝⎛⎭⎫－62，22，⎝⎛⎭⎫－62，－22满足题意，且△AOB 的最大面积为12.(12分)法二假设存在这样的点M (m ，n )满足题意，则有m 23＋n 2＝1，即n 2＝1－m 23，－3≤m ≤3，又设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝1x 2＋y 2＝1，消去y 得(m 2＋n 2)x 2－2mx ＋1－n 2＝0，①把n 2＝1－m 23代入①整理得(3＋2m 2)x 2－6mx ＋m 2＝0，则Δ＝8m 2(3－m 2)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝6m 3＋2m 2，x 1x 2＝m 23＋2m2，②而S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ，当∠AOB ＝90°，S △AOB 取得最大值12，此时OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1y 2＝1－mx 1n ·1－mx 2n ＝3－3m (x 1＋x 2)＋3m 2x 1x 23－m 2，∴x 1x 2＋3－3m (x 1＋x 2)＋3m 2x 1x 23－m2＝0，即3－3m (x 1＋x 2)＋(3＋2m 2)·x 1x 2＝0，把②代入上式整理得2m 4－9m 2＋9＝0，解得m 2＝32或m 2＝3(舍去)，∴m ＝±62，n ＝±1－m 23＝±22，∴M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫62，22，⎝⎛⎭⎫62，－22，⎝⎛⎭⎫－62，22，⎝⎛⎭⎫－62，－22，使得S △AOB 取得最大值12.(12分)老师叮咛：当所求的最值可以表示成某个变量的函数关系式时，我们常常先建立对应的函数关系式，然后利用函数方法求出对应的最值，称这种方法为函数法，这是解析几何问题中求最值的常用方法．函数法是研究数学问题的一种最重要的方法，用这种方法求解圆锥曲线的最值问题时，除了重视建立函数关系式这个关键点外，还要密切注意所建立的函数式中的变量是否有限制范围，这些限制范围恰好制约了最值的取得，因此在解题时要予以高度关注．【试一试】抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( )． A.43 B.75 C.85D ．3 答案： A [可知过抛物线点的切线与直线4x ＋3y －8＝0平行时，所求的距离最小，y ′＝－2x .令－2x ＝－43，解得x ＝23，从而切点坐标为⎝⎛⎭⎫23，－49，切线方程为y ＋49＝－43⎝⎛⎭⎫x －23，即4x ＋3y －43＝0，由两平行线间距离公式，得点到直线的距离的最小值为d ＝⎪⎪⎪⎪－8－⎝⎛⎭⎫－4342＋324＝3.故选A.]。

高考数学复习常考知识点专项练习17 函数的定义域与值域

高考数学复习常考知识点专项练习17 函数的定义域与值域一、选择题1．已知函数f (x )的定义域为[－2,1]，函数g (x )＝f (x －1)2x ＋1，则g (x )的定义域为( A )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，2 B ．(－1，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0,2) D.⎝⎛⎭⎪⎫－12，2 解析：由题意得⎩⎨⎧－2≤x －1≤1，2x ＋1>0，解得－12<x ≤2，故选A.2．在下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( B )A ．y ＝xB ．y ＝1xC ．y ＝1xD ．y ＝x 2＋1解析：y ＝x 的值域为[0，＋∞)，y ＝1x 的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ＝x 2＋1的值域为[1，＋∞)．故选B.3．若函数f (x )＝5x ＋4的值域是[9，＋∞)，则函数f (x )的定义域为( C ) A ．R B ．[9，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1)解析：∵函数f (x )的值域为[9，＋∞)，∴5x ＋4≥9， ∴x ≥1.即函数f (x )的定义域为[1，＋∞)．4．已知函数y ＝x 2的值域是[1,4]，则其定义域不可能是( B )A ．[1,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2 C ．[－2，－1] D ．[－2，－1]∪{1}解析：B 中当x ＝0时，函数值为0，但0∉[1,4]，故选B.5．(多选题)下列各组中的两个函数不是同一个函数的是( ABC ) A ．y 1＝(x ＋3)(x －5)x ＋3，y 2＝x －5B ．f 1(x )＝(2x －5)2，f 2(x )＝2x －5C ．f 1(x )＝(x ＋1)(x －1)，f 2(x )＝x ＋1·x －1D ．f 1(x )＝(x －1)0，f 2(x )＝(x －1)2|x －1|解析：A.定义域不同，不是同一个函数；B.定义域、对应关系都不同，不是同一个函数；C.定义域不同，不是同一个函数；D.因为f 1(x )＝1(x ≠1)，f 2(x )＝1(x ≠1)，所以f 1(x )与f 2(x )是同一个函数．6．已知等腰三角形ABC 的周长为10，且底边长y 关于腰长x 的函数关系式为y ＝10－2x ，则此函数的定义域为( D )A ．RB ．{x |x >0}C ．{x |0<x <5} D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪52<x <5解析：△ABC 的底边长显然大于0，即y ＝10－2x >0， ∴x <5.又两边之和大于第三边，∴2x >10－2x ，x >52.故此函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪52<x <5.7．已知函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的值域为[0，＋∞)，则m 的取值范围是( D )A ．[0,4]B ．(0,4]C ．(0,4)D ．[4，＋∞)解析：当m ＝0时，f (x )＝1，不合题意；当m ≠0时，设g (x )＝mx 2＋mx ＋1，只需⎩⎨⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≥0，解得m ≥4，故选D.8．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，且f (1)＝2，则f (－3)等于( C )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：方法一：定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，令x ＝y ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)＋0，解得f (0)＝0；令x ＝1，y ＝－1，得f (0)＝f (1)＋f (－1)－2，解得f (－1)＝0；令x ＝y ＝－1，得f (－2)＝f (－1)＋f (－1)＋2，解得f (－2)＝2；令x ＝－2，y ＝－1，得f (－3)＝f (－2)＋f (－1)＋4，解得f (－3)＝6. 方法二：因为f (1)＝2，所以f (2)＝f (1＋1)＝f (1)＋f (1)＋2×1×1＝6，所以f (3)＝f (1＋2)＝f (1)＋f (2)＋2×1×2＝12.令x ＝y ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)＋0，即f (0)＝0，所以f (0)＝f [3＋(－3)]＝f (3)＋f (－3)＋2×3×(－3)＝0，即f (－3)＝6.二、填空题9．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的定义域是[－3,0]∪[1,3]，值域是[1,5]．解析：观察题图可知，函数f (x )的定义域为[－3,0]∪[1,3]，值域为[1,5]． 10．若函数y ＝f (x )的定义域是[－2,2]，则函数y ＝f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域为[－1,1]．解析：∵函数y ＝f (x )的定义域为[－2,2]，∴⎩⎨⎧－2≤x ＋1≤2，－2≤x －1≤2，解得－1≤x ≤1，故所求定义域为[－1,1]．三、解答题11．记函数f (x )＝3－x ＋x －1的定义域为集合M ，函数g (x )＝x 2－2x ＋3的值域为集合N ，求：(1)M ，N ； (2)M ∩N ，M ∪N . 解：(1)因为函数f (x )＝3－x ＋x －1的定义域为集合M ，则有⎩⎨⎧3－x ≥0，x －1≥0，故1≤x ≤3，集合M ＝[1,3]，因为函数g (x )＝x 2－2x ＋3的值域为集合N ，则g (x )＝x 2－2x ＋3≥2，集合N ＝[2，＋∞)，所以M ＝[1,3]，N ＝[2，＋∞)．(2)M ∩N ＝[1,3]∩[2，＋∞)＝[2,3]， M ∪N ＝[1,3]∪[2，＋∞)＝[1，＋∞)．12．如图所示，从边长为2a 的正方形铁片的四个角各截去一个边长为x 的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高x 与底面正方形边长的比值不超过正常数t ，试把铁盒的容积V 表示为关于x 的函数，并求出其定义域．解：依题意，知长方体盒子的高为x ，则底面正方形的边长为(2a －2x )．所以V ＝(2a －2x )2·x ＝4x (a －x )2. 因为⎩⎪⎨⎪⎧0<x <a ，x2a －2x≤t ，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<x <a ，x ≤2at1＋2t.因为a －2at 1＋2t ＝a 1＋2t >0，所以0<x ≤2at1＋2t.所以铁盒的容积V ＝4x (a －x )2，定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪0<x ≤2at 1＋2t .13．(多选题)下列函数中，(0，＋∞)为该函数值域的子集的是( ABC ) A ．y ＝x B ．y ＝100x ＋2C ．y ＝16xD ．y ＝x 2＋x ＋1解析：A 中y ＝x 的值域为[0，＋∞)，B 中函数的值域为(0，＋∞)；C中y ＝16x 的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；D 中y ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 14．(多选题)给出定义：若m －12<x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .在此基础上给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个结论，其中正确的是( AC )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12B ．f (3.4)＝－0.4C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14D ．y ＝f (x )的定义域为R ，值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12解析：由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－(－1)＝12，A 正确；f (3.4)＝|3.4－{3.4}|＝|3.4－3|＝0.4，B 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14－⎩⎨⎧⎭⎬⎫－14＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14－0＝14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－⎩⎨⎧⎭⎬⎫14＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－0＝14，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，C 正确；y ＝f (x )的定义域为R ，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，D 错误．15．已知函数y ＝mx 2＋8x ＋nx 2＋1的定义域为(－∞，＋∞)，值域为[1,9]，则m 的值为5，n 的值为5.解析：由y ＝mx 2＋8x ＋nx 2＋1，得(y －m )x 2－8x ＋(y －n )＝0.∵x ∈R ，若y －m ≠0，则Δ＝(－8)2－4(y －m )(y －n )≥0，即y 2－(m ＋n )y ＋(mn －16)≤0.由1≤y ≤9知，关于y 的一元二次方程y 2－(m ＋n )y ＋(mn －16)＝0的两根为1和9，故有⎩⎨⎧m ＋n ＝1＋9，mn －16＝1×9，解得⎩⎨⎧m ＝5，n ＝5.若y －m ＝0，则m ＝n ＝5，符合题意． ∴m ＝n ＝5.16．已知函数f (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6. (1)若f (x )的定义域为[－2,1]，求实数a 的值； (2)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．解：(1)当1－a 2＝0时，a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，不符合题意；当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6，定义域为[－1，＋∞)，不符合题意．所以1－a 2≠0，由函数f (x )的定义域为[－2,1]知，y ＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6的大致图象如图所示，因此⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2<0，－2＋1＝－3(1－a )1－a 2，－2×1＝61－a 2，解得a ＝2，故实数a 的值为2.(2)由(1)知当a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合题意；当1－a 2≠0时，由f (x )的定义域为R ，可得y ＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0恒成立，即函数y ＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数，其图象开口向上，且与x 轴最多有一个交点，所以只需满足11 / 11 ⎩⎨⎧ 1－a 2>0，Δ＝9(1－a )2－4(1－a 2)×6≤0，解得－511≤a <1.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－511，1.。

考点17导数与函数的单调性(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型(新高考版

考点17导数与函数的单调性（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用【知识点】1．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论f ′(x )>0f (x )在区间(a ，b )上________f ′(x )<0f (x )在区间(a ，b )上________函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上可导f ′(x )＝0f (x )在区间(a ，b )上是________2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的；第2步，求出导数f ′(x )的；第3步，用f ′(x )的零点将f (x )的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x )在各区间上的正负，由此得出函数y ＝f (x )在定义域内的单调性．常用结论1．若函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≥0恒成立；若函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≤0恒成立．2．若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递增区间，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )>0有解；若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递减区间，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )<0有解【核心题型】题型一　不含参函数的单调性确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．【例题1】（2023·全国·模拟预测）已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则()f x 的单调递增区间为（）A ．()2,3B ．()3,4C ．(),3-¥D ．()3,+¥【变式1】（2024·四川成都·三模）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()()1ln f x x x =-，则当0x <时，()f x 的单调递增区间为（）A ．(),e -¥-B ．()e,0-C ．(),0¥-D ．()1,0-【变式2】（2024·四川巴中·一模）已知奇函数()f x 的导函数为()f x ¢，若当0x <时()2af x x x=-，且()10f ¢-=.则()f x 的单调增区间为 .【变式3】（2024·河南开封·三模）已知函数()33ln f x x x =-，()f x ¢为()f x 的导函数．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求函数()()()9g x f x f x x¢=--的单调区间和极值．题型二　含参数的函数的单调性(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点【例题2】（多选）（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数()322f x x ax x=++（R a Î）的大致图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【变式1】（2024·天津·二模）已知()()ln R f x x ax x a =+×Î，(1)当2a =时，求()f x 在点()()e e f ，处的切线方程；(2)讨论()f x 的单调性；(3)若函数()f x 存在极大值，且极大值为1，求证：()2e xf x x -£+．【变式2】（2024·陕西商洛·三模）已知函数()()2212ln 2f x a x x ax a =--ÎR ．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当0a >时，若函数()2e e 2x x g x a =+和()22h x a x =的图象在()0,1上有交点，求实数a 的取值范围．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数()(2)ln f x a x a x =+-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当0a >时，()9ln f x a >．（参考数据：ln 20.693»）题型三　函数单调性的应用由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立．(2)函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0 (或f ′(x )<0)在该区间上存在解集命题点1　比较大小或解不等式【例题3】（2024·四川成都·模拟预测）若函数()f x 对任意的x ÎR 都有()()f x f x ¢<恒成立，则2(2)f 与2e (ln 2)f 的大小关系正确的是（）A ．2(2)f >2e (ln 2)fB ．2(2)f =2e (ln 2)fC ．2(2)f <2e (ln 2)f D ．无法比较大小【变式1】（2023·全国·模拟预测）比较11101011a =-，ln1.2b =，0.115ec =的大小关系为（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c>>D ．a b c>>【变式2】（23-24高三上·湖南衡阳·期末）已知函数()()21e ln 12xf x x a x =--+.(1)证明：当1a £时，()1f x ≥对[)0,x Î+¥恒成立.(2)若存在()1212,x x x x ¹，使得()()12f x f x =，比较()()1211x x ++与2e e a的大小，并说明理由.【变式3】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知函数()()2ln 12x f x x =++.(1)当[)0,x Î+¥时，比较()f x 与x 的大小；(2)若函数()2cos 2x g x x =+，且()()2e 10,0a f g b a b æö=->>ç÷èø，证明：()()211f b g a +>+.命题点2　根据函数的单调性求参数【例题4】（2023·全国·模拟预测）若对任意的1x ，2(,)x m Î+¥，且12x x <，122121ln ln 2x x x x x x -<-，则实数m 的取值范围是（）A ．1,e e æöç÷èøB ．1,e e éùêúëûC ．1,e ¥éö+÷êëøD ．1,e æö+¥ç÷èø【变式1】（23-24高三上·广东汕头·期中）设()0,1a Î，若函数()(1)x xf x a a =++在()0,¥+递增，则a 的取值范围是（）A．B．ö÷÷øC．ö÷÷øD．æççè【变式2】（多选）（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数()2ln f x x ax x =--，下列命题正确的是（）A ．若1x =是函数()f x 的极值点，则1a =B ．若()10f =，则()f x 在[]0,2x Î上的最小值为0C ．若()f x 在()1,2上单调递减，则1a ≥D ．若()()l ln x x f x -≥在[]1,2x Î上恒成立，则2a ≥【变式3】（23-24高三上·山东青岛·期末）若函数2()e 1x f x a x =+-在(0,)+¥上单调递增，则a 的取值范围是．【课后强化】基础保分练一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知函数()e ln x f x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（）．A ．2e B ．eC ．1e -D ．2e -2．（23-24高三上·山西大同·阶段练习）设()af x x a x=-+在()1,+¥上为增函数，则实数a 取值范围是（）A ．[)0,¥+B ．[)1,+¥C ．[)2,-+¥D ．[)1,-+¥3．（2024·云南楚雄·一模）若a b >，则函数()2()y a x a x b =--的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．4．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数()()ln 224(0)f x x a x a a =+--+>，若有且只有两个整数12,x x 使得1()0>f x ，且2()0f x >，则实数a 的取值范围为（）A ．[ln 3,2)B ．(0,2ln 3]-C ．(0,2ln 3)-D ．[2ln 3,2)-5．（2024·全国·模拟预测）已知8sin 15a =，3ln 2b =，25c =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b>>C ．b a c>>D ．c b a>>二、多选题6．（2023·全国·模拟预测）已知函数()33f x x x =-，则（）A ．函数()()()'g x f x f x =× 是偶函数B ．y x =-是曲线()y f x =的切线C ．存在正数(),a f x 在(),a a -不单调D ．对任意实数a ，()(f a f a £+7．（23-24高三上·江西宜春·期中）下列函数中，是奇函数且在区间()0,1上是减函数的是（）A ．()exf x =B ．()sin f x x =-C ．()1f x x=D ．3()2f x x x=-三、填空题8．（2024·云南大理·模拟预测）函数()12ln f x x x =--的最大值为.9．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2e e e x x x g x x x =--，若方程()g x k =有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .四、解答题10．（2024·江西南昌·一模）已知函数()()2ln2ln f x x x x =+-.(1)求()f x 的单调递减区间；(2)求()f x 的最大值.11．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数()2ln f x ax x x =--．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.综合提升练一、单选题1．（2023·贵州毕节·一模）给出下列命题：①函数2()2x f x x =-恰有两个零点；②若函数()4a af x x x =-+在(1,)+¥上单调递增，则实数a 的取值范围是[1,)-+¥；③若函数()f x 满足()(1)4f x f x +-=，则12918101010f f f æöæöæö+++=ç÷ç÷ç÷èøèøèøL ；④若关于x 的方程20x m -=有解，则实数m 的取值范围是(0,1].其中正确的是（）A ．①③B ．②④C ．③④D ．②③2．（2023·江西·模拟预测）已知函数()32f x ax bx cx d =+++的大致图象如图所示，则（）A ．0,0,0a b c >><B ．0,0,0a b c ><<C ．0,0,0a b c ><>D ．a 0,b 0,c 0<>>3．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数()()()1e x f x x a =-+在区间()1,1-上单调递增，则a 的最小值为（）A ．1e -B ．2e -C ．eD ．2e 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数2()4e e 2e x x xf x x =--，()f x ¢为()f x 的导函数，()()e xf xg x ¢=，则（）A ．()g x 的极大值为24e 2-，无极小值B ．()g x 的极小值为24e 2-，无极大值C ．()g x 的极大值为4ln22-，无极小值D ．()g x 的极小值为4ln22-，无极大值5．（2024·全国·模拟预测）已知13,,ln2e 14a b c ===-，则它们之间的大小关系是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b<<D ．c b a<<6．（2023·贵州遵义·模拟预测）若函数()2e x axf x -=在区间()1,3上单调递增，则a 的可能取值为（）A ．2B ．3C ．4D ．57．（2024·全国·模拟预测）若22ln 2e a -=，12e b =，ln 24c =，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A ．a c b<<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c<<8．（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数()e ln xf x a x =-有两个大于1的零点，则a 的取值范围可以是（）A ．(]0,1B ．1e 1,e æùçúèûC ．1ee ,e æùçúèûD ．)e 12e e ,e +éë二、多选题9．（22-23高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数21e 1xx y x -=×-，则（）A ．函数的极大值点为=0x B ．函数的极小值点为=0x C ．函数在(1,)+¥上单调递增D ．函数在31,2æöç÷èø上单调递减10．（2023·云南昆明·模拟预测）已知函数3()f x x mx n =--，其中,m n ÎR ，下列选项中，能使函数()y f x =有且仅有一个零点的是（）A ．1m =-，1n =B ．0m =，1n =C ．3m =，2n =D ．3m =，3n =-11．（2023·山东泰安·一模）已知函数()()()ln f x x x ax a =-ÎR 有两个极值点1x ，2x ()12x x <，则（）A ．102a <<B ．2112x a<<C ．21112x x a->-D ．()10<f x ，()212f x >-三、填空题12．（2024·四川成都·三模）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()()1ln f x x x =-，则当0x <时，()f x 的单调递增区间为．13．（2023·湖南·模拟预测）已知函数()sin esin a xf x a x =-，对于任意12,x x ÎR ，都有()()12e 2f x f x -£-，则实数a 的取值范围为 .14．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数()()()222e 22e 0x xf x a x a x a =--->恰有两个零点，则=a .四、解答题15．（2024·全国·模拟预测）已知函数2()ln f x x ax bx =+-．(1)当1a =，3b =时，求()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在2x =处取得极值ln 2，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．16．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2()e x f x a a x =+-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当0a >时，()4ln 2f x a ≥+．17．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()21ln 12f x x x a x =+++，a ÎR ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当1a <-时，()21a f x +>．18．（2024·青海·模拟预测）已知函数()()3211132f x x mx m x =+-+．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有3个不同的零点，求m 的取值范围．19．（2023·全国·模拟预测）已知函数()e xf x ax b =+-，其中e 为自然对数的底数．(1)若()f x 在区间(]1,2上不是单调函数，求a 的取值范围．(2)当0x ≥时，()2112f x x b ≥+-恒成立，求a 的取值范围．拓展冲刺练一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）下列函数是奇函数且在()0,¥+上单调递减的是（）A ．()32xxf x -=+B ．()2222x xxxf x ---=+C ．()3f x x x=-D ．()(12log f x x =2．（2024·全国·模拟预测）已知函数()32()log 2(0a f x x ax x a a =-+->且1)a ¹在区间(1,)+¥上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．20,3æùçúèûB ．2,13éö÷êëøC ．(1,2]D ．[2,)+¥3．（2024·甘肃兰州·三模）函数()21ln f x x ax x =-++-，若()f x 在0,12æöç÷èø是减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．(,2]-¥B ．(,2)-¥C ．(,3]-¥D ．(3),-¥4．（2024·全国·模拟预测）已知 2.012.0111110312,ln ,1001011021001015a b c æöæö=++==+ç÷ç÷èøèø，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．<<b c aD ．<<c a b二、多选题5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数()321f x x ax ax =+-+，则下列说法正确的是（）A ．若()f x 为R 上的单调函数，则3a <-B ．若2a =时，()f x 在()1,1-上有最小值，无最大值C ．若()1f x -为奇函数，则0a =D ．当0a =时，()f x 在1x =处的切线方程为310x y --=6．（2024·云南曲靖·一模）下列不等式正确的是（）A ．πe e π>B ．1ln 0.99-<C ．15sin 15<D ．11sin 3π<三、填空题7．（2024·全国·模拟预测）已知1a >，0b >，1c >，且e e ln a b a b --==a ，b ，c 的大小关系为．（用“<”连接）8．（2023·安徽·二模）若不等式2ln 23x ax a -£-对(0,)"Î+¥x 恒成立，则实数a 的取值范围为．四、解答题9．（2024·湖南衡阳·二模）已知函数()()321f x ax bx a =++ÎR ，当2x =时，()f x 取得极值3-．(1)求()f x 的解析式；(2)求()f x 在区间[]1,3-上的最值．10．（2024·陕西西安·三模）已知函数1()ln ()m f x mx x m x-=--ÎR ，函数1π()ln ,[0,cos 2g x x x q q =+Î在区间[1,)+¥上为增函数．(1)确定q 的值，求3m =时曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)设函数()()()h x f x g x =-在,()0x Î+¥上是单调函数，求实数m 的取值范围．11．（2024·辽宁丹东·一模）已知函数()ln 1f x x mx =++．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1m =时，数列{}n a 满足11a =，1()n n a f a +=①求证：12n n a -£；②求证：22223111(1)(1(1e na a a +++<L ．。

2022-2023年高考《数学(理科)》预测试题17(答案解析)

2022-2023年高考《数学（理科）》预测试题（答案解析）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！卷I一.综合考点题库(共50题)1.正确答案：本题解析：暂无解析2.从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮席为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB = BC = CD，则该双曲线的离心率为( )A.AB.BC.CD.D正确答案：D本题解析：3.若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2 +y2=1的一条对称轴，则a=A.1/2B.-1/2C.1D.-1正确答案：A本题解析：4.执行如图所示的程序框图，若输出的 S＝0，则输入的实数 x 的取值共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6.正确答案：C本题解析：5.已知复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（2，﹣ 1），则|z﹣ i|＝（）A.√2B.2C.2√2D.8正确答案：C本题解析：正确答案：本题解析：暂无解析A.AB.BC.CD.D正确答案：C本题解析：8.如图，已知双曲线 C：（a＞0， b＞0）的左、右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，过点 F 2 作直线 l 交双曲线 C 的右支于 A， B 两点．若|AB|＝|AF 1 |，且Δ F 1 AB～Δ F 2 F 1 B，则双曲线 C 的离心率为（）A.2B.√15C.3/2D.4正确答案：A本题解析：9.已知函数 f（x）＝|x+1|﹣ |x﹣ 2|．（1）求不等式 f（x） +x＞0 的解集；（2）设函数 f（x）的图象与直线 y＝k（x+2）﹣ 4 有 3 个交点，求 k 的取值范围正确答案：本题解析：暂无解析10.阿基米德多面体(Archimedean polyhedra)是由两种或三种正多边形面组成的半正多面体.它共有13种，其特点是棱长相等.如图1，顺次连接棱长为2的正方体各棱的中点，得到一个阿基米德多面体，如图2，在此阿基米德多面体的所有棱中任取两条，则两条棱垂直的概率为_正确答案：4/23本题解析：11.A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞a＞bD.b＞c＞a正确答案：B 本题解析：12.A.30°B.60°C.90°D.120°正确答案：B本题解析：暂无解析13.正确答案：本题解析：暂无解析14.A.AB.BC.CD.D正确答案：B 本题解析：15.若复数 z 满足（1﹣ i） z＝2（3+i），则 z 的虚部等于（）A.4iB.2iC.2D.4正确答案：D本题解析：16.某中学共有 500 名教职工，其中男教师 300 名、女教师 200 名．为配合“双减政策” 该校在新学年推行“5+2” 课后服务．为缓解教师压力，在 2021 年 9 月 10 日教师节大会上该校就是否实行“弹性上下班” 进行了调查，另外，为鼓舞广大教职工的工作热情，该校评出了十位先进教师进行表彰，并从他们中间选出三名教师作为教师代表在教师节大会上发言正确答案：本题解析：暂无解析17.设m ， n 是两条不同的直线， α， β， γ是三个不同的平面，下列四个命题中正确的是( )A.若m//α，n//α，则m//nB.若α ⊥ γ，β ⊥ γ，则α//βC.若α//β， m ⊂ α，n//β，则m//nD.若α//β，β//γ，m ⊥ α，则m ⊥ γ正确答案：D本题解析：18.A.a＞b＞cB.c＞b＞aC.a＞c＞bD.c＞a＞b正确答案：B本题解析：19.其中所有正确结论的序号是正确答案：①③④本题解析：20.意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数 coshx 就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达A.（﹣ 1， 3）B.（﹣ 3， 1）C.（﹣ 3， 3）D.（﹣∞，﹣ 3）∪ （1，+∞）正确答案：A本题解析：21.在△ABC中，角A，B，C的对边分变为a，b，c，且√2a+c=2b（1）求cosB的最小值（2）若2asinA=（2b-c）sinB+（2c-b）sinC，求角C正确答案：本题解析：暂无解析22.已知数列{an}是等差数列， Sn为其前 n 项和则k的值为A.9 C.11D.12正确答案：C本题解析：23.某中学对学生进行体质测试(简称体测)，随机抽取了100名学生的体测结果等级(“良好以下” 或“良好及以上” )进行统计，并制成列联表如下：正确答案：本题解析：暂无解析24.甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表: (1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异正确答案：(1)甲机床一级品频率为0.75，乙机床一级品频率为0.6（2）没有99%的把握认为甲加床的产品质量与乙机床的产品质量有差异本题解析：25.A.14B.12C.6D.3正确答案：D本题解析：26.在某次展会中，有来自北京、上海、长春和杭州的四名志愿者，现将这四名志愿者分配到这四个城市的代表团服务，每个代表团只分配到其中一名志愿者，则这四名志愿者中恰有两名为自己家乡代表团服务的概率为（）A.AB.BC.CD.D正确答案：B 本题解析：27.A.60mB.90mC.108m正确答案：A本题解析：28.已知球O的半径为1,四棱锥的项点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为. B.BC.CD.D正确答案：C本题解析：29.已知集合A={a,b,c}的所有非空真子集的元素之和等于12，则a+b+c的值为B.2C.3D.4正确答案：D 本题解析：30.正确答案：-1/2本题解析：31.A.（-√2，√2）B.（√2，-√2）C.（-2，2）D.（2，-2）正确答案：C 本题解析：32.A.①②B.①③C.①②④D.①②③④正确答案：C 33.A.-1B.1C.-2D.2正确答案：A 本题解析：34.已知 M 为抛物线上一点，点 M 到 C 的焦点的距离为 7，到 x 轴的距离为 5，则 p＝A.3B.4C.5D.6正确答案：B本题解析：35.直三棱柱 ABC﹣ A 1 B 1 C 1 中， AA 1 B 1 B 为正方形， AB＝BC，∠ABC＝120° ，M为棱 BB 1 上任意一点，点 D、 E 分别为 AC、 CM的中点．（1）求证：DE∥平面 AA 1 B 1 B；（2）当点 M为 BB 1 中点时，求直线 B 1 C 和平面 CDM所成角的正弦值．正确答案：本题解析：暂无解析P(m).条件①: a>0 (n=1, 2; ... );条件②:存在常数T>0,使得a≤T (n=1, 2, ..);条件③: an+an-1=man+2(n=1，2, ... )。

2020年(江苏)高考数学(理)大一轮复习检测：专题十七立体几何

专题十七立体几何一、填空题考向一立体几何中的计算问题1.(2017·苏州、无锡、常州、镇江二模)已知正四棱锥的底面边长是2,侧棱长是,则该正四棱锥的体积为.2.(2018·南通、泰州一模)如图,铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的,已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm,圆柱的底面积为9 cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm 的正三棱柱零件,则该正三棱柱的底面边长为cm.(不计损耗)(第2题)(第3题)3.(2018·苏州期初)如图,正四棱锥P-ABCD的底面一边AB的长为2 cm,侧面积为8 cm2,则它的体积为cm3.4.(2017·江苏大联考)已知正四面体P-ABC的棱长为2,若M,N分别是PA,BC的中点,则三棱锥P-BMN 的体积为.(第5题)5.(2018·苏州一模)鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,它的外观是如图所示的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根等长的正四棱柱体分成三组,经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为5,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积至少为.(容器壁的厚度忽略不计,结果保留π)6.(2018·无锡一模)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB⊥BC,AB=3,BC=4,AA1=5,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为.考向二立体几何中的命题真假的判定问题7.(2017·丹阳高级中学期初)设α,β为两个不重合的平面,m,n为两条不同的直线,给出下列四个命题:①若m⊥n,m⊥α,则n∥α;②若n⊂α,m⊂β,α与β相交且不垂直,则n与m不垂直;③若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则n⊥β;④若m∥n,n⊥α,α∥β,则m⊥β.其中正确的命题是.(填序号)8.(2016·南京三模)已知α,β是两个不重合的平面,l,m是两条不同的直线,l⊥α,m⊂β.给出下列四个命题:①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③m∥α⇒l⊥β;④l⊥β⇒m∥α.其中正确的命题是.(填序号)9.(2016·镇江期末)已知b,c表示两条不同的直线,α,β表示两个不重合的平面,给出下列四个命题:①若b⊂α,c∥α,则b∥c;②若b⊂α,b∥c,则c∥α;③若c∥α,α⊥β,则c⊥β;④若c∥α,c⊥β,则α⊥β.其中正确的命题是.(填序号)10.(2017·南京、盐城、连云港二模)已知α,β是两个互不重合的平面,m,n是两条不同的直线,下列命题中正确的是.(填序号)①若α∥β,m⊂α,则m∥β;②若m∥α,n⊂α,则m∥n;③若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥β;④若n⊥α,n⊥β,m⊥α,则m⊥β.11.(2017·广州模拟)已知α,β是两个不重合的平面,m,n是两条不同的直线,则下列说法中正确的是.(填序号)①若m∥α,α∩β=n,则m∥n;②若m⊥α,n⊥m,则n∥α;③若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥n;④若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥β.(第12题)12.(2017·咸阳模拟)如图,在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,有下列结论:①PC∥平面OMN;②平面OMN⊥平面PAB;③OM⊥PA;④平面PCD∥平面OMN.其中正确的结论是.(填序号)考向三立体几何中的综合问题(第13题)13.(2016·无锡期末)如图,在圆锥VO中,O为底面圆的圆心,点A,B在圆O上,且OA⊥OB.若OA=VO=1,则点O到平面VAB的距离为.14.(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在体积为的四面体ABCD中,若AB⊥平面BCD,AB=1,BC=2,BD=3,则CD长度的所有值为.二、解答题15.(2017·常州一模)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长都相等,且∠ABB1=60°,D为AC的中点.(1)求证:B1C∥平面A1BD;(2)求证:AB⊥B1C.(第15题)16.(2017·苏州、无锡、常州、镇江二模)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1∩A1C=O,E是棱AB上一点,且OE∥平面BCC1B1.(1)求证:E是AB中点;(2)若AC1⊥A1B,求证:AC1⊥BC.(第16题)17.(2017·扬州一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,E,F分别是棱PC和PD的中点.(1)求证:EF∥平面PAB;(2)若AP=AD,且平面PAD⊥平面ABCD,求证:AF⊥平面PCD.(第17题)18.(2018·苏州一模)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分别是A1D1,B1C1,D1D,C1C的中点.(1)求证:EF∥平面ABHG;(2)求证:平面ABHG⊥平面CFED.(第18题)19.(2018·苏州期初)如图,在三棱锥P-ABC中,已知平面PBC⊥平面ABC.(1)若AB⊥BC,CP⊥PB,求证:CP⊥PA;(2)若过点A作直线l⊥平面ABC,求证:l∥平面PBC.(第19题)20.(2018·常州一模)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,PC⊥平面ABCD,PB=PD,点Q 是棱PC上异于P,C的一点.(1)求证:BD⊥AC;(2)过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面ADQF(点F在棱PB上),求证:QF∥BC.(第20题)专题十七立体几何(第1题)1.【解析】如图,在正四棱锥P-ABCD中,PA=,AB=2,故AO=AB=,所以PO==1,所以V=Sh=×22×1=.2. 2【解析】由题知,铜质六角螺帽毛坯的体积V=6××42×sin60°-9×4=60(cm3).设正三棱柱的底面边长为a cm,则×a2×sin60°×6=60,解得a=2,所以正三棱柱的底面边长为2 cm.3. 4【解析】设正四棱锥P-ABCD的高为H,斜高为h,由题意得×2×4h=8,解得h=2,所以H==1,所以该四棱锥的体积V=S·H=×(2)2×1=4(cm3).4.【解析】如图,连接AN,作MD⊥PN,垂足为D.因为正四面体P-ABC的棱长为2,M,N分别是PA,BC 的中点,所以AN⊥BC,PN⊥BC,由此可得MN⊥AP,且AN=PN=.因为AN∩PN=N,AN⊂平面PAN,PN⊂平面PAN,所以BC⊥平面PAN.因为MD⊂平面PNA,所以MD⊥BC.因为MD⊥PN,BC∩PN=N,BC⊂平面PBN,PN⊂平面PBN,所以MD⊥平面PBN.又由题知MN==,因为PN·MD=PM·MN,所以MD===,所以三棱锥P-BMN 的体积==×S△PBN×MD=××1××=.(第4题)5. 30π【解析】由题图知,该鲁班锁外接球的直径与长、宽、高分别为2,1,5的长方体的外接球直径相同.设该球形容器的半径为R,则2R≥,即R≥,所以S=4πR2≥4π×=30π.6. 50π【解析】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因为AB⊥BC,所以可以将该直三棱柱补形成长、宽、高分别为3,4,5的长方体,该长方体的体对角线长即为该直三棱柱的直径,且2R==5,所以S=4πR2=50π.7.③④【解析】因为m⊥α,m⊥n,所以n∥α或n⊂α,故①错误;对于②,当m平行α与β的交线,n垂直于α与β的交线时,m⊥n,故②错误;由面面垂直的性质定理知③正确;因为n⊥α,α∥β,所以n⊥β,又m∥n,所以m⊥β,故④正确.8.①④【解析】对于①,因为l⊥α且α∥β,所以l⊥β,又m⊂β,所以l⊥m,故①正确;对于②,由l⊥α,α⊥β,可知l∥β或l⊂β,则l与m的位置关系不确定,故②不正确;对于③,由m∥α且m⊂β,可知α与β平行或相交,若α与β相交,则l与β不垂直,故③不正确;对于④,由l⊥α且l⊥β,可知α∥β,又m⊂β,所以m∥α,故④正确.9.④【解析】对于①,b与c的位置关系不确定;对于②,可能c⊂α;对于③,c与β的位置关系不确定;只有④是正确的.10.①④【解析】①是面面平行的性质,故①正确;②m,n可能异面,故②错误;③当m⊄α时,m⊥β不成立,故③错误;④由m⊥α,n⊥α,得m∥n,又n⊥β,所以m⊥β,故④正确.(第11题)11.③【解析】对于①,如图,m∥α,α∩β=n,此时m,n异面,故①错误;对于②,若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故②错误;对于③,若n⊥β,α⊥β,则n∥α或n⊂α,又m⊥α,所以m⊥n,故③正确;对于④,若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m也可能与β相交、平行或在β内,故④错误.12.①③④【解析】如图,其中E,F分别为AD,BC的中点,G为OE的中点,平面OMN即平面MNFE.因为PC∥OM,所以PC∥平面OMN,同理PD∥ON,又OM∩ON=O,所以平面PCD∥平面OMN,故①④正确;由于四棱锥的棱长均相等,所以PA2+PC2=AB2+BC2=AC2,所以PC⊥PA,又PC∥OM,所以OM⊥PA,故③正确;因为OM=PC=PD=ME,所以MG⊥OE,又MN∥OE,所以GM⊥MN,假设平面OMN⊥平面PAB,则GM⊥平面PAB,则MG⊥PA,设四棱锥的棱长为4,则MA=2,AG=,MG=,三边长度不满足勾股定理,所以MG不垂直PA,与假设矛盾,故②不正确.(第12题)13.【解析】方法一:设点O到平面VAB的距离为h.由题意知=,所以××1×1×1=××h,解得h=.方法二:取AB的中点M,连接OM,VM.在Rt△VOM中,点O到VM的距离即为点O到平面VAB的距离.因为VO=1,OM=,VM=,所以点O到VM的距离d==,故点O到平面VAB的距离为.14.,【解析】因为四面体ABCD的体积V=××2×3×sin∠CBD×1=,所以sin∠CBD=,所以∠CBD=60°或120°.当∠CBD=60°时,CD2=22+32-2×2×3×cos 60°=7,所以CD=;当∠CBD=120°时,CD2=22+32-2×2×3×cos 120°=19,所以CD=.综上,CD长度的所有值为,.15.(1)连接AB1交A1B于点E,连接DE.因为D,E分别为AC,AB1的中点,所以DE∥B1C.因为DE⊂平面A1BD,B1C⊄平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD.(2)取AB的中点O,连接OC,OB1.因为BA=BB1,且∠ABB1=60°,所以△ABB1为正三角形.而O为AB的中点,所以OB1⊥AB.在正三角形ABC中,O为AB的中点,所以OC⊥AB.因为OB1∩OC=O,且OB1⊂平面OB1C,OC⊂平面OB1C,所以AB⊥平面OB1C.又因为B1C⊂平面OB1C,所以AB⊥B1C.16.(1)如图,连接BC1,因为OE∥平面BCC1B1,OE⊂平面ABC1,平面BCC1B1∩平面ABC1=BC1,所以OE∥BC1.因为侧面AA1C1C是菱形,AC1∩A1C=O,所以O是AC1的中点.所以==1,即E是AB的中点.(2)因为侧面AA1C1C是菱形,所以AC1⊥A1C.因为AC1⊥A1B,A1C∩A1B=A1,A1C⊂平面A1BC,A1B⊂平面A1BC,所以AC1⊥平面A1BC.因为BC⊂平面A1BC,所以AC1⊥BC.(第16题)17.(1)因为点E,F分别是棱PC和PD的中点,所以EF∥CD.又在矩形ABCD中,AB∥CD,所以EF∥AB.又AB⊂平面PAB,EF⊄平面PAB,所以EF∥平面PAB.(2)在矩形ABCD中,AD⊥CD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥平面PAD.又AF⊂平面PAD,所以CD⊥AF.因为PA=AD且F是PD的中点,所以AF⊥PD.因为PD⊂平面PCD,CD⊂平面PCD,PD∩CD=D,所以AF⊥平面PCD.18.(1)因为E,F分别是A1D1,B1C1的中点,所以EF∥A1B1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1∥AB,所以EF∥AB.又EF⊄平面ABHG,AB⊂平面ABHG,所以EF∥平面ABHG.(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD⊥平面BB1C1C.又BH⊂平面BB1C1C,所以BH⊥CD.①如图,设BH∩CF=P,△BCH≌△CC1F,所以∠HBC=∠FCC1.因为∠HBC+∠PHC=90°,所以∠FCC1+∠PHC=90°,所以∠HPC=90°,即BH⊥CF.②由①②,又DC∩CF=C,CF,CD⊂平面CFED,所以BH⊥平面CFED.又因为BH⊂平面ABHG,所以平面ABHG⊥平面CFED.(第18题)(第19题)19.(1)因为平面PBC⊥平面ABC,平面PBC∩平面ABC=BC,AB⊂平面ABC,AB⊥BC,所以AB⊥平面PBC.因为CP⊂平面PBC,所以CP⊥AB.又因为CP⊥PB,且PB∩AB=B,AB,PB⊂平面PAB,所以CP⊥平面PAB,因为PA⊂平面PAB,所以CP⊥PA.(2)如图,在平面PBC内过点P作PD⊥BC,垂足为D.因为平面PBC⊥平面ABC,平面PBC∩平面ABC=BC,PD⊂平面PBC,所以PD⊥平面ABC.又l⊥平面ABC,所以l∥PD.又l⊄平面PBC,PD⊂平面PBC,所以l∥平面PBC.20.(1)因为PC⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥PC.如图,记AC,BD的交点为O,连接OP.平行四边形对角线互相平分,则O为BD的中点,又在△PBD中,PB=PD,所以BD⊥OP.又PC∩OP=P,PC,OP⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC,所以BD⊥AC.(2)因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC.又AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC.又AD⊂平面ADQF,平面ADQF∩平面PBC=QF,所以AD∥QF.又AD∥BC,所以QF∥BC.(第20题)。

《以2022年新高考全国1卷17题为例》+说题比赛课件-2023届高三数学一轮复习

数列集合复数
单选题
2022 2021
7
7
4、8 3
5
5
8
3、6 4、6
1
1
2
2
题型及题号
多选题
填空题
2022 2021
10、12
9
12
11
11
9
10
2022 2021 15 13、15
14、16 14
13
16
解答题
2022 2021
22 22
19 20
21 21
20 18
18
19
17 17
分值
占比（%）
夯实基础，熟练通法，聚焦考点，稳步提升
以2022年新高考全国1卷17题为例
一真题再现二考点分析三命题立意与核心素养四解题思路
五试题价值与推广
真题再现考点分析命题立意与核心素养解题思路试题价值与推广
真题再现
(2022全国1卷17题)记Sn为数列an的前n项和，已知a1 1,
an a1 3
3
Sn
n2 3
an ,
Sn
n
3
2
(
S
n
Sn1 )(n
2),
(n 2)Sn1 (n 1)Sn (n 2),
Sn1 Sn (n 2), n 1 n 2
S n 1
Sn
(n 2)
(n 1)n(n 1) (n 2)n(n 1)
数列
n(n
Sn 1)(n
2)
是常
数
列，且 1
2022 2021 2022 2021
32 27 21.3 18
27 22 18 14.7

高考理科数学二轮复习练习：大题规范练1“17题～19题+二选一”46分练

大题规范练(一)“17题～19题＋二选一”46分练(时间：45 分钟分值：46 分)解答题(本大题共 4 小题，共46 分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知正项等差数列{ a n} 的前n项和为S n，且知足a1＋a5＝2a723，S7＝63.(1)求数列{a n} 的通项公式a n；(2)若数列{b n}知足b1＝a1 且b n＋1－b n＝a n＋1，求数列1b n的前n项和T n.【导学号：07804229】[解] (1)法一：(等差数列的基本量)设正项等差数列{a n} 的首项为a1，公差为d，易知a n＞0，2a1＋a1＋4d＝1＋2d7 a则2，7a1＋21d＝63a＝31解得，d 2＝∴a n＝2n＋1.22法二：(等差数列的性质)∵{ a n} 是等差数列且a1＋a5＝3，∴2a3＝a7 272 a3，又a n＞0，∴a3＝7.∵S7＝a1＋a72＝7a4＝63，∴a4＝9，∴d＝a4－a3＝2，∴a n＝a3＋( n－3)d＝2n＋1.＋1－b n＝a n＋1 且a n＝2n＋1，(2)∵b n∴b n＋1－b n＝2n＋3，当n≥2时，b n＝( b n－b n －1－b n－2)＋⋯＋(b2－b1)＋b1＝(2 n＋1)＋(2n－1)＋⋯＋5＋3＝－1)＋(b nn(n＋2)，当n＝1时，b1＝3知足上式，故b n＝n( n＋2)．1 1 ∴＝b nn n＋＝121 1－n n＋2.1 ∴T n＝＋b11＋⋯＋b21＋b n－1－11b n1＝2 1－13＋1 1－2 4＋1－315＋⋯＋1－n－11n＋1＋1n－1n＋212＝1＋12－1 1－n＋1 n＋23 ＝－42n＋3n＋n＋.18．如图1，已知直角梯形ABCD 中，AB＝AD＝12CD＝2，AB∥DC，AB⊥AD，E为C D 的中点，沿AE 把△DAE 折起到△PAE 的地点(D 折后变成P)，使得PB＝2，如图2.(1)求证：平面PAE⊥平面ABCE；(2)求直线P B 和平面PCE 所成角的正弦值．[解] (1)证明：如图(1)，取AE 的中点O，连结PO，OB，BE.因为在平面图形中，如题图(图1)，连结BD，BE，易知四边形ABED为正方形，图(1)因此在立体图形中，△PAE，△BAE为等腰直角三角形，因此PO⊥AE，OB⊥AE，PO＝OB＝2，因为PB＝2，因此PO2＋OB2＝PB2，因此PO⊥OB，又AE∩OB＝O，因此PO⊥平面ABCE，因为PO? 平面PAE，因此平面PAE⊥平面ABCE .(2)由(1)知，OB，OE，OP 两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OE，OP 所在直线分别为x轴、y轴、z轴成立空间直角坐标系，如图(2)，则O(0,0,0)，P(0,0，2)，B( 2，0,0)，E(0，→→→＝( 2，0，－2)，EP＝(0，－2，2)，EC＝( 2，2，0)．2，0)，C( 2，2 2，0)，PB图(2)设平面PCE 的法向量为n＝(x，y，z)，→n·EP则→＝0，＝0，n·EC 即－2y＋2z＝0，2x＋2y＝0，令x＝1，得y＝－1，z＝－1，故平面PCE 的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．→因此cos〈PB，n〉＝→PB·n 2 2＝＝→2 3|PB| ·|n|6，36因此直线P B 和平面PCE 所成角的正弦值为.319.某学校为鼓舞家校互动，与某手机通信商合作，为教师办理流量套餐．为认识该校教师手机流量使用状况，经过抽样，获得100 位教师近 2 年每人手机月均匀使用流量L(单位：M) 的数据，其频次散布直方图以下：图3若将每位教师的手机月均匀使用流量分别视为其手机月使用流量，并将频次视为概率，回答以下问题．(1)从该校教师中随机抽取 3 人，求这3人中至多有 1 人手机月使用流量不超出300 M 的概率；(2)现该通信商推出三款流量套餐，详情以下：套餐名称月套餐费/元月套餐流量/MA 20 300B 30 500C 38 700这三款套餐都有以下附带条款：套餐费月初一次性收取，手机使用流量一旦高出套餐流量，系统就自动帮用户充值200 M 流量，资费20 元；假如又高出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200 M 流量，资费20 元，以此类推，假如当月流量有节余，系统将自动清零，无法转入次月使用．学校欲订购此中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并肩负系统自动充值的流量资费的75%，其他部分由教师个人肩负，问学校正购哪一款套餐最经济？说明原因．[解] (1)记“从该校随机抽取 1 位教师，该教师手机月使用流量不超出300 M ”为事件 D.依题意，P(D )＝(0.000 8＋0.002 2) ×100＝0.3.X～这3 人中手机月使用流量不超出300 M 的人数为X，则中随机抽取 3 人，设从该校教师B(3,0.3)，中随机抽取 3 人，至多有 1 人手机月使用流量不超出300 M 的概率为P(X＝校教师因此从该0 03＋C31×0.3 ×(1－0.3)2＝0.343＋0.441＝0.784.0)＋P(X＝1)＝C3×0.3 ×(1－0.3)(2)依题意，从该校随机抽取 1 位教师，该教师手机月使用流量L∈(300,500] 的概率为(0.002 5(0.000 8＋0.000 2) ×100＝0.1.＋0.003 5) ×100＝0.6，L∈(500,700] 的概率为X1 元，则X1 的全部可能取值为当学校正购A 套餐时，设为学校为1位教师肩负的月花费20,35,50，且P(X1＝20)＝0.3，P(X1＝35)＝0.6，P( X1＝50)＝0.1，因此X1 的散布列为X1 20 35 50P 0.3 0.6 0.1因此E(X1)＝20×0.3＋35×0.6＋50×0.1＝32(元)．费X2元，则X2的全部可能取值为30,45，肩负的月花为当学校正购B 套餐时，设学校为1位教师且P(X2＝30)＝0.3＋0.6＝0.9，P(X2＝45)＝0.1，因此X2 的散布列为X2 30 45P 0.9 0.1因此E(X2)＝30×0.9＋45×0.1＝31.5(元)．为费X3 元，则X3 的全部可能取值为38，当学校正购C 套餐时，设学校为1位教师肩负的月花且P(X3＝38)＝1，因此E(X3)＝38×1＝38(元)．因为E(X2)＜E(X1)＜E(X3)，．济因此学校正购B 套餐最经(请在第22～23题中选一题作答，假如多做，则依据所做第一题计分)22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标方程为ρ系中，圆C的极坐标2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3.若以极点O为原点，极轴所在成立平面直角坐标系.为x轴直线【导学号：07804230】(1)求圆C的参数方程；(2)在直角坐标系中，点P(x，y)是圆C上的动点，试求x＋2y 的最大值，并求出此时点P 的．直角坐标2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3，[解] (1)因为ρ因此x2＋y2－4x－4y＋3＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝5为方程，圆C 的直角坐标(θ为参数)．x＝2＋5cos θy＝2＋5sin θC的参数方程为因此圆2＋y2－4x－4y＋3＝0，整理得5y2＋4(1－t)y＋t2 (2)法一：设x＋2y＝t，得x＝t－2y，代入x－4t＋3＝0 (*) ，则对于y 的方程必有实数根．因此Δ＝16(1－t)2－20(t2－4t＋3) ≥0，化简得t2－12t＋11≤0，解得1≤t≤ 1 1，即x＋2y 的最大值为11.将t＝11 代入方程(*) 得y2－8y＋16＝0，解得y＝4，代入x＋2y＝11，得x＝3，故x＋2y 的最大值为11时，点P 的直角坐标为(3,4)．法二：由(1)可设点P(2＋5cos θ，2＋5sin θ)，则x＋2y＝6＋5cos θ＋2 5sin θ＝6＋55 2 55 cos θ＋ 5 sin θ，设s in α＝5 2 5，则c os α＝，因此x＋2y＝6＋5sin(θ＋α)，5 5当sin(θ＋α)＝1时，(x＋2y)max＝11，π此时，θ＋α＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝2 π－α＋2kπk(∈Z)，2因此sin θ＝cos α＝2 55，cos θ＝sin α＝5，故点P 的直角坐标为(3,4)．523．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－2|＋2，g(x)＝m|x|(m∈R)．(1)解对于x 的不等式f( x)＞5；(2)若不等式f(x) ≥g(x)对随意x∈R恒成立，求m 的取值范围．[解] (1)由f(x)＞5，得|x－2|＞3，∴x－2＜－3 或x－2＞3，解得x＜－1 或x＞5.故原不等式的解集为{ x|x＜－1 或x＞5} ．(2)由f(x) ≥g(x)，得|x－2|＋2≥m|x|对随意x∈R恒成立，当x＝0时，不等式|x－2|＋2≥0恒成立，|x－2|＋2当x≠0时，问题等价于m≤对随意非零实数恒成立，|x||x－2|＋2 |x－2＋2|∵＝1，∴m≤1，即m 的取值范围是(－∞，1]．≥|x| |x|。

高三文科数学高考复习试题（附答案）

高三文科数学高考复习试题（附答案）考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。

下面是店铺为大家整理的高三文科数学高考复习试题，请认真复习!高三文科数学高考复习试题一、选择题：每小题只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内.1.函数y=log2x-2的定义域是( )A.(3，+∞)B.[3，+∞)C.(4，+∞)D.[4，+∞)2.设集合A={(x，y) | }，B={(x，y)|y=2x}，则A∩B的子集的个数是( )A.1B.2C.3D.43.已知全集I=R，若函数f(x)=x2-3x+2，集合M={x|f(x)≤0}，N={x| <0}，则M∩∁IN=( )A.[32，2]B.[32，2)C.(32，2]D.(32，2)4.设f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x+x，则当x<0时，f(x)=( )A.-(-12)x-xB.-(12)x+xC.-2x-xD.-2x+x5.下列命题①∀x∈R，x2≥x;②∃x∈R，x2≥x;③4≥3;④“x2≠1”的充要条件是“x≠1或x≠-1”.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.36. 已知下图(1)中的图像对应的函数为，则下图(2)中的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，只可能是( )7.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为( )A.(1.4,2)B.(1,1.4)C.(1，32)D.(32，2)8.点M(a，b)在函数y=1x的图象上，点N与点M关于y轴对称且在直线x-y+3=0上，则函数f(x)=abx2+(a+b)x-1在区间[-2,2)上( )A.既没有最大值也没有最小值B.最小值为-3，无最大值C.最小值为-3，最大值为9D.最小值为-134，无最大值9.已知函数有零点，则的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题：将正确答案填在题后横线上.10.若全集U=R，A={x∈N|1≤x≤10}，B={x∈R|x2+x-6=0}，则如图中阴影部分表示的集合为_______ _.11.若lga+lgb=0(a≠1)，则函数f(x)=ax与g(x)=-bx的图象关于________对称.12.设 ,一元二次方程有正数根的充要条件是 = .13.若函数f(x)在定义域R内可导，f(2+x)=f(2-x)，且当x∈(-∞，2)时，(x-2) >0.设a=f(1)，，c=f(4)，则a,b,c的大小为.14、已知。

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(直线与方程)练习(附答案)

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（直线与方程）练习一. 基础小题练透篇1．过点P (3 ，－23 )且倾斜角为135°的直线方程为( ) A ．3x －y －43 ＝0 B ．x －y －3 ＝0 C ．x ＋y －3 ＝0 D ．x ＋y ＋3 ＝02．直线l ：x ＋3 y ＋1＝0的倾斜角的大小为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°3．[2023ꞏ河北示范性高中开学考]“λ＝3”是“直线(2λ－3)x ＋(λ＋1)y ＋3＝0与直线(λ＋1)x －λy ＋3＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．[2023ꞏ广东韶关月考]过点M ()－1，－2 ，在两坐标轴上截距相等的直线方程为( ) A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y ＝0或x ＋y ＋3＝0C ．y ＝x －1D ．x ＋y ＋3＝0或y ＝x －15．[2023ꞏ湖北省质量检测]在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x ＋2y ＋1＝0和x ＋2y ＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x －4y ＋c 1＝0和3x －4y ＋c 2＝0，则|c 1－c 2|＝( )A ．23B ．25C ．2D ．46．[2023ꞏ杭州市长河高级中学期中]已知直线l 过点P ()2，4 ，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为( )A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y －8＝0C ．2x －y ＝0或x ＋2y －10＝0D ．2x －y ＝0或2x ＋y －8＝07．经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为________．8．[2023ꞏ宁夏银川月考]已知直线3x ＋4y ＋3＝0与直线6x ＋my －14＝0平行，则它们之间的距离是________．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ江苏泰州调研]已知直线l ：x ＋()a －1 y ＋2＝0，l 2：3 bx ＋y ＝0，且l 1⊥l 2，则a 2＋b 2的最小值为( )A ．14B ．12C ．22 D ．13162．[2023ꞏ河北邢台市月考]下列四个命题中，正确的是( ) A ．直线3x ＋y ＋2＝0在y 轴上的截距为2 B ．直线y ＝0的倾斜角和斜率均存在C ．若两直线的斜率k 1，k 2满足k 1＝k 2，则两直线互相平行D ．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等3．[2023ꞏ福建宁德质量检测]已知点A (－2，1)和点B 关于直线l ：x ＋y －1＝0对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C .若△ABC 的面积为2，则实数k 的值为( )A ．3或13 B ．0C ．13 D ．34．[2023ꞏ云南大理检测]设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 面积的最大值是( )A ．25B ．5C ．52 D ．55．[2023ꞏ重庆黔江检测]在平面直角坐标系中，△ABC 的一个顶点是A (－3，1)，∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为________.6．[2023ꞏ云南楚雄期中]已知平面上一点M (5，0)，若直线l 上存在点P ，使|PM |＝4，则称该直线为点M 的“相关直线”，下列直线中是点M 的“相关直线”的是________．(填序号)①y ＝x ＋1；②y ＝2；③4x －3y ＝0；④2x －y ＋1＝0.三. 高考小题重现篇1.[2020ꞏ全国卷Ⅱ]若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( )A ．55 B ．255 C ．355 D ．4552．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3．[北京卷]在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．[2019ꞏ江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．四. 经典大题强化篇1.[2023ꞏ武汉调研]已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5，0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5，0)到l 的距离的最大值．2．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1，2)，求：(1)点A 和点C 的坐标； (2)△ABC 的面积．参考答案一基础小题练透篇1．答案：D答案解析：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＋23 ＝－（x －3 ），即x ＋y ＋3 ＝0. 2．答案：D答案解析：由l ：x ＋3 y ＋1＝0可得y ＝－33 x －33 ，所以直线l 的斜率为k ＝－33 ，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝－33，因为0°≤α<180°，所以α＝150°. 3．答案：A答案解析：∵直线（2λ－3）x ＋（λ＋1）y ＋3＝0与直线（λ＋1）x －λy ＋3＝0互相垂直，∴（2λ－3）（λ＋1）－λ（λ＋1）＝0，∴λ＝3或－1，而“λ＝3”是“λ＝3或－1”的充分不必要条件，∴“λ＝3”是“直线（2λ－3）x ＋（λ＋1）y ＋3＝0与直线（λ＋1）x －λy ＋3＝0互相垂直”的充分不必要条件，故选A. 4．答案：B答案解析：当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为x ＋y ＝a ，因为直线过点M ()－1，－2 ，代入可得a ＝－3，即x ＋y ＋3＝0；当所求直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，因为直线过点M ()－1，－2 ，代入可得k ＝2，即2x －y ＝0，综上可得，所求直线的方程为2x －y ＝0或x ＋y ＋3＝0. 故选B. 5．答案：B答案解析：设直线x ＋2y ＋1＝0与直线3x －4y ＋c 2＝0的交点为A ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝03x －4y ＋c 2＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－c 2＋25y ＝c 2－310，故A （－c 2＋25 ，c 2－310 ），同理设直线x ＋2y ＋1＝0与直线3x －4y ＋c 1＝0的交点为B ，则B （－c 1＋25 ，c 1－310），设直线x ＋2y ＋3＝0与直线3x －4y ＋c 1＝0的交点为C ，则C （－c 1＋65 ，c 1－910），设直线x ＋2y ＋3＝0与直线3x －4y ＋c 2＝0的交点为D ，则D （－c 2＋65 ，c 2－910），由菱形的性质可知BD ⊥AC ，且BD ，AC 的斜率均存在，所以k BD ·k AC ＝－1，则c 1－310－c 2－910－c 1＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2＋65 ·c 2－310－c 1－910－c 2＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 1＋65 ＝－1，即36－（c 2－c 1）24[]16－（c 2－c 1）2 ＝－1，解得|c 1－c 2|＝25 .6．答案：D答案解析：若直线l 经过原点，满足条件，可得直线l 的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0；若直线l 不经过原点，可设直线l 的方程为x a ＋y2a＝1()a ≠0 ，把点P ()2，4 代入可得2a ＋42a ＝1，解得a ＝4，∴直线l 的方程为x 4 ＋y8＝1，即2x ＋y －8＝0，综上可得直线l 的方程为2x －y ＝0或2x ＋y －8＝0. 故选D.7．答案：4x －3y ＋9＝0答案解析：方法一由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－53，y ＝79即交点为（－53 ，79），∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79 ＝43 （x ＋53），即4x －3y ＋9＝0.方法二由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，可解得交点为（－53 ，79 ），代入4x －3y ＋m ＝0，得m ＝9，故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 方法三由题意可设所求直线方程为（2x ＋3y ＋1）＋λ（x －3y ＋4）＝0，即（2＋λ）x ＋（3－3λ）y ＋1＋4λ＝0 ① 又∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴3（2＋λ）＋4（3－3λ）＝0，∴λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0.8．答案：2答案解析：∵直线3x ＋4y ＋3＝0与直线6x ＋my －14＝0平行，∴m ＝8，6x ＋8y －14＝0可化为3x ＋4y －7＝0.∴它们之间的距离为|3－（－7）|32＋42＝2.二能力小题提升篇1．答案：A答案解析：l 1⊥l 2，则3 b ＋a －1＝0，∴a ＝1－3 b ，所以a 2＋b 2＝()1－3b 2＋b 2＝4b 2－23 b ＋1，二次函数的抛物线的对称轴为b ＝－－232×4 ＝34，当b ＝34 时，a 2＋b 2取最小值14. 故选A. 2．答案：B答案解析：对于直线3x ＋y ＋2＝0，令x ＝0得y ＝－2，所以直线3x ＋y ＋2＝0在y 轴上的截距为－2，故A 错误；直线y ＝0的倾斜角为0，斜率为0，存在，故B 正确；若两直线的斜率k 1，k 2满足k 1＝k 2，则两直线互相平行或重合，所以C 错误；若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，所以D 错误．故选B. 3．答案：B答案解析：设点B （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧y －1x ＋2＝1，x －22＋y ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3，则B （0，3）.由已知可得直线m 的方程为y －1＝k （x ＋2），与方程x ＋y －1＝0联立，解得x ＝－2k k ＋1，y ＝3k ＋1k ＋1 ，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k ＋1，3k ＋1k ＋1 . 由已知可得直线AB 的方程为y －1＝x ＋2，即y ＝x ＋3，且|AB |＝22 ，则点C 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k k ＋1－3k ＋1k ＋1＋32 ＝|2－2k |2|k ＋1|，所以S △ABC ＝12 ×22 ·|2－2k |2|k ＋1|＝2，即|1－k |＝|k ＋1|（k ≠－1），解得k ＝0. 4．答案：C答案解析：动直线x ＋my ＝0，令y ＝0，解得x ＝0，因此此直线过定点A （0，0）. 动直线mx －y －m ＋3＝0，即m （x －1）＋3－y ＝0，令x －1＝0，3－y ＝0，解得x ＝1，y ＝3，因此此直线过定点B （1，3）.当m ＝0时，两条直线分别为x ＝0，y ＝3，交点P （0，3），S △PAB ＝12 ×1×3＝32.当m ≠0时，两条直线的斜率分别为－1m ，m ，则－1m·m ＝－1，因此两条直线相互垂直．设|PA |＝a ，|PB |＝b ，∵|AB |＝12＋32 ＝10 ，∴a 2＋b 2＝10.又a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≤5，当且仅当a ＝b ＝5 时等号成立．∴S △PAB ＝12 |PA |·|PB |＝12 ab ≤52.综上，△PAB 的面积最大值是52.5．答案：2x －y －5＝0答案解析：因为∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝x ，所以直线AB 与直线BC 关于直线x ＝0对称，直线AC 与直线BC 关于直线y ＝x 对称．则点A （－3，1）关于直线x ＝0对称的点A ′（3，1）在直线BC 上，点A （－3，1）关于直线y ＝x 对称的点A″（1，－3）也在直线BC上，所以由两点式得直线BC的方程为y＋31＋3＝x－13－1，即y＝2x－5.6．答案：②③答案解析：①点M到直线y＝x＋1的距离d＝|5－0＋1|12＋（－1）2＝32>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故①不是点M 的“相关直线”．②点M到直线y＝2的距离d＝|0－2|＝2<4，即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故②是点M的“相关直线”．③点M到直线4x－3y＝0的距离d＝|4×5－3×0|42＋（－3）2＝4，即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故③是点M的“相关直线”．④点M到直线2x－y＋1＝0的距离d＝|2×5－0＋1|22＋（－1）2＝1155>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故④不是点M的“相关直线”．三高考小题重现篇1．答案：B答案解析：设圆心为P（x0，y0），半径为r，∵圆与x轴，y轴都相切，∴|x0|＝|y0|＝r，又圆经过点（2，1），∴x0＝y0＝r且（2－x0）2＋（1－y0）2＝r2，∴（r－2）2＋（r－1）2＝r2，解得r＝1或r＝5.①r＝1时，圆心P（1，1），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝|2－1－3|22＋（－1）2＝255；②r＝5时，圆心P（5，5），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝|10－5－3|22＋（－1）2＝255.2．答案：B答案解析：方法一点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离为d＝|k·0－（－1）＋k|k2＋1＝|k＋1|k2＋1，注意到k2＋1≥2k，于是2（k2＋1）≥k2＋2k＋1＝|k＋1|2，当且仅当k＝1时取等号．即|k＋1|≤k2＋1·2，所以d＝|k＋1|k2＋1≤2，故点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为2.方法二由题意知，直线l：y＝k（x＋1）是过点P（－1，0）且斜率存在的直线，点Q（0，－1）到直线l的最大距离在直线l与直线PQ垂直时取得，此时k＝1，最大距离为|PQ|＝2.3．答案：C答案解析：由题意可得d＝|cos θ－m sin θ－2|m2＋1＝|m sin θ－cos θ＋2|m2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m2＋1（mm2＋1sin θ－1m2＋1cos θ）＋2m2＋1＝|m2＋1sin （θ－φ）＋2|m2＋1（其中cos φ＝mm2＋1，sin φ＝1m2＋1），∵－1≤sin （θ－φ）≤1，∴|2－m 2＋1|m 2＋1 ≤d ≤m 2＋1＋2m 2＋1 ，m 2＋1＋2m 2＋1 ＝1＋2m 2＋1，∴当m ＝0时，d 取最大值3.4．答案：4答案解析：通解设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x ＋4x ，x >0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|x ＋x ＋4x |2＝2x ＋4x 2 ≥22x ·4x 2＝4，当且仅当2x ＝4x，即x ＝2 时取等号，故点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4.优解由y ＝x ＋4x （x >0）得y ′＝1－4x 2 ，令1－4x2 ＝－1，得x ＝2 ，则当点P 的坐标为（2 ，32 ）时，点P 到直线x ＋y ＝0的距离最小，最小值为|2＋32|2＝4. 四经典大题强化篇1．答案解析：（1）易知点A 到直线x －2y ＝0的距离不等于3，可设经过两已知直线交点的直线系方程为（2x ＋y －5）＋λ（x －2y ）＝0，即（2＋λ）x ＋（1－2λ）y －5＝0.由题意得|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2 ＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或12.∴l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点为P （2，1），如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A到l 的距离，则d ≤|PA |（当l ⊥PA 时等号成立）.∴d max ＝|PA |＝10 .2．答案解析：（1）由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0，解得点A （－1，0）.又直线AB 的斜率为k AB ＝1，且x 轴是∠A 的平分线，故直线AC 的斜率为－1，所以AC 所在的直线方程为y ＝－（x ＋1）. 已知BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率为－2，故BC 所在的直线方程为y －2＝－2（x －1）.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－（x ＋1），y －2＝－2（x －1），得点C 的坐标为（5，－6）.（2）因为B （1，2），C （5，－6），所以|BC |＝（1－5）2＋（2＋6）2＝45 ，点A（－1，0）到直线BC：y－2＝－2（x－1）的距离为d＝|2×（－1）－4|5＝65，所以△ABC的面积为12×45×65＝12.。

新高考数学一轮二轮复习专题-专题十七圆锥曲线的方程(原卷版)-4月5月真题汇编

十七圆锥曲线的方程一、单选题1．（2021·全国高三专题练习）已知F 为抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点，M 为其上一点，且|MF |＝2p ，则直线MF 的斜率为（）．A ．－3B ．±3C D ．2．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，若AB 的中点坐标为()1,1-，则椭圆E 的方程为（）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=3．（2020·全国高二课时练习）已知直线y ＝kx ＋t 与圆x 2＋(y ＋1)2＝1相切且与抛物线C ：x 2＝4y 交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是（） A ．(－∞，－3)∪(0，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C ．(－3，0) D ．(－2，0)4．（2020·全国高二课时练习）抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是（） A ．43 B ．25C ．85D ．35．（2020·全国高二课时练习）已知抛物线C 的焦点在x 轴的正半轴上，顶点为坐标原点，若抛物线上一点M (2，m )满足|MF |＝6，则抛物线C 的方程为（） A ．y 2＝2x B ．y 2＝4x C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x6．（2020·全国高二课时练习）“双曲线C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>”是“双曲线C 的渐近线方程为by x a=±”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件7．（2021·全国高三月考（理））已知点1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点P 与12PF F △的内切圆圆心I 的直线交x 轴于点Q ，且2PI IQ =，则该椭圆的离心率为（） A ．12B ．13C ．14D ．238．（2019·湖南长沙市·长沙一中高二月考）已知椭圆22162x y m+=的一个焦点为()0,2，则m 的值为（） A ．1B ．3C ．5D ．89．（2020·全国高二单元测试）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为曲线的一条渐近线与直线20x y +=平行，则双曲线的方程为（）A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．221164x y -=D ．22331520x y -=10．（2021·湖北高二期中）已知双曲线C ：()222210,0y x a b a b -=>>的渐近线方程为12y x =±，则双曲线的离心率为（）A B C D 11．（2021·湖南师大附中高三月考）如图，已知双曲线()222210x y b a a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若12AF F △的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（）A ．53B ．54C ．43D ．3212．（2021·山东枣庄市·高三二模）已知椭圆C 与双曲线221x y -=有相同的左焦点1F 、右焦点2F ，点P 是两曲线的一个交点，且120PF PF ⋅=.过2F 作倾斜角为45°的直线交C 于A ，B 两点（点A 在x 轴的上方），且2AB AF λ=，则λ的值为（）A ．3+B ．3C ．2D ．2+13．（2021·全国高三专题练习（文））过曲线1C ：22221x y a b-=(0a b >>)的左焦点1F 做曲线2C ：222x y a +=的切线，设切点为M ，延长1F M 交曲线3C ：22y px =(0p >)于点N ，其中1C ､3C 有一个共同的焦点，若1MF MN =，则曲线1C 的离心率为（）A 1 BC D 114．（2021·全国高三专题练习）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于,D E 两点，则AB DE +的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．1015．（2021·甘肃高三二模（文））抛物线()220y px p =>准线上的点A 与抛物线上的点B 关于原点O 对称，线段AB 的垂直平分线OM 与抛物线交于点M ，若直线MB 经过点()4,0N ，则抛物线的焦点坐标是（） A ．()4,0B ．()2,0C ．()1,0D ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭16．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线()2:20C y px p =>，F 为C 的焦点，过焦点F 且倾斜角为θ的直线交抛物线C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则下列说法不正确的是（）A ．C 在点A 处的切线方程为()11y y p x x =+B ．2sin AOBp S θ=△ C ．过抛物线C 准线上的任意一点P 作C 的切线，则过两切点12,Q Q 的弦必过焦点F D ．22sin pAB θ=17．（2021·全国高三专题练习）已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线与抛物线交于点A 、B ，若A 、B 两点在准线上的射影分别为M 、N ，线段MN 的中点为C ，则下列叙述不正确的是（） A ．AC BC ⊥B ．四边形AMCF 的面积等于AC MF ⋅ C ．AF BF AF BF +=⋅D ．直线AC 与抛物线相切二、多选题18．（2020·全国高二单元测试）（多选题）若椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>和椭圆()222222222:10x y C a b a b +=>>的离心率相同，且12a a >，则下列结论正确的是（）A ．椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点B ．1122a b a b = C ．22221212a a b b -<-D ．1212a a b b -<-19．（2021·全国高三专题练习）曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线()222210,0x y a b a b+=>>上点()00,P x y 处的曲率半径公式为3222220044x y R a b a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．对于半径为R 的圆，其圆上任一点的曲率半径均为RB ．椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点处的曲率半径的最大值为aC ．椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点处的曲率半径的最小值为2b aD ．对于椭圆()22211x y a a +=>上点01,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的曲率半径随着a 的增大而减小20．（2021·湖北荆门市·高三月考）已知抛物线22x y =，点1(,1),,12M t t ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，过M作抛物线的两条切线,MA MB ，其中A ，B 为切点，直线AB 与y 轴交于点P ，则下列结论正确的有（） A ．点P 的坐标为(0,1)B ．OA OB ⊥C ．MAB △的面积的最大值为D ．||||PA PB 的取值范围是[2,2+ 21．（2020·全国高二课时练习）以椭圆22169x y +＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为（）A ．228016x y -＝1 B ．22459y x -＝1C ．221648x y -＝1 D ．22927y x -=122．（2021·湖北高二期中）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左､右端点分别为1A ，2A ，点P ，Q 是椭圆C 上关于原点对称的两点(异于左右端点)，且1212PA PA k k ⋅=-，则下列说法正确的有（） A ．椭圆C的离心率为2B ．椭圆C 的离心率不确定 C ．11PA QA k k ⋅的值受点P ，Q 的位置影响D ．12cos A PA ∠的最小值为13-23．（2021·河北高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，长轴长为4，点)P在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（） A ．离心率的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B时，1QF QP +的最大值为2a +C ．存在点Q 使得120QF QF ⋅= D ．1211QF QF +的最小值为1 24．（2020·全国高二课时练习）(多选)已知直线y =kx +1与椭圆2215x y m+=，则（）A ．直线y =kx +1恒过定点(0，1)B ．方程2215x y m +=表示椭圆的条件为m >0C ．方程2215x y m+=表示椭圆的条件为0<m <5D ．直线与椭圆总有公共点的m 取值范围是m ≥1且m ≠525．（2021·广东茂名市·高三月考）已知1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，C 的一条渐近线l的方程为y =，且1F 到l的距离为点P 为C 在第一象限上的点，点Q 的坐标为()2,0，PQ 为12F PF ∠的平分线.则下列正确的是（）A ．双曲线的方程为221927x y -=B ．122PF PF =C ．1236PF PF +=D ．点P 到x 轴的距离为226．（2021·湖南师大附中高三月考）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则（） A ．PQ 的最小值为4B ．已知曲线C 上的两点S ，T 到点F 的距离之和为10，则线段ST 的中点横坐标是4 C ．设()0,1M ，则12PM PP +≥D ．过()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条27．（2021·全国高三其他模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与双曲线22:11832x y Ω-=有相同的渐近线，且过点(6,P ，1F ，2F 为双曲线C 的左、右焦点，则下列说法正确的是（）A ．若双曲线C 上一点M 到它的焦点1F 的距离等于16，则点M 到另一个焦点2F 的距离为10B ．过点(3,0)的直线l 与双曲线C 有唯一公共点，则直线l 的方程为43120x y --=C ．若N 是双曲线C 左支上的点，且1232NF NF ⋅=，则12F NF △的面积为16 D ．过点(2,2)Q 的直线与双曲线2222178x y a b -=--相交于A ，B 两点，且(2,2)Q 为弦AB 的中点，则直线AB 的方程为460x y --=第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、解答题28．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点与上顶点关于直线y x =-对称，又点12P ⎫⎪⎪⎝⎭在E 上．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，过点()1,0M 作直线l 的垂线，垂足为Q ，试证点Q 总在定圆上．29．（2021·云南高三二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)A ，B 是一动点，直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且123111k k k +=，记B 点的轨迹为E ．（1）求E 的方程；（2）过(1,0)C 的直线与E 交于M ，N 两点，过线段MN 的中点D 且垂直于MN 的直线与x 轴交于H 点，若4MN DH =，求直线MN 的方程．30．（2020·全国高二课时练习）已知双曲线C 的中心在原点，抛物线2y =的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线经过点，又知直线:1l y kx =+与双曲线C 相交于A 、B 两点. （1）求双曲线C 的方程；（2）若OA OB ⊥，求实数k 值.31．（2021·浙江高二期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点为12,F F ，点M 在椭圆上运动，当时，12120F MF ∠=︒时，12MF F △的面积取得最大值O 是坐标原点．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线:2l x =与椭圆C 在第一象限交于点N ，过N 作两条关于直线l 对称的直线12l l ，，分别交椭圆于不同于N 的两点A ，B ．求证：//ON AB ．32．（2020·全国高二课时练习）椭圆E ：22x a＋22y b ＝1(a ＞b ＞0)经过点A (－2，0)，且离心率为2. （1）求椭圆E 的方程；（2）过点P (4，0)任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N .在x 轴上是否存在点Q ，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．33．（2020·全国高二课时练习）过椭圆216x ＋24y ＝1内一点M (2，1)引一条弦，使弦被M 点平分．（1）求此弦所在的直线方程；（2）求此弦长．34．（2020·全国高二单元测试）已知曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-. （1）若l 与C 左支交于两个不同的交点，求实数k 的取值范围；（2）若l 与C 交于A B 、两点，O 是坐标原点，且AOB，求实数k 的值.35．（2021·河北高三月考）已知坐标原点为O ，双曲线()2222C :10,0x y a b a b-=>>的. （Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设过双曲线上动点()00,P x y 的直线0012y yx x -=分别交双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，求AOB 的外心M 的轨迹方程.36．（2020·全国高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为F 1(－4，0)，F 2(4，0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；（2）焦点坐标分别为(0，－2)，(0，2)，经过点(；（3）经过两点(，-1,2⎛ ⎪⎝⎭. 37．（2020·全国高二课时练习）如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，求抛物线的方程．38．（2020·全国高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上，虚轴长为8，离心率为53；（2）与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(3,-.39．（2021·云南昆明市·高三其他模拟（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2A ，B 是一动点，直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且123111k k k +=，记B 点的轨迹为E . （1）求曲线E 的方程；（2）已知直线l ：1x ty =+，l 与曲线E 交于C ，D 两点，直线AC 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，直线AD 与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点.当四边形MNPQ 的面积最小时，求直线l 的方程.40．（2020·全国高二课时练习）已知过点()1,1A -的直线l 与椭圆22184x y +=交于点B ，C ，当直线l 绕点()1,1A -旋转时，求弦BC 中点M 的轨迹方程.41．（2021·湖南高三月考）已知椭圆2222C:1(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若1F AB 的周长为8. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设P 为椭圆C 上的动点，过原点作直线与椭圆C 分别交于点M 、N （点P 不在直线MN 上），求PMN 面积的最大值.42．（2021·全国高三专题练习）设椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1,0A -、()10B ,，C 为椭圆M 上的点，且3ACB π∠=，ABC S =△（1）求椭圆M 的标准方程；（2）设过椭圆M 右焦点且斜率为k 的动直线与椭圆M 相交于E 、F 两点，探究在x 轴上是否存在定点D ，使得DE DF ⋅为定值？若存在，试求出定值和点D 的坐标；若不存在，请说明理由.43．（2021·湖南长沙市·长沙一中高二月考）已知抛物线E ：22x py =的焦点为F ，准线为l ，l 与y 轴的交点为P ，点M 在抛物线E 上，过点M 作MN ⊥l 于点N ，如图1．已知cos ∠FMN ＝35，且四边形PFMN 的面积为72．（1）求抛物线E 的方程；（2）若正方形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 都在抛物线E 上（如图2），求正方形ABCD 面积的最小值．44．（2021·全国高三专题练习）设常数2t >．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2,0)，直线l ：x=t ，曲线Γ：()280,0y x x t y =≤≤≥，l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ．P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 距离；（2）设3t =，||2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP 的面积；（3）设t =8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．45．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆C ：22x ＋y 2＝1的右焦点为F ，过点F 的直线(不与x 轴重合)与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l ：x ＝2与x 轴相交于点H ，过点A 作AD ⊥l ，垂足为D .（1）求四边形OAHB (O 为坐标原点)的面积的取值范围. （2）证明：直线BD 过定点E ，并求出点E 的坐标.46．（2021·甘肃高三二模（文））已知圆222:O x y b +=经过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点2F ，且经过点2F 作圆O 的切线被椭圆C 截得的弦．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 经过椭圆C 的右焦点2F 与椭圆交于A ，B 两点，且0OA OB ⋅=，求直线l 的方程．47．（2021·全国高三专题练习）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，那么称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆C 1：24x ＋y 2＝1，椭圆C 2与C 1是“相似椭圆”，且椭圆C 2的短半轴长为b . （1）写出椭圆C 2的方程；（2）若在椭圆C 2上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋1对称，求实数b 的取值范围. 四、填空题48．（2020·全国高二课时练习）已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是________．49．（2021·全国高三二模（理））已知双曲线22221x y a b -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 的直线l 交该双曲线的右支于M ，N 两点(M 点位于第一象限)，12MF F △的内切圆半径为1R ，12NF F △的内切圆半径为2R ，且满足124R R =，则直线l 的斜率为___________.50．（2021·全国高一课时练习）如图，已知点C 的坐标是(2,2)过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B ，设点M 是线段AB 的中点，则点M 的轨迹方程为__.51．（2020·全国高二课时练习）已知a >b >0，椭圆C 1的方程为2222x y a b +＝1，双曲线C 2的方程为2222x y a b -＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________．52．（2020·全国高二课时练习）若椭圆焦距为8，焦点在x 轴上，一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，则椭圆的标准方程为____________．53．（2020·全国高二课时练习）已知曲线221x y a b-=与直线x +y -1=0相交于P ，Q 两点，且0OP OQ ⋅=(O 为原点)，则11a b-=________. 54．（2020·全国高二课时练习）已知以F 1(-2，0)，F 2(2，0)为焦点的椭圆与直线40x ++=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________.55．（2020·全国高二课时练习）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且椭圆与直线280x y ++=相交于P ，Q 两点，若PQ =，则椭圆方程为_________________________.56．（2020·全国高二课时练习）若直线2y x b =+与椭圆2214x y +=无公共点，则b 的取值范围为____________.57．（2021·湖北荆门市·高三月考）已知椭圆22122:1x y C a b+=与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n-=>>有相同的焦点12,F F ，且两曲线在第一象限的交点为P ，若212PF F F ⊥，且2a b =，则双曲线2C 的离心率为_________．58．（2021·湖南高三月考）过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦点1F 作以焦点2F 为圆心的圆的切线，其中一个切点为M ，12F F M△的面积为2c ，其中c 为半焦距，线段1MF 恰好被双曲线C 的一条渐近线平分，则双曲线C 的离心率为________.。

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理
· 基础
A.xx≠π4 ，x∈R
落实
B.xx≠－π4 ，x∈R
综合训
C.xx≠kπ－3π 4 ，k∈Z，x∈R
练
· 能力
考点突
D.xx≠kπ＋3π 4 ，k∈Z，x∈R
提升
破
· 规律
解析 ∵x－π4 ≠kπ＋π2 ，∴x≠kπ＋3π 4 ，k∈Z.
总结
答案 D
菜单
高考总复习·数学（理科）
能力提
点突破
·
从而 f(α)＝
22sin2α＋π4 ＝
2 2 sin
3π4 ＝12.
升
规
律
总
结
菜单
高考总复习·数学（理科）
第三章三角函数、解三角形
要
点
梳
理
· 基础落
②T＝2π 2 ＝π.由
π
π
π
2kπ－ 2 ≤2x＋ 4 ≤2kπ＋ 2 ，
实
k∈Z，得 kπ－3π8 ≤x≤kπ＋π8 ，k∈Z.
要
点
梳
理 ·
奇偶性
奇
偶
奇
基
础
对
落实
称
对中称心
(kπ，0)k∈Z kπ＋π2，0，k∈Z k2π，0，k∈Z
综合
训
练
·
性对
能力
考点突破
称轴l
x＝kπ＋π2，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
无
提升
·
规最小正
律总
周期
2π
2π
π
结
菜单
高考总复习·数学（理科）
第三章三角函数、解三角形
要
小题热身
提升
总
结
菜单
高考总复习·数学（理科）
第三章三角函数、解三角形
要
点
梳
理
· 基础
即π 12＋kπ<x<51π2 ＋kπ，故所求函数的定义域是
落实
π 12＋kπ，51π2 ＋kπ(k∈Z)．
综合训
练
·
考点
【答案】 π12＋kπ，51π2 ＋kπ(k∈Z)
能力提升
突
破
·
规
律
总
结
菜单
高考总复习·数学（理科）
能力
考
提
点
ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值升
突
破 ·
域．
规
律
(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整数，可化为求
总
结
函数在给定区间上的值域(最值)问题．
菜单
高考总复习·数学（理科）
第三章三角函数、解三角形
要点
◎变式训练
梳
理
· 基础
1．函数 y＝2sinπ6x－π3 (0≤x≤9)的最大值与最小
第三章三角函数、解三角形
要点梳理
3．函数 f(x)＝sinx－π4 的图象的一条对称轴是
·
π
π
π
π
基础
A．x＝ 4 B．x＝ 2 C．x＝－ 4 D．x＝－ 2
落
实
综
解析 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最合
训
低点，故令 x－π4 ＝kπ＋π2 ，k∈Z，∴x＝kπ＋3π4 ，k∈Z，
结
期．
菜单
高考总复习·数学（理科）
第三章三角函数、解三角形
要点
二、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
梳
理
· 函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
基
础
落
实
综
合
训
图象
练
·
能
力
考
提
点
升
突
破 ·
定义
规律
域
R
R
{x| x≠π2＋kπ，
k∈Z}
总
结
菜单
高考总复习·数学（理科）
第三章三角函数、解三角形
第三章三角函数、解三角形
要
点梳理
(2)函数 f(x)＝sin2x－π4 在区间0，π2 上的最小值
· 基
是
础
落实
A．－1
B.
2 2
C．－
2 2
D．0
综合
训
【解析】
因为
x∈ 0，π2 ，所以
π 2x － 4 ∈
练 · 能
力
考点突
－π4 ，34π，所以 f(x)＝sin2x－π4 ∈－ 22，1，即函
练
·
考点
解析 y＝(sin x＋cos x)2－1＝sin 2x.T＝2π 2 ＝π.
能力提升
突破
∴y＝(sin x＋cos x)2－1 是最小正周期为π的奇函数．
·
规律
答案 C
总
结
菜单
高考总复习·数学（理科）
第三章三角函数、解三角形
要
点梳
5 ．设函数 f(x) ＝ sin(ωx ＋ φ) ＋ cos(ωx ＋
2x＋12cos
2x＝
22sin2x＋π4 ，所以
T
＝2π2 ＝π.由 2kπ－π2 ≤2x＋π4 ≤2kπ＋π2 ，k∈Z，
综合训练
考
得 kπ－3π8 ≤x≤kπ＋π8 ，k∈Z，所以 f(x)的单调
· 能力提
点突破
递增区间为kπ－3π8 ，kπ＋π8 ，k∈Z.
升
·
规
律
总
结
菜单
高考总复习·数学（理科）
综合训练
考
所以 f(x)的单调递增区间为kπ－3π 8 ，kπ＋π8 ，
· 能力提
点突
k∈Z.
升
破
·
规
律
总
结
菜单
高考总复习·数学（理科）
第三章三角函数、解三角形
要
[规律方法] 三角函数的单调区间的求法
训
定义域内的每一个值时，都有_f_(_x_＋__T_)_＝__f(_x_)_，那么函
练 ·
能
数f(x)就叫做周期函数．__T_叫做这个函数的周期．
力
考
提
点突
2．最小正周期
升
破 ·
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_最__小__的__
规
律总
_正__数__，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周
础
落实
例1
(1) 函数 y＝ log2(2sin
2x－ 1) ＋ tan
x的定义域为
综合
________．
训练
·
【解析】要使函数 y＝log2(2sin 2x－1)＋tan x 有
能力
考点突破
· 规律
意义，需2xs≠inπ22x＋－k1π>，0，解得π 1x2≠＋π2kπ ＋<kπx<，51π2 ＋kπ，
合训练 ·
π
π
能
考
又|φ|< 2 ，∴φ＝ 4 ，∴f(x)＝ 2cos 2x.由 0<2x<π，
力提
点突破
·
π 得 0<x< 2 时，f(x)单调递减，故选 A.
升
规
律总
答案 A
结
菜单
高考总复习·数学（理科）
第三章三角函数、解三角形
要考点突破·规律总结
点
梳
理
· 基
考点一三角函数的定义域和值域
综合训
≤71π2 ＋kπ，k∈Z，函数单调递增，即函数 y＝3sin2x－23π
练
· 能力
考点突
的单调递增区间为π 12＋kπ，71π2 ＋kπ，k∈Z，可知当 k＝
提升
破
· 规律
0 时，函数在区间π12，71π2 上单调递增．
总
结
【答案】 B
菜单
高考总复习·数学（理科）
第三章三角函数、解三角形
提升
破
· 规律
数
f(x)的最小值为－
2 2.
总结
【答案】 C
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高考总复习·数学（理科）
第三章三函数、解三角形
要点
(3)(2014·丰台模拟)已知 y＝sin(π＋x)－cos 2x，则 y
梳
理的最小值和最大值分别为
·
基础落实
A．－98，2 B．－2，98 C．－34，2 D．－2，34 综
第三章三角函数、解三角形
要
点
梳
理
·
基
础
落
实
综
合
第三节三角函数的图象和性质
训练
·
能
力
考
提
点
升
突
破
·
规
律
总
结
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高考总复习·数学（理科）
第三章三角函数、解三角形
要要点梳理·基础落实
点
梳
理 ·
考纲点击
基
础
落实
1．能画出 y＝sin x、y＝cos x、y＝tan x 的图像，综
合
了解三角函数的周期性．
理
· 基础
φ)ω>0，|φ|<π2 的最小正周期为π，且 f(－x)＝f(x)，
落
则
实
综