解析几何知识点总结

解析几何知识点总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII解析几何知识点总结第一部分:直线一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角α(1)定义：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。

(2)范围：（0,180）2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率. k=tan α（1）.倾斜角为90°的直线没有斜率。

（2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。

（3）设经过A （x1,y1）和B （x2,y2）两点的直线的斜率为K ，则当X1≠X2时，k=tan α=Y1-Y2/X1-X2；当X1=X2时，α=90°；斜率不存在； 二、直线的方程1.点斜式：已知直线上一点P （x 0,y 0）及直线的斜率k （倾斜角α）求直线的方程用点斜式：y-y 0=k(x-x 0)注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x=x0；2.斜截式：若已知直线在y 轴上的截距（直线与y 轴焦点的纵坐标）为b ，斜率为k ，则直线方程：y=kx+b ；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：y=kx注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。

3.两点式：若已知直线经过（x1,y1）和（x2,y2）两点，且（X1≠X2，y1≠y2）则直线的方程：121121x x x x y y y y --=--；注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。

4截距式：若已知直线在x 轴，y 轴上的截距分别是a ，b （a ≠0，b ≠0）则直线方程：1=+bya x ； 注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。

2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a5一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：Ax+By+C=0；（A,B 不同时为零）；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。

位置关系222111::b x k y l b x k y l +=+= 0:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l设两直线的方程分别为：222111:b x k y l +=或0:22221111=++C y B x A l ；当21k k ≠或1221B A B A ≠时它们相交，交点坐标为方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 或⎩⎨⎧=++=++00222111Cy B x A C y B x A 解；五、点到直线的距离公式：1.点P(X0，Y0)到直线L:Ax+By+C=0的距离为：2200||BA C By Ax d +++=；2.两平行线L1:Ax+By+C1=0，L2:Ax+By+C2=0的距离为：2221||BA C C d +-=；六、直线系：（1）设直线L1:A1x+B1y+C1=0，L2:A2x+B2y+C2=0，经过L1,L2的交点的直线方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（除去L2）；如：①Y=kx+1→y-1-kx=0，即也就是过y-1=0与x=0的交点(0,1)除去x=0 的直线方程。

②直线L:（m-1）x+（2m-1）y=m-5恒过一个定点 。

（2）和L:Ax+By+C=0平行的直线为Ax+By+C1=0（3）与L:Ax+By+C=0垂直的直线为Bx-Ay+C1=0；七、对称问题： （1）中心对称：①点关于点的对称：该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点A （a.b ）关于C （c,d ）的对称点（2c-a,2d-b ） ②直线关于点的对称：Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；Ⅱ、求出一个对称点，在利用L1//L2由点斜式得出直线方程； Ⅲ、利用点到直线的距离相等。

求出直线方程。

如：求与已知直线0632:1=-+y x l 关于点)1,1(-P 对称的直线2l 的方程。

（2）轴对称：①点关于直线对称：Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。

Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。

如：求点)5,3(-A 关于直线0443:=+-y x l 对称的坐标。

②直线关于直线对称：（设b a ,关于l 对称）Ⅰ、若a.b 相交，则a 到L 的角等于b 到L 的角；若a ∥L ，则b ∥L ，且a.b 与L 的距离相等。

Ⅱ、求出a 上两个点B A ,关于l 的对称点，在由两点式求出直线的方程。

Ⅲ、设),(y x P 为所求直线直线上的任意一点，则P 关于l 的对称点'P 的坐标适合a的方程。

如：求直线042:=-+y x a 关于0143:=-+y x l 对称的直线b 的方程。

第二部分：圆与方程2.1圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-圆心),(b a C ，半径r 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 2.2点与圆的位置关系：1. 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： (1)点在圆上 d=r ；(2)点在圆外 d ＞r ；(3)点在圆内 d ＜r ．2.给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔ ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔ 2.3 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D C ，半径2422FE D r -+=.当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422>-+AF E D .圆的直径系方程：已知AB 是圆的直径0))(())((),(),(21212211=--+--⇒y y y y x x x x y x B y x A2.4 直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种，d 是圆心到直线的距离，(22BA C Bb Aa d +++=(1)<∆⇔⇔>相离r d ；(2)=∆⇔⇔=相切r d ；（3）0>∆⇔⇔<相交r d 。

2.5 两圆的位置关系设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21。

（1）条公切线外离421⇔⇔+>r r d ；（2）条公切线外切321⇔⇔+=r r d ； （3）条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ；（4）条公切线内切121⇔⇔-=r r d ； （5）无公切线内含⇔⇔-<<210r r d ；外离 外切 相交 内切 内含 2.6 圆的切线方程：直线与圆相切的性质：(1)圆心到直线距离等于半径r ；（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）过一定点做圆的切线要分成两种情况：点在圆上和点在圆外。

若点在圆上则切线只有一条，利用性质（2）可求切线斜率，再点斜式写出切线方程。

若点在圆外则切线有两条，用性质（1）来求出切线斜率，此时注意切线斜率是否存在的分类讨论。

2.7圆的弦长问题：半弦2L 、半径r 、弦心距d 构成直角三角形，满足勾股定理：2222d R L -=⎪⎭⎫ ⎝⎛第三部分:椭圆一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1，F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|=2c}；这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。

（c F F a 2221==时为线段21F F ，c F F a 2221=<无轨迹）。

2．标准方程： 222ca b =-①焦点在x 轴上：12222=+by a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0）②焦点在y 轴上：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ）注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，222c b a +=并且椭圆的焦点总在长轴上；②一般形式表示：221x y m n+=或者 ),0,0(122n m n m ny mx ≠>>=+ 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围（1）椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b（2）椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a2.对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点（1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ）（2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4．离心率我们把椭圆的焦距与长轴长的比22c a ，即ac称为椭圆的离心率， 记作e （10<<e ），22221()b e a a==-ce 越接近于0 （e 越小），椭圆就越接近于圆;e 越接近于1 （e 越大），椭圆越扁； 5．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b⇔+<.（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>.6.几何性质（1）通径（过焦点且垂直于长轴的弦）ab AB 22=（2）焦点三角形（椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形）：2tan221θ⋅=∆b S F MF 其中θ=∠21MF F7直线与椭圆的位置关系：(1)判断方法:联立直线方程与椭圆方程消y(或x)得到关于x 的一元二次方程，根据判别式∆的符号判断位置关系： 没有交点相离有一个交点相切相交有两个交点⇔⇔<∆⇔⇔=∆⇔⇔>∆000 (2)弦中点问题:（用点差法解决—）斜率为k的直线l与椭圆),0,0(12222n m n m n y m x ≠>>=+交于两点),(),(2211y x B y x A 、）（00,y x M 是AB 的中点，则：0022y x m n k AB⋅-=(3)弦长公式：]4)[(1)(212212221221x x x x k y y x x AB -++=-+-=）（）（范围 x a ≥，y R ∈ y a ≥，x R ∈对称轴 x 轴 ，y 轴；实轴长为2a ,虚轴长为2b对称中心原点(0,0)O焦点坐标1(,0)F c - 2(,0)F c1(0,)F c - 2(0,)F c焦点在实轴上，22c a b =+；焦距：122F F c =顶点坐标 （a -,0） (a ,0)(0, a -,) (0，a )离心率e ace (=>1) 重要结论（1）通径（过焦点且垂直于实轴的弦）ab AB 22=（2）焦点三角形：2cot2tan2221θθ⋅==∆b b S F MF渐近线 方程 x ab y ±= y abx ±= 共渐近线的双曲线系方程k b y a x =-2222（0k ≠） k bx a y =-2222（0k ≠） 补充知识点：等轴双曲线的主要性质有： （1）半实轴长=半虚轴长；（2）其标准方程为C y x =-22其中C≠0； （3）离心率2=e ；（4）渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直；第五部分：抛物线知识点总结图象)0(22>=p px y)0(22>-=p px y)0(22>=p py x)0(22>-=p py xxyP1F2FxyxyP1F 2F xy定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。