广东省深圳第二外国语学校高二第一学期期中考试数学(文科)试题(图片版)
【精品】2020年广东省深圳高中高二上学期期中数学试卷和解析文科
2018学年广东省深圳高中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的）1．（5分）命题p：3是奇数，q：5是偶数，则下列说法中正确的是（）A．p或q为真B．p且q为真C．非p为真D．非q为假2．（5分）“x2﹣x=0”是“x=1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），则圆C的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣3）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣3）2=25 C．（x﹣2）2+（y+3）2=5 D．（x﹣2）2+（y+3）2=254．（5分）若直线x+y+a=0与圆（x﹣a）2+y2=2相切，则a=（）A．1 B．﹣1 C．D．1或﹣15．（5分）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=±2x C．D．6．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（5分）过点P（﹣1，4）作圆x2+y2﹣4x﹣6y+12=0的切线，则切线长为（）A．3 B．C． D．58．（5分）与直线4x﹣y+3=0平行的抛物线y=2x2的切线方程是（）A．4x﹣y+1=0 B．4x﹣y﹣1=0 C．4x﹣y﹣2=0 D．4x﹣y+2=09．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）A．2 B．2 C．2 D．410．（5分）已知f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围为（）A．（，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣，﹣2）D．（2，）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）已知f（x）=lnx+cosx，则f′=．12．（5分）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是．13．（5分）椭圆的离心率为，则实数m的值为．14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为．三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（12分）已知函数的最小正周期为π．（1）求ω和的值；（2）求函数f（x）的最大值及相应x的集合．16．（12分）设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2﹣2x﹣3=0相交于点A、B．（1）求弦AB的垂直平分线方程；（2）求弦AB的长．17．（14分）设函数f（x）=x2e x．（1）求f（x）的单调区间；（2）若当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．18．（14分）设F1，F2分别为椭圆C：（a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆C上的点到两点的距离之和等于4．（Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点求|PQ|的最大值．19．（14分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．20．（14分）已知函数f（x）=，g（x）=alnx﹣x（a≠0）．（1）a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（2）求证：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．2018学年广东省深圳高中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的）1．（5分）命题p：3是奇数，q：5是偶数，则下列说法中正确的是（）A．p或q为真B．p且q为真C．非p为真D．非q为假【解答】解：根据奇数和偶数的定义，得命题p是真命题，命题q是假命题．∵命题q是假命题∴命题“p且q”为假命题，故B错误命题“非q”为真命题，故D错误又∵命题p是真命题∴命题“p或q”是真命题，故A正确命题“非p”为假命题，故C错误故选：A．2．（5分）“x2﹣x=0”是“x=1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若x2﹣x=0 则x=0或x=1．即x2﹣x=0推不出x=1．反之，若x=1，则x2﹣x=0，即x=1推出x2﹣x=0所以“x2﹣x=0”是“x=1”的必要不充分条件．故选：B．3．（5分）圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），则圆C的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣3）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣3）2=25 C．（x﹣2）2+（y+3）2=5 D．（x﹣2）2+（y+3）2=25【解答】解：设圆心C（2，m），根据圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），可得CA2=CB2，即4+（m+4）2=4+（m+2）2，求得m=﹣3，可得圆心为（2，﹣3）、半径为CA=，∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=5，故选：C．4．（5分）若直线x+y+a=0与圆（x﹣a）2+y2=2相切，则a=（）A．1 B．﹣1 C．D．1或﹣1【解答】解：∵直线x+y+a=0与圆（x﹣a）2+y2=2相切，∴圆心（a，0）到直线x+y+a=0的距离等于圆的半径，∴，∴a=1或﹣1．故选：D．5．（5分）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=±2x C．D．【解答】解：由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为；故选：C．6．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由图象得：导函数f′（x）=0有3个根，只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，故函数只有1个极小值点，故选：A．7．（5分）过点P（﹣1，4）作圆x2+y2﹣4x﹣6y+12=0的切线，则切线长为（）A．3 B．C． D．5【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x﹣6y+12=0的标准方程是（x﹣2）2+（x﹣3）2=1，∴圆心（2，3）到点P的距离是d==；圆的半径r=1，∴切线长为l===3．故选：A．8．（5分）与直线4x﹣y+3=0平行的抛物线y=2x2的切线方程是（）A．4x﹣y+1=0 B．4x﹣y﹣1=0 C．4x﹣y﹣2=0 D．4x﹣y+2=0【解答】解：∵y=2x2 ∴y'=4x，∵直线4x﹣y+3=0的斜率为4，由4x=4得x=1，当x=1时，代入抛物线方程得y=2，∴切点坐标为（1，2）∴与直线4x﹣y+3=0的平行的抛物线y=2x2的切线方程是y﹣2=4（x﹣1）即4x﹣y﹣2=0故选：C．9．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）A．2 B．2 C．2 D．4【解答】解：∵抛物线C的方程为y2=4x∴2p=4，可得=，得焦点F（）设P（m，n）根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4，即m+=4，解得m=3∵点P在抛物线C上，得n2=4×3=24∴n==∵|OF|=∴△POF的面积为S=|OF|×|n|==2故选：C．10．（5分）已知f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围为（）A．（，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣，﹣2）D．（2，）【解答】解：f（x）=|xe x|=，易知f（x）在[0，+∞）上是增函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=﹣xe x，f′（x）=﹣e x（x+1），故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在（﹣1，0）上是减函数；作其图象如下，且f（﹣1）=；故若方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则方程x2+tx+1=0（t∈R）有两个不同的实根，且x1∈（0，），x2∈（，+∞）∪{0}，故，或1=0解得，t∈（﹣∞，﹣），故选：B．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）已知f（x）=lnx+cosx，则f′=．【解答】解：，∴，故答案为：．12．（5分）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是[﹣2，2] ．【解答】解：∵命题“存在实数x，使x2﹣ax+1＜0”的否定是任意实数x，使x2﹣ax+1≥0，命题否定是真命题，∴△=（﹣a）2﹣4≤0∴﹣2≤a≤2．实数a的取值范围是：[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．13．（5分）椭圆的离心率为，则实数m的值为．【解答】解：当m＞5时，=，解得m=，当m＜5时，=解得m=3符合题意，故答案为：14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为．【解答】解：依题意可知∠F1PF2=90°|F1F2|=2c，∴|PF1|=|F1F2|=c，|PF2|=|F1F2|=c，由双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a=（﹣1）c∴e==．故答案为：．三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（12分）已知函数的最小正周期为π．（1）求ω和的值；（2）求函数f（x）的最大值及相应x的集合．【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（）的周期是π且ω＞0∴T=，解得ω=2∴f（x）=sin（2x+）∴f（）=sin（）=sin=（2）∵﹣1∴当2x+=+2kπ（k∈Z）即x=时f（x）取得最大值1，此时x的集合为{x/x=}．16．（12分）设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2﹣2x﹣3=0相交于点A、B．（1）求弦AB的垂直平分线方程；（2）求弦AB的长．【解答】解：（1）圆方程可整理为：（x﹣1）2+y2=4，圆心坐标为（1，0），半径r=2，易知弦AB的垂直平分线l过圆心，且与直线AB垂直，而，∴．所以，由点斜式方程可得：，整理得：3x﹣2y﹣3=0．（2）圆心（1，0）到直线，故．17．（14分）设函数f（x）=x2e x．（1）求f（x）的单调区间；（2）若当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）…（2分）令∴f（x）的单增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）；单减区间为（﹣2，0）．…（6分）（2）令∴x=0和x=﹣2，…（8分）∴∴f（x）∈[0，2e2]…（11分）∴m＜0…（12分）18．（14分）设F1，F2分别为椭圆C：（a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆C上的点到两点的距离之和等于4．（Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点求|PQ|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C上的点A（1，）到椭圆+=1（a＞b＞0）两焦点F1，F2的距离之和等于4，∴2a=4，a=2．∴+=1，∴b2=3，∴椭圆的方程为：+=1，其焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0）；（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），∵Q（0，），∴|PQ|2=4cos2θ+=4﹣4sin2θ+3sin2θ﹣sinθ+=﹣sin2θ﹣sinθ+=﹣+5≤5．∴|PQ|的最大值为．19．（14分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．【解答】解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px∵点P（1，2）在抛物线上∴22=2p×1，得p=2故所求抛物线的方程是y2=4x准线方程是x=﹣1（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB则，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补∴k PA=﹣k PB由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，得y12=4x1（1）y22=4x2（2）∴∴y1+2=﹣（y2+2）∴y1+y2=﹣4由（1）﹣（2）得直线AB的斜率20．（14分）已知函数f（x）=，g（x）=alnx﹣x（a≠0）．（1）a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（2）求证：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R，，当a＞0时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣1，1），单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；（2）证明：由（1）可知，当a＞0时，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）＞f（0）=a；f （x）在[，e]上单调递减，且．则f（x2）＞a，∵g′（x）=，①当0＜a＜e时，g（x）=alnx﹣x在（0，a）上单调递增，在[a，e]上单调递减；故g（x1）max=g（a）=alna﹣a；则alna﹣a﹣a=a（lna﹣2）＜0；故对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立；②当a≥e时，g（x）=alnx﹣x在（0，e]上单调递增，故g（x1）max=g（e）=a﹣e；故a﹣e﹣a=﹣e＜0，故对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．综上所述，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
广东省深圳市第二高级中学高二数学上学期期中考试试题 文 新人教A版
高 二 （文科）数 学 试 题时间：120分钟 满分： 150分第Ⅰ卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目等写在答题卷上指定位置，并将试卷类型（A ）和考生号的对应数字方格用2B 铅笔涂黑；2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案，不能答在试卷上；其他题直接答在试卷中指定的地方。
参考公式：（1）方差公式：∑=-=ni ix xns 122)(1（2）用最小二乘法求线性回归方程系数公式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====xb y a xn x yx n yx x x y y x x b n i i ni ii ni i i ni i 1221121)()()(一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列说法正确的是A ．一个命题的逆命题为真，则它的否命题为假B ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题为真C ．一个命题的逆否命题为真，则它的否命题为真D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题为真2. 某单位有职工1000人，其中青年职工450人，中年职工350人，老年职工200人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的中年职工为7人，则样本容量为A ．11B ．13C ．20D ．303．样本中共有五个个体，其值分别为a ,3,2,1,0，若该样本的平均值为2，则样本方差为是A ．65 B ．65C ．2D ．2 4．若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则A ．“q p ∨”为假B q 假C ．q 真D ．不能判断q 的真假5．从{}5,4,3,2,1中随机选取一个数为a ，从{}3,2,1中随机选取一个数为b ，则a b >的概率是 A ．45 B ．35 C ．25 D ．156．图1是一个算法的程序框图，该程序框图的功能是A ．求输出c b a ,,三数的最大数B ．求输出c b a ,,三数的最小数C ．将c b a ,,按从小到大排列D ．将c b a ,,按从大到小排列7．“3=a ”是“直线03=++a y ax 和直线8)2(3-=-+a y a x平行且不重合”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．随机在圆1:22=+y x O 内投一个点A ，则点A 刚好落在不等式组 围成的区域内的概率是A ．21B ．31 C ．61 D ．329．图2给出的是计算1001614121++++ 的值的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是A ．50>iB ． 50≥iC ．50<iD ．100>i10． 如图3，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，图2⎪⎩⎪⎨⎧>->+0303y x y x 图1是若p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(),p q 是点M 的“距离坐标”．已知常数0≥p ，0≥q ，给出下列命题： ①若0p q ==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个； ②若0,1p q ==，则“距离坐标”为(0,1)的点有且仅有2个； ③若1,2p q ==，则“距离坐标”为(1,2)的点有且仅有4个． 上述命题中，正确命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3第Ⅱ卷 非选择题二.填空：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11．命题“若b a >，则122->ba”的否命题为______________________________. 12．随机抽取某中学12位高三同学，调查他们春节期间购书费用（单位：元）， 获得数据的茎叶图如图4，这12位同学购书的平均费用是__________元. 13．已知函数b ax x f +=)(，R x ∈（a 、R b ∈且是常数）．若a 是从2-、1-、1、2四个数中任取的一个数，b 是从0、1、2三个数中任取的一个数，则函数)(x f y =为奇函数的概率是____________. 14．给出下列结论：①命题“1sin ,≤∈∀x R x ”的否定是“1sin ,:>∈∃⌝x R x p ”；②命题“所有正方形都是平行四边形”的否定是“所有正方形都不是平行四边形”； ③命题“12,A A 是互斥事件”是命题“12,A A 是对立事件”的必要不充分条件； ④若a ，b 是实数，则“0>a 且0>b ”是“0>+b a 且0>ab ”的充分不必要条件. 其中正确结论的是 _________________.三.解答题：本大题共有6道题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.（本小题满分12分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3的三个大小相同的球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等． （1）求取出的两个球上标号为相同数字的概率； （2）求取出的两个球上标号之和不小于4的概率．，q ）16．（本小题满分13分）假设关于某市的房屋面积x （平方米）与购房费用y (万元),有如下的统计数据：（1）根据上述提供的数据在答卷相应位置画出散点图，并用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆy bx a =+；（假设已知y 对x 呈线性相关）（2）若在该市购买120平方米的房屋，估计购房费用是多少？ 17．（本小题满分13分）已知p ：46x -≤，:q 22210x x m -+-≤，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18. （本题满分为14分）某校从参加高二年级第一学段考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数，满分为100分），将数学成绩进行分组并根据各组人数制成如下频率分布表：（1）将上面的频率分布表补充完整，并在答卷中相应位置绘制频率分布直方图；（2）若高二年级共有学生1000人，估计本次考试高二年级80分以上学生共有多少人？（3）根据频率分布直方图估计高二年级的平均分是多少？19．（本小题满分14分）把一根长度为8的铁丝截成3段． （1）若三段的长度均为整数，求能构成三角形的概率； （2）若截成任意长度的三段，求能构成三角形的概率．20（本题满分14分）请认真阅读下列程序框图： 1()i i x f x -=中的函数关系程序框图中的D 为函数()f x 框图中所输出的数i x 组成一个数列{}n x （1）输入04965x =，请写出数列{}n x（2）若输入一个正数0x 时，产生的 数列{}n x 满足：任意一项n x ，都1n n x x +<，试求正数0x 的取值范围.参考答案11. 若b a ≤，则122-≤ba12. 5.125 13.314.①③ 15解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x y 、，用),(y x 表示抽取结果，则所有可能的结果有9种，即 ()1,1，()1,2，()1,3， ()2,1，()2,2，()2,3，， ()3,1，()3,2，()3,3． …………………………………………….……4分（Ⅰ）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A ，则()()(){}1,1,2,2,3,3A =．事件A 由4个基本事件组成，故所求概率()3193P A ==． 答：取出的两个球上的标号为相同数字的概率为13． ………………8分 （Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之和不小于4”为事件B ，则()()()()()(){}1,3,3,1,2,3,3,2,3,3,2,2B =． 事件B 由7个基本事件组成，故所求概率()69P B =． 答：取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为23． ………………12分 16、解：(1)散点图…………………………………………………………..3分 (1) 95=x ,50=y 代入公式求得1.5,58.0-==a b ;线性回归方程为1.558.0-=∧x y ………………9分(2)将120=x 代入线性回归方程得5.64=∧y (万元) ∴线性回归方程1.558.0-=∧x y ;估计购卖120平方米的房屋时,购买房屋费用是64.5(万元).………13分 17．解：由p：46x -≤.102≤≤-⇒x ……………………………………………………………..2分 ()2211||1||..........................................................5,......................81||10.....................................1||2q x m m x m p q p q m q p m -≤-≤≤+⌝⌝⌝⇒⌝+≤⎧⇒⎨-≥-⎩由可得所以分因为是的充分不必要条件所以分等价于故只需满足.11|| 3.-33-33............................................13m x m ≤⇒≤≤+分所以所以的取值范围为（，）分18. 解: （1）第五行以此填入 12 0.24 ……………………………2分第七行以此填入 50 1 (4)分直方图 （略） ………………………………………………….…8分 （2）估计本次考试高二年级80分以上学生比例为32％，所以可估计本次考试高二年级80分以上学生人数为10000.32320⨯=人………………………………………………….…11分（3）根据频率分布直方图估计全校的平均分为：x 450.04550.06650.28750.30850.24950.0873.8=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=………………………………………………….…14分19.（1）设构成三角形的事件为A基本事件数有5种情况：“1，1，6”；“1，2，5”；“1，3，4”；“2，2，4” “2，3，3” …………3分其中能构成三角形的情况有2种情况：“2，2，3” ……………5分 则所求的概率是1()5P A =…………………………………………………………7分（2）设把铁丝分成任意的三段，其中一段为x ，第二段为y ，则第三段为8x y --则008x y y x >⎧⎪>⎨⎪+<⎩如果要构成三角形，则必须满足：…………………………………………………………9分0000848484x x y y y x x y x y x x y y y y x y x x >>⎧⎧⎪⎪>>⎪⎪⎪⎪+>--⇒+>⎨⎨⎪⎪+--><⎪⎪+--><⎪⎪⎩⎩则所求的概率为()14MNP OEF S P A S ∆∆== …………………………………………………………14分 20. 解：（1）当04965x =时，12349111111165191955x f x f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫======- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，所以输出的数列为1111195-，，…………………………………………………7分(2)由题意知 142()1n n n n n x x f x x x +-==>+，因00x >，0n x ∴>，有：421n n n x x x ->+得42(1)n n n x x x ->+即2320n n x x -+<，即(2)(1)0n n x x --<要使任意一项n x ，都有1n n x x +>，须00(2)(1)0x x --<，解得：012x <<， 所以当正数0x 在(1，2)内取值时，所输出的数列{}n x 对任意正整数n 满足1n n x x +<。
广东省深圳高中高二数学上学期期中试题 文(含解析)
2015-2016学年广东省深圳高中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|x2=2}，B={1，，2}，则A∩B=( )A．{} B．{2} C．{﹣，1，，2} D．{﹣2，1，，2}2．函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为( )A．（﹣1，1] B．（0，1] C．上的最小值．四、选择题：本大题共4小题．每小题5分，满分20分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的12．设a∈R，则“a=1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件13．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是( )A．2 B．C．4 D．14．曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A．﹣9 B．﹣3 C．9 D．1515．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A．B．2 C．D．3五、填空题：本大题共2小题，每小题5分，满分10分16．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线x2﹣y2=2的右焦点重合，则p的值为__________．17．已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0．其中正确结论的序号是__________．六、解答题：共5小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．设命题p：函数y=c x为减函数；命题q：已知c＞0，当x∈时，函数f（x）=x+恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．19．设函数f（x）=﹣x3+2ax2﹣a2x（x∈R），其中a∈R（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）当a=3时，求函数f（x）的极大值和极小值．20．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，且其离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若F为椭圆C的右焦点，椭圆C与y轴的正半轴相交于点B，经过点B的直线与椭圆C 相交于另一点A，且满足=2，求点A的坐标．22．已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①；②曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．2015-2016学年广东省深圳高中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|x2=2}，B={1，，2}，则A∩B=( )A．{} B．{2} C．{﹣，1，，2} D．{﹣2，1，，2}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2=2}={﹣，}，B={1，，2}，则A∩B={}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为( )A．（﹣1，1] B．（0，1] C．y′=，∴由y′≤0得：0＜x≤1，∴函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（0，1]．故选：B．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，注重标根法的考查与应用，属于基础题．3．在同一个坐标系中画出函数y=a x，y=sinax的部分图象，其中a＞0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是( )A．B．C．D．【考点】指数函数的图像与性质；正弦函数的图象．【专题】压轴题；数形结合．【分析】本题是选择题，采用逐一排除法进行判定，再根据指对数函数和三角函数的图象的特征进行判定．【解答】解：正弦函数的周期公式T=，∴y=sinax的最小正周期T=；对于A：T＞2π，故a＜1，因为y=a x的图象是减函数，故错；对于B：T＜2π，故a＞1，而函数y=a x是增函数，故错；对于C：T=2π，故a=1，∴y=a x=1，故错；对于D：T＞2π，故a＜1，∴y=a x是减函数，故对；故选D【点评】本题主要考查了指数函数的图象，以及对三角函数的图象，属于基础题．4．已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是( ) A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】可得f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，由零点的判定定理可得．【解答】解：∵f（x）=﹣log2x，∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，满足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C【点评】本题考查还是零点的判断，属基础题．5．已知平面向量，，，=（﹣1，1），=（2，3），=（﹣2，k），若（+）∥，则实数k=( )A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】根据坐标的基本运算以及向量平行的坐标公式建立方程即可得到结论．【解答】解：∵=（﹣1，1），=（2，3），∴+=（1，4），若（+）∥，则，即k=﹣8，故选：D．【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算，以及向量平行的坐标公式的应用，比较基础．6．记等差数列的前n项和为S n，若S3=6，S5=25，则该数列的公差d=( )A．2 B．3 C．6 D．7【考点】等差数列的性质．【专题】方程思想；待定系数法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得首项和公差的方程组，解方程组可得．【解答】解：由题意可得S3=3a1+d=6，S5=5a1+d=25，联立解得a1=﹣1，d=3，故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．7．已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则xy的最大值是( )A．B．C．4 D．8【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且2x+y=1，∴xy==，当且仅当2x=y＞0，2x+y=1，即，y=时，取等号，此时，xy的最大值是．故选B．【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．8．直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为( )A．1 B．2 C．4 D．4【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，则弦长可求．【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣4y=0，得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，所以圆的圆心坐标是C（1，2），半径r=．圆心C到直线x+2y﹣5+=0的距离为d=．所以直线直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为．故选C．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了弦心距、圆的半径及半弦长之间的关系，是基础题．二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，满分10分9．设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】首先根据题意作出可行域，欲求区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值，由其几何意义为点A（1，0）到直线2x﹣y=0距离为所求，代入点到直线的距离公式计算可得答案．【解答】解：如图可行域为阴影部分，由其几何意义为点A（1，0）到直线2x﹣y=0距离，即为所求，由点到直线的距离公式得：d==，则区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值等于．故答案为：．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为2．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】由主视图知CD⊥平面ABC、B点在AC上的射影为AC中点及AC长，由左视图可知CD 长及△ABC中变AC的高，利用勾股定理即可求出最长棱BD的长．【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1；由主视图知CD=2，由左视图知BE=1，在Rt△BCE中，BC=，在Rt△BCD中，BD=，在Rt△ACD中，AD=2．则三棱锥中最长棱的长为2．故答案为：2．【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力．三、解答题：共1小题，共10分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11．已知函数f（x）=sinx﹣2sin2（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；三角函数的最值．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=2sin（x+）﹣，由三角函数的周期性及其求法即可得解；（2）由x∈，可求范围x+∈，即可求得f（x）的取值范围，即可得解．【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2sin2=sinx﹣2×=sinx+cosx﹣=2sin（x+）﹣∴f（x）的最小正周期T==2π；（2）∵x∈，∴x+∈，∴sin（x+）∈，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈，∴可解得f（x）在区间上的最小值为：﹣．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．四、选择题：本大题共4小题．每小题5分，满分20分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的12．设a∈R，则“a=1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】结合直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：∵直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行，∴a2=1，解得a=±1，当a=1时，两直线方程分别为x+y﹣1=0与直x+y+5=0，满足两直线平行．当两直线方程分别为﹣x+y﹣1=0与直x﹣y+5=0满足平行，a=1或a=﹣1，∴“a=1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+5=0平行”的充分不必要条件．故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线平行的条件是解决本题的关键．13．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是( )A．2 B．C．4 D．【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题．【分析】将双曲线方程化为标准方程，求出实轴长．【解答】解：2x2﹣y2=8即为∴a2=4∴a=2故实轴长为4故选C【点评】本题考查双曲线的标准方程、由方程求参数值．14．曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A．﹣9 B．﹣3 C．9 D．15【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，最后令x=0解得的y即为曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标．【解答】解：∵y=x3+11∴y'=3x2则y'|x=1=3x2|x=1=3∴曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线方程为y﹣12=3（x﹣1）即3x﹣y+9=0令x=0解得y=9∴曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是9故选C【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及直线与坐标轴的交点坐标等有关问题，属于基础题．15．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A．B．2 C．D．3【考点】点到直线的距离公式．【专题】计算题．【分析】设出抛物线上一点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出P到直线l1和直线l2的距离d1和d2，求出d1+d2，利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小值．【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=﹣1的距离d2=a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离d1=则d1+d2=a2+1=当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故选B【点评】此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题五、填空题：本大题共2小题，每小题5分，满分10分16．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线x2﹣y2=2的右焦点重合，则p的值为4．【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】将双曲线化成标准方程，求得a2=b2=2的值，从而得到双曲线的右焦点为F（2，0），该点也是抛物线的焦点，可得=2，所以p的值为4．【解答】解：∵双曲线x2﹣y2=2的标准形式为：∴a2=b2=2，可得c==2，双曲线的右焦点为F（2，0）∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线x2﹣y2=2的右焦点重合，∴=2，可得p=4故答案为：4【点评】本题给出抛物线与双曲线右焦点重合，求抛物线的焦参数的值，着重考查了双曲线的标准方程和抛物线简单几何性质等知识点，属于基础题．17．已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0．其中正确结论的序号是②③．【考点】命题的真假判断与应用；函数在某点取得极值的条件．【专题】综合题．【分析】f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，确定函数的极值点1，3及a、b、c的大小关系，由此可得结论【解答】解：求导函数可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．∴a＜1＜b＜3＜c设f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc∵f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9∴b+c=6﹣a∴bc=9﹣a（6﹣a）＜∴a2﹣4a＜0∴0＜a＜4∴0＜a＜1＜b＜3＜c∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0故答案为：②③【点评】本题考查函数的零点、极值点，考查解不等式，综合性强，确定a、b、c的大小关系是关键．六、解答题：共5小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．设命题p：函数y=c x为减函数；命题q：已知c＞0，当x∈时，函数f（x）=x+恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】计算题；转化思想；分析法；简易逻辑．【分析】先求出命题p，q成立的等价条件，利用p∨q为真命题，p∧q为假命题，确定实数c的取值范围【解答】解∵指数函数y=c x数为减函数，∴0＜c＜1，即p真时，0＜c＜1．函数f（x）=x+＞对x∈恒成立，由对勾函数的性质可知f（x）=x+在x∈上单调递增，所以f（x）min=f（1）=，＜，得c＞，即q真时，c＞，∵p∨q为真，p∧q为假，∴p、q一真一假．①p真q假时，0＜c≤；②p假q真时，c≥1．故c的取值范围为0＜c≤或c≥1．【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．19．设函数f（x）=﹣x3+2ax2﹣a2x（x∈R），其中a∈R（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）当a=3时，求函数f（x）的极大值和极小值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【专题】综合题；函数思想；综合法；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求得函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；（Ⅱ）求得函数的导数，由导数大于0，可得增区间，导数小于0，可得减区间，进而得到函数的极值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=﹣x3+2x2﹣x，得f（2）=﹣2，f′（x）=﹣3x2+4x﹣1，f'（2）=﹣5，所以，曲线y=﹣x3+2x2﹣x在点（2，﹣2）处的切线方程是y+2=﹣5（x﹣2），整理得5x+y﹣8=0；（Ⅱ）f（x）=﹣x3+2ax2﹣a2x，f′（x）=﹣3x2+4ax﹣a2=﹣（3x﹣a）（x﹣a），令f′（x）=0，解得或x=a，由于a=3，即有x=1或x=3．当x＞3或x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当1＜x＜3时，f′（x）＞0，f（x）递增．因此，函数f（x）在x=1处取得极小值f（1）=﹣4，函数f（x）在x=3处取得极大值f（3）=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查运算能力，属于基础题．20．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？【考点】抛物线的应用．【专题】计算题．【分析】建立平面直角坐标系，设拱桥型抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0）．将B（4，﹣5）代入得p=1.6，所以x2=﹣3.2y，当船两侧与抛物线接触时不能通过，由此能求出结果．【解答】解：建立平面直角坐标系，设拱桥型抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0）．…将B（4，﹣5）代入得p=1.6，∴x2=﹣3.2y，…当船两侧与抛物线接触时不能通过，设点A（2，y A），由22=﹣3.2 y A，得y A=﹣1.25，…因为船露出水面的部分高0.75米，…所以h=|y A|+0.75=2米．…（14分）答：水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行．…（16分）【点评】本题考查抛物线的应用，是中档题．解题时要认真审题，恰当地建立坐标系，合理地进行等价转化．21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，且其离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若F为椭圆C的右焦点，椭圆C与y轴的正半轴相交于点B，经过点B的直线与椭圆C 相交于另一点A，且满足=2，求点A的坐标．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据椭圆的方程的定义和离心率即可求出；（2）A（x0，y0），则．③，得到x0﹣（y0﹣1）=2，④，解得即可．【解答】解：（1）因为椭圆C经过点，所以．①因为椭圆C的离心率为，所以，即a2=2b2．②联立①②解得，a2=2，b2=1．所以椭圆C的方程为．（2）由（1）得，椭圆C的方程为，所以F（1，0），B（0，1）．设A（x0，y0），则．③因为，且，所以x0﹣（y0﹣1）=2，即y0=x0﹣1．④联立③④解得，或，所以A（0，﹣1）或．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆、圆的方程，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．22．已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①；②曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】证明题；新定义．【分析】（I）根据对数函数的定义求得函数的定义域，再根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间；（II）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞）．…由已知得，．…（1）当a＞0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．所以函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（2）当a＜0时，①当时，即a＜﹣1时，令f'（x）＞0，解得或x＞1；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；…②当时，即a=﹣1时，显然，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；…③当时，即﹣1＜a＜0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1或；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…综上所述，（1）当a＞0时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；（2）当a＜﹣1时，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；（3）当a=﹣1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（4）当﹣1＜a＜0时，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x1＜x2，则，．==…曲线在点M（x0，y0）处的切线斜率k=f'（x0）==，…依题意得：=．化简可得：=，即==．…设（t＞1），上式化为：，即．…令，=．因为t＞1，显然g'（t）＞0，所以g（t）在（1，+∞）上递增，显然有g（t）＞2恒成立．所以在（1，+∞）内不存在t，使得成立．综上所述，假设不成立．所以，函数f（x）不存在“中值相依切线”．…（14分）【点评】此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间，灵活运用中点坐标公式化简求值，掌握反证法进行命题证明的方法，是一道综合题，属难题．。
2023-2024学年广东省深圳外国语学校龙华中学高中部高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省深圳外国语学校龙华中学高中部高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a →=（x ，2，3），b →=（3，﹣4，﹣3），若（a →+b →）⊥a →，则x ＝（ ） A ．﹣4B ．4C ．﹣4或1D ．4或﹣12．椭圆x 29+y 27=1的焦距为（ ）A ．2√2B ．4C ．8D ．163．圆O 1：(x −3)2+(y +4)2=25与圆O 2：x 2+y 2+4x −8y −44=0的公切线条数为（ ） A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条4．若直线l ：y ＝kx −√3与直线2x +3y ﹣6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．[π6，π3）B ．（π6，π2）C ．（π3，π2）D ．[π3，π2]5．如图，在四面体OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，且OE →=12EA →，BF →=14BC →，则EF →=（ ）A ．13a →−34b →+14c →B ．13a →+34b →+14c →C ．−13a →−34b →+14c →D ．−13a →+34b →+14c →6．已知直线l 过定点A （2，3，1），且n →=（0，1，1）为其一个方向向量，则点P （4，3，2）到直线l 的距离为（ ） A ．3√22B ．√22C ．√102D ．√27．已知直线l ：λx ﹣y ﹣λ+1＝0和圆C ：x 2+y 2﹣4y ＝0交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为（ ） A ．2 B ．√2 C ．4 D ．2√28．关于曲线C ：1x 2+1y 2=1，有如下结论：①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线x ±y ＝0对称；③曲线C 是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π； ④曲线C 不是封闭图形，且它与圆x 2+y 2＝2无公共点；⑤曲线C 与曲线D ：|x |+|y |＝2√2有4个交点，这4点构成正方形； 其中所有正确结论的序号为（ ） A ．①②③⑤B ．①②④⑤C ．①②③④D ．①②③④⑤二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. 9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．若直线l 的方向向量为e →=(1，0，3)，平面α的法向量为n →=(−2，0，23)，则直线l ∥αB ．已知{a →，b →，c →}为空间的一个基底，若m →=a →+c →，则{a →，b →，m →}也是空间的基底 C ．若对空间中任意一点O ，有OP →=16OA →+13OB →+12OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 10．下列说法错误的是（ ）A ．“a ＝﹣1”是直线a 2x ﹣y +1＝0与直线x ﹣ay ﹣2＝0互相垂直的充要条件B ．若直线l 的一个方向向量是e →=(−1，√3)，则直线l 的斜率为−√3 C ．直线x 2−y3=1在y 轴上的截距为3D ．经过点P （1，1），倾斜角为θ的直线方程为y ﹣1＝tan θ•（x ﹣1）11．已知圆 C ：（x +2）2+y 2＝4，直线l ：（m +1）x +2y ﹣1+m ＝0（m ∈R ），则（ ） A ．直线l 恒过定点（﹣1，1）B ．当m ＝0时，圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于1C ．直线l 与圆C 有一个交点D ．若圆C 与圆x 2+y 2﹣2x +8y +a ＝0恰有三条公切线，则a ＝812．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M ，N ，P 分别是平面ADD 1A 1、平面CDD 1C 1、平面ABCD 的中心，点Q 是线段A 1C 1上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．PN 与A 1C 1所成角为π3B ．D 点到平面MNP 的距离为√33aC ．三棱锥M ﹣NPQ 的体积为定值124a 3D ．直线DQ 与平面A 1ACC 1所成角的正切值的最大值为12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．方程x 29−k +y 25+k =1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的范围是 ．14．若直线6x +my +2＝0与直线3x +y ﹣1＝0平行，则这两平行线间距离为 ．15．如图，平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，AB ＝AD ＝1，AA ′＝2，∠BAD ＝∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为 ．16．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若|PF |＝3|QF |，且∠PFQ ＝120°，则椭圆E 的离心率为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知△ABC 的三个顶点分别为A （1，0），B （﹣3，2），C （0，3）． （1）求AB 边上的高所在直线的方程； （2）求△ABC 的面积．18．（12分）如图，已知P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，P A ＝AD ＝2，AB ＝4，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．（1）求证：MN ∥平面P AD ； （2）求点D 到平面PMC 的距离．19．（12分）已知圆C ：x 2+y 2＝3，直线l 过点A （﹣2，0）．（1）当直线l与圆C相切时，求直线l的斜率；（2）线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．20．（12分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262﹣公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知平面直角坐标系xOy中的点E(√2，0)，F(2√2，0)，则满足|PF|=√2|PE|的动点P的轨迹记为圆E．（1）求圆E的方程；（2）过点Q（3，3）向圆E作切线QS，QT，切点分别是S，T，求直线ST的方程．21．（12分）如图，在棱长为a的正方体OABC﹣O′A′B′C′中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF．（1）求证：A′F⊥C′E；（2）当三棱锥B′﹣BEF的体积取得最大值时，求A′F与平面B′EF所成角的正弦值．22．（12分）已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）离心率等于√32且椭圆C经过点p(√3，12)．（1）求椭圆的标准方程C；（2）若直线y＝kx+m与轨迹C交于M，N两点，O为坐标原点，直线OM，ON的斜率之积等于−1 4，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．2023-2024学年广东省深圳外国语学校龙华中学高中部高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
2023-2024学年深圳外国语高二数学上学期期中考试卷附答案解析
2023-2024学年深圳外国语高二数学上学期期中考试卷（试卷满分150分，考试时间120分钟）2023.11第一部分选择题（共60分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知椭圆的标准方程22143x y +=，其焦距为（）A ．2B C ．1D ．122．设向量,,a b c不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（）A ．{,,}a b b a a +-B ．{,,}a b b a b +-C ．{,,}a b b a c +-D ．{,,}a b c a b c +++ 3．已知向量(1,2,2),(2,1,1)a b ==- ，则向量b 在向量a上的投影向量为（）A ．244,,999⎛⎫--- ⎪⎝⎭B ．244,,999⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．211,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．211,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是（）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒5．如图，在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c === ，且11,24OE EA BF BC ==，则EF = （）A ．131344a b c -+B ．131344a b c ++C ．131344a b c--+D ．131344a b c-++6．已知直线:10l mx y --=，若直线l 与连接()1,2A -、()2,1B 两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角范围为（）A ．ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3π,π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎢⎣⎦⎣⎭7．关于曲线24:1C x y +=下列说法：①关于点()0,0对称；②关于直线x 轴对称；③关于直线y x =对称；④曲线C 是封闭图形，面积小于π；⑤曲线C 是封闭图形，面积大于π；⑥曲线C 不是封闭图形无法计算面积.其中正确的序号（）A ．①②⑥B ．①②⑤C ．①②④D ．②③⑥8．当曲线y =240kx y k -+-=有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是（）A ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．5,14⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦D ．5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）9．下列命题中，正确的有（）A ．12,n n 分别是平面,αβ的法向量，若//αβ，则12//n nB ．12,n n 分别是平面,αβ的法向量，若120n n ⋅=，则αβ⊥C ．n u r 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，若0a n ⋅=，则//l αD ．n u r 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，若,120a n =︒r r ，则l 与平面α所成角为60︒10．下列各选项中，不正确的是（）A ．若ABCD 、、、是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=B ．对于非零向量,,,,a b a b a b 〈〉=〈--〉C ．若,AB CD共线，则//AB CDD ．对空间任意一点O 与不共线的三点、、A B C ，若OP xOA yOB zOC =++ （其中,,x y z ∈R ），则P A B C 、、、四点共面11．已知直线()()()21120m x m y m m ++---=∈R 与圆22:40C x x y -+=，则（）A ．对m ∀∈R ，直线恒过一定点B ．m ∃∈R ，使直线与圆相切C ．对m ∀∈R ，直线与圆一定相交D12．瑞士数学家欧拉(Euler)在1765年在其所著作的《三角形的几何学》－书中提出：三角形的外心(中垂线的交点)、重心(中线的交点)、垂心(高的交点)在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.若△ABC 的顶点A(－4，0)，B(0，4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则下列说法正确的是（）A ．△ABC 的外心为(－1，1)B ．△ABC 的顶点C 的坐标可能为(－2，0)C ．△ABC 的垂心坐标可能为(－2，0)D ．△ABC 的重心坐标可能为42,33⎛⎫- ⎪⎝⎭第二部分非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．椭圆221169y x +=的焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上不同于长轴端点的一点，则12PF F △的周长为．14．如图在平行六面体ABCD A B C D -''''中，312AB AD AA =='=，，，9060BAD BAA DAA ∠∠∠'='=︒=︒，，则AC '的长是．15．过点P （1，2）且在Ｘ轴，Ｙ轴上截距相等的直线方程是.16．据监测，在海滨某城市附近的海面有一台风.台风中心位于城市A 的东偏南60方向、距离城市的海面P 处，并以20/km h 的速度向西偏北30方向移动（如图示）.如果台风侵袭范围为圆形区域，半径120km ，台风移动的方向与速度不变，那么该城市受台风侵袭的时长为.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知直角ABC 的顶点坐标()30A -,，直角顶点()1,2B -，顶点C 在x 轴上．（1）求点C 的坐标；（2）求ABC 的斜边中线所在直线的方程．18．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为1,DD DB 的中点.(1)求证：//CF 面11ACD ；(2)求点1C 到平面1B CF 的距离.19．已知圆G 经过()()()1,3,4,2,5,5A B C -三点.(1)求圆G 的方程；(2)过点()3,3Q 向圆G 作切线,QS QT ，切点分别是,S T ，求直线ST 的方程.20．已知圆()22:116E x y ++=，点()1,0,F G是圆E 上任意一点，线段GF 的垂直平分线和半径GE 相交于H .(1)求动点H 的轨迹L 的方程；(2)若()()2,0,2,0A B -，过F 作直线l 与轨迹L 交于,M N 两点（不与,A B 重合），记直线AM 与BN 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值.21．在如图所示的四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD.（1）求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的大小；（2）设E 为PB 上的动点，直线CE 与平面PAB 所成的角为θ，求sin θ的最大值.22．已知A(3,0)，B(-3,0)，C 是动点，满足AC BC λ⋅=（λ为常数），过C 作x 轴的垂线，垂足为H ，记CH 中点M 的轨迹为Γ，(1)若Γ是椭圆，求此椭圆的离心率；(2)若(2,1)M 在Γ上，过点G(0,m)作直线l 与Γ交于P 、Q 两点，如果m 值变化时，直线MP 、MQ 的倾斜角总保持互补，求△MPQ 面积的最大值．1．A【分析】结合标准方程及椭圆,,a b c 关系可求得结果.【详解】由椭圆标准方程知：椭圆焦距为2=.故选：A.2．C【分析】依次判断四个选项中三个向量是否共面即可【详解】选项A ：由于()()2a b b a a +--= ，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；选项B ：由于()()2a b b a b ++-=，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；选项C ：若,,a b b a c +-三个向量共面，则存在,x y R ∈，使得()()()()c x a b y b a x y a x y b =++-=-++ ，则向量,,a b c 共面，矛盾，故,,a b b a c +- 三个向量不共面，因此可以作为空间的一个基底；选项D ：由于()a b c a b c ++=++，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；故选：C 3．B【分析】利用投影向量的定义结合已知条件直接求解即可.【详解】因为向量(1,2,2),(2,1,1)a b ==- ，所以向量b 在向量a上的投影向量为2222244(1,2,2),,144999a b a a b a aa a⋅⋅-++⎛⎫⋅=⋅=⋅= ⎪++⎝⎭，故选：B4．D【分析】若E 为CN 中点，连接1,ME A E 有//ME DN ，异面直线所成角即为1A ME ∠，进而求其大小.【详解】若E 为CN 中点，连接1,ME A E ，又M 是CD 的中点，则//ME DN，所以1A M 与DN 所成角，即为1A M 与ME 所成角1A ME ∠，令正方体棱长为2，则13A M =，1412A E =，52ME =，在△1A ME 中22211A M ME A E +=，则190A ME ∠=︒.故选：D 5．D【分析】利用空间向量基本定理求解出3144OF b c =+ ，从而求出131344EF OF OE a b c=-=-++ .【详解】因为14BF BC = ，所以1131()4444OF OB BF OB BC OB OC OB b c=+=+=+-=+ ，又1123OE EA a == ，所以131344EF OF OE a b c=-=-++ ．故选：D6．D【分析】根据直线过定点，即可根据斜率公式求解边界线的斜率，即可根据斜率与倾斜角的关系求解.【详解】直线l 的方程可得01x y =⎧⎨=-⎩，所以，直线l 过定点()0,1P -，设直线l 的斜率为k ，直线l 的倾斜角为α，则0πα≤<，因为直线PA 的斜率为()12101---=--，直线PB 的斜率为11102--=-，因为直线l 经过点()0,1P -，且与线段AB总有公共点，所以11k -≤≤，即ta 11n α-≤≤，因为0πα≤<，所以π04α≤≤或3ππ4α≤<，故直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：D ．7．B 【分析】将(),x y --、(),x y -和(),y x 代入曲线C 方程可确定①②③的正误；根据,x y 的范围，结合当011y -<<时，4200y y <可确定曲线C 围成封闭图形的面积大于圆221x y +=的面积，知④⑤⑥正误.【详解】对于①，将(),x y --代入曲线C 方程得：()()24241x y x y -+-=+=，∴曲线C 关于点()0,0对称，①正确；对于②，将(),x y -代入曲线C 方程得：()42241x y x y +-=+=，∴曲线C 关于直线x 轴对称，②正确；对于③，将(),y x 代入曲线C 方程得：241y x +=，与曲线C 方程不同，∴曲线C 不关于直线y x =对称，③错误；对于④⑤⑥，由241x y +=知：11x -≤≤，11y -≤≤，则曲线C 为封闭图形；在曲线C 上取一点()00,M x y ，当011y -<<时，4200y y <，222400001x y x y ∴+>+=，即点M 在圆221x y +=外，∴曲线C 围成封闭图形的面积大于圆221x y +=的面积π，⑤正确，④⑥错误.故选：B.8．C【分析】确定曲线为圆的下半部分，确定直线的定点，根据直线与半圆相切时得到斜率，再计算1AC k =，结合图像得到答案.【详解】y =224x y +=，()0y ≤，是圆的下半部分，直线240kx y k -+-=过定点()2,4A --，且()2,0C ，()2,0D -，画出图像，如图所示：当直线与半圆相切且斜率存在时，圆心到直线的距离2d =，解得34k =，4122AC k ==+，根据图像知：3,14k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：C 9．AB【分析】根据平面向量的法向量的位置关系，直接判断面面，线面位置关系和线线角即可得到答案.【详解】选项A.12,n n 分别是平面,αβ的法向量，若//αβ，则12//n n ，正确.选项B.12,n n分别是平面,αβ的法向量，若120n n ⋅= ，则αβ⊥,正确选项C.n u r 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，若0a n ⋅= ，则//l α或l ⊂α，故不正确.选项D.n u r 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，若,120a n =︒r r ，则l 与平面α所成角为30︒，故不正确故选：AB 10．ACD【分析】由空间向量的概念和运算对选项逐一判断.【详解】解：A 选项：若A B C D 、、、是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=uu u r uu u r uu u r uu u r r，故A 错误；B 选项：因为()()cos ,cos ,a b a b a b a b a b a b--===----，且向量夹角范围为[]0,π，所以,,a b a b 〈〉=〈--〉，故B 正确；C 选项：若,AB CD 共线，则//AB CD 或,,,A B C D 四点共线，故C 错误；D 选项：对空间任意一点O 与不共线的三点、、A B C ，若OP xOA yOB zOC =++（其中,,x y z ∈R ），则()()()OP x y z OA y OB OA z OC OA =+++-+- ,即()OP x y z OA yAB zAC-++=+ 当1x y z ++=时，AP y AB z AC =+，此时P A B C 、、、四点共面，当1x y z ++≠时，此时P A B C 、、、四点不共面，故D 错误.故选：ACD 11．AC【分析】通过直线转化为直线系，求出直线恒过定点；根据定点与圆的位置关系，即可判断圆与直线的位置关系；当圆心与定点的连线与直线垂直时，即可求得直线被圆所截得的最短弦长.【详解】()()():21120l m x m y m m ++---=∈R ，即(21)(2)0x y m x y --++-=，令21020x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，所以直线恒过点(1,1)P ，故A 正确；圆22:(2)4C x y -+=，圆心(2,0)C ，半径2r =.因为||PC r =<，所以点(1,1)P 在圆C 内，所以直线与圆一定相交，故B 错误，C 正确；当PC l ⊥时，直线与圆相交且直线被圆所截得的弦长最短，最短弦长为=D 错误.故选：AC 12．ACD【分析】求出直线AB 的垂直分线方程，联立欧拉方程可求得外心坐标，判断A;求出外接圆方程，表示出重心，坐标，代入到外接圆方程中，可求得C 的坐标，进而判断B,D 的对错；写出过C 和直线AB 垂直的可能的方程，和欧拉方程联立求得垂心坐标，可判断C.【详解】由顶点A(－4，0)，B(0，4)，可知直线AB 的垂直分线方程为y x =-，ABC 的外心在直线x －y ＋2＝0上，联立20x y y x ⎧⎨=-⎩－＋＝，可得外心坐标为(－1，1)，故A 正确；设外心为G,则G(－1，1)，故||GA =,所以外接圆方程为22(1)(1)10x y ++-=，设(,)C x y ，则ABC 的重心为44(,33x y -+，代入欧拉线方程为x －y ＋2＝0中，得：20x y --=，和22(1)(1)10x y ++-=联立，解得20x y ⎧⎨=⎩＝或02x y ⎧⎨=-⎩＝，即C 点坐标可以为(2,0),(0,2)-，故B 错误；由C 点坐标为(2,0),(0,2)-，可知重心可能为2442(,,3333--，故D 正确；当C 点坐标为(2,0)时，过C 和AB 垂直的直线方程为2y x =-+，联立欧拉线方程为x －y ＋2＝0可解得垂心坐标为(0,2)；当C 点坐标为(0,2)-时，过C 和AB 垂直的直线方程为2y x =--，联立欧拉线方程为x －y ＋2＝0可解得垂心坐标为(2,0)-，故C 正确，故选：ACD.13．8+【分析】根据椭圆方程可得,a b ，计算出c ，然后根据椭圆的定义和焦距的定义可得三角形的周长.【详解】由221169y x +=可得216a=，29b=，所以2221697c a b =-=-=，所以c =所以12||2F F c ==根据椭圆的定义可得12||||28PF PF a +==，所以12PF F △的周长为：1212||||||8PF PF F F ++=+故答案为：8+【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的定义、几何性质，属于基础题.14【分析】根据题意，由条件可得AC AB AD AA =+'+' ，再由空间向量的模长公式，即可得到结果.【详解】因为AC AB AD AA =+'+' ，所以()22222ACAB AD AA AB AD AA '''=++=++ 2cos 902cos 602cos 609140AB AD AB AA AD AA ''+⋅︒+⋅︒+⋅︒=+++112322122222+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，则AC = AC '15．2x-y=0或x+y-3=0【详解】试题分析：当直线过原点时，可设直线的方程为y kx =，代入点P （1，2）可得2k =，故方程为2y x =，化为一般式可得20x y -=；当直线不过原点时，可设直线的方程为1x ya a +=，代入点P （1，2）可得3a =，故方程为133x y +=，化为一般式可得30x y +-=；综上可得所求直线的方程为：2030x y x y -=+-=或.故答案为2030x y x y -=+-=或.考点：直线的截距式方程．16．6小时【分析】当城市距离台风中心小于等于120km 时，城市开始受到台风侵袭，所以只要城市距离台风移动方向大于等于120km 即可；由题意，画出图形解三角形．【详解】解：由题意如图，设台风中心到达Q，开始侵袭城市，到达O则结束侵袭.在△AQP中，AQ＝120km，AP＝，∠APQ＝30°，∠PAQ＝180°﹣30°﹣∠Q＝150°﹣∠Q，由正弦定理得到120A30 sin QP sin∠=︒，所以∠A QP＝120°,∠A OP=60°，所以△AQO为等边三角形.所以120OQ=所以该城市会受到台风的侵袭时长为1206 20=小时．【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用；关键是由题意将问题转化为解三角形的问题17．（1）C()2,0；（2）4320x y++=.【分析】（1）由题意利用直线的斜率公式，两条直线垂直与直线斜率的关系，求得点C的坐标．（2）先求出斜边中点的坐标，再求出中线的斜率，用点斜式求出中线的方程．【详解】（1）直角ABC的顶点坐标()30A-,，直角顶点()1,2B-，顶点C在x轴上，设(),0C m，则02021311AB CBk km++⋅=⋅=----，求得2m=，故C()2,0．（2）斜边AC的中点为1(,0)2M-，BM的斜率为0241312+=---，故BM的方程为4132y x⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，即4320x y++=．【点睛】本题主要考查直线的斜率公式，两条直线垂直与直线斜率的关系，用点斜式求直线的方程，属于基础题．18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由平行四边形性质可知11//CF A C，由线面平行判定定理可证得结论；（2）利用等体积法1111F B C C C B CFV V--=构造方程求得结果.【详解】（1）连接1111,,,A C A D C D AF，11//AA CC ，11AA CC =，∴四边形11ACC A 为平行四边形，11//AC A C ∴，即11//CF A C ，又11A C ⊂平面11AC D ，CF ⊄平面11AC D ，//CF ∴平面11AC D .（2）连接11,B F C F，CF =，1B C =1B F =22211B F CF B C ∴+=，即1B F CF ⊥，111122B FC S B F CF ∴=⋅== F 为BD 中点，∴点F 到平面11BCC B 的距离为112CD =，又111111122222B C C S B C CC =⋅=⨯⨯= ，1111112323F B C C B C C V S CD -∴=⋅= ，1111F B C C C B CF V V --= ，∴点1C 到平面1B CF的距离11123133F B C C B CFVd S-==.19．(1)2224200x y x y +-+-=(2)25170x y +-=分析】（1）假设圆的一般方程，代入,,A B C 三点坐标即可构造方程组求得结果；（2）弦ST 是以QG 为直径的圆与圆G 的公共弦，求得以QG 为直径的圆的方程后，与圆G 方程作差即可求得结果.【详解】（1）设圆G 方程为：()22220,,,40x y Dx Ey F D E F D E F ++++=∈+->R ，圆G 过点()()()1,3,4,2,5,5A B C -，10302042050550D E F D E F D E F +++=⎧⎪∴+++=⎨⎪+-+=⎩，解得：2420D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩（满足2240D E F +->），∴圆G 方程为：2224200x y x y +-+-=.（2）由（1）知：圆G 的圆心()1,2G -，半径5r ==；,QS QT 与圆G 相切，,S T ∴在以QG为直径的圆上，QG == QG 中点为12,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴以QG 为直径的圆的方程为：()22129224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即22430x y x y +---=，由222243024200x y x y x y x y ⎧+---=⎨+-+-=⎩得：25170x y +-=，即直线ST 的方程为：25170x y +-=.20．(1)22143x y +=；(2)证明见解析.【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可；（2）联立直线与椭圆的方程，并根据韦达定理得到1212,y y y y +，表示出斜率后化简即可得证.【详解】（1）圆()22:116E x y ++=，圆心(1,0)E -，半径4r =因为线段GF 的垂直平分线和半径GE 相交于H ，所以||||HG HF =，所以||||||||||4||HE HF HE HG EG r EF +=+===>，所以点H 的轨迹是以(1,0)E -，()1,0F 为焦点，且长轴长为4的椭圆.故2222,1,3a c b a c ===-=，所以点H 的轨迹L 的方程是22143x y +=.（2）证明：因为直线l 不与,A B 重合，所以直线l 斜率不为0，故设1122:1,(,),(,)l x my M x y N x y =+.22221(34)690431x y m y my x my ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩所以122122634934my y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩111121212221112112221222299343496273()3334343)42(12)1(1232m m y y m m m my m y k x y m y y y y my y y k m y my my m y x m y ----++-+--++--======+++-+--++，所以12k k 为定值13.21．（1）3π；（2）427.【分析】取AD 的中点O ，取BC 的中点F ，连接,OP OF ，以{,,}OF OD OP 为正交基底建立如图所示空间直角坐标系O xyz -.（1）求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角得二面角；（2）设BE BP λ=u u u r u u u r ，[0,1]λ∈，求出CE 与平面PAB 法向量夹角的余弦的绝对值，利用函数的知识求得最大值．【详解】解：取AD 的中点O ，取BC 的中点F ，连接,OP OF ，因为底面ABCD 是正方形，∴OF AD ⊥，∵△PAD 是正三角形，O 为AD 的中点，∴OP AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，OP ⊂平面PAD ，∴OP⊥平面ABCD，以{,,}OF OD OP为正交基底建立如图所示空间直角坐标系O xyz-.⑴P,(0,1,0)A-，(2,1,0)B-,则(2,0,0)AB=uu u r，AP=，设(,,)m x y z= 为平面PAB的一个法向量，则20m AB xm AP y⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，则0x=，令1z=，得y=，(0,m=，P,(2,1,0)C，(0,1,0)D,则(2,0,0)DC=，(0,DP=-，设(,,)n a b c= 为平面PCD的一个法向量，则20n DC an DP b⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，则0a=，令1c=，得b=n=，∴21cos,222||||m nm nm n⋅-<>===-⨯，又,[0,]m nπ<>∈，∴2,3m nπ<>=，∴面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小为3π.⑵设BE BPλ=u u u r u u u r，[0,1]λ∈，则((2,)BEλλλ=-=-，则(0,2,0)(2,)(2,)CE CB BEλλλλ=+=-+-=--，因为直线CE与平面PAB所成的角为θ，∴||sin|cos,|||||CE mCE mCE mθ⋅=<>=7==，当且仅当14λ=时取等号，故求sinθ的最大值为7.【点睛】方法点睛：本题考查空间向量法求直线与平面所成的角，求二面角．求空间角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出空间的平面角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角）并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出直线方向向量，平面的法向量，利用直线方向向量的夹角得异面直线所成角（相等或互补），直线方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值得直线与平面所成角的正弦值，两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．22．(1)(2)2【分析】（1）根据条件，列方程即可；（2）根据条件设直线l 的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理求出PQ 和M 点到直线l 的距离，再计算三角形MPQ 的面积，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）设M(x,y)，则22(,2),(3,2)(3,2)94C x y AC BC x y x y x y λ⋅=-⋅+=-+= ，∴Γ方程为2249x y λ+=+，仅当9λ>-时此方程表示椭圆224199x y λλ+=++，此时，a c ==2e ∴=.（2）把(2,1)P 代入2249x y λ+=+，得1λ=-，∴Γ方程为2248x y +=，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直线l 方程为y=kx+m ，代入Γ方程可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0，2121222848,1414km m x x x x k k -∴+=-=++①，∵直线MP 、MQ 的倾斜角互补，∴MP MQ k k =-，1212()1()122kx m kx m x x +-+-∴=---，化简得12122(21)()440kx x m k x x m +--++-=②，把①代入，整理得2(21)(441)0k m k k -+-+=，2210,4410k k k ∴-=-+=，12k ∴=，此时，212122,24,x x m x x m +=-=-直线l 方程为12y x m =+，∴12||||PQ x x =-=，P 到直线l距离d MPQ面积221(4)|||222m m S d PQ m +-==≤=，当m =2216(28)0k m ∆=+->，∴MPQ 面积的最大值为2；综上，椭圆Γ的离心率2e =，MPQ 面积的最大值为2.。
2020-2021学年广东省深圳外国语学校高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年广东省深圳外国语学校高二（上）期中数学试卷试题数：21.满分：1501.（单选题.5分）已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球.则命题￢p为（）A.某班至多有一个男生爱踢足球B.某班至少有一个男生不爱踢足球C.某班所有的男生都不爱踢足球D.某班所有的女生都爱踢足球2.（单选题.5分）若命题“∃x0∈R.x02+2mx0+m+2＜0”为假命题.则m的取值范围是（）A.-1≤m≤2B.-1＜m＜2C.m≤-1或m≥2D.m＜-1或m＞23.（单选题.5分）已知抛物线x2=4y上的一点P到此抛物线的焦点的距离为2.则点P的纵坐标是（）A.0B. 12C.1D.24.（单选题.5分）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F.若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点.则此双曲线离心率的取值范围是（）A.（1.2]B.（1.2）C.[2.+∞）D.（2.+∞）5.（单选题.5分）过点P（0.1）与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有（）A.4条B.3条C.2条D.1条6.（单选题.5分）已知椭圆C：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√32.直线l与椭圆C交于A.B两点.且线段AB的中点为M（-2.1）.则直线l的斜率为（）A. 13B. 32C. 12D.17.（单选题.5分）已知双曲线C：x2a2 - y2b2=1（a＞0.b＞0）的右焦点为F.O为坐标原点.以F为圆心、OF为半径的圆与x轴交于O.A两点.与双曲线C的一条渐近线交于点B．若AB=4a.则双曲线C的渐近线方程为（）A.y=±xB.y=±2xC.y=±3xD.y=±4x8.（单选题.5分）已知点P在以F1.F2为焦点的双曲线x2a2 - y2b2=1（a＞0.b＞0）上.过P作y轴的垂线.垂足为Q.若四边形F1F2PQ为菱形.则该双曲线的离心率为（）A. 1+√22B. 1+√32C.1 +√2D.1+ √39.（多选题.5分）下列命题中.真命题是（）A.若x.y∈R且x+y＞2.则x.y至少有一个大于1B.∀x≠kπ（k∈Z）.sin2x+ 2sin2x的最小值为2 √2C.a+b=0的充要条件是ab=-1D.若∃x∈R.x2+m≤0.则m的取值范围是{m|m≤0}10.（多选题.5分）命题“∃x∈[1.2].x2-a≥0”是真命题的一个充分不必要条件是（）A.a≤1B.a≤2C.a≤4D.a≤511.（多选题.5分）已知双曲线C过点（3. √2）且渐近线为y=± √33x.则下列结论正确的是（）A.C的方程为x23-y2=1B.C的离心率为√3C.曲线y=e x-2-1经过C的一个焦点D.直线x- √2y -1=0与C有两个公共点12.（多选题.5分）设椭圆的方程为x22 + y24=1.斜率为k的直线不经过原点O.而且与椭圆相交于A.B两点.M为线段AB的中点．下列结论正确的是（）A.直线AB与OM垂直B.若点M（1.1）.则直线方程为2x+y-3=0C.若直线方程为y=x+1.则点M（13 . 34）D.若直线方程为y=x+2.则AB= 4√2313.（填空题.5分）抛物线y2=12x上到焦点的距离等于9的点的坐标是___ ．14.（填空题.5分）与椭圆x249+y224=1有公共焦点.且离心率e= 54的双曲线的方程___ ．15.（填空题.5分）已知椭圆C：x28 + y26=1的左、右顶点分别为A、B．点P为圆x2+y2=8上不同于A、B两点的动点.直线PB与椭圆C交于点Q.若直线PA斜率的取值范围是[1.2].则直线QA斜率的取值范围是___ ．16.（填空题.5分）已知命题p：“至少一个实数x∈{x|1≤x≤2}.使不等式x2+2ax+2-a＞0成立”则命题p的否定是___ ；若￢p是假命题.则a的取值范围是___ ．17.（问答题.10分）已知抛物线的顶点为椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的中心．两曲线的焦点在同一坐标轴上.椭圆的长轴长为4．抛物线与椭圆交于点M(23，−2√63) .求抛物线方程与椭圆方程．18.（问答题.12分）已知椭圆的焦距为2.离心率e= 12．（1）求椭圆的方程；（2）设点P是椭圆上一点.且∠F1PF2=60°.求△PF1F2的面积．19.（问答题.12分）已知椭圆E：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1.F2.上顶点为M.且△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l：y=-x+m与椭圆E交于A.B两点.以AB为直径的圆与y轴相切.求m的值．20.（问答题.12分）已知点A.B是抛物线C：y2=2px（p＞0）上关于x轴对称的两点.点E是抛物线C的准线与x轴的交点．（1）若△EAB是面积为4的直角三角形.求抛物线C的方程；（2）若直线BE与抛物线C交于另一点D.证明：直线AD过定点．21.（问答题.12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左.右焦点分别为F1(−√3，0) .F2(√3，0) .且经过点A(√3，12)．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点B（4.0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P.Q两点.记点P关于x轴对称的点为P'．若直线P'Q与x轴相交于点D.求△DPQ面积的最大值．2020-2021学年广东省深圳外国语学校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：1501.（单选题.5分）已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球.则命题￢p为（）A.某班至多有一个男生爱踢足球B.某班至少有一个男生不爱踢足球C.某班所有的男生都不爱踢足球D.某班所有的女生都爱踢足球【正确答案】：B【解析】：命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题.它的否定是一个特称命题.书写其否定时不光要否定结论还要改变量词.由此规律易得其否定．【解答】：解：命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题.它的否定是一个特称命题. 考察四个命题.（3）“某班至少有一个男生不爱踢足球”是所研究命题的否定．故选：B．【点评】：本题考查命题的否定.要注意研究命题的类型.根据其形式是全称命题得出其否定是一个特称命题是解题的关键．2.（单选题.5分）若命题“∃x0∈R.x02+2mx0+m+2＜0”为假命题.则m的取值范围是（）A.-1≤m≤2B.-1＜m＜2C.m≤-1或m≥2D.m＜-1或m＞2【正确答案】：A【解析】：由于命题：“∃x0∈R.使得x02+2mx0+m+2＜0”为假命题.可得命题的否定是：“∀x∈R.x2+2mx+m+2≥0”为真命题.通过△≤0.解出即可．【解答】：解：∵命题：“∃x0∈R.使得x02+2mx0+m+2＜0”为假命题.∴命题的否定是：“∀x∈R.x2+2mx+m+2≥0”为真命题.∴△≤0.即4m2-4（m+2）≤0.解得-1≤m≤2．∴实数m的取值范围是[-1.2]．故选：A．【点评】：本题考查了非命题、一元二次不等式恒成立与判别式的关系.属于基础题．3.（单选题.5分）已知抛物线x2=4y上的一点P到此抛物线的焦点的距离为2.则点P的纵坐标是（）A.0B. 12C.1D.2【正确答案】：C【解析】：先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程.进而根据抛物线的定义可知点p到焦点的距离与到准线的距离相等.进而推断出y p+1=2.求得y p．【解答】：解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0.1）.准线方程为y=-1.根据抛物线定义.∴y p+1=2.解得y p=1．故选：C．【点评】：本题主要考查抛物线的定义：抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等.常可用来解决涉及抛物线焦点的直线或焦点弦的问题．4.（单选题.5分）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F.若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点.则此双曲线离心率的取值范围是（）A.（1.2]B.（1.2）C.[2.+∞）D.（2.+∞）【正确答案】：C【解析】：若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点.则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．【解答】：解：已知双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0) 的右焦点为F. 若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点. 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ba . ∴b a≥ √3 .离心率e 2= c 2a 2=a 2+b 2a 2≥4 .∴e≥2. 故选：C ．【点评】：本题考查双曲线的性质及其应用.解题时要注意挖掘隐含条件．5.（单选题.5分）过点P （0.1）与抛物线y 2=x 有且只有一个交点的直线有（ ） A.4条 B.3条 C.2条 D.1条【正确答案】：B【解析】：过点P （0.1）的直线与抛物线y 2=x 只有一个交点.则方程组 {y =kx +1y 2=x 只有一解.分两种情况讨论即可：（1）当该直线存在斜率时；（2）该直线不存在斜率时；【解答】：解：（1）当过点P （0.1）的直线存在斜率时.设其方程为：y=kx+1. 由 {y =kx +1y 2=x.消y 得k 2x 2+（2k-1）x+1=0.① 若k=0.方程为-x+1=0.解得x=1.此时直线与抛物线只有一个交点（1.1）； ② 若k≠0.令△=（2k-1）2-4k 2=0.解得k= 14.此时直线与抛物线相切.只有一个交点； （2）当过点P （0.1）的直线不存在斜率时. 该直线方程为x=0.与抛物线相切只有一个交点；综上.过点P （0.1）与抛物线y 2=x 有且只有一个交点的直线有3条． 故选：B ．【点评】：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系与分类讨论思想.解决基本方法是：（1）代数法.转化为方程组解的个数问题；（2）几何法.数形结合；6.（单选题.5分）已知椭圆C ： x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的离心率为 √32 .直线l 与椭圆C 交于A.B 两点.且线段AB 的中点为M （-2.1）.则直线l 的斜率为（ ）A. 13B. 32C. 12D.1【正确答案】：C【解析】：由椭圆的离心率可得a.b的关系.得到椭圆方程为x2+4y2=4b2.设出A.B的坐标并代入椭圆方程.利用点差法求得直线l的斜率．【解答】：解：由e=ca =√32.得c2a2=a2−b2a2=34.∴a2=4b2.则椭圆方程为x2+4y2=4b2. 设A（x1.y1）.B（x2.y2）.则x1+x2=-4.y1+y2=2.把A.B的坐标代入椭圆方程得：{x12+4y12=4b2①x22+4y22=4b2②.① - ② 得：（x1-x2）（x1+x2）=-4（y1-y2）（y1+y2）.∴ y1−y2 x1−x2=−x1+x24(y1+y2)=−−44×2=12．∴直线l的斜率为12．故选：C．【点评】：本题考查椭圆的简单性质.训练了利用“点差法”求中点弦的斜率.是中档题．7.（单选题.5分）已知双曲线C：x2a2 - y2b2=1（a＞0.b＞0）的右焦点为F.O为坐标原点.以F为圆心、OF为半径的圆与x轴交于O.A两点.与双曲线C的一条渐近线交于点B．若AB=4a.则双曲线C的渐近线方程为（）A.y=±xB.y=±2xC.y=±3xD.y=±4x【正确答案】：B【解析】：利用已知条件推出渐近线的斜率关系.然后求解渐近线的斜率.得到渐近线方程．【解答】：解：由题意可得OB2+OA2=4c2.设渐近线的倾斜角为α.可得tanα= ADDF =√c2−4a2= ba.可得4a4=b4-2a2b2.解得ba=2．所以双曲线的渐近线方程为：y=±2x．故选：B．【点评】：本题考查思想的简单性质的应用.是基本知识的考查．8.（单选题.5分）已知点P在以F1.F2为焦点的双曲线x2a2 - y2b2=1（a＞0.b＞0）上.过P作y轴的垂线.垂足为Q.若四边形F1F2PQ为菱形.则该双曲线的离心率为（）A. 1+√22B. 1+√32C.1 +√2D.1+ √3【正确答案】：B【解析】：求出P的坐标.代入双曲线方程.得出e的方程.即可求出双曲线的离心率．【解答】：解：由题意.∠PF2x=60°.∴P（2c. √3 c）.代入x 2a2 - y2b2=1.可得4c2a2- 3c2b2=1.∴4e4-8e2+1=0. ∵e＞1.∴e= 1+√32．故选：B．【点评】：本题考查双曲线的离心率.考查学生的计算能力.正确求出P的坐标是关键．9.（多选题.5分）下列命题中.真命题是（）A.若x.y∈R且x+y＞2.则x.y至少有一个大于1B.∀x≠kπ（k∈Z）.sin2x+ 2sin2x的最小值为2 √2C.a+b=0的充要条件是ab=-1D.若∃x∈R.x2+m≤0.则m的取值范围是{m|m≤0}【正确答案】：AD【解析】：直接利用反证法.基本不等式的应用.充分条件和必要条件.存在性问题的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】：解：对于A：利用反证法.假设x≤1和y≤1.则x+y≤2.故与x+y＞2相矛盾.故A正确；对于B：对∀x≠kπ（k∈Z）.sin2x+ 2sin2x ≥ 2√sin2x•2sin2x.当且仅当sinx=±√2 .等号成立.与函数y=sinx的值域相矛盾.故B错误；对于C：a+b=0的充要条件为a和b互为相反数.故C错误；对于D：若∃x∈R.x2+m≤0.则m≤（-x2）max=0.故m的取值范围为{m|m≤0}.故D正确．故选：AD．【点评】：本题考查的知识要点：反证法.基本不等式的应用.充分条件和必要条件.存在性问题的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题．10.（多选题.5分）命题“∃x∈[1.2].x2-a≥0”是真命题的一个充分不必要条件是（）A.a≤1B.a≤2C.a≤4D.a≤5【正确答案】：AB【解析】：本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a≤4}.从集合的角度充分不必要条件应为{a|a≤4}的真子集.由选择项不难得出答案．【解答】：解：命题“∃x∈[1.2].x 2-a≥0”是真命题. 即只需a≤（x 2）max =4.即命题“∃x∈[1.2].x 2-a≥0”是真命题的充要条件为a≤4.而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≤4}的真子集.由选择项可知AB 符合题意． 故选：AB ．【点评】：本题为找命题一个充分不必要条件.还涉及存在性问题.属于基础题．11.（多选题.5分）已知双曲线C 过点（3. √2 ）且渐近线为y=± √33x.则下列结论正确的是（ ）A.C 的方程为 x 23 -y 2=1 B.C 的离心率为 √3C.曲线y=e x-2-1经过C 的一个焦点D.直线x- √2y -1=0与C 有两个公共点 【正确答案】：AC【解析】：根据条件可求出双曲线C 的方程.再逐一排除即可．【解答】：解：设双曲线C的方程为 x 2m +y 2n=1（mn ＜0）. 根据条件可得 9m + 2n =1.且- nm = 13 . 解得m=3.n=-1. 所以双曲线C 的方程为x 23−y 2=1 .故A 对；离心率e= c a = √a 2+b 2a 2 = √3+13 = 2√33.故B 错；双曲线C 的焦点为（2.0）.（-2.0）.将x=2代入得y=e 0-1=0.所以C 对；联立 {x 23−y 2=1x −√2y −1=0.整理得y 2-2 √2 y+2=0.则△=8-8=0.故只有一个公共点.故D 错.故选：AC ．【点评】：本题考查双曲线的性质.根据条件求出双曲线C 的方程是关键.属于中档题． 12.（多选题.5分）设椭圆的方程为 x 22 + y 24 =1.斜率为k 的直线不经过原点O.而且与椭圆相交于A.B 两点.M 为线段AB 的中点．下列结论正确的是（ ） A.直线AB 与OM 垂直B.若点M （1.1）.则直线方程为2x+y-3=0C.若直线方程为y=x+1.则点M （ 13 . 34 ） D.若直线方程为y=x+2.则AB= 4√23 【正确答案】：BD【解析】：设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.M （m.n ）.将A.B 的坐标代入椭圆方程.两式相减.运用平方差公式和中点坐标公式、斜率公式.可判断A ；求得OM 的斜率.可得AB 的斜率.可判断B ；联立直线y=x+1与椭圆方程.运用韦达定理和中点坐标公式.可判断C ；联立直线方程和椭圆方程.运用弦长公式可判断D ．【解答】：解：设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.M （m.n ）.由 y 124 + x 122 =1. y 224 + x 222 =1.两式相减可得 (y 1−y 2)(y 1+y 2)4 + (x 1−x 2)(x 1+x 2)2 =0.由m=x 1+x 22 .n= y 1+y 22.代入上式可得k AB k OM =-2.故A 错误；由上面可得k AB k OM =-2.且k OM =1.可得k AB =-2.则直线方程为y-1=-2（x-1）.即2x+y-3=0.故B 正确；由 {y =x +12x 2+y 2=4可得3x 2+2x-3=0.可得x 1+x 2=- 23 .则中点M （- 13 . 23 ）.故C 错误； 由 {y =x +22x 2+y 2=4 可得3x 2+4x=0.解得x 1=0.x 2=- 43 .则|AB|= √1+1 •|0+ 43 |= 4√23 .故D 正确． 故选：BD ．【点评】：本题考查椭圆的方程和性质.以及直线和椭圆的位置关系.注意运用点差法和联立直线方程和椭圆方程.考查方程思想和运算能力.属于中档题．13.（填空题.5分）抛物线y 2=12x 上到焦点的距离等于9的点的坐标是___ ． 【正确答案】：[1]（6.±6 √2 ）【解析】：根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离.可得所求点的横坐标.即可求得结论．【解答】：解：抛物线y 2=12x 的准线方程为x=-3 ∵抛物线y 2=12x 上点到焦点的距离等于9∴根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离.可得所求点的横坐标为6 代入抛物线方程.可得y 2=72.∴y=±6 √2 即所求点的坐标为（6.±6 √2 ）故答案为：（6.±6 √2 ）．【点评】：本题考查抛物线的定义.考查学生的计算能力.属于基础题． 14.（填空题.5分）与椭圆x 249+y 224=1有公共焦点.且离心率e= 54的双曲线的方程___ ．【正确答案】：[1] x 216 - y 29 =1【解析】：求出椭圆的焦点.可得c=5.由离心率公式可得a=4.由a.b.c 的关系可得b=3.即可得到双曲线的方程．【解答】：解：椭圆 x 249+y 224=1的焦点为（ ±√49−24 .0）即为（±5.0）.则双曲线的c=5.由离心率e= 54.则 c a= 54.则有a=4.b= √c 2−a 2 =3.则双曲线的方程为 x 216 - y 29=1.故答案为： x 216 - y 29 =1．【点评】：本题考查椭圆和双曲线的方程和性质.考查离心率公式的运用.考查运算能力.属于基础题和易错题．15.（填空题.5分）已知椭圆C ： x 28 + y 26 =1的左、右顶点分别为A 、B ．点P 为圆x 2+y 2=8上不同于A 、B 两点的动点.直线PB 与椭圆C 交于点Q.若直线PA 斜率的取值范围是[1.2].则直线QA 斜率的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1][ 34，32]【解析】：由椭圆的第三定义可知.直线QA 与直线QB 的斜率之积为 −b 2a 2 .结合直线PA 与QB 的斜率之积为-1.即可将QA 的斜率用PA 的斜率表示出来.问题即可解决．【解答】：解：易知：AB 既是圆的直径.也是椭圆的长轴. 且a 2=8.b 2=6.由椭圆的第三定义可知： kQA •k QB =−b 2a2=−34① .又P 在圆上.所以PA⊥PB .所以k PA •k QB =-1． ② . 结合 ① ② 可知： k QA =34k PA .因为k PA ∈[1.2]. 故 k QA ∈[34，32] ．故答案为：[ 34，32 ]．【点评】：本题考查椭圆的性质、圆的性质的综合应用.以及函数思想在解题时的应用．属于中档题．16.（填空题.5分）已知命题p ：“至少一个实数x∈{x|1≤x≤2}.使不等式x 2+2ax+2-a ＞0成立”则命题p 的否定是___ ；若￢p 是假命题.则a 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1]∀x∈[1.2].x 2+2ax+2-a ＞0无解; [2]（-3.+∞） 【解析】：根据特称命题的性质进行求解即可．【解答】：解：￢p ：∀x∈[1.2].x 2+2ax+2-a ＞0无解. ∵￢p 是假命题. 令f （x ）=x 2+2ax+2-a. 则 {f (1)≤0f (2)≤0.即 {1+2a +2−a ≤04+4a +2−a ≤0 .解得a≤-3．故命题p 中.a ＞-3．即参数a 的取值范围为（-3.+∞）． 故答案为：∀x∈[1.2].x 2+2ax+2-a ＞0无解. （-3.+∞）．【点评】：本题主要考查特称命题的应用.将条件转化为求不等式组的范围． 17.（问答题.10分）已知抛物线的顶点为椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1 （a ＞b ＞0）的中心．两曲线的焦点在同一坐标轴上.椭圆的长轴长为4．抛物线与椭圆交于点 M (23，−2√63) .求抛物线方程与椭圆方程．【正确答案】：【解析】：由题意可设抛物线的方程为y2=mx（m≠0）．把点代入M(23，−2√63)抛物线方程即可得到m．把点M(23，−2√63)代入椭圆的方程可得49a2+249b2=1 .又2a=4.联立即可解得．【解答】：解：∵椭圆的焦点在x轴上.且两曲线的焦点在同一坐标轴上. ∴抛物线的焦点也在x轴上.可设抛物线的方程为y2=mx（m≠0）．∵ M(23，−2√63)在抛物线上.∴ (−2√63)2=23m .解得m=4.∴抛物线的方程为y2=4x．∵ M(23，−2√63)在椭圆上.∴ 49a2+249b2=1①又2a=4 ②由① ② 可得a2=4.b2=3．∴椭圆的方程是x24+y23=1．【点评】：本题考查了抛物线与椭圆的焦点的标准方程及其性质.属于基础题．18.（问答题.12分）已知椭圆的焦距为2.离心率e= 12．（1）求椭圆的方程；（2）设点P是椭圆上一点.且∠F1PF2=60°.求△PF1F2的面积．【正确答案】：【解析】：（1）由焦距和离心率及a.b.c之间的关系求出a.b的值.分椭圆的焦点在x.y轴可得椭圆的方程；（2）由椭圆的定义可得P到两个焦点的距离之和及焦距.在三角形中有余弦定理可得P到两个焦点的距离之积.由面积公式求出三角形的面积．【解答】：解：（1）由题意可得2c=2.e= ca = 12.所以可得a=2.而b2=a2-c2=22-12=3.当焦点在x轴上时.椭圆的方程为：x 24 + y23=1；当焦点在y轴上时.椭圆的方程为：y 24 + x23=1；（2）由（1）可得2c=2.设焦点F1.F2.则F1F2=2c=2.PF1+PF2=2a=4.在△PF1F2中有余弦定理可得：cos∠F1PF2= PF12+PF22−F1F222PF1•PF2= (PF1+PF2)2−2PF1•PF2−F1F222PF1•PF2.由题意可得12 = 42−2PF1•PF2−42PF1•PF2.解得：PF1•PF2=4.所以S △PF1F2 = 12PF1•PF2•sin∠F1PF2= 12× 4× √32= √3；所以△PF1F2的面积为√3．【点评】：本题考查求椭圆的方程.椭圆的性质及余弦定理的应用.属于中档题．19.（问答题.12分）已知椭圆E：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1.F2.上顶点为M.且△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l：y=-x+m与椭圆E交于A.B两点.以AB为直径的圆与y轴相切.求m的值．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得M.F1.F2的坐标.由等腰直角三角形得12a2=1.b=c.以及a.b.c的关系.解方程可得a.b.进而得到椭圆方程；（2）设A（x1.y1）B（x2.y2）.联立直线方程和椭圆方程.消去y.得到x的方程.运用判别式大于0和韦达定理.可得AB中点坐标.运用弦长公式可得|AB|.AB为直径的圆与y轴相切可得半径r= 12 |AB|= 23|m|.解方程即可得到m的值．【解答】：解：（1）由题意可得M（0.b）.F1（-c.0）.F2（c.0）. 由△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形得12a2=1.b=c.且a2-b2=c2.解得b=c=1，a=√2 .则椭圆E的方程为x 22+y2=1；（2）设A（x1.y1）B（x2.y2）.联立 {x 22+y 2=1−x +m =y⇒3x 2−4mx +2m 2−2=0 . 即有△=16m 2-12（2m 2-2）＞0.即为- √3 ＜m ＜ √3 . x 1+x 2=4m 3 .x 1x 2= 2m 2−23. 可得AB 中点横坐标为2m3. |AB|= √1+1 • √(x 1+x 2)2−4x 1x 2 = √2 • √16m 29−8m 2−83 = 43√3−m 2 .以AB 为直径的圆与y 轴相切. 可得半径r= 12 |AB|= 2|m|3. 即为 23√3−m 2 =2|m|3. 解得m=± √62 ∈（- √3 . √3 ）. 则m 的值为± √62 ．【点评】：本题考查椭圆方程的求法.注意运用等腰直角三角形的定义和基本量的关系.考查直线方程和椭圆方程联立.运用判别式大于0和韦达定理.中点坐标公式和弦长公式.考查直线和圆相切的条件.考查化简整理的运算能力.属于中档题．20.（问答题.12分）已知点A.B 是抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）上关于x 轴对称的两点.点E 是抛物线C 的准线与x 轴的交点．（1）若△EAB 是面积为4的直角三角形.求抛物线C 的方程； （2）若直线BE 与抛物线C 交于另一点D.证明：直线AD 过定点．【正确答案】：【解析】：（1）求得抛物线的准线方程.可得E 的坐标.由题意可得△EAB 为等腰直角三角形.且EA⊥EB .设出直线AE 的方程.联立抛物线方程.求得A 的坐标.再由三角形的面积公式.解方程可得p.进而可得所求抛物线方程；（2）设B （x 1.y 1）.A （x 1.-y 1）.D （x 2.y 2）.设EB 的方程为x=ny- p2 =0.联立抛物线方程.运用韦达定理.求得直线AD 的斜率和方程.结合点在抛物线上.满足抛物线方程.以及韦达定理.直线恒过定点的求法.可得定点．【解答】：解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点（p2 .0）.准线方程为x=- p2.由△EAB是面积为4的直角三角形.且A.B两点关于x轴对称. 可得△EAB为等腰直角三角形.且EA⊥EB.可设AE的方程为y=x+ p2 .联立抛物线C：y2=2px.可得x= p2.y=p.则A（p2 .p）.B（p2.-p）.E（- p2.0）.可得S△EAB= 12p•2p=4.解得p=2.则抛物线的方程为y2=4x；（2）证明：设B（x1.y1）.A（x1.-y1）.D（x2.y2）. 设EB的方程为x=ny- p2=0.联立抛物线C：y2=2px.可得y2-2pny+p2=0.可得y1+y2=2pn.y1y2=p2.k AD= y2+y1x2−x1 = 2pnn(y2−y1)= 2py2−y1.直线AD的方程为y= 2py2−y1（x-x2）+y2.即有y= 2py2−y1 x- 2px2y2−y1+ y22−y1y2y2−y1.即为y= 2py2−y1 x- p2y2−y1.即y= 2py2−y1（x- p2）.可得直线AD恒过定点（p2.0）．【点评】：本题考查抛物线的方程和性质.考查直线方程和抛物线方程联立.运用韦达定理.考查直线恒过定点的求法.考查化简运算能力.属于中档题．21.（问答题.12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左.右焦点分别为F1(−√3，0) .F2(√3，0) .且经过点A(√3，12)．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点B（4.0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P.Q两点.记点P关于x轴对称的点为P'．若直线P'Q与x轴相交于点D.求△DPQ面积的最大值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据两点之间的距离公式及椭圆的定义即可求得a 和b 的值.求得椭圆方程； （Ⅱ）设直线l 的方程.代入椭圆方程.根据韦达定理及直线的斜率公式求得直线P'Q 的方程.求得D 点坐标.利用三角形的面积公式表示出△DPQ 面积.换元利用基本不等式的性质.即可求得△DPQ 面积的最大值．【解答】：解：（I ）由椭圆的定义.可知2a=|AF 1|+|AF 2|= √(2√3)2+(12)+12=4 ．………1分 解得a=2．…………2分又 b 2=a 2−(√3)2=1 ．……3分 所以椭圆C的标准方程为 x 24+y 2=1 ． (4)（Ⅱ）由题意.设直线l 的方程为x=my+4.m≠0．设P （x 1.y 1）.Q （x 2.y 2）.则P'（x 1.-y 1）． 由 {x =my +4x 24+y 2=1.消去x.可得（m 2+4）y 2+8my+12=0．…………5分因为△=16（m 2-12）＞0.所以m 2＞12所以 y 1+y 2=−8m m 2+4 . y 1y 2=12m 2+4 ． (6)因为 k P′Q =y 2+y1x 2−x 1=y 2+y 1m (y2−y 1).所以直线P'Q 的方程为 y +y 1=y 2+y 1m (y2−y 1)(x −x 1) ．…………7分令y=0.可得 x =m (y 2−y 1)y 1y 1+y 2+my 1+4 ．………8分所以 x =2my 1y 2y 1+y 2+4 =2m•12m 2+4−8m m 2+4+4=24m−8m +4=1 .所以D （1.0）．…………9分所以 S △DPQ =|S △BDQ −S △BDP |=12|BD |•|y 1−y 2|=32√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 = 6√m 2−12m 2+4．……10分令 t =√m 2−12 .t∈（0.+∞）． 则 S △DPQ =6tt 2+16=6t+16t≤34.当且仅当t=4即 m =±2√7 时等号成立.．……12分所以△DPQ面积的最大值为34【点评】：本题考查椭圆的标准方程.直线与椭圆的位置关系.考查韦达定理.三角形的面积公式.考查基本不等式的应用.考查计算能力.属于中档题．。
深圳市高二上学期期中考试数学试卷含答案
（1）若圆 的切线在 轴和 轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；
（2）从圆 外一点 向该圆引一条切线，切点为 ，且有 （ 为坐标原点），求 的最小值．
20.椭圆C： ( 的离心率为 ， 是椭圆上一点.
（1）求椭圆C的方程；
（2） 为椭圆C的左､右焦点，过焦点 的弦 中点为 ，求弦 的长.
深圳市高二第一学期期中考试数学试卷含答案
一､选择题：(每小题只有一个选项，每小题5分，共计60分)
1.直线 倾斜角是（）
A B. C. D.
2.已知方程 表示圆，则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
3.直线 、 的斜率是方程 的两根，则 与 的位置关系是（）
A.平行B.重合C.相交但不垂直D.垂直
A. B. C. D.
12.已知圆 ： 与椭圆 ： ，若在椭圆 上存在一点 ，使得由点 所作的圆 的两条切线互相垂直，则椭圆 的离心率的取值范围是（）
A. B. C. D.
二､填空题：(每小题5分，共计20分)
13.过点 且与圆 相切 直线方程为__________．
14.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过点 的直线 交椭圆 于 两点，则 的周长为__________．
21.圆O：x2+y2＝9上的动点P在x轴、y轴上的射影分别是P1，P2，点M满足 ．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）点A（0，1），B（0，﹣3），过点B的直线与轨迹C交于点S，N，且直线AS、AN的斜率kAS，kAN存在，求证：kAS•kAN为常数．
22.如图所示，A，B分别是椭圆 的左右顶点，F为其右焦点，且 .点P是椭圆C上异于A､B的任一动点，过点A作直线 轴.以线段 为直径的圆交直线 于点A､M，连接 交直线l于点Q.
2024学年深圳市第二外国语高一数学上学期期中考试卷及答案解析
深圳第二外国语学校2024—2025学年第一学期期中考试高一数学考试时长：120分钟 满分：150分第I 卷一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 已知集合{}3,1,1,3,{24}A B x x =--=-<<∣，那么A B = （ ）A. {}1,1- B. {}1,3 C. {}1,1,3- D. {}0,2,4【答案】C【解析】【分析】根据交集知识来求得正确答案.【详解】依题意，{}1,1,3A B ⋂=-.故选：C2. 函数()1f x x =的定义域是（ ）A. [)1,-+∞ B. [)1,0- C. [)()1,00,-+∞ D. ()(),00,-∞+∞ 【答案】C【解析】【分析】根据根式和分式性质，列不等式即可求解.【详解】()1f x x =+的定义域需满足100x x +≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≥-且0x ≠，故定义域为[)()1,00,-+∞ ，故选：C3. 若幂函数()y f x =的图象经过点，则(5)f 的值是（ ）A.B. C. 15 D. 25【答案】A【解析】.的的【分析】设()a f x x =，由已知条件可得()2f =，求出a 的值，可得出函数()f x 的解析式，进而可求得(5)f 的值.【详解】设()a f x x =，则()22a f ==12a =，故()f x =(5)f =.故选：A.4. 已知函数()2132f x x +=+，则()2f 的值等于（ ）A. 2B. 5C. 11D. 1-【答案】B【解析】【分析】令12x +=，求出x 的值，代入解析式中可得结果．【详解】令12x +=，求出1x =，则()223125f =⨯+=.故选：B5. 已知函数()322,11,1x x f x x x -⎧>=⎨+≤⎩，则()()3f f =（ ）A. 2B. 1C. 12D. 14【答案】A【解析】【分析】先求出()3f ，进而可得出答案.【详解】由()322,11,1x x f x x x -⎧>=⎨+≤⎩，得()33321f -==，所以()()()231112f f f ==+=.故选：A.6. 下列四个命题中为真命题的是（ ）A. ,143x x ∃∈<<Z B. ,510x x ∃∈+=Z C. 2,10x x ∀∈-≠R D. 2,20x x x ∀∈++>R 【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题、存在量词命题的知识对选项进行分析，从而确定正确答案【详解】A 选项，由143x <<得1344x <<，x 不是整数，所以A 选项错误.B 选项，由510x +=得15x =-，x 不是整数，所以A 选项错误.C 选项，1x =或1x =-时，210x -=，所以C 选项错误.D 选项，由于22172024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，所以D 选项正确.故选：D7. 已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，则()()03f f +等于（ ）A. 3- B. 1- C. 1 D. 3【答案】C【解析】【分析】根据(3)f (3)f =--以及(0)0f =可求出结果.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，所以()()()33321f f =--=--+=．而()00f =，∴()()031f f +=．故选：C ．8. 已知关于x 的一元二次不等式2210kx x -+<的解集为(),m n ，则43m n +-的最小值是（ ）A. 32 B.3 C. 92 D. 6【答案】A【解析】【分析】根据不等式与对应方程的关系，结合根与系数的关系，得出m 与n 的关系式，再利用基本不等式求43m n +-的最小值．【详解】因为(),m n 是不等式2210kx x -+<的解集，所以,m n 是方程2210kx x -+=的两个实数根且0k >，所以2m n k +=，1mn k =，所以112m n mn m n=++=，且0m >，0n >；所以111141194(4)()(5)(5(54)22222n m m n m n m n m n +=⋅+⋅+=⋅++≥+=⨯+=，当且仅当322n m ==时“=”成立；所以43m n +-的最小值为93322-=．故选：A ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法中，正确的是（ ）A. 若b a <，则11a b<B. 若22ac bc >，则a b>C. 若0b a <<，则22b a >D. 若,a bcd ><，则a c b d->-【答案】BCD【解析】【分析】利用特殊值以及不等式的性质来确定正确答案.【详解】A 选项，111,1,,b a b a a b=-=<>，所以A 选项错误.B 选项，若22ac bc >，则20c >，则a b >，所以B 选项正确.C 选项，若0b a <<，则()()22220,b a b a b a b a -=+->>，所以C 选项正确.D 选项，若,a b c d ><，则c d ->-，所以a c b d ->-，所以D 选项正确.故选：BCD10. 若正实数a ，b 满足21a b +=，则下列说法正确的是（ ）A. 12a b+有最小值9 B. 24a b +的最小值是C. ab 有最大值18 D. 22a b +最小值是25【答案】ABC 的【解析】【分析】根据基本不等式求最值后判断．【详解】()1212222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当2213b a a b a b =⇒==时等号成立，A 对；22422a b a b +=+≥=，当且仅当222a b =，即1124a b ==，时等号成立，B 对；21a b +=≥，则18ab ≤，当且仅当2a b =，即1124a b ==，时等号成立，C 对；由12a b =-，则222221541555a b b b b ⎛⎫+=-+=-+ ⎪⎝⎭，而102b <<，所以2215a b +≥，当且仅当25b =时等号成立，D 错.故选：ABC 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：[ 3.2]4-=-，[2.3]2=.已知函数21()122x x f x =-+，则关于函数()[()]g x f x =的叙述中正确的是（ ）A. ()f x 是奇函数B. ()f x 在R 上是减函数C. ()g x 是偶函数D. ()g x 的值域是{}1,0-【答案】AD【解析】【分析】利用奇偶性的定义判断可选项A ，C ，由函数单调性的结论可判断选项B ，由函数单调性求出()f x 的取值范围，结合定义可得()g x 的值域可判断选项D ．【详解】对于选项A ：因为函数11()112221122x x x f x =-=--=++11212x -+，x ∈R ，可得()121()1221221x x x f x f x ---=-=-=-++，所以函数()f x 为奇函数，故A 正确；对于选项B ：因为12x y =+、112=-+x y 在R 上是增函数，所以()11212xf x =-+在R 上是增函数，故B 错误；对于选项C ：因为()11212x f x =-+，则()()11g f ==⎡⎤⎣⎦106⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()()11g f -=-=⎡⎤⎣⎦116⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦，即()()11g g -≠，所以函数()g x 不是偶函数，故C 错误；对于选项D ：因为121x +>，则10112x <<+，可得11()22f x -<<，所以()[()]g x f x =的值域为{}1,0-，故D 正确．故选：AD ．第II 卷三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知函数()1(0xf x a a =+>且1)a ≠，则函数()f x 的图象恒过定点的坐标为__________.【答案】()0,2【解析】【分析】根据指数型函数的定点的求法求得正确答案.【详解】由于()0012f a =+=，所以定点坐标为()0,2.故答案为：()0,213. 求值：121081(0.1)2)16-⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭__________.【答案】252##12.5【解析】【分析】利用指数幕的运算性质直接求解即可．【详解】1210811925(0.1)2)101110160.142-⎛⎫⎛⎫⨯--=-⨯=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：252##12.5.14. 已知函数()0.50.5f x x x -=+，若()3f a =，则()2f a =__________，若关于x 的不等式()()24110mf x f x --≤在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的取值范围是__________.【答案】 ①. 7 ②. 13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】3=，两边平方整理可得17a a +=，即()217f a a a =+=.利用换元法，结合分离参数，问题转化成9m t t ≤+在103,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦能成立，求实数m 的取值范围.【详解】()()0.50.5,3f x x x f a -=+=+=，故17a a +=，所以()217f a a a =+=.()()24110mf x f x --≤，即2211110m x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设111,,3,2x t x y x x x ⎡⎤+=∈=+⎢⎥⎣⎦在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,3上单调递增，故222210112,,223t x x t x x ⎡⎤⎛⎫∈+=+-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，故290mt t --≤，故9m t t ≤+，不等式()()24110mf x f x --≤在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即9m t t ≤+在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，函数()9y g t t t ==+在[)2,3上单调递减，在103,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()max 101318113()max 2,max ,32302g t g g ⎧⎫⎛⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，故132m ≤.故答案为：7；13,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦.【点睛】关键点点睛：应用换元法解决问题时，一定要注意新元的取值范围.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15. 已知集合{}{}5,16A x a x a B x x =≤≤+=-≤≤∣∣，全集U =R .（1）当0a =时，求()U A B ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{0xx ≤<∣-1或56}x <≤ （2）11a -≤≤【解析】【分析】（1）将0a =代入再由集合的交、补运算即可求解；（2）由“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，得A B ⊆，再利用集合的包含关系即可求解.小问1详解】当0a =时，集合{}05A x x =≤≤∣{0U A x x =<∣ð或5}x >，()U A B ð{0∣-1=≤<xx 或56}x <≤ ；【小问2详解】由“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，得A B ⊆，因为5a a <+，所以A ≠∅则由A B ⊆，得1a ≥-且56a +≤，解得11a -≤≤，所以实数a 的取值范围是11a -≤≤.16. 已知函数()2f x mx n =+，满足()()01,13f f =-=（1）求函数()f x 的解析式；（2）求不等式()2f x x ->的解集；（3）对于R x ∈，不等式()0f x ax ->恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()221f x x =+ （2）{1|2x x <-或 1}>x （3）(-【解析】【分析】（1）将已知条件代入求出,m n 即可求解；（2）由（1）可知()221f x x =+，则解不等式即可求解；【（3）将不等式转化为2210x ax -+>恒成立，因为()221f x x ax =-+开口向上，根据0∆<即可求解.【小问1详解】由函数()2f x mx n =+，满足()()01,13f f =-=，()()220011(1)3f m n f m n ⎧=⋅+=⎪⎨-=⋅-+=⎪⎩，解得21m n =⎧⎨=⎩，故函数()f x 的解析式为：()221f x x =+.【小问2详解】由（1）知()221f x x =+，即不等式转化为2210x x -->，则()()1210x x -+>，所以不等式的解集{1|2x x <-或 1}>x .【小问3详解】不等式转化为2210x ax -+>恒成立，因为()221f x x ax =-+开口向上，可得280a ∆=-<，解之可得a -<<，所以实数a 的取值范围是(-.17. 某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x 元.公司拟投入21(600)6x -万元.作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入5x 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a 至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.【答案】（1）40元 （2）10.2万件，30元【解析】【分析】（1）设每件定价为t 元，求出原销售收入和新销售收入后列不等式求解；（2）列出不等关系21125850(600)56ax x x ≥⨯+++-，分离参数得1501165a x x ≥++，从而利用基本不等式即可得解.【小问1详解】依题意，设每件定价为()25t t ≥元，得()8250.2258t t --⨯≥⨯⎡⎤⎣⎦，整理得26510000t t -+≤，解得2540t ≤≤.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.【小问2详解】依题意知当25x >时，不等式21125850(600)56ax x x ≥⨯+++-有解，等价于25x >时，1501165a x x ≥++有解，由于1501106x x +≥=，当且仅当15016x x =，即30x =时等号成立，所以10.2a ≥，当该商品改革后销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.18. 已知函数()23f x x ax a =++-，a ∈R ．（1）若()f x 过点(2,6)P ，求()f x 解析式；（2）若()y f x =．（ⅰ）当[]13,x ∈-函数()f x 不单调，求a 的取值范围；（ⅱ）当[]0,2x ∈函数()f x 的最小值是关于a 的函数()m a ，求()m a 表达式【答案】（1）()24f x x x =-+ （2）（ⅰ）()6,2-；（ⅱ）()23,013,4047,4a a m a a a a a a ->⎧⎪⎪=--+-≤≤⎨⎪+<-⎪⎩【解析】【分析】（1）根据题意，将点(2,6)P 代入函数的解析式，求得1a =-，即可求解；（2）（ⅰ）根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出不等式132a -<-<，即可求解；（ⅱ）由（ⅰ）知，对称轴为2a x =-，结合二次函数性质，分<02a -，022a ≤-≤和>22a -，三种情况讨论，即可求解.【小问1详解】因为函数()23f x x ax a =++-过点(2,6)P ，将点(2,6)P 代入函数的解析式，可得4236a a ++-=，解得1a =-，所以函数()f x 解析式为()24f x x x =-+.【小问2详解】（ⅰ）由函数()23f x x ax a =++-，可得其图象对应的抛物线开口向上，且对称轴为2a x =-，要使得[]1,3x ∈-函数()f x 不单调，可得132a -<-<，解得62a -<<，所以实数a 的取值范围()6,2-；（ⅱ）由（ⅰ）知，函数()f x 的图象对应的抛物线开口向上，且对称轴为2a x =-，当<02a -时，即0a >时，()f x 在[]0,2单调递增，所以()()min 03f x f a ==-；当022a ≤-≤时，即40a -≤≤时，()f x 在[0,)2a -单调递减，在(,2]2a -单调递增，所以()2min 1(322a f x f a a =-=--+；当>22a -时，即4a <-时，()f x 在[]0,2单调递减，所以()()min 27f x f a ==+，所以()m a 表达式为()23,013,4047,4a a m a a a a a a ->⎧⎪⎪=--+-≤≤⎨⎪+<-⎪⎩19. 已知函数()()240,12x x a a f x a a a a+-=>≠+是定义在R 上的奇函数.（1）求实数a 的值；（2）判断()f x 在定义域上的单调性，并用单调性定义证明；（3）[]1,2x ∃∈，使得()22x t f x ⋅≥-成立，求实数t 的取值范围.【答案】（1）2 （2）增函数，证明见解析（3）0t ≥【解析】【分析】（1）利用“奇函数在原点上有定义，则()00f =”即可求解.（2）根据单调性定义即可证明.（3）先将不等式()22x t f x ⋅≥-化为()221121x x t ≥--+-，再利用换元法结合函数单调性求出()221121x x --+-的最小值即可得解.【小问1详解】因为()()240,12x x a a f x a a a a+-=>≠+，R x ∈,定义域关于原点对称，令0x =，所以()2002a f a-==+，故2a =，则()()21R 21x x f x x -=∈+，()()211221211221x x x x x x f x f x ------===-=-+++，所以()f x 为定义在R 上的奇函数，故2a =.【小问2详解】()2121x x f x -=+是R 上的增函数.证明：任取12,R x x ∈，且12x x <，()()()()()()()()()()()1221121212121212212121212222121212121212121x x x x x x x x x x x x x x f x f x -+--+----=-==++++++，所以12x x <，所以1210x +>，2210x +>，12022x x <<，所以12220x x -<， ()()1221210x x ++>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 是R 上的增函数.【小问3详解】当[]1,2x ∈时，不等式()·22x t f x ≥-即()()222121x x x t -+≥-，故()()222222112121x x x x x t --≥=--+--，则令21x v =-，由题意可知[]1,3v ∃∈，21t v v ≥-+，因为函数y x =，2y x =-为[]1,3上的增函数，故21y v v =-+在[]1,3v ∈上单调递增，故min 2211101v v ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，所以0t ≥.。
广东省深圳外国语学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
广东省深圳外国语学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、单选题1．已知{},,a b c 是空间的一组基底，则可以与向量p a b =+ ，q a b =- 构成基底的向量是（）A ．aB ．bC ．2a b+ D ．a c +2．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，化简1AB AD CC -+=（）A ．1BDB ．1DB C ．1AC uuu r D ．1CA 3．已知两个向量()2,1,3a =- ，()4,2,b n =- ，且a b∥，则n 的值为（）A ．1B ．2-C ．6D ．44．已知直线l 过点()4,1A ，且倾斜角为π3，则直线l 的方程为（）A ．)14y x -=-B ．)14y x -=-C ．)14y x -=-D ．)14y x -=-5．已知点()2,1P 是圆222430x y x k ++-+=外的一点，则k 的取值范围是（）A ．()3,+∞B ．(),3-∞C ．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．1,32⎛⎫⎪⎝⎭6．如图，空间四面体ABCD 的每条棱都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，则FG AB ⋅等于（）A ．4B ．14C ．12D 7．已知直线l 过点（1，3），若l 与x 轴，y 轴的正半轴围成的三角形的面积为S ，则S 的值可能是（）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知圆C ：()2234x y +-=，过点()0,4的直线l 与x 轴交于点P ，与圆C 交于A ，B 两点，则()CP CA CB ⋅+的取值范围是（）A ．[]0,1B ．[)0,1C ．[]0,2D ．[)0,2二、多选题9．关于空间向量，以下说法正确的是（）A ．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小B ．若对空间中任意一点O ，有111362OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．若空间向量,a b 满足0a b ⋅<，则a 与b 夹角为钝角D ．若已知空间向量a 和b ，则a在b 上的投影向量为a b b bb⋅⋅10．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若122F F =，且2ABF △的周长为8，则（）A ．2a =B ．C 的离心率为14C ．||AB 可以为πD ．2BAF ∠可以为直角11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点 A 、 B 的距离之比为定值()1λλ≠的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()1,0A -，()3,0B ．动点P 满足13PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线C ，下列结论正确的是（）A ．C 的方程为2230x y x ++=B ．C 关于直线20x y +-=对称的曲线方程为()2279224x y ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭C ．在C 上存在点D ，使得D 到点5,32⎛⎫⎪⎝⎭的距离为3D ．若()0,6E ，()2,2F ，则在C 上不存在点M ，使得ME MF=三、填空题12．已知向量()0,1,0a = ，向量()1,1,0b = ，则a 与b的夹角的大小为.13．圆221x y +=和圆226890x y x y +-++=的位置关系是．14．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左，右焦点分别是()1,0F c -，()2,0F c ，下顶点为点()0,M b -，直线2MF 交椭圆C 于点N ，设1△MNF 的内切圆与1NF 相切于点E ，若122NE F F ==，则1EF 的长为．四、解答题15．已知直线1:320l x y ++=；2:20l mx y n ++=.（1）若12l l ⊥，求m 的值；（2）若12l l //，且直线1l 与直线2l ，求m 、n 的值．16．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，11π3BAA DAA ∠=∠=，14AA =．(1)求1AC 的长；(2)若M ，N 分别为11D C ，11C B 的中点，求异面直线1AC 与MN 的夹角余弦值．17．如图所示，椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，一条直线l 经过1F 与椭圆交于A ，B 两点．(1)求焦点坐标，焦距，短轴长；(2)若直线l 的倾斜角为45︒，求2ABF △的面积．18．已知圆22:1014700C x y x y ++-+=．(1)若直线1l 过点()3,1P -且与圆C 相切，求直线1l 的方程；(2)设直线2125120:l x y ++=与圆C 相交于A ，B 两点，点Q 为圆C 上异于A ，B 的动点，求ABQ 的面积的最大值．19．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，,M N 分别是1,CC BC 的中点，点P 在直线11A B 上，且111A P A B λ= ．(1)证明：当12λ=时，有AM PN ⊥；(2)当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成角θ最大？并求该角取最大值时的正切值；(3)是否存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的正弦值为2，请详细说明理由．。
广东省深圳市高二数学上学期期中试题 文(1)
2017－2018学年第一学期期中考试高二文科数学本试卷由两部分组成。
第一部分：高二数学第一学期前的基础知识和能力考查，共79分选择题包含第1、2、4、5、6、9、11题，共35分 填空题包含第14、16题，共10分 解答题包含第17、18、20题，共34分第二部分：高二数学第一学期的基础知识和能力考察，共71分选择题包含第3、7、8、10、12题，共25分 填空题包含第13、15题，共10分 解答题包含第19、21、22题，共36分本试卷4页，22小题，全卷共计150分。
考试时间为120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,4A =，{}2,4,6B =，则()UA B =ðA ．{}1B ．{}2C ．{}4D ．{}1,22．已知向量()1,1λ=+m ，()2,2λ=+n ，若()()+⊥-m n m n ，则λ= A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-3．已知命题p ：0x ∀>，总有()1e 1xx +>，则p ⌝为A ．00x ∃≤，使得()001e 1xx +≤B ．00x ∃>，使得()001e 1xx +≤C ．0x ∀>，总有()1e 1xx +≤D ．0x ∀≤，总有()1e 1xx +≤4．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩．若()()22f a f a ->，则实数a 的取值范围是 A ．()(),21,-∞-+∞ B ．()1,1-C ．()2,1-D ．()1,2-5．为了得到函数πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象 A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度6．已知，过点()2,2P 的直线与圆()2215x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a = A ．2B ．1C ．12-D ．127．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为A ．2233125100x y -= B ．2233110025x y -= C ．221520x y -= D ．221205x y -= 8．若()42f x ax bx c =++满足()12f '=，则()1f '-= A ．1-B ．2-C ．2D ．09．若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为 A．2-B ．12-C ．12D．210．设集合{}260A x x x =+-=，{}10B x mx =+=，则B 是A 的真子集的一个充分不必．．．．要．的条件是 A ．11,23m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭B ．0m ≠C ．110,,23m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭D ．10,3m ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭11．若正数,x y 满足315x y+=，则34x y +的最小值为 A ．245B ．285C ．5D ．612．椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上任一点，且12PF PF ⋅的最大值的取值范围是22,3c c ⎡⎤⎣⎦，其中c =M 的离心率e 的取值范围是A ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,22⎡⎢⎣⎦C ．,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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潔圳第二外国语学校2018—2019学年第一学期期中考试
高二文科数学试卷
會題人：fit艳华审题人；郑粤萍
—*选择题（本大题共12小臨毎小越5分，共60分*在列出的四个进项中，只有一项符會18目SE求.）
1. ^»P i3nGN,n2>2"・则TplM }
h. * 电 N,X A2“U 3rt £2"
G Vn^N t n2 £2* 陥3neJV t n J=2"
N已知戸宀三尹，q^sinx^—**. 9ttp是督的（J
mJ
A-充分不必叢条件 B.必農不充分条件
C-充分必要条杵 D.既不充分也不必要条件
3+已知sina^—,则C0s2a =
2
A.1
B. 1 c. a 4
- 2 2 2
4,迂F列命1W中.專応聽是f 厂
A.命題“若ac>bc t则Q扩
k命軀“若"3,则W的逆命翹
J 命JM "若尸2,则工-3M2R17的否命題
D.命题⑷相似三角形的对应角相等"的逆否命题
5.捕岡2工卫+3尸、12的两雋点之间的距离是（）
扎2V10 B. V13 C. V2 D. 2返* 6,已知双曲线C・三一一=1 *则双曲线C的型逹为（
4
B. C.芈
D. 2
2 2
7r若直线—+ ^ = 1 （QQ,b刈过点（h 4），则战+b的最小值麻于」a b
A. 8
B. 9
C. 12 D- 16
■*
8戒曲线M =1的虚畦是实轴的侶*则曲=i >
B. _4
9•设HI BE C —^y _i/ t
”的左，右擁点分别为耳片p是C上的点
P耳丄砒，"殆=30*・则C的离心率为*
10 *已知双曲践口召-召工】的F斯近域方建为2x+3y = 0，小片分别是驱曲找（?的左.右焦点.点尸在双曲ftC±»且|尸用=2,则|P耳|第于（:
儿4 B, & C«8 D. 10
11.某企业生产甲、乙两种产品均需用4占萌种原料.已知生产1吨毎种产品滞脈料及毎夭亂料的可用限额如下表所示如粤崔产1吨甲、乙产也可莪利滴分别为3万元、4万元业每天可获福議大利肩为（
甲乙
从晌）32… 12 _ -
128 . 1
A. 12万元B, 16万元17万元D・W万元
12. B»#fiHE：4+4=,^>i>0）的右儒点为科玄0）,过点F的直线交椭團于俎B
□ b2
二、填4® （本大!5共"题.每小题5分，共20分在空白处填写正确笞案•）13,若
Q0, "0,且此毛&则計b的最小值为-------------
14.不縮式12"岸3的解集制一一
的渐近卿|程为尸土2岳则双曲线C的方程为一-—1 卜+2八2
16•若实数叩能足'"2 ‘的最小值为三.上6小IB,樂”分*解答应骂出
文字说明，证期过程或演尊涉* ）
17.（】Q分）已知曲pt关于Jt的方隊F+fcJ— 1 lr+aM）无实数煙，侖屯耶实做。
櫚足
2^亠 4 ■< 0.
（D^pAMa.的取僵范酬
p）€pvv%X4rff r且pA?是值傭翱，求实敷灯的取值范BL
D'7
15.己知双曲纽◎
£・£日（嗣询与删訐亍斗複相同的煤点'且双曲駐
两点.若Z8的中点坐标为（1卜,则E的方程为< ）
18t<12分）己知数列｛毎｝为轟差数列・其中陽4吗=&%弓3吗. <1）求数列｛□」的通项公式T
9
⑵记如M丄一”求｛瓦｝的前71 OI为S.
碍口T
19. （12分）在钱角MBC中” a t b t c分别为痈人比C所对的迦且*g2c血1儿
（D fit定角C的大小*
⑵若zJ7「且&4BC的面稅対土・求（3+^的值*
2
⑴当k-2臥求不無式/（对工扌的解勲
⑵若/'（幼$2肘杠就疋E威立，琥真殖耳的取值杠臨,
2L （12分）在平面£1角坐标肩奶中，点尸到C t :x2+y a-2VJy + 2 = °与
C t :x3+>? + 2^3y-i = 0fi9圆心的葫為之和零于」*设虑尸的轨迹为匚
（1）求f的方程;
⑵设直«^ = |x + l与》交壬扎8两点，求AB的长.
22. （12分）已知楠圆匚斗卑“A"®的离右率为盘且过点Jp.l）.
a p 2
（1）求桶圈C的方程.
（2）若P・Q是橢圆（7上两个不目的动点，且使"刑？的角平分缆垂直于x軸.试判断直歧哎的斜率是否为定值？若杲.求出该值：若不是.说明理由.。