一次函数与反比例函数的图形和性质

一次函数与反比例函数的图形和性质

一、知识要点概述 （一）一次函数

1、一次函数的定义：形如y=kx ＋b(k ，b 为常数且k≠0)的函数叫一次函数．

2、正比例函数的定义：y=kx(k≠0)叫正比例函数．正比例函数是一次函数的特例．

3、一次函数的图象是一条经过⎪⎭

⎫

⎝⎛0,-

k b 及(0，b)的一条直线． 4、一次函数的性质：当k ＞0时y 随x 的增大而增大． 当k ＜0时y 随x 的增大而减小． 5、一次函数y=kx ＋b 的图象与k 、b 的符号关系表

k 、b 的符号

草图

经过的象限

k ＞0，b ＞0

直线经过第一、二、三象限

k ＞0，b ＜0

直线经过第一、三、四象限

k ＜0，b ＞0

直线经过第一、二、四象限

k ＜0，b ＜0

直线经过第二、三、四象限

（二）反比例函数

1、反比例函数定义：形如叫做反比例函数．自变量的取值范围是x≠0．

2、反比例函数的图象是双曲线．

3、反比例函数0)(≠=

k x

k

y 的性质 (1)当k ＞0时，图象的两分支分别在第一、三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小． (2)当k ＜0时，图象的两分支分别在第二、四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大． （三）基本规律

1、确定一次函数的解析式，通常采用待定系数法，由题目已知条件得到关于k ，b 的二元一次方程组，再求出k ，b ．

2、对于直线l 1：y=k 1x ＋b 1，与l 2；y=k 2x ＋b 2．

当l 1∥l 2时，k 1=k 2且b 1≠b 2，反之当k 1=k 2且b 1≠b 2时，l 1∥l 2．

3、画一次函数的图象时通常只需描出图象上任两点的坐标，再过这两点画一条直线，一般画出直线y=kx ＋b 与两坐标轴的交点⎪⎭

⎫

⎝⎛0,-k b 和(0，b)，正比例函数图象过(0，0)和点(1，k)． 4、反比例函数0)(≠=

k x

k

y 的图象是断开的，产生的原因是自变量的取值范围是x≠0，这两条曲线可以无限地接近x 轴、y 轴，但永远不会与x 轴、y 轴相交．双曲线是关于原点成中心对称的，也是轴对称的．

5、过双曲线0)(≠=k x

k

y 上任一点向x 轴或y 轴引垂线，并连接该点与原点，得到直角三角形，这个直角三角形的面积与点的位置无关，是一个定值为k 2

1

．这一结论常常用到，应

特别记住．

二、典型例题剖析 例1、(1)若函数

是一次函数，则m=________．

(2)已知m 是整数且一次函数y=(m ＋4)x ＋m ＋2的图象不经过第二象限，则m=________．

点评:(1)一次函数y=kx ＋b 中k≠0这一条件不能忽视． (2)直线y=kx ＋b 不过第二象限的条件⎩⎨

⎧≤>0

b k 中b=0要特别注意，此时直线经过第

一、三象限是正比例函数．

例2、已知y ＝y 1＋y 2，y 1与x －1成正比例，y 2与x ＋1成反比例．当x=0时y=－5，当x=2时y=1，那么当y=－3时x=________．

分析：根据题意，分别设出y 1与y 2的函数关系式，根据y=y 1＋y 2，把x 、y 代入求出比例系数，得到y 与x 的函数关系式，再求x 的值．

注：这里必须注意，其中的两个比例函数要用两个不同字母k 1，k 2，千万不要用同一个字母

k ，这是同学们易错的地方．

例3、已知一直线经过点A(－1，1)和B(1，－5)求直线AB 的解析式．

分析：直线的解析式可设为y=kx ＋b ，因为k ，b 待定，由直线过A(－1，1)和 B (1，－5)可以确定．

解：设直线AB 的解析式为：y=kx ＋b(k≠0)

∵点A(－1，1)和B(1，－5)在直线y=kx ＋b 上，

∴直线AB 的解析式为y=－3x －2

点评：求函数的解析式可采用待定系数法，这样把求函数的关系转化为解二元一次方程组的问题来解决，用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤为： (1)设函数的解析式为y=kx ＋b(k≠0)．

(2)将已知点的坐标代入函数的解析式，得出方程组． (3)求k ，b 的值，得函数的解析式．

例4、如图，Rt △ABO 的顶点A 是双曲线0)(≠=

k x

k

y 与直线y=－x ＋(k ＋1)在第四象限的交点，AB ⊥x 轴于B 且

．

(1)求这两个函数的解析式；

(2)求直线与双曲线的两个交点A 、C 的坐标及△AOC 的面积．

是因为这两个三角形的面积均可求，其OE边上的高分别是C、A两点纵坐标的

绝对值，应注意数形结合．

例5、如图，已知直线y=－x＋2与x轴、y轴分别交于A和点B，另一直线y=kx＋b(k≠0)经过点C(1，0)，且把△AOB分成两部分．

(1)若△AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值．

(2)若△AOB被分成的两部分面积比为1︰5，求k和b的值．

解：(1)由直线y=kx＋b(k≠0)经过点C(1，0)且把△AOB分成面积相等的两部分，则该直线应为△ABO的中线BC所在的直线，由题意知B点坐标为B(0，2)，

∴y=kx＋b经过点B(0，2)，C(1，0)，易求得k=－2，b=2．

(2)如果直线y=kx＋b分△AOB两部分的面积比为1︰5，则有两种情形：

①过点C作直线y=kx＋b交y轴于点E(0，y0)，

例6、已知关于x的函数y=k(x－1)和它们在同一坐标系的图象大致是（）