余数问题
余数问题
“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加”这是同余问题的口诀。
所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称作同余问题。
首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数，下面以4、5、6为例，请记住它们的最小公倍数是60。
1、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，
此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。
例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。
【60后面的“n”请见4、，下同】
2、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，
此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。
例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。
3、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，
此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。
例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。
4、最小公倍加：所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即上面1、2、3中的60n）都满足条件，
称为：“最小公倍加”，也称为：“公倍数作周期”。
一.求被除数类 1. 同余加余，同差减差例1.某数被7除余6，被5除余3，被3除余3，求此数最小是多少？解：因为"被5除余3，被3除余3"中余数相同，即都是3（同余），所以要先求满足5和3的最小数，
一.求被除数类
1. 同余加余，同差减差
例1.某数被7除余6，被5除余3，被3除余3，求此数最小是多少？
解：因为"被5除余3，被3除余3"中余数相同，即都是3（同余），所以要先求满足5和3的最小数，[5、3]=15，
15+3=18，
18÷7=2……4不余6，（不对）
15×2=30
（30+3）÷7=4……5不余6（不对）
（15×3+3）÷7=6……6（对）
所以满足条件的最小数是48。
例2.某数被3除余2，被5除余4，被7除余5，这个数最小是多少？
解：因为“被3除余2，被5除余4”中都差1就可整除，即同差，所以要先满足5和3的最小数，[5、3]=15，
15-1=14，
14÷7=2……0不余5（不对）
（15×6-1）÷7=12 (5)
所以满足条件的最小数是89。
例3.一个四位数，它被131除余112，被132除余98，求这个四位数？
解：除数相差132-131=1，余数相差112-98=14，说明这个四位数中有14个131还余112。所以131×14+112=1946。
二.求除数类
1.若a÷c=……r；b÷c=……r.则cㄏ（a-b）.
例1.一个数去除551，745，1133这3个数，余数都相同。问这个数最大可能是几？
解：745-551=194，1133-745=388。（194，388）=194，所以这个数最大是194。
2.若a÷c=……r1；b÷c=……r2， r1+ r2=d.则cㄏ（a+b-d）.
例2.有一个整数，用它分别去除157，234和324，得到的三个余数之和是100。求这个整数？
解：157+324+234-100=615，615=3×5×41。100÷3=33……1，即最小的除数应大于34，小于157。所以满足条件的有41、123两个，经过验算可知正确答案为41。
三.求余数类
例1.已知整数n除以42余12，求n除余21的余数？
解：由已知条件可知，n=42的倍数+12=21的2倍的倍数+12。所以，n除以21的余数为12。
例2.有一个整数，除1200，1314，1048所得的余数都相同且大于5。问：这个相同的余数是多少？
解：因为
1314-1200=114=3×38，
1200-1048=152=4×38。
某自然数应当是这两个差的公约数，即38。又因为
1200÷38=31（余22）
1314÷38=34（余22）。
所以，这个相同的余数是22。
例3.求19901990除以3所得的余数？
解：由同余的性质可知：对于同一个模，同余的乘方仍同余。
因为，
1990被3除余1，即19901990≡11990≡1，
所以19901990除以3所得的余数为1。
例4.有一个77位数，它的各位数字都是1，这个数除以7，余数是多少？
解：根据被7整除的特征知，111111能被7整除。
77 ÷6=12（余5），
11111÷7=1587（余2）。
所以，这个数除以7的余数是2。
例5.1，1，2，3，5，8，13，……，90个数排成一列，从第三个数起，每个数都等于它前面两个数的和。那么，这90个数的和除以5的余数是多少？
解：这一列数被5除的余数依次为1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，……。
余数从头起20个数一个周期循环出现，而且这20个数的和40又恰为5的倍数。
90÷20=4（余10）
这列数中前10个数的余数和为
1+1+2+3+0+3+3+1+4+0=18
18÷5=3（余3）
所以，这90个数的和除以5的余数为3。
练习题：
1. 一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少？
2. 已知整数n除以3余2，求n除以12的余数？
3. 某数除以13余5，除以17余8，除以21余4，求此数最小是多少？
4. 号码分别为101，126，173，193的四个运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数。那么，打球盘数最多的运动员打了多少盘？
5. 求21000除以13的余数是多少？
6. 当n是1到1992之间的一个自然数时，把它的各位数字相加，如果它的和不是一个一位数，那么把它的各位数再相加，如此继续下去，直到得到一个从1到9的一位数为止（例如：468→18→9）。问在1到1992这1992个自然数经过上述方法处理后所得的1992个一位数中，3多还是4多？多几个？
7. 由2000个2组成的数除以13，所得的余数是几？
余数问题
1、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。 其解法如下：2×70+3×21+2×15=233 233-105×2=23 符合条件的最小自然数是23。 2、一个三位数,被17除余5,被18除余12,那么它可能是________________; 一个四位数,被131除余112,被132除余98,那么它可能是________; 解答:设此三位数为17a+5=18b+12. 可得到17a=17b+b+7,所以b+7一定能被17整除,b=10,27,44.这个三位数为192,498,804. 设此四位数为131x+112=132y+98,可得到131x=131y+y-14,所以y-14一定能被131整除,y=14,145(太大) 3、一个数除以7余3,除以11余7,除以13余4,符合此条件的数最小是________;如果它是一个四位数,那么最大可能是________; 解：满足除以7余3,除以11余7的最小数为73,设此数为73+77a=13b+4, 69-a=13b. a最小等于4.满足条件的最小数是381. 设最大的四位数为381+1001x,最大的四位数为9390. 1、自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是_____. 分析与解答: 设这个自然数为,且去除63,90,130所得的余数分别为a,b,c,则63-a,90-b,130-c都是的倍数.于是(63-a)+ (90-b)+(130-c)=283-(a+b+c)=283-25=258也是的倍数.又因为258=2343. 则可能是2或3或6或43(显然,86,129,258),但是a+b+c=25,故a,b,c中至少有一个要大于8(否则,a,b,c 都不大于8,就推出a+b+c不大于24,这与a+b+c=25矛盾).根据除数必须大于余数,可以确定=43.从而a=20,b=4, c=1.显然,1是三个余数中最小的.
余数问题
余数问题 除法计算过程中；一种是有余数的计算：被除数÷除数=商…余数（余数＜除数）；这个商叫做不完全商，我们把这种除法叫做带余数除法，简称带余除法。 一、带余除法 例题：写出除213后余3的全部两位数。 213=210+3=2x3x5x7+3，利用分解质因数的方法寻找计算中的规律。 操练一 1、写出除109后余4的全部两位数。 2、178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有那些？ 3、写出除1290后余3的全部三位数。 二、循环、周期性，寻找规律，发现规律计算。 例题：44444…4 ÷6，当商是整数时，余数是几？ 100个4 注：以看出规律：每3个4组成的数被6整除，每次除得的余数分别是4、2、0。可以把100个4分成一组，共分成100÷3=33（组）……1，即有33组还多1个4.这样剩4下的4除 以6后余数就是4. 操练二 1、555…5÷13，商是整数时，余数是几？ 2001个4
2、当商是整数时，余数各是多少？ （1）666......6÷4 （2）888……8÷7 （3）111……1÷5 三、 余数的和、差、积问题。 几个数同时除以一个数，余数不同，余数的和、差、积除以这个数，余数是它的和、差、积除以这个数的余数。 例题：甲数除以9余7，乙数除以9余5. （1）、甲、乙两数的和除以9余数是几？ （2）、甲、乙两数的差除以9余数是几？ （3）、甲、乙两数的积除以9余数是几？ 操练三 1、 甲数除以5余3，乙数除以5余2，那么甲、乙两数的和除以5余数是几？甲、乙两数 的差除以5余几？甲、乙两数的积除以5余数是几？ 2、 甲数除以9余7，乙数除以9余6，丙数除以9余5，那么（甲+乙+丙）÷9还有余数 吗？ 课后练习 1、把 化成小数，那么小数点后面第一位上的数字是多少？ 评语： 50个6 80个8 1 000个1 1 7
余数问题
余数问题 （一）若A mod C=B mod C,则C (A-B） 证明：记A=nC＋x,B=mC＋x,(x 余数之和最大是29，如果是58,110÷58=1……52，不可能，如果是290，余数之和340，不可能，所以只有是29可能。 例3，两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人，两个代表团坐满若干辆后， 第一个代表团余下的13人与第二个代表团余下的乘员正好又坐满一辆车．参观完，第一个代表团的每个成员分别与第二个代表团的每个成员两两合拍一张照片留念．如果每个胶卷可拍36张照片，拍完最后一张照片，照相机里胶卷还可以拍______张照片． 解：首先我们先确定,假如甲乙两团分别有X、Y人,则按照上面你所说的方法,他们一共应拍照多少张?答案是：X*Y张. 其次,确定他们应该多少人,假如是混坐（两团人员乱坐）,则这个题目无解.假如是集体坐（一个团的人员坐一起）,那么我们可以设：甲团部分人员坐满了X辆车（有36X个人）,乙团部分人员坐满了Y辆车（有36Y个人）,最后他们两团剩余人数又坐满一辆车,所以乙团剩余人数为36-11=25人.所以两团人数分别为(36X+11)和（36Y+25） 再次,把他们的乘积展开后,只有11X25=275不是36的倍数（因为每个胶卷可拍36张照片）,所以当再照满7个胶卷（7X36=252）后,还有23张未照,在第8卷,可用36-23=13张。 例4求使2n+1能被3整除的一切自然数。 解：22=4,4÷3余数是1，4k mod3=1, 所以22a2+b2=c2k mod 3=1,即在2n中，当n为偶数时，被3除余数都是1;22k+1mod3=2,即当n为奇数数，被3除余数是2，所以当n为奇数时，2n+1就能被3整除。 例5 在大于1999的自然数中，被66除后，商和余数相等的数共有几个？这些数的总和是多少？ 由于被除数=除数×商+余数，且0≤余数＜除数，根据题意，商=余数，且除数=66，被除数＞1999. 因为（除数+1）×商＞1999，即（66＋1）×商＞1999， 所以商＞1999÷67=29.8……，即商=余数≥30 又商=余数＜66，即商=余数≤65，从30到65共36个数字 这些数的和=67×（30+31+……+65）=67×（35+65）÷2=114570 所以共36个数，和是114570. 2014年龙文1对1 五年级 第一讲余数问题 例题讲析 基本性质1：被除数=除数×商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数 除数=（被除数-余数）÷商； 商=（被除数-余数）÷除数。 余数小于除数。 理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了。在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了。 【例1】甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。 【例2】一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13.求所有满足条件的自然数. 【例3】有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。 【例4】十二张扑克牌，2点、6点、10点各四张.你能从中选出七张牌，使上面点数之和等于52吗?说明理由. 基本性质2：如果a，b除以c的余数相同，就称a、b对于除数c来说是同余的，且有a与b 的差能被c整除。（a,b,c均为自然数） 例如：17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。 【例5】有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数。 【例6】两位自然数ab与ba除以7都余1，并且a＞b，求ab×ba。 基本性质3：a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c 的余数）。 例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。 注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。 例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。 【例7】有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数开始，每个 余数问题求解技巧 当我们进行数学运算时，有时候我们需要求解一个问题的余数。余数是一个数字除以另一个数字所得到的剩下的部分。在解决余数问题时，有一些技巧可以帮助我们更有效地解决问题。 1. 余数定义：余数是除法运算中除数除以被除数得到的剩余部分。用数学符号表示，余数可以表示为：被除数= 除数×商 + 余数。例如，当我们计算20除以3时，可以得到商为6，余数为2，即20 = 3 × 6 + 2。 2. 同余定理：同余定理指出，如果两个整数在除以一个正整数时具有相同的余数，那么这两个整数之差是这个正整数的倍数。例如，如果a除以n的余数是r，b除以n 的余数也是r，那么就有a - b能够被n整除。 3. 整数相加求余：当我们面对两个整数相加并求余的问题时，可以先对两个整数分别求余，然后再相加，最后再对结果求余。例如，求解(23 + 33) mod 5，先分别对23和33求余，得到3和3，然后再相加得到6，最后再对结果6求余得到1。 4. 余数的性质：余数具有一些特定的性质，可以用来简化问题。例如，两个数的和的余数等于两个数分别取余后再相加的余数，即(a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n。 5. 除数的特殊取值：在解决求余的问题时，有时候除数的特殊取值可以帮助我们更快地得到答案。例如，当除数是10的幂时，我们可以直接取被除数的末尾几位数作为余数。例如，求解4357 mod 1000，我们可以直接取57作为余数。 6. 负数求余：当我们面对负数求余的问题时，可以先将负数转换为正数，然后再对正数求余，最后再将结果转换为负数。例如，求解-25 mod 7，可以将-25转换为25，然后再对25求余，得到结果4，最后再将结果转换为负数-4。 7. 大数求余：当我们面对大数求余的问题时，直接使用除法运算可能会比较繁琐。可以利用同余定理简化求余运算。例如，求解1234567 mod 8，我们可以将1234567分解为(1200000 + 3000 + 400 + 60 + 7) mod 8，然后分别对每一项求余，得到(0 + 3 + 0 + 4 + 7) mod 8 = 14 mod 8 = 6。 8. 求幂求余：当我们面对求幂求余的问题时，可以利用幂运算的性质简化求余运算。例如，求解2^10 mod 6，可以先对2进行取余，得到2 mod 6 = 2，然后对2的幂次进行取余，得到2^10 mod 6 = (2 mod 6)^10 mod 6 = 2^10 mod 6 = 4。 通过掌握这些余数问题求解技巧，我们可以更加高效地解决余数问题。当我们在学习数论、离散数学、计算机 三、同余特性的具体应用 1、计算周期问题 例1：今天是星期一，再过天是星期几?再过天是星期几? 再过天是由同余的第四条性质决定的，余数的幂即幂的余数，即12010，最后还是，所以再过天依然是星期二。 再过天，根据余数的幂决定幂的余数，因为2012除以7余3，所以除以7的余数决定于幂的余数，即，因为3的平方为9，9除以7余数为2，2的三次方为8，8除以7余1，换 句话说就是3的六次方除以7余1，所以我们只需要去寻找2011除以6的余数就可以了，2011除以6 余1，所以除以7的余数决定于除以7的余数，即3。 例2：:310被一个数两位数除，余数是37，这个两位数是多少？ 解析．310－23=273=3×7×13 大于37的两位约数有3×13=39，7×13=91，这样的两位数有两个：39和91。 例3：:有一个自然数，用它分别去除63、90、130都有余数，三个余数的和为25，这三个余数中最小的一个是几？ 解：（1）这个自然数一定小于63，不然的话它除63的余数就是63了；（2）这个自然数一定比9大，因为三个余数的平均数大于8；（3）根据同余的规律，这个自然数能被63＋90＋130－25的差258整除。所以只要找出258比9大，比63小的约数就可以了。 258=2×3×43。258比9大，比63小的约数只有43。 答：这个自然数是43。 例4：:有一个整数，除300，262，205，得到相同的余数（且余数都不为0）。这个整数是多少？ 解析：根据同余，300－262=38，262－205=57，这个数是（57，38）=19。 例5：:某数除1186余1，除2609余2，除4263少3，这个数最大是多少？ 解析．（1186－1），（2609－2），（4263＋3）一定能被某数整除。 于是2607-1185=1422=2×3×3×79， 4266-2607=1659=3×7×79 这个数最大是3×79=237。 例6：:从1、2、3、……、49、50。这五十个数中，取出若干个数使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数？ 解析：在1到50各数中，除以7余1的数有8个；除以7余2的数有7个；除以7余3的数有7个； 除以7余4的数有7个；除以7余5的数有7个；除以7余6的数有7个；除以7能整除的数也是7个。可以取出所有除以7余1的8个数，除以7余2的7个数，除以7余3的7个数，再取出一个除以7能整除的数，所以最多取出23个数。 例7：:n=191919……1919，n被9除所得的商的个位数是多少？（答案是1） 1919个1919 1、23的1999次方+18的1999次方除以5的余数？（4） 2、求1999的1999次方除以3的余数？（1） 3、求2的2008次方除以3的余数？（1） 4、求2的2003次方除以7的余数？的余数？（4） 5、1999的2008次方除以7的余数？（4） 小学数学：余数问题 余数问题，最基本的有两种： 类型一：同余 一个数除以5余2，除以6余2，除以7余2，那么这个数最小是多少？ 分析：这一题的特点是，除以5，6，7的余数都是2，所以将这个数减去2，就可以被5，6，7整除，因此这个数最小是5X6X7+2=212 类型二：同缺 一个数除以5余4，除以7余6，除以8余7，那么这个数最小是多少？ 分析：除以5余4，那么这个数加1就能被5整除；除以7余6，那么这个数加1也能被7整除；除以8余7，这个数加1还能被8整除。因此，这个数加1最小是5X7X8=280，这个数最小就是280-1=279。 数学趣题：宝树上的人参果 分析：3个人分要剩2个，5个人分要剩3个，7个人分也是剩2个。这三个条件中，第一个条件和第三个条件是同余的。先考虑这两个条件，我们就知道人参果的数量减去2可以整除3和7，也就是这个数量减去2可以整除21，因此这个数可以是21+2，42+2，63+2......。因为5个人分要剩3个，所以这个数最小是21+2=23。 做这一题首先用的是同余中介绍的方法，然后用的是列举的方法，也就是把符合前面条件的数，一个一个列举出来，从中找出符合剩下条件的数。 如果题目既不是同余也不是同缺，那最常用的方法就是列举，列举 时一般选较大的数来列举，比如上面的趣题，分析后我们知道，人 参果的数量除以21余2，除以5余3。做题时我们用除以21余2 来列举，然后用除以5余3来检验；如果不这样做，用除以5余3 来列举，那就是5+3，10+3，15+3，20+3，25+3......需要列 举的数更多，做起来就更麻烦。 数学趣题：唐僧的经书 分析：这本经书除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，除以7余6，除以8余7，除以9余8，这一题属于前面说的类型二。将这本经书的页码加1，就可以整除2，3，4，5，6，7，8，9，因此页码加1后的数量是2，3，4，5，6，7，8，9的倍数，根据求最小公倍数的方法，可以得出这个数量是5X7X8X9=2520，下一个公倍数是5040，超过题目要求的页码不到3000页，所以经书的页码是2520-1=2519。 余数问题《一） ’1．除法和余数： a．余数必须比除数小， 如：39+2=19……l b．被除数，除数、商，余数之间的关系， 被除数=除数x商+余数 余数=（被除数一）+商 商=（被除数一余数）÷除数 被除数一除数×商 搴．F淼翥： 黉”在日常生活中，有许多问题按照一定的规律依次不断的重复出现．如：人的生肖是 襄密照一定的周期排列的．在数学中，也常会碰到一些重复出现的周期性规律的问题，而这 毫’里，最重要的是观察余数的变化规律，来解决其中的许多问题． ’ 如：☆△O☆△O☆△O…按这样的规律排列，你知道第19个图形是什么图形吗？ 这就是一个周期和余数的问题，二个周期有三个图形，19个图形中有几个周期呢， 19÷3=6……l 共应有6个周期．余数为l，说明又一个周期开始，排列的第1个的图形，与所求 的第19个图形相同，应为☆。如同： 币≥乙、丙、丁四人按顺序发扑克粹，问第17张牌在谁的手中？第3l 睁在罐享中？这副扑克牌的最后一张在谁手中？ 方法一：可以采用列举法 扶列举I}I同学ff．J很窬易香ff：，第17张谯}lj『．c|I： 方法二：通过余数确定牌在谁手中： ，按下图中摆放的规律，推出第70个圆形是什么颜色？ 黑珠、白珠共102个，穿成一串，排列如下图： 这串珠子中，懿后一个珠 》i再么颜色j这种颜色的珠子在这串珠子中共有多少个？ （1990年徐州市小学数学竞赛选拔赛试题） p珠子的排歹Il是有一定规律的，即按“一白、一黑、二 成一组，这个组不断地重复出现．我们先算出102 羊排成多少组，还余多少，若余1个：最后的珠子就 是黑色，余3个是白色，余O个是白色（余O可以看 l可以判定最后一个珠子是什么颜色，还可以求出 ’己说明解这种题的关键是要发现变化规律，确定周期，翱用除’ 与余数．‘ 黔商育乒：弘彩包珠予，部是按2个蓝、3个匈、1个黑颊半排列酱 生活中的余数问题 1、多多是个有心人,他数了数袋子里的水果就有了一些发现: （1）“如果欢欢每天吃了2个苹果,一星期后还剩1个！”你知道一共有多少个苹果吗? （2）“如果每天吃3个梨，5天后还剩2个。”一共有多少个梨呢？ 2、乐乐是个小书迷，他在翻看带给欢欢的课外书，多多问他:“你每天看多少页？”乐乐说：“这本书有48页，如果每天都看这么多的页数，5天后就只剩3页了。”你知道乐乐每天看多少页吗？ 3、欢欢的妈妈非常感谢小朋友们来看望欢欢，她把一些橘子分给小朋友们，细心的多多发现：他们每人分到的个数和剩下的个数都是5个。问这些橘子最少有多少个？ 4、欢欢的妈妈拿来一把糖，分给欢欢和我们5个小朋友，每人分到6粒，还剩下4粒，乐乐妈妈一共分了多少粒糖呢？ 5、老师和38个同学一起到公园划船，每只船可坐6人，他们一共要租多少只 船？ 6、一些饼干，分给4个小朋友，当每人分到的块数和剩下的块数相同时，这些 饼干可能有多少块？ 7、有一列数：1、3、6、9、1、3、6、9…第28个数字是几？第33个呢？ 8、在括号里填上合适的数字。 （）÷（）＝6...2 31÷（）＝（） (7) （）÷5＝（）…（） 9、有32本书，最少拿出几本，就可以平均分给5个小朋友了？ 10、一共有27只小鸟，每个小房子能住4只，一共可以住满几个小房子？还剩几只小鸟？ 11、有26个桔子，如果每袋装4个，可装（）袋，还剩（）个；如果每袋装5个，可装（）袋，还剩（）个；如果每袋装6个，可装（）袋，还剩（）个。 12、9月份有30天，请你计算一下：9月份有几个星期，还多几天？ 13、有一些糖，比20块多，比30块少，平均分给8个孩子还多一块，想想看，每个孩子可能分得多少块糖？一共有多少块糖？ 14、46个同学去春游，每辆车可坐8人，一共需要几辆车？ 15、甲、乙、丙三人分扑克牌，先给甲3张，再给乙2张，最后给丙2张，然 第九讲余数问题 【探究必备】 老猴子采摘了一些桃子分给小猴子们吃，要让每个小猴子吃到的桃子一样多，而且尽可能多，我们知道分到最后的结果是：要么刚好分完，要么还剩一些。如果还剩一些桃子，剩下的桃子个数比小猴子的数量少，多的话还可以继续再分，同学们，是不是？这就是我们所说的除法计算中的余数问题，余数一定要比除数小。利用有余数的除法，可以解决许多生活中的数学问题，如：简单的周期问题（找规律性问题）。 在有余数的除法中，被除数、除数、商和余数之间有这样的数量关系： 被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商 商=（被除数-余数）÷除数余数=被除数-除数×商 【王牌例题】 例1、在（）÷7=（）……（）算式中，商和余数相同，你知道商是几吗？ 分析与解答：从题目看这是一道有余数的除法算式，我们知道在有余数的除法算式里，余数要比除数小，即余数要小于7，余数是1、2、3、4、5、6，因为商和除数相等，所以商是1、2、3、4、5、6。 例2、在（）÷8=12……（）算式中，被除数最大是多少，最小是多少？分析与解答：在有余数的除法算式中，根据“被除数=除数×商+余数”可知，在商和除数一定时，要使被除数最大，那么余数要最大，要使被除数最小，那么余数要最小，由于余数要小于除数，因为除数是8，所以余数要小于8，故余数最大是7，最小是1，所以被除数最大是8×12+7=103，被除数最小是8×12+1=97。例3、幼儿园王阿姨有76块巧克力糖，打算分给8个小朋友。她最少拿去多少块多少块巧克力糖或者最少添上多少块巧克力糖，就可以平均分给8个小朋友？分析与解答：把76块巧克力糖分给8个小朋友，分得情况是这样：76÷8=9（块）……4（块），每个小朋友分得9块，还剩4块，只要把剩余的4块拿走，或者把4块拿走后再拿走8的整数倍数个，即4+8×1；4+8×2；4+8×3；4+8×4；……都可以平均分给8个小朋友，所以最少拿走4块就可以平均分给8个小朋友；又因为每个小朋友分得9块后还剩4块，所以再添8-4=4（块），或者再 有余数的问题（已） 有余数的问题（已） 一、生活知识 1、（）÷5=3......4 （）÷7=6 (1) 经验总结：被除数=商×除数+余数 余数必须比除数小 2、如果去掉第一题中的余数，被除数是多少？ 3、a÷6=3......4 b÷6=8 (5) （b-a）÷6的余数是多少？ （b+a）÷6的余数是多少？ （b×a）÷6的余数是多少？ 二、新知识 （一）基本类型 （二）七十二变 第一类型：关于“被除数=商×除数+余数”的余数问题 第一分类：关于“除法”的余数问题 1、被除数、除数、商与余数之和是1173，已知余数是9，商是16，求被除数和除数？ 第二分类：关于“减法”的余数问题 1、如果被减数、减数与差三个数的和是36，那么被减数为（） 第二类型：关于“余数之和”的余数问题 1、189 97 118分别被同一个数去除，都不能整除，三个余数之和是9，求这个自然数是多少？ 第三类型：关于“同余”的余数问题 1、一个自然数除326 258 207所得余数相同，这个自然数是多少？（17） 第四类型：关于“和、差、积”的余数问题 第一分类：关于“和”的和、差、积 1、自然数a除以17余5，自然数b除以17余13，a＞b，a与 b的和除以17的余数是多少？ 第二分类：关于“差”的和、差、积 A类：关于“能减过”的差 1、自然数a除以16余14，自然数b除以16余11，并且a＞b，a与b的差除以16的余数是多少？ B类：关于“不能减过”的差 1、自然数a除以26余8，自然数b除以26余9，并且a＞b ，a与b的差除以26的余数是多少？ 第三分类：关于“积”的和、差、积 A类：关于“简单”的积 1、33×45×76的积除以13的余数是多少？ B类：关于“复杂”的积 1、3232+6464+8888被4除的余数是多少？ 第五类型：关于“周期”的余数问题 1、111…11（2006）÷7的余数是多少？ 第六类型：关于“翻译与判断”的同余 第一分类：关于“少同样数”的翻译与判断 1、一盒棋子，4个4数，多3个；6个6数，多5个；15个15数，多14个，这盒棋子在150—200之间，共有多少个? 第二分类：关于“判断”的翻译与判断 1、一个圆圈上有若干个孔（不到100个），小明像玩跳棋一样，从a出发，逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一周后能回到a。他第一次每隔2个孔跳一次，结果只能回到b孔；第二次每隔4个孔跳一次，结果只能回到b孔；第三次每隔6个孔跳一次，结果能回到a 孔，圆圈上有多少个孔？ 三、名校赏析 第一类型：关于“被除数=商×除数+余数”的余数问题 1、在一个除法算式里，被除数、除数、商、余数的和是99，商是3，余数是10，那么被除数是多少？ 2、被除数和除数的和是80，如果被除数和除数都减去13，那么 第8讲数论（余数问题） 1、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r， 也就是a＝b×q＋r, 0≢r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0 r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商； (2)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商。 余数一定要比除数小。 2、三大余数定理： （1）余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 （2）余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 （3）同余定理 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m 整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)。 3、弃九法： 任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。 以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。 （思考：有没有求一个整数被11除的余数的快速方法呢？） 4、同余同补问题： 例1：（1）用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r。 （2）有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 练习：（1）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数； （2）用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？ 例2：三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。 练习：一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________。 第三讲 余数问题 基础知识 一、巧算余数的方法： <1>主要思想：被除数去掉或者添上除数的倍数,不会改变余数. <2>余数的特征：2,3,5,7,9,11,13,4,8,25,125. <3>在加,减,乘的混合运算中如何去求余数,两数之和的余数等于两数余数的和,两数之积的余数等于两数余数的乘积. 二、了解同余符号,和有关的性质,掌握"韩信点兵〞问题的解法. 例题 1. 一个两位自然数去除375,余15,这个数可能是________________；解答：375－15＝360,这个两位数一定是 360的约数,且大于15〔除数比余数大〕.那么这个数为：90,72,60,45,40,36,30,24,20,18. 2. 一个三位数,被17除余5,被18除余12,那么它可能是________________；一个四位数,被131除余112,被132 除余98,那么它可能是________；解答：设此三位数为17a+5=18b+12. 可得到17a=17b+b+7,所以b+7一定能被17整除,b=10,27,44.这个三 位数为192,498,804.设此四位数为131x+112=132y+98,可得到131x=131y+y-14,所以y-14一定能被131整除,y=14,145〔太大〕这个四位数是1946 3. 甲、乙、丙三个数分别为603,939,393.某数A 除甲数所得余数是A 除乙数所得余数的2倍,A 除乙数所得余 数是A 除丙数所得余数的2倍.A 是________；解答：如果A 除丙所得的余数是1份的话,那么A 除乙所得余数就是2份,A 除甲所得的余数就是4份.把2乙-甲,则没有余数,即2乙-甲使A 的倍数；同理乙-2丙也同样没有余数,是A 的倍数. 939×2-603=1275,939-393×2=153 A 是1275和153的公约数,而1275与153的最大公约数是51,所以A 可能是1,3,17,51 再实验得到A 为17,余数分别为8、4、2. 4. 1〕今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物最少几何？2〕一个数除以7余3,除以 11余7,除以13余4,符合此条件的数最小是________；如果它是一个四位数,那么最大可能是________；解答：〔1〕此数除以3余2,除以5余3,除以7余2,满足条件最小数是23〔2〕满足除以7余3,除以11余7的最小数为73,设此数为73＋77a=13b+4, 69－a=13b. a 最小等于4.满足条件的最小数是381. 设最大的四位数为381＋1001x,最大的四位数为9390. 5. 今天周一,20072007天之后是星期________；这个数的个位数字是________；6682007!(3 668!)÷⨯天之后是 数论模块 数论题的特点就是简洁明了，信息量看起来往往比较少，所以很多同学在见到数论题的时候总会觉得无从入手，因此，做数论题时很重要的一点就是寻找突破口，走对方向。另外，数论模块的另一个特点就是：知识点非常多。但相比组合而言，数论至少显得更“有法可依”，考场上一定要敢去思考数论题，“战略上藐视，战术上重视”，战略上要相信，考题所用的知识点绝对不会超出小学知识范畴，而考前我们能做的，就是好好研究一下战术——如何应对每一类题目。 我就不详细讲每一个知识点（确实非常之多，关键在于平常积累），在这里，我就解数论题的三个突破口来谈谈考场上如何找到数论题的解题思路。 还是那个我在课堂上讲过很多遍的例子：任意找一个数，我们都可以从三个角度去分析它，例如154： （1）我们可以说它是一百五十四，在这里，1是百位上的数字，它代表1个100，5代表5个10，4代表4个1，这可以说是位值原理的角度； （2）154＝2×7×11，分解质因数； （3）154除以5余4，除以9余1，我们可以研究它除以任意一个数所得的商和余数； 以上三种角度分析一个数也映射出数论体系的三大块内容，同时也是我们分析数论问题的三种方式，三个突破口。下面我来详细讲讲每一个角度。 一、位值原理和整除。 其实所有数字的整除特性都是利用位值原理推导出来的，从这个也反映出了学习数论的一个策略：找到知识点的源头，知道它们是怎么来的，这样就不用背那么多知识点了。 言归正传，什么样的题目我们往这个角度去思考呢？有些题目比较明显，就不用多说了，举个最简单的例子：55□39能被11整除，请问□是几？这种题就直接利用整除特性就OK了。考得比较多的，比如这样的题目：“一个三位数A 的三个数字所组成的最大三位数与最小三位数的差仍是数A，这个三位数A是多少？”题中提到了X位数或者提到了这个数里面的某几位数字的，可以考虑用位值原理。利用位值原理对题目进行“翻译”——也就是把文字翻译成数学语言（数学式子），再结合其他的知识点去“加工”，一步步地解答它。 这就是我常常对学生说的：不要对着题目干想，一定要动笔，尝试“翻译”题目。借用薛威阳老师的理念，就是“把思路放在纸上”。 二、分解质因数。 这也是约数、倍数、质数、合数、平方数的核心。所以涉及到约倍质合及平方数的问题就可以从分解质因数的角度去研究研究，题目中如果有具体数字，不妨对其进行质因数分解，从它的因子中寻找解题思路。如果题目中没有给定具体数字，而是让你求这个数，那么也可以从题目中给的信息去探索这个数含有的质因子及第一讲 余数问题
余数问题求解技巧
余数问题
小学数学：余数问题
余数问题
生活中的余数问题
第九讲 余数问题
有余数的问题（已）
第8讲 数论(余数问题)
第三讲：余数问题
余数问题