九年级数学试题及答案

九 年 级 数 学 试 卷全卷满分120分，考试时间共120分钟第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1．︱－32︱的值是（ ） A ．-3B ． 3C ．9D ．-92．函数y = x －2x 中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≠0B ．x ≥2C ．x ＞2且x ≠0D ．x ≥2且x ≠03．由一些大小相同的小正方体组成的几何体的三视图如图1所示，那么组成这个几何体的小正方体有（ ）A ．6块B ．5块C ．4块D ．3块4．在等腰△ABC 中，一腰AB 的垂直平分线交另一腰AC 于点G ，若已知AB ＝10，△GBC 的周长为17，则底BC 的长为（ ）A ．10B ．9C ．7D ．5 5．若α、β是方程x 2－4x －5＝0的两个实数根，则α2＋β2的值为（ ） A ．30B ．26C ．10D ．66．某校九（3）班的全体同学喜欢的球类运动用如图2所示的统计图来表示，下面说法正确的是（ ）A ．从图中可以直接看出喜欢各种球类的具体人数；B ．从图中可以直接看出全班的总人数；C ．从图中可以直接看出全班同学初中三年来喜欢各种球类的变化情况；D ．从图中可以直接看出全班同学现在喜欢各种球类的人数的大小关系 7．如图3，四边形ABCD 是平行四边形，O 是对角线AC 与BD 的交点，AB ⊥A C ，若AB =8，AC =12，则BD 的长是（ ）A ．16B ．18C ．20D ．228．如图4，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为（a ，b ），那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为（ ）A ．（-a ，-2b ）B ．（-2a ，-b ）C ．（-2a ，-2b ）D ．（-b ，-2a ）主视图俯视图左视图图1足球 30%篮球 25%排球 20%乒乓球 25% 图29．已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图5所示，有下列5个结论：①abc ＜0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a +b ＜m （am +b ）（m ≠1且为实数），其中正确的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10．如图6，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC =BC =2，在以AB 的中点O 为坐标原点、AB 所在直线为x 轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC 绕点B 顺时针旋转，使点A 旋转至y 轴正半轴上的A ′处，则图中阴影部分面积为（ ）A ．4π3－2B ．4π3C ．2π3D ．2π3－2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，共18分。

）11．某汽车参展商为参加中国（成都）国际汽车博览会，印制了105000张宣传彩页，105000这个数字用科学记数法表示为 ___ .12．如图7，已知△ABC 中，∠ABC ＝45°，F 是高AD 和BE 的交点，CD ＝4，则线段DF 的长是 __ . 13．某篮球兴趣小组五位同学的身高（单位：cm ）如下：175、175、177、x 、173，已知这组数据的平均数是175，则这组数据的方差是 .14．如图8所示，P A 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P ＝40°，则∠BAC ＝ ____ .15．如图9，给正五边形的顶点依次编号为1、2、3、4、5，若从某一顶点开始，沿五边形的边顺时针行走，顶点编号是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”. 如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→l 为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”.若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”，则他所处顶点的编号为 _______ .16．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件共需630元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需840元，现购甲、乙、丙各一件共需 ___ 元.三、解答题（共8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分8分）图4CBO图3B CAPO 图854321 图9EDCBAF 图7y-11x 图5图6（ 1）计算：()0228.6π-+261-⎪⎭⎫⎝⎛-－2cos60°(2)先化简（1－1x －1）÷x 2－4x ＋4x 2－1，并求当x 满x 2－6=5x 时该代数式的值.18.（本小题满分8分）如图10，小明在大楼30米高（即PH ＝30米）的窗口P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i （即tan ∠ABC ）为1∶3，点P 、H 、B 、C 、A 在同一平面上，点H 、B 、C 在同一条直线上，且PH ⊥HC ，（1）山坡坡角（即∠ABC ）的度数等于 度.（2）求A 、B 两点间的距离（结果精确到0.1米.参考数据3≈1.732）19.（本小题满分8分）小明与他的父亲、母亲计划五一期间外出旅游，初步选择了广安、绵阳、泸州、眉山四个城市，由于时间仓促，他们只能去一个城市，到底去哪一个城市三个人意见不统一，在这种情况下，小明父亲建议，用小明学过的摸球游戏来决定，规则如下：①在一个不透明的袋子中装一个红球（广安）、一个白球（绵阳）、一个黄球（泸州）和一个黑球（眉山），这四个球除颜色不同外，其余完全相同；②小明父亲先将袋中球摇匀，让小明从袋中随机摸出一球，父亲记录下其颜色，并将这个球放回袋中摇匀，然后让小明母亲从袋中随机摸出一球，父亲记录下它的颜色；③若两人所摸出球的颜色相同，则去该球所表示的城市旅游，否则，前面的记录作废，按规则②重新摸球，直到两人所摸出求的颜色相同为止．按照上面的规则，请你解答下列问题：（1）已知小明的理想旅游城市是绵阳，小明和母亲随机各摸球一次，请用画树状图求出他们均摸出白球的概率.（2）已知小明母亲的理想旅游城市是泸州，小明和母亲随机各摸球一次，则他们至少有一人摸出黄球的概率是多少？20. (本小题满分8分) 如图11，已知反比例函数y 1=k 1x（k 1﹥0）与一次函yO CBA x图11 图10数y2=k2x ＋1（k2≠0）相交于A 、B 两点，A C ⊥x轴于点C ，若△OAC 的面积为1，且tan ∠AOC =2.（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）请直接写出B 点的坐标，并指出当x 为何值时，反比例函数y 1的值大于一次函数y 2的值？ 21.（本小题8分）已知正方形ABCD 中，∠MAN =45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N .当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时(如图12)，易证BM ＋DN ＝MN ．（1）当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时(如图13)，线段BM ，DN 和MN 之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明．（2）当∠MAN 绕点A 旋转到如图14的位置时，线段BM ，DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并加以证明．22.（本小题满分10分）某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套，经过一段时间的经营发现，当每套设备的月租金为270元时，恰好全部租出．在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且没租出的一套设备每月需支出费用（维护费、管理费等）20元．设每套设备的月租金为x （元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入－支出费用）为y （元）.（1）用含x 的代数式表示未出租的设备数（套）以及所有未出租设备（套）的支出费用（2）当月租金分别为300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该出租多少套机械设备？请你简要说明理由.（3）当x 为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益为多少？ 23.（本小题满分10分）如图15，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，AC =PC ，∠COB =2∠PCB .（1）求证：PC 是⊙O 的切线； （2）求证：BC =12AB ；（3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若AB =4，求MN ·MC 的值.MN DC A图14BNM BACD 图12NMBACD图13MCBAPO N 图1524.（本小题满分12分）如图16，抛物线y＝ax2-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）.（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ，当△CQE的面积为3时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）.问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案及评分意见一、 选择题1—5 CBBCB 6—10 DCCBC二、填空题11．1.05×105 12．4 13．1.6 14．20° 15．3 16．210三、解答题17．（1）解：原式=1+36﹣1……………2分=36； ………………3分 (2)解：原式 =x -2x -1·(x +1)(x -1)(x -2)2 ··············································································· 2分=x +1x -2······························································································ 3分方程x 2-6=5x 的解为：x 1=6 x 2=-1 ········································································ 4分∵x =-1时分式无意义 ，∴当x =6时，原式=6+16-2=74···················································· 5分18．解：（1）30. ································································································ 2分 （2）在Rt △BHP 中，∠PBH =600， ∵PH PB =sin ∠PBH ，∴PB =PH sin ∠PBH =30sin60°=203 ···················································· 4分 在△ABP 中，∠AP B =60°-15°=45°， ∠ABP =180°－∠PBH －∠ABC =180°－60°－30°=90° ····················································· 5分 ∴△ABP 是等腰直角三角形， ·············································································· 6分 ∴AB =PB =203≈34.6（米） ··················································································· 7分 答：A 、B 两点间的距离约为34.6米. ····································································· 8分19．解：（1）画树状图得：······································ 4分∵共有16种等可能的结果，小明和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的只有1种情况，∴小明和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的概率是：116； ········································· 6分（2）由（1）得：共有16种等可能的结果，小明和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的有7种情况，∴小明和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的概率是：716． ····························· 8分20．解：（1）在Rt △OAC 中，设OC =m ，∵tan ∠AOC =ACOC =2，∴AC =2×OC =2m ，∵S △OAC =12×OC ×AC =12×m ×2m =1，∴m 2=1，∴m =±1（负值舍去）， ∴A 点的坐标为（1，2）， ····················································································· 2分把A 点的坐标代入y 1=k 1x中，得k 1=2，∴反比例函数的表达式为y 1=2x， ············································································· 3分把A 点的坐标代入y 2=k 2x ＋1中，得k 2+1=2，∴k 2=1， ∴一次函数的表达式y 2=x +1； ················································································ 4分 （2）B 点的坐标为（-2，-1）， ·············································································· 6分 当0＜x ＜1和x ＜-2时，y 1＞y 2. ············································································· 8分21．解：(1)B M ＋DN =MN 成立． ············································································· 1分 如下图1，在MB 的延长线上，截得BE =DN ，连接AE ， 易证：△ABE ≌△AND ，∴AE =AN ． ······································································· 2分∴∠EAB =∠NMD ．∴∠BAD =90°,∠NAM =45°∴∠BAM +∠NMD =45°．∴∠EAB +∠BAM =45°．∴∠EAM =∠NAM 又AM 为公共边，∴△AEM ≌△ANM ， ∴ME =MN ，∴ME =B E ＋BM =D N ＋BM .∴DN +BM =MN . ································································································· 4分 (2)D N －B M ＝MN ． ······························································································ 5分 理由如下：如图2，在DC 上截取DF =BM ，连接AF ．∵AB =AD ，∠ABM =∠ADF =90°，∴△ABM ≌△ADF （SAS ）∴AM =AF ，∠MAB =∠F AD ． ················································································· 6分 ∴∠MAB +∠BAF =∠FAD +∠BAF =90°，即∠MAF =∠BAD =90°．又∠MAN =45°，∴∠NAF =∠MAN =45°．∵AN =AN ，∴△MAN ≌△FAN ．∴MN =FN ，即 MN=D N －DF=D N －BM ； ················································································· 8分22．解：（1）未租出的设备为x －27010套，所有未出租设备支出的费用为（2x －540）元； ··· 2分（2）∵y =(40－x －27010)x －（2x －540）=-110x 2+65x +540；············································· 4分ENMBACD图1FMND C A图2B∴当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备37套；当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备32套． ·················· 5分因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应该选择出租32套；如果考虑市场占有率，应该选择37套；··············································································· 6分（3）由（2）知y ＝-110x 2+65x +540=- 110（x -325）2＋11102.5 ······································· 7分∴当x =325时，y 有最大值11102.5．但是当月租金为325元时，出租设备的套数为34.5套，而34.5不是整数 ················································································································· 8分故出租设备应为34（套）或35（套）．即当月租金为330元（租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为11100元．…………………………10分23．解：如图3（1）∵OA =OC ，∴∠A =∠ACO ， 又∵∠COB =2∠A ，∠COB =2∠PCB ，∴∠A =∠ACO =∠PCB ，又∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACO +∠OCB =90°，∴∠PCB +∠OCB =90°， ∴∠PCO =90°，即OC ⊥CP ，而OC 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线；.............................（3分） （2）∵AC =PC ，∴∠A =∠P ， ∴∠A =∠ACO =∠PCB =∠P ，又∵∠COB =∠A +∠ACO ，∠CBO =∠P +∠PCB ，∴∠COB =∠CBO ，∴BC =OC ，∴BC =12AB ； ····························································· 6分（3）连接MA ，MB ， ∵点M 是弧AB 的中点， ∴，∴∠ACM =∠BCM ，∵∠ACM =∠ABM ，∴∠BCM =∠ABM ，又∵∠BMN =∠BMC ，∴△MBN ∽△MCB ，∴BM MC ＝MNBM， ············································ 8分∴BM 2=M N ·MC ， 又∵AB 是⊙O 的直径，，∴∠AMB =90°，AM =BM ，∴AB =4，∴BM =22，∴MN ·MC =BM 2=（22）2=8 ·················································· 10分24．解：（1）由题意，得⎩⎨⎧=+-=c c a a 48160 ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==421c a ，∴所求抛物线的解析式为y ＝-12x 2+x +4（2）如图4，设点Q 的坐标为（m ，0），过点E 作EG ⊥x 轴于点G ，由-12x 2+x +4＝0，得x 1=-2，x 2=4,∴点B 的坐标为（-2，0） ，∴AB =6，BQ = m +2 ∵QE ∥AC ， ∴△BQE ∽△BAC ， ∴EG CO =BQ BA 即EG 4=m+26，∴EG =2m+43………….5分 ∴ S △CQE ＝S △CBQ －S △EBQ ＝12BQ ·C O －12BQ ·EGM C B A P O N图3G y O D Q ECB Ax图4M G Fy O D Q ECB Ax图5Pl=12(m +2)(4－2m+43) =-13m 2+23m +83=3, ∴ m 2－2m －8＝-9, ∴m =1 ∴Q (1，0) ·································································· 7分（3）存在 ·········································································································· 8分 在△ODF 中，①若DO =DF ，∵A (4，0)，D (2，0)，∴AD =OD =DF =2,又在Rt △AOC 中，OA =OC =4，∴∠OAC = 45° ∴∠DF A =∠OAC = 45°∴∠ADF =90° 此时，点F 的坐标为（2，2）由24212=++-x x ，得x 1=1＋5，x 2=1－ 5 此时，点P 的坐标为：P (1＋5，2 )或P (1－5，2 )······················································································································· 9分 ②如图5，若FO =FD ，过点F 作FM ⊥ 轴于点M ，由等腰三角形的性质得：OM ＝12OD ＝1,∴AM =3∴在等腰直角三角形△AMF 中，MF =AM =3 ∴F (1，3) 由-12x 2+x +4＝3，得x 1=1＋3，x 2=1－ 3 此时，点P 的坐标为：P (1＋3，3)或P （1－3，3) ………………………………10分③若OD =OF ，∵OA =OC =4，且∠AOC =90°，∴AC = 4 2∴点O 到AC 的距离为22，而OF =OD =2＜2 2此时，不存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形. ··································· 11分综上所述，存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形.所求点P 的坐标为：P (1＋5，2 )或P (1－5，2 )或P (1＋3，3)或P （1－3，3)…………………………12分。