Banach空间多值Φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近

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Banach空间中一致Lipschitzian映象不动点的迭代逼近

Banach空间中一致Lipschitzian映象不动点的迭代逼近孙庭;曾六川【摘要】设K是实p-一致凸Banach空间E中的非空闲凸子集,T是K到自身的一致Lipschit-zian映象,且F(T):={x∈K:Tx=x}≠φ.对任给的x0∈K,带误差的Ishikawa迭代程序生成序列{xn},在T是一致伪压缩映象的条件下,证明了‖xn-Txn‖→+0(n→∞).进一步,当T是全连续算子时,证明了{xn}强收敛到T的不动点.【期刊名称】《上海师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2009(038)004【总页数】6页(P355-360)【关键词】带误差的Ishikawa迭代程序;一致Lipschitzian映象;不动点;一致伪压缩映象;强收敛性【作者】孙庭;曾六川【作者单位】上海师范大学,数理学院,上海,200234;上海师范大学,数理学院,上海,200234【正文语种】中文【中图分类】O177.911 引言与预备知识设E是一个实Banach空间，E*是E的对偶空间．正规对偶映象J:E→2E*定义如下：J(x)={f∈ E*:〈 x,f〉=‖x‖‖f‖,‖x‖=‖f‖}, x∈ E,其中，〈·,·〉表示E和E*间的广义对偶对．定义1.1 设E是一个实Banach空间，K是E的一非空子集，T:K→ K是一映象．(1)T称为一致Lipschitzian映象，若存在常数L>0使得对一切n≥0，有‖Tnx-Tny‖≤ L‖x-y‖, x,y∈ K.(2)T称为一致伪压缩映象，若对任意x,y∈ K，存在j(x-y)∈ J(x-y)使得对一切n≥0，有〈 Tnx-Tny,j(x-y)〉≤‖x-y‖2.(3)T称为渐近非扩张映象，若对每个n≥0，存在kn>0，满足且‖Tnx-Tny‖≤ kn‖x-y‖2, x,y∈ K.(4)T称为非扩张映象，若‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖, x,y∈ K.注1.1 易见，非扩张映象类是渐近非扩张映象类，而渐近非扩张映象类是一致Lipschitzian映象类．同时，非扩张映象类是一致伪压缩映象类．回顾到，映象T:K→ K称为伪压缩映象，若存在j(x-y)∈ J(x-y)使得〈 Tx-Ty,j(x-y)〉≤‖x-y‖2, x,y∈ K.映象T:K→ K称为Lipschitzian映象，若存在常数L>0使得‖Tx-Ty‖≤ L‖x-y‖, x,y∈ K.当L=1时，T是非扩张映象．T称为增生映像，若I-T是伪压缩映像，其中I是E的恒等算子. 已熟知[1]，当T 是增生映像时，方程 Tx=0的解对应着某些发展系统的平衡点. 因此，特别在过去的20年左右，相当多的研究努力已倾注在逼近T的不动点的迭代法上，其中T是伪压缩映像[2～6].1974年，Ishikawa[7]首次引入了Ishikawa迭代程序，并在Hilbert空间中建立了下列收敛性结果．定理1.1 设K是Hilbert空间H的一非空紧凸子集，T:K→ K是Lipschitzian伪压缩映象. 对x0∈ K，由下列迭代程序定义序列{xn}：其中，实数列{αn},{βn}满足条件：则{xn}强收敛到T的不动点.最近，Yao与Chen[10]，在p-一致凸Banach空间E中用带误差的Ishikawa迭代程序来逼近Lipschitzian伪压缩映象的不动点，成功地建立了强收敛定理．从而，把上述定理1.1推广到了p-一致凸Banach空间的情况．本研究受Yao与Chen[10]的启发，研究p-一致凸Banach空间E中一致Lipschitzian映象T的不动点的带误差的 Ishikawa迭代序列{xn}的收敛性．在T是一致伪压缩映象的条件下，证明了‖xn-Txn‖→0 (n→∞). 进一步，当T是全连续算子时，证明了{xn}强收敛到T的不动点.下面，回顾一些预备知识．设E是一实Banach空间．E的凸性模δE:(0,2]→[0,1]定义如下：δE()}.Banach空间E称为一致凸的，若δE()>0,∈(0,2].设1<p<∞.广义对偶映象Jp:E→2E*定义为Jp(x):={f∈ E:〈 x,f〉=‖x‖p,‖f‖=‖x‖p-1}.特别地，J=J2是 E上的正规对偶映象．易见，Jp(x)=‖x‖p-2j(x), x≠0.Banach空间E称为p-一致凸的，若存在常数c>0 使得δE()≥ cp,∈(0,2].已证[8]，当1<p≤2时，Lp是2- 一致凸的；当2≤ p<∞时，Lp是p-一致凸的．为证明本文的主要结果，后面将用到下列命题与引理．命题1.1 [5] 设1<p<∞, E是一实Banach空间．则下列叙述(i)，(ii)等价：(i)E是p-一致凸的；(ii)存在常数cp>0使得对每个x,y∈ E，成立不等式‖x+y‖p≥‖x‖p+p〈 y,jp(x)〉+cp‖y‖p, jp(x)∈ Jp(x).(1.1)注1.2 在不等式(1.1)中，分别用(x+y)取代x，(-y)取代y，并利用Cauchy-Schwarz不等式，可得‖x+y‖p≤‖x‖p+p‖y‖·‖x+y‖p-1.命题1.2[8] 设1<p<∞, E是p-一致凸Banach空间．则存在常数d>0使得‖λx+(1-λ)y‖p≤λ‖x‖p+(1-λ)‖y‖p-Wp(λ)d‖x-y‖p, λ∈[0,1], x,y∈E,(1.2)其中，Wp(λ)=λp(1-λ)+λ(1-λ)p.引理1.1[9] 设{ρn},{σn}是二非负实数列，且对某个自然数N0，有ρn+1≤ρn+σn, n≥ N0.则下列叙述成立：(a) 若则存在；(b) 若且{ρn}有收敛到零的子列，则2 主要结果下面，分别用cp和d表出现在不等式(1.1)和(1.2)中的常数．在本文的余下部分里，假设E是实的p-一致凸 Banach空间，满足：且p≤1+cp.对空间Lp (1<p≤2)，下列不等式成立 [8]：‖x+y‖2≥‖x‖2+2〈 y,J(x)〉+cp‖y‖2, x,y∈ L p,‖λx+(1-λ)y‖2≤λ‖x‖2+(1-λ)‖y‖2-W2(λ)(p-1)‖x-y‖2, x,y∈ Lp,λ∈[0,1],其中，且对0<tp<1, tp是方程g(t)=(p-2)tp-1+(p-1) tp-2-1=0的唯一解．观察到，函数h:[0,1]→[0,∞): 在区间[0,1]上是增函数(因为于是，对空间Lp (1<p≤2)，有cp≥1且d=p-1.因此，条件且p≤1+cp被满足．引理2.1 设E是实的p-一致凸Banach空间，K是E的一非空有界凸子集，T:K→ K是一致伪压缩映象，则对每个n≥0，有cp‖Tnx-Tny‖p≤(p-1)‖x-y‖p+‖(I-Tn)x-(I-Tn)y‖p, x,y∈ K.证明在不等式(1.2)中，分别用取代取代y，可得‖x-y-(Tnx-Tny)‖p≥‖x-y‖p-p2p-1〈+cp‖Tnx-Tny‖p≥‖x-y‖p-p‖x-y‖p+cp‖Tnx-Tny‖p.由于故对每个n≥0，有cp‖Tnx-Tny‖p≤(p-1)‖x-y‖p+‖x-y-(Tnx-Tny)‖p, x,y∈ K.证毕．注2.1 注意到，函数在区间(0,∞)上是严格增加函数．因而，当时，它在(0,∞)上至多有一个零点．这时，由得知，其零点tp∈(0,1).定理2.1 设E是实的p-一致凸Banach空间，使得且p≤1+cp.K是E的一非空有界凸子集，T:K→ K是一致Lipschitzian映象，具有一致Lipschitz 常数L>0，且F(T)≠Ø. 又设及是[0,1]中的实数列，满足下列条件(iii) 对某个>0及b∈(0,tp)，≤1-dcp(1-αn)2-(p-2)≤βn≤ b, n≥0，其中，且tp是下列方程在区间(0,∞)中的唯一解：(2.1)对任给的x0∈ K，由下列带误差的Ishikawa迭代程序定义序列{xn}(2.2)其中，{un},{vn}是K中的任意序列．若T是一致伪压缩映象，且则证明任取x*∈ F(T).利用不等式(1.2)及K的有界性，对某个常数M≥0，有‖xn+1-x*‖p=‖(1-αn)(xn-x*)+αn(Tnyn-x*)-cn(Tnyn-un)‖p ≤(1-αn)‖xn-x*‖p+αn‖Tnyn-x*‖p-Wp(αn)d‖xn-Tnyn‖p+Mcn.(2.3)据引理2.1推得cp‖Tnxn-x*‖p≤(p-1)‖xn-x*‖p+‖xn-Tnxn‖p.(2.4)cp‖Tnyn-x*‖p≤(p-1)‖yn-x*‖p+‖yn-Tnyn‖p.(2.5)而且，对某些常数M1≥0,M2≥0，有(2.6)(2.7)把(2.4)代入(2.6)，即得(2.8)令则有(2.9)把(2.9)与(2.7)代入(2.5)，即有cp‖Tnyn-x*‖p≤ (p-1)(1+tn)‖xn-x*‖p+(p-1)rn‖xn-Tnxn‖p+(1-βn)‖xn-Tnyn‖p+βn‖Tn xn-Tnyn‖p-把该不等式代入(2.3)，则对某常数M3>0有(2.10)注意到,由于Wp(αn)≥αn(1-αn) 2-(p-2),故据条件(iii)即得，于是，有由于T是一致Lipschitzian映象，故对某常数M4>0有于是，据条件p≤1+cp即知，对某常数M5>0有(2.11)再由条件b∈(0,tp)推得今选取某个使得′=1-(1-)2-(p-2)cpd>0.则由条件(iii)推得αn≥′>0. 又由(2.11)得到估计式‖xn+1-x*‖p≤‖xn-x*‖p-(2.12)由于据引理1.1即知，存在．据此及(2.12)推得0<因此，假设观察到，‖xn-Txn‖≤‖xn-Tnxn‖+‖Tnxn-Txn‖≤‖xn-Tnxn‖+L‖Tn-1xn-xn‖≤‖xn-Tnxn‖+L(‖Tn-1xn-Tn-1xn-1‖+‖Tn-1xn-1-xn‖)≤‖xn-Tnxn‖+L(L‖xn-xn-1‖+‖Tn-1xn-1-xn‖)≤‖xn-Tnxn‖+L(L‖xn-xn-1‖+‖Tn-1xn-1-xn-1‖+‖xn-1-xn‖)=‖xn-Tnxn‖+L‖Tn-1xn-1-xn-1‖+L(L+1)‖xn-1-xn‖.从而，即得证毕．定理2.2 设E是实的p-一致凸Banach空间，使得且p≤1+cp.K是E的一非空闭凸有界子集，T:K→ K是一致Lipschitzian映象，具有一致Lipschitz常数L>0，且F(T)≠Ø.又设及是[0,1]中的实数列，满足下列条件(iii) 对某个>0及b∈(0,tp)，≤1-dcp(1-αn)2-(p-2)≤βn≤ b, n≥0，其中且tp是下列方程在区间(0,∞)中的唯一解：(2.13)对任给的x0∈ K，由下列带误差的Ishikawa迭代程序定义序列{xn}其中，{un},{vn}是K中的任意序列．若T是全连续的一致伪压缩映象，且则{xn}强收敛到T的不动点．证明由定理由于T是全连续的，故序列{Txn}有强收敛的子列{Txni}，使得Txni→ y*∈ C.由此即得，xni→ y*.由于‖Ty*-y*‖≤‖Txni-Ty*‖+‖Txni-xni‖+‖xni-y*‖≤L‖xni-y*‖+‖Txni-xni‖+‖xni-y*‖=(1+L)‖xni-y*‖+‖Txni-xni‖,所以Ty*=y*.由(2.12)及x*的任意性，即得‖xn+1-y*‖p≤‖xn-y*‖p-再由引理1.1及条件即知，证毕．参考文献:[1] DEIMLING K Z. Zeros of accretive operators[J], ManuscriptaMath,1974,13:365-374.[2] CHIDUME C E, MOORE C. The solution by iteration of nonlinear equations in uniformly smooth Banach space[J]. J Math AnalAppl,1997,215(1):132-146.[3] MANN W R. Mean value methods in iteration[J]. Proc Amer Math Soc,1953,4:506-510.[4] OSILIKE M O. Iterative solution of nonlinear equations of the φ-strongly accretive type[J]. J Math Anal Appl,1996,200(2):259-271.[5] LIU Q H. The convergence theorems of the sequence of Ishikawa iterates for hemicontractive mappings[J]. J Math Anal Appl,1990,148(1):55-62.[6] REICH S. Iterative Methods for Accretive Sets in Nonlinear Equations in Abstract Space[M]. New York: Academic Press,1978,317-326.[7] ISHIKAWA S. Fixed point by a new iteration method[J]. Proc Amer Math Soc,1974,44:147-150.[8] XU H K. Inequalities in Banach spaces with applications [J]. Nonlinear Anal,1991, 16(12):1127-1138.[9] Tan K K, XU H K. Approximating fixed points of nonexpansive mappings by the Ishikawa iteration process[J]. J Math Anal Appl,1993,178(2):301-308.[10]YAO Y H, CHEN R D. Approximating fixed point of pseudocontractive mapping in Banach spaces[J]. J Math Res Exposition,2008,28(1):169-176.。

多值Φ-强伪压缩映像公共不动点的Ishikawa迭代逼近

引理【设Ｅ是一实Ｂｎｃ间，２ａａｈ空则
ｌ－ ≤ ｌｌ＋（Ｊ＋，，ｘＹＥ，＿ｌｙｌＸｌｌ２）（））Ｙ，∈ ，）『（＋ｇ ∈，ｇ．）．＋）其中．Ｅ（， ’ 至：是卫够像。
设Ｅ是实Ｂｎｃ空间，ａａｈＤ是Ｅ的非空凸子集，
，：２是两个多值一强伪压缩映像，。 ∈Ｄ是任一给定的点，｛，｝且Ｏ｝｛是区间［，］ｔＯ１中的两个序列，ｕ｝｛｝｛，都是Ｄ中的有界序列。则由下式定义的序列｛｝：
关键词：多值；一强伪压缩映像；不动点
中图分类号：１７９０７．１
文献标识码：Ａ
文章编号：０４６２２００－０２０１０－０Ｘ（０７）２０２－４
１预备知识
本文始终设Ｅ是一实Ｂｎｃａａｈ空间，其范数为０・ｌ，是Ｅ的对偶空间，ｌＥ’ Ｄ是Ｅ之一非子空集，Ｊ为自然数集，（表示映像在Ｄ中所有不动点ＩｖＦ）
Ｊｎ．ｏ７ｕｅ２０
多值一强伪压缩映像公共不动点的Ｉｉａａ迭代逼近ｓｋｗｈ
冉凯惠存阳，，赵凤群２
（．西安文理学院数学系，１陕西西安７０６；２１０５．西安理工大学数学系，陕西西安７０４）１０８
：
（一７（））ｌ一一．一， ≤ ｌＹｌ（１－）ｌ－．，）ｌｌｙｌｌｙ１Ｉｌ
收稿日期：０６— １ —２２０１Ｏ

Hilbert空间中φ-强伪压缩映像的一个注记

ｗｉｔｈｏｕｔｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙｏｒｅｖｅｎｗｉｔｈｏｕｔｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓｉｎＨｉｌｂｅｒｔｓｐａｃｅｗｅｒｅｓｔｕｄｉｅｄｕｎｄｅｒｃｏｎｄｔｉｏｎｃ
文章编号：１００１－５０５１（２０１３）０１－００２８－０３
Ｈｉｌｂｅｒｔ空间中一强伪压缩映像的一个注记
张树义，宋晓光
（渤海大学数理学院，辽宁锦州１２１０１３）
第３６卷第１期２０１３年２月
浙江师范大学学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＺｈｅｊｉａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔ．Ｓｃｉ．）
Ｖｏ１．３６，Ｎｏ．１Ｆｅｂ．２０１３
ｎ＝１
∑ｃ２ＩｌＸｎ — ＴｘＩｌ＜∞，此时定理１就不易使用．本文的目的是：在Ｃｎｌｌ２Ｃｎ — ＴｘｌＩ一０（ｎ一∞）的条
必有界）．假设在Ｋ中有一个不动点，设｛ｃ｝为（０，１）中的数列，满足∑ｃ＝ ∞，对任意初值 ∈ ，
迭代地定义序列｛｝为
＋１＝（１一Ｃ）＋ｃＴｘ，ｎ ≥１．
中图分类号：０１７７．９１文献标识码：Ａ
ＡＮｏｔｅｏｎ－ｓｔｒｏｎｇｌｙｐｓｅｕｄ０ｃ０ｎｔｒａｃｔｉＶｅｍａｐｐｉｎｇｓｉｎＨｉｌｂｅｒｔｓｐａｃｅｓ

Banach空间中κ-渐近拟伪压缩映像不动点的迭代算法

ＡｂｔａｔＢａｅｎｔｔｒｔｏｎｍｅｈｏｏｉｅｏｉｓｏｆｑｕｓ— ｔｉｔｐｅ — ｏｒｃｉａｐｉｓｒｃ：ｓｄｏｈｅｉｅａｉｔｄｆｒｆｘｄｐｎｔａｉｓｒｃｓｄｏｃｎｔａｔｏｎｍｐｎｇ，ａｎ
２１拄０２
河北大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｏｂｉＵｎｖｒｉｙ（ｔｒｌｃｅｃｉｉｎｏｒａｆＨｅｅｉｅｓｔＮａｕａｉｎｅＥｄｔｏ）Ｓ
２２０１
第３２卷
第２期
Ｖｏ．Ｏ１３２Ｎ．２
（）４２ｏｘ，）ｏ（２＋ｏｚ）２ — ｚ．一．．）（一ｘ，）（，＋＜，２，，＞
定义２１设Ｘ是实自反、＿］光滑、严格凸的Ｂｎｃａａｈ空间，Ｃ是Ｘ中的一个非空闭凸子集，义投影算子广
Ｉｃ＋ｐＩｃ）ｏｙ，，Ｃ．Ｉｚ）（Ｉｚ， ≤ （）ｙ∈
引理２７设Ｘ是自反的严格凸且光滑的Ｂｎｃ＿］ａａｈ空间，Ｃ是Ｘ中的非空闭凸子集， ∈Ｃ，。ｚ∈Ｘ，。ｚ一Ｉ（当且仅当（ｏ， —Ｊ０ ≥ＯＹ∈ＣＩ）ｃｚ— Ｊ＞，．
可得，，ｙ一Ｉ２Ｉ一【。（Ｊ）１７Ｉ．。ｌｌＩＹ定义３］称Ｔ： — Ｃ为渐近ｋ一伪压缩映像，果Ｖｚ［Ｃ拟如 ∈Ｃ， ∈Ｆ（ ≠ ，１ｌ，Ｅ（，）ｐＴ）电 ≥ ，ｍｋ一１ｋＯ１ｉ

banach压缩映像原理

banach压缩映像原理Banach压缩映像原理是数学中的一个重要定理，它在函数空间中寻找某个唯一的不动点，并且通过不断迭代逼近这个不动点。

这个原理常常用于证明某些方程或者问题存在唯一解，具有广泛的应用价值。

在数学中，函数空间是由一些满足特定条件的函数构成的集合。

Banach压缩映像原理主要适用于完备的函数空间，即满足柯西序列收敛的空间。

它的核心思想是通过构造一个压缩映像，即一个将函数映射到自身并且保持距离缩小的映射，利用这个映射不断逼近不动点。

具体来说，假设我们要解决一个方程f(x) = x，其中f是一个函数，x是未知量。

根据Banach压缩映像原理，我们可以找到一个压缩映像T，使得对于任意的x1和x2，有距离d(T(x1), T(x2)) < k * d(x1, x2)，其中k是一个小于1的常数。

然后，我们可以通过迭代逼近的方式，从一个初始的近似解x0开始，不断应用压缩映像T，即x_n = T(x_{n-1})，直到满足收敛条件为止。

通过Banach压缩映像原理，我们可以证明这个迭代过程收敛，并且收敛到唯一的不动点，即f(x) = x的解。

这是因为压缩映像的性质保证了距离的不断缩小，从而确保了迭代序列的收敛性。

而唯一性则是由于函数空间的完备性，确保了收敛序列的极限存在且唯一。

Banach压缩映像原理在实际问题中具有广泛的应用。

例如，在微分方程的求解中，可以将微分方程转化为一个不动点问题，然后利用压缩映像原理求解。

此外，在优化问题、概率论、经济学等领域，Banach压缩映像原理也被广泛应用于求解问题的唯一解或最优解。

总结起来，Banach压缩映像原理是数学中一个重要的定理，它通过构造一个压缩映像来寻找函数空间中的不动点，并且通过迭代逼近的方式求解方程或问题的解。

它的应用广泛，并且在数学和应用领域中都有重要的意义。

通过掌握和理解Banach压缩映像原理，我们可以更好地解决各种数学和实际问题，为科学研究和工程实践提供有力的支持。

Banach空间中伪压缩型映象不动点的迭代逼近

Banach空间中伪压缩型映象不动点的迭代逼近何晓林【期刊名称】《泸州医学院学报》【年(卷),期】1999(022)006【摘要】目的：研究Ｂａｎａｃｈ空间中伪压缩型映象不动点的迭代逼近。

方法：运用不等式（２．５）分析带有误差项的Ｉｓｈｉｋａｗａ迭代序列在一定条件下的收敛性。

结果：得到了关于强伴伪压缩多值映象的Ｉｓｈｉｋａｗａ序列收敛于其相关点的一个定理，这一定理抗议了Ｊ．Ｃ．Ｄｕｎｎ等人的结果。

结论：设Ｘ是一致光滑的实Ｂａｎａｃｈ空间，映象Ｔ：Ｘ→２＾ｘ关于ｘ是强半伪压缩的，且Ｒ（Ｔ）＝∪ｘ∈ｘＴｘ有界，又设｛ａｎ｝，｛βｎδ＝「０，１」满足条件αｎ，βｎ→０，（ｎ→∞），∑ｎ＝１＾∞αｎ＝∞；序列｛ｕｎ｝，｛ｖｎ｝，＝Ｘ满足条件∑ｎ＝１＾∞｜｜ｕｎ｜｜〈∞，｜｜ｖａ｜｜→０（ｎ→∞），则发中下定义的Ｉｓｈｉｋａｗａ型迭代序列｛ｘａ｝。

ｘ０∈Ｘｙｎ（１－βα）ｘａ＋βｎξｎ＋ｖｎ，ξｎ∈Ｔｘｎ，ｎ≥０ｘａ＋１＝（１－ａｎ）ｘａ＋ａｎηａ【总页数】4页(P471-474)【作者】何晓林【作者单位】泸州医学院数学教研室【正文语种】中文【中图分类】O177.91【相关文献】1.迭代逼近Banach空间中有限个强伪压缩映象的公共不动点 [J], 张云艳2.迭代逼近Banach空间中强伪压缩映象的不动点 [J], 张云艳3.关于Banach空间中Lipschitz强伪压缩映象不动点的带误差的Ishikawa型迭代逼近问题 [J], 王绍荣;杨泽恒4.一致光滑Banach空间中多值Ф-伪压缩型映象不动点的迭代逼近 [J], 谷峰;韩旸;刘彩平5.Banach空间中渐近伪压缩映象不动点在具误差的修正的Ishikawa迭代逼近问题 [J], 吴先兵因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

非线性算子的不动点的迭代逼近

非线性算子的不动点的迭代逼近
本文研究了Banach空间中非线性算子的不动点的迭代逼近问题.它一直是非线性逼近理论中所研究的最重要的问题之一.多年以来,有许多作者用Mann和Ishikawa迭代法去逼近非线性算子的不动点.本文一方面继续讨论了Banach空间中非扩张非自映象、渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近.另一方面,我们继续研究了一致L-Lipschitz映象对公共不动点的迭代逼近问题.所得结果推广、改进与发展了许多作者的相应结果.全文共分为四章.第一章前言介绍了Banach空间中非线性算子不动点问题的研究简况及本文作者的主要工作.第二章讨论了渐近伪压缩映象的迭代序列强收敛的充要条件.第三章讨论了一致L-Lipschitz映象对公共不动点的迭代逼近.第四章讨论了Banach空间中非扩张非自映象不动点的粘滞迭代逼近.。

多值φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近

多值φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近冉凯【摘要】在一致光滑的实Banach空间中,研究多值φ-强伪压缩映像不动点的Ishikawa迭代逼近问题.给出了具误差的Ishikawa迭代序列逼近多值φ-强伪压缩映像不动点的强收敛定理,并得到了具误差的Ishikawa迭代序列逼近多值φ-强增生映像方程解的强收敛定理,改进了近期一些文献的相关结论.【期刊名称】《西安文理学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(014)002【总页数】4页(P42-45)【关键词】φ-强伪压缩映像;φ-强增生映像;不动点;迭代序列【作者】冉凯【作者单位】西安文理学院数学系,陕西西安710065【正文语种】中文【中图分类】O1777.911 预备知识本文始终设 E是一实Banach空间,其范数为‖·‖,E＊是 E的对偶空间,F(T)表示映像T的所有不动点之集.〈·,·〉是 E与 E＊之间的广义对偶对,J:E→2E＊是由下式定义的正规对偶映像:J(x)={f∈E＊∶〈x,f〉=‖x‖·‖f‖,‖x‖=‖f‖},∀x∈E.若 E是一致光滑的,则 J是单值的,且在的任一有界子集上一致连续,用 j表示单值对偶映像.设D是 E的非空子集,T∶D→2D是一多值映像,称 T是多值φ-强增生的,如果存在严格增函数φ:[0,+∞)→[0,+∞),φ(0)=0,使∀x,y∈D及∀ξ∈Tx,∀η∈Ty,存在 j(x-y)∈J(x-y),满足〈ξ-η,j(x-y)〉≥φ(‖X-y‖),称 T是多值φ-强伪压缩的;如果 I-T是多值φ-强增生的,其中 I是恒等映象.等价于存在严格增函数φ∶[0,+∞)→[0,+∞),φ(0)=0,使∀x,y∈D及∀ξ∈Tx,∀η∈Ty,存在 j(x-y)∈J(x-y),满足〈ξ-η,j(x-y)〉≤‖x-y‖2-φ(‖x-y‖).近几年,许多学者对φ-强伪压缩映像不动点和φ-强增生算子方程解的 Ishikawa迭代逼近问题进行了广泛研究,如文献[1]-[8].受张石生教授文[1]启发,本文在一致光滑的实 Banach空间中研究具随机误差的 Ishikawa迭代序列逼近多值φ-强伪压缩映像不动点和多值Φ -强增生映像方程解的问题,不要求算子的一致连续性,不要求E的非空凸子集D有界,论证方法也有所改进.下列引理在本文主要结果的证明中起到关键作用.引理 1[2] 设 E是一实 Banach空间,则有‖x+y‖2≤‖x‖2+2〈y,j(x+y)〉,∀x,y∈E,j(x+q)∈J(x+q).其中J∶E→2E＊是正规对偶映像.引理 2 设 E是一实Banach空间,T∶D→2D是一多值φ-强增生映像,∀f∈D,定义映像S∶D→2D为 Sx=f-Tx+x,∀x∈D,则S∶D→2D是多值强φ-伪压缩的,即∀x,y∈D及∀ξ∈Sx,∀η∈Sy,存在 j(x-y)∈J(x-y),满足〈ξ-η,j(x-y)〉≤‖x-y‖2-φ(‖x-y‖).证明∀ξ∈Sx,η∈Sy,∃ξ1∈Tx,η1∈Ty,使得ξ=f-ξ1+x,η=f-η1+x,因为 T是多值φ-强增生的,故对ξ1∈Tx,η1∈Ty,存在 j(x-y)∈J(x-y),使得〈ξ1-η1,j(xy)〉≥η(‖x-y‖).因而即S∶D→2D是多值φ-强伪压缩的.同理,若T∶D→2D是一多值φ-强伪压缩的,则如上定义的S∶D→2D是多值φ-强增生映像.2 主要结果定理 1 设 E是一致光滑的实Banach空间,D是 E的非空凸子集,T∶D→2D是φ-强伪压缩映像,且值域 R(T)有界.{αn},{βn}是[0,1]中的两个实数列,{un}与{vn}是 D 中的两个有界序列,满足条件:(1)定义如下的具误差的 Ishikawa迭代序列{xn}:证明设q∈F(T),则 F(T)={q}.若p∈F(T),有p∈Tp,故∃j(x-y)∈J(x-y),满足‖p-q‖2=〈p-q,j(p-q)〉≤‖p-q‖2-φ(‖p-q‖),即φ(‖p-q‖)≤0.由Φ的性质得 p=q,故 F(T)={q}.设 {xn},{yn}由 (IS)定义的迭代序列,则∃ξn∈Txn,ηn∈T yn,使得利用(1)式及引理 1,已知‖un‖=o(αn),设‖un‖=αnεn(∀n≥0),则εn→0(n→∞),不访设0≤εn≤1.T的值域 R(T)有界,令M1=sup{‖ξ-q‖∶ξ∈R(T)}+‖x0-q‖+1.下证:当 n=0时,(3)式显然成立.假设对某自然数 n,(3)式成立.对自然数 n+1,则又故在 D中有界.令因E是一致光滑的,则‖j(xn+1-q)-j(yn-q)‖→0(n→∞).令 en=〈ηn-q,j(xn+1-q)-j(yn-q)〉,有en→0(n→∞),则 (2)变成将(5)代入(4)得其中可以断言即∀n≥0,‖yn-q‖≥δ≥0,有φ(‖yn-q‖)≥φ(δ)>0.由于故存在N0∈N+,当 n>N0时,λn<φ(δ).由 (6)式,对一切 n>N0,有‖xn+1-q‖2≤‖xn-q‖2-αnφ(δ),所以φ矛盾.则存在的子列使‖由于得‖xn-q‖→0(i→∞).即∀ε>0,∃i0∈N+,∀i≥i0,使得‖xni-q‖<ε.因=0,故存在及下证:对所有的k∈N+,∀i≥i0,使ni≥N1,有当 k=1时,若‖xni+1-q‖≥ε,则∀ni≥N1,因此利用 (6)式及φ的定义,ε2矛盾.假设‖xni+k-q‖<ε,下证‖xni+k+1-q‖<ε.若‖xni+k+1-q‖≥ε,ε2矛盾.由 (8)式及ε的任意性,lim n→∞‖xn-q‖=0.定理 2 设 E是一致光滑的实Banach空间,D是 E的非空凸子集,T∶D→2D是φ-强增生映像, {αn},{βn}是[0,1]中的两个实数列,{un}与{vn}是 D中的两个有界序列,满足条件定义映像S∶D→2D为,Sx=f-Tx+ x,x∈D.设 R(S)有界.若 F(S)非空.则对任给的x0∈D,由定义的具误差的 Ishikawa迭代序列{xn}强收敛于方程f∈Tx的唯一解.证明设q∈F(S).即q∈S(q)-f-Tq+q.故f∈Tq,即 q是方程f∈Tx的解.因 T是多值φ-强增生映像,由引理 2,如上定义的 S是多值φ-强伪压缩映像.S的值域有界,由定理 1,{xn}强收敛于 S在D中的唯一不动点 q,得{xn}强收敛方程f∈Tx的唯一解. 定理 3 设 E是一致光滑的实Banach空间,D是 E的非空凸子集,T∶D→2D是φ-强增生映像, {αn},{βn}是[0,1]中的两个实数列,{un}与{vn}是 D中的两个有界序列,满足条件定义映像S∶D→2D为,Sx=f-Tx,x∈D,设 R(S)有界.若 F(S)非空,则对任给的x0∈D,由定义的具误差的 Ishikawa迭代序列{xn}强收敛于方程f∈Tx+x的唯一解.证明令T′=I+T,方程f∈Tx+x变成f∈T′x,由定理 2.即可得证.注定理 1在以下两个方面对文[1]的主要结论做了推广:1不要求是 E的有界子集,2不要求映像 T是一致连续的.[参考文献][1] ZAHNG S S.Ishikawa iterative approximations of fixed points and solutions formulti-valuedφ-strongly accretive and multi-valuedφ-strongly pseudo-contractive mappings[J].数学研究与评论,2002,22(3):447-453. [2] CHANG S S.Some problems and results in the study of nonlinear analysis[J].NonlinearAnal.T MA,1997,30(7):4197 -4208.[3] ZHOU H Y.Some convergence theorems for Ishikawa iterationsequences of certain nonlinear operators in uniformly s mooth Banach spaces[J].Acta Appl.Math.,1989,32:183-196.[4] CHANG S S.On Chidumes open question and approximate salution of multived strongly accretive mapping equations in Banachspaces[J].J.Math.Anal.Appl.,1997,216:94-111.[5] DEND L,D INGX P.Iterative approximationsofLipschitz strictlypseudocontractivemappings in uniformly smoothBanach spaces[J].NonlinearAnal.T MA,1995,24:981-987.[6] NADLER SB.Jr.Multivalued contraction mapping[J].PacificJ.Math.,1969,30:475-488.。

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Banach空间多值Φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近
刘丽莉;师涌江;刘桂霞
【期刊名称】《河北师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2006(30)1
【摘要】在一般Banach空间中,利用多值映像一致连续的性质,研究了多值Φ强伪压缩映像不动点的具误差的Ishikawa及Mann迭代逼近问题,得出了Ishikawa,Mann迭代序列强收敛的一个充分条件.由于单值映像是多值映像的特殊情况,故该结果改进和推广了近期相关结果.
【总页数】4页(P10-12)
【关键词】多值Ф-强伪压缩映像;具谩差的Ishikawa迭代序列;具谩差的Mann迭代序列
【作者】刘丽莉;师涌江;刘桂霞
【作者单位】河北建筑工程学院数学物理系
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.多值Ф-强伪压缩映像公共不动点的Ishikawa迭代逼近 [J], 冉凯;惠存阳;赵凤群
2.一致光滑Banach空间中多值Ф-伪压缩映象不动点的带随机混合型误差的迭代逼近 [J], 张树义
3.多值φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近 [J], 冉凯
4.多值Ф-强伪压缩映像不动点的迭代逼近 [J], 李德瑾;赵凤群
5.多值Φ-强伪压缩映像不动点的集合序列的Ishikawa迭代逼近 [J], 冉凯;赵凤群因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。