勾股定理(二)PPT课件
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3.6勾股定理 课件2(湘教版八年级上)
总统证法
a b
c
c a
b
• 1876年4月1日，伽菲尔 德在《新英格兰教育日 志》上发表了他对勾股 定理的这一证法。 • 1881年，伽菲尔德就任 美国第20任总统。后来， 人们为了纪念他对勾股 定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一 证法称为“总统证法”。
青朱出入图
青出
青 入
青方
青 出
（2）
13
B D
13
C
10
S
1 1 △ABC= 2×BC×AD = 2 ×10×12
=60（平方厘米）
3、一个三角形三个内角之比为 １ ： ２ ：３，则 其相对的三边之比为（ C ） 如果三个内角之比为１：２：１， 则其相对的 三边之比为（ D ）
Ａ１：２：３
Ｃ１： 3 ：２
30°
Ｂ１：２：１
Ｄ１：
2 所以Ｓ△= 1 ab=5cm 2
通过这节课的学习：
• 你都学到了些什么？
(勾股定理的证明及其运用) • 你还想知道有关勾股定理的其它的
证法吗？
b c a
勾 股 圆 方 图
• 赵爽：东汉末至三国时代吴国人 • 为《周髀算经》作注，并著有《 勾股圆方图说》。 • 赵爽的这个证明可谓别具匠心， 极富创新意识。他用几何图形的 截、割、拼、补来证明代数式之 间的恒等关系.
八年级数学
小组活动要求：（拿出准备好的三角形） 1、量一量，直角三角形的三边长分别是多少。 ２、算一算，三条边长的平方分别是多少。 ３、找一找，这三个平方数之间有什么关系。
是否所有的直角三角形都 有这个性质呢？即任作Rt △ABC, ∠C=90°，BC=a，
A
AC=b，AB=c，如图，那么 c
第1章勾股定理第2课时 勾股定理的简单应用PPT课件(北师大版)
13．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5 和11，则b的面积为( C)
A．4 B．6 C．16 D．55
14．如图，隔湖有两点A，B，从与BA方向成直角的BC方向 上的点C，测得CA＝50米，CB＝40米，求：
(1)A，B两点间的距离； (2)点B到直线AC的距离．
解：作BD⊥AC于点D.(1)由勾股定理得AB＝30米 (2)由面积 法： 12 AB×BC＝ 12 AC×BD，得BD＝24(米)．答：A，B两点间的距离 是30米，B点到直线AC的距离是24米
A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米
9．如图所示是一段楼梯，高BC＝3 cm，斜边AB是5 m，如果 在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯( C )
A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
10．如图，一个透明的圆柱形状的玻璃杯，由内部测得其底面 半径为3 cm，高为8 cm，今有一支12 cm的吸管任意斜放于杯中， 若不考虑吸管的粗细，吸管露出杯口长度最少为____cm2.
17．为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区要在如图的 AB所在的直线上建一图书阅览室．该社区有两所学校，所在 的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B.已知AB ＝25 km，CA＝15 km，DB＝10 km.试问：阅览室E建在距点A 多少千米处，才能使它到C，D两所学校的距离相等．
11．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4 m，高3 m，长20 m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请你帮他计算 阳光透过的最大面积．
解：在直角三角形中，由勾股定理可得，直角三角形的斜边长 为5 m，所以长方形塑料薄膜的面积是5×20＝100(m2)即阳光 透过的最大面积是100 m2
课件：2.1勾股定理(2)
A
13
?
C
12
B
如图,折叠长方形（四个角都是直角， 如图,折叠长方形（四个角都是直角， 对边相等）的一边，使点D落在BC 对边相等）的一边，使点D落在BC 边上的点F AB=8， 边上的点F处，若AB=8，AD=10. 你能说出图中哪些线段的长? （1）你能说出图中哪些线段的长? EC的长 的长. （2）求EC的长.
34cm
5、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则 、已知： △ 中 ＝ ＝ 则
2的长为 BC
25 或 7 .
4 4 A
B
B
C
3
A
3
C
如图，盒内长， 高分别是4 6、 如图，盒内长，宽，高分别是4米， 米和12 12米 3米和12米，盒内可放的棍子最长有多 长？ E
13米 米
12
C B
D
3 4
如图，将长为10米的梯子AC 10米的梯子AC斜靠 例 、如图，将长为10米的梯子AC斜靠 在墙上，BC长为 长为6 在墙上，BC长为6米。 (1)求梯子上端 到墙的 求梯子上端A到墙的 求梯子上端 底端B的距离 的距离AB。 底端 的距离 。
2）若梯子下部C向后 （2）若梯子下部C向后 移动2米到 米到C 移动 米到 1点，那么梯 子上部A向下移动了多少 子上部 向下移动了多少 米？
·
·
8
10
A
A
2×3×2 × ×
做一做
活动一： 你能把本章章头的图①、②、③、④、⑤ 拼成正方形吗？你能验证勾股定理吗？ 与同学交流。
做一做
活动二：剪4个全等的直角三角形， 把它们拼成弦图，与同学合作探索数 学家赵爽是如何利用弦图验证勾股定 理的。
议一议
探索勾股定理课件(浙教版)(2)
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.
这是判定直角三角形的根据之一
结论正确的理由
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.
已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2. 说明△ABC是直角三角形的理由.
1)
已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.B
C
C
D
D
A B 图1
45 A 3 B 图2
１.如图四边形ABCD中， ∠ACB=90，
AB=13，BC=5，AD=9，CD=15，回答下列问
题 (1).AC的长是多少？
A9 D
(2).△ABC， △ACD是直 13
角三角形吗？为什么？
15
(3).这个四边形的面积是 多少？
B 5C
２．已知:如图, △ABC中，CD是AB边上的 高，且CD2=AD.BD
说明 △ABC是直角三角形的理由。
C
解后反思：
本节课的结论，是另一种判
定直角三角形的方法，它仅
仅根据三边的长度之间的数 A D
B
量关系，就可以作出判断，
而不必计算角的大小。
1. 如果线段a,b,c能组成直角三角形, 则它们的 比可能是 ( B )
A. 3:4:7; B. 5:12:13; C. 1:2:4; D. 1:3:5.
想一想：上述结论中，如果已判断一个三角形 是直角三角形，那么哪条边所对的角是直角？
满足 a2 b2 c2 .的三个正整数，称为勾股数。
随堂练习
下列几组数是勾股数吗？
（1） 2， 3， 5； （2）0.3，0.4，0.5； （3）50，120，130； （4）3 4 5
这是判定直角三角形的根据之一
结论正确的理由
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.
已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2. 说明△ABC是直角三角形的理由.
1)
已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.B
C
C
D
D
A B 图1
45 A 3 B 图2
１.如图四边形ABCD中， ∠ACB=90，
AB=13，BC=5，AD=9，CD=15，回答下列问
题 (1).AC的长是多少？
A9 D
(2).△ABC， △ACD是直 13
角三角形吗？为什么？
15
(3).这个四边形的面积是 多少？
B 5C
２．已知:如图, △ABC中，CD是AB边上的 高，且CD2=AD.BD
说明 △ABC是直角三角形的理由。
C
解后反思：
本节课的结论，是另一种判
定直角三角形的方法，它仅
仅根据三边的长度之间的数 A D
B
量关系，就可以作出判断，
而不必计算角的大小。
1. 如果线段a,b,c能组成直角三角形, 则它们的 比可能是 ( B )
A. 3:4:7; B. 5:12:13; C. 1:2:4; D. 1:3:5.
想一想：上述结论中，如果已判断一个三角形 是直角三角形，那么哪条边所对的角是直角？
满足 a2 b2 c2 .的三个正整数，称为勾股数。
随堂练习
下列几组数是勾股数吗？
（1） 2， 3， 5； （2）0.3，0.4，0.5； （3）50，120，130； （4）3 4 5
17.2 勾股定理的应用 课件(共17张PPT) 2024-2025学年人教版八年级数学下册
解 ： 设水的深度为x尺 ， 则这根芦苇的长 度为(x+1)尺 ， 根据题意和勾股定理可列方 程为x2+52=(x+1)2 ， 整理得2x+1=25 ， 解得 x=12.所以水的深度为12尺，这根芦苇的长 度为13尺.
拓展延伸ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方
体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ B ）.
探索新知
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形 薄木板能否从门框内通过？为什么？
思考：
已知两直角边求斜边.
1.木板能横着或竖着从门框通过吗？
2.这个门框能通过的最大长度是多少？
3.怎样判定这块木板能否通过门框？
探索新知
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形 薄木板能否从门框内通过？为什么？
A.3
B . 5 C.2
D.1
B
B
A
A
课堂小结
利用勾股定理解决实际问题的一般思路： ①正确理解实际问题的题意； ②建立对应的数学模型； ③解决相应的数学问题； ④将数学问题的结果“翻译”成实际问题的答案.
A
B
A′
O
亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边.
A
离开原处六尺远，花贴湖面像睡莲.
请君动脑想一想，湖水在此深几尺？ B
A′
解：设水深为h尺，Rt△ABC中， OB=h，AO=h+3，A′B=6. 由勾股定理得：A′O2=A′B2+BO2，即 O (h+3)2=h2+62， ∴h2+6h+9=h2+36，解得：h=4.5. 答：湖水深为4.5尺.
拓展延伸ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方
体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ B ）.
探索新知
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形 薄木板能否从门框内通过？为什么？
思考：
已知两直角边求斜边.
1.木板能横着或竖着从门框通过吗？
2.这个门框能通过的最大长度是多少？
3.怎样判定这块木板能否通过门框？
探索新知
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形 薄木板能否从门框内通过？为什么？
A.3
B . 5 C.2
D.1
B
B
A
A
课堂小结
利用勾股定理解决实际问题的一般思路： ①正确理解实际问题的题意； ②建立对应的数学模型； ③解决相应的数学问题； ④将数学问题的结果“翻译”成实际问题的答案.
A
B
A′
O
亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边.
A
离开原处六尺远，花贴湖面像睡莲.
请君动脑想一想，湖水在此深几尺？ B
A′
解：设水深为h尺，Rt△ABC中， OB=h，AO=h+3，A′B=6. 由勾股定理得：A′O2=A′B2+BO2，即 O (h+3)2=h2+62， ∴h2+6h+9=h2+36，解得：h=4.5. 答：湖水深为4.5尺.
勾股定理课件PPT
X
古埃及人曾用下面的方法得到直角
•古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳子 分成等长的12段,然后以3个结， 4个结，5个结的长度为边长， 用木桩钉成一个三角形，其中 一个角便是直角。
按照这种做法真能得到一个 直角三角形吗？
1、了解勾股定理的逆定理与勾股定理的互逆性。 2、会通过三角形三边的数量关系来判断它是否为 直角三角形。
即：在Rt△ABC中，∠C=90°
伽 菲 尔 德 证 法
c2 = a2 + b2
例1 小丁的妈妈买了一部34英寸 （86厘米）的电视机。小丁量了 电视机的屏幕后，发现屏幕只有 70厘米长和50厘米宽，他觉得一 定是售货员搞错了。你能解释这 是为什么吗？
我们通常所说的34英寸 解：∵702+502=7400 或86厘米的电视机，是指 862=7396 其荧屏对角线的长度
1、按要求作出53页的三角形，并观察是什么三 角形。 2、阅读教材53-54页，理解勾股定理的逆定理。
动手画一画
下面的三组数分别是一个三 角形的三边长a，b，c： 3，4，4； 2，3，4； 3，4，5
（1）这三组数都满足a b c
2 2 2 吗？
（2）它们都是直角三角形吗？
勾股定理的逆定理
国家之一。早在三千多年前， 载于我国古代著名的数学著作
《周髀算经》中。 国家多年
小 结：
1、这节课你学到了什么知识？ 2 、运用“勾股定理”应注意什么问题？
3、你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？
1、课本55页第2、3题。
2、查阅有关勾股定理的历史资料。
3.（选做） 已知等腰直角三角形 斜边的长为2cm，求这个三角形 的周长？
人教版勾股定理复习课件(2)
2.△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，则最大边 上的高是___2_._4__。 3.长度分别为3，4，5，12，13的五根木棒能搭成（首 尾连接）直角三角形的个数为（ B ）
A.1个 B.2个 C.3个
D.4个
5
4.三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、
b、c，且c+a=2b，c 形状是（ A ）
–
a=
─12─
b，则三角形ABC的
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
5.如图，两个正方形的面积分别为64，49，则
AC= 17 。
A
64 D
49 C
6
6. 直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边上的高为 h，则下列各式中总能成立的是（ D ）
A. ab=h2 B. a2 +b2 =2h2
AB向AC方向对折，再将CD折叠到CA边上，折痕CE，
求三角形ACE的面积。
A
A
A
12-x
8
13
12
x D1 E
x
5
B
D
C
D5 C D5 C
11
12.如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄， DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km， 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、 D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？
直角。
2
互逆命题： 两个命题中， 如果第ห้องสมุดไป่ตู้个命题的题设是第二个
命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题 的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。
A.1个 B.2个 C.3个
D.4个
5
4.三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、
b、c，且c+a=2b，c 形状是（ A ）
–
a=
─12─
b，则三角形ABC的
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
5.如图，两个正方形的面积分别为64，49，则
AC= 17 。
A
64 D
49 C
6
6. 直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边上的高为 h，则下列各式中总能成立的是（ D ）
A. ab=h2 B. a2 +b2 =2h2
AB向AC方向对折，再将CD折叠到CA边上，折痕CE，
求三角形ACE的面积。
A
A
A
12-x
8
13
12
x D1 E
x
5
B
D
C
D5 C D5 C
11
12.如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄， DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km， 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、 D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？
直角。
2
互逆命题： 两个命题中， 如果第ห้องสมุดไป่ตู้个命题的题设是第二个
命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题 的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。
(精选幻灯片)勾股定理ppt课件
2 2 22
“总统证法”． 比较上面二式得 c2=a2+b2
16
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
17
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
b c
a2+b2=c2吗？
• 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A b 1 E aB ∵ S梯形ABCD= 2 a+b2
十任总统.后来， 1
人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明
= (a2+2ab+b2) 2
又∵ S梯形 ABCD=S
AED+S
EBC+S
CED
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2)
33
34
C A
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
B C
图2-1
A
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么
B 图2-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
3
s1 s2
s3
返 拼回 图 4
合作 & 交S流1+☞S2=S3
a等²+腰a直²=角c三²角形两直角边
“总统证法”． 比较上面二式得 c2=a2+b2
16
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
17
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
b c
a2+b2=c2吗？
• 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A b 1 E aB ∵ S梯形ABCD= 2 a+b2
十任总统.后来， 1
人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明
= (a2+2ab+b2) 2
又∵ S梯形 ABCD=S
AED+S
EBC+S
CED
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2)
33
34
C A
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
B C
图2-1
A
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么
B 图2-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
3
s1 s2
s3
返 拼回 图 4
合作 & 交S流1+☞S2=S3
a等²+腰a直²=角c三²角形两直角边
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1 (2)SABC2BCAD
163 39 3(cm 2)
2020年10月2日
2
9
如图，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB，
∠DAB=30°，AD=8，求AC的长。
D
解：∵∠ABD=90°，∠DAB=30°
C
又AD=8 ∴BD= 1 AD=4
2
A
8
30°
B
在Rt△ABD中 ,根据勾股定理
A 2 B A 2 D B 2 D 8 2 4 2 48
到一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞
机距离这个男孩头顶5000米。飞机每小时飞行
多少千米？
C
B
20秒后
4000米
5000米
A
2020年10月2日
6
探究二:
一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上 (如图),这时梯脚与墙的距离是多少?
A
C
2020年10月2日
(2)当木梯顶端下滑0.5米，这时 梯脚与墙的距离是否向右滑动 0.5米？
B
7
1、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿 着东方向和南方向回家，若小红和小颖行走的速 度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20 分钟到家，小红和小颖家的距离为 （ C ）
A、600米
B、800米
C、1000米
D、不能确定
2、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，
那么斜边上的高是
（D ）
A、6厘米
B、 8厘米
C、 80/13厘米； D、 60/13厘米；
2020年10月2日
8
例1: 已知等边三角形ABC的边长6cm，
(1)求高AD的长；(2)S△ABC
A
解：(1)∵△ABC是等边三角形，AD是高
1 BD BC3
2
在Rt△ABD中 ,根据勾股定理
A2D A2B B2D B
D
C
A D 3 6 92 7 33 cm
B A
E
11
2020年10月2日
12
练 1.在△ABC中，∠C=90°.
(1)若a=6，c=10，则b= 8
;
习 (2)若a=12，b=9，则c = 1 5 ;
(3)若c=25，b=15，则 a = 20 ;
2.等边三角形边长为10，求它的高及面积。
3.如图，在△ABC中，
∠C=90°，CD为斜
2020年10月2日
D
C
B
A
14
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
在Rt△ABC中， A2B C2A C2,B 且 C A CB
A2B 2C2A C2A 1A2B 24 2
AC2 6
2020年10月2日
10
练一练
1、如图，所有的四边形都是正方形，所有
的三角形都是直角三角形，其中最大的正
方形E的边长为7cm，求正方形A，B，C，
D的面积的和
C D
2020年10月2日
2 18.1 勾股定理
2020年10月2日
1
回顾 &总结：☞
1、利用数格子的方法，探索了直角三角形的三边 关系，得到勾股定理：
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
A的面积+B的面积=C的面积
C cb B a
A
2020年10月2日
a2+b2=c2
2
练一练
1. 如图，你能解决这个问题吗？
5 3
边AB上的高，你可
以得出哪些与边有
关的结论？
A
2020年10月2日
C
b
a
h
m DnB
13
试一试：
在我国古代数学著作 《九章算术》中记载了一道 有趣的问题，这个问题的意 思是：有一个水池，水面是 一个边长为10尺的正方形，在 水池的中央有一根新生的芦 苇，它高出水面1尺，如果把 这根芦苇垂直拉向岸边，它 的顶端恰好到达岸边的水面， 请问这个水池的深度和这根 芦苇的长度0月2日
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练一练
2、已知：∠C=90°， a：b＝3：4，c＝10， 求a和b.
ac
b
3、已知：△ABC，AB＝AC＝17， BC＝16，则高AD＝＿＿＿， S△ABC＝＿＿＿.
2020年10月2日
B
A
D
C
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2020年10月2日
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学以致用
例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
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