高中数学正弦定理和余弦定理知识点分析
高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理
高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理正弦定理与余弦定理是高中数学中的重要知识点，用于求解不规则三角形的边长和角度。
本文将对这两个定理进行详细总结与讲解。
一、正弦定理1.1 定义正弦定理是指在任意三角形中，三条边与其对应的角的正弦值之间的关系。
设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则正弦定理的表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC1.2 推导我们通过利用三角形的面积公式S=1/2 * a * b * sinC，并将其转换为对角线的形式，可以得到正弦定理的推导过程。
1.3 应用正弦定理可以用于求解不规则三角形的边长和角度。
当我们已知三条边或者两条边和夹角时，可以利用正弦定理求解未知的边长或者角度。
二、余弦定理2.1 定义余弦定理是指在任意三角形中，三条边和它们对应的角之间的关系。
设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则余弦定理的表达式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC2.2 推导我们可以通过利用向量的几何关系，将余弦定理的表达式推导出来。
这个过程较为繁琐，这里就不做详细讲解。
2.3 应用余弦定理可以用于求解不规则三角形的边长和角度。
当我们已知三条边或者两条边和夹角时，可以利用余弦定理求解未知的边长或者角度。
三、正弦定理与余弦定理的比较3.1 适用范围正弦定理适用于任意三角形，而余弦定理只适用于任意三角形，不能用于直角三角形。
3.2 计算难度正弦定理的计算相对简单，只需要记住一个公式，而余弦定理的计算稍复杂，需要使用开方和乘法等运算。
3.3 精度误差由于余弦定理中涉及到平方运算，可能会带来一定的误差，而正弦定理中没有涉及到平方运算，计算结果更加准确。
3.4 应用场景正弦定理在计算不规则三角形的边长和角度时较为常用，尤其适用于已知两边和夹角的情况。
而余弦定理在计算不规则三角形的边长和角度时同样常用，特别适用于已知三边的情况。
(经典)正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明
正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法1．掌握正弦定理、 余弦定理，并能解决一些简单的三角形胸怀问题．2．能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些与丈量和几何计算相关的实质问题．主要考察相关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转变的数学思想．解三角形经常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一同求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现．1． 正弦定理(1) 正弦定理：在一个三角形中， 各边和它所对角的正弦的比相等， 即 ．其 中 R 是三角形外接圆的半径．(2) 正弦定理的其余形式：， c① a ＝ R A ， b ＝2 sin＝；a②sin A ＝2R ， sin B ＝，sin C ＝ ；③a ∶b ∶c ＝______________________.2． 余弦定理——王彦文 青铜峡一中(1) 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其余两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝，b 2＝，c 2＝.，即为勾若令 C ＝°，则 c 2＝90股定理．(2) 余 弦 定 理 的 变 形 ： cosA＝ ， cosB ＝ ，cosC ＝ .若 C 为锐角，则 cosC>0，即 a 2＋ b 2 ______c 2；若 C 为钝角，则 cosC<0，即 a 2＋b 2______c 2. 故由 a 2 ＋b 2 与 c 2 值的大小比较，能够判断 C 为锐角、钝角或直角．(3) 正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦能够写成 sin 2A＝ sin 2B ＋ sin 2C － 2sin Bsin CcosA ，近似地，sin 2B ＝ ____________ ； sin 2C ＝__________________.注意式中隐含条件 A ＋ B ＋C ＝π.3． 解斜三角形的种类(1) 已知三角形的随意两个角与一边，用____________定理．只有一解．(2) 已知三角形的随意两边与此中一边的对 角 ， 用 ____________ 定 理 ， 可 能 有___________________．如在△ ABC 中，已知 a ， b 和 A 时，解的状况如表：A 为钝角A 为锐角或直角图 形关 a ＝ b A aa ≥b a b 系 b A sin <b> 式 sin <解 的 ① ② ③ ④ 个 数(3) 已知三边，用 ____________定理．有1解时，只有一解．(4) 已知两边及夹角，用 ____________定理，必有一解．4． 三角形中的常用公式或变式(1) 三角形面积公式 S △＝ ＝＝ ____________ ＝ ____________ ＝____________．此中 R ，r 分别为三角形外接圆、内切圆半径．，(2) A ＋ B ＋ C ＝π，则 A ＝__________A＝ __________ ， 从 而sin A ＝2____________，cosA ＝ ____________ ， tan A ＝____________；A Asin 2＝ __________， cos 2＝__________，Atan 2 ＝ ________.tan A ＋ tan B ＋ tan C ＝__________.(3) 若三角形三边 a ，b ，c 成等差数列，则b ＝____________? 2sin B ＝____________?2B A －C A ＋ C A － C A2sin 2＝ cos2 ? 2cos 2 ＝ cos 2 ? tan 2C 1tan 2＝3.【自查自纠】． a bc R1(1)sin A ＝ sin B ＝sin C ＝ 2R BRC ② bc(2) ①2 si2 siRR2 2③ s in A ∶sin B ∶sin C2． (1) b 2＋c 2－2bccosA c 2＋a 2－ 2cacosB a 2 ＋b 2－2abcosC a 2＋ b 2b 2 ＋c 2－a 2c 2＋a 2－b 2a 2 ＋b 2－c 2>(2)2ca2ab2bc<(3) 互化sin 2C ＋sin 2A －2sin Csin AcosBsin 2A ＋ sin 2B －2sin Asin BcosC3．(1) 正弦 (2) 正弦 一解、两解或无解①一解 ②二解 ③一解 ④一解 (3) 余弦 (4) 余弦．11 1 abc(1) ab sin C bc s inA ac s in B2 22R412( a ＋b ＋c) rπ B ＋C(2) π－ ( B ＋ C)2 － 2sin( B ＋C－cos( B ＋C) )－ tan( B ＋ C cos B ＋CsinB ＋ C) 2 21 B ＋Ctan 2A B C (3)a ＋ csin A ＋ sin C tan tan tan2在△ABC中， A B 是A B 的()>sin >sinA．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件．故选 C.在△ABC中，已知 b＝， c＝，B＝°，则61030解此三角形的结果有 ()A．无解B．一解C．两解D．一解或两解解：由正弦定理知 sin C＝c·sin B5b＝6，又由c>b>csin B知， C有两解．也可依已知条件，画出△ ABC，由图知有两解．应选 C.( 2013·陕西 ) 设△ ABC的内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,若b cos C＋ c cos B＝a sin A,则△ ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确立C＋解：由已知和正弦定理可得BC B ＝A· A ，即sin cos＝sin sin sin sin( B ＋C cos A)sinA A，亦即sinA＝A因为Aπ，sin sin sin.0< <π所以 sin A＝1，所以 A＝ 2.所以三角形为直角三角形．应选.B( 2012·陕西 ) 在△ ABC中，角 A，B，C 所对的π边分别为 a，b，c. 若 a＝2，B＝6，c＝23，则 b＝________．解：由余弦定理知b2＝a2＋c2－ 2accosB＝π222 ＋( 23)－2×2×2 3×cos 6＝ 4， b＝ 2.在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 a＝ 2，b＝2，sin B＋cosB＝ 2，则角 A 的大小为 ________．解：∵ sin B＋ cosB＝2，ππ∴2sin B＋4＝ 2，即 sin B＋4＝1.πππ又∵ B∈(0 ，π ) ，∴ B＋4＝2， B＝4 .a b依据正弦定理sin A＝sin B，可得sin A＝asin B1＝.b2ππ∵a＜b，∴ A＜B. ∴ A＝6 . 故填6 .种类一正弦定理的应用△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 A－ C＝90°， a＋ c＝ 2b，求 C.解：由 a＋c＝ b 及正弦定理可得sinA2＋s in C＝ 2sin B.又因为 A－ C＝90°， B＝180°－ ( A＋ C) ，故 cosC＋ sin C＝ sin A＋sin C＝ 2sin( A＋ C) ＝2sin(90 °＋ 2C) ＝ 2sin2(45 °＋ C) ．∴2 sin(45° ＋C＝2 2 sin(45° ＋)C)cos(45 °＋ C) ，41即 cos(45 °＋ C) ＝2.又∵ 0°＜ C＜90°，∴ 45°＋ C＝60°，C ＝15°.【评析】利用正弦定理将边边关系转变为角角关系，这是解本题的重点．( 2012·江西 ) 在△ ABC中，角 A，B，C 的对边分别为a， b，c已知 A＝π，bsinπ＋C －.44c sinπ＋B ＝a4.π(1)求证： B－C＝2；(2)若 a＝ 2，求△ ABC的面积．解：(1)证明：对bπ＋C－sin4csin π＋ B＝ a应用正弦定理得4B π＋ C －sinCπ＋B ＝sinA，sin sin4sin422即sin B2 sin C＋2 cosC－sinC222，整理得 B C2 sin B＋2 cosB ＝2sin cos －s in CcosB＝ 1，即 sin ( B－C)＝1.3ππ因为 B，C∈ 0，4，∴ B－C＝2 .3π，又由 (1)知 B－C(2) ∵ B＋ C＝π－ A＝4π＝2，5ππ∴B＝8，C＝8.∵a＝2，A＝πb＝，∴由正弦定理知4a Bπa Cπsin5sinsin A＝ 2sin8，c＝sin A＝2sin 8 .115ππ∴S△ABC＝2bcsin A＝2×2sin8×2sin 8×225ππππ2＝ 2sin8 sin 8＝ 2cos8 sin8＝2π 1sin 4＝2.种类二 余弦定理的应用1 3 3∴S △ABC ＝2acsin B ＝ 4 .【评析】①依据所给等式的构造特色利用余弦定理将角化边进行变形是快速解答本题的 重点．②娴熟运用余弦定理及其推论，同时还 要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运 用．在△ ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，cosBb且cosC ＝－ 2a ＋c .(1) 求 B 的大小；(2) 若 b ＝ 13，a ＋c ＝4，求△ ABC 的面积．a 2＋ c 2－b 2， 解：(1) 由余弦定理知， cosB ＝ac2cosC ＝ a 2＋b 2－ c 2cosB b 2ab ，将上式代入cos C ＝－ a ＋c2 得a 2 ＋c 2－b 2 abb2＝－ a ＋c ， ac·a 2＋b 2－c22整理得 a 2＋c 2－ b 2＝－ ac.a 2＋c 2－b 2 －ac 1 ∴cosB ＝ ac ＝ ac ＝－ .22 22∵B 为三角形的内角，∴ B ＝ 3π.(2) 将 b ＝ 13，a ＋c ＝4，B ＝23π 代入 b 2＝a 2＋ c 2－2accosB ，得 13＝42－ 2ac －2accos 2 3π，解得 ac ＝3.若△ ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边 a ，b ，c 知足( a ＋b) 2－ c 2＝4，且 C ＝60°，则 ab 的值为 ( )4A. 3B ．8－4 3C ． 12D.3解：由余弦定理得 c 2＝ a 2 ＋b 2－2abcosC ＝a 2＋b 2－ab ，代入 ( a ＋ b) 2－ c 2 ＝4 中得 ( a ＋ b) 24－ ( a 2＋b 2－ab) ＝ 4，即 3ab ＝ 4，∴ ab ＝3. 应选A.6种类三正、余弦定理的综合应用以用余弦定理化边后用不等式求最值．( 2013·全国新课标Ⅱ ) △ ABC的内角A、B、 C的对边分别为 a，b，c，已知 a＝bcosC＋ csin B.(1)求 B；(2)若 b＝2，求△ ABC面积的最大值．解： (1) 由已知及正弦定理得 sin A＝sin BcosC＋ sin Csin B. ①又 A＝π－ ( B＋ C) ，故sin A ＝ sin( B ＋ C) ＝ sin BcosC ＋cosBsin C. ②由①，②和 C∈(0 ，π ) 得 sin B＝ cosB.π又 B∈(0 ，π ) ，所以 B＝4 .12(2) △ ABC的面积 S＝2acsin B＝4 ac.由已知及余弦定理得 4 ＝ a2＋ c2－π2accos 4 .又 a2＋ c2≥2ac，故 ac≤4，2－ 2当且仅当 a＝c 时，等号成立．所以△ ABC面积的最大值为2＋1.【评析】(1) 化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧； (2) 已知边及其对角求三角形面积最值是高考取考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可( 2013·山东 ) 设△ ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且 a＋ c＝ 6， b＝ 2， cosB7＝9.(1)求 a，c 的值；(2)求 sin( A－ B) 的值．解： (1) 由余弦定理 b2＝a2＋ c2－2accosB，得 b2＝( a＋c) 2－2ac(1 ＋cosB) ，又 a＋ c ＝6，b＝2，7cosB＝9，所以 ac＝9，解得 a＝3，c＝3.242(2) 在△ ABC中， sin B＝ 1－cos B＝9 ，asin B 22由正弦定理得 sin A＝b＝ 3 .因为 a＝c，所以 A 为锐角，21所以 cosA＝1－sin A＝3.所以 sin( A－B) ＝sin AcosB－ cosAsin B＝10 227.种类四 判断三角形的形状后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的 关系；或将角都化成边，而后进行代数恒等变 形，可一题多解，多角度思虑问题，进而达到 对知识的娴熟掌握．在三角形 ABC 中，若 tan A ∶tan B ＝a 2∶b 2，试判断三角形 ABC 的形状．a 2 sin 2A解法一：由正弦定理，得 b 2＝sin 2B ， tan A sin 2 A所以 tan B ＝sin 2 B ，A Bsin 2AA ＝ Bsin cos2 ，即sin2所以cosAsin B ＝sinB sin2 . 所以 A ＝ B ，或2 A ＋B ＝π，所以 A ＝B2 22π或 A ＋ B ＝ 2 ，进而△ ABC 是等腰三角形或直角三角形．a2sin 2A解法二：由正弦定理，得 b 2＝ sin 2B ，所以tan A sin 2A cosB sin Atan B ＝sin 2B，所以 cosA ＝ sin B，再由正、余弦a 2＋ c 2 －b 2aca a 2－ b2c 2－定理，得 2 22 2 )( b ＋ c －a ＝ b ，化简得 (2bca 2－b 2 )＝ ，即 a 2＝ b 2 或c 2＝ a 2 ＋b 2. 进而△ ABC 是等腰三角形或直角三角形．【评析】由已知条件，可先将切化弦，再联合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然( 2012·上海 ) 在 △ABC 中 ， 若 sin 2A ＋sin 2B 2C ，则△ ABC 的形状是 ( )<sin A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不可以确立解：在△ ABC 中，∵ sin 2A ＋sin 2 B<sin 2C ，∴由正弦定理知 a 2 ＋b 2<c 2. ∴cos C ＝ a 2＋b 2－c 22ab<0，即∠ C 为钝角，△ ABC 为钝角三角形． 应选 C.种类五 解三角形应用举例某港口 O 要将一件重要物件用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口 O北偏西 30°且与该港口相距20 n mile的A 处，并以 30 n mile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假定该小艇沿直线方向以v n mile/h 的航行速度匀速行驶，经过 t h 与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假定小艇的最高航行速度只好达到 30 n mile/h ，试设计航行方案 ( 即确立航行方向和航行速度的大小 ) ，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明原因．解法一：(1) 设相遇时小艇航行的距离为 S n mile ，则S＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos（90°－ 30°）＝t2－t ＋400＝900600900 t －123＋300，1103故当 t ＝3时，S min＝103，此时 v＝1＝3 303.即小艇以 30 3 n mile/h的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在 B 处相遇，则v2 t 2＝400＋t 2－900 2·20·30t ·cos(90 °－ 30°) ，2600400故 v ＝ 900－t＋t2.v≤，∴6004002－＋≤，即∵0<30900t t900t3－t≤0，22解得 t ≥3. 又 t ＝3时，v＝30. 故 v＝ 30 时，2t 获得最小值，且最小值等于3.此时，在△ OAB中，有 OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案以下：航行方向为北偏东30°，航行速度为 30 n mile/h ，小艇能以最短时间与轮船相遇．解法二：(1) 若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C处相遇．在 Rt△OAC中， OC＝20cos30°＝ 10 3，AC＝20sin30 °＝ 10.又 AC＝30t ，OC＝vt ，101103此时，轮船航行时间 t ＝30＝3，v＝1＝330 3.即小艇以 30 3 n mile/h的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)假定 v＝ 30 时，小艇能以最短时间与轮船在 D处相遇，此时 AD＝DO＝30t .又∠ OAD＝60°，所以 AD＝ DO＝OA＝20，2解得 t ＝3.据此可设计航行方案以下：航行方向为北偏东 30°，航行速度的大小为30 n mile/h. 这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．证明以下：如图，由 (1) 得 OC＝103， AC＝10，故 OC>AC，且关于线段 AC上随意点 P，有OP≥ OC>AC.而小艇的最高航行速度只好达到30 n mile/h ，故小艇与轮船不行能在 A，C 之间 ( 包括 C) 的随意地点相遇．设∠ COD＝θ (0 °<θ<90°) ，则在 Rt△COD 中，103CD＝103tan θ， OD＝cosθ .因为从出发到相遇，轮船与小艇所需要的10＋10 3tan θ和 t ＝103，时间分别为 t ＝30vcosθ10＋10 3tan θ10 3所以30＝vcosθ.153由此可得，v＝sin （θ＋30°）.3又 v≤30，故 sin( θ＋30°) ≥2，进而，30°≤ θ<90°.因为θ＝30°时， tan θ获得最小值，且3最小值为3 .10＋103tan θ于是，当θ＝30°时，t ＝302获得最小值，且最小值为3.【评析】①这是一道相关解三角形的实质应用题，解题的重点是把实质问题抽象成纯数学识题，依据题目供给的信息，找出三角形中的数目关系，而后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实质问题中，有宽泛的应用．在物理学中，相关向量的计算也要用到解三角形的方法．最近几年的高考取我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热门问题之一．③不论是什么种类的三角应用问题，解决的重点都是充足理解题意，将问题中的语言表达弄理解，画出帮助剖析问题的草图，再将其归纳为属于哪种可解的三角形．④本题用几何方法求解也较简易．10( 2012·武汉 5月模拟 ) 如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西 60°方向的 B 处，且与岛屿 A 相距 12 海里，渔船乙以 10 海里 / 小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，恰好用2 小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求 sin α的值．解： (1)依题意，∠BAC＝°，A B＝，12012 AC＝× ＝2，在△ ABC中，由余弦定理知 BC 1022022∠ BAC＝2＋2－＝AB＋ AC－ AB·AC·12202cos2×12×20×cos120°＝ 784，BC＝ 28.所以渔船甲的速度为 v＝28＝14( 海里 / 小2时) ．(2)在△ ABC中， AB＝12，∠ BAC＝120°，BC＝ 28，AB ∠BCA＝α，由正弦定理得sinα＝BC12＝28，进而 sin α＝，即sin120 °sin ∠ BAC sin α12sin120 °3328＝14.1．已知两边及此中一边的对角解三角形时，要注意解的状况，提防漏解．2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转变为角角关系 ( 注意应用 A＋ B＋ C＝π 这个结论 ) 或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变形( 如因式分解、配方等 ) 求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，不然有可能遗漏一种形状．3．要熟记一些常有结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与引诱公式联合产生的结论：sin A＝ sin( BA B＋C ＋C) ，cosA＝－ cos( B＋ C) ，sin 2＝cos 2，sin2 A＝－ sin2( B＋C) ，cos2A＝ cos2( B＋C) 等．4．应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤：(1)剖析：理解题意，分清已知与未知，画出表示图；(2)建模：依据已知条件与求解目标，把已11知量与求解量尽量集中到一个三角形中，成立一个解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)查验：查验上述所求得的解能否切合实际意义，进而得出实质问题的解．5．正、余弦定理是应用极为宽泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，进而使三角与几何产生联系，为求与三角形相关的量( 如面积、外接圆、内切圆半径和面积等 ) 供给了理论依照，也是判断三角形形状、证明三角形中相关等式的重要依照．主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意领会此中蕴涵的函数与方程思想、等价转变思想及分类议论思想．12。
高中数学-必修二6.3解三角形-知识点
1高中数学-必修二6.3解三角形-知识点1、正弦定理：A sin a =B sin b =C sin c =2R （R 是三角形的外接圆半径）。
常见变形：① sinA ：sinB ：sinC= a ：b ：c ；② a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC ；③sinA=R 2a ，sinB=R 2b ，sinC=R 2c。
★在满足等号两边（或是分子与分母）齐次的情况下，可将正弦值和边相互切换。
比如：若b=a cosC ，则可快速切换为sinB = sinA cosC 。
2、余弦定理：a 2 = b 2 + c 2 +2bc cosA ；b 2 = a 2 + c 2 +2ac cosB ；c 2 = a 2 + b 2 +2ab cosC ；cosA =bc 2a c b 222-+，cosB =ac 2b c a 222-+，cosC =b a 2c b a 222-+。
3、三角形面积公式：S=21absinC = 21bcsinA = 21acsinB .4、解斜三角形时，如果已知条件是 SAS ， ASA ， AAS ， SSS ，则有 唯一 解；如果已知条件是 SSA ，则可能 一 解，也可能 两 解，要根据题目条件去判断。
5、在三角形中，大边对大角，小边对小角，等边对等角。
也就是说，非最长边所对的角，一定是锐角，而最长边所对的角，可能是锐角，可能是直角，可能是钝角。
6、在求角时，我们尽量用cos 而不用sin ，因为cos 在锐角和钝角的情况下，值是不一样的，这样就简化了计算，避免了讨论。
7、在三角形角的计算中，要熟练运用sinA = sin （B+C ），cosA = -cos （B+C ），tanA = -tan （B+C ）。
8、题型：三角形形状的判断。
主要看是否是等腰三角形，等边三角形，直角三角形，等腰直角三角形，锐角三角形，钝角三角形。
9、反正弦：arcsinx(x ∈[-1 ,1 ])表示一个在[-π/2，π/2]范围中且正弦值为x 的角。
高中数学必修五-正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理知识集结知识元正弦定理公式知识讲解1．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b一解两解一解一解解的个数由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S＝a•h a（h a表示边a上的高）；2．S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．例题精讲正弦定理公式例1.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A=45°，B=30°，a=，则b=（）A．B．1 C．2 D．例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B=（）A．B．C．D．或例3.在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin A：sin B：sin C=3：5：7，则C=（）A．90°B．120°C．135°D．150°利用正弦定理解三角形知识讲解【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识例题精讲利用正弦定理解三角形例1.在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C所对的边．若a>b，则下列结论不一定成立的（）A．A>B B．sin A>sin BC．cos A<cos B D．sin2A>sin2B例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A的大小为（）A．B．C．D．例3.在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin B =b sin A，则a=（）A ．B ．C．1 D．三角形面积公式的简单应用知识讲解1．余弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．例题精讲三角形面积公式的简单应用例1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）2=c2+ab，B=30°，a=4，则△ABC的面积为（）A．4 B．3C．4D．6例2.设△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（）A．B．C．或D．或例3.在△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cos C=，且a cos B+b cos A=2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．利用余弦定理解三角形当堂练习填空题练习1.如图，O在△ABC的内部，且++3=，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为_____．练习2.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2-8=（a-b）2，a=2c sin A，则△ABC的面积为____．练习3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值是____．解答题练习1.'在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；（2）若D为AC的中点，且BD=1，求S△ABC的最大值．'练习2.'在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（a+c）sin B-b sin C=b cos A．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为4，a=6，求△ABC的周长．'练习3.'△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若。
正弦定理余弦定理知识点总结及最全证明
正弦定理余弦定理知识点总结及最全证明正弦定理概述：正弦定理是三角形的一个重要定理，它描述了三角形中各边与其相对的正弦值之间的关系。
正弦定理可以用于求解任意三角形的边长或角度。
正弦定理表达式：在一个三角形ABC中，有以下正弦定理的表达式：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C表示三角形的角度。
正弦定理表明，三角形的任意一边的长度与这条边相对的角的正弦值成正比。
正弦定理的证明：可以使用数学推导来证明正弦定理。
这里给出一种较为详细的证明方法。
证明：1. 通过三角形的边长关系：a = b * sin(A) / sin(B)和c = b *sin(C) / sin(B)，可得到以下关系式：a * sin(B) = b * sin(A)和c * sin(B) = b * sin(C)2.利用向量叉积原理知识，假设D为线段BC上的一点，则由向量的垂直性知：向量BD与向量AD是垂直的，向量CD与向量AD是垂直的。
3. 记向量AD为向量a，向量BD为向量b，向量CD为向量c，由向量b与向量a的垂直性可得：向量b·向量a = ，b， * ，a， *sin(∠BA) = b * AD * sin(∠BA)。
4. 同理，由向量c与向量a的垂直性可得：向量c·向量a = ，c，* ，a，* sin(∠CA) = c * AD * sin(∠CA)。
5. 因为∠C + ∠A = ∠BA，即∠CA + ∠BA = 180°，所以sin(∠BA) = sin(∠CA)。
所以有b * AD * sin(∠BA) = c * AD *sin(∠CA)。
6. 即有b * AD * sin(∠BA) = c * AD * sin(∠BA)，那么b = c，所以定理得证。
余弦定理概述：余弦定理是三角形的另一个重要定理，它描述了三角形中各边与其相对的角之间的关系。
【高中数学】高中数学正弦定理和余弦定理知识点分析
【高中数学】高中数学正弦定理和余弦定理知识点分析高中数学，正弦定理和余弦定理贯穿着整个高中数学阶段，可以说是非常重要的知识点了。
正余弦定理指正弦定理和余弦定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决三角形的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
高中数学正弦定理概述a/sina=b/sinb=c/sinc=2r正弦定理(1)未知三角形的两角与一边，求解三角形(2)已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形(3)运用a：b：c=sina：sinb：sinc化解角之间的切换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。
[1]证明步骤1在锐角△abc中，设bc=a，ac=b，ab=c。
作ch⊥ab像距为点hch=asinbch=bsina∴asinb=bsina获得a/sina=b/sinb同理，在△abc中，b/sinb=c/sinc步骤2.证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：任一三角形abc,作abc的外接圆o.作直径bd交⊙o 于d.相连接da因为在同圆或等圆中直径面元的圆周角就是直角，所以∠dab=90度因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角成正比，所以∠d等同于∠c.所以c/sinc=c/sind=bd=2r相似可以证其余两个等式。
高中数学余弦定理详述余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫做这个锐角的余弦值性质对于任一三角形，任何一边的平方等同于其他两边平方的和乘以这两边与它们夹角的余弦的两倍内积，若三边为a，b，c三角为a，b，c，则满足用户性质――s△abc=1/2absins△abc=1/2bcsinas△abc=1/2acsinb第一余弦定理(任意三角形射影定理)设立△abc的三边就是a、b、c，它们面元的角分别就是a、b、c，则存有a=bcosc+ccosb，b=ccosa+acosc，c=acosb+bcosa。
高中数学 正余弦定理
正弦定理和余弦定理一：基础知识理解 1．正弦定理(1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．二：基础知识应用演练1．(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．43 B ．2 3 C. 3D.322．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．75°3．(教材习题改编)在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定4．(2012·陕西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________.5．△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．解析：1选B 由正弦定理得：BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝2 3.2选C ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，又∵0°<A <180°，∴A ＝60°.3 选B ∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b a sin A ＝2418sin 45°，∴sin B ＝223.又∵a <b ，∴B 有两个．4 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23×32＝4，所以b ＝2.答案：2 5、解析：设BC ＝x ，由余弦定理得49＝25＋x 2－10x cos 120°，整理得x 2＋5x －24＝0，即x ＝3. 因此S △ABC ＝12AB ×BC ×sin B ＝12×3×5×32＝1534. 答案：1534小结：(1)在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B .(2)在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角 或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <ba ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解（1）利用正弦、余弦定理解三角形[例1] (2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小； (2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．解析：(1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3，所以B ＝π3. (2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3. 思考一下：在本例(2)的条件下，试求角A 的大小．方法小结：1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．2．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．试题变式演练1．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .解：(1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝ 2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sin B ＝ 2sin A ，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a2c .由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.（2）利用正弦、余弦定理判定三角形的形状[例2] 在△ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．[解析] (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )·b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，∵0<A <180°，∴A ＝120°.(2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝34 又sin B ＋sin C ＝1，解得sin B ＝sin C ＝12.∵0°<B <60°，0°<C <60°，故B ＝C ， ∴△ABC 是等腰的钝角三角形．方法小结：依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．[注意] 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．试题变式演练 (2012·安徽名校模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(4，－1)，n ＝⎝⎛⎭⎫cos 2A 2，cos 2A ，且m ·n ＝72. (1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判断△ABC 的形状．解：(1)∵m ＝(4，－1)，n ＝⎝⎛⎭⎫cos 2A2，cos 2A ， ∴m ·n ＝4cos 2A 2－cos 2A ＝4·1＋cos A 2－(2cos 2A －1)＝－2cos 2A ＋2cos A ＋3.又∵m ·n ＝72，∴－2cos 2A ＋2cos A ＋3＝72，解得cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a ＝3，∴(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc .①又∵b ＋c ＝23， ∴b ＝23－c ，代入①式整理得c 2－23c ＋3＝0，解得c ＝3，∴b ＝ 3，于是a ＝b ＝c ＝ 3，即△ABC 为等边三角形．（3）与三角形面积有关的问题[例3] (2012·新课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .[解] (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ， 所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0＜A ＜π，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2. 方法小结：1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的．解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用． 2．在解决三角形问题中，面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理结合应用．试题变式演练 (2012·江西重点中学联考)在△ABC 中，12cos 2A ＝cos 2A －cos A .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，sin B ＝2sin C ，求S △ABC .解：(1)由已知得12(2cos 2A －1)＝cos 2A －cos A ，则cos A ＝12.因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由b sin B ＝c sin C ，可得sin B sin C ＝b c＝2， 即b ＝2c . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4c 2＋c 2－94c 2＝12， 解得c ＝3，b ＝23，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×23×3×32＝332.课后强化与提高练习（基础篇-必会题）1．在△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，条件“a <b ”是使“cos A >cos B ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2012·泉州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 33．(2013·“江南十校”联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝23，c ＝22，1＋tan A tan B ＝2c b，则C ＝( )A ．30°B ．45°C ．45°或135°D ．60°4．(2012·陕西高考)在△ABC 中 ，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12D ．－125．(2012·上海高考)在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为________． 解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，∵sin B ≠0，7．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则C 的大小为________．8．(2012·北京西城期末)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝25，B ＝π4，9．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B . (1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .11．(2013·北京朝阳统考)在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足3a －2b sin A ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝5，且a >c ，b ＝7，求AB u u u r ·AC u u ur 的值．12．(2012·山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .课后强化与提高练习（提高篇-选做题）1．(2012·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C ，3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶42．(2012·长春调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，且a ＋b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为________．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，S △ABC ＝334，试判断△ABC 的形状，并说明理由．选做题1．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C＝________.2．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 cos 2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ， 且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值．课后强化与提高练习（基础篇-必会题）解析1解析：选C a <b ⇔A <B ⇔cos A >cos B .2解析：选D 由已知得12bc sin A ＝12×1×c ×sin π3＝32，解得c ＝2，则由余弦定理可得a 2＝4＋1－2×2×1×cos π3＝3⇒a ＝ 3.3解析：选B 由1＋tan A tan B ＝2cb 和正弦定理得cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ，即sin C ＝2sin C cos A ，所以cos A ＝12，则A ＝60°.由正弦定理得23sin A ＝22sin C ，则sin C ＝22，又c <a ，则C <60°，故C ＝45°. 4解析：选C 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，又c 2＝12(a 2＋b 2)，得2ab cos C ＝12(a 2＋b 2)，即cosC ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12.6解析：选C 由正弦定理得a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，所以C 是钝角，故△ABC 是钝角三角形．∴sin A ＝12，∴A ＝30°或A ＝150°.答案：30°或150°7解析：由正弦定理可知sin B ＝b sin Aa ＝3sinπ33＝12，所以B ＝π6或5π6(舍去)，所以C ＝π－A －B ＝π－π3－π6＝π2.答案：π28解析：根据正弦定理得b sin B ＝c sin C ，则c ＝b sin Csin B＝22，再由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2－4a －12＝0，(a ＋2)(a －6)＝0，解得a ＝6或a ＝－2(舍去)．答案：22 69解析：根据余弦定理代入b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14，解得b ＝4.答案：4 10解：(1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 故cos B ＝22，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64. 故a ＝b ×sin A sin B ＝2＋62＝1＋3，c ＝b ×sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6.11解：(1)因为3a －2b sin A ＝0，所以 3sin A －2sin B sin A ＝0，因为sin A ≠0，所以sin B ＝32.又B 为锐角，所以B ＝π3. (2)由(1)可知，B ＝π3.因为b ＝ 7.根据余弦定理，得7＝a 2＋c 2－2ac cos π3，整理，得(a ＋c )2－3ac ＝7.由已知a ＋c ＝5，得ac ＝6.又a >c ，故a ＝3，c ＝2. 于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝7＋4－947＝714，所以AB u u u r ·AC u u u r ＝|AB u u u r |·|AC u u ur |cos A ＝cb cos A＝2×7×714＝1. 12解：(1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝ tan A tan C ，所以sin B ⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin Ccos C ， 因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ， 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C . 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ，因此sin 2B ＝sin A sin C .由正弦定理得b 2＝ac ，即a ，b ，c 成等比数列．(2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34， 因为0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74， 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74. 课后强化与提高练习（提高篇-选做题）解析1解析：选D 由题意可得a >b >c ，且为连续正整数，设c ＝n ，b ＝n ＋1，a ＝n ＋2(n >1，且n ∈N *)，则由余弦定理可得3(n ＋1)＝20(n ＋2)·(n ＋1)2＋n 2－(n ＋2)22n (n ＋1)，化简得7n 2－13n －60＝0，n ∈N *，解得n ＝4，由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.2解析：因为4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，所以2[1－cos(A ＋B )]－2cos 2C ＋1＝72， 2＋2cos C －2cos 2C ＋1＝72，cos 2C －cos C ＋14＝0，解得cos C ＝12.根据余弦定理有cos C ＝12＝a 2＋b 2－72ab， ab ＝a 2＋b 2－7,3ab ＝a 2＋b 2＋2ab －7＝(a ＋b )2－7＝25－7＝18，ab ＝6，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案：3323解：(1)法一：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0及正弦定理，得(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0，∴2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0，sin B (2cos A －1)＝0. ∵0<B <π，∴sin B ≠0，∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3. 法二：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0，及余弦定理，得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 22ab＝0， 整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)∵S △ABC ＝12bc sin A ＝334， 即12bc sin π3＝334，∴bc ＝3，①∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，a ＝3，A ＝π3， ∴b 2＋c 2＝6，②由①②得b ＝c ＝3，∴△ABC 为等边三角形．选择题解析1解析：在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°.又∵sin A ＝a sin B b ＝12，∴A ＝30°或150°(舍)，∴C ＝90°，∴sin C ＝1.答案：12解析：选A 法一：(化边为角)由正弦定理知：sin A ＝2sin B cos C ，又A ＝π－(B ＋C )，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝2sin B cos C .∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，∴sin B cos C －cos B sin C ＝0，∴sin(B －C )＝0.又∵B 、C 为三角形内角，∴B ＝C .法二：(化角为边)由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， ∴a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－c 2a， ∴a 2＝a 2＋b 2－c 2，∴b 2＝c 2，∴b ＝c .3解：(1)因为cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14，且0<C <π， 所以sin C ＝104. (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝4.由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－14，及0<C <π得cos C ＝±64. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0，解得b ＝6或26，所以⎩⎨⎧ b ＝6，c ＝4或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.4 解：(1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103，所以a ＝53. (2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35，所以310ac ＝3，ac ＝10. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20. 所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40.所以a ＋c ＝210.。
高中数学 必考点：正弦定理和余弦定理必考点梳理
∠ACB＝α， ∠ADB＝β，
CD＝a ∠ACB＝α，
AC＝b， BC＝a ∠ACB＝α， ∠ABC＝β， CB＝a
∠ADC＝α， ∠BDC＝β， ∠BCD＝δ， ∠ACD＝γ，
CD＝a
解两个直角三角形 AB ＝ atan αtan β tan β－tan α
用余弦定理 AB＝ a2＋b2－2abcos α
＝________.
方法一：由 2bcos B＝acos C＋ccos A 及正弦定理，
得 2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A.
∴2sin Bcos B＝sin(A＋C)．
又 A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.
∴2sin Bcos B＝sin(π－B)＝sin B.
又 sin B≠0，∴cos B＝1.∴B＝π.
（二）方位角和方向角
2
(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为α(如图②)． (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30°等．
必考点 1： 利用正弦定理解三角形
利用正弦定理可解决两类问题
基本类型
一般解法
已知两角及其中一角的对边，如 A，B，a
①由 A＋B＋C＝180°，求出 C； ②根据正弦定理，得 a ＝ b 及 a ＝
sin A sin B sin A c ，求出边 b，c. sin C ①根据正弦定理，经讨论求 B；
已知两边及其中一边所对的角，如 a，b，A
②求出 B 后，由 A＋B＋C＝180°，求出 C； ③再根据正弦定理 a ＝ c ，求出边 c.
sin A sin C
例题 1： (2019·辽宁沈阳模拟)已知△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A＝π，B＝π，a＝1， 64
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高中数学正弦定理和余弦定理知识点分析
高中数学，正弦定理和余弦定理贯穿着整个高中数学阶段，可以说是非常重要的知识点了。
正余弦定理指正弦定理和余弦定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决三角形的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
高中数学正弦定理 概述a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R正弦定理(1)已知三角形的两角与一边，解三角形(2)已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形(3)运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。
[1]证明步骤1在锐角△ABC 中，设BC=a，AC=b，AB=c。
作CH⊥AB垂足为点H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到 a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交⊙O于D. 连接DA 因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度 因为
在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠C. 所以
c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。
高中数学余弦定理 概述余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值性质对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C。