算法分析与复杂性理论 实验报告 背包问题
背包问题实验报告
背包问题实验报告背包问题实验报告背包问题是计算机科学中的经典问题之一，它涉及到在给定的一组物品中选择一些物品放入背包中，以使得背包的总重量不超过其容量，并且所选择的物品具有最大的总价值。
在本次实验中，我们将通过不同的算法来解决背包问题，并对比它们的效率和准确性。
1. 实验背景和目的背包问题是一个重要的优化问题，它在许多实际应用中都有广泛的应用，比如货物装载、资源分配等。
在本次实验中，我们的目的是通过实际的算法实现，比较不同算法在解决背包问题时的性能差异，并分析其优缺点。
2. 实验方法和步骤为了解决背包问题，我们选择了以下几种常见的算法：贪心算法、动态规划算法和遗传算法。
下面将对每种算法的具体步骤进行介绍。
2.1 贪心算法贪心算法是一种简单而直观的算法，它通过每次选择当前状态下最优的解决方案来逐步构建最终解决方案。
在背包问题中，贪心算法可以按照物品的单位价值进行排序，然后依次选择单位价值最高的物品放入背包中，直到背包的容量达到上限。
2.2 动态规划算法动态规划算法是一种基于递推关系的算法，它通过将原问题分解为多个子问题，并利用子问题的解来构建原问题的解。
在背包问题中，动态规划算法可以通过构建一个二维数组来记录每个子问题的最优解，然后逐步推导出整个问题的最优解。
2.3 遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化的算法，它通过模拟自然选择、交叉和变异等过程来搜索问题的最优解。
在背包问题中，遗传算法可以通过表示每个解决方案的染色体，然后通过选择、交叉和变异等操作来不断优化解决方案，直到找到最优解。
3. 实验结果和分析我们使用不同算法对一组测试数据进行求解，并对比它们的结果和运行时间进行分析。
下面是我们的实验结果：对于一个容量为10的背包和以下物品：物品1：重量2，价值6物品2：重量2，价值10物品3：重量3，价值12物品4：重量4，价值14物品5：重量5，价值20贪心算法的结果是选择物品4和物品5，总重量为9，总价值为34。
算法分析与设计实验报告之01背包问题
算法分析与设计实验报告[0/1背包问题]0/1背包问题的不同算法解决方案组员02黄希龙 09455321张育强05周麒目录一.问题描述 (1)二.算法分析 (2)1.穷举法： (2)2.递归法： (4)3.贪心法： (5)4.动态规划法分析： (6)5.回溯法分析： (7)6.分支限界法： (9)三.时空效率分析 (10)1.穷举法： (10)2.递归法： (11)3.动态规划法： (11)4.回溯法： (11)5分支限界法： (11)四.运行结果 (12)1.穷举法输出结果： (12)2.递归法输出结果： (13)3.动态规划法输出结果： (14)4.回溯法输出结果： (15)5.分支限界法输出结果： (16)五.分析输出结果 (17)六.总结与反思 (18)一.问题描述0/1背包问题:现有n 种物品，对1<=i<=n ，已知第i 种物品的重量为正整数W i ，价值为正整数V i ，背包能承受的最大载重量为正整数W ，现要求找出这n 种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过W 且总价值尽量大。
（注意：这里对每种物品或者全取或者一点都不取，不允许只取一部分）二.算法分析根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：)2(max )1()1}(1,0{11∑∑==⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈≤ni i i ini i i x v n i x Wx w 于是，问题就归结为寻找一个满足约束条件（1），并使目标函数式（2）达到最大的解向量),......,,,(321n x x x x X =。
首先说明一下0-1背包问题拥有最优解。
假设),......,,,(321n x x x x 是所给的问题的一个最优解，则),......,,(32n x x x 是下面问题的一个最优解：∑∑==⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈-≤ni i i ini i i x v n i x x w W x w 2211max )2}(1,0{。
算法设计与分析——01背包问题d
南京信息工程大学实验（实习）报告实验（实习）名称实验（实习）日期得分指导教师系计算机专业软件工程年级2011 班次 3 姓名张渊学号 31 一、实验目的背包的背负有上限，因此在这个上限内尽可能多的装东西，并且价值越多越好。
在这里我之想讨论动态规划解决这个问题的详细过程。
二、实验内容及步骤0-1背包问题：给定n种物品和一背包。
物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为c。
问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大? 在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。
不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分物品i。
0-1背包问题是一个特殊的整数规划问题。
三、体会和总结通过这次的实验让我对哈弗曼算法有了进一步的了解，并且知道了01动态背包可以建立在多个模型上面。
算法对我们真的很是重要#include<stdio.h>#include<stdlib.h>int C[200][200];//前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值int max(int a,int b) //返回较大值{if(a >= b)return a;else return b;}int KnapSack(int n,int w[],int v[],int x[],int W) //物体个数n, 物品重量w[],物品价值v[]，物品选择状态x[],背包容量W{int i,j;//接下来四行是初始左上角为0for(i = 0; i <= n; i++)C[i][0] = 0;for(j = 0; j <= W; j++)C[0][j] = 0;for(i = 0; i <= n - 1; i++) //选择货物{for(j = 0; j <= W; j++) //选择容量{if(j < w[i])C[i][j] = C[i - 1][j];elseC[i][j] = max(C[i - 1][j], C[i - 1][j - w[i]] + v[i]); }}j = W; //令j初始为容量for(i = n - 1; i >= 0; i--) //找回最优解过程{if(C[i][j] > C[i - 1][j]) //比上面的值大，说明之前物品放入{x[i] = 1;j = j - w[i]; //j容量减小}elsex[i] = 0; //物品未放入}printf("选中的物品是:\n");for(i = 0; i < n; i++) //输出放入情况printf("%d ", x[i]);printf("\n");return C[n-1][W]; //返回最大价值}int main(){int s;//获得的最大价值int n,i;int W; //背包最大容量printf("请输入背包的最大容量：");scanf("%d", &W);printf("输入物品数：");scanf("%d", &n);int *w = new int[n]; //物品的重量int *v = new int[n]; //物品的价值int *x = new int[n]; //物品的选取状态printf("请分别输入物品的重量:\n");for(i = 0; i < n; i++) //录入相对的物品重量scanf("%d", &w[i]);printf("请分别输入物品的价值:\n");for(i = 0; i < n; i++) //录入相对的物品价值scanf("%d", &v[i]);s = KnapSack(n, w, v, x, W); //返回值为最大价值printf("最大物品价值为：");printf("%d\n",s);return 0;}Process returned 0 (0x0) execution time : 15.032 s Press any key to continue.*/。
完全背包实验报告
一、实验目的本次实验旨在通过C++编程实现完全背包问题，并对其算法原理、时间复杂度、空间复杂度进行分析。
通过对比不同实现方式，加深对动态规划算法的理解，提高解决实际问题的能力。
二、实验原理完全背包问题是指有n种重量和价值分别为wi、vi（1≤i≤n）的物品，从这些物品中挑选总重量不超过W的物品，求出挑选物品价值总和最大的挑选方案，这里每种物品可以挑选任意多件。
解决完全背包问题常用的方法是动态规划。
动态规划的核心思想是将复杂问题分解为若干个相互重叠的子问题，并存储已求解的子问题的解，避免重复计算。
三、实验步骤1. 定义状态定义状态dp[i][w]表示从前i种物品中挑选总重量不超过w的物品时所能获得的最大价值。
2. 状态转移方程当不选择第i种物品时，状态dp[i][w] = dp[i-1][w]。
当选择第i种物品时，状态dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w-wi] + vi)。
其中，wi表示第i种物品的重量，vi表示第i种物品的价值。
3. 初始化初始化dp[0][w] = 0，表示不选择任何物品时的最大价值为0。
4. 计算按照状态转移方程计算dp[n][W]，其中n为物品种类数，W为背包容量。
5. 输出结果输出dp[n][W]，即为所求的最大价值。
四、实验实现1. C++代码实现```cpp#include <iostream>using namespace std;const int MAXN = 100; // 物品种类数上限const int MAXW = 1000; // 背包容量上限int w[MAXN], v[MAXN]; // 物品重量和价值数组int dp[MAXN+1][MAXW+1]; // 动态规划表int main() {int n, W;cout << "请输入物品种类数和背包容量：" << endl; cin >> n >> W;cout << "请输入每种物品的重量和价值：" << endl; for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> w[i] >> v[i];}// 初始化dp表for (int i = 0; i <= n; i++) {for (int j = 0; j <= W; j++) {dp[i][j] = 0;}}// 计算dp表for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= W; j++) {if (j >= w[i]) {dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]); } else {dp[i][j] = dp[i-1][j];}}}// 输出结果cout << "最大价值为：" << dp[n][W] << endl;return 0;}```2. 测试用例```plaintext输入：4 71 62 35 46 5输出：14```五、实验分析1. 时间复杂度动态规划算法的时间复杂度为O(nW)，其中n为物品种类数，W为背包容量。
背包问题实验报告
背包问题实验报告《背包问题实验报告》背包问题是一个经典的组合优化问题，它在计算机科学和运筹学领域被广泛应用。
在这个问题中，我们需要从一组物品中选择一些放入背包，使得它们的总重量不超过背包的承载能力，同时价值最大化。
在本实验中，我们将探讨不同算法在解决背包问题时的表现，并分析它们的优缺点。
首先，我们使用了贪心算法来解决背包问题。
贪心算法的基本思想是每次选择当前最有利的物品放入背包，直到背包装满或者没有物品可选。
虽然贪心算法在一些情况下能够得到较好的解，但它并不保证能够得到最优解，因为它只考虑了局部最优解而没有综合考虑所有可能的选择。
接着，我们使用了动态规划算法来解决背包问题。
动态规划算法通过将问题分解成子问题，并保存子问题的解来避免重复计算，从而得到最优解。
动态规划算法在解决背包问题时能够得到最优解，但它需要额外的空间来保存子问题的解，因此在处理大规模问题时可能会消耗较多的内存。
最后，我们使用了回溯算法来解决背包问题。
回溯算法通过不断尝试所有可能的选择，并在满足条件时继续向下搜索，直到找到解或者搜索完所有可能的选择。
回溯算法能够得到最优解，但它的时间复杂度较高，因为它需要尝试所有可能的选择。
通过实验我们发现，不同算法在解决背包问题时有各自的优缺点。
贪心算法简单快速，但不能保证得到最优解；动态规划算法能够得到最优解，但需要额外的空间；回溯算法能够得到最优解，但时间复杂度较高。
因此，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的算法来解决背包问题。
综上所述，通过本实验我们对背包问题的解决算法有了更深入的了解，并且能够根据具体情况选择合适的算法来解决实际问题。
希望本实验能够对相关领域的研究和应用有所帮助。
0-1背包问题实验报告
0-1背包问题实验报告一・问题描述4•给定n种物品和一个背包。
物品i的重量是w[i],其价值为v[i],背包容量为Co问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。
2在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。
不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品io问题规模1.物品数目：n=50,2.背包容量：c=1000,3.每个物品重量分别为：{220,208,198,192,180,180,165,162,160,158,155,130,125,122,120,118,115,110,105,101,100,100,98,96,95,90,88,82,80,77,75,73,70,69,66,65,63,60,58,56,50,30,20,15,10,8,5,3,1,1}4.每个物品价值分别为：{80,82,85,70,72,70,66,50,55,25,50,55,40,48,50,32,22,60,30,32,40,38,35,32,25,28,30,22,50,30,45,30,60,50,20,65,20,25,30,10,20,25,15,10,10,10,4,4,2,1}三. 实验方法本次实验将分别通过动态规划法，贪心算法，回溯法及分支界限法四种方法解决0-1背包问题。
四. 算法分析I •动态规划法(1)•对动态规划的0-1背包问题，在给定c>0,wi>0, vi>0, 1<=i<=n,要求找出一个n 元0-1 向量(x1,x2,...)xn 1},1 < i；使得xi{0,wx■Ii 1ni而且maxvixioc,i1n同时可得出其递推关系，设最优值是背包容量为j,可选物品i,i+1…盼背包问题的最优值。
于是可建立计算m(l,j)的递归式：在j>=wi,为max{m(i+1 ,j),m(i+1 j-wi)+vi}，在0<=j<wi 时,m(i+15j);m[n,j]在j>=wn时为vn,在OWj <wn为0。
01背包问题实验报告
算法设计与分析实验报告书实验名称：0/1背包问题学号：姓名：实验时间：2015年 6 月 1 日一实验目的和要求（1）深刻掌握贪心法、动态规划法、回溯法的设计思想并能熟练运用（2）理解这样一个观点：同样的问题可以用不同的方法来解决，一个好的算法是反复努力和重新修正的结果。
二实验内容（1）分别用蛮力法贪心法、动态规划法、回溯法设计0/1背包问题的算法。
（2）分析算法随n和C变化的时间性能，随机产生参数n和C，收集算法执行的时间（3）讨论n和C变化时，动态规划法和回溯法的时间性能。
（4）讨论几种算法在该问题求解上的特点。
三实验环境VC++6.0四设计思想及实验步骤蛮力法的设计思想和步骤将所有排列下的背包的重量和价值都计算出来，选择重量不大于背包的总重量下的最大价值。
贪心法的设计思想和步骤首先计算每种物品单位重量的价值vi/wi；按单位价值对物品进行升序排列。
然后，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包，直到背包装满为止。
动态规划法的设计思想和步骤令V(i, j)表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的物品的最大价值，则可以得到如下动态函数：V（i, j）=0 (i=0或j=0)V( i, j) = V(i-1, j) j<w[i]V( i, j) = max{V(i-1, j), V(I, j-1)+v[i]} j>=w[j]按照下述方法来划分段：第一段只装入前1个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值；第二阶段，只装入2个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值；以此类推，直到第n个阶段。
最后V(n, C)便是容量为C的背包中装入n个物品时获取到的最大价值。
回溯法的设计思想和步骤为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断的利用越约束条件来剪掉那些实际上不可能产生所需解的节点，以减少问题额计算量。
对于n种可选物品的0/1背包问题，其解空间长度由长度为n的0-1向量组成，可用子集数表示。
动态规划方案解决算法背包问题实验报告含源代码
动态规划方案解决算法背包问题实验报告含嘿，大家好！今天我来给大家分享一个相当有趣的编程问题——背包问题。
这可是算法领域里的经典难题，也是体现动态规划思想的好例子。
我会用我10年的方案写作经验，给大家带来一份详细的实验报告，附带哦！让我简单介绍一下背包问题。
假设你是一个盗贼，要盗取一个博物馆里的宝贝。
博物馆里有n个宝贝，每个宝贝都有它的价值v和重量w。
你有一个承重为W的背包，你希望放入背包的宝贝总价值最大，但总重量不能超过背包的承重。
这个问题，就是我们要解决的背包问题。
一、算法思路1.创建一个二维数组dp，dp[i][j]表示前i个宝贝放入一个承重为j的背包中，能达到的最大价值。
2.初始化dp数组，dp[0][j]=0，因为如果没有宝贝，那么无论背包承重多少，价值都是0。
3.遍历每个宝贝，对于每个宝贝，我们有两种选择：放入背包或者不放入背包。
4.如果不放入背包，那么dp[i][j]=dp[i-1][j]，即前i-1个宝贝放入一个承重为j的背包中，能达到的最大价值。
5.如果放入背包，那么dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i]]+v[i]，即前i-1个宝贝放入一个承重为j-w[i]的背包中，加上当前宝贝的价值。
6.dp[i][j]取两种情况的最大值。
二、defknapsack(W,weights,values,n):dp=[[0for_inrange(W+1)]for_inrange(n+1)]foriinrange(1,n+1):forjinrange(1,W+1):ifj>=weights[i-1]:dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weights[i-1]]+values[i -1])else:dp[i][j]=dp[i-1][j]returndp[n][W]测试数据W=10weights=[2,3,4,5]values=[3,4,5,6]n=len(values)输出结果max_value=knapsack(W,weights,values,n)print("最大价值为：",max_value)三、实验结果分析通过上面的代码，我们可以得到最大价值为15。
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深圳大学实验报告课程名称：算法分析与复杂性理论
实验名称：实验四动态规划
学院：计算机与软件学院专业：软件工程
报告人：文成学号：2150230509班级：学术型
同组人：无
指导教师：杨烜
实验时间：2015/11/5——2015/11/18
实验报告提交时间：2015/11/18
教务处制
一． 实验目的与实验内容
实验目的：
（1） 掌握动态规划算法设计思想。
（2） 掌握背包问题的动态规划解法。
实验内容：
1.编写背包问题的动态规划求解代码。
2．背包容量为W ，物品个数为n ，随机产生n 个物品的体积（物品的体积不可大于W ）与价值，求解该实例的最优解。
3. 分别针对以下情况求解 第一组：（n=10,W=10），（n=10,W=20），（n=10,W=30） 第二组：（n=20,W=10），（n=20,W=20），（n=20,W=30） 第三组：（n=30,W=10），（n=30,W=20），（n=30,W=30）
4. 画出三组实验的时间效率的折线图，其中x 轴是W 的值，y 轴是所花费的时间，用不同的颜色表示不同n 所花费的时间。
二．实验步骤与结果
背包问题的问题描述：
给定n 种物品和一个背包。
物品i 的重量是
i w ，
其价值为i v ，
背包容量为C 。
问应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？
背包问题的算法思想：
考虑一个由前i 个物品（1<=i<=n ）定义的实例，物品的重量分别为w1，…，w2、价值分别为v1，…，vi ，背包的承重量为j （1<=j<=w ）。
设v[i,j]为该实例的最优解的物品总价值，也就是说，是能够放进承重量为j 的背包中的前i 个物品中最有价值子集的总价值。
可以把前i 个物品中能够放进承重量为j 的背包中的子集分成两个类别：包括第i 个物品的子集和不包括第i 个物品的子集。
1. 根据定义，在不包括第i 个物品的子集中，最优子集的价值是V[i-1,j]。
2. 在包括第i 个物品的子集中（因此，j-wi>=0），最优子集是由该物品和前i-1个物品中能够放进承重量为j-wi 的背包的最优子集组成。
这种最优子集的总价值等于vi+V[i-1,j-wi]。
因此，在前i 个物品中最优解得总价值等于这两个价值中的最大值。
当然，如果第i 个物品不能放进背包，从前i 个物品中选出的最优子集的总价值等于从前i-1个物品中选出的最优子集的总价值。
这个结果导致了下面的这个递推关系式：
初始条件：
当i,j>0时，V为了计算第i行第j列的单元格[i,j]，我们拿前一行同一列的单元格与vi加上前一行左边wi列的单元格的和做比较，计算出两者的较大值。
相关代码;
void knapsack(int v[], int w[], int** m, int c, int n) //求最优值
{
intjmax = min(w[n]-1, c);
for (int j = 0; j <= jmax; j++)
m[n][j] = 0;
for (intjj = w[n]; jj<= c; jj++)
m[n][jj] = v[n];
for(int i = n-1; i > 1; i--) //递归部分
{
jmax = min(w[i]-1, c);
for(int j = 0; j <= jmax; j++)
m[i][j] = m[i+1][j];
for(intjj = w[i]; jj<= c; jj++)
m[i][jj] = max(m[i+1][jj], m[i+1][jj-w[i]]+v[i]);
}
m[1][c] = m[2][c];
if(c >= w[1])
m[1][c] = max(m[1][c], m[2][c-w[1]]+v[1]);
cout<<endl<< "最优值：" << m[1][c] <<endl;
cout<<endl;
cout<<endl;
}
inttraceback(int x[], int w[], int** m, int c, int n) //求最优解{
cout<<endl<<"得到的一组最优解如下: "<<endl;
for(int i = 1; i < n; i++)
{
if(m[i][c] == m[i+1][c]) x[i] = 0;
else
{
x[i] = 1;
c -= w[i];
}
}
x[n] = (m[n][c]) ? 1:0;
for(int y = 1; y <= n; y++)
cout<< x[y] << "\t";
cout<<endl;
return x[n];
}
用课本上的一个例子进行测试：
预期结果应该是物品1，2和4。
价值为37美元。
背包问题中，对于一个物品，只有放入背包和不放入背包两种状态，用0表示物品不放入背包，用1表示放入背包。
上图的结果显示最优值为37,物品一、二、四放入包中，与预期结果相同。
随机产生n个物品的重量与价值，求解该实例的最优解。
产生随机数的代码如下：
调用以上两个方法求解
对n=20，w=20
做测试
V[i]和w[i]都是随机产生的，正确地得到了结果。
注：
（1）为了保证不使用特殊数字，采用随机生成数组的方法。
for(int i=0;i<n;i++)
{
a[i]=rand()%10;
b[i]=rand()%10;
}
为了保证每次得到的数字不同，必须使用种子，给不同的初始值
srand((unsigned)time(NULL));
（2）用取系统时间的方法，来获取该算法的时间。
由于time只能取到毫秒级别，当算法的时间太小时，用多次执行算法的方法来获取算法执行时间
time_t time1,time2;
time1=time(NULL);
for(i=0;i<100;i++)
////////////////////////////
time2=time(NULL);
cout<<(time2-time1)/100<<endl;
三．实验分析
分别针对以下情况求解：
（先展示结果，时间太短，运行时间显示为零，稍后再做处理）第一组：（n=10,W=10），（n=10,W=20），（n=10,W=30）
第二组：（n=20,W=10），（n=20,W=20），（n=20,W=30）
第三组：（n=30,W=10），（n=30,W=20），（n=30,W=30）
用取系统时间的方法，来获取该算法的时间。
由于time只能取到毫秒级别，当算法的时间太小时，用多次执行算法的方法来获取算法执行时间
time_t time1,time2;
time1=time(NULL);
for(i=0;i<1000000;i++)
////////////////////////////
time2=time(NULL);
cout<<(time2-time1)/100000<<endl;
如图所示，统计的时间为运行1000000次数后的时间
以上统计的时间为运行1000000次数后的时间
三组实验的时间效率的折线图，其中x轴是W的值，y轴是所花费的时间，用不同的颜色表示不同n所花费的时间。
结论：
可以发现n的规模越大，所花费的时间越多。
当n固定时，花费时间随着w的增大而增大。
但n的影响力是最大的。
因为动态规划将复杂的多阶段决策问题分解为一系列简单的、离散的单阶段决策问题, 采用顺序求解方法, 通过解一系列小问题达到求解整个问题目的。
所以分解的小问题的规模，直接决定了算法的效率。
四．实验心得
本次实验虽然花费很大的心思，但确实让我动态规划的认识更加深刻。
动态规划没有准确的数学表达式和定义精确的算法，它强调具体问题具体分析。
这次实验结束后让我感觉到好的算法是多么的重要，当然合理利用算法也是不可忽视的。
这次实验虽然花了很大精力，却收获累累。
注：1、报告内的项目或内容设置，可根据实际情况加以调整和补充。
2、教师批改学生实验报告时间应在学生提交实验报告时间后10日内。