案例四数列的应用举例
极限的四则运算(数列极限、函数极限)
a
k
，lim（C n
an）
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解：2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1
x2 2x
) 1
KEY：1) 0（分子分母同除以x4)； 2）0(分子有理化） 3）1/4（通分）
例3、（1）求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
（2）求
lim
x1
2x2
x 1
的值
（见课本P87，注意其中的说明。）
3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2
3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn
3 5
[ 1
1
2
5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画 第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an
bn
)
185（3an
2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)
高考数学二轮复习第一篇专题四数列第2讲数列求和及简单应用课件理
+2an+1=4S
n+1+3.
可得
a2 n 1
-
an2
+2(an+1- an)=4an+1,即
2(an+1+an)=
a2 n 1
-
an2
= (an+1+an)(an+1-an).
由于 an>0,可得 an+1-an=2.
又 a12 +2a1=4a1+3, 解得 a1=-1(舍去)或 a1=3.
所以{an}是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an=2n+1.
第二个使用累积的方法、第三个可以使用待定系数法化为等比数列(设 an+1+λ =p(an+λ),展开比较系数得出λ);(3)周期数列,通过验证或者推理得出数列的 周期性后得出其通项公式.
热点训练 1:(1)(2018·湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考)在数列{an}
中,a1=2, an1 = an +ln(1+ 1 ),则 an 等于( )
n
所以
1 =2（1- 1 + 1 - 1 +…+ 1 -
1
）
S k 1 k
223
n n1
=2(1- 1 ) n 1
= 2n . n 1
答案: 2n n 1
3.(2015·全国Ⅱ卷,理16)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则
Sn=
.
解析:因为 an+1=S n+1-Sn,所以 Sn+1-Sn=Sn+1Sn,
日常生活具体数列的例子
日常生活具体数列的例子在我们的日常生活中，数列被广泛地应用于各种场合。
从购物、生物、运动到计算机科学，数列都被用来处理数据，辅助决策。
那么，日常生活中的具体数列有哪些呢？下面我将从不同角度为大家举出一些例子：一、购物中的数列我们在购物中经常遇到各种数列。
比如，我们买卫生纸时，店员告诉我们这款卫生纸一包有12卷，而一包又分为两层，每层有6卷。
那么，我们可以得到以下数列：12, 6, 6其中，第一项12表示一包卫生纸的总卷数，第二项6表示一层卫生纸的卷数，第三项6表示一包卫生纸的层数。
再比如，我们看到打折商品时，常常会看到“买3送1”的优惠条件。
这时，我们可以把这个优惠条件看作是一个等差数列，公差为1，首项为1，求n项和就是这个优惠条件的总价：S(n) = n∗a1 + n(n−1)2∗d其中，n表示买几件商品，a1表示第一件商品的价格，d表示优惠后每件商品的价格。
二、生物中的数列在生物学上，数列有非常重要的应用。
比如，DNA序列就是通过数列来描述的。
DNA不同的碱基可以用不同的数字代替，从而把DNA序列转化为数字序列。
这个数字序列就是数列。
除了DNA序列，还有一些其他生物现象也可以转化为数列。
比如，斐波那契数列是由兔子繁殖规律演化而来。
斐波那契数列中的每一项都是前两项之和。
当我们把兔子看做是生物现象时，这个数列就可以用来描述兔子的数量变化。
又比如，可以用格雷码来描述DNA中两个序列的差异。
格雷码是一个数列，在这个数列中，每一项与前一项只有一位不同。
通过比较两份DNA序列的格雷码，科学家可以找出这两份DNA序列的差异。
三、运动中的数列运动中也有很多数列应用。
比如，高中时我们学过的运动员跑圈问题。
题目大意是：两名运动员从同一起点同时起跑，一个运动员以每秒4米的速度匀速奔跑，另一个运动员以每秒5米的速度匀速奔跑。
如果要第一名运动员追上第二名运动员，需要跑多久？这道题的答案可以通过数列来解决。
定义第一个运动员跑了x秒，那么第一个运动员跑的路程就是4∗x，第二个运动员跑的路程就是5∗x。
数列的综合应用
高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专 题 讲
nf(n＋1) 1 (3)由题知，bn＝ f n ＝3n，
解
1 n(n＋1) n(n＋1)
1
11
专
则Tn＝3×
2
＝
6
，
∴பைடு நூலகம்n＝
6(n－n＋
)． 1
题
111
1
1111 1
11
训 练
∴
T1＋T2＋
T3＋…
＋Tn
＝
6(1－
2＋2－
3＋3
－
4＋…
＋n－n＋
) 1
∴
1 a＝2，f(x)＝
(12)x.
高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专 题
又点(n－1，
an n2
)(n∈ N*)(在函数f(x)＝ ax的图象上，
讲 解
从
而ann2＝21n－
1，即
an＝
n2 2n－
1.
专 题
(n＋ 1)2 n2 2n＋ 1 (2)由 bn＝ 2n －2n＝ 2n 得，
训
练
111
1
Tn，试比较T1＋T2＋T3＋…＋Tn与 6的大小．
高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专 题
∴f(n＋ 1)＝
1 3
f(n)(n∈ N*)，∴数列{f(n)}(n∈ N*)是以
讲
解
1
1
f(1)＝3为首项，3为公比的等比数列，
专 题
∴f(n)＝13×(13)n－ 1，即f(n)＝(13)n(n∈ N*)．
＝6(1－ 1 )． n＋ 1
∵
n∈
专题四 数列及其应用
立， 求实数 λ 的取值范围. 解 析 （1） 将 3a na n - 1 + a n - a n - 1 = 0(n 2) 整 理 1 1 得， = 3(n 2)， 所以 { 1 } 是以首项为 1 ， 公差 an an+ 1 an 为 3 的等差数列.
2
an +k ， al + k 显然成等差数列． 若 q ≠1 ， 由 S m ，S n ，S l 成 等 差 数 列 可 得 S m + Sl = 2Sn ， 即 a(qm - 1) a(ql - 1) 2a(q n - 1) + = ． q- 1 q- 1 q- 1
k- 1
整理得 q m + q l = 2q n ．因此， a m + k + a l + k = aq (q + q ) = 2a q
* *
（2） 由 （ 1） 得 cn = n + 1 a n = (n + 1)(1 )n ， 所以 n 2 1 + 3× Tn = 2 × (1 )2 + 4 × (1 )3 + … + (n + 1)( 1 )n 2 2 2 2 1 1 2 1 3 14 1 T =2× ( ) +3× ( ) +4× ( ) + … + (n + 1)( )n + 1 2 n 2 2 2 2 两式相减得 1 1 1 1 1 T = 1 + ( )2 + ( )3 + … + ( )n - (n + 1)( )n + 1 2 n 2 2 2 2 1 [1 - (1 )n - 1] 2 +3 = 1+ 4 - (n + 1)( 1 )n+ 1 = 3 - n n 2 2 2 +1 1- 1 2 n+ 3 ∴T n = 3 . 2n 点 拨 一般 数列 的求通 项问题 大多 通过常 见的 公 式、 累加、 累乘 、 构 造等方 法对递 推公式进 行变形 ， 最终转 化为我们熟知的等差 、 等比数 列的定义式进行 求解. 数列求和问题要掌握公式法、 分组法、 倒序相加 法、 错位相减法、 裂项相消法， 其余一般要求不高. 热 点三 数 列的综 合问题 （与三角 ， 函 数， 方程 ， 不等式等知识的综合 ） 例 3 在数 列 { a n} 中 ， a 1 = 1, 3a na n - 1 + a n - a n - 1 = 0(n 2) . （1） 证明: { 1 } 是等差数列; an （2） 求数列 { a n} 的通项； （3） 若λ an + 1 λ 对任意 n an+ 1 2 的整数恒成
数列在日常生活中的应用
运输成本控制
利用数列分析，可以精确 计算运输成本，为企业制 定合理的价格策略提供依 据。
运输安全保障
通过数列分析，可以发现 运输过程中的安全隐患， 采取有效措施保障运输安 全。
04
CATALOGUE
医学与健康
医学研究
疾病预测
药物研发
建筑材料
混凝土的配合比设计
混凝土是建筑工程中常用的建筑材料之一，其配合比设计对工程质量有着至关重要的影响。通过数列 的方法进行配合比设计，可以更加准确地确定各种材料的比例关系，提高混凝土的强度和耐久性。
钢材的规格与数列
在建筑工程中，钢材也是必不可少的建筑材料之一。不同规格的钢材具有不同的力学性能和适用范围 ，通过数列的方法可以对各种规格的钢材进行分类和排列，便于工程中选用合适的钢材规格。
药物副作用监测
通过收集和分析患者的用药数据，可以及时发现 药物的副作用和不良反应，保障患者安全。
05
CATALOGUE
教育与培训
课程设计
数学课程
数列是数学教育中的重要内容，用于教授学生数列的基本概念、 性质和计算方法。
编程课程
在编程中，数列常用于算法设计和数据结构，如数组和链表等。
经济学课程
在经济学中，数列用于描述经济数据的变化趋势和规律，如时间序 列分析。
物流管理
01
02
03
库存管理
利用数列表示不同商品的 销售量，可以预测商品的 库存需求，避免库存积压 和浪费。
配送路线优化
通过数列分析，可以找到 最优的配送路线，降低物 流成本和提高配送效率。
物流数据分析
利用数列分析，可以对物 流数据进行挖掘和可视化 ，帮助企业做出更科学的 决策。
5.4 数列的应用(教学课件)-高二下学期数学人教B版(2019)选择性必修第三册
100[1− 80% 31 ]
1−80%
≈ 500 亿元 .
学习目标
新课讲授
课堂总结
典例剖析
例4：某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利
25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技
术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过年之后，该项目的
资金为 万元.
(1)写出1 的值以及数列 的递推公式；
(2)证明： − 800 为等比数列，并求出数列 的通项公式；
(3)求出至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来
的4倍）的目标.（取2 ≈ 0.3）
学习目标
课堂总结
新课讲授
典例剖析
例4：项目启动资金1000万元，每年可获利25%，每年需从利润中取出200万元资
学习目标
新课讲授
课堂总结
贷款本金
每期还款金额=
+ (贷款本金-已还本金总额)×利率
还款期数
问题1：如果向银行贷款本金0 元，打算分成期偿还，并且每一期的利率
为( > 0) ，记每期还款的钱数构成的数列为1 , 2 , … ，用“等额本金
还款法”，你能写出第期所要还的钱数 的表达式吗？
5
4
−200可知，+1 −800=
5
( ��
4
− 200) − 800 =
− 800)，
因为1 −800 = 1050 − 800 = 250 ≠ 0，所以可知 −800 ≠ 0，
+1 −800
所以
−800
=
5
，从而可知
4
数列_极限在物理中的应用举例_耿道永
数列、极限在物理中的应用举例江苏省邳州市宿羊山高级中学(221354) 耿道永 王 凯 随着课程改革的深入进行和“3+x ”考试方案的推广,数学在综合科尤其在物理中的应用问题越来越受到关注.由于数学和物理在其发展史上就交织在一起,相互促进,因此数学在物理上有广泛的应用.数列是高中数学的重要部分,其在物理中的应用具有一定的代表性,下面分类举例说明.一、在力学中的应用图1例1 如图1,斜面的倾角为30°,在斜面底端有一弹簧(其长度可忽略不计).若一小球从斜面50cm 高处自由滚下,与弹簧碰撞,再反弹后所能达到的高度是原来的45.求小球从开始到终止所通过的总路程.解析 第1次滚下的路程s 1=50sin30°=100cm ,第2次滚下的路程s 2=45s 1,第3次滚下的路程s 3=45s 2,…,第n 次滚下的路程s n =45s n -1,…,即小球每次滚下的路程组成一个以s 1=100c m 为首项,以45为公比的无穷等比数列,则小球从开始到终止所通过的总路程为s =s 1+2s 2+2s 3+…+2s n +…=2(s 1+s 2+s 3+…+s n +…)-s 1=2·1001-45-100=1000-100=900(cm )=9(m ).二、在电学中的应用(上接19页)老王每3个月应付款额为3×1901.40=5704.20元,共需付20次款.设老王第n 次付款折算成现值是a n ,则a 1[1+1.98%4×(1-20%)] =a 1×1.00396=5704.20,a 2[1+1.98%4×(1-20%)]2 =a 2×1.003962=5704.20,a 20[1+1.98%4×(1-20%)]20 =a 20×1.0039620=5704.20,∴ 老王各次付款折算成现值后的总额A 是:A =a 1+a 2+…+a 20=5704.20×(11.00396+11.003962+…+11.0039620)=109475(元).在这里分期付款方式相当于老王现在手上只要有109475元,就可以将这109475元钱存入银行,用“整存零取”的方式支付全部房款.因此,与一次性付清10万元房款相比,老王选择分期付款方式仅仅多付了109475-100000=9475元钱(考虑到问题已修改,实际结果要略大一些,但不会超过9908元,这个结果留给读者自己推导).显然,新的计算结果要大大少于原来的结果14084元.通过刚才的计算我们可以知道,与传统的一次性付款方式相比,采用分期付款方式多支付的钱比人们想象的要少得多.我们还可以设想,如果老王采用比银行收益更高的投资理财方式,那么老王现在手上的109475元除了支付全部房款外,还会有所节余.从刚才的研究中我们还可以认识到,分期付款这种新的消费方式确实利大于弊,它既有利于企业推销产品,及时回笼资金,促进再生产,也有利于个人尽快改善生活,当然更有利于国家加快经济发展的步伐. ◆(责审 张思明)20中学生数学 2003年2月上 例2 使一个原来带电的导体小球与一个带电量为Q 的导体大球接触,分开后小球获得电量q .今使小球与大球反复接触,在每次分开后,都给大球补充电荷,使其带电量恢复为Q ,求小球能获得的最大电量.解析 小球与大球接触后,两球所带电量之比决定于两者的形状,是一个恒量.设q 1、q 2、…、q n 和Q 1、Q 2、…、Q n 分别为第1、2、…、n 次接触后小球与大球的带电量,则有q 1=q ,Q 1=Q -q ,k =qQ -q,第n 次接触后,q n Q n =q Q -q ,Q n =Q +q n -1-q n ,所以q n =Q n ·q Q -q =(Q +q n -1-q n )·q Q -q ,化简得 q n =qQ ·q n -1+q ,应用公式得 q n =q n ·1-(q Q )n1-q Q.∵ q Q<1, ∴ 当n ※∞时,q n ※q max ,即 q m ax =lim n ※∞q n =QqQ -q .三、在光学中的应用图2例3 从A 点出发的一条光线在直线A D 与CD 之间反射了n 次后,垂直地射到B点(该点可能在A D 上,也可能在C D 上),然后按原路返回点A ,如图2是n =4时的光路图.若∠C DA =8°,则n 的最大值是( ).(A )9 (B )10 (C )11 (D )12图3解析 如图3,设∠1=α,则∠2=α,∠3=∠4=α+8°,同样的,∠5=∠4+8°=∠3+8°.一般的,∠(2n +1)=∠(2n -1)+8°.∴ ∠(2n -1)是以α为首项,8°为公差的等差数列的通项.∠2n -1=α+(n -1)8°,当∠2n -1=90°时,n 最大,即α+(n -1)8°=90° n =90°-α8°+1≤90°8°+1.∴ n 的最大值为12,故选(D ).四、在热学上的应用例4 用真空泵抽出某容器中的空气,若某容器的容积为V ,真空泵一次抽出空气的体积为V 0,设抽气时气体温度不变,容器里原来的空气压强为p ,求抽出n 次空气后容器中空气的压强是多少?解析 设第1次抽气后容器内的压强为p 1,以整个气体为研究对象,因为抽气时气体温度不变,则由玻意耳定律得pV =p 1(V +V 0), ∴ P 1=VV +V 0p .以第1次抽气后容器内剩余气体为研究对象,设第2次抽气后容器内剩余气体压强为p 2,由玻意耳定律得p 1V =p 2(V +V 0),∴ p 2=V V +V 0p 1=(V V +V 0)2p .以第n -1次抽气后容器内剩余气体为研究对象,设第n 次抽气后容器内剩余气体压强为p n ,由玻意耳定律得p n -1V =p n (V +V 0),∴ p n =V V +V 0p n -1=(V V +V 0)np .故抽出n 次空气后容器中剩余空气的压强为(V V +V 0)np .当然,除了数列以外,数学其它知识在物理中也有广泛的应用.平常注重数学、物理综合问题的训练,一方面可以提高同学们综合分析、解决问题的能力,另一方面可以培养我们浓厚的学习兴趣. ◆(责审 余炯沛)212003年2月上 中学生数学 。
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数列的应用举例2
【教学目标】
1.掌握利用数列的基础知识来解决实际问题的方法。
2.通过解决实际问题，培养学生搜集资料、分析资料的良好习惯，培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学建模的思想．
3. 在应用数列知识解决问题的过程中，培养学生勇于探索、积极进取的精神，激发学生学习数学的热情．
【教学重点】
通过数列知识的应用，培养学生分析问题、解决问题的综合能力和运用数学的意识．【教学难点】
根据实际问题，建立相应的数列模型．
【教学方法】
这节课主要采用问题解决法和分组合作探究的教学方法．在教学过程中，从学生身边的实例入手，引起学生兴趣，体会所学知识的重要性．培养学生分析问题、解决问题的能力，为今后进一步学习打好基础．
【教学过程】。