强度因子和能量释放率的统一
第十一章 混凝土断裂力学
一、小范围塑性屈服时对应力强度因子的修正
由线弹性理论可知，Ⅰ型裂缝在平面应力状态下，其裂缝附近的主应力表达
式为：
1
K cos 1 sin
2r 2
2
2
K cos 1 sin
2r 2
2
3 0
为了确定塑性区的大小，这里采用米赛斯屈服条件，即：
应力随着r减小时趋向无限大就愈迅速。所以K可以反映出裂缝尖端附近的应力场 强度， 故称为应力强度因子。
线性断裂力学
2.应力强度因子的计算公式 对于带裂缝的无限大平板，Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型裂缝的应力强度因子分别为：
K a
K a
K l a
一般情况下，应力强度因子的大小与荷载性质、裂缝的几何形态等因素有关，
混凝土断裂力学
线性断裂力学 非线性断裂力学基础 复合型裂缝的断裂判据 混凝土断裂韧度 混凝土断裂的数值分析
线性断裂力学
一、概述
1.断裂力学的概念 断裂力学是研究含裂缝的构件在各种环境条件下（包括荷载作用、腐蚀性介
质作用、温度变化等）裂缝的平衡、扩展和失稳的规律，并且研究其强度条件的 一门科学。 2.断裂力学研究的问题 ①研究裂缝尖端区的应力状态、应变状态和位移状态； ②研究材料本身抵抗裂缝扩展的能力； ③研究测定材料本身抵抗裂缝扩展能力的方法和标准。 3.断裂力学的产生及其发展过程 产生：传统的强度理论、实际工程的破坏情况、是否有裂缝构件受力就断裂。
1
2 2
2
3 2
3
1 2
2
2 s
非线性断裂力学基础
式中 s为材料单轴受力条件下的屈服极限。将主应力代入此式可得屈服边界区的
Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ复合型裂缝应力强度因子与能量释放率的关系
第33卷第4期2016年12月河北工程大学学报（自然科学版）Journal of Hebei University of Engineering (Natural Science Edition)Vol.33 No. 4Dec. 2016文章编号：1673 -9469(2016)04-0010-04d oi：10. 3969/j. issn. 1673 -9469.2016. 04. 003I- II- III复合型裂缝应力强度因子与能量释放率的关系曹晨曦，王向东，吴京(河海大学力学与材料学院，江苏南京210098)摘要:基于断裂力学理论，应用复合型断裂判据中的最大周向应力判据和最大拉应变判据，以单 一型裂缝应力强度因子X与能量释放率G的关系为基础，推导出I- II- III复合型裂缝应力强 度因子^、尺^、尺m与能量释放率关系公式；并应用有限元软件进行I - II - III复合型裂 缝的有限元模拟，模拟值与理论值之间相差为1. 14%，拟合良好，分析验证了复合型裂缝应力 强度因子、尺m与能量释放率G w关系公式的合理性。
关键词：I- II- III复合型裂缝;应力强度因子；能量释放率；有限元模拟中图分类号:TV313 文献标识码:ARelationship between stress intensity factor and strain energy releaserate of I - II - III mixed mode cracksCAO Chenxi,WANG Xiangdong,WU Jing(College of Mechanics and Materials, Hohai University, Jiangsu Nanjing 210098, China) Abstract ：Based o n the theory of fracture mechanics,the m axim um stress criterion and the m axim um principal strain criterion,the relationship between stress intensity factor and strain energy release rate of I- II- III m ixed m ode cracks was studied.And the I - II - III m ixed m ode fracture cracks were sim ulated by using the finite elem ent software.And the relative error between the sim ulated value and the theoretical value is ,which is within the tolerance range.It is show n that the form ula of the relationship between stress intensity factor and strain energy release rate of I- II- III m ixed m ode cracks is reasonable.Key words：I-II-III m ixed m ode cracks;stress intensity factor；strain energy release rate;finite elem ent sim ulation断裂力学是研究带裂纹结构的强度以及裂纹 扩展规律的一门学科。
损伤与断裂力学第4章(矿大)高峰
图4-9 非平面应变的R曲线
韧性断裂阻力曲线
例如在韧性断裂时，裂纹扩 展阻力往往是呈曲线的。一旦达 到并稍为超过裂纹开始扩展的条 件时，若外力仍维持不变，则较 长的裂纹(例如图中的裂长a2受到 2作用时)有可能稍为扩展，然后 很快地停止下来。只有当外力较 大时，才有可能引起失稳扩展。
图4-9 非平面应变的R曲线
的关系式。
其余裂纹类型情况
上式成立是基于裂纹沿原方向扩展的假设上。若假设
II型裂纹和III型裂纹的扩展方向也是裂端正前方，则
有：
GII
K
2 II
E1
GIII
(1
)
K
2 III
E
如果带裂纹的平板受到I，II，III三种载荷而成复合型
裂纹时，若仍假设裂纹沿原方向扩展，则总能量释放
率为 ：
G
GI
GII
K场区
在第三章中，给出各型裂纹的裂端应力场 时，已忽略掉高次项，因此也仅适合裂纹尖端 的小区域内，此区域称为K场区。K场区内的应 力应变强度可用应力强度因子来度量；场区外 则须加上高次项。
关于K场区和断裂过程区
如果K场区尺寸小于断裂进行区尺寸，则计算 应力强度因子已失掉意义，此时宏观力学在裂端 区是不实用的。
3.如图所示，在上下表面，有位移v=±v0和τxy=0，即被刚
体固接。此时横向位移u不受约束。求在平面应力时的
应力强度因子。
4-3 断裂判据
断裂过程区 断裂总是始于裂端的极小区域，当其损伤 达到临界程度时才发生的。在此小区域中材料 的微结构起决定影响，也是宏观力学不适用的 地方。这个小区域就叫做断裂过程区FPZ (fracture process zone)。
思考题 为何不同型裂纹的能量释放率可以线性叠加?而应力强 度因子却不能?
断裂力学总结
断裂力学学习报告姓名：zx 学号：xxxxxxxx一、绪论（1）传统强度理论是在假定材料无缺陷、无裂纹的情况下建立起来的，认为只要满足r []σσ≤，材料将处于安全状态。
其中：[]σ——用安全系数除失效应力得到的许用应力;r σ——为相当应力，它是三个主力学按照一定顺序组合而成的，按照从第一强度理论到第四强度强度理论的顺序，相应的应力分别为1121233134()r r r r σσσσμσσσσσσ==-+=-=但是许多事实表明，材料受应力远小于设计应力，材料仍然被破坏。
使许多力学工作者迷惑不解，于是投入对其研究，最终发现所有材料并不是理想的，材料中含有大大小小、种类各异的裂纹，于是产生了对裂纹地研究。
断裂力学从客观存在裂纹出发，把构件看成连续和和间断的统一体，从而形成了这门新兴的强度学科。
（2）断裂力学的任务是：1. 研究裂纹体的应力场、应变场与位移场，，寻找控制材料开裂的物理参量;2. 研究材料抵抗裂纹扩展的能力——韧性指标的变化规律，确定其数值与及测定方法;3. 建立裂纹扩展的临界条件——断裂准则;4. 含裂纹的各种几何构件在不同荷载作用下，控制材料开裂的物理参量的计算。
（3）断裂力学的研究方法是：假设裂纹已经存在，从弹性力学或弹塑性力学的基本方程出发，把裂纹当作边界条件，考察裂纹顶端的应力场、应变场和位移场，设法建立这些场与控制断裂的物理参量的关系和裂纹尖端附近的局部断裂条件。
（4）断裂力学的几个基本概念：根据裂纹受力情况，裂纹可以分为三种基本类型：1. 张开型(I 型)裂纹受垂直于裂纹面的拉应力作用,裂纹上下两表面相对张开,如上图a 所示;2. 滑开型(II 型),又称平面内剪切型裂纹受平行于裂纹面而垂直于裂纹前缘OO ’的剪应力作用,裂纹上下两表面沿x 轴相对滑开,如上图b 所示;3. 撕开型(III 型),又称出平面剪切型或反平面剪切型裂纹受既平行于裂纹面又平行于裂纹前缘的剪应力作用,裂纹上下两表面沿z 轴相对错开,如上图c 所示.上述三种裂纹中I 型最为危险.而我们主要也是研究I 型裂纹,因为只要确定了I 型裂纹是安全的,则其它两种裂纹也是安全的。
断裂过程的有限元模拟
第14卷第4期计算力学学报V ol.14N o.4 1997年11月CHIN ESE JOU R N AL O F CO M PU T A T IO N A L M ECHA N ICS N ov.1997断裂过程的有限元模拟*杨庆生 杨 卫(北方交通大学土木建筑系,北京,100044) (清华大学工程力学系,北京,100084) 摘 要 讨论了材料断裂过程的有限元模拟技术。
基于自适应有限元法的一般原理,并针对多相材料的裂纹扩展的特点,提出了一种简化的高精度和高效率有限元网格的动态重新划分策略。
裂纹被假设沿着单元之间的路径连续扩展,利用节点力释放技术生成新的裂纹自由表面,发展了一种可随裂尖连续移动的网格动态加密和释放方法。
这种方法已在各种裂纹问题中得以实现与应用。
关键词 断裂;裂纹扩展;网格重划分;有限元法;数值模拟分类号 O346.1;O242.211 引 言研究超大规模系统的复杂发展过程是现代化计算力学的主要特征之一。
例如在固体力学中的材料大变形的损伤起始与演化问题,复合材料等新型材料中的裂纹传播问题,相变过程中的边界移动问题等,都要经历一个很长的过程,而在此变形过程中,有可能随机性地出现新的裂纹、损伤甚至新的材料相等。
目前已有各种相应的本构理论来描述这些现象,却给数值计算和模拟带来了新的问题。
有限元方法仍然是有希望解决这些问题的强有力的工具。
现在的有限元计算与过去相比已经发生了很大变化,在过去,有限元分析的目的往往是为了得到一个满意的最终结果,随着计算环境的改善和实际问题的客观要求,有限元分析正在转向整个结构和一个发展过程的全程分析,这种由一点一时的状态计算到整个空间和时间上的全程模拟是有限元法的一个重大发展和应用。
这样就要发展与之相应的网格划分策略和计算模拟方法。
本文主要研究裂纹的扩展问题,通过网格动态重新划分和扩展准则、节点力释放等主要环节来说明有限元模拟技术的发展,最后给出这些技术的评价和可能的应用领域。
计算应力强度因子
基于ANSYS的断裂参数的计算本文介绍了断裂参数的计算理论，并使用ANSYS进展了实例计算。
通过计算说明了ANSYS可以用于计算断裂问题并且可以取得很好的计算结果。
1 引言断裂事故在重型机械中是比拟常见的，我国每年因断裂造成的损失十分巨大。
一方面，由于传统的设计是以完整构件的静强度和疲劳强度为依据，并给以较大的安全系数，但是含裂纹在役设备还是常有断裂事故发生。
另一方面，对于一些关键设备，缺乏对不完整构件剩余强度的估算，让其提前退役，从而造成了不必要的浪费。
因此，有必要对含裂纹构件的断裂参量进展评定，如应力强度因了和J积分。
确定应力强度因了的方法较多，典型的有解析法、边界配位法、有限单元法等。
对于工程上常见的受复杂载荷并包含不规如此裂纹的构件，数值模拟分析是解决这些复杂问题的最有效方法。
本文以某一锻件中取出的一维断裂试样为计算模型，介绍了利用有限元软件ANSYS计算应力强度因子。
2 断裂参量数值模拟的理论根底对于线弹性材料裂纹尖端的应力场和应变场可以表述为：其中K是应力强度因子，r和θ是极坐标参量，可参见图1，(1)式可以应用到三个断裂模型的任意一种。
图1 裂纹尖端的极坐标系应力强度因子和能量释放率的关系：G=K/E" (3)其中：G为能量释放率。
平面应变：E"=E/(1-v2)平面应力：E=E"3 求解断裂力学问题断裂分析包括应力分析和计算断裂力学的参数。
应力分析是标准的ANSYS线弹性或非线性弹性问题分析。
因为在裂纹尖端存在高的应力梯度，所以包含裂纹的有限元模型要特别注意存在裂纹的区域。
如图2所示，图中给出了二维和三维裂纹的术语和表示方法。
图2 二维和三维裂纹的结构示意图3.1 裂纹尖端区域的建模裂纹尖端的应力和变形场通常具有很高的梯度值。
场值得准确度取决于材料，几何和其他因素。
为了捕获到迅速变化的应力和变形场，在裂纹尖端区域需要网格细化。
对于线弹性问题，裂纹尖端附近的位移场与成正比，其中r是到裂纹尖端的距离。
Ⅰ-Ⅱ复合型裂缝应力强度因子和应变能释放率的关系
Ⅰ-Ⅱ复合型裂缝应力强度因子和应变能释放率的关系刘梦和;王向东;邵兵【摘要】为了探究复合型裂缝的应力强度因子K和应变能释放率G的关系,基于最大应力准则,采用能量法对Ⅰ-Ⅱ复合型裂缝的扩展进行理论分析.根据单一型裂缝应力强度因子和应变能释放率的关系,推导出Ⅰ-Ⅱ复合型裂缝K与G的关系公式,利用Abaqus软件建立Ⅰ-Ⅱ复合型裂缝的有限元模型,计算Ⅰ-Ⅱ复合型裂缝的应力强度因子和应变能释放率,与推导公式的计算结果进行对比,二者误差仅为2.5％,验证了推导公式的合理性.%In order to study the relationship between stress intensity factor and strain energy release rate of mixed mode cracks, the growth of I-II mixed mode cracks is theoretically analyzed by means of the energy method based on the maximum stress criterion. A formula for the relationship between the stress intensity factor and the strain energy release rate of the I-II mixed mode cracks is deduced according to the available relationship between the stress intensity factor and the strain energy release rate of single mode crack. A FEM model for the I-II mixed mode cracks is established by use of the software ABAQUS. It is employed to calculate the stress intensity factor and strain energy release rate of the I-II mixed mode cracks. The model results are compared with those calculated by the deduced formula. The error is only 2. 5% , and the rationality of the proposed formula is validated.【期刊名称】《水利水电科技进展》【年(卷),期】2012(032)006【总页数】3页(P31-33)【关键词】Ⅰ-Ⅱ复合型裂缝;最大应力准则;应力强度因子;应变能释放率【作者】刘梦和;王向东;邵兵【作者单位】河海大学力学与材料学院,江苏南京210098;河海大学力学与材料学院,江苏南京210098;河海大学力学与材料学院,江苏南京210098【正文语种】中文【中图分类】TV313断裂力学是以含裂缝构件为研究对象，分析在各种外界因素(荷载、腐蚀和温变等)作用下裂缝稳定扩展或失稳扩展的规律，研究含裂缝构件安全性的学科［1］。
断裂力学总结
失稳扩展
可以止裂
若材料的表面自由能是常数，则有：
失稳扩展
可以止裂
第二章应力பைடு நூலகம்度因子
2.1裂纹的几种基本型
断裂发生时在裂纹端点要释放出多余的能量，因此，裂端区的应力场和应变场必然与此裂端的能量释放率有关。若裂端应力应变场的强度足够大，断裂即可发生，反之则不发生。
图4-2
等于 时，则 ，当 时， 趋近于 值，得 ；当 时， 得： ，最后得到 。
4.2裂纹张开位移CTOD及J积分
裂纹张开位移是指一个理想裂纹受载荷时，其裂纹表面间的距离。对I型裂纹来说，线弹性断裂力学给出 。若用Irwin塑性区修正，真正裂纹长度被有效裂纹长度所取代，此时原点移动到有效裂纹的端点，以 代替 ， 代替 ，可得小范围屈服修正时 ，利用能量释放率 与 的关系有：
考虑带有裂纹的弹性体，在拉伸载荷作用下，若裂纹仍然维持静止，则此弹性体所储存的总应变能 要比在没有裂纹时所储存的总应变能 大，两者之差用 表示。由于没裂纹时的总应变能 与裂纹长度无关，故有：
1.2能量平衡理论的应用
按照热力学的能量守恒定律，在单位时间内，外界对于系统所做功的改变量，应等于系统储存应变能的该变量，加上动能的改变量，再加上不可恢复消耗能地改变量。假设 为外界对系统所做的功， 为系统储存的应变能， 为裂纹总面积， 为表面能，则断裂发生的临界条件为： 此式为带裂纹物体的断裂判据。按照线性弹性力学的原理，在外力拉伸下，因裂纹扩展而引起的功的变化量 ，将等于两倍的总应变能的变量 ，因此能量释放率在给定外力拉伸的情形下，有：
现以I型单边裂纹为例，来说明柔度法的原理。一块很长的矩形板，如图3-3，
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2 2
1 K Ⅲ
E
2
（4—15）
实验结果指出，除Ⅰ型裂纹可以沿原方向扩展外，其 余裂纹型往往不沿原方向扩展。 因此（4—13） 至（4—15）是能量释放率的近似估 计。如果要考虑裂纹真正的扩展方向必须用数值解法。
s
(r ,0)v( s r , ）
Bdr
把（4—8）（4—9)代入（4—10）得
U
1
BK
K a s (
4
2
1)
s 0
s r dr r
0, 2
令
r s sin
s
0
积分区间变成 sr s 2 2 dr 2s cos d 0 r 2
1 2 则Ⅰ型能量释放率 G G 8 K
（4—11）
对于平面问题,取有效弹性模量 1 和有效泊松比 E1
E 平面应力 E1 E ` 1 2 平面应变
1 1
平面应力 平面应变
3 1 3 4
（2）应力强度因子 K m (m=Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ） 在极坐标下，可以根据 K m 、θ、r 求出裂端区的应 力场，也可以求出裂端区的位移场。
既然知道了应力，和相应的位移，我们可不可以求 出应变能U，然后通过U和G的关系，让G和 K 建立 联系呢？
二，推证
能量释放率、griffith断裂判据
通过能量原理建立联系
（ 4 —3 ）
（ 4 —4 ） （ 4 —5 ）
xy
KI 2r
sin
3 cos cos 2 2 2
Ⅰ型裂端区位移场:
r 2u K I k 1 2 sin 2 cos 2 2 2 r 2 K I k 1 2 sin 2 sin 2 2 2
平面应力 平面应变
在线弹性范围内，剪切模量μ，弹性模E，泊松比ν有 E 下列关系: 21 把平面应力相应的参数，平面应变相应的参数代 入 （4—11） 1 1
8
K 2 G E 2 2 ( 1 ) K E
E1
K G （4—12） E1
图B
1 s r K I a s （4—9） s r , 2 2
K I as 为裂纹长度为a+s时的应力强度因子
由于假设没有其他能量损耗，则总的附加应变能 U1 为： （4—10） 2 注：积分号外面的2，是因为上下两个面；B是板的厚度
0
U1 2
一,引出问题
(1)griffith提出能量释放的观点，得到能量释放率的 公式: 1 U1 1 U1 G lim a 0 B a B a (单边裂纹) （4—1） 根据附加应变能 U1 和σ关系 G和σ的关系
得到griffith裂纹断裂判据:
a
2
2 E S
（ 4 —2 ）
应力强度因子
假设：不考虑其他能量的损耗，则能量转换表现为所 有能量在裂端释放以形成新的裂纹面积
Ⅰ型裂端区应力场:
x
y
KI 3 cos 1 sin sin 2 2 2 2 r KI 3 cos 1 sin源自sin 2 2 2 2 r则
BK K a s 1 s BK K a s 1s U 1 8 4 2
s 0
把 U1 代入（4—1）: G lim
当s→0时，有 K a s K
1 BK K a s 1s B 8
1 2 1 2
（ 4 —6 ） （ 4 —7 ）
图A
裂纹长度a的裂纹端点正前方使裂纹面撑开的拉伸应力： θ=0,R=r代入公式 （4—4）
y r , o
K 2r
（4—8）
设裂纹可以延长s长度,即裂端 前方撑开成长度为a+s的裂纹， (如图B)
此时在原原坐标系x=r处，离 新裂纹端点s-r处。 新裂纹上表面的位移为： θ= ,R=s-r 代入公式（4—7）
2
平面应力 平面应变
三，总结
K G E1 注：基于裂纹沿原方向扩展的假设上
假设Ⅱ型裂纹和Ⅲ型裂纹的扩展方向也是裂端正 前方，则：
2
K G E1
GⅢ
2
（4—13）
1 K Ⅲ 2
E
（4—14）
如果带裂纹的平板受到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种载荷而成复 合型裂纹时，上述假设仍成立，则总能量释放率为