能量释放率&断裂能(摘自simwe论坛)
Lecture 7 Energy Release Rate 第七章 能量释放率
i ≠ j
δ Gi δ K δf δK −1 T δ f T δK −1 δ f = −u K − u + − u K δa j δ ai δai δ aj δ aj δa j δ a j
T
(72)
i=j
2 2 δ f δ K −1T δf f δ Gi δK 1 δ T δK −1 δf T δ K T = −u K − u − u u+ − u K +u δ ai δ ai δ ai δai 2 δai 2 δ ai δ ai δ ai δ ai 2 T
(77)
3 δu T δ K δu δ 2 u δf δu T δ 2 f T δ f − + +2 2 2 +u δ a i δ ai δ ai δ ai δ a i δ ai δai δ ai 3
T
δu δK − 1 δf =K − u δ ai δ ai δ ai
and
2 δ 2u δ 2K δK δu −1 δ f = K − u − 2 2 2 2 δ ai δai δai δai δ ai
136
Review Pages 72-74, VCE/Stiffness Derivative Methods
Recall from your studies of LEFM theory that energy release rate (aka crack driving force) for a single 2D crack tip, in FEM context, is defined as:
∂Π ∂K T ∂f 1 T G≡− =−2u u+u ∂a ∂a ∂a
强度因子和能量释放率的统一
2 2
1 K Ⅲ
E
2
（4—15）
实验结果指出，除Ⅰ型裂纹可以沿原方向扩展外，其 余裂纹型往往不沿原方向扩展。 因此（4—13） 至（4—15）是能量释放率的近似估 计。如果要考虑裂纹真正的扩展方向必须用数值解法。
s
(r ,0)v( s r , ）
Bdr
把（4—8）（4—9)代入（4—10）得
U
1
BK
K a s (
4
2
1)
s 0
s r dr r
0, 2
令
r s sin
s
0
积分区间变成 sr s 2 2 dr 2s cos d 0 r 2
1 2 则Ⅰ型能量释放率 G G 8 K
（4—11）
对于平面问题,取有效弹性模量 1 和有效泊松比 E1
E 平面应力 E1 E ` 1 2 平面应变
1 1
平面应力 平面应变
3 1 3 4
（2）应力强度因子 K m (m=Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ） 在极坐标下，可以根据 K m 、θ、r 求出裂端区的应 力场，也可以求出裂端区的位移场。
既然知道了应力，和相应的位移，我们可不可以求 出应变能U，然后通过U和G的关系，让G和 K 建立 联系呢？
二，推证
能量释放率、griffith断裂判据
通过能量原理建立联系
（ 4 —3 ）
（ 4 —4 ） （ 4 —5 ）
xy
KI 2r
sin
3 cos cos 2 2 2
断裂力学第四章
B a 0 1
lim
U (a a ) U (a ) a
a
0
y
§4.3 G 与K 的关系
裂纹闭合积分
假设延长线扩展： = 0，da = dx
y
(平面应变 )
y
o y
KI 2x
1 E
1
x
r
v x
a
v( x)
KI
2r
o
2(1 )
a 1 2a x) ( GI lim K I y vda(1 ) 2 a 0 a 0 E
x v x
线弹性、准静态加载
U 2
1 2
A
y vdS
y
§4.3 G 与K 的关系
裂纹闭合积分
等厚度板：dS = B da
y
o y
o
a
U B y vda
0
a
x v x
GI
1
U 2 1 y vdS a GI lim A 2 y vda
§4.5 能量法计算应力强度因子
能量差率法
对称情况
G G1 G2 2 E K I1 K I 2
2a
y y
p 1 , v1
x
p2 , v2
x
2a
状态1
状态2
状态1与2载荷共同作用下的能量释放率
G
1 d 2 B da 1 d1
G
1 d 2
2 B da G 1 2 4 v Bdxv1 Bdx 2 d a p p2 G G1 2 2 01 B da 0
断裂力学——2Griffith 理论(1)
13
Griffith理论
二、Griffith理论 1920年，Griffith研究玻璃与陶瓷材料脆性断裂问题 时，将Inglis解中的短半轴趋于0，得到Griffith裂纹。
Griffith研究了如图所示厚度为B的薄平板。 上、下端受到均匀拉应力作用，将板拉长 后，固定两端，构成能量封闭系统。
14
12
Griffith理论
一、动机 两个矛盾的事实
The stress needed to fracture bulk glass is around 100 MPa. The theoretical stress needed for breaking atomic bonds is approximately 10,000 MPa experiments on glass fibers that Griffith himself conducted suggested that the fracture stress increases as the fiber diameter decreases. –尺寸相关性
6
C. E. Inglis
Department of Engineering Head of Department 1919-43
He carried the largest teaching load, covering the subjects : statics, dynamics, theory of structures, materials and drawing, balancing engines, girder design and reinforced concretE. Inglis
A Mathematical Treatise on Vibrations in Railway Bridges. By C. E. Inglis. Cambridge, University Press, and New York, Macmillan, 1934. 203 pp. and 65 figures.
3裂纹尖端的能量释放率
第三章 裂纹尖端的能量释放率本章介绍裂纹扩展的能量平衡理论。
利用裂纹尖端的能量平衡研究裂纹的扩展规律，是由Griffith （格里菲斯）在1921年提出的。
能量平衡理论认为：当裂纹体扩展时所释放的弹性应变能等于或超过维持裂纹扩展所吸收的表面能时，无需另加载荷，裂纹就会发生失稳扩展。
§ 3-1 Griffith 能量平衡理论1921年，Griffith [3.1]由研究玻璃的实际强度出发，利用能量理论分析了物体内的细小裂纹对脆性断裂的作用。
Griffith 研究了图3-1所示的厚度为t 的平板模型：首先在板的上下两端施加均匀的拉应力σ，处于平衡状态后把上下端固定，构成能量封闭系统，如图3-1(a)所示；然后，设想在板内沿与x 方向开一长为2a 的贯穿裂纹，2a 的长度远远小于板的长、宽尺寸，因此可视为“无限大”板，如图3-1(b)所示。
裂纹切开前，AB 连线上下两表面处具有均匀的拉应力y σσ=；沿AB 连线切开后，AB图3-1 Griffith 研究能量理论模型(a)(b)上下两表面成为裂纹的自由表面，原来作用在此表面上的拉应力y σσ=消失为零，同时此两表面发生相对张开位移shang xia v v v ∆=-，如图3-1(b)所示。
在此过程中，由于张开位移与拉应力方向相反，则消失掉的拉应力对此张开位移做负功，使板内储存的应变能减少，此即为裂纹扩展所释放出的能量。
记此减少的应变能为U -（其下角标‘―’表示此应变能为减少），则有shang 014d 2ay U v t x σ-=⎰（3-1） 由式（2-13），并参照图2-2，取20ϑθ==，1θπ=、1r a x =-、2r a x =+、r x =，考虑平面应力状态，有裂纹上表面位于x 坐标处的位移shangv E= （3-2）将y σσ=和式（3-2）代入到式（3-1），积分得2222244t ta A U x EEEtσπσπσ-===⎰（3-3）式中，2A at =为裂纹的单侧自由表面的面积。
断裂力学讲义第五章8-12应变能释放率
§5.8 应力强度因子与断裂韧性5.8.1 应力强度因子的基本概念在上节中，我们将各类裂纹端部各个应力分量归纳为一个统一的表达式:)()(22/1)()(-+=r o f r K J ij JJ ij θπσ (5.61) 它说明对每一种类型的裂纹端部应力场的分布规律（即ij σ随r 及θ的变化规律）是相同的。
其大小则完全取决于参数K J 。
所以K J 是表征裂纹端部应力场的唯一物理量，因而称为应力场强度因子或应力强度因子。
如式(5.61)所示，应力在裂纹端部具有奇异性。
而K J 也正是用以描述这种奇异性的参数。
由式(5.25)可知：rK yy πσθ2|I0== (5.62) 即[]r K yy πσθ2)0(I ⋅==。
此公式仅在r/a << 1时才适用，因而[][][]⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====→=→=→r K r K r K yz r xy r yy r πσπσπσθθθ2lim 2lim 2lim )0(0III)0(0II )0(0I (5.63)上式即应力强度因子K J 的定义。
应该指出应力强度因子的量纲[应力]×[长度]1/2或[力] ×[长度]-3/2。
在SI 单位制中其单位为2/1mMPa ⋅，在公制中的单位为kg/mm 3/2。
在英制中为lb/in 3/2(磅/英寸3/2)，它们之间的换算关系为： 1kg=2.2046lb1in=2.54000cm1kg/mm 3/2=0.31012/1mMPa ⋅ 1lb/in 3/2=1.099×10-32/1mMPa ⋅5.8.2断裂韧性由上面的分析可知，应力强度因子K J 是表征裂纹端应力场的唯一参量。
不同样品中的裂纹，几何参数及受载情况可以完全不同。
但只要其K J 相同，则裂纹端部的应力场是完全相同的。
进一步由式(5.57)可知，其位移场，进而其应变能场也是相同的。
因此K J 完全表征了裂纹端部的物理状态（即端部各种物理场的情况）。
基于Hamilton体系的能量释放率分析
【 （） 【 Ｊ 。
ｊ （） 【 ｝ ０ ｌ ｌ
式中，， ｈ 是上子板的厚度 ； 第一 个上 标 ｔ 示 上子 板 ， 表 第二 个 上标 ｔ 示 上子 板 的上 表 面 ， 表 第二个上标 ６表示上子板的下表面。 约定 ： 向量 列
（ ） （ （ ）和 ＝ ） 】 。【 ．
向量日 （ ＝０ 下子 板上 表面脱 层 区的应 力 向量 ０） ，
日 ｏ ＝ ， 时因 ：（）０同 为在通常情况下， 结构上下表面
的平面外应力 是已知 的， 以 、 ｒ已知 ， 所 ｏ 又因为
（） ｆ ，： ｆ 《《 《 。
ｌ ６ Ｉ ｂ
Ｋｌ ２
［
【
黜
式中， ｈ 是下子板的厚度。 （ ， ０）联立式 （ 和 式 （ 得 ２ ） ３ ）
＋㈥
（ ＝日 ０）
ｔ
＝
】；
】；
＝
根据前面 的假设 ，上子板下表 面脱层 区的应力
（） ４ 合并两块子板的控制方程 。 因为上子板 的下
表 面和 下子 板 的上 表 面在 连 续 区有
１
（ ） （ ０）
６
Ｋ】
ｂ
。 。
０
（： Ｉ 。 和 是 已知的， －） ｈｌ ＋ 因此可得到下面的表达式 （２＋ ＋ ｂ 一）｛ ｈ｝ ＝。 ｋｕ ） ｋ （ ｎｂ 一 一
ｔ（ ｂ０） ｂ
（） ４
（ ７ ）
（） ８
摘 要： 基于 Ｈａ ｌ ｎ体 系半 解析 法的“ 离合并” ｍｉｏ ｔ 分 技术 ， 建立 了脱层损伤层 合板的半 解析模 型 ， 具体分析 了脱层损伤 层 舍板 结构脱层 前缘节点的应力 、 位移及其分布规律 ， 并进一步详 细地研 究 了各种脱层损 伤情 况的饨 量释放率 ， 本文
哈工大断裂力学讲义第一章
GⅠ
KⅠ2 E
E E
E
1
E
2
平面应力 平面应变
同理
GⅡ
KⅡ2 E
GⅢ
1
E
KⅢ2
32
4G 2
22
v KⅠ a x (2k 2)
4G 2
31
a
在闭合时,应力在 a那段所做旳功为
B 0
yvdx
GⅠ
B Ba
a
0 yvdx
1 a
a 0
KⅠ KⅠ
2 x 4G
a
2
x
(2k
2)dx
4k 1 4G
KⅠ2
平面应力
k
3 1
,
GⅠ
KⅠ2 E
平面应变
k 3 4
GⅠ
1 2
E
KⅠ2
13
撕开型裂纹(Ⅲ型):在平行于裂纹面 而与裂纹前沿线方向平行旳剪应力 作用下,裂纹沿裂纹面撕开扩展.
二.裂纹尖端附近旳应力场.位移场
1.Ⅰ型裂纹 问题旳描述:无限大板,有一长为 2a 旳穿透裂纹,在无限
远处受双向拉应力 旳作用.拟定裂纹尖端附近旳应力
场和位移场.
14
1939年Westergaurd应力函数
3
Griffith研究了如图所示厚度为B旳薄平板。上、下端受 到均匀拉应力作用，将板拉长后，固定两端。由Inglis解得到 因为裂纹存在而释放旳弹性应变能为
U 1 2 a2 2B
E
U 1 a2 2B
E
平面应变 平面应力
4
另一方面，Griffith以为，裂纹扩展形成新旳表面， 需要吸收旳能量为
解析函数性质:任意解析函数旳实部和虚部都是解析旳.
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能量释放率的计算是基于最小势能原理推导来的，而势能=应变能－外载荷做功－摩擦力做功（可能转化为热能）－其他能（如声能等）。
一般情况下，如果没有转化为其他能量的话，那么此时的裂纹扩展的断裂力学参量就是应变能释放率；如果不是，则称为能量释放率。
断裂能是材料固有的特性，和断裂韧性是一致的。
能量释放率是实际的裂纹扩展参数，是一个动态演化的变量，它表明了裂纹推进一定长度需要的能量。
[断裂与失效] abaqus断裂韧性扫盲贴[复制链接]最近论坛上很多人都开始搞xfem，里面有几个参数比较令人痛苦，比如断裂韧性KIC（fracture thoughness）和裂纹表面能G（fracture energy）。
首先要知道的是，这两个参数都不是通过abaqus仿真能得到的，而是材料本身的特性，跟密度一样，是先天决定的。
所以你要想得到这两个数值，只有两个途径:查文献，或者做实验。
第二，解释一下这两个属性的定义。
早在1920年，格里菲斯就从能量平衡的观点研究了玻璃的脆断。
他证明了，对于弹性体中预先存在的一条裂纹，当总位能的减小等于或超过两个新的裂纹表面的表面能时，裂纹就会发生扩展。
之后他又研究了裂纹尖端附近的应力场，发现当裂纹前端的应力场强度达到材料的某一临界值时，裂纹就将发生扩展。
前者的临界能量就是裂纹表面能，后者的临界应力场就是断裂韧度。
众所周知，裂纹大体分为三类，I,II,III，文献3中有详述。
这里只对第一类裂纹举例。
如上图所示的裂纹中，应力强度因子的表达式为由此可知，应力强度因子与裂纹尖端附近区域内点的坐标无关，它与应力场有关，与裂纹的形状和裂纹的尺寸及方向有关，与载荷的大小和作用方向有关，与材料的某些常数有关，所以应力强度因子可以有效地反映裂纹尖端应力场强度。
用abaqus可以算出裂纹尖端的应力强度因子如下图所示，但是临界应力强度因子既断裂韧性却是一个固定的常数，是材料本身的属性，需要做试验确定。
裂纹表面能与应力强度因子的关系为第三，断裂韧性的测量方法。
对于断裂韧性，有很多很多种测量方法，电测、光测、声测、电磁测量，等等，文献2中有具体描述。
但现在最容易实现也最常见的是三点弯曲测量方法。
现就这种方法对于石膏的断裂韧性测量方法简述：三点弯曲实验加载力P,最大断裂载荷就是临界载荷，代入式（5）、（6）中就可以得到断裂韧性1）实验设备：组合实验台的拉伸装置，三点弯曲夹具，游标卡尺，引伸计，电阻片2）拉伸机试样制备将石膏粉按水膏比2:1的比例倒入水中，搅拌均匀后放入磨具中，脱模后放入烘干机中烘干待用。
石膏为10mm*10mm*90mm的板条试样，制造规整试件10件，试样两底面在磨片机上磨平，平行度小于0.1mm/cm。
3）三点弯曲试样制备取出之前制备好的10件试样。
预制疲劳裂纹。
用夹劈型刃具，控制加压载荷，获得不同大小尺寸的近似半椭圆缺口，如下图所示，a/W=0.5。
之后用三点弯曲方法预制疲劳裂纹。
三点弯曲疲劳时，将人工缺口朝上正对下压头。
疲劳裂纹长度最好大于1.3mm，或应大于裂纹总长度的5%。
4）将试样置于三点弯曲系统中，如下图所示。
在拉伸试验机上加载，最好在1~3min中内拉断，记录下最大载荷Pmax计算KIC。
参考文献[1] 先进纤维增强复合材料性能测试/(英) J.M.霍奇金森主编白树林, 戴兰宏, 张庆明译出版发行项:北京:化学工业出版社,2005[2] 刘宝琛实验断裂、损伤力学测试技术机械工业出版社,1994.9[3] 脆性断裂力学/（苏）切列帕诺夫(Черепанов，Г.П.)著黄克智等译出版发行项:北京:科学出版社,1990可能上面的文献各位找不到，我这边扫描了文献二附录中的常见材料断裂参数，希望对大家有所帮助。
楼主辛苦，但是有一点不明白，裂纹表面能与应力强度因子的关系的表达式中G在断裂力学书中是表面能和单位面积所消耗的塑性变形功，不知道是一个意思，还是确实是需要加上塑性变形功，谢谢楼主。
我认为裂纹表面能就是裂纹断裂时所需要的能量，也就是你所说的变形功。
很多书翻译过来的名字都不一样，每个学者的叫法有时候也不同，但其实都是一个意思。
就是你裂纹尖端那里，裂纹拼命想要开裂，但是内部还有分子内力不让它开裂，一旦受到的外力所做的功达到了裂纹尖端开裂所需要的能量，立刻断裂。
这个能量，就是G.rosepianist 发表于2011-10-10 19:59我认为裂纹表面能就是裂纹断裂时所需要的能量，也就是你所说的变形功。
很多书翻译过来的名字都不一样，每 ...楼主按照你的理解，你用过断裂能计算么，就是通过K来得到G，然后把G输入到ABAQUS 中，计算XFEM裂纹扩展，如果计算过，请问楼主的计算结果和实际相符么，谢谢。
C.DRAGON.W 发表于2011-10-11 10:05楼主按照你的理解，你用过断裂能计算么，就是通过K来得到G，然后把G输入到ABAQUS 中，计算XFEM裂纹扩展， ...呃，我就是酱紫算的。
因为大多数材料给出的都是断裂韧性K而不是G.但是我木有验证仿真结果是否正确，因为那需要实验。
如果做出来了，那我觉得我就可以毕业了。
哎呀呀，不晓得酱紫对不对，求高手解答。
我认为裂纹表面能就是裂纹断裂时所需要的能量，也就是你所说的变形功。
很多书翻译过来的名字都不一样，每 ...从能量观点来说，裂纹扩展需要消耗一定的能量，主要有两个方面：一、裂纹扩展形成新的表面需要消耗一定能量，假设单位面积需要的表面能为Gama，则形成两个表面，总共为2×Gama；二、多数材料在断裂前会发生塑性变形，因而消耗一定的塑性变形功，设裂纹扩展单位面积需要消耗的塑性变形功为Up；则裂纹扩展需要的总能量为R=2×Gama+Up既然裂纹扩展有一定的阻力，那么要使裂纹扩展，系统必须提供足够的动力。
设裂纹扩展单位面积时系统能够提供的能量为G，则裂纹扩展条件为G>=RG为裂纹扩展单位面积时系统提供的能量，称为应变能释放率（SERR），它与应力强度因子K （SIF）具有等效性，可以相互换算，对于线弹性材料而言，平面应力假设下，G=K×K/E平面应变假设下G=K×K×（1-v×v）/E其中v为泊松比此外线弹性条件下，G与J积分完全等价，即相等。
Griffith最初的模型是建立在理性的脆性固体假设基础上的，因而消耗能量的唯一形式即形成新的裂纹面，也即上面式子中塑性变形功Up等于零。
因而才有了，G等于表面能时裂纹扩展的说法。
需要强调的是，Gc为断裂韧性，为材料的固有塑性。
通常的断裂判据建立在应变能释放率G与断裂韧性的比较上，即当G>=Gc 或K>=Kc时裂纹扩展，其中Kc与Gc具有等效关系。
本文主要解释了xfem的基础方程的含义，阐述了虚拟节点的定义。
并在对于扩展有限元的理解的基础上，对于已有的三角形子域计算方法进行了改进，在abaqus上编写了一段子程序，对三点弯曲梁断裂过程进行了仿真。
具体代码没有给出，采用的是最大主应力法则。
看完以后会对扩展有限元有一个基础的认识。
基于ABAQUS平台的扩展有限元法.pdf(415.48 KB, 下载次数: 358)+++++++++++++++++Comparative study on finite elements with embedded discontinuities.pdf(300.79 KB, 下载次数: 180)本文综述了扩展有限元思想的发展历程，此方法刚刚开始发展的时候，很多学者提出来的主要思路可以分为三类，SOS（静力最优对称方程）,KOS（动力最有对称方程）,SKON（静力与动力结合非对称最优方程）三大类，SOS缺点是不能反映裂纹扩展的运动过程，KOS的缺点是会导致单元拉伸与应力关系不正常，SKON则结合了商量中思想的优点，互补一下就可以解决问题，也就是xfem的基本思想了。
大家可以在这篇文章中找到计算不连续单元的最基本具体迭代思想。
24页，不多。
慢慢看，总会有收获。
+++++++++++++++++++++++Fracture Toughness of Wood Fiber Gypsum Panels from Size__ Effect Law.pdf(398.22 KB, 下载次数: 166)本文主要目的就是分析准脆性材料的尺寸大小对裂纹的影响。
研究的尺寸参数就是试样的厚度，初始裂纹的长度。
裂纹的参数是断裂韧性，和断裂过程区域长度。
如果是脆性的，那么断裂韧性的改变就是线性改变的，只要有了裂纹，有了外力，材料就会一断到底：但是准脆性材料不同，即使外力一直为常数，但是由于塑性区域的存在，断裂过程区域长度在增长，断裂韧性逐渐增，不再是线性的，而是非线性的发展：于是在这里就引进了一个等效裂纹扩展参数。
这里，等效裂纹参数：D越大，临界等效裂纹参数就接近于一个常数：这个常数就是裂纹过程区域长度。
文中做了相关实验，解释并验证了这个公式在某些区域内是可靠的。
++++++++++++++++扩展有限元的ABAQUS用户子程序实现.pdf(768.65 KB, 下载次数: 196)本文就前面所介绍的文献，《基于abaqus平台的扩展有限元法》进行了进一步扩展，比如方修军等人是假设裂纹尖端止于单元边界，这会降低xfem的精度，作者在此基础上做了改进，使得裂纹尖端不受单元的制约。
并在abaqus中编写用户子程序，对于两个基础裂纹例子进行了计算并得到了相应结论：xfem的精度比普通的cfem算法无论是精度还是算法上都要好很多。