裂纹扩展能量释放率及断裂韧度
断裂韧性
断裂韧性(fracture toughness)带裂纹的金属材料及其构件抵抗裂纹开裂和扩展的能力。
从20世纪50年代开始在欧文(G．R．Irwin)等的努力下，形成了线弹性断裂力学，随后又发展成弹塑性断裂力学。
在用它们对断裂过程进行分析和不断完善实验技术的基础上，逐步形成了平面应变断裂韧性KIC 、临界裂纹扩展能量释放率GIC、临界裂纹顶端张开位移δIC 、临界J积分JIC等断裂韧性参数。
其中下标I表示I型即张开型裂纹，下标c表示临界值。
这些参数可通过实验测定，其值越高，材料的断裂韧性越好，裂纹越不易扩展。
断裂韧性参数(1)平面应变断裂韧性KIC。
欧文分析平面问题的I型裂纹尖端区域的各个应力分量中都有一个共同的因子KI，其值决定着各应力分量的大小，故称为应力强度因子。
KIC=yσ(πa)1/2，式中σ为外加拉应力；a为裂纹长度，y为与裂纹形状、加载方式和试件几何因素有关的无量纲系数。
KI 增大到临界值KIC，KI≥KIC时，裂纹失稳扩展，迅速脆断。
(2)临界裂纹扩展能量释放率GIC 。
裂纹扩展能量释放率GI=-(aμ/aA)，式中μ为弹性能，A为裂纹面积。
平面应力条件下，GI =kI2/E;平面应变条件下，G I =(kI2/E)(1-v2)，式中E为弹性模量，v为泊松比。
GI是裂纹扩展的动力，GIC增大到临界值G。
即GI ≥GIC时，裂纹将失稳扩展。
(3)临界裂纹顶端张开位移δC。
裂纹上、下表面在拉应力作用下，裂纹顶端出现张开型的相对位移叫裂纹顶端张开位移δ，δ增大到临界值δC，裂纹开始扩展。
(4)临界J积分JIC。
弹塑性断裂力学中，一个与路径无关的能量线积分叫做J积分。
式中r为积分回路，由裂纹下边缘到上边缘，以逆时针方向为正，ds为弧元，ω为单位体积应变能，u为位移矢量，T是边界条件决定的应力矢量。
线弹性和弹塑性小应变条件下，I型裂纹的J积分JI=-B-1(aμ/aA)，式中B为试样厚度，a为裂纹长度。
混凝土断裂韧度及实例分析1
二、应力场强度因子KⅠ及断裂韧度KⅠc
当σ/σs＜0.7时
当σ/σs≥0.7时
三、裂纹扩展能量释放率GⅠ及断裂韧度GⅠc
(一)裂纹扩展能量释放率GⅠ (二)断裂韧度GⅠc和断裂G判据
补充
一、能量方法(Energy Methods ) ：
利用功能原理 U = W 来求解可变形固体的位移、变形和内力
对拉杆进行逐步加载（认为无动能变化） 利用能量守恒原理： U（弹性应变能）=W（外力所做的功）
W 1 2 P L U E
UE P L 2 EA
2
L
PL EA
P
单位体积内的应变能----比能u(单位：J/m3)
P
u 1 U V 2 AL P L 1 2
2
P
前 言
缺口的第一个效应： 缺口造成应力应变集中。 缺口的第二个效应： 应力改为两向或三向拉伸。
缺口的第三个效应： 缺口使塑性材料得到“强化”。
前 言
1、传统的力学强度理论(1920s前)： 材料连续、均匀和各向同性的； 断裂是瞬时发生的。 断裂:σ>σs 脆性、韧性断裂
2、现代的力学强度理论(1920s后)： 材料存在裂纹(裂纹体)； σ<σs时就断裂 ；
断裂力学的基本原理；
线弹性下断裂韧度的意义、测试原理和影响因素。
前
言
6、裂纹类型（摘自P80附表）
工 艺 裂 纹 及 使 用 裂 纹
第四章
金属的断裂韧度
§4.1 线弹性条件下的金属断裂韧度
§4.2 断裂韧度KⅠc的测试
§4.3 影响断裂韧度KⅠc的因素
§4.4 断裂K判据应用案例 §4.5 弹塑性条件下金属断裂韧度的基本概念
断裂力学与断裂韧度优质内容
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3.1材料的断裂理论
英国科学家葛里菲斯(A.A.Griffith)对玻璃等材料进行了一系
列试验后，于1920年提出脆性材料的断裂理论。他指出：
脆性材料的断裂破坏是由于已经存在的裂纹扩展的结果，
断裂强度取决于施加载荷前就存在于材料中的裂纹的大小，
或者说断裂强度取决于使其中的裂纹失稳扩展的应力。当
U Ue W
通常把裂纹扩展单位面积时系统释放势能的数值称为 裂纹扩展能量释放率，简称能量释放率或能量率，用G 表示。
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由于裂纹扩展的动力为GI，而GI为系统势能U的
释放率，所以确定GI时必须知道U的表达式。
由于裂纹可以在恒定载荷F或恒位移 条件下扩 展，在弹性条件下上述两种条件的GI表达式为：
美国在二战期间有5000艘全焊接的“自由 轮”，其中有238艘完全破坏，有的甚至 断成两截。
20世纪50年代，美国发射北极星导弹，其Байду номын сангаас固体燃料发动机壳体采用了高强度钢 D6AC,屈服强度为1400MPa，按照传统的 强度设计与验收时，其各项性能指标包 括强度与韧性都符合要求，设计时的工 作应力远低于材料的屈服强度，但发射 点火不久，就发生了爆炸。
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由于许多表观脆性材料在断裂前裂纹顶端均已产
生了显著的塑性变形，而为此所消耗的功远大于
裂纹产生新表面需要的表面能，于是欧文和奥万
对葛氏公式进行了修正，各自独立提出：
1
c
2E
( s a
p
)
2
式中：rp——裂纹扩展单位面积所需的塑性变形
功。这个理论称为欧文-奥罗万理论。某些材料
1-4裂纹扩展准则
根据假设2），开裂条件为
s (θ c ) = sc
对纯I型裂纹
K I2 (1 − 2v) θ c = 0, s(θ c ) = = sc 4πµ
对纯II型裂纹
2 K II s (θ ) = [4(1 − v)(1 − cos θ ) + (1 + cos θ )(3 cos θ − 1)] 16 µ
开 裂 角
tan β = K I / K II
开裂条件
也叫断裂混合度 （mode mixity ）
最大环向应力准则的不足
• 没有区分广义的平面应力 平面应变 平面应力和平面应变 平面应力 平面应变问题； • 没有考虑其它应力分量 其它应力分量的作用； 其它应力分量 • 没有考虑裂尖塑性区 裂尖塑性区的影响 裂尖塑性区 由于该准则形式简单，应用比较方便，误差 不大，因而得到广泛的应用。
cos θ (3 cos θ − 1) 2
由
∂σ θθ ( K I , K II , θ ) = 0 ，得 ∂θ
K I sin θ + K II (3 cos θ − 1) = 0
θ c = arccos
2 2 3K II ± K I4 + 8 K I2 K II 2 K I2 + 9 K II
σ
θθ
临界状态
这意味着裂纹失稳扩展的条件为
G = GC
平面断裂韧度
由（I型）
GI = K I2 / E *
裂纹扩展条件也可表示为 K I = K IC 平面断裂韧度，为材料常数
1）该准则仅适用于脆性材料，对塑性变形较大的金属材料不适用 2）实验表明，该准则对I型裂纹沿其初始方向扩展是适用的
4-2金属的断裂韧性1
反映材料阻止裂失稳扩展的能力 。
KⅠC 是真正的材料常数，反映阻止裂纹扩展的能力。
断裂判据
当应力强度因子增大到一临界值，这一临界值在数值上 等于材料的平面应变断裂韧性时，裂纹就立即失稳扩展， 构件就发生脆断。于是断裂判据便可表示为
椭圆上任一点P的位置由角β 而定，椭圆的长半轴为c，短半轴为a
K=σ(π a)1/2(sin2β +a2cos2β /c2)1/4/Φ
Φ=
/2
0
(sin a cos / c ) d
2 2 2 2
1/ 2
P263附录C
（三）断裂韧度KⅠC和断裂判据
K1 K1crim K1C
σ 1=（σ x+σ y）/2+[（σ x-σ y）2/4+τ σ 2=（σ x+σ y）/2-[（σ x-σ y）2/4+τ σ 3=υ （σ 1+σ 2）
2]1/2
xy
xy
2]1/2
σ 1= KⅠcos（θ /2）[1+sin（θ /2 ）]/（2π r）1/2
σ 2= KⅠcos（θ /2）[1-sin（θ /2）]/（2π r）1/2 σ 3= 0（平面应力） σ 3= 2υ KⅠcos（θ /2）/（2π r）1/2 （平面应变）
2
2
/E（平面应变）
/E
=0
在裂纹延长线上θ =0 σ
τ
x
=σ y=KⅠ/（2π r）1/2
XY=0
在X轴上裂纹尖端的切应力分量为零 正应力最大 裂纹最易沿X轴方向扩展
断裂韧性基础
第六章 断裂韧性基础第一节Griffith 断裂理论第二节裂纹扩展的能量判据能量释放率G 裂纹扩展单位面积时，系统所提供的弹性能量U A∂∂是裂纹扩展的动力，此力叫裂纹扩展力或称为裂纹扩展时的能量释放率。
以1G 表示（1表示Ⅰ型裂纹扩展）。
G 与外加应力，试样尺寸和裂纹有关，而裂纹扩展的阻力为2()s p γγ+，随1,a G σ↑→↑→增大到某一临界值时，1G 能克服裂纹失稳扩展阻力，则裂纹使失稳扩展而断裂，这个1G 的临界值它为1c G ，称为断裂韧性。
表示材料组织裂纹试稳扩展时单位面积所消耗的能量。
平面应力下： 2211,C cC a aG G E E σπσπ==平面应变下： 222211(1)(1),C c C a v v a G G E Eσπσπ--== G 的单位12MPa m -⋅。
第三节 裂纹顶端的应力场可看成线弹性体12005001000s s MPa MPa σσ⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪⎩玻璃，陶瓷高强钢的横截面中强钢低温下的中低强度钢6.3.1三种断裂类型⎧⎪⎨⎪⎩张开型断裂滑开型断裂撕开型断裂最危险Ⅰ型6.3.2Ⅰ型裂纹顶端的应力场无限大平板中心含有一个长为2a 的穿透裂纹，受力如图欧文（G 。
R 。
Irwin ）等人对Ⅰ型裂纹尖端附近的应力应变进行了分析，提出应力应变场的数字解析式，由此引出了应变场强度因子1K的概念。
并建立了裂纹失稳扩展的K判据和断裂韧性1CK。
若用极坐标表达式表达，则有近似数字表达式：当裂尖某点不确定，即,rθ一定后，应力大小均由1K决定———盈利强度因子1K故1K大小反映了裂纹尖端应力场的强弱，取决于应力大小，裂纹尺寸。
6.3.3 应力场强度因子及判据将上面应力场方程写成：()ij ijfσθ=其中1K Y=Y：形状系数。
对无限大板Y=1。
1K：12MPa m-⋅111,,a KK aa Kσσσ⎧↑→↑⎪⇒⎨↑→↑⎪⎩不变是一个决定于和的复合物理量不变当此参量达到临界时，在裂纹尖端足够大的范围内，应力便会达到断裂强度，裂纹便沿着X轴失稳扩展，从而使材料断裂。
断裂力学
K I K IC
KIC：断裂韧性，为材料常数
KI和KIC的关系就如同与s的关系。 KI的量刚[力][长度]-3/2，常用单位kg.mm-3/2
应力强度因子
应力强度因子
应力强度因子一般写为：
K I Y a
σ 为名义应力（裂纹位臵上按照无裂纹计算的应 力）； a 为裂纹度因子的计算方法：查手册法、应力 集中系数法、复变函数法、积分变换法、应力集 中系数法、有限元和边界元法。
裂纹扩展的能量分析
一、裂纹扩展的能量率
在裂纹扩展过程中，要消耗能量主要的有： 裂纹表面能：裂纹扩展，裂纹的表面积增加，而产生新表面就需要消耗 能量。如增加单侧表面单位面积所需的能量为g，在扩展过程中要形成上下两 个表面，故单位裂纹面积所需的能量共为2g 。 对非纯弹性材料来说，裂纹扩展前还要产生塑性变形，这也需要消耗能 量，如裂纹扩展单位面积为克服塑性变形所消耗的能量为Up（塑性变形能Up 往往要比裂纹表面能大3—6个数量级）。 总的来说，裂纹扩展单位面积所消耗的能量为：R 2g U P R 就表明裂纹要扩展的阻力，而裂纹要扩展,就必须有动力去克服这种阻 力，如设裂纹扩展单位面积，系统供给的动力为 G，则显然，只有在G≥R时， 裂纹才能扩展。 裂纹扩展所需要的动力，应由和外力有关系的系统提供。如整个系统的 能量用U表示（势能），裂纹扩展面积为dA，则裂纹扩展所需要的能量由整个 系统的势能下降来提供。 G dA dU
裂纹扩展的能量分析
一、裂纹扩展的能量释放率
据：
G dA dU
关于裂纹的扩展速度
按照裂纹扩展速度来分，断裂力学可依静止的裂纹、亚临界 裂纹扩展以及失稳扩展和止裂这三个领域来研究。 亚临界裂纹扩展和断裂后失稳扩展的主要区别，在于前者不 但扩展速度较慢，而且如果除去使裂纹扩展的因素 ( 例如卸 载)，则裂纹扩展可以立即停止，因而零构件仍然是安全的； 失稳扩展则不同，扩展速度往往高达每秒数百米以上，就是 立即卸载也不一定来得及防止最后的破坏。 在静止的裂纹方面，我们主要对裂纹问题作应力分析，即计 算表征裂端应力场强度的参量，例如计算象应力强度因子、 能量释放率这一类的力学参量。
金属的断裂韧度
第四章金属的断裂韧度断裂是工程上最危险的换效形式。
特点：〔a〕突然性或不可预见性；〔b〕低于屈服力，发生断裂；〔c〕由宏观裂扩展引起。
∴工程上，常采用加大安全系数；浪费材料。
但过于加大材料的体积，不一定能防止断裂。
∴发展出断裂力学断裂力学的研究范畴：把材料看成是裂纹体，利用弹塑性理论，研究裂纹尖端的应力、应变，以及应变能力分布；确定裂纹的扩展规律；建立裂纹扩展的新的力学参数〔断裂韧度〕。
主要内容：含裂纹体的断裂判据。
固有性能的指标—断裂韧性：用来比较材料拉断能力，K IC ,G IC , J IC,δC。
用于设计中：K IC已知，σ，求a maxK IC已知 , a c已知，求σ构件承受最大承载能力。
K IC已知，a已知，求σ。
讨论：K IC的意义，测试原理，影响因素及应用。
§4-1线弹性条件下的断裂韧度一、裂纹扩展的基本形式1、张开型〔I型〕2、滑开型〔II型〕3〕撕开型〔III型〕裂纹的扩展常常是组合型，I型的危险性最大二、应力场强度因子KI和断裂韧度K IC。
1、裂纹尖端应力场，应力分析①应力场离裂纹尖端为(，)的一点的应力：〔应力分量，极座标〕平面应力 σx =0平面应变 σx =υ〔σx +σy 〕对于某点的位移则有平面应力情况下位移平面应变情况时，上式为平面应变状态，位移分量。
越接近裂纹尖端〔即r 越小〕精度越高；最适合于r<<a 情况。
②应力分析在裂纹延长线上，〔即v 的方向〕θ=0⎪⎩⎪⎨⎧===021xy x y rk τπσσ拉应力分量最大；切应力分量为0；∴裂纹最易沿X 轴方向扩展。
2、应力场强度因子K I r K I πσ2=K I 可以反映应力场的强弱。
∴称之为应力强度因子。
通式：a Y K Ⅰσ= a —裂纹长度/2；Y —裂纹形状系数 一般Y=1~2宽板中心贯穿裂纹 π=Y长板中心穿透裂纹 〔见表4-1，P84-85〕Y 是无量纲的量而K I 有量纲 MPa ·m 1/2或MN ·m -3/2a Y K aY K III II ττ==3、断裂韧度K IC 和断裂判据①断裂韧度 当应力到达断裂强度，裂纹失稳，并开始扩展。