2习题解答
习题解答
2-1．什么是信号？信号处理的目的是什么？
2-2．信号分类的方法有哪些？
2-3．求正弦信号()t A t x ωsin =的均方值2
x ψ。 解：
()2
4sin 4222cos 12sin 2sin 1122202202
202
2022A T T A T dt t A T tdt A T dt
t A T dt t x T T T T T x
=??? ??-=-====????ωωωωωψ
也可先求概率密度函数：221
)(x
A t p -=π则：?∞
∞-==2)(2
2
2
A dx x p x x
ψ。
2-4．求正弦信号())sin(?ω+=t A t x
的概率密度函数p(x)。
解： 2
22
1
)(11
1,arcsin
x
A A
x A dx dt A x t -=
-=-=ωω
?ω
代入概率密度函数公式得：
222222001
22221lim 1lim )(x A x
A x A T T
dt dx T t x x p x x -=
-=-=?=??????????=∑→?→?πω
πωω
2-5．求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱
解 在x(t)的一个周期中可表示为
t
x
T 1
-T 1
T
-T
??
?<<≤=2
1)(11
T t T T t t x
该信号基本周期为T ，基频ω0=2π/T ，对信号进行傅里叶复指数展开。由于x (t )关于t =0对称，我们可以方便地选取-T /2≤t ≤T /2作为计算区间。计算各傅里叶序列系数c n 当n =0时，常值分量c 0：
T
T dt T a c T T 100211
1===?-
当n ≠0时，
11
01
1
0011
T T t
jn T T t jn n e T
jn dt e T
c -----
==
?
ωωω
最后可得
?
?
?
???-=-j e e T n c t jn t jn n 22
000ωωω
注意上式中的括号中的项即sin (n ω0 T 1)的欧拉公式展开，因此，傅里叶序列系数c n 可表示为
0)(sin 2)sin(210010≠==
n T n c T
T n T n c n ，ωπωω
其幅值谱为：)(sin 211
T n c T
T c o n ω=
，相位谱为：ππ?-=,,0n 。频谱图如下：
2-6．设c n 为周期信号x (t )的傅里叶级数序列系数，证明傅里叶级数的时移特性。 即：若有
()n FS
c t x ?→←
则 ()n t j FS
c e
t t x 0
00ω±?→←±
证明：若x (t )发生时移t 0（周期T 保持不变），即信号x (t - t 0)，则其对应的傅立叶系数为
n
C T T /211
/T πω00ωn C T T /211/T πω00
ωn ?ππ-ω0
()?-=
T
t
j n dt e t x T c 01'ω 令0t t -=τ，代入上式可得
()()n
t j T
j t j T t j n c e d e x T e d e x T
c 00000001
1)
('ωτωωτωττττ---+-===
??
因此有
()n t T j n t j FS
c e c e t t x 000)/2(0πω--=?→←-
同理可证
()n t T j n t j FS c e c e t t x 000)/2(0πω++=?→←+
证毕！
2-7．求周期性方波的（题图2-5）的幅值谱密度
解：周期矩形脉冲信号的傅里叶系数
)(sin 2110110T n c T
T dt e T C T T t
jn n ωω==
?--
则根据式，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换，有
)()(sin 22)(0101
ωωδωπ
ωn T n c T
T X n -=∑∞
-∞= 此式表明，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换是一个离散脉冲序列，集中于基频0ω以及所有谐频处，其脉冲强度为01/4T T π被)(sin t c 的函数所加权。与傅里叶级数展开得到的幅值谱之区别在于，各谐频点不是有限值，而是无穷大的脉冲，这正表明了傅里叶变换所得到的是
幅值谱密度。
2-8．求符号函数的频谱。
解：符号函数为 ??
?
??=<->=0
001
01)(t t t t x 可将符号函数看为下列指数函数当a 0时的极限情况
解 ???><-==00
)sgn()(t e
t e t t x at at
()()f
j f
j
f j a f j a dt e e dt e e dt e t x f X a ft j at ft j at a ft j πππππππ12121lim ..lim 00
20202=
-
=??
????+-+=??
?
???-==→∞--∞--→∞+∞--???