11(三角形8+2)
人教版八年级上册数学第11章《三角形》(全)共9课时
C
有三条线段，三个角 边：线段AB，BC，CA是三角形的边. 顶点：点A，B，C是三角形的顶点， 角：∠A，∠B，∠C叫做三角形的内角，简称三角形的角.
△ABC 记法：三角形ABC用符号表示________.
பைடு நூலகம்
边的表示：三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表
c， a ， b 示为________.
3.三角形三边有怎样的不等关系? 通过动手实验同学们可以得到哪些结论?理由是什么？
归纳总结
三角形两边的和大于第三边. 三角形两边的差小于第三边.
典例精析
例1：判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？ （1）3cm、8cm、4cm； （2）5cm、6cm、11cm； （3）5cm、6cm、10cm.
3.如图，在△ACE中，∠CEA的对边是 AC A
．
B
C
D
E
F
19cm 4.已知等腰三角形的两边长分别为8cm，3cm，则这个三角形的周长为 __________.
解：（1）不能，因为3cm+4cm<8cm； （2）不能，因为5cm+6cm=11cm；
（3）能，因为5cm+6cm>10cm.
归纳
判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明两条较短线段之和大于第
三条线段即可.
针对训练 一根木棒长为7，另一根木棒长为2，那么用长度为4的木棒能和它们拼成三角形吗？ 长度为11的木棒呢？若不能拼成，则第三条边应在什么范围呢？
找一找：(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形？
5个，它们分别是△ABE,△ABC, △BEC,△BCD,△ECD. (2)以AB为边的三角形有哪些？ △ABC、△ABE.
2022八年级数学上册 第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角 2三角形的外角习题课件 新人教版
(2)∵∠B＝n°，∠C＝m°， ∴∠BAC＝180°－n°－m°. ∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD＝90°－m°＋2 n°， ∴∠PDE＝n°＋90°－m°＋2 n°＝90°－m°－2 n°， ∴∠DPE＝90°－90°－m°－2 n°＝m°－2 n°.
∠A和∠B
知识点二 三角形的内外角的数量关系
3.如图，在△ABC中，∠A＝40°，D为AB延长线上一点，且∠CBD＝
120°，则∠C＝( C )
A.40°
B.60°
C.80°
D.100°
4.(2018·广西)如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝
60°，∠B＝40°，则∠ECD等于( C )
A.40°
B.45°
C.50°
D.55°
5.如图，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝30°，则∠1的大小为( D )
A.20° C.50°
B.30° D.80°
6.如图，延长△ABC的边AC到点D，则∠A___＜_____∠DCB.(填“＜”“＞” 或“＝”)
7.(课本P16习题T1改编)如图，x＝__5_0__.
B.60°
C.70°
D.80°
14.(2018·永州)一副透明的三角板按如图所示叠放，直角三角板的斜边 AB，CE相交于点D，则∠BDC＝________.
75°
考查角度一 三角形内外角性质的综合 15.如图，已知三角形ABC，求证：∠EAF＋∠DBF＋∠DCE＝360°. 证明：∵∠EAF，∠DBF，∠DCE都是三角形ABC的外角， ∴∠EAF＝∠2＋∠3，∠DBF＝∠1＋∠3，∠DCE＝∠1＋∠2， ∴∠EAF＋∠DBF＋∠DCE
第9套人教初中数学八上 11《三角形》三角形三边关系课件 【通用,最新经典教案】
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由三条不在同一不条在直同线一上条的直线线段上首尾顺次连结组成的平面图形，称为三首角尾形顺. 次连结 你能说出三角形有哪些性质吗？
练一练
下列长度的各组线段能否组成一个三角形？
（1）15cm、10cm、7cm (2) 4cm、5cm、10cm
(3) 3cm、8cm、5cm
(4) 因为4cm+5cm>6cm， 所以这三条线段能组成一个三角形.
摘苹果
（1）任何三条线段都能组成一个三角形
()
×
（2）因为a+b>c,所以a、b、c三边可以构成三角形（ ）
×
(3) 以长为3cm、5cm、7cm、10cm的四条线段中的 三条线段为边，可构成_____个三角形． 2
（4）已知等腰三角形的两边长分别为8cm，3cm，
(3) 3cm、8cm、5cm
(4) 4cm、5cm、6cm
只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形.
解：(1) 因为10cm+7cm>15cm， 所以这三条线段能组成一个三角形.
(2) 因为4cm+5cm<10cm， 所以这三条线段不能组成一个三角形.
(3) 因为3cm+5cm=8cm， 所以这三条线段不能组成一个三角形.
A
01 23 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 23 4 5
B
C
D
A
B D
C
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高
A ∵ AD ⊥ BC
人教版八年级上册第十一章三角形知识点归纳
三角形几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）1．三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（如图）AB CD几何表达式举例：(1) ∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD(2) ∵∠BAD=∠CAD∴AD是角平分线2．三角形的中线定义：在三角形中，连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.（如图）AB CD几何表达式举例：(1) ∵AD是三角形的中线∴BD = CD(2) ∵BD = CD∴AD是三角形的中线3．三角形的高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.（如图）AB CD几何表达式举例：(1) ∵AD是ΔABC的高∴∠ADB=90°(2) ∵∠ADB=90°∴AD是ΔABC的高※4．三角形的三边关系定理：几何表达式举例：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.（如图）AB C(1) ∵AB+BC＞AC∴……………(2) ∵AB-BC＜AC∴……………5．等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. （如图）AB C几何表达式举例：(1) ∵ΔABC是等腰三角形∴AB = AC(2) ∵AB = AC∴ΔABC是等腰三角形6．等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形. （如图）AB C几何表达式举例：(1)∵ΔABC是等边三角形∴AB=BC=AC(2) ∵AB=BC=AC∴ΔABC是等边三角形7．三角形的内角和定理及推论：（1）三角形的内角和180°；（如图）（2）直角三角形的两个锐角互余；（如图）（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（如图）几何表达式举例：(1) ∵∠A+∠B+∠C=180°∴…………………※（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.（1） （2） （3）（4）(2) ∵∠C=90° ∴∠A+∠B=90°(3) ∵∠ACD=∠A+∠B ∴………………… (4) ∵∠ACD ＞∠A ∴…………………8．直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形.（如图）ABC几何表达式举例： (1) ∵∠C=90° ∴ΔABC 是直角三角形 (2) ∵ΔABC 是直角三角形 ∴∠C=90°9．等腰直角三角形的定义： 两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形.（如图）ABC几何表达式举例： (1) ∵∠C=90° CA=CB∴ΔABC 是等腰直角三角形(2) ∵ΔABC 是等腰直角三角形∴∠C=90° CA=CB10．全等三角形的性质： 几何表达式举例：DAB CABCABC（1）全等三角形的对应边相等；（如图） （2）全等三角形的对应角相等.（如图）(1) ∵ΔABC ≌ΔEFG ∴ AB = EF ……… (2) ∵ΔABC ≌ΔEFG∴∠A=∠E ……… 11．全等三角形的判定：“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”“HL ”. （如图）（1）（2）（3）几何表达式举例： (1) ∵ AB = EF ∵ ∠B=∠F又∵ BC = FG ∴ΔABC ≌ΔEFG (2) ………………(3)在Rt ΔABC 和Rt ΔEFG 中∵ AB=EF 又∵ AC = EG ∴Rt ΔABC ≌Rt ΔEFG12．角平分线的性质定理及逆定理： （1）在角平分线上的点到角的两边距离相等；（如图）（2）到角的两边距离相等的点在角A O BCDE几何表达式举例： (1)∵OC 平分∠AOB 又∵CD ⊥OA CE ⊥OB ∴ CD = CEABCGEFABCGEFA BCEFG平分线上.（如图）(2) ∵CD⊥OA CE⊥OB又∵CD = CE∴OC是角平分线13．线段垂直平分线的定义：垂直于一条线段且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.（如图）A BEFO几何表达式举例：(1) ∵EF垂直平分AB∴EF⊥AB OA=OB(2) ∵EF⊥AB OA=OB∴EF是AB的垂直平分线14．线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（如图）（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（如图）A BCMNP几何表达式举例：(1) ∵MN是线段AB的垂直平分线∴PA = PB(2) ∵PA = PB∴点P在线段AB的垂直平分线上15．等腰三角形的性质定理及推论：（1）等腰三角形的两个底角相等；（即等边对等角）（如图）（2）等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”几何表达式举例：(1) ∵AB = AC ∴∠B=∠C三线合一；（如图）（3）等边三角形的各角都相等，并且都是60°.（如图）AB C（1）AB CD （2）ABC（3）(2) ∵AB = AC 又∵∠BAD=∠CAD ∴BD = CDAD ⊥BC ………………(3) ∵ΔABC 是等边三角形 ∴∠A=∠B=∠C =60°16．等腰三角形的判定定理及推论： （1）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所对边也相等；（即等角对等边）（如图）（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图）（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；（如图） （4）在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半.（如图）AB C（1）ABC（2）（3）ABC（4）几何表达式举例：(1) ∵∠B=∠C ∴ AB = AC (2) ∵∠A=∠B=∠C∴ΔABC 是等边三角形 (3) ∵∠A=60° 又∵AB = AC∴ΔABC 是等边三角形 (4) ∵∠C=90°∠B=30°∴AC =21AB17．关于轴对称的定理几何表达式举例：EFMO ABCNG（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（如图）（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.（如图）(1) ∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称∴ΔABC≌ΔEGF(2) ∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称∴OA=OE MN⊥AE18．勾股定理及逆定理：（1）直角三角形的两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2；（如图）（2）如果三角形的三边长有下面关系: a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.（如图）ABC几何表达式举例：(1) ∵ΔABC是直角三角形∴a2+b2=c2(2) ∵a2+b2=c2∴ΔABC是直角三角形19．RtΔ斜边中线定理及逆定理：（1）直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半；（如图）（2）如果三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角DABC几何表达式举例：∵ΔABC是直角三角形∵D是AB的中点∴CD = 21AB(2) ∵CD=AD=BD三角形.（如图） ∴ΔABC 是直角三角形几何B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题） 一 基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数. 二 常识：1．三角形中，第三边长的判断： 另两边之差＜第三边＜另两边之和.2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD ⊥AB ，BE ⊥CA ，则CD ·AB=BE ·CA.4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和.5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和. 6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形. 7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：A BCEDA BCD 12（1）AC·CB=CD·AB ；（2）∠1=∠B ，∠2=∠A .8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.10．等边三角形是特殊的等腰三角形.11．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明.12．符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等.13．几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.14．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.15．会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图.※18．几何重要图形和辅助线：（1）选取和作辅助线的原则： ① 构造特殊图形，使可用的定理增加； ② 一举多得；③ 聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角； ④ 作辅助线必须符合几何基本作图. （2）已知角平分线.（若BD 是角平分线）① 在BA 上截取BE=BC 构造全等，转移线段和角；② 过D 点作DE ∥BC 交AB 于E ，构造等腰三角形 .（3）已知三角形中线（若AD 是BC 的中线）① 过D 点作DE ∥AC 交AB 于E ，构造中位线 ；② 延长AD 到E ，使DE=AD 连结CE 构造全等，转移线段和角；③ ∵AD 是中线 ∴S ΔABD= S ΔADC （等底等高的三角形等面积）(4) 已知等腰三角形ABC 中，AB=AC① 作等腰三角形ABC 底边的中线AD （顶角的平分线或底边的高）构造全 等三角形；② 作等腰三角形ABC 一边的平行线DE ，构造新的等腰三角形.BCD AE BCD AEADECBADECBADCBADCB（5）其它 作等边三角形ABC 一边 的平行线DE ，构造新的等边三角形；② 作CE ∥AB ，转移角；③ 延长BD 与AC 交于E ，不规则图形转化为规则图形；④ 多边形转化为三角形；⑤ 延长BC 到D ，使CD=BC ，连结AD ，直角三角形转化为等腰三角形； ⑥ 若a ∥b,AC,BC 是角平 分线,则∠C=90°.EA DCBE ADCBDA CBECBADECEBDAADOBCEBCDABACab。
人教版八年级上册第十一章三角形知识点总结归纳
三角形几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.二常识：1．三角形中，第三边长的判断：另两边之差＜第三边＜另两边之和.2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD⊥AB，BE⊥CA，则CD·AB=BE·CA.4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和.5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和. 6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.AB CED7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即： （1） AC ·CB=CD ·AB ； （2）∠1=∠B ，∠2=∠A .8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.10．等边三角形是特殊的等腰三角形.11．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明. 12．符合“AAA ”“SSA ”条件的三角形不能判定全等.13．几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.14．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.15．会用尺规完成“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”、“HL ”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图. ※18．几何重要图形和辅助线： （1）选取和作辅助线的原则：① 构造特殊图形，使可用的定理增加； ② 一举多得；③ 聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角； ④ 作辅助线必须符合几何基本作图.A BCD 12（2）已知角平分线.（若BD是角平分线）BC的中线）（3）已知三角形中线（若AD是（5）其它。
人教版数学八年级上册第11章三角形小结教学设计
1.教师以生活中常见的三角形物体为例，如三角尺、自行车三角架等，引导学生思考：为什么这些物体要设计成三角形呢？三角形具有哪些独特的性质呢？
2.学生回答问题，教师总结：三角形是一种非常稳定的几何图形，具有很多特殊的性质和判定方法。
3.教师通过PPT展示一组三角形图片，引导学生观察并总结三角形的分类、性质等基础知识。
4.引导学生运用数学软件、网络资源等辅助工具，拓展学习渠道，提高他们的信息素养。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对三角形学习的兴趣，培养他们积极、主动学习的态度。
2.使学生感受到数学与现实生活的紧密联系，认识到数学在生活中的重要性。
3.通过对三角形知识的探索，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
4.培养学生的空间观念和几何直观，提高他们的审美素养。
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成若干小组，每组分配一个讨论题目，如：等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用等。
2.学生在小组内进行讨论，分享自己的观点和思考，共同解决问题。
3.教师巡回指导，关注学生的讨论过程，及时解答学生的疑问，引导学生深入探讨三角形的相关知识。
（四）课堂练习
1.教师设计具有针对性的练习题，涵盖本节课的重点知识点，让学生独立完成。
2.自主探究，合作交流：在教学过程中，教师应引导学生自主探究三角形的基本性质，鼓励他们通过小组合作、讨论交流的方式，共同解决问题。
3.分层次教学，关注个体差异：针对学生的不同层次，设计不同难度的例题和练习，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
4.突破重难点，注重方法指导：
（1）通过动态演示、实物操作等方式，帮助学生理解三角形性质的形成过程，突破性质判定难点。
2.学生在规定时间内完成练习，教师对学生的解答进行点评，指出错误和不足之处，引导学生进行改正。
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思全册第11章 三角形(11.1.3 三角形的稳定性教案
第十一章三角形11.1 与三角形有关的线段11.1.3 三角形的稳定性第1课时三角形的稳定性一、教学目标【知识与技能】了解三角形的稳定性以及三角形的稳定性在实际生活中的应用.【过程与方法】培养动手操作、归纳概括能力,提高运用知识解题的能力,训练思维的灵活性.【情感、态度与价值观】感受生活中数学的美学价值,体会生活中处处有数学,体验学习数学的乐趣.二、课型新授课三、课时第1课时四、教学重难点【教学重点】了解三角形的稳定性及其在生产、生活中的应用.【教学难点】1.了解三角形的稳定性.2.体会三角形的稳定性在生产和生活中的应用，会利用三角形的稳定性解决实际问题。
.五、课前准备教师：课件、三角尺、四边形框架、小木棍等。
学生：三角尺、四边形框架、小木棍、细绳。
六、教学过程（一）导入新课教师问：三角形在我们日常生活中应用广泛，在我们的生产和生活中哪里用到了三角形？学生回答：房屋的人字梁、大桥钢架、索道支架、建筑用的三脚架等.教师问：观察下图，将四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗?（二）探索新知师生互动，探究新知1.通过实际操作探索三角形的稳定性教师问：如图，在盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条.为什么要这样做？（出示课件3）学生讨论，得出各种结论.这样不容易变形.教师问：将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？（出示课件5）生动手操作，通过实验得出结论：它的形状不会改变.教师问：将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？学生动手操作，通过实验得出结论：它的形状会改变.教师总结：（1）三角形具有稳定性.（2）四边形没有稳定性.（出示课件6）教师问：在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？学生动手操作，通过实验得出结论：它的形状不会改变.教师问：经过以上三次实验，你发现了什么规律？学生讨论回答：可以发现，三角形不会变形，即三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性.教师总结讲解：（出示课件7）“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”.2.通过生活中的实例感受数学知识在生产和生活中的应用教师问：三角形的稳定性在我们的生产和生活中有哪些应用？学生回答：起重机、屋顶架构等.（出示课件8-10）教师问：四边形的不稳定性在我们的生产和生活中有哪些应用？学生回答：衣服挂架、放缩尺等.（出示课件13-15）例：要使四边形木架不变形，至少要钉上一根木条，把它分成两个三角形使它保持形状，那么要使五边形，六边形木架，七边形木架保持稳定该怎么办呢?（出示课件20）师生共同解答如下：都加上木条，分成三角形即可，如下图：总结点拨：为了使多边形具有稳定性，一般需要用木条将多边形固定成由一个一个的三角形组成的形式.（三）课堂练习（出示课件23-28）1.下列图中具有稳定性有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列关于三角形稳定性和四边形不稳定性的说法正确的是（）A.稳定性总是有益的，而不稳定性总是有害的B.稳定性有利用价值，而不稳定性没有利用价值C.稳定性和不稳定性均有利用价值D.以上说法都不对3. 如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（）A.两点之间线段最短B.三角形两边之和大于第三边C.长方形的四个角都是直角D.三角形的稳定性4. 如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了（）A. 节省材料，节约成本B. 保持对称C. 利用三角形的稳定性D. 美观漂亮5. 如图，用钉子把木棒AB、BC和CD分别在端点B、C处连接起来，用橡皮筋把AD连接起来，设橡皮筋AD的长是x，（1）若AB=5，CD=3，BC=11，试求x的最大值和最小值；（2）在（1）的条件下要围成一个四边形，你能求出x的取值范围吗?（3）AB、BC、CD能围成一个三角形吗？参考答案：1.C2.C3.D4.C5. 解：（1）x最大值= AB + BC + CD = 19.x最小值=BC – AB – CD = 3；（2）3 < x < 19；（3）不能.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:本节课主要学习三角形的稳定性、四边形的不稳定性及其在生产、生活中的应用.（五）课前预习预习下节课（11.2.1）的相关内容。
2023八年级数学上册第十一章三角形11
C.4 cm,4 cm,8 cm
D.4 cm,5 cm,9 cm
答案
6.A 列表分析如下:
知识点3 三角形的三边关系
7. [2021宜宾中考]若长度分别是a,3,5的三条线段能组成一个三角形,则a的值可以是
(
A.1
)
B.2
C.4
D.8
答案
7.C 由三角形的三边关系,得5-3<a<5+3,即2<a<8,结合选项,知a的值可以是4.
三角形不可能都是锐角三角形.
2. [2022哈尔滨期中]已知三角形的三边长分别为a,b,c,化简|a-b+c|-|a-b-c|的结果为
(
)
A.2a-2b B.2a-2c
C.a-2b
D.0
答案
2.A ∵三角形的三边长分别是a,b,c,∴a-b+c>0,a-b-c<0,∴|a-b+c|-|a-b-c|=a-b+c+a-bc=2a-2b.
此时2x+2-(2x-6)>2x-6-16,
解得x<15,∴11<x<15.
∵x为整数,∴x=12或13或14,
经检验,当x=12或13或14时,都可以构成三角形.
综上所述,x的整数值为10或12或13或14.
能构成三角形,则a的取值范围为
.
答案
4.-3<a<-2 ∵3,1-a,1-2a在数轴上从左到右依次排列,∴3<1-a<1-2a,∴a<-2.∵以这三个
数为边长能构成三角形,
∴3+(1-a)>1-2a,∴a>-3.综上,a的取值范围为-3<a<-2.
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第11章三角形.11.1.1三角形的边［教学目标］〔知识与技能〕1 了解三角形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形；2理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形，并能运用它解决有关的问题.〔过程与方法〕在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯；〔情感、态度与价值观〕体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心［重点难点］三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系是重点；用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形是难点。
［教学过程］一、情景导入三角形是一种最常见的几何图形，［投影1-6］如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处处都有三角形的形象。
那么什么叫做三角形呢？二、三角形及有关概念B不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
\ 注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次 A \ Abe 相接。
（b）C组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
三角形ABC用符号表示为△ ABC。
三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示，顶点B所对的边AC可用b表示，顶点A所对的边BC可用a表示.三、三角形三边的不等关系探究：［投影7］任意画一个△ ABC,假设有一只小虫要从B点出发，沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择？各条路线的长一样吗？为什么？有两条路线：（1）从B^C，（2）从B^A^C ;不一样，AB+A C> BC①；因为两点之间线段最短。
同样地有AC+BC > AB②AB+BC > AC ③由式子①②③我们可以知道什么？三角形的任意两边之和大于第三边.四、三角形的分类我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。
按角分类：三角形 直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形那么三角形按边如何进行分类呢？请你按"有几条边相等"将三角形分类那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为五、课堂练习课本4頁练习1、2题。
六、课堂小结1、 三角形及有关概念；2、 三角形的分类；3、 三角形三边的不等关系及应用。
作业：课本8頁1、2、6； 教后记11.1.2 三角形的高、中线与角平分线〔教学目标〕 〔知识与技能〕1、 经历画图的过程，认识三角形的高、中线与角平分线；2、 会画三角形的高、中线与角平分线；3、了解三角形的三条高所在的直线 ，三条中 线,三条角平分线分别交于一点.〔过程与方法〕在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数 学推理的习惯 〔情感、态度与价值观〕体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心〔重点难点〕三角形的高、中线与角平分线是重点；三角形的角平分线与角的平分 线的区别，画钝角三角形的高是难点〔教学过程〕 一、导入新课三边都相等的三角形叫做等边三角形； 有两条边相等的三角形叫做 等腰三角形； 三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。
显然，等边三角形是特殊的等腰三角形。
按边分类： 三角形 不等边三角形等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形等边三角形五、例题例用一条长为18 cm 的细绳围成一个等腰三角形。
顶角底边1）如果腰长是底边的2倍,4 cm 的等腰三角形吗？为什么?我们已经知道什么是三角形，也学过三角形的高。
三角形的主要线段除高外，还有中线和角平分线值得我们研究。
二、三角形的高请你在图中画出厶ABC的一条高并说说你画法从厶ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD 叫做△ ABC的边BC上的高，表示为AD丄BC于点D。
注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
请你再画出这个三角形AB、AC边上的高，看看有什么发现？三角形的三条高相交于一点。
如果△ ABC是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？现在我们来画钝角三角形三边上的高，显然，上面的结论成立。
请你画一个直角三角形，再画出它三边上的高。
上面的结论还成立。
三、三角形的中线如图，我们把连结△ ABC的顶点A和它的对边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线，表示为BD=DC 或BD=DC = 1/2BC或2BD=2DC=BC.请你在图中画出厶ABC的另两条边上的中线，看看有什么发现？三角的三条中线相交于一点。
如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？请画图回答。
上面的结论还成立。
四、三角形的角平分线如图，画/ A的平分线AD，交/ A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ ABC 的角平分线，表示为/ BAD= / CAD 或/ BAD= / CAD = 1/2/ BAC 或2/ BAD=2 / CAD =Z BAC。
思考：三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的。
请你在图中再画出另两个角的平分线，看看有什么发现？三角形三个角的平分线相交于一点。
如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？请画图回答。
上面的结论还成立。
想一想：三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同？三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
五、课堂练习课本5頁练习1、2题。
六、课堂小结1、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法。
2、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律。
七作业：课本8頁3、4;八、教后记11.1.3三角形的稳定性［教学目标］〔知识与技能〕1、知道三角形具有稳定性，四边形没有稳定性；2、了解三角形的稳定性在生产、生活中的应用。
〔过程与方法〕在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯〔情感、态度与价值观〕体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心［重点难点］三角形稳定性及应用。
［教学过程］一、情景导入盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？二、三角形的稳定性〔实验〕1、把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？不会改变。
2、把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？会改变。
3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？不会改变。
从上面的实验中，你能得岀什么结论？三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。
三、三角形稳定性和四边形不稳定的应用三角形具有稳定性固然好，四边形不具有稳定性也未必不好，它们在生产和生活中都有广泛的应用。
如:钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，活动挂架则是利用四边形的不稳定性。
你还能举岀一些例子吗？四、课堂练习1、下列图形中具有稳定性的是（）A正方形B长方形C直角三角形D平行四边形2、要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍？科迪殆木架兀迫虽釈槌焉曲皓程架3、课本7頁练习。
五作业：8頁5; 9頁10题。
六、教后记11.2.1三角形的内角［教学目标］〔知识与技能〕掌握三角形内角和定理。
〔过程与方法〕在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯〔情感、态度与价值观〕体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心［重点难点］三角形内角和定理是重点；三角形内角和定理的证明是难点。
［教学过程］一、导入新课我们在小学就知道三角形内角和等于180。
，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？二、三角形内角和的证明回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量岀/ BCD的度数，可得到/ A+Z B+Z ACB=180。
［投影1］想一想，还可以怎样拼？①剪下Z A，)拼在一起，可得到Z A+Z B+Z ACB=180°②把B和C剪下拼在一起，可得到Z A+Z B+Z ACB=180。
如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的方法吗？已知△ ABC，求证：Z A+Z B+Z C=18C°。
证明一过点C 作CM// AB,则Z A=Z ACM Z B=Z DCM又Z ACB Z ACM Z DCM=180/•Z A+Z B+Z ACB=18(0o即：三角形的内角和等于1800o由图2、图3你又能想到什么证明方法？请说说证明过程。
三、例题例如图，C岛在A岛的北偏东500方向，B岛在A岛的北偏东800方向，C岛在B 岛的北偏西400方向，从C岛看A、B两岛的视角Z ACB是多少度？北北U 锂A分析：怎样能求出/ ACB的度数？根据三角形内角和定理，只需求出/ CAB和/CBA的度数即可。
/ CAB等于多少度？怎样求/ CBA的度数？解：/ CBA=/ BAD-/ CAD=8b5O O=3O O•/ AD// BE ：/ BAD+/ ABE=18O•：/ ABE=180- / BAD=18(0-8O O=1OO O•：/ ABC=/ ABE-/ EBC=1Od4O O=6O°:丄 ACB=18d / ABC-/ CAB=18(0-6O o-3O o=9O o 答：从C岛看AB两岛的视角/ ACB=18O是9O O o四、课堂练习课本13頁1、2题。
五作业：16 頁1、3、4;六、教后记［教学目标］11.2.2三角形的外角〔知识与技能〕理解三角形的外角；2、掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题。
〔过程与方法〕在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯〔情感、态度与价值观〕体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心［重点难点］三角形的外角和三角形外角的性质是重点；理解三角形的外角是难点。
［教学过程］一、导入新课〔投影1〕如图，△ ABC的三个内角是什么？它们有什么关系？是/ A、/ B、/ C,它们的和是1800。
若延长BC至D，则/ ACD是什么角？这个角与厶ABC的三个内角有什么关系？二、三角形外角的概念/ ACD叫做△ ABC的外角。
也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
想一想，三角形的外角共有几个？共有六个。
注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。
研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角.三、三角形外角的性质容易知道，三角形的外角/ ACD与相邻的内角/ ACB是邻补角，那与另外两个角有怎样的数量关系呢？〔投影2〕如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅Z B的关系吗?助线，你能就此图说明/ ACD与/ A、T CE// AB, /-Z A= / 1，/ B= / 2又/ ACD= Z 1 + Z 2/Z ACD= Z A+ Z B你能用文字语言叙述这个结论吗？三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和由加数与和的关系你还能知道什么？三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角即ACD A，ACD B。