课时跟踪检测 (四十五) 函数y=Asin(ωx+φ)

课时跟踪检测 （四十五） 函数y=A sin （ωx +φ）

层级(一) “四基”落实练

1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π

3(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x 的图象( )

A ．向左平移π

6个单位长度

B ．向右平移π

6个单位长度

C ．向左平移π

3

个单位长度

D ．向右平移π

3

个单位长度

解析：选A 由已知得2π

ω＝π，故ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，所以函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π

6

个单位长度可以得到函数f (x )的图象．

2．设g (x )的图象是由函数f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π

3个单位得到的，则g ⎝⎛⎭⎫π6等于( )

A ．1

B ．－1

2

C ．0

D ．－1

解析：选D 由f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位得到的是g (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，则g ⎝⎛⎭⎫π6＝cos ⎣⎡⎦

⎤2⎝⎛⎭⎫π6＋π3＝cos π＝－1. 3．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的周期为2π

3，则函数f (x )图象的对称轴方程为( ) A ．x ＝k π＋π

3(k ∈Z )

B ．x ＝k π－π

3(k ∈Z )

C ．x ＝k π3＋π

9

(k ∈Z )

D ．x ＝

k π3－π

9

(k ∈Z ) 解析：选C 由函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1的周期为2π3，知2π|ω|＝2π

3，又ω>0，所以ω＝3，则对称轴方程为3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝π9＋k π

3

，k ∈Z .

4．用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的简图时，若所得五个点的横坐标从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，且x 1＋x 5＝

3π

2

，则x 2＋x 4等于( ) A.π

2 B ．π C.3π2

D ．2π

解析：选C 由五点法作图原理知，x 2－x 1＝x 3－x 2＝x 4－x 3＝x 5－x 4＝T

4，故x 1与x 5的

中点是x 3，x 2与x 4的中点是x 3，所以x 2＋x 4＝2x 3＝x 1＋x 5＝3π

2

.

5．已知函数f (x )＝2sin (ωx ＋φ)⎝

⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π

2的部分图象如图所示，则φ的值为( )

A.π

6 B ．－π

6

C ．－π4

D ．π4

解析：选D 由图可知，T 2＝3π

2，

所以ω＝2πT ＝23，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋φ. 又因为f ⎝⎛⎭⎫

3π8＝2，

所以23×3π8＋φ＝π

2＋2k π(k ∈Z )，

解得φ＝π

4＋2k π(k ∈Z )，

因为|φ|＜π2，所以φ＝π

4

.

6.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，则f (2 020)的值为________．

解析：由图知，3

4T ＝9，T ＝12，

所以f (2 020)＝f (12×168＋4)＝f (4)， 由图知函数f (x )的对称轴为x ＝2， 所以f (4)＝f (0)＝2， 所以f (2 020)＝ 2. 答案： 2

7．若g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a 在⎣⎡⎦⎤0，π

3上的最大值与最小值之和为7，则a ＝________. 解析：当0≤x ≤π3时，π6≤2x ＋π6≤5π

6

，

1

2

≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， 所以1＋a ≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

6＋a ≤2＋a ， 由1＋a ＋2＋a ＝7，得a ＝2. 答案：2

8.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π

2的部分图象如图所示，为了得到g (x )＝sin 3x 的图象，只需将f (x )的图象向右平移________个单位．

解析：根据函数的图象得，A ＝1， 由于T 4＝5π12－π4＝π6，整理得T ＝2π

3，

所以ω＝2π

2π3

＝3，

当x ＝π4时，3×π

4＋φ＝k π(k ∈Z )，

解得φ＝k π－3π

4(k ∈Z )，

由于|φ|＜π2，故当k ＝1时，φ＝π

4.

所以f (x )＝sin ⎝

⎛⎭⎫3x ＋π

4， 所以为了得到g (x )＝sin 3x 的图象，只需将f (x )的图象向右平移π

12个单位即可．

答案：π12

9.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π

2的部分图象如图所示．

(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递减区间． 解：(1)由函数f (x )的图象知， A ＝2，34T ＝13π12－π3＝3π

4，

解得T ＝π，所以ω＝2πT ＝2π

π

＝2.