函数ysinx 的图像及变换
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
2 3
4 5
2
3
4
5
6 x 6 x
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）】
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个
关键点是： (0,0) (
,1)
(π,0)
(
3
Hale Waihona Puke ,-1)(2π,0)
2
2
余弦函数y=cosx x[0,2]的五个点关键是
正弦函数余弦函数的图像及五点法作图余弦函数ycosx的图象用几何法作余弦函数的图象可以用反射法将角x的余弦线竖立把坐标轴向下平移过o终点a作x轴的垂线它与前面所作的直线交于a那么oa与aa长度相等且方向同时为正我们就把余弦线oa竖立起来成为aa用同样的方法将其它的余弦线也都竖立起来
知识点——
正弦函数、余弦函数 的图像及五点法作图
(0,1) ( ,0) (,-1) (3 ,0) (2,1)
2
2
只要这五个点描出后，图象的形状就基本
确定了．因此在精确度不太高时，常采用
五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要
求熟练掌握．优点是方便，缺点是精确度
不高，熟练后尚可以.
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【典型例题】
1、用五点法作函数 y 1 sin x, x 0,2 的图象.
）6 ,.把3 角, 2x,的…正，
弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相
应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象
上的点（等价于“描点” ）.
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【函数y=sinx的图象】 第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连 结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的 图象．
(完整版)三角函数图像平移变换
三角函数图像平移变换由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ）的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量"起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换）先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右（ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍（ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象. 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左（ϕ＞0）或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin （ωx ＋ϕ)的图象。
1。
为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像,只需将函数sin 2y x =的图像( A ）A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位2.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ D ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位3.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ B ）(A ）向右平移6π个单位长度 （B)向右平移3π个单位长度(C)向左平移6π个单位长度 （D)向左平移3π个单位长度4.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是CA sin(2)3y x π=-，x R ∈B sin()26x y π=+，x R ∈C sin(2)3y x π=+，x R ∈D sin(2)32y x π=+,x R ∈5.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像B（A)向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位6.已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象AA 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度7。
正弦函数、余弦函数的图象_优质课件
3) y 3sin(1 x ), x R 一般
35
结论：
函数y Asin(x )及y Acos(x ), x R
( A,,为常数, A 0, 0)的周期T 2
新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质 (三)关于奇偶性（复习）
一般地, •如果对于函数f( x )的定义域内任意一个x, 都有f(- x )= f( x )，那么就说f( x )是偶函数 •如果对于函数f( x )的定义域内任意一个x, 都有f(- x )= -f( x )，那么就说f( x )是奇函数
小结回顾
正切函数的基本性质
4 5
应用提升
练习1：试着画出y | tan x | 和y tan | x |
并讨论它们的单调性，周期性和奇偶性.
练习2.如果、
(
,
)且
tan
cot
,
2
那么必有（ ）
A.
B.
C. 3 D. 3
2
2
应用提升
例3.求函数y tan x 1 的定义域 3 tan x
例4.试讨论函数y loga tan x的单调性
2
2
y=cosx
y cos x : 定义域为R，值域[1,1]
1
最-6大 值1,此-5时 x
2-k4; 最小值-3-1,
此时x
-2
2k
-;
-1
2 3 2 3
4 5 4 5
6 x 6 x
五.定义域 、值域及取到最值时相应的x的集合:
-6 -5
-4 -3
复习回顾
-2 -
y y=sinx
1 o
-1
2 3
(2) y sin x, y cosx与y Asin(x ), y Acos(x )间的换元思想
正弦函数余弦函数的图象完整版课件
y
1-
-
-
6
4
2
o
-1-
2
4
6
x
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx，x∈R的图象在
4,2 ,2,0, 0,2, 2,4,…与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
正弦曲线：ysinx xRy
1
-1
x
-cosx -1 0
1
0 -1
y
y=-cosx x[0,2 ]
1
●
o
●
3●
2
x
2
2
-1 ●
●
思考：
1、函数y=1+sinx的图象与函数y=sinx的图象有什么关系？ 2、函数y=-cosx的图象与函数y=cosx的图象有什么关系？
y 2
y=1+sinx x[0, 2]
1
o
3
2
-1
2
2
x
y=sinx x[0, 2]
1
●
●
●
●
●
7 4 3 5 11
6
6 3 2 3 6 2
●
2 0
2 5
●
11
6 32 3 6
●
●
x
●
5
6
-1
●
●
●
3
y
ysinx x [0 ,2 ]
1-
-
-1
o 6
3
2
2 3
5
7
6
6
4 3
3
5
2
3
11 6
2
-1 -
正弦函数图象及其变换
π π π 2π 6 3 2 3 3 1 3 1 2 2 2
5π π 7π 4π 3π 5π11π 6 6 3 2 3 6 2π 3 3 10 1 0 1 1 1 2 2 2 2 2
.
π/2
o1
A
.o
-1
. π
3π/2
2
.π
x
.
函数y=sinx, x∈[0,2π]的图象 函数 ∈ π 的图象
五点画图法
A
y=
1 2
5π π 12
A
-A
0
5π π 6
x
(3) y=sin2x
解: x 2x 0 0
π 4 π 2 π 2 3π 4 π 3π 2π π 2
1 (4) y=sin x 2
x
1 x 2 1 sin x 2
0 0 0
π
π 2
2π 3π 4π π π π
π
π
3π 2π π 2
sin2x 0 y 1 o -1
π/2
y=1+sinx, x∈[0,2π] ∈ π
.
π 3π/2
.
o
.
2π
实质: 实质:f(x)=sinx向左平 向左平 移π/2,即f(x+π/2)=sin , (x+ π/2)=cosx
y
1
π -4
π -3
π -2
-π
-1
o
π/2 π 3π/2 2 π
3 π
4 π
x
函数y=cosx x∈R的图象 函数 ∈ 的图象
变换后正弦函数的五点法作图
y=Asin(wx+φ)(A>0, w>0)中的常数 ,w, φ 中的常数A, , 中的常数 的作用 正数A决定了? 正数 决定了? 决定了
关于y=sinx图象及性质变化
关于y =sinx 图象 函数y=Asin(ωx+Φ)的图象变化规律：图象变换（1） 振幅变换：Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,sin A(2)周期变换：Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ωωω11)(01)(R x x y ∈=,sin ω(3)相位变换：Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−→−<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(sin ϕ(4)复位变换：Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−→−<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(sin ϕ−−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ωωω11)(01)(R x x y ∈+=),sin(ϕω−−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(ϕω1．为了得到sin(2)3y x π=-的图象，只需将sin 2y x =的图象（ ）A 向左平移3π个单位 B 向右平移3π个单位 C 向左平移6π个单位 D 向右平移6π个单位2．为了得到3sin 2y x =的图象，只需将3sin y x =的图象（ ） A 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变. B 横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变. C 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变.D 纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变.3．为了得到1cos 2y x =的图象，只需将cos y x =的图象（ ） A 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变. B 横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变. C 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变. D 纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变.4．函数()sin(2)3f x x π=+的图象关于直线4x π=对称，则（ ）.A 关于点(,0)4π对称B 关于直线4x π=对称C 关于点(,0)3π对称 D 关于直线3x π=对称5．函数12sin()24y x π=+的振幅为 ，周期为 ，频率为 ，初相为 ，相位为 ，值域为 .6．函数sin y x =按向量(,3)4a π=-r 平移后的图象的解析式为 .7．函数()2sin(),(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且(0)3f =，试求函数的单调增区间.8．（年福建）．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称 B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫⎪4⎝⎭，对称 D ．关于直线x π=3对称 9．（江苏卷1）．下列函数中，周期为2π的是（ ） A ．sin2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4xy = D ．cos 4y x = 10．（山东卷文4）．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位11．（江西卷文2）．函数5tan(21)y x=+的最小正周期为12．已知函数()2sin()f x xωφ=+的图像如图所示，则712fπ⎛⎫=⎪⎝⎭________________．13..34331654+log log8145-⎛⎫+=⎪⎝⎭________.14.【山东省聊城一中2015届高三上学期期中考试文】函数()sin()f x A xωϕ=+（其中0,||2Aπϕ><）的图象如图所示，为了得到xxg2sin)(=的图像，则只需将()f x的图像（）A．向右平移6π个长度单位B．向右平移3π个长度单位C．向左平移6π个长度单位D．向左平移3π个长度单位15.【山东省曲阜师大附中2015届高三上学期期中考试文】函数()sin()f x A xωφ=+(0,0,||)2Aπωφ>><的部分图象如图所示，则,ωφ的值分别为（）A ．2,3πB ．1,26πC ．2,3π-D ．2,6π16.【山东省潍坊市寿光现代中学2015届高三12月段检测文】已知函数()y Asin x B =ω+ϕ+的一部分如下图所示。
正弦函数图像与性质
正弦函数的图像与性质是正弦函数y=sinx。
余弦函数y=cosx，正弦函数在[-π/2+2kπ,π/2+2kπ]上单调递增，在[π/2+2kπ,3π/2+2kπ]上单调递减，余弦函数在[-π+2kπ,2kπ]上单调递增，在[2kπ,π+2kπ]上单调递减等。
正弦函数在[-π/2+2kπ,π/2+2kπ]上单调递增，在[π/2+2kπ,3π/2+2kπ]上单调递减，余弦函数在[-π+2kπ,2kπ]上单调递增，在[2kπ,π+2kπ]上单调递减。
正弦函数关于x=π/2+2kπ轴对称，关于(kπ,0)中心对称。
正弦型函数的图像
正弦型函数y=Asin(ωx+φ)图象的几何画法是，在横轴Ox上任取一点C 为圆心，A为半径作圆，与x轴相交于两点A0和A6.以A0为始点，任意等分此圆(图1中是12等份)，设分点为Ai其中A0与A12重合。
在x轴上取OA′0=-φ/ω，然后从A′0起作A′i使A′iA′i+1=π/6ω，即周期2π/ω的1/12，过Ai与A′i分别与x轴和y轴平行的直线交于点Pi，连结Pi各点成光滑曲线，即得y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的近似图象。
正弦型函数的图象也称为正弦型曲线或称正弦波。
正弦函数图像变换.
各点横坐标伸长到原来的 2 倍
y=sinx
（周期变换）
y=sin 1 x
2
所有点向右平移于 2 个单位
3y=sin(源自1x-)（变相位换）
23
各点纵坐标伸长到原来的 3
倍
1
y=3sin(
x-
)
（振幅变换）
23
上一张 下一张 图象
小结 先相位变换再周期变换
1、相位变换：把的图象上所有点向左(>0)或向
右(<0)平移 个单位。
2、周期变换：把所有点的的横坐标缩短(>1)或
伸长 (0<<1)到原来的 1 倍。(纵坐标不变)
3、振幅变换：把所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩
短(0<A<1)到原来的 A 倍。(横坐标不变)
上一张 下一张 图象
小结 先周期变换再相位变换
1、周期变换：把所有点的的横坐标缩短(>1)或
设计与制作： 顺德市北滘中学
雷沅江
问题1
函数y=sinx与函数y=Asinx(A>0)的 图象间有何关系？
观察结果： 在y=sinx的基础上，把所有各点的纵坐标
伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍
（横坐标不变）得到y =Asinx图象。
上一张 下一张 图象
问题2
函数y=sinx与函数y=sinx( >0)图 象间有何关系？
移 个4 单位,得到的函数( )C的图象。
(A)y=cos(2x+ 4) (B)y=cos(x 2 - 4) (C)y=cos( x 2- 8) (D)y=cos( x 2+ 8)
上一张 下一张 图象 总结1 总结2
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问题1.“五点法”作函数 其中“五点”是指什么？
简图的步骤，
“五点作图法”注意：这五个点应该是使得 函数取得最大值、最小值的点以及曲线与x 轴的交点。
,
0 1 0 -1 0
的图象。
·
-
描点作图
·2 · · -
· y=sinx
思考：
问题2.作函数
的图象时“五点”怎样确定呢?
（这个问题的答案就在我们今天所讲的内容里）
函数ysinx 的图像及变 换
2020年4月24日星期五
生活实例：
放大
交流电的电流y与时间x变化的图象
y
5 4 3 2 1
O 0.01 0.02 0.03 0.04 x
-1 -2 -3 -4 -5
与正弦曲线相似
问题提出：
那么对于
又有哪些变换呢？
函数y＝Asin(ωx＋φ) +b的图像.
.
•第一课时 函数y＝sin(ωx＋φ) 的 图像及变换
结论：
是由y=sinx图像上所有点的的横坐标变为原来 的2倍(纵坐标不变)得到的。
结论：
函数y=sinx的图像可以看作是把y=sinx的图像上所有 点的横坐标变为原来的1/倍(纵坐标不变)而得到。
思考：
周期发生了什么变化？
周期变为原来
[小问题·大思维] 提示：y＝sin x.
• 练习题：课本第57页第1题（1）（2） • 用五点作图法尝试作课本第58页第2题（1）（2）
• 教学重点、难点：
• 1．求函数图象对应的函数解析式．(重点)
• 2．运用y＝Asin(ωx＋φ)的性质解决有关综合问
题．(难点)
• 3．求函数解析式时φ值的确定．(易错点)
(一)探索 对 y=sin(x+ ), x∈R的图象的影响.
上述问题“作函数 y = sin( x +φ)的图象时“五点”怎样 确定呢?”，
讲授新课
• 教学目标：
• 1．知识目标：掌握参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响．
• 2．能力目标： • （1）能熟练运用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 • （2）掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)振幅、周期、频率、相位、初相 • （3）能够根据图象或条件求解析式. • 3．情感目标： • （1）渗透数形结合思想； • （2）培养动与静的辩证关系； • （3）提高数学修养.
它的解决的方法是先做变量代换设X= x +φ, 再用方程
思想由X 取 0、
来确定对应的x值
x
0
1
0
-1
0
y
O
x
观察：由
的变化过程。xຫໍສະໝຸດ . O. . . .y=sinx
猜测由 y=sinx
的变换过程
一般地,函数y=sin(x+),(≠0)的图象,可以看作是把
y=sinx的图象上所有的点向左(当>0时)或向右(当 <0 时)平行移动 || 个单位而得到的。
• 作业：《创新导学案》1.5第一课时基础自主演练习题
平移变换
左加右减
.
(二)探索
对 y=sinx , x∈R的图象的影响.
画出y=sinx与y=sin2x的简图，并观察他们之间的联系
用“五点作图法”，列表得：
X=2 0
1
0
-1
0
y
2
o
x
-3
结论：
是由y=sinx的图像上所有点的的横坐标变为原来
的1/2倍(纵坐标不变)得到的。
思考：
•
是由
经过怎样的变换得到的？