y=sinx的图象
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正弦函数y=sin的图象与性质
ysinx()的图象
6
ysin1(x)的图象
36
纵坐标不变
(3)纵坐标伸长到原来2的倍
y2sin1y(x2s)i的n1(x图)的象图象
横坐标不变3 6 3 6
2
(1)向右平移
6
y
3
2
y=sin(x- ysin1(x) )① 36
1
o
7
13
2
26
-１
-2
y=sinx
-3
(画法)利 二"用 五点"画 法函y数 2sin1x()在
4
-
1
7
2
3
5
2
2
3
2
2
0
2
y1
3
2
2
y=sin x, x∈R
5
2
3
7
2
4
x
思考与交流:图中,起着关键作用的
点是哪些?找到它们有什么作用呢?
找 0到, 0 这 五 个2 ,关1 键点 ,就, 0 可 以 3画2 出, 1正 弦 2曲 ,线0 了!
如下表
x
0
2
3
2
2
y=sin x
0
1
0
-1
y 1
作图：
1 2
y=sin1 x
2
O
2
3
1
y=sinx
4 x
y 1
y=sin
1 2
x
2
3
4
O
x
1
y=sin2x
y=sinx
振幅相同
二、函数y=sinx(>0)的图象
y
y=sin1 x
6
ysin1(x)的图象
36
纵坐标不变
(3)纵坐标伸长到原来2的倍
y2sin1y(x2s)i的n1(x图)的象图象
横坐标不变3 6 3 6
2
(1)向右平移
6
y
3
2
y=sin(x- ysin1(x) )① 36
1
o
7
13
2
26
-１
-2
y=sinx
-3
(画法)利 二"用 五点"画 法函y数 2sin1x()在
4
-
1
7
2
3
5
2
2
3
2
2
0
2
y1
3
2
2
y=sin x, x∈R
5
2
3
7
2
4
x
思考与交流:图中,起着关键作用的
点是哪些?找到它们有什么作用呢?
找 0到, 0 这 五 个2 ,关1 键点 ,就, 0 可 以 3画2 出, 1正 弦 2曲 ,线0 了!
如下表
x
0
2
3
2
2
y=sin x
0
1
0
-1
y 1
作图：
1 2
y=sin1 x
2
O
2
3
1
y=sinx
4 x
y 1
y=sin
1 2
x
2
3
4
O
x
1
y=sin2x
y=sinx
振幅相同
二、函数y=sinx(>0)的图象
y
y=sin1 x
函数y=sinx与y=cosx的图像【优质PPT】
x0
π π3 π 2 π
2
2
c o 1s 0 x - 1 0 1
- co - 1 s 0x 1 0- 1
y ycos,x[0,2π]
1
O
π π 3π2π x
2
2
-1
ycos,xx[0,2π]
小结
体会推导新知识时的数形结合思想； 理解解决类三角函数图像的整体思想； 对比理解正弦函数和余弦函数的异同。
谢谢!
人教版 高中数学必修4 三角函数 第10课时
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-2
-
y 1 yco,s x x R
o
2
3
x
-1
例1：画出y=1+sinx ,
π
x0
sinx
2
x∈[0，2]的简图
π
3π 2
2π
0
1
0
-1 0
1sinx
1
2
1
01
2 y . y1sinx x[,0,2π
1.
.
.
o
π
.
3π
-1
2
2
2
x
ys i nxx[,0 , 2 π ]
课堂练习：画出y=- cosx , x∈[0,2 ]的简图
正弦函数、余弦函数的图像
引入： sina ,coas,tana 的几何意义是什么?
复习：三角函数线
作出 135 o 的三角函数线: y
135 o P
Mo
A(1,0) x
T
135°角的 正弦线为 MP； 余弦线为 OM； 正切线为 AT。
正余弦函数的图象
. . . . . . 2 5 π 7 4 3 5 11 2 x X
. . . 3 6
63 23 6
五点法作函数y=cosx,x[0,2] 的简图
x
0
cosx 1
2
0
-1
3 2
2
0
1
Y
1.
.
O
π.
π
.3π 2π X
-1
2
.
2
例题: 画出下列函数的简图：
(1)y=1+sinx, x[0,2 ]；
(2)y=-cosx, x [0,2 ]
●
0
2 5 ●
●
●
●
x
6 32 3 6
●
●
●
-1
3.五点法作函数y=sinx,x[0,2] 的 简图
x
0
sinx 0
2
1
0
3 2
2
-1
0
. 1 Y
.
O
π
.
π 3π
.
2πX
2
-1
2.
4、余弦函数y=cosx, x R 图像
y cosx, x [0,2]
.y Y 1.
O0
6
-1
. . π
32
1
0
-1
用五点法作出简图
y 1
. y cosx , x [0,2π]
O
-1 .
π .
2
π
.3 π
2
2π x
.
y cosx , x [0,2π]
小结:
1.由单位圆中正弦线画出正弦函数图象;
2.正弦函数与余弦函数图象的关系;
正弦函数的图像和性质(1)
二.正弦函数的图象
在画正弦函数图象时,我们可以先画出 0, 2 , 上的 正弦函数的图象,再利用周期性将其拓展到整个定义域上.
y sin x, x 0, 2
Ⅰ、用描点法作出函数图象
⑴.列表
x
y
0
6 1 2
3
3 2
0
2
2 3
3 2
5 6
1
1 2
7 6
4 3
3 2
π
2π x
-1
坐标依次为：
3 （0，0）、（ 2 ，1）、（ ，0）、（ 2 ，-1）、（ 2 ，0）
正弦函数的图象
y 1
2
o -1
2
3 2
2
x
y=sinx x[0,2] y=sinx xR
-4 -3 -2 -
y
1
正弦曲线
o
-1
2
3
4
5
6
x
探究：如何作余弦函数的图象
π
-π
π
2
O
2
π
2k ,2k 减区间 2k ,2k
x
对称轴 对称中心
-1
(k ,0) 2 k Z
x k
四、几何法作图
用正弦线作正弦函数 的图象
y sin x( x [0,2 ])
（1）作直角坐标系，在直角坐标系的y轴左侧画单位圆，
圆心在x轴上． （2）把单位圆分成12等份。过单位圆上的各分点作x轴 的垂线，可以得到对应于各角的正弦线； （3）找横坐标：把x轴上从0到2这一段分成12等份； （4）找纵坐标：将正弦线对应平移，即可作出相应12 个点； （5）连线：用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接 起来，即得到 y sin x( x [0,2 ])的图象。 演示做图
第17讲 正弦函数的图象和性质
第11讲正弦函数的图像和性质知识回顾】1． 正弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有：MP ry==αsin ，向线段MP 叫做角α的正弦线， 2．用单位圆中的正弦线作正弦函数y =sinx ，x ∈[0，2π]的图象（几何法）：观察sin ,[0,2]y x x π=∈的图像：对函数图像起关键作用的点分别是什么？(1)用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0)。
把y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 叫做正弦曲线。
(1)定义域：正弦函数的定义域是实数集R ［或(－∞，＋∞)］，(2)值域：｜sin x ｜≤1， 即 －1≤s in x ≤1，正弦函数的值域是［－1，1］。
正弦函数y = sin x ,x ∈R ，①当且仅当x ＝2π＋2kπ，k ∈Z 时，取得最大值1。
②当且仅当x ＝－2π＋2kπ，k ∈Z 时，取得最小值－1。
(3)周期性：由sin(x ＋2kπ)＝sin x ，正弦函数值是按照一定规律不断重复的。
一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2kπ(k ∈Z 且k ≠0)都是这两个函数的周期；对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期注意：根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π(4)奇偶性：由sin(－x )＝－sin x 可知：y ＝sin x 为奇函数，关于原点O 对称。
y=sinx的图象
y=sinx向右平移|φ|个单位得到。
变式训练3
1、求下列函数的最大值、最小值和周期。
（1）y=sin(x＋π）
（2）y=sin(x－π）
解： （1）y=sin(x＋π)的最大值是1，最小值－1，
周期是2π（2）y=sin(x－ π)的最大值是1，
最小值是－1，周期是2π。
2、将函数y=sinx图象向左平移1个单位，再向右平 移
2、正弦型函数y=Asin(ωx+φ)应该具有哪些性质？
它的图象与函数y=sinx有什么关系？
Y
y=sinx y=sin(x+0.5π) 1
y=sin(x-0.5π)
-0.5π 0
0.5π π 1.5π 2π 2.5π X
-1
最大值 0.5
1 2
A
（点击可放大）
最小值 -0.5
-1 -2
值域 [-0.5，0.5] [-1，1] [-2，2]
-A
[-A，A]
周期 2π 2π 2π
2π
变式训练1
1、求下列函数的最大值、最小值和周期：
（1）y=8sinx
（2）y=0.75sinx
解：（1）y=8sinx的最大值是8，最小值是－8，周期T＝2π （2）y=0.75sinx的最大值是0.75，
最小值是－0.75，周期T=2π。
2、函数y=4sinx和y=sinx的图象有什么关系？
3、函数y=3sinx的值域是（B ）
（A）[-1，1] （B）[-3，3] （C）[-2，1] （D）[-1，2]
y=sin(ωx)的图象
例2、用“五点法”作出函数y=sin(0.5x) 的图
像。
0.5 x
0 0.5π π 1.5π 2π
变式训练3
1、求下列函数的最大值、最小值和周期。
（1）y=sin(x＋π）
（2）y=sin(x－π）
解： （1）y=sin(x＋π)的最大值是1，最小值－1，
周期是2π（2）y=sin(x－ π)的最大值是1，
最小值是－1，周期是2π。
2、将函数y=sinx图象向左平移1个单位，再向右平 移
2、正弦型函数y=Asin(ωx+φ)应该具有哪些性质？
它的图象与函数y=sinx有什么关系？
Y
y=sinx y=sin(x+0.5π) 1
y=sin(x-0.5π)
-0.5π 0
0.5π π 1.5π 2π 2.5π X
-1
最大值 0.5
1 2
A
（点击可放大）
最小值 -0.5
-1 -2
值域 [-0.5，0.5] [-1，1] [-2，2]
-A
[-A，A]
周期 2π 2π 2π
2π
变式训练1
1、求下列函数的最大值、最小值和周期：
（1）y=8sinx
（2）y=0.75sinx
解：（1）y=8sinx的最大值是8，最小值是－8，周期T＝2π （2）y=0.75sinx的最大值是0.75，
最小值是－0.75，周期T=2π。
2、函数y=4sinx和y=sinx的图象有什么关系？
3、函数y=3sinx的值域是（B ）
（A）[-1，1] （B）[-3，3] （C）[-2，1] （D）[-1，2]
y=sin(ωx)的图象
例2、用“五点法”作出函数y=sin(0.5x) 的图
像。
0.5 x
0 0.5π π 1.5π 2π
1.5正弦函数y=sinx的图像与性质
北师大课标必修4 北师大课标必修4·§1.5
1.5.2 正弦函数的 图像
知识回顾
1. 三角函数是以角 实数)为自变量的函数 三角函数是以角(实数 为自变量的函数 实数 为自变量的函数.
y = sin x, x ∈ R
2. 常用画图的方法 描点法 常用画图的方法: π π π π y =sinx 过点 ( ,sin ),( ,sin ) 6 6 3 3 3 π 而 sin = ≈ 0.866, 不便于描 点 3 2
最大值？ 取何值是到达最小值？ 最大值？在x取何值是到达最小值？ 取何值是到达最小值 关键点： 关键点：把 2x +
π
π
看作一个整体。 看作一个整体。
6
π π
处到达最大值1。 解： f ( x) = sin( 2 x + ) 在 2 x + = + 2kπ 处到达最大值 。即， 6 6 2 达到最大值1。 当 x = π + kπ (k ∈ z ) 时， f ( x) = sin(2 x + π ) 达到最大值 。 6 6 π π π f ( x) = sin( 2 x + ) 在 2 x + = − + 2kπ 处达到最小值 。即， 处达到最小值-1。 6 6 2 π x = − + kπ (k ∈ z ) 时， f ( x) = sin(2 x + π ) 达到最小值 。 达到最小值-1。 当 3 6
想一想
如何作出正弦函数的图象（ 如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高 正弦函数的图象 时）？
y 1
π
2
(0,0) o (0,0) ( ,1) 2π ( 2 ,1) π ( 2 ,1)
π
1.5.2 正弦函数的 图像
知识回顾
1. 三角函数是以角 实数)为自变量的函数 三角函数是以角(实数 为自变量的函数 实数 为自变量的函数.
y = sin x, x ∈ R
2. 常用画图的方法 描点法 常用画图的方法: π π π π y =sinx 过点 ( ,sin ),( ,sin ) 6 6 3 3 3 π 而 sin = ≈ 0.866, 不便于描 点 3 2
最大值？ 取何值是到达最小值？ 最大值？在x取何值是到达最小值？ 取何值是到达最小值 关键点： 关键点：把 2x +
π
π
看作一个整体。 看作一个整体。
6
π π
处到达最大值1。 解： f ( x) = sin( 2 x + ) 在 2 x + = + 2kπ 处到达最大值 。即， 6 6 2 达到最大值1。 当 x = π + kπ (k ∈ z ) 时， f ( x) = sin(2 x + π ) 达到最大值 。 6 6 π π π f ( x) = sin( 2 x + ) 在 2 x + = − + 2kπ 处达到最小值 。即， 处达到最小值-1。 6 6 2 π x = − + kπ (k ∈ z ) 时， f ( x) = sin(2 x + π ) 达到最小值 。 达到最小值-1。 当 3 6
想一想
如何作出正弦函数的图象（ 如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高 正弦函数的图象 时）？
y 1
π
2
(0,0) o (0,0) ( ,1) 2π ( 2 ,1) π ( 2 ,1)
π
1.4.1(公开课课件)正弦函数、余弦函数的图像
实 一 一对应
唯一确定
角
正 弦
数
一对多 值
定义：任意给定的一个实数x,有唯一确定的值sinx与 之对应。由这个法则所确定的函数 y=sinx叫做正弦
函数，y=cosx叫做余弦函数，二者定义域为R。
第3页，共28页。
二、正弦函数 y =sinx(x∈R)的图象
1.几何法作图:
问题:如何作出正弦函数的图象？
(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
1-
-
-
-1
o
6
2
3
2 3
5
7
6
6
4 3
3 5 23
-1 -
第26页，共28页。
图象的最高点
(0,1) (2 ,1)
与x轴的交点
11 6
2
x
(
2
,0)
(
3 2
,0)
图象的最低点 ( ,1)
课堂小结
1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现，因此， 只要记住它们在[0，2π]内的图象形态，就可以画出正弦 曲线和余弦曲线.
正弦函数、余弦函数的图象
第1页，共28页。
1.正弦线、余弦线的概念
设任意角α的终 边与单位圆交于点P. 过点P做x轴的垂线, 垂足为M.
则有向线段MP叫做角α的正弦线. 有向线段OM叫做角α的余弦线.
2. 三角函数值的符号判断
y α 的终边
P(x,y)
oMx
第2页，共28页。
一、正弦函数的定义:
有何联系？
第17页，共28页。
练习：（1）作函数 y=1+3cosx，x∈[0,2π]的简图 (２)作函数 y=2sinx-1，x∈[0,2π]的简图
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（4 ） y=2sin(2x －π)
2 、正弦型函数 y=Asin( ω x+φ) 应该具有哪些性质？
它的图象与函数 y=sinx 有什么关系？
Y
y=sinx y=sin(x+0.5π) 1
2、函数y=sin(6x) 与函数y=sinx 的图象有什么关系？
3、某函数形如y=sin( ω x) ，其周期是0.25π, 那么ω 的大
小为（ ）D
（A）6 （B ）7 （C）5 （D）8
y=sin(x+φ) 的图象
例3、用“五点法”作出函数y=sin(x ＋0.5π) 的图象。
x+0.5π
0 0.5π
x
-0.5π 0
y=sin(x+0.5π) 0 1
π 1.5π 2π
0.5π π 1.5π
0
-1
0
建立坐标系 y=sinx（红）
y
y=sin(x ＋0.5π)
1●
●
●
●
-0.5 π
0
Hale Waihona Puke 0.5 ππy=sin(x+0.5 π )
y=sin(x- 0.5π)
●
1.5π
2π
x
●
2.5π
y=sin(x-0.5 π )
最小值是－0.75 ，周期T=2π 。
2、函数y=4sinx 和y=sinx 的图象有什么关系？
3、函数y=3sinx 的值域是（B ）
（A）[-1，1] （B）[-3，3] （C）[-2，1] （D）[-1，2]
y=sin( ωx) 的图象
例2、用“五点法”作出函数y=sin(0.5 x ) 的图
-1
●
●
清除图象
一试身手： 用“五点法”作出函数y=sin(x- 0.5π) 的图
像。
y=sin(x+φ) 的性质
y=sinx （红线） y=sin(x+0.5π) （蓝 线） y=sin(x- 0.5π) （黑线）
（点击可放大）
由结简论图可：知： y=ys=ins(ixn(＋x+0.φ5π)) 图的象图由象y=，sin当xφ图>象0向时左，平由移y0=.5sπin个x单位得到； y=向sin左(x平－移0|.5φπ|) 图个象单由位y=得sin到x ；图象当φ向<右0平时移，0.5由π 个单位得到。
像。
0.5 x
0 0.5 π π 1.5 π 2π
x
0 π 2π 3π 4π
y=sin(0.5x) 0 1 0 -1
0
建立坐标系 y=sinx（红）
y
2 y=sin(2x)
1
●
●
0●
●
●
π
●
2π
3π
●
-1
●
y=sin(0.5x)
y=sin(0.5x)
y=sin(2x)
●
4π
x
清除图象
-2
一试身手： 用“五点法”作出函数y=sin(2x) 的图
正弦型函数的图象和性质
复习 函数 y= sinx 的图象和性质
1 、y=sinx 的图象
（x ∈[0，2π] ）
2 、y=sinx 的性质
① 定义域 R 。
② 值域 [-1，1] ；最大值1，最小值－1。
③ 周期 T＝ 2π 。 ④ 奇偶性：奇函数。正弦曲线关于坐标原点成中心对称。
⑤ 单调性：在[2kπ－0.5π ，2kπ ＋0.5π] 上是增函数， 在[2kπ＋0.5π ，2kπ ＋1.5π] 上是减函数。
y=sin( ωx) 的性质
y=sinx （红线） y=sin(0.5x) （蓝线） y=sin(2x) （黑线）
（点击可放大）
函数 y=sin(0.5 x) y=sinx y=sin(2x) ……
y=sin(ω x)（ω >0）
最大值 1 1 1
最小值 -1 -1 -1
1
-1
值域
[-1
，1]
[-1
，1]
[-1
，1]
[-1
，1]
周期 4π 2π π
2π/ω
变式训练2
1 、求下列函数的最大值、最小值和周期。
（1）y=sin(4x)
（2 ）y=sin(0.25x)
解：（1）y=sin(4x) 的最大值是1，最小值是－1，
周期T=0.5π
（2）y=sin(0.25x) 的最大值
是1，最小值是－1，周期T=8π 。
y= A sinx 的图象
例1、用“五点法”作出函数y=2sinx 和y=0.5sinx的图像。
x
0
y=sinx 0 y=2sinx 0 y=0.5sinx 0
0.5π π 1.5π 2π
1
0
-1
0
2
0
-2
0
0.5
0 -0.5 0
建立坐标系 y=sinx（红）
y
y=2sinx
2
●
作y=2sinx
1
1 2
A
（点击可放大）
最小值 -0.5
-1 -2
值域
[-0.5，0.5] [-1，1] [-2，2]
-A
[-A，A]
周期 2π 2π 2π
2π
变式训练1
1 、求下列函数的最大值、最小值和周期：
（1 ）y=8sinx
（2 ）y=0.75sinx
解：（1）y=8sinx 的最大值是8，最小值是－8，周期T＝2π （2）y=0.75sinx 的最大值是0.75 ，
y=sinx 向右平移|φ| 个单位得到。
变式训练3
1 、求下列函数的最大值、最小值和周期。
（1）y=sin(x ＋π）
（2）y=sin(x －π）
解： （1）y=sin(x ＋π) 的最大值是1，最小值－1，
周期是2π （2）y=sin(x － π) 的最大值是1，
最小值是－1，周期是2π 。
2、将函数y=sinx 图象向左平移1个单位，再向右平 移
3、y=sin(x+φ) 的图象，当φ>0 时，由y=sinx 向左平移|φ| 个单位得到；当φ<0 时，由 y=sinx 向右平移|φ| 个单位得到。
课后思考与作业
想一 想
1 、怎样作出下列函数的图象？
（1 ）y=2sin(x ＋π)
（2 ） y=sin(2x+π)
（3 ）y=0.5sin(x+0.5π )
3个单位，可以得到函数（ B ）的图象。
（A）y=sin(x ＋2)
（B）y=sin(x －2)
（C）y=sin(x ＋4)
（D）y=sin(x －4)
本节小结
1、函数y=Asinx 的（A>0 ）的值域是[-A ，A] ， 最大值A，最小值－A；周期2π 。
2、函数y=sin( ω x) （w>0 ）的值域[-1 ，1] ， 最大值1，最小值－1；周期2π/ ω。
y=0.5sinx
●
●
●
●
0
0.5π
π
1.5 π
2π
x
●
-1
-2
●
作y=0.5sinx 清除图象
y= A sinx 的性质
y=sinx （红线） y=2sinx （黑线） y= 0.5 sinx （蓝线）
函数 y=0.5sin x y=sinx y=2sinx …… y=Asinx （A>0）
最大值 0.5