最新三元一次方程组及其解法
三元一次方程组解法ppt
线性代数工具的应用
计算机的出现为求解三元一次方程组提供了新的途径，可以通过编程实现高效率的求解算法。
计算机的出现
三元一次方程组解法的基本理论
02
矩阵是一个由数值组成的矩形阵列，每个数值被称为矩阵的一个元素。矩阵的尺寸由行数和列数表示，例如 m × n 的矩阵，其中 m 表示行数，n 表示列数。
矩阵定义
对于一个 m × n 的矩阵 A，可以定义一个行列式，记作 det(A)，它是所有 m! 个排列中，正负号不同的所有可能排列的积。
行列式定义
行列式具有以下性质，包括交换律、结合律、对角线法则等。
性质
行列式的计算方法包括直接计算法、递推法、归纳法等。
பைடு நூலகம்
计算方法
三元一次方程组的求解方法
03
矩阵求解步骤
注意问题
利用矩阵方法求解
三元一次方程组解法的实际应用
04
VS
通过三元一次方程组，可以描述物体的运动规律，如位移、速度和加速度等。
热力学定律
三元一次方程组可以表示热力学中的状态变量，如温度、压力和体积等之间的关系。
牛顿运动定律
在物理学中的应用
供需平衡
三元一次方程组可以描述市场中的供求关系，以及价格、数量和成本之间的平衡关系。
研究更高效的解法与算法优化
工程应用
在工程领域中，三元一次方程组可以用于解决大量的实际问题，例如力学、流体动力学、经济学等领域。
科学计算
在科学计算领域，三元一次方程组也具有广泛的应用，例如物理、化学、生物等学科中的模型方程。
研究三元一次方程组的应用扩展
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05
唯一性
对于给定的三元一次方程组，解是唯一的，且每个解都是唯一的。
人教版数学七年级下8.4三元一次方程组解法(共24张PPT)
• • 由④和⑤组成方程组得
•
解这个方程组得
x 3
y
2
3x 7y 5 7x 3y 15
• 把x=3，y=-2代入②，得3-（-2）+2z=7
•
所以z=1
x 3
•
因此，三元一次方程组的解是
y
2
z 1
（2）3x 2 y z 14 ①
y
z
x
10
②
z 2 x 3 y 15 ③
• 因此，这个方程组的解为
y
40
z 48
3、解下列方程组：
2x 3y z 1
（1）
x
y
2z
7
3 x 2 y z 4
3x 2 y z 14
（2）
y
z
x
10
z 2 x 3 y 15
• 例2 在等式y=ax2+bx+c 中，当x=1时，y=0；
• 当x=-1时，y=0；当x=0 时，y=5.求a,b,c的值.
课堂导学：
例1 解方程组：
3x 2 y z 13
(1)
x
y
2z
7
2 x 3 y z 12
• （1）3x 2 y z 13
①
•
x
y
2z
7
②
•
3 y 2 x z 12
③
• 解：①×2-②，得 5x+3y=19 ④
•
②+③×2, 得 5x+7y=31 ⑤
•
由④和⑤组成方程组
解：依题意，得
a b c 0
a
b
c
0
c 5
a 5
解得
三元一次方程组及其解法
解：
将③代入①、 ②，得到 2 y 2 z 10 4 y 3z 18 解之，得
y 3 z 2
将
y 3, z 2
代入③,可以 得到 x 5
• 所以这个三元一次方程组的解是
x 5 y 3 z 2
解方程组：
2 x 3 y 4 z 3 3 x 2 y z 7 x 2 y 3z 1
x y z 10 3x y 18 x y z
象这样的方程组称为三元一次方程组。
• 二元一次方程组的解法的基本思想是：通 过“消元”，消去一个未知数，将方程组 转化为一元一次方程求解。同样三元一次 方程组可以先消去一个未知数，转化为二 元一次方程组（一元一次方程）求解。
• “我们的小世界杯”足球赛，在第二轮比赛中， 勇士队参加了10场比赛，按同样的计分规则， 共得18分。已知勇士队在比赛中胜的场数正好 等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮 比赛中胜、平、负的场数各是多少？
小明同学提出一个新思路：
问题中有三个未知数，如果设这个队在第 二轮比赛中胜平负的场数分别为x 、y 、z ,又 将怎样呢? 分别将已知条件“翻译”，得方程组
同学们仿照老师的做法试一试。
• 1 三元一次方程组的概念 • 2 三元一次方程组的解法
• P39
练习
1
,2 题
常见的三元一次方程组的解法
常见的三元一次方程组的解法三元一次方程组的常规解法是：通过代入法或加减法把三元一次方程组转化为二元一次方程组，再把二元一次方程组转化为一元一次方程从而解出方程组.但有时我们也可根据三元一次方程组的结构特点采取非常规的方法来解方程组.常见的方法有：一、缺项型的解法例1 解方程组4917(1)31518(2)232(3)x z x y z x y z -=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩分析：由于方程（1）缺少未知数y ，这方程时只要在方程（2）（3）中消去未知数y 即可把三元一次方程组转化为二元一次方程组，从而顺利地解出方程组.（2）2(3)⨯-得：52734(4)x z +=（1）3(4)⨯+得：1785x = 5x =把5x =代入（1）得：20917z -= 13z =把5x =，13z =代入（3）得：5212y ++=， 2.y =- ∴方程组的解为：5213x y z ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩二、标准型的要选择确当的未知例2 解方程组34(1)2312(2)6(3)x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩解：要消去三个未知数中的一个，相对而言消未知数z 比较方面.（1）+（2）得：5216(4)x y +=（3）+（2）得：3418(5)x y +=(5)(4)2-⨯得：20x =把20x =代入（4）得：100216y +=42y =.把20x =，42y =代入（1）得：60424z -+=14z =-.∴方程组的解为：204214x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩.三、轮换的特殊解法例3 解方程组2(1)4(2)6(3)x y y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解：这样轮换缺少未知数的方程可以采用下面特殊方法来解.（1）+（2）+（3）得：22212x y z ++=∴6(4)x y z ++=（4）-（1）得：4z =（4）-（2）得：2x =（4）-（3）得：0y =∴方程组的解为：204x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩.四、有比巧设参数x ：y=2：1 （1）例4 解方程组 y ：z=1：3 （2） 23414x y z +-=- （3）解：由（1）得：设其中的一份为k ，则2x k =，y k =. 把y k =代入（2）得：3z k =.把2x k =，y k =，3z k =代入（2）得：431214k k k +-=-.2 k=.∴方程组的解为：426 xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩.。
三元一次方程组及其解法-完整版课件
能说出你这节课的收获和体验 让大家与你分享吗？
布置作业
1、作业本 2、课后练习
x2y5z22
x 4y
合作探究
1.什么是三元一次方程组？ 2.解三元一次方程组的基本思路
是什么？
探索新知
1.含有三个未知数，且含有未知数的项的
次数都是一次的方程，叫做三元一次方程.
2.由三个方程组成，并且含有三个未知数 的方程组叫做三元一次方程组.
3.同时满足三元一次方程组中各个方程的解 叫做这个三元一次方程组的解.
一、什么是二元一次方程组？
二、解二元一次方程组的基本思路 是什么？
基本思路: 消元: 二元
一元
问题引入
小明手里有12张面额分别为1元、2元、5元的 纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币 数量的4倍。求1元、2元、5元的纸币各多少张？
设1元、2元、5元的纸币分别为 x 张、y 张、z 张， xyz12
4.基本思路:
ห้องสมุดไป่ตู้
消元
消元
三元方程组:
二元方程组
一元方程
探索新知
x + y + z = 12
①
x
+
2y +
5z
=
22
②
x = 4 y
③
解：把③分别代入① ②，得
4y y z 12 4y 2y 5z 22
5y z 12
即
6
y
5z
22
解这个方程组，得
y
z
2 2
把 y 2 代入③，得
x8
所以原方程组的解是
x 8
y
2
z 2
例1
x 2y z 1 ①
三元一次方程组的解法
实例三：应用题中的方程组解决
总结词
在解决实际应用问题时，通常需要建立 相应的数学模型，并通过解方程组得到 问题的解。
VS
详细描述
以追及问题为例，可以通过建立两个方程 组来表示两个人行走的距离和时间的关系 ，然后通过解方程组得到两个人的相遇地 点和时间；再比如解决利润问题时，可以 通过建立方程组来表示商品的进价、售价 和利润之间的关系，进而求得商品的进货 量。
电磁学
在电磁学中，三元一次方程组被用来描述电流、电场和磁场之间的 关系。
在经济中的应用
供需关系
在经济学中，三元一次方程组可以用来描述商品的供应、需求和价格之间的关系。例如，在垄断市场分析中，三元一次方程组可以用来描述企业的利润、市场 的供应和需求以及商品价格之间的关系。
投资组合优化
在投资组合理论中，三元一次方程组可以用来确定最优的投资组合，即在给定风险水平下获得最大收益或在给定收益水平下风险最小。
重要性
三元一次方程组是数学中一个重要的概念，它在实际生活中 有着广泛的应用，如求解空间几何中的点坐标、解决物理问 题中等。掌握三元一次方程组的解法对于理解和应用数学知 识具有重要意义。
三元一次方程组的特点
三个未知数
三元一次方程组包含三个未知数，通常用x、y、z表示。
三个方程式
每个未知数都由一个方程式来描述，因此总共有三个方程式。每个方程式都是 一次方程，形式为Ax+By+Cz=D，其中A、B、C和D是常数。
02
解三元一次方程组的步骤
整理方程组
整理三元一次方程组，将其转化为标准形式，即每个方程都包含未知数的最高次 数为一次。
将三元一次方程组的系数矩阵用数学公式表示，并确定方程组的未知数个数。
三元一次方程组的解法最新版本ppt课件
三元一次方程组
消元
消元
二元一次方程组
一元一次方程
精品课件
例2 在等式y=ax2 +bx+c中，当x=1时,y=0；当x=2时，y=3；当x=5时， y=60。求a、b、c的值。
解：根据题意得：
a –b + c=0 4a+2b+c=3 25a+5b+c=60
精品课件
3x y 2z 3
1
2 x y 4 z 11
把解x得=：5， zxz= -522代入②11得x：1y0=1 z
35
∴
3 精品课件
x y
5 1 3
z 2
不解方程组，指出下列方程组中 先消去哪个未知数，使得求解方程组较 为简便?
3 x 5 y 1,
1
.
4
x
6
y
7
z
2,
3 x 5 y 2 z 4 ;
x y 20 ,
若要使运算简 7 x y 5 z 1.
便，消元的方法应选取( )
(A)先消去x； (C)先消去z；
(B)先消去y； (D)
精品课件
x y 1,
2
x
z
0,
的解是(
).
y z 1 .
x 1,
(A)
y
1,
z 0 ;
x 1,
(B)
y
0,
z 1 .
x 0,
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
y
1,
z 1 .
x 1,
(D)
y
0,
精品课件 z 1 .
3 解下列方程组：
2x 4 y 3z 9, 3x 2 y 5z 11, 5x 6 y 8z 0;
解简单的三元一次方程组
解简单的三元一次方程组在数学中，方程是一种用来描述未知数与已知数之间关系的等式。
三元一次方程组指的是由三个未知数和三个等式构成的方程组。
解这种方程组就是为了找到能够使所有等式成立的未知数的值。
解决三元一次方程组的方法有很多，下面我将为您介绍几种常用的方法。
一、代入法代入法是求解三元一次方程组的一种常用方法。
它的基本思想是将一个方程中的某个未知数表示为其他未知数的函数，然后将其代入另一个方程中，最终得到只含有两个未知数的二元一次方程组，再通过求解二元一次方程组得出最终的结果。
举个例子来说，假设我们要解如下的三元一次方程组：{1.x + y + z = 6{2.2x + y - z = 1{3.x - y + 2z = 7我们首先可以从第一个方程中解出x，将其代入第二个方程中得到：2x + y - z = 12(x + y + z) + y - z = 12(6 + z) + y - z = 112 + 2z + y - z = 1y + z = -11 (方程A)接下来，我们将求得的 y + z = -11 （方程A）代入第三个方程中：x - y + 2z = 7x - (-11) + 2z = 7x + 11 + 2z = 7x + 2z = -4 (方程B)现在我们得到了只含有两个未知数 x 和 z 的方程组，可以通过进一步的计算求解出它们的值。
二、消元法消元法是另一种常用的解三元一次方程组的方法。
它的基本思想是通过对方程组中的某些方程进行加减操作，使得其中的某个未知数的系数为 0，从而将三元一次方程组转化为只含有两个未知数的二元一次方程组。
我们继续以之前的三元一次方程组为例：{1.x + y + z = 6{2.2x + y - z = 1{3.x - y + 2z = 7首先，我们可以通过将第二个方程乘以2，并与第一个方程相减消去 x：(2x + y - z) - 2(x + y + z) = 1 - 2 * 62x + y - z - 2x - 2y - 2z = 1 - 12-y - 3z = -11 (方程C)接着，将第三个方程与方程C相加消去 x 和 y：(x - y + 2z) + (-y - 3z) = 7 + (-11)2z = -4z = -2现在我们已经求出了 z 的值，将其代入方程C中可以求出 y 的值：-y - 3z = -11-y - 3(-2) = -11-y + 6 = -11y = -5最后，将求得的 y 和 z 的值代入第一个方程中可以求出 x 的值：x + (-5) + (-2) = 6x - 7 = 6x = 13综上所述，该三元一次方程组的解为 x = 13，y = -5，z = -2。
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③
解法二：消去x
由③得，x=z+4 ④ 把④代入①、②得，
（z+4)+y+z=2 ⑤
(z+4)-y+z=0 ⑥
化简得， 2z+y=-2 ⑦
2z-y =-4 ⑧
x+ y+ z= 2,
①
x
-
y
+
z
=
0
,
②
x - z = 4 .
③
解法三：消去z
由③得，z=x-4 ④
把④代入①、②得
x+y+(x-4)=2,⑤ x-y+(x-4)=0,⑥
在三元化二元时，对于具体方法的选取应 该注意选择最恰当、最简便的方法。
x+ y+ z= 2,
x
-
y
+
z
=
0
,
x - z = 4 .
解： ①＋②，得 2x+2z=2 ,
化简，得 x+z=1 ④ x-z=4 ③
∴
x+z= 1 ④
③+④,得 2x=5
x 5
把 x= 5
2
代入③，得
2
5z4
2
z3 2
x+y+z= 2 ① x-y+z= 0 ②
x-z=4. ③
1 . 化“三元”为“二元”
考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个?）
解法一：消去y
①＋②，得 2x+2z=2 xz1 ④
x-z = 4 ③
xz1 ④
2. 化“二元”为“一元” 。
x+ y+ z= 2,
①
x
-
y
+
z
=
0
,
②
x - z = 4 .
• 作业本B本 P10-11 全部完成！
•
做题记得检验！
•
原方程组中 有哪个方程 还没有用到 ？
例2 解方程组x y 3yz5
① ②
z x 4 ③
解: ③ - ②，得
xy1 ④
① + ④，得
2x 2
∴ x 1
把 x=1 代入方程①、③，分别得
y2,z3
x 1
所以,原方程组的解是
y
2
z 3
可不可以只用方程组中的两个就求解出方程的解？
例2 解方程组
① ②
③
把x
5 2
,z
3 2
代入②，得
5y(3)0
22
y=1
所以，原方程组的解是
x y
5 2 1
z
3
2
课堂练习
x+2y-z=1, 2x-y+z=-2, x=y-z.
例2 解方程组
x y 3
①
y
z
5
②
z x 4 ③
1 . 化“三元”为“二元”
解：③－②，得 xy1 ④
xy3 ① xy1 ④ 2. 化“二元”为“一元”
化简得， ⑦
2x+y=6
4-y=0 ⑧
x+ y+ z= 2,
①
x
-
y
+
z
=
0
,
②
x - z = 4 .
③
注：如果三个方程中有一个方程是二元一次 方程（如例1中的③），则可以先通过对另 外两个方程组进行消元，消元时就消去三个 元中这个二元一次方程（如例1中的③）中 缺少的那个元。缺某元，消某元。
解方程组
3x+2y+z=13, x+5y+2z=7, 2x+3y-z=12.
小结
（一）三元一次方程组的概念是什么? （二）解三元一次方程组的基本思路是什么?
（三）在三元化二元时，对于具体方法的选取 应该注意什么？
• 完成书上练习题
• P51 1,2做在练习本上
• P52 1,2,3,4,5,6做在练习本上
x y 3 ①
y
z
5
②
z x 4 ③
1 . 化“三元”为“二元”
解：
③－②，得
xy1
xy3
xy1
④ ① ④
原方程组中有 哪个方程还没 有用到？
可不可以不用①？
yz5 ②
zx4
③
xy1 ④
xy1 ④
在消去一个未知数得出比原方程组少一个未知数的
二元一次方程组的过程中，原方程组的每一个方程
一般都至少要用到一次．
三元一次方程组及其解法
三个小动物年龄的和是26岁 流氓兔比加菲猫大1岁
求三 个小 动物
流氓兔年龄的两倍与米老鼠 的年龄之和比加菲猫大18
的年 龄?
岁
根据题意，设流氓兔、加菲猫、米老鼠的年龄分
别为x、y、z 可以列出以下三个方程：
x+y+z=26,
x-y=1
2x+z-y=18
例1 解方程组