第二章 连续介质塑性理论

ij ji
x yx zx X 0 x y z xy y zy Y 0 x y z yz z Z 0 xz x y z
应力莫尔圆：
( x '
x y
2
)2 x ' y '2 (
x y
2
) 2 xy 2
（3）几何方程与小应变张量 ● 几何方程 小变形时的应变张量柯西（Cauchy）应变张量，位移与应变的关系称为几何方程
ε 1 ( u u ) 2
ij (ui , j u j ,i )
第二章 连续介质塑性理论
§2.1 预备知识
物体在外力作用下，会发生形状和尺寸的改变，称为变形。 弹性变形：外力除去后能恢复原状的变形 塑性变形：外力除去后不能恢复原状的变形
§2.1.1 单轴拉伸变形抗力曲线
（1）工程应力-应变曲线
工程应力（名义应力、条件应力）：试件所受载荷除以试件的原始截面积
P / A0
1 1
ij 应变速率：
1 i , j u j ,i ) (u 2
§2.1.3 不可压缩条件及等效应力、等效塑性应变
（1）不可压缩条件（Incompressibility condition）
d p ii 0
p ii 0 或
【例】 长方体塑性均匀变形 （2）等效应力（Effective stress）、应力强度
'ij sij ij m ij
3 应力偏量的特征方程： det[ 'ij ' ij ] ' J 2 ' J 3 0
应力偏量的不变量：
J2
1 1 1 tr σ '2 σ ' : σ ' 'ij 'ij 2 2 2 1 [( 11 22 ) 2 ( 22 33 ) 2 ( 33 11 ) 2 6( 12 2 232 312 )] 6 1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 6
d

n
d

m
d
积分得到塑性流动所需要的应力（流动状态方程、粘塑性流变方程） ：
m K n
K ke (ln dn ln dm )
K n
在室温下变形，以应变硬化影响为主， m 0 超塑性材料，以应变速率敏感性影响为主，n 0
m C
1 2
二阶对称张量： ij ji
小变形的几何意义 x方向的正应变：
x
P ' A ' PA u u (dx dx dx) / dx PA x x
——x方向微线段的相对伸长量
剪应变：
xy 2 xy
u v y x
——点P处两条垂直微元夹角的变化量
幂强化力学模型：
A n
应变分解（additive decomposition of strain ）：
p e
（3）指数形式的应力-应变曲线
恒温条件下的均匀塑性变形，所需要的应力： ) ( , d d d 定义应变硬化指数： n
e 恢复，塑性变形 p 保留下来
许多金属没有明显的屈服平台，屈服极限规定为发生塑性变形0.2%时的应力，
记作: 0.2
变形强化：塑性变形所需的应力将随应变的增加而增加
均匀变形阶段： 在b点以前，随着长度增加，横截面积均匀减小，试样处于均匀变形状态 颈缩失稳阶段： 到达b点后，试件某一部位会出现局部的断面缩小现象，称为颈缩——塑性失稳现象。 继续拉伸时，变形便集中在颈缩区域，颈缩部分断面逐渐缩小，直至断裂 试件截面积减小导致的拉伸应力增加 〉应变硬化所导致的变形抗力增加 强度极限： b ——拉伸过程中最大的工程应力（注意:不是最大的真实应力） 材料的延伸率:
I1 kk tr σ 1 2 3 x y z I 1 ( ) 1 [(tr σ ) 2 tr σ 2 ] ij ji 2 2 ii jj 2 2 2 2 x y y z z x xy yz zx 1 2 2 3 3 1 I 3 det σ eijk 1i 2 j 3k 2 2 2 2 1 2 3 x y z xy yz zx x zx y zx z xy
( σ ' : σ ')1/ 2 ( 'ij 'ij )1/ 2 ( 'ij ' ji )1/ 2 3 J 2
3 2
e

1 [( 11 22 ) 2 ( 22 33 ) 2 ( 33 11 ) 2 6( 12 2 232 312 )]1/ 2 2
（结合体积不变条件）
由于变形产生应变强化，变形抗力的增加值： d **
n 1 稳定变形条件： d Kn d
d Kn n 1d
n
颈缩点应变（细颈点应变）： B n
（4）包申格效应（Bauschinger effect）
当试祥在一个方向加载（例如拉伸）超过屈服点到达 某点A ，卸载到B点，然后反向加载（即压缩）。 反向加载时屈服点C的应力 s '' 的绝对值不仅比A点的
● 应变分量的增量 全量应变：反映单元体在某一变形过程或变 形过程的某个阶段终了时变形的大小
应变增量：以变形过程中某瞬时的形状为 基准状态，在此基础上，微小时间增量dt 后发生的应变
A经ABC到达C点，总位移uAC，uAC代入几何方程求得的应变就是该瞬时的全量应变 该质点再沿原路线移动一无限小的距离到达D点，du=uAD-uAC就是此时的位移增量， 与它相关的无限小应变就叫应变增量 分析弹性变形可采用全量应变：弹性变形是可逆的，应力与应变单值对应 分析塑性变形应采用应变增量（或应变速率）：塑性变形是不可逆的，与加载历史有关 应变增量： d ij 2 ( x dui x du j ) 2 (dui , j du j ,i ) j i
● 应力偏张量
ij 'ij m ij
m ii / 3 I1 / 3
平均应力(亦称静水压力)
球张量： m ij 相当于各向等拉(或等压)的应力状态，引起物体体积变化 应力偏量：引起塑性变形
1 σ ' s σ (tr σ ) I σ m I 3
● 单向拉伸稳定塑性变形条件 不出现颈缩条件（稳定变形）： 截面收缩导致的应力增加小于应变硬化导致的变形抗力增加 拉伸真实应力
d * d **

P A
d
dP PdA dP dA 2 A A A A
因截面变化获得的应力增量： d *
P const .

dA d A
ij , j X i ji , j X i 0
div σ X σ X 0
（2）应力张量
过P点的任一斜面上的应力
四面体平衡方程： 由于剪应力互等，因此：
可以证明 ij 是一个二阶张量
● 主应力、应力不变量 当斜面的法向 v 取某一方向，应力总矢量与斜面垂直时，切向分量为0，这样的面称 为主平面，它的法向就是主轴，主平面上的应力称为主应力
d ln d ln
cons t
/ /
n
m
应变速率的敏感指数指数： m
d ln d ln

cons t
/ /
s ' 小，而且也比初始屈服应力 s 小。
§2.1.2 小变形时的应力与应变状态
（1）应力平衡微分方程
正面：外法线是沿坐标轴正向的面。正面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正，负向为负 负面：外法线是沿坐标轴负向的面。负面上的应力分量以沿坐标轴负方向为正，正向为负

剪应力互等定律 平衡微分方程：
0 0 0
cos β [ i ' j ] sin 0 sin cos 0 0 0 0
T 新坐标系下的应力： σ ' β σ β
x y x y 2 2 cos 2 xy sin 2 x ' x cos y sin 2 xy sin cos 2 2 x y x y 2 2 sin cos 2 sin cos cos 2 xy sin 2 y' x y xy 2 2 x y 2 2 sin 2 xy cos 2 x ' y ' ( y x ) sin cos xy (cos sin ) 2
( ij ij )v j 0
上述方程有非零解的条件是（特征方程）
det[ ij ij ] 3 I1 2 I 2 I 3 0
特征方程的根就是主应力 1 , 2 , 3 ，对应的矢量 v1 , v2 , v3 就是主方向（主轴）互相垂直 应力不变量：
● 主应变及不变量 具有主应变 1 , 2 , 3 （通常取 1 2 3 ），三个主方向（主轴）互相垂直 不变量为：
I1 kk tr ε 1 2 3 x y z I 1 ( ) 1 2 2 3 3 1 2 2 ii jj ij ji 2 2 2 1 ( 2 2 2 ) x y y z z x xy yz zx x y y z z x xy yz zx 4 I det ε 1 2 3 3