山东大学自动控制原理网上练习题

结论：开环传递函数位于 s 平面右半边的极点个数 P=0，开环频率特性包围 (-1,j0)点两圈，故闭环系统不稳定。
3）设 T1 = T2 在图 1 中 s 沿 DEFAB 曲线变化时，开环传递函数频率特性曲线如图 8 所示:
在图 1 中的 B 点，s=-jε，
在 图 1 中 BC 曲 线 的 中 点 ，
【求微分传递函数】 例1: 求取如图所示电路的传递函数 I（s）/U（s） 。图中 为铁心线圈磁链，R 为线圈电阻。
解：描述铁心线圈特性的微分方程式为：
其中磁链ψ(i)是流经线圈电流的函数。
其中， I 0 i (0) 为工作点电流；
d (i ) di
iI0

为在工作点 Q 两侧微小区域内的常值。
在图 1 中的 C 点，
即开环频率特性曲线沿虚轴 s=ε 正半轴趋向于无穷大。
s 沿图 1 中的绿线从 B 点变化到 C 点时，开环传递函数频率特性曲线沿图 9 s 沿图 1 中的蓝线从 C 点变化到 D 点时 中的绿线从 B 点变到 C 点。 【分析类同】 ， 开环传递函数频率特性曲线沿图 10 中的蓝线从 C 点变到 D 点。 结论：开环传递函数位于 s 平面右半边的极点个数 P=0，开环频率特性正好 穿过(-1,j0)点，故闭环系统处于临界稳定状态。
讨论开环传递函数频率特性曲线在无穷大处的轨迹： 在图 1 中 BC 曲线的中点, 在图 1 中的 C 点，s=ε，
即开环频率特性曲线沿虚轴 在图 1 中的 B 点，s=-jε 正半轴趋向于无穷大。
故 s 沿图 1 中的绿线从 B 点变化到 C 点时， 开环传递函数频率特性曲线沿图 3 中的绿线从 B 点变到 C 点。 在图 1 中的 C 点，
在图 1 中 CD 曲线的中点， 在图 1 中的 D 点，
即开环频率特性曲线沿虚轴负 半轴趋向于无穷大。
s=jε
故 s 沿图 1 中的蓝线从 C 点变化到 D 点时，开环传递函数频率特性曲线沿图 4 中的蓝线从 C 点变到 D 点。 结论：开环传递函数位于 s 平面右半边的极点个数 P=0，开环频率特性不包围(-1,j0)点， 故闭环系统稳定。 2）设 T1 > T2 在图 1 中 s 沿 DEFAB 曲线变化时，开环传递函数频率特性曲线如图 5 所示:
【Routh
稳定判据】 ， 试应用 Routh
例4: 设某系统的特征方程式为： 稳定判据判别系统的稳定性。
解：①建立劳斯表：
②第一列元素为零，构造辅助方程式， ， 对变量 s 求导，得
③继续劳斯表计算
用新方程式的各项系数去代替全零行的元 素，并继续进行 Routh 计算表。 ④Routh 计算表中第一列各元素的符号均 相同而无变化，这说明系统特征方程式在 S 平面右半部无根。但由于 行各元素均为 零，按 Routh 法则，说明系统特征方程式在 虚轴上有共轭虚根。
解出，它们分别是 与 。由于具有共轭虚根，因而
系统是临界稳定的。
【根轨迹】 例 5: 设某系统的开环传递函数为：
，试绘制 K 从零到无穷大时系统的根轨 迹。 解：（1）系统为 4 阶系统，根轨迹有 4 条分支。 （2）开环系统有4个极点：0，-4，-4+j4，-4-j4，没有零点。 (3）实轴上的根轨迹在 s=0和 s=-4之间。 （4）渐进线与实轴正方向的夹角为：
【开环系统 Bode 图的绘制】 例 6: 系统的开环传递函数为：
，试绘制开环对数频率特性曲线。 解： (1)化成典型环节后的开环传递函数如下所示：
(A)先求开环对数幅频特性曲线。 ，先求出各 个典型环节的对数幅频特性， 再按极点或转折频率由小到大的顺序将各个环节的频率特性曲 线相加。 比例环节、积分环节、一阶惯性环节、一阶微分环节、振荡环节。 相加后最终得到开环传递函数的对数幅频特性如图 9 所示
在图 1 中的 B 点，s=-jε，
在图 1 中 BC 曲线的中点， 在图 1 中的 C 点，s= ε 即 开环 频 率 特性 曲 线沿 虚 轴正半轴趋向于无穷大。
s 沿图 1 中的绿线从 B 点变化到 C 点时，开环传递函数频率特性曲线沿图 6 中的绿线 从 B 点变到 C 点；s 沿图 1 中的蓝线从 C 点变化到 D 点时【分析类同】，开环传递函数频 率特性曲线沿图 7 中的蓝线从 C 点变到 D 点。
（B）再求相频特性曲线。
开环对数相频频特性 ，先求出各个典型环节的对数相频频
特性，再按极点或转折频率由小到大的顺序将各个环节的相频特性曲线相加。
积分环节、一阶惯性环节、一阶微分环节、振荡环节。 相加后最终得到开环传递函数的对数相频特性如图 17 所示。
【奈魁斯特判据】 例 7: 设某系统的开环传递函数为：
在零初始条件下（ I 0 0 ）的传递函数为：
（1-3）
式中，
d (i ) di
iI0
/ R 称为时间常数。
【方框图的等效变换】 例 2: 通过方框图的等效变换求取图 1 所示系统的传递函数
.
解：
【二阶系统的动态特性】 例 3: 一个二阶系统的闭环极点分布如图所示，闭环极点如何移动：
解： 0< -1< <1，二阶系统有一对复根位于左半平面，故动态特性曲线为衰减振荡。 <0，二阶系统有一对复根位于右半平面，故动态特性曲线为扩大振荡。 =0，二阶系统有一对虚根位于虚轴上，故动态特性曲线为等幅振荡。 >1，二阶系统有两个不相等的负实根，故动态特性为非周期衰减曲线。 =1，二阶系统有一对重根位于负实轴上，故动态特性为非周期衰减曲线。 <= -1，二阶系统有具有正实根，故动态特性为非周期扩大曲线。 增加，故动态特性曲线振荡频率增加。 减小，故动态特性曲线振荡频率减小。 为负数，且绝对值增加，故动态特性曲线衰减速度加快。 为负数，且绝对值减小，故动态特性曲线衰减速度变慢。 两个实根都为负数，且两个实根的绝对值相差较大，这时距原点较近的负实根对动态特性曲线影响较 大。由于距原点较近的负实根的绝对值增加，故动态特性曲线衰减速度加快。由于距原点较近的负实 根的绝对值减小，故动态特性曲线衰减速度变慢。 两个实根都为负数，且绝对值增加，故动态特性曲线衰减速度加快；绝对值减小，故动态特性曲线衰 减速度变慢。 阻尼系数 增大，系统的稳定性变好（对衰减振荡就是每一周期衰减掉的更多;对非周期衰减就是曲 线更加缓慢地趋向于稳态值,即更不易出现超调）。 阻尼系数 减小，系统的稳定性变差（对衰减振荡就是每一周期衰减掉的更少;对非周期衰减就是曲 线更加快速地趋向于稳态值,即更容易出现超调）。

(2k 1) 180， k 0,1,2,3 即 nm -4-4-4 -3 。 4
。
渐进线与实轴的交点为：
（5）由闭环系统的特征方程得
①劳斯表为： 1 64 12 K 128 K ， j3.266 和-j3.266 就是系统含有的一对虚根。 K （6）由特征方程得 在开环极点 s=-4 和 s=0 之间做下面表格：
② ，令 =0 ， 得 K=568.89。 由 Routh 表中 的上一行元素构 造辅助方程得：
由表中知，当 s=-1.5时 p(s)得到极大值85，故实轴上 s=-1.5处为分离点。 （7）如图 6 所示，根据根轨迹的幅角条件得 ， 所以 这里没有开环零点，故不用求其入射角。 （8）根据前面的分析，可大致画出根轨迹如图 7 所示。 。
____________________________________________________ p(s) s 0 -4.0 51 -3.0 68.5 -2.5 80 -2.0 85 -1.5 75 -1.0 0 0 —————————————————————————— ——————————————————————————
，试判断系统的稳定性。 解： 奈魁斯特轨迹如图 1 所示: 开环传递函数在原点有极点。若用图 1 所示的奈魁斯特轨迹，则开环传递函数右半 平面的极点个数 P=0。根据奈魁斯特判据， 只须判定开环频率特性曲线是否包围 (-1,j0) 点。 分三种情况讨论。
（1）设 T1 < T2 。在图 1 中 s 沿 DEFAB 曲线变化时，开环传递函数频率特性曲线如图 2 所 示: