人教版高中数学(理科)选修复数的概念教案
复数的概念教学目标1．掌握复平面、向量等有关概念；弄清复数集C与复平面内所有的点组成的集合之间一一对应关系，以及复数与从原点出发的向量之间的一一对应关系；弄清复数模的几何意义．2．通过数形结合研究复数，提高学生的数形结合能力，突出比较与类比的研究方法．3．感受到为真理执着追求的精神．进行辩证唯物主义教育．教学重点与难点重点：复数与点与向量的对应关系以及复数的模．难点：自由向量与位置向量的区别，以及它们与复数的对应关系．教学过程设计师：我们已经学习了复数的概念．什么是复数？生：形如a＋bi的数叫复数．（学生有不同意见，小声议论）师：谁有补充？生：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫复数．（教师给予肯定）师：a，b∈R的条件很重要，实际上我们是用实数来定义的复数，虽然我们知道了复数的定义，但是复数对于我们来说，总感到摸不着抓不住，不像实数，任何一个实数，都可以在数轴上找到一个点与它对应，那么复数到底在哪里呢？我们能不能像实数那样来表示复数呢？生：数轴上的点不能表示虚数，只能表示实数．师：那么用什么可以表示复数呢？注意复数是由a，b两个实数决定的，可以大胆设想一下，我们可以利用什么来表示复数？生：可以用直角坐标系里的点来表示吗？师：××提出了一个想法，用直角坐标系内的点来表示复数．这种想法行不行呢？（在黑板上画出直角坐标系，任取一点（a，b））师：能不能用点来表示复数呢？生：可以．因为有一个复数a＋bi（a，b∈R），就有一个点（a，b），而有一个点（a，b），就有一个复数a＋bi．师：他刚才所说的实际想说明一点复数集与坐标系中的点构成的集合是一一对应的．的确，由复数相等的概念，我们知道一个复数a＋bi由一个有序实数对（a，b）唯一确定，而有序实数对与直角坐标系中的点是一一对应的．因此我们完全可以建立复数集与点集之间的一一对应．看来，用点来表示复数是完全可以的．为了区别表示复数的点与其它的点，我们把这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．那么在这个坐标系中x轴上的点与y轴上的点所表示的复数分别具有什么特点呢？生：x轴上的点的纵坐标为0，即复数的虚部为0，因此x轴上的点代表实数．师：既然x轴上的点代表了所有实数，我们就把复平面中的x轴叫实轴．那么y轴上的点代表什么样的复数呢？生：由于y轴上的点的横坐标都是零，因此y轴上的点表示的是纯虚数．师：同学们认为他说得对吗？（大多数同学认为他说得对，少数人有疑惑）生：原点也在y轴上，但0不是纯虚数，而是实数．所以y轴上的点除原点外表示的都是纯虚数．师：他说得很对．y轴上只有这个原点捣乱，不然就可以表示所有的纯虚数．因此，我们把去掉原点后的y轴叫虚轴．这样虚轴上所有的点都表示纯虚数．那么，直角坐标平面与复平面有什么区别？生：直角坐标平面中的x轴与y轴交于原点，而复平面中的实轴与虚轴没有交点．师：我们通过建立复平面，将复数集与复平面上的点建立了一一对应的关系，这样复数对我们来说，也就不显得那样遥远了．但对于复数的认可，在19世纪可没那么简单．第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量”，几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数．但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位．后来德国数学家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这种数有点虚无缥缈，尽管他也感到它的作用．1830年，高斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数a＋bi，使复数有了立足之地，人们才最终承认了它．看来复数从发现到最终被人们承认，的确经过了一个漫长坎坷的过程，可最终使人们接受他的还是它的几何表示，用点表示复数后，人们才觉得复数的存在．（学生对数学史方面的知识很感兴趣，因为他们感到数学的发展是那样神秘，可以凭空造出数来，学生听得聚精会神，当最后得知是用点来表示复数这一理论使复数得以被人承认后，甚至还有些成就感）师：用点表示复数后，我们还要介绍一种表示复数的方法，连接坐标原点O与点Z，得到一个具有长度且有方向的线段，这种既有大小又有方向的线段叫有向线段，而有向线段表示的量就叫向量．那么什么叫向量呢？生：既有大小又有方向的量叫向量．师：能不能举出一些向量的例子？生：物理中的力、速度、加速度等都是又有大小又有方向的量，它们都是向量．师：现在的问题是我们能不能用向量来表示复数？我们一般将起点为O，终点为Z的向量记作．生：当然可以．因为有一个向量就对应一个点，而有一个点就对应一个向量，而点与复数有一一对应的关系，因此可用向量表示复数．（学生议论纷纷，看起来有不同意见）生：那我在复平面内任意画一个有向线段，这个向量表示哪个复数呢？（大家在思考）师：这个问题提得很好．实际上，大家可以想一想，刚才××同学说一个向量对应一个点，一个点对应一个向量，对不对？怎么样改一下就对了？生：应改为起点为原点的向量对应一个点，也就是起点为原点的向量与点构成一一对应．师：既然这样，我们就知道，起点为原点的向量与复数是一一对应的．那其它向量怎么办？它们对应什么复数？能不能将他们移到原点来？生：只要它们的长度和方向与相同，就可以平移到起点为原点，与重合的位置上．师：实际上，我们把长度相等方向相同的向量叫做相等的向量，其实，我们只要规定相等的向量对应同一个复数，我们就可以用向量来表示复数了．对那些起点不在原点的向量，我们只要怎么做就可以知道它所对应的复数了呢？生：只要将它们平移到起点与原点重合，这时向量终点所确定的复数就是那些起点不在原点的向量所表示的复数．（教师给予肯定）师：在这个正六边形中有多少对向量相等，它们分别对应着哪些复数？师：这样我们完成了今天我们要讨论的第二个问题：复数与向量．我们弄清楚了向量可以来表示复数，相等的向量对应着同一个复数．一个复数所对应的向量唯一吗？生：一个复数实际上可以对应无数个长度相等、方向相同的向量，只是这些向量的位置不同．师：现在我们知道复数可以用点和向量来表示，它们之间的对应关系可以用下图来表示．有了这种一一对应关系后，我们常把复数z=a＋bi说成点Z（a，b），或说成向量．师：在用有向线段表示向量时，有向线段的长度我们定义为向量的模，即线段OZ的长度为向量的模．那么可以表示复数z=a＋bi，那么的模可以表示复数的哪个量呢？在实数集中，一个数的绝对值的几何意义就是数轴上的点到原点的距离．在复数集中呢？生：向量的模就是复数的绝对值．师：他的意思说出来了，但在复数中，我们一般不叫绝对值，叫复数的模．因此的模就叫复数的模，只有复数为实数时，我们叫绝对值．那么复数的模具有什么样的几何意义？生：复数的模的几何意义是表示复数的点到原点的距离．（教师给予肯定，并指出复数模的几何意义与实数的绝对值的几何意义是统一的．）师：复数的模用什么表示呢？生：用实数集中绝对值的符号表示，z的模，记作|z|．师：复数z=a+bi，（a，b∈R），那么|z|=？（学生板演）师：我们知道复数一般不能比较大小，而复数的模是实数，可以比较大小．（将z1，z2所表示的点画在复平面上，再将它们所表示的向量画出来，强调这三者的转化）例2 设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？（1）|z|=4；（2）2≤|z|＜4．生：（1）表示到原点距离为4的点．师：这样的点构成一个什么图形？生：是原点为圆心，半径为4的圆．师：是圆面还是只有边界的圆？为什么？生：应该是表示只有边界的圆．因为与复数z对应的点Z，由|z|=4，知道|OZ|=4，即点Z到原点的距离为4．所以z表示的点Z构成一个半径为4的圆．生：（2）表示一个圆环．由于|z|的几何意义是点Z到原点的距离，所以2≤|z|＜4表示到原点距离大于等于2，小于4的点所构成的图形．师：准确地说这个图形应当是半径为2与半径为4的圆构成的圆环内容及内边界．包不包括边界，主要是由原不等式中的等与不等决定的．例3 用复数表示下图中的阴影部分．生甲：|z|＜3且虚部＜-1．由于图中所示的点在半径为3的圆中，且纵坐标小于-1．师：这种表示是否正确？（学生小声议论）生：是两条直线．师：夹在这两条直线中间又满足|z|＜3的点显然不仅仅是阴影部（学生到黑板画出图）师：因此刚才乙同学的想法是好在不满足于用一种方法表示，肯思考，但这个题无法用实部来表示．（下面提问第2小题）生：|z|≥3，且实部≤-1．生：不对．师：看来用实部还是虚部表示，一定要全盘考虑，表示出来后，还要反过来检查一下是否符合题设条件．（教师小结）师：这节课我们共同探寻了复数的几何表示方法以及复数模的几何意义．要特别重视数与点与向量之间的对应关系，在研究的过程中要特别注意与实数的联系与区别．补充作业1．判断下列命题的真假，并说明理由：2．已知|x+yi|=2，求表示复数x+yi的点的轨迹．4．设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？（1）|z|=3；（2）|z|＜3；（3）3＜|z|≤5；（4）实部＞0，虚部＞0且|z|＜4．作业答案或提示1．①√；②×；③√；④×；⑤√；⑥×．2．x2+y2=4．3．略．4．（1）以原点为圆心，半径为3的圆；（2）以原点为圆心，半径为3的圆面，不包括边界；（3）以原点为圆心，半径为3和5的圆构成的圆环内部，包括外边界；（4）以原点为圆心，半径为4的圆在第一象限的部分，不包括边界．课堂教学设计说明本节课是一节内容较为简单的概念课，但所涉及的知识内容，非常重要，它是学习复数的重要一环．本设计着重突出主体性教学的原则，尽量做到让学生来发现复数的几何表示法，由实数自然地过渡到复数．本节课还将复数的点的表示与向量的表示集中在一节课处理，笔者认为这样有利于学生对复数几何意义的整体把握．在教学中还注意通过数学史的故事，激发学生的学习兴趣，增强学生的自信心，并自然地将思想教育渗透到教学中．。
(完整)复数的概念教案
17。
1复数的概念教案课题:复数的概念授课类型：新授课教学目标：1. 知识与技能：了解引进复数的必要性;理解并掌握虚数的单位i2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部）理解并掌握复数相等的有关概念教学重点:复数的有关概念。
教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念。
教学设想：生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾。
课时安排:1课时教学过程:一、创设情境、导入新课1.复习回顾：数系的扩充实数集2.问题情境：在实数集中方程x2+1=0有解吗?很明显此方程无实数解。
21 x=-210x+=⇔思考:负数能否开平方? 为了解决负数开平方问题，我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？数学家大胆引入一个新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：（1） 21i =-(2)实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律（包括交换律、结合律和分配律）仍然成立。
这样就会出现许多新数, 如 等。
形如的数，我们把它们叫做复数二、讲解新课： 1.虚数单位i ：（1)它的平方等于-1，即 21i =-；(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.2.复数与复数集的概念:形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部复数集，用字母C 表示*3。
复数的代数形式：复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式,叫做复数的代数形式4。
复数的分类：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R ）是实数a ；当b ≠0时,复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0。
高中数学复数的概念教案
高中数学复数的概念教案
一、教学目标：
1. 了解复数的概念和表示方法；
2. 学习复数的加减法和乘法；
3. 掌握复数的共轭和模；
4. 能够解决与复数相关的数学问题。
二、教学重点：
1. 复数的定义和表示；
2. 复数的加减法和乘法；
3. 复数的共轭和模。
三、教学步骤：
1. 复数的引入
- 引导学生回顾实数的概念，介绍实数无法解决的问题；
- 引入复数的概念，说明复数可以解决实数无法解决的问题。
2. 复数的定义和表示
- 介绍复数的定义：形如a+bi的数称为复数，其中a为实部，bi为虚部；- 解释复数的表示方法：直角坐标系、极坐标系和三角形式。
3. 复数的加减法和乘法
- 介绍复数的加减法规则：实部相加，虚部相加；
- 讲解复数的乘法规则：根据分配律进行计算。
4. 复数的共轭和模
- 介绍复数的共轭定义：实部不变，虚部变号；
- 讲解复数的模定义：绝对值表示复数的距离。
5. 示例分析和练习
- 给出一些具体的复数问题，引导学生进行解题分析；
- 可以让学生进行课堂练习，巩固所学知识。
四、课堂总结：
- 总结本节课的内容，强调复数的重要性和实际应用；
- 鼓励学生积极思考，提出问题。
五、课后作业：
- 完成课后习题，巩固所学知识；
- 思考如何将复数应用到实际问题中。
六、教学反思：
本节课着重介绍了复数的概念和基本运算规则，通过引导学生进行实际问题的解决，使学生能够深入理解复数的含义和作用。
在今后的教学中，可以适当增加实际应用的案例，引导学生更好地理解和掌握复数的相关知识。
人教版高中数学教案-复数的几何意义
3. 1.2複數的幾何意義 課前預習學案課前預習：1、複數與複平面的點之間的對應關係1、 複數模的計算2、 共軛複數的概念及性質4、 提出疑惑： 通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中 疑惑點 疑惑內容課內探究學案學習目標：1. 理解複數與複平面的點之間的一一對應關係2.理解複數的幾何意義 並掌握複數模的計算方法3、理解共軛複數的概念，瞭解共軛複數的簡單性質 學習過程一、自主學習閱讀 課本相關內容，並完成下面題目1、複數z =a +bi (a 、b ∈R )與有序實數對(a ，b )是 的2、 叫做複平面， x 軸叫做 ，y 軸叫做虛軸上的點除原點外，虛軸上的點都表示3、複數集C 和複平面內所有的點所成的集合是一一對應關係，即複數 ←−−−→一一对应複平面內的點 ←−−−→一一对应平面向量4、共軛複數5、複數z =a +bi (a 、b ∈R )的模二、探究以下問題1、實數與數軸上點有什麼關係？類比實數，複數是否也可以用點來表示嗎？2、複數與從原點出發的向量的是如何對應的？3、複數的幾何意義你是怎樣理解的？4、複數的模與向量的模有什麼聯繫？5、你能從幾何的角度得出共軛複數的性質嗎？三、精講點撥、有效訓練見教案反思總結1、你對複數的幾何意義的理解2、複數的模的運算及含義3共軛複數及其性質當堂檢測1、 判斷正誤（1） 實軸上的點都表示實數，虛軸上的點都表示純虛數（2） 若|z 1|=|z 2|，則z 1=z 2（3） 若|z 1|= z 1，則z 1>02、()12m z i =当＜时，复数＋m-1在复平面上对应的点位于（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3、已知a ，判斷z=i a a a a )22()42(22+--+-所對應的點在第幾象限 4、設Z 為純虛數，且|z+2|=|4-3 i |，求複數Z3.1.2複數的幾何意義【教學目標】1. 理解複數與複平面的點之間的一一對應關係2.理解複數的幾何意義 並掌握複數模的計算方法3、理解共軛複數的概念，瞭解共軛複數的簡單性質【教學重難點】複數與從原點出發的向量的對應關係【教學過程】一、複習回顧（1）複數集是實數集與虛數集的（2）實數集與純虛數集的交集是（3）純虛數集是虛數集的（4）設複數集C 為全集，那麼實數集的補集是（5）a ，b ．c ．d ∈R ，a+bi=c+di ⇔（6）a=0是z=a+bi(a ，b ∈R)為純虛數的 條件二、學生活動1、閱讀 課本相關內容，並完成下面題目（1）、複數z =a +bi (a 、b ∈R )與有序實數對(a ，b )是 的（2）、 叫做複平面， x 軸叫做 ，y 軸叫做虛軸上的點除原點外，虛軸上的點都表示（3）、複數集C 和複平面內所有的點所成的集合是一一對應關係，即複數 ←−−−→一一对应複平面內的點 ←−−−→一一对应平面向量 （4）、共軛複數（5）、複數z =a +bi (a 、b ∈R )的模2、學生分組討論（1）複數與從原點出發的向量的是如何對應的？（2）複數的幾何意義你是怎樣理解的？（3）複數的模與向量的模有什麼聯繫？（4）你能從幾何的角度得出共軛複數的性質嗎？3、練習（1）、在複平面內，分別用點和向量表示下列複數：4，3+i ，-1+4i ，-3-2i ，-i（2）、已知複數1Z =3-4i ，2Z =i 2321+，試比較它們模的大小。
高中数学(复数的基本概念及其运算)教案1 新人教A版选修1-2 教案
复数的基本概念及其运算一、目标要求：(1) 复数的概念的发展和有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数）；复数的代数表示与向量表示。
(2) 掌握复数的表示方法。
（3掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算（复数代数形式的加法与减法，乘法与除法）二、思想方法(1)化归思想—将复数问题实数化。
(2)方程思想—利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。
三、教学进程1。
引人:实数的局限性，比如说：在实数范围内-2没有平方根，那么-2真的没有平方根吗？ 2．复数的有关概念和性质：(1)i 称为虚数单位，规定21i =-，形如a+bi 的数称为复数，其中a ，b ∈R ． (2)复数的分类(下面的a ，b 均为实数)(3)复数的相等设复数1112221122,(,,,)z a bi z a b i a b a b R =+=+∈，那么12z z =的充要条件是：1122a b a b ==且．(4)复数的几何表示复数z=a+bi （a ，b ∈R ）可用平面直角坐标系内点Z(a ，b)来表示．这时称此平面为复平面，x 轴称为实轴，y 轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C 与复平面上全体点集是一一对应的．复数z=a+bi (),a b R ∈．在复平面内还可以用以原点O 为起点，以点Z(a ，b)向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O ，看成零向量)．(6)复数与实数不同处:①任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．②实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．3．复数的代数运算（1）i 4n =1，i 41n +=i ，i 42n +=-1，i 43n +=-i ；（2）i n · i 1n +· i 2n +·i 3n +=-1， i n ＋i 1n +＋i 2n +＋i 3n +=0；；()()()()()()()()()()()()052222221222212121≠+-+++=-+-+=++=+==•∈+=++-=•±+±=±∈+=+=z i dc adbc d c bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z b a z z z R b a bi a z i ad bc bd ac z z i d b c a z z R d c b a di c z bi a z ；，则，；特别，若；，，，，，四、典型例题分析①实数？②虚数？③纯虚数？ ④在复平面上对应的点第三象限?①复数z 是实数的充要条件是：∴当m ＝-2时复数z 为实数．②复数z 是虚数的充要条件：∴当m ≠-3且m ≠-2时复数z 为虚数 ③复数z 是纯虚数的充要条件是：∴ 当m ＝1时复数z 为纯虚数．【说明】 要注意复数z 实部的定义域是m ≠-3，它是考虑复数z 是实数，虚数纯虚数的必要条件． 要特别注意复数z ＝a+bi(a ，b ∈R)为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0．例2 (1).若__________723=∈++∈x R iix R x ，则，(2).复数a+bi 与c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）的积是纯虚数的充要条件是（ ） A ． 0=-bd ac Ｂ．0=+bc ad Ｃ．00=+≠-bc ad bd ac 且Ｄ．00≠+=-bc ad bd ac 且（3）已知33333-+∈++=m m C m i m z ，且，其中为纯虚数 求m 的对应点的轨迹.例3.设复数()i b az z ii i z +=+++-++=1213122，若）（,求实数b a ，的值.例4:计算:()221521232132⎪⎭⎫⎝⎛+-++++-i i i i(2 )1+i+32i +…+1000999i【说明】 计算时要注意提取公因式，要注意利用i 的幂的周期性， (2 ) 法 1：原式=(1+2i -3-4i)+(5+6i -7-8i)+…+(997+998i -999-1000i)=250(-2-2i)=-500-500i法2：设 S ＝1+2i+32i +…+1000999i ，则iS ＝i+22i +33i +…+999999i+10001000i，∴(1-i)S ＝1+i+2i +…+999i-10001000i【说明】 充分利用i 的幂的周期性进行组合，注意利用等比数列求和的方法． 例5 （2004上海市普通高校春季高考数学试卷18） 已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程05222=-+-p z z 有无实根，并给出证明. 【解】由0212<++x x ，解得212-<<-x ，212-<<-∴p . 方程05222=-+-p z z 的判别式)4(42-=∆p . 212-<<-p ，4241<<∴p ，0<∆，由此得方程05222=-+-p z z 无实根.课后训练1、下列说法正确的是 ( )A ．0i 是纯虚数B ．原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点C ．实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数D ．2i 是虚数 2、下列命题中，假命题是 ( )A ．两个复数不可以比较大小B ．两个实数可以比较大小C ．两个虚数不可以比较大小D ．一虚数和一实数不可以比较大小3、复数1+i+2i +…+10i 等于 ( )A ．iB ．-IC ．2iD ．-2i 4、下列命题中: (1) 两个复数不能比较大小;(2) 若z=a+bi, 则当且仅当a ＝0且b ≠0时,z 为纯虚数; (3) (z 1-z 2)2+(z 2-z 3)2=0 则z 1=z 2=z 3; (4)x+yi=1+i 1==⇔y x。
高中数学教案：复数的有关概念
高中数学教案：复数的有关概念主题：复数的有关概念年级：高一课时：1课时（45分钟）教学目标：1. 了解复数的定义和形式。
2. 理解复数的实部和虚部的概念。
3. 学会将复数表示为复平面上的点。
4. 掌握复数的加减乘除运算规则。
教学重点：1. 理解复数的定义和形式。
2. 掌握复数的加减乘除运算规则。
教学难点：1. 理解复数的实部和虚部的概念。
2. 学会将复数表示为复平面上的点。
教具准备：1. 复数练习题。
教学过程：Step 1: 引入复数的概念（5分钟）- 引导学生思考负数的概念，并让他们发现负数无法用实数表示。
- 引导学生思考是否存在一种数可以表示负数，进而引出复数的概念。
Step 2: 复数的定义和形式（10分钟）- 介绍复数的定义：一个复数由实部和虚部组成，形式为a + bi，其中a是实部，b是虚部，并且i表示虚数单位。
- 解释实部和虚部的概念，并举例说明。
Step 3: 复数在复平面上的表示（10分钟）- 引导学生将复数表示为复平面上的点，其中实部对应横轴，虚部对应纵轴。
- 给学生练习题，让他们绘制复数在复平面上的点。
Step 4: 复数的加减乘除运算规则（15分钟）- 解释复数的加减乘除运算规则，并给出例题进行讲解。
- 给学生练习题，让他们运用运算规则计算复数的加减乘除。
Step 5: 总结与提问（5分钟）- 总结本课的重点内容。
- 随堂检查学生对于复数概念和运算规则的理解情况。
教学延伸：- 给学生更多练习题，巩固复数的加减乘除运算规则的应用。
- 引导学生思考复数的应用领域，如电路分析、信号处理等。
教学反思：本节课旨在介绍复数的概念和基本应用。
通过引导学生思考负数无法用实数表示，进而引入复数的概念，帮助学生理解复数的定义和形式。
通过将复数表示为复平面上的点的方式，帮助学生直观地理解复数的实部和虚部。
通过讲解复数的加减乘除运算规则和练习题的解答，帮助学生掌握复数运算，并将知识应用于实际问题中。
《复数的运算复数的加法与减法》教案新人教选修
《复数的运算——复数的加法与减法》一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解复数的加法与减法运算的定义及性质；（2）掌握复数加法与减法的运算方法；（3）能够运用复数的加法与减法解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例分析，引导学生掌握复数的加法与减法运算；（2）利用图形展示复数加法与减法运算的结果，加深学生对运算规律的理解；（3）培养学生运用复数解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣，提高学生对复数知识的认识；（2）培养学生合作交流的能力，培养学生的团队精神；（3）通过复数运算的学习，使学生感受到数学在生活中的应用，提高学生运用数学解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）复数的加法与减法运算的定义及性质；（2）复数加法与减法的运算方法。
2. 教学难点：（1）复数加法与减法运算的推广；（2）复数加法与减法在实际问题中的应用。
三、教学过程1. 导入新课：（1）复习复数的基础知识，如复数的定义、表示方法等；（2）提问：复数能否进行加法与减法运算？引出本节课的主题。
2. 知识讲解：（1）讲解复数的加法与减法运算的定义及性质；（2）示范性讲解复数加法与减法的运算方法，并通过实例进行分析；（3）利用图形展示复数加法与减法运算的结果，加深学生对运算规律的理解。
3. 课堂练习：（1）布置一些简单的复数加法与减法运算题目，让学生独立完成；（2）选取部分学生的作业进行点评，讲解正确答案的思路和方法。
四、课后作业1. 复习本节课的内容，巩固复数的加法与减法运算方法；2. 完成课后练习题，提高运用复数解决实际问题的能力。
五、教学反思2. 对学生在课堂上的表现进行评价，分析学生的学习情况；3. 根据教学反思，调整教学策略，为下一节课的教学做好准备。
六、教学活动1. 小组讨论：让学生分组讨论复数加法与减法在实际问题中的应用，每组选取一个实例进行讲解。
2. 案例分析：选取一些生活中的实际问题，让学生运用复数加法与减法进行解答。
高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案
高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案一、教学目标1. 让学生了解数系的扩充过程，理解实数和复数的概念。
2. 培养学生运用数系知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学美的感受，培养学生的创新意识。
二、教学内容1. 数系的扩充过程：有理数、实数、复数。
2. 实数和复数的概念及其性质。
3. 复数的几何意义。
三、教学重点与难点1. 教学重点：数系的扩充过程，实数和复数的概念及其性质。
2. 教学难点：复数的几何意义，复数方程的求解。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究数系的扩充过程。
2. 运用实例讲解法，让学生理解实数和复数的概念。
3. 利用数形结合法，揭示复数的几何意义。
五、教学过程1. 导入新课：通过复习实数的概念，引出数系的扩充过程。
2. 讲解数系的扩充过程：有理数、实数、复数。
3. 讲解实数和复数的概念：实数的定义、性质；复数的定义、性质。
4. 讲解复数的几何意义：复平面、复数的几何表示。
5. 巩固练习：解决一些与实数和复数有关的实际问题。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点。
7. 布置作业：布置一些有关实数和复数的练习题，巩固所学知识。
六、教学拓展1. 介绍复数在工程、物理等领域的应用，如电路分析中的复数表示法。
2. 引导学生探究复数的运算规则，如复数的乘法、除法、乘方等。
七、案例分析1. 分析实际问题，如利用复数解决几何问题、信号处理问题等。
2. 引导学生运用复数知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
八、课堂互动1. 组织学生进行小组讨论，探讨复数的几何意义。
2. 开展课堂提问，检查学生对实数和复数概念的理解。
3. 引导学生进行互动交流，分享学习心得和解决问题的方法。
九、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，巩固所学知识。
3. 课后反馈：收集学生对课堂内容的反馈，了解学生的学习效果。
十、教学反思1. 反思教学内容：检查教学内容是否全面、深入，是否符合学生的实际需求。
高中数学教案《复数的概念》
复数的概念教学目标：1．理解复数的有关概念以及符号表示；2．掌握复数的代数形式和几何表示法，理解复平面、实轴、虚轴等概念的意义掌握复数集C 与复平面内所有点成一一对应关系；3．理解共轭复数的概念，了解共轭复数的几个简单性质．教学重点：复数的有关概念,复数的表示和共轭复数的概念；教学难点：复数概念的理解,复数与复平面上点一一对应关系的理解．教学过程一、引入我们知道，对于实系数一元二次方程 ，当 时，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？二、授课1．引入数i我们引入一个新数i ，i 叫做虚数单位，并规定： （1）i 2= -1 ；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立． 根据前面规定，－1可以开平方，而且有－1的平方根是．2．复数的概念根据虚数单位i 的第（2）条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成a +bi .形如 的数，我们把它们叫做复数． 复数的代数形式、复数、虚数、纯虚数、实部、虚部.全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示，显然有： N* N Z Q R C ．数的分类复数⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧虚数（特例：纯虚数）无理数分数整数有理数实数 3.相等复数如果两个复数的实部和虚部分别相等，我们就说这两个复数相等.即：a,b,c,d ∈R, 则a+bi=c+di ⇔a=c 且b=d注意：两个复数中若有一个是虚数，则它们不能比较大小.4．复数的几何表示法任何一个复数都可以由一个有序实数对(a,b) 唯一确定．而有序实数对(a,b) 与平面直角坐标系中的点是一一对应的．由此，可以建立复数集与平面直角坐标系中的点集之间的一一对应．复平面、实轴、虚轴等概念，并结合实例对这些概念进行一一说明．由此可知，复数集C和复平面内所有的点所组成的集会是—一对应的，即这就是复数的几何意义．这时提醒学生注意复数中的字母z用小写字母表示，点Z(a,b) 中的Z 用大写字母表示．复数的向量表示.5．共轭复数（1）当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不为0的两个共轭复数也叫做互为共轭虚数．（2）复数z的共轭复数用表示，即如果，那么．三、例题例1实数分别取什么值时，复数226(215)3a az a a ia--=+--+是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数。
新人教版高中数学必修二复数全套教案
复数的概念【第一课时】【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．复数是如何定义的？其表示方法又是什么？2．复数分为哪两大类？3．复数相等的条件是什么？二、新知探究探究点1：复数的概念下列命题：①若a∈R，则（a＋1）i是纯虚数；②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；③若（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x＝±2；④实数集是复数集的真子集．其中正确的命题是（）A．①B．②C．③D．④解析：对于复数a＋b i（a，b∈R），当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则（a＋1）i不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D．答案：D判断与复数有关的命题是否正确的方法（1）举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．（2）化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a ＋b i 的形式，更要注意这里a ，b 均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．提醒：解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i 的性质． 探究点2： 复数的分类当实数m 为何值时，复数z ＝m2＋m －6m＋（m 2－2m ）i ：（1）为实数？（2）为虚数？（3）为纯虚数？解：（1）当⎩⎨⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数．（2）当m 2－2m ≠0且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．（3）当⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．解决复数分类问题的方法与步骤（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a ＋b i （a ，b ∈R ）的形式，以确定实部和虚部．（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可．（3）下结论：设所给复数为z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）， ①z 为实数⇔b ＝0； ②z 为虚数⇔b ≠0；③z 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0． 探究点3： 复数相等（1）（2019·浙江杭州期末考试）若z 1＝－3－4i ，z 2＝（n 2－3m －1）＋（n 2－m －6）i （m ，n ∈R ），且z 1＝z 2，则m ＋n ＝（ ）A ．4或0B ．－4或0C ．2或0D ．－2或0（2）若log 2（x 2－3x －2）＋ilog 2（x 2＋2x ＋1）>1，则实数x 的值是________． 解析：（1）由z 1＝z 2，得n 2－3m －1＝－3且n 2－m －6＝－4，解得m ＝2，n ＝±2，所以m ＋n ＝4或0，故选A ．（2）因为log 2（x 2－3x －2）＋ilog 2（x 2＋2x ＋1）>1，所以⎩⎨⎧log 2（x 2－3x －2）>1，log 2（x 2＋2x ＋1）＝0，即⎩⎨⎧x 2－3x －2>2，x 2＋2x ＋1＝1，解得x ＝－2． 【答案：（1）A （2）－2复数相等的充要条件复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．注意：在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d ．若忽略前提条件，则结论不能成立． 三、课堂总结1．复数的有关概念 （1）复数的定义形如a ＋b i （a ，b ∈R ）的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1． （2）复数集全体复数所构成的集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }叫做复数集． （3）复数的表示方法复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部．2．复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i （a ，b ，c ，d ∈R ），我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等当且仅当a ＝c 且b ＝d ．3．复数的分类（1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）⎩⎨⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎨⎧纯虚数a ＝0，非纯虚数a ≠0Ｗ.（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系■名师点拨复数b i （b ∈R ）不一定是纯虚数，只有当b ≠0时，复数b i （b ∈R ）才是纯虚数． 四、课堂检测1．若复数z ＝a i 2－b i （a ，b ∈R ）是纯虚数，则一定有（ ） A ．b ＝0 B ．a ＝0且b ≠0 C ．a ＝0或b ＝0D ．ab ≠0解析：选B ．z ＝a i 2－b i ＝－a －b i ，由纯虚数的定义可得a ＝0且b ≠0． 2．若复数z ＝m 2－1＋（m 2－m －2）i 为实数，则实数m 的值为（ ） A ．－1 B ．2 C ．1D ．－1或2解析：选D ．因为复数z ＝m 2－1＋（m 2－m －2）i 为实数， 所以m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2．3．若复数z ＝（m ＋1）＋（m 2－9）i ＜0，则实数m 的值等于____________．解析：因为z ＜0，所以⎩⎨⎧m 2－9＝0，m ＋1＜0，解得m ＝－3．答案：－34．已知x 2－x －6x ＋1＝（x 2－2x －3）i （x ∈R ），则x ＝________．解析：因为x ∈R ，所以x 2－x －6x ＋1∈R ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，x ＋1≠0，解得x ＝3． 答案：3【第二课时】【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题： 1．复平面是如何定义的？2．复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？ 3．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数是什么？ 二、新知探究探究点1：复数与复平面内的点已知复数z ＝（a 2－1）＋（2a －1）i ，其中a ∈R ．当复数z 在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a 的值（或取值范围）．（1）在实轴上； （2）在第三象限．解：（1）若z 对应的点在实轴上，则有2a －1＝0，解得a ＝12．（2）若z 对应的点在第三象限，则有 ⎩⎨⎧a 2－1<0，2a －1<0，解得－1<a <12． 故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12． 互动探究：变条件：本例中复数z 不变，若点Z 在抛物线y 2＝4x 上，求a 的值．解：若z 对应的点（a 2－1，2a －1）在抛物线y 2＝4x 上，则有（2a －1）2＝4（a 2－1），即4a 2－4a ＋1＝4a 2－4，解得a ＝54．利用复数与点的对应解题的步骤（1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）可以用复平面内的点Z（a ，b ）来表示，是解决此类问题的根据．（2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解．探究点2：复数与复平面内的向量在复平面内，复数i ，1，4＋2i 对应的点分别是A ，B ，C ．求平行四边形ABCD 的顶点D 所对应的复数．解：法一：由复数的几何意义得A （0，1），B （1，0），C （4，2），则AC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，由平行四边形的性质知该点也是BD 的中点，设D （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＝2，y ＋02＝32，所以⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3，即点D的坐标为（3，3），所以点D 对应的复数为3＋3i ．法二：由已知得OA →＝（0，1），OB →＝（1，0），OC →＝（4，2），所以BA →＝（－1，1），BC →＝（3，2），所以BD →＝BA →＋BC →＝（2，3），所以OD →＝OB →＋BD →＝（3，3）， 即点D 对应的复数为3＋3i ．复数与平面向量的对应关系（1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．（2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．探究点3： 复数的模（1）设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i 且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是（ ） A ．－1<a <1 B ．a <－1或a >1 C ．a >1D ．a >0（2）（2019·贵州遵义贵龙中学期中测试）已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 在复平面内对应点的集合是（ ）A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆解析：（1）由题意得a 2＋22<（－2）2＋12，即a 2＋4<5（a ∈R ），所以－1<a <1． （2）由题意知（|z |－3）（|z |＋1）＝0， 即|z |＝3或|z |＝－1， 因为|z |≥0，所以|z |＝3，所以复数z 在复平面内对应点的集合是1个圆． 答案：（1）A （2）A求解复数的模的思路解决复数的模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数的模的定义求解． 三、课堂总结1．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的两种几何意义（1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应复平面内的点Z （a ，b ）．（2）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ） ←――→一一对应平面向量OZ →．3．复数的模复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模或绝对值，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|4．共轭复数（1）一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．（2）虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． （3）复数z 的共轭复数用z －表示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z －＝a －b i ． ■名师点拨复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点为（a ，b ），复数z －＝a －b i 在复平面内对应的点为（a ，－b ），所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x 轴对称． 四、课堂检测1．已知z ＝（m ＋3）＋（m －1）i （m ∈R ）在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（－3，1）B ．（－1，3）C ．（1，＋∞）D ．（－∞，－3）解析：选A ．由题意得⎩⎨⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1．2．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1－2i ，若点A 关于实轴的对称点为B ，则向量OB→对应的复数为（ ） A ．－2－i B ．2＋i C ．1＋2iD ．－1＋2i解析：选D ．由题意可知，点A 的坐标为（－1，－2），则点B 的坐标为（－1，2），故向量OB→对应的复数为－1＋2i ． 3．已知0＜a ＜2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是____________． 解析：依题意，可知z ＝a ＋i （a ∈R ），则|z |2＝a 2＋1．因为0＜a ＜2，所以a 2＋1∈（1，5），即|z |∈（1，5）．答案：（1，5）4．若复数z 1＝2＋b i 与复数z 2＝a －4i 互为共轭复数，则a ＝________，b ＝________． 解析：因为z 1与z 2互为共轭复数， 所以a ＝2，b ＝4． 答案：2 4复数的三角表示【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．复数z ＝a ＋b i 的三角形式是什么？ 2．复数的辐角、辐角的主值是什么？ 3．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？ 4．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？ 二、基础知识1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值一般地，任何一个复数z ＝a ＋b i 都可以表示成r (cos θ＋isin θ)的形式，其中，r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ→所在射线(射线OZ →)为终边的角，叫做复数z ＝a＋b i 的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z .r (cos θ＋isin θ)叫做复数z ＝a ＋b i 的三角表示式，简称三角形式．a ＋b i 叫做复数的代数表示式，简称代数形式．■名师点拨（1）任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍． （2）复数0的辐角是任意的．（3）在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z ，且0≤arg z ＜2π. （4）两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． 2．复数三角形式的乘、除运算若复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，且z 1≠z 2，则 （1）z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2) ＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． （2）z 1z 2＝r 1（cos θ1＋isin θ1）r 2（cos θ2＋isin θ2）＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 三、合作探究1．复数的代数形式与三角形式的互化 角度一 代数形式化为三角形式把下列复数的代数形式化成三角形式：（1）3＋i ； （2）2－2i.【解】（1）r ＝3＋1＝2，因为3＋i 对应的点在第一象限， 所以cos θ＝32，即θ＝π6，所以3＋i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6.（2）r ＝2＋2＝2，cos θ＝22， 又因为2－2i 对应的点位于第四象限， 所以θ＝7π4.所以2－2i ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos 7π4＋isin7π4.复数的代数形式化三角形式的步骤 （1）先求复数的模． （2）决定辐角所在的象限． （3）根据象限求出辐角． （4）求出复数的三角形式．[提醒]一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．角度二 三角形式化为代数形式分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．（1）4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6；（2）32(cos 60°＋isin 60°)；（3）2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3－isin π3.【解】（1）复数4⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6的模r ＝4，辐角的主值为θ＝π6.4⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝4cos π6＋4isin π6＝4×32＋4×12i＝23＋2i.（2）32(cos 60°＋isin 60°)的模r ＝32，辐角的主值为θ＝60°. 32(cos 60°＋isin 60°)＝32×12＋32×32i ＝34＋34i.（3）2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3－isin π3＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π. 所以复数的模r ＝2，辐角的主值为53π.2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π＝2cos 53π＋2isin 53π ＝2×12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32i＝1－3i.复数的三角形式z ＝r (cos θ＋isin θ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i 跟sin ”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例（3）．2．复数三角形式的乘、除运算计算：（1）8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 43π＋isin 43π×4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 56π＋isin 56π；（2）3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]； （3）4÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4.【解】（1）8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 43π＋isin 43π×4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 56π＋isin 56π＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋56π＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋56π＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 136π＋isin 136π＝32⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i＝163＋16i.（2）3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)] ＝32[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)] ＝62(cos 75°＋isin 75°) ＝62⎝ ⎛⎭⎪⎫6－24＋6＋24i ＝6－238＋6＋238i ＝3－34＋3＋34i.（3）4÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4＝4(cos 0＋isin 0)÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 ＝22－22i.（1）乘法法则：模相乘，辐角相加． （2）除法法则：模相除，辐角相减．（3）复数的n 次幂，等于模的n 次幂，辐角的n 倍． 3．复数三角形式乘、除运算的几何意义在复平面内，把复数3－3i 对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转π3，求所得向量对应的复数．【解】因为3－3i ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12i＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π所以23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π×⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋π3＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 136π＋isin 136π＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝3＋3i ，23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π×⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π－π3＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32π＋isin 32π＝－23i.故把复数3－3i 对应的向量按逆时针旋转π3得到的复数为3＋3i ，按顺时针旋转π3得到的复数为－23i.两个复数z 1，z 2相乘时，先分别画出与z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→，然后把向量OZ 1→绕点O 按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ 1→绕点O 按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量OZ →，OZ →表示的复数就是积z 1z 2． 四、课堂检测1．复数1－3i 的辐角的主值是( ) A ．53π B ．23π C ．56πD ．π3解析：选A ．因为1－3i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π，所以1－3i 辐角的主值为53π.2．复数9(cos π＋isin π)的模是________． 答案：93．arg(－2i)＝________．答案：32π 4．计算：（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)；（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 34π＋isin 34π. 解：（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°) ＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°) ＝cos 90°＋isin 90° ＝i.（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 34π＋isin 34π＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 34π＋isin 34π ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π－34π＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π－34π＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 1112π＋isin 1112π＝－1＋32＋3－12i.复数的四则运算【第一课时】【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？ 2．复数的加、减法的几何意义是什么？二、新知探究探究点1：复数的加、减法运算（1）计算：（5－6i ）＋（－2－i ）－（3＋4i ）；（2）设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i （x ，y ∈R ），且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2． 解：（1）原式＝（5－2－3）＋（－6－1－4）i ＝－11i ． （2）因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ，所以（3＋x ）＋（2－y ）i ＝5－6i ， 所以⎩⎨⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以⎩⎨⎧x ＝2，y ＝8，所以z 1－z 2＝（2＋2i ）－（3－8i ）＝（2－3）＋[2－（－8）]i＝－1＋10i ．解决复数加、减运算的思路两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）．探究点2：复数加、减法的几何意义已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0，3＋2i ，－2＋4i ．（1）求AO→表示的复数； （2）求CA→表示的复数．解：（1）因为AO→＝－OA →，所以AO →表示的复数为－（3＋2i ），即－3－2i ． （2）因为CA→＝OA →－OC →， 所以CA →表示的复数为（3＋2i ）－（－2＋4i ）＝5－2i ． 互动探究：1．变问法：若本例条件不变，试求点B 所对应的复数．解：因为OB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为（3＋2i ）＋（－2＋4i ）＝1＋6i ．所以点B所对应的复数为1＋6i ．2．变问法：若本例条件不变，求对角线AC ，BO 的交点M 对应的复数．解：由题意知，点M 为OB 的中点，则OM →＝12OB →，由互动探究1中知点B 的坐标为（1，6），得点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，所以点M 对应的复数为12＋3i ．复数加、减法几何意义的应用技巧（1）复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算．（2）复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． 三、课堂总结1．复数加、减法的运算法则及加法运算律 （1）加、减法的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i （a ，b ，c ，d ∈R ）是任意两个复数，则z 1＋z 2＝（a ＋c ）＋（b ＋d ）i ，z 1－z 2＝（a －c ）＋（b －d ）i ．（2）加法运算律 对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1．②结合律：（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）． 2．复数加、减法的几何意义如图所示，设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i （a ，b ，c ，d ∈R ）对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OZ →，与z 1－z 2对应的向量是Z 2Z 1→．四、课堂检测1．（6－3i ）－（3i ＋1）＋（2－2i ）的结果为（ ） A ．5－3i B ．3＋5i C ．7－8iD ．7－2i解析：选C ．（6－3i ）－（3i ＋1）＋（2－2i ）＝（6－1＋2）＋（－3－3－2）i ＝7－8i ．2．已知复数z 1＝（a 2－2）－3a i ，z 2＝a ＋（a 2＋2）i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a 的值为____________．解析：由z 1＋z 2＝a 2－2＋a ＋（a 2－3a ＋2）i 是纯虚数，得⎩⎨⎧a 2－2＋a ＝0，a 2－3a ＋2≠0⇒a ＝－2．答案：－23．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝－1＋2i ． （1）求z 1－z 2；（2）在复平面内作出复数z 1－z 2所对应的向量．解：（1）由复数减法的运算法则得z 1－z 2＝（－2＋i ）－（－1＋2i ）＝－1－i ．（2）在复平面内作复数z 1－z 2所对应的向量，如图中OZ→．【第二课时】【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．复数的乘法和除法运算法则各是什么？ 2．复数乘法的运算律有哪些？ 3．如何在复数范围内求方程的解？ 二、新知探究探究点1： 复数的乘法运算（1）（1－i ）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i （1＋i ）＝（ ）A ．1＋3iB ．－1＋3iC ．3＋iD ．－3＋i（2）已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则（a ＋b i ）2＝（ ）A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i（3）把复数z 的共轭复数记作z －，已知（1＋2i ） z －＝4＋3i ，求z ．解：（1）选B ．（1－i ）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i （1＋i ）＝（1－i ）（1＋i ）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝（1－i 2）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i ． （2）选D ．因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数， 所以a ＝2，b ＝1，所以（a ＋b i ）2＝（2＋i ）2＝3＋4i ． （3）设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），则z －＝a －b i ，由已知得，（1＋2i ）（a －b i ）＝（a ＋2b ）＋（2a －b ）i ＝4＋3i ，由复数相等的条件知，{a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i ．复数乘法运算法则的应用复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i 2换成－1，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如（a ＋b i ）2＝a 2＋2ab i ＋b 2i 2＝a 2－b 2＋2ab i ，（a ＋b i ）3＝a 3＋3a 2b i ＋3ab 2i 2＋b 3i 3＝a 3－3ab 2＋（3a 2b －b 3）i ．探究点2： 复数的除法运算计算：（1）（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i；（2）（1－4i ）（1＋i ）＋2＋4i 3＋4i．解：（1）（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i2＋i＝i （2－i ）5＝15＋25i ．（2）（1－4i ）（1＋i ）＋2＋4i 3＋4i ＝5－3i ＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i 3＋4i＝（7＋i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝21－28i ＋3i ＋425＝25－25i 25＝1－i ．复数除法运算法则的应用复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．探究点3： i 的运算性质（1）复数z ＝1－i1＋i，则ω＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i（2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019等于________． 解析：（1）z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1． （2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）2 019＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 22 019＝i 2 019＝（i 4）504·i 3＝1504·（－i ）＝－i ．答案：（1）B （2）－i（1）i 的周期性要记熟，即i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0（n ∈N *）． （2）记住以下结果，可提高运算速度． ①（1＋i ）2＝2i ，（1－i ）2＝－2i ．②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ． ③1i ＝－i ． 探究点4：在复数范围内解方程在复数范围内解下列方程． （1）x 2＋5＝0；（2）x 2＋4x ＋6＝0．解：（1）因为x 2＋5＝0，所以x 2＝－5， 又因为（5i ）2＝（－5i ）2＝－5， 所以x ＝±5i ，所以方程x 2＋5＝0的根为±5i ． （2）法一：因为x 2＋4x ＋6＝0， 所以（x ＋2）2＝－2，因为（2i ）2＝（－2i ）2＝－2， 所以x ＋2＝2i 或x ＋2＝－2i ， 即x ＝－2＋2i 或x ＝－2－2i ，所以方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝－2±2i ． 法二：由x 2＋4x ＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0， 所以方程x 2＋4x ＋6＝0无实数根．在复数范围内，设方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝a ＋b i （a ，b ∈R 且b ≠0）， 则（a ＋b i ）2＋4（a ＋b i ）＋6＝0， 所以a 2＋2ab i －b 2＋4a ＋4b i ＋6＝0，整理得（a 2－b 2＋4a ＋6）＋（2ab ＋4b ）i ＝0，所以⎩⎨⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2ab ＋4b ＝0，又因为b ≠0，所以⎩⎨⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2a ＋4＝0，解得a ＝－2，b ＝±2． 所以x ＝－2±2i ，即方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝－2±2i ．在复数范围内，实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的求解方法 （1）求根公式法①当Δ≥0时，x ＝－b ±b 2－4ac2a．②当Δ<0时，x ＝－b ±－（b 2－4ac ）i2a ．（2）利用复数相等的定义求解设方程的根为x＝m＋n i（m，n∈R），将此代入方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解．三、课堂总结1．复数乘法的运算法则和运算律（1）复数乘法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i（a，b，c，d∈R），则z1·z2＝（a＋b i）（c＋d i）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i．（2）复数乘法的运算律2．复数除法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i（c＋d i≠0）（a，b，c，d∈R），则z1z2＝a＋b ic＋d i＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i（c＋d i≠0）．■名师点拨对复数除法的两点说明（1）实数化：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．（2）代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．四、课堂检测1．若复数（1＋b i）（2＋i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b＝（）A．－2B．－1 2C．12D．2解析：选D．因为（1＋b i）（2＋i）＝2－b＋（2b＋1）i是纯虚数，所以b＝2．2．已知i为虚数单位，则复数i2－i的模等于（）A．5B．3C．33D．55解析：选D．因为i2－i＝i（2＋i）（2－i）（2＋i）＝i（2＋i）5＝－15＋25i，所以|i2－i |＝|－15＋25i|＝（－15）2＋（25）2＝55，故选D．3．计算：（1）2＋2i（1－i）2＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i2 018；（2）（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）．解：（1）2＋2i（1－i）2＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i2 018＝2＋2i－2i＋⎝⎛⎭⎪⎫22i1 009＝i（1＋i）＋⎝⎛⎭⎪⎫1i1 009＝－1＋i＋（－i）1 009＝－1＋i－i＝－1．（2）原式＝（4－i）（6－2i）＋（7－i）（4－3i）＝22－14i＋25－25i＝47－39i．。
高中数学复数这节的教案
高中数学复数这节的教案【知识目标】1. 理解复数的概念和性质；2. 能够运用复数进行运算；3. 能够将复数表示为平面直角坐标系中的点；4. 能够在平面直角坐标系中表示复数运算结果。
【能力目标】1. 提高学生发散思维和抽象思维能力；2. 培养学生解决实际问题的能力；3. 提高学生数学表达能力和解决问题的方法。
【情感目标】1. 让学生认识到数学的美和奇妙之处；2. 培养学生艰苦钻研的品质和敢于探索未知的勇气；3. 注重培养学生的合作精神和团队合作能力。
【教学重点】1. 复数的基本概念；2. 复数的表示和运算；3. 复数平面坐标系中的应用。
【教学难点】1. 复数的概念和性质理解；2. 复数平面坐标系的应用和解决实际问题。
【教学过程】一、复数的引入（15分钟）1. 通过实例引入复数的概念，让学生感受到复数的奇妙之处。
二、复数的定义和性质（20分钟）1. 讲解复数的定义和性质，引导学生理解复数的加减乘除；2. 给学生一些简单的例题，让他们熟练掌握复数的运算规则。
三、复数的几何表示（20分钟）1. 阐述复数和平面直角坐标系的关系，引导学生将复数表示为平面直角坐标系中的点；2. 解释复数的几何表示和对应的几何运算规则。
四、综合运用（25分钟）1. 设计一些实际问题，让学生结合复数的概念和运算规则，解决问题；2. 引导学生探索更多复数的应用领域，培养他们解决实际问题的能力。
五、课堂总结（10分钟）1. 对本节课的重点知识进行回顾和总结；2. 引导学生发表自己的见解和思考。
【作业布置】1. 完成课堂练习题；2. 设计一个实际问题，并用复数解决；3. 阅读相关资料，扩大对复数的理解和应用领域。
【板书设计】1. 复数：a + bi；2. 复数运算规则；3. 复数的几何表示。
【教学反思】通过本节课的设计和实施，学生能够充分理解复数的概念和性质，掌握复数的基本运算规则，并能够在实际问题中灵活运用复数进行解决。
同时，通过课堂互动和合作学习，学生的主动性和创造性得到了有效发挥，教学效果得到了很好的提升。