南山区课改实验区中学考试重要试题及问题详解(数学)
深圳南山实验教育集团南海中学2023-2024学年七年级上学期期中数学试题及参考答案
2023-2024学年第一学期七年级期中考试数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1. 中老铁路是与中国铁路网直接连通的国际铁路，线路北起中国西南地区的昆明市，南向到达老挝首都万象市，是“一带一路”上最成功的样板工程．从长期看将会使老挝每年的总收入提升21%，若21%+表示提升21%，则10%−表示（ ）A. 提升10%B. 提升31%C. 下降10%D. 下降10%− 2. 据旅游研究院最新数据显示，今年中秋节国庆节假期，全国实现旅游收入210500000000元，将旅游收入210500000000元用科学记数法表示为（ ）．A. 112.10510×元B. 122.10510×元C. 102.10510×元D. 82.10510×元 3. 下列计算正确的是（ ）A. 2233x x −=B. 235325a a a +=C. ()2122x x −+−+＝D. 22440x y yx −+=4. 第19届亚运会将于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州举行，中国代表队自1982年新德里亚运会以来，连续蝉联金牌榜第一，中国已经成为亚洲体育第一强国．小明将“亚、洲、体、育、第、一”“一”字所在面相对的面上的汉字是（ ）A. 亚B. 洲C. 体D. 育5. 下列计算错误是（ ） A. 1393 −÷−=B. 531663 +−=C. ()382−−=D. ()235−−−= 6. 代数式1x ， 2x +y ， 13a 2b ， x y π−， 54y x ， 0.5 中整式的个数（ ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个7. 有理数a b c d 、、、在数轴上的对应点如图所示，这四个数中绝对值最小的是（ ）的A. aB. bC. cD. d8. 下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 39. 用一个平面去截一个正方体所得的截面的边数最多是（ ）A. 4B. 3C. 6D. 5 10. 为了求23202212222+++++ 的值，可令23202212222S =+++++ ，则23202322222S =++++ ，因此2023122S S −−=，所以23202220231222221+++++=− ，仿照以上推理计算出23202215555++++…+的值是（ ）A. 202251−B. 202351−C. 2022514−D. 2023514− 二．填空题（每题3分，共15分）11. 若12n x y −与3m x y 是同类项，则m n +=_____． 12. 已232a a +=，则多项式22610a a +−的值为______．13. 一个棱柱有16个顶点，所有侧棱长的和是64cm ，则每条侧棱长是_____．14. 若多项式21(4)32m x m x +−+是关于x 的四次三项式，则m 的值为___________． 15. 如所示图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第1个图形有6颗棋子，第2个图形一共有10颗棋子，第3个图形一共有16颗棋子，第4个图形一共有24颗棋子，…，则第7个图形中棋子的颗数为_______．三．解答题（共55分）16. 计算：（1）()()3789−+++−（2）()()51522366−−+−−− （3）666433363777×−−×−−×（4）()()322916245−×−+÷−−−×17 先化简，再求值：()()()22222345x y xy x xy x xy −−−−+++，其中=1x −，2y =． 18. 若a ，b 互为相反数（b 不为0），c 、d 互为倒数，m 绝对值为2，求2023a b a m cd b+−++的值． 19. 如图，请分别画出从正面、左面和上面观察该几何体看到的形状图．20. 在本次成都疫情工作中，一名货车司机积极响应政府号召驾驶货车沿一条公路东西方向送救援物资，早晨从A 地出发，晚上到达B ：（先列式，再作答）1236511945+−+−+−+−，，，，，，，．（1）请你帮忙确定第二次停留的位置相对于A 地的方位？（2）救灾过程中，货车离出发点A 最远处有多远路？（3）若货车每千米耗油1.6升，油箱容量为80升，求货车当天运送过程中至少还需补充多升油？ 21. 小王购买了一套一居室，他准备将房子的地面铺上地砖，地面结构如图所示，根据图中所给的数据（单位：米），解答下列问题：（1）用含m n ，的代数式表示地面的总面积；.的（2）已知n ＝1.5，且客厅面积是卫生间面积的8倍，如果铺1平方米地面的平均费用为200元，那么小王铺地砖的总费用为多少元？22. 如图，数轴上点A 、C 对应数分别为a 、c ，且a 、c 满足()2410a c ++−=．点B 对应的数为3−．（1）求a 、c 值；（2）点A ，B 沿数轴同时出发向右匀速运动，点A 速度为2个单位长度/秒，点B 速度为1个单位长度/秒，若运动时间为t 秒，运动过程中，当A ，B 两点到原点O 的距离相等时，求t 的值；（3）在（2）的条件下，若点B 运动到点C 处后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，点A 运动至点C 处后又以原速返回，到达自己的出发点后又折返向点 C 运动，当点B 停止运动时，点A 随之停止运动，在此运动过程中，A ，B 两点同时到达的点在数轴上表示的数是_______．的的南山实验教育集团南海中学2023-2024学年第一学期七年级期中考试数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1. 中老铁路是与中国铁路网直接连通的国际铁路，线路北起中国西南地区的昆明市，南向到达老挝首都万象市，是“一带一路”上最成功的样板工程．从长期看将会使老挝每年的总收入提升21%，若21%+表示提升21%，则10%−表示（ ）A. 提升10%B. 提升31%C. 下降10%D. 下降10%−【答案】C【解析】【分析】用正负数表示意义相反的两种量：一种记作正，则和它意义相反的就记作负，根据题意求解即可．【详解】解：若正数表示提升，则负数表示下降，21%+表示提升21%，则10%−表示下降10%， 故选：C ．【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．2. 据旅游研究院最新数据显示，今年中秋节国庆节假期，全国实现旅游收入210500000000元，将旅游收入210500000000 ）．A. 112.10510×元B. 122.10510×元C. 102.10510×元D. 82.10510×元 【答案】A【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为10n a ×，其中1||10a ≤＜，n 为整数，据此判断即可．【详解】11210500000000 2.10510×=．故选A ．【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中1||10a ≤＜，n 为整数．确定n 的值时，要看把原来的数，变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正数；当原数的绝对值1＜时，n 是负数，确定a 与n 的值是解题的关键．3. 下列计算正确的是（ ）A. 2233x x −=B. 235325a a a +=C. ()2122x x −+−+＝D. 22440x y yx −+=【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项，去括号法则分别判断即可．【详解】解：A 、22232x x x −=，故错误，不合题意；B 、2332a a +不是同类项，不能合并，故错误，不合题意；C 、()2122x x −+=−−，故错误，不合题意； D 、22440x y yx −+=，故正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是掌握去括号，合并同类项法则．4. 第19届亚运会将于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州举行，中国代表队自1982年新德里亚运会以来，连续蝉联金牌榜第一，中国已经成为亚洲体育第一强国．小明将“亚、洲、体、育、第、一”这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，现在原正方体中，与“一”字所在面相对的面上的汉字是（ ）A. 亚B. 洲C. 体D. 育【答案】C【解析】 【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z ”字两端是对面，即可解答．【详解】解：原正方体中，与“一”字所在面相对的面上的汉字是“体”，故选：C ．【点睛】本题考查了正方体相对面上文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．5. 下列计算错误的是（ ）的A. 1393 −÷−=B. 531663 +−=C. ()382−−=D. ()235−−−=【答案】D【解析】 【分析】根据有理数的除法．加减法．乘方．绝对值的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A ．()133393 −÷−=−×−=，则此项正确，不符合题意； B ．5353166663 +−=−= ，则此项正确，不符合题意； C ．()()3288−−=−−=，则此项正确，不符合题意；D ．()232311−−−=−+==，则此项错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的除法．加减法．乘方．绝对值，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键． 6. 代数式1x ， 2x +y ， 13a 2b ， x y π−， 54y x ， 0.5 中整式个数（ ) A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个 【答案】B【解析】式．多项式是若干个单项式的和，再逐一判断可得答案．【详解】解：整式有2x +y ，13a 2b ， x y π−，0.5共有4个； 故选：B ．【点睛】本题考查了整式．解题的关键是掌握整式的定义：单项式和多项式统称为整式，注意分母中含有字母的式子是分式不是整式．7. 有理数a b c d 、、、在数轴上的对应点如图所示，这四个数中绝对值最小的是（ ）A. aB. bC. cD. d 【答案】C【解析】【分析】数轴上的点到原点的距离就是该点表示的数的绝对值，先根据点在数轴上的位置确定其绝对值，的然后求出最小的即可． 【详解】解：由数轴可得：34a <<，12<<b ，01c <<，3d =，故这四个数中，绝对值最小的是：c ．故选：C ．【点睛】本题考查了数轴和绝对值的知识，根据数轴确定对应位置点的绝对值是解题的关键．8. 下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根据有理数定义及其分类解答即可．【详解】没有最小的整数，故①错误；有理数包括正数、0、负数，故②错误；非负数就是正数和0，故③正确；整数和分数统称有理数，故④正确；故选：C【点睛】本题侧重考查的是有理数，掌握有理数定义及其分类是解决此题的关键．9. ）A. 4B. 3C. 6D. 5 【答案】C【解析】【分析】正方体有六个面，被一个平面所截，平面最少与正方体的三个面相交得三角形，最多与正方体的六个面相交得六边形．【详解】如图所示，正方体被一个平面所截可得三角形、四边形、五边形和六边形，用一个平面去截一个正方体所得的截面的边数最多是6．故选：C ．【点睛】本题考查了正方体的结构以及空间想象能力，熟练掌握正方体的结构是解题的关键．10. 为了求23202212222+++++ 的值，可令23202212222S =+++++ ，则23202322222S =++++ ，因此2023122S S −−=，所以23202220231222221+++++=− ，仿照以上推理计算出23202215555++++…+的值是（ ）A. 202251−B. 202351−C. 2022514−D. 2023514− 【答案】D【解析】【分析】本题通过题干给出的方法，可以设23202215555M =++++…+，然后用5M M −，得到M 的解． 【详解】解：设 23202215555M =++++…+，2342023555555M =++++…+2342023232022555555(15555),M M −=++++…+−++++…+2023451M =−2023514M −= 故选：D ．点睛】本题考查有理数的混合运算，和基于题干给出的方法来进行类似的运算．二．填空题（每题3分，共15分）11. 若12n x y −与3m x y 是同类项，则m n +=_____． 【答案】4【解析】 【分析】由单项式12n x y −与3m x y 是同类项，可得31n m =、，即可求出m n +的值． 【详解】解：根据题意，得：31n m =、，134m n ∴+=+=，故答案为：4．【点睛】本题考查同类项的概念，掌握同类项指的是所含字母相同且相同字母的指数也相同，正确求得m ，n 的值是解题关键．【12. 已232a a +=，则多项式22610a a +−的值为______．【答案】-6【解析】分析】对原式添加括号变形，再整体代入条件即可．【详解】原式()2231022106a a =+−=×−=−， 故答案为：-6．【点睛】本题考查添括号法则，以及整式求值，熟练运用添括号法则以及整体思想是解题关键． 13. 一个棱柱有16个顶点，所有侧棱长的和是64cm ，则每条侧棱长是_____．【答案】8cm【解析】【分析】根据顶点个数可知该棱柱的名称，然后可求得侧棱的条数，从而可求得每条侧棱的长度．【详解】解：∵一个棱柱有16个顶点，∴该棱柱是八棱柱，∴它的每条侧棱长=64÷8=8cm ．故答案为8cm ．【点睛】本题考查了八棱柱的特征．熟记八棱柱的特征是解决此类问题的关键．14. 若多项式21(4)2m x m x +−+是关于x 的四次三项式，则m 的值为___________． 【答案】4−【解析】 【分析】根据四次三项式的定义得到4,40m m =−≠，计算即可． 【详解】解：由题意得4,40m m =−≠，∴4m =−，故答案为：4−．【点睛】此题考查了多项式的次数，项数的定义，利用多项式的定义求参数，正确掌握多项式的定义是解题的关键．15. 如所示图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第1个图形有6颗棋子，第2个图形一共有10颗棋子，第3个图形一共有16颗棋子，第4个图形一共有24颗棋子，…，则第7个图形中棋子的颗数为_______． 【【答案】60 【解析】【分析】设第n 个图形中有n a 个颗棋子（n 为正整数），观察图形，根据各图形中棋子个数的变化可得出变化规律24n a n n =++（n 为正整数），再代入7n =即可求出结论． 【详解】解：设第n 个图形中有n a 颗棋子（n 为正整数）， 观察图形，可知：12412,423,a a =+×=+×3434,a =+×…， ∴24(1)4n a n n n n =++=++（n 为正整数）， ∴2777460a =++=． 故答案为：60．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中棋子个数的变化找出变化规律24n a n n =++(n 为正整数)是解题的关键．三．解答题（共55分）16. 计算：（1）()()3789−+++− （2）()()51522366−−+−−−（3）666433363777×−−×−−×（4）()()322916245−×−+÷−−−× 【答案】（1）3 （2）7− （3）27− （4）14 【解析】【分析】（1）利用有理数的混合运算法则即可求解．（2）利用有理数的混合运算法则即可求解． （3）分别利用有理数的乘法分配律计算即可求解． （4）利用有理数的混合运算法则即可求解． 【小问1详解】 解：原式3159=−+− 129=−3=．【小问2详解】原式51522366=−−−−−+ 61=−− 7=−．【小问3详解】 原式6664(3)4333636777=×−−×+×+×−×−× 24183612918777=−+−−+−42217=−−27=−．【小问4详解】原式()()4916820=−×−+÷−−36220−−14=．【点睛】本题考查了有理数的混合运算及运算律，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 17. 先化简，再求值：()()()22222345x y xy x xy x xy −−−−+++，其中=1x −，2y =． 【答案】225x xy y −−；3 【解析】【分析】去括号，合并同类项，将x ，y 的值代入计算即可． 【详解】解：原式＝22222345x y xy x xy x xy −−+−++225x xy y −−，当=1x −，2y =时，原式＝()()2251122=×−−−×−524=+−3=．【点睛】本题主要考查了整式的加减与求值，正确利用去括号的法则运算是解题的关键． 18. 若a ，b 互为相反数（b 不为0），c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，求2023a b am cd b+−++的值． 【答案】0或4− 【解析】【分析】根据a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是为2，可以得到0a b +=，1cd =，2m =，从而可以得到所求式子的值．【详解】解：a ，b 互为相反数（b 不为0），c ，d 互为倒数，m 的绝对值为2， 0a b ∴+=，1cd =，2m =±，1ab=− 当2m =时，210102023a b am cd b +−++=−+−=， 当2m =−时，210142023a b am cd b+−++=−−+−=−， 2023a b am cd b+∴−++的的值为0或4−.【点睛】本题主要考查了相反数，倒数，绝对值，有理数的混合运算等知识点，熟悉相关性质是解答本题的关键．19. 如图，请分别画出从正面、左面和上面观察该几何体看到的形状图．【答案】见解析 【解析】【分析】根据三视图的定义结合图形可得． 【详解】解：如图所示：【点睛】本题考查作图—三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置．20. 在本次成都疫情工作中，一名货车司机积极响应政府号召驾驶货车沿一条公路东西方向送救援物资，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的行驶路程记录如下单位：千米）：（先列式，再作答），，，，，，，．1236511945+−+−+−+−（1）请你帮忙确定第二次停留的位置相对于A地的方位？（2）救灾过程中，货车离出发点A最远处有多远路？（3）若货车每千米耗油1.6升，油箱容量为80升，求货车当天运送过程中至少还需补充多升油？【答案】（1）第二次停留的位置在A地的东边（2）货车离出发点A最远处为21（3）货车当天运送过程中至少还需补充8升油【解析】【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；（2）求得每次停留位置距A地的绝对值后即可求得答案；（3）利用绝对值的实际意义列式计算即可；【小问1详解】−=（千米），1239即第二次停留的位置在A地的东边；【小问2详解】=（千米）；第一次停留的位置与A地的距离为1212−=（千米）；第二次停留的位置与A地的距离为1239−+=（千米）；第三次停留的位置与A地的距离为123615第四次停留的位置与A 地的距离为1236510−+−=（千米）； 第五次停留的位置与A 地的距离为123651121−+−+=（千米）； 第六次停留的位置与A 地的距离为1236511912−+−+−=（千米）； 第七次停留的位置与A 地的距离为12365119416−+−+−+=（千米）； 第八次停留的位置与A 地的距离为123651194511−+−+−+−=（千米）； 综上，货车离出发点A 最远处为21千米； 【小问3详解】()1236511945 1.680++−+++−+++−+++−×−(1236511945) 1.680=+++++++×−55 1.680=×− 8880=−8=（升）， 即货车当天运送过程中至少还需补充8升油．【点睛】本题考查正数和负数，绝对值及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键21. （单位：米），解答下列问题：（1）用含m n ，的代数式表示地面的总面积；（2）已知n ＝1.5，且客厅面积是卫生间面积的8倍，如果铺1平方米地面的平均费用为200元，那么小王铺地砖的总费用为多少元？【答案】（1）地面的总面积为6218m n ++；（2）小王铺地砖的总费用为9000元． 【解析】【分析】（1）根据总面积等于四个部分矩形的面积之和列式整理即可得解； （2）根据题意求出m 的值，把m ，n 的值代入计算即可．【详解】解：（1）地面的总面积263423(6218)n m m n =++×+×=++平方米； （2）当 1.5n =时，23n =， 根据题意，得68324m =×=，铺1平方米地砖的平均费用为200元，∴铺地砖的总费用为：200(6218)200(24318)90000m n ++=×++=（元)．答：铺地砖的总费用为90000元．【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是准确表示出各部分矩形的长和宽．22. 如图，数轴上点A 、C 对应的数分别为a 、c ，且a 、c 满足()2410a c ++−=．点B 对应的数为3−．（1）求a 、c 的值；（2）点A ，B 沿数轴同时出发向右匀速运动，点A 速度为2个单位长度/秒，点B 速度为1个单位长度/秒，若运动时间为t 秒，运动过程中，当A ，B 两点到原点O 的距离相等时，求t 的值；（3）在（2）的条件下，若点B 运动到点C 处后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，点A 运动至点C 处后又以原速返回，到达自己的出发点后又折返向点 C 运动，当点B 停止运动时，点A 随之停止运动，在此运动过程中，A ，B 两点同时到达的点在数轴上表示的数是_______． 【答案】（1）4a =−，1c = （2）1t =或73t =（3）2−或0或43− 【解析】【分析】（1）由题意得40a +=，10c −=，计算求解即可； （2）由（1）可知，数轴上点A 对应的数为4−，题意知，A 点到原点O 的距离为()042t −−+，B 点到原点O 的距离为()03t −−+，依题意得，()()04203t t −−+=−−+，整理得，423t t −=−，分当423t t −=−，当()423t t −=−−，计算求解即可； （3）分析A ，B 两点的运动过程，即A C A C O →→→→，B C B →→，用代数式表示出运动中的点的位置，然后根据点位置相同列方程，计算求解即可． 【小问1详解】解：∵()2410a c ++−=，∴40a +=，10c −=， 解得，4a =−，1c =， ∴4a =−，1c =； 【小问2详解】解：由（1）可知，数轴上点A 对应的数为4−，由题意知，A 点到原点O 的距离为()042t −−+，B 点到原点O 的距离为()03t −−+， 依题意得，()()04203t t −−+=−−+，整理得，423t t −=−， ∴当423t t −=−时，解得，1t =；当()423t t −=−−时，解得，73t =； ∴当1t =或73t =秒时，A ，B 两点到原点O 的距离相等； 【小问3详解】解：由（2）可知，当1t =时，第一次A ，B 两点同时到达点对应的数为4212−+×=−； 当()14 2.52t−−=时，A 点到达点C , B 点到达的点对应的数为3 2.510.5−+×=−； 由题意得，()()0.5 2.51 2.5t −+−=−−，解得3t =， ∴当3t =时，第二次A ，B 两点同时到达的点对应的数为330−+=； 当()1341t−−=时，B 点到达点C ,A 点到达的点对应的数为()124 2.52−×−=−； 当 2.525t =×=时，A 点第一次回到点A , B 点到达的点对应的数为()1540−−=； 由题意得，()()42505t t −+−=−−，解得，193t =， ∴当193t =时，第三次A ，B 两点同时到达的点对应的数为1940533−−=−； 综上所述，A ，B 两点同时到达的点对应的数为2−或0或43−， 故答案为：2−或0或43−． 【点睛】本题考查了数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，绝对值的非负性，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．的。
2024年广东省深圳市南山实验教育集团中考数学二模试卷(含解析)
2024年广东省深圳市南山实验教育集团中考数学二模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.−2的倒数是( )A. −2B. −12C. 12D. 22.下列计算正确的是( )A. a2⋅a3=a6B. a3+a3=a6C. a8÷a2=a6D. (−a2)3=a63.5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上.用科学记数法表示1300000是( )A. 13×105B. 1.3×105C. 1.3×106D. 1.3×1074.教练组对运动员正式比赛的前5次训练成绩进行分析，判断谁的成绩更加稳定，一般要考查这5次成绩的( )A. 平均数或中位数B. 众数或频率C. 方差或极差D. 频数或众数5.使代数式x2x−1有意义的x的取值范围是( )A. x≥0B. x≠12C. x≥0且x≠12D. 一切实数6.在下列命题中，正确的是( )A. 一组对边平行的四边形是平行四边形B. 有一个角是直角的四边形是矩形C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形7.在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P，Q，则PQ=( )A. 5−12B. 3−5 C. 5−2 D. 3−528.如图，已知钓鱼竿AC的长为6m，露在水面上的鱼线BC长为32m，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为34m，则BB′的长为( )A. 2mB. 22mC. 5mD. 23m9.如图1，质量为m的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧(已知自然状态下，弹簧的初始长度为10cm).从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中(不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变)，得到小球的速度v(cm/s)和弹簧被压缩的长度△l(cm)之间的关系图象如图2所示.根据图象，下列说法正确的是( )A. 小球从刚接触弹簧就开始减速B. 当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大C. 当小球的速度最大时，弹簧的长度为2cmD. 当小球下落至最低点时，弹簧的长度为4cm10.在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，CD=2，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时间为t s，正方形DPEF的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象.由图象可知线段AB的长为( )A. 7B. 6C. 5D. 4二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
2023-2024学年广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学九年级(下)开学数学试卷+答案解析
2023-2024学年广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学九年级（下）开学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示的是某用户微信支付情况，表示的意思是( )A. 发出100元红包B. 收入100元C. 余额100元D. 抢到100元红包2.九班选派4名学生参加演讲比赛，他们的成绩如下：选手A B C D平均成绩中位数成绩/分86■828885■则如表中被遮盖的两个数据从左到右依次是( )A. 84，86B. 84，85C. 82，86D. 82，873.如图是一个正方体的平面展开图，若正方体中相对的面上的数字或代数式的乘积都小于0，则整数x的值是( )A. 0B. 1C.D. 24.下列运算正确的是( )A. B.C. D.5.将一把直尺和一块含和角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果，那么的大小为( )A. B. C. D.6.中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志.如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线即圆弧，高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角为若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为( )A. B. C. D.7.如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为，将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形，其中点的坐标为( )A. B. C. D.8.下列哪一个是假命题( )A. 五边形外角和为B. 切线垂直于经过切点的半径C. 关于y轴的对称点为D. 抛物线对称轴为直线9.已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为( )A.B.C.D.10.发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图，图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，AB与BO表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与的交点；当点A运动到E时，点B到达C，当点A运动到F时，点B到达D；若，，则下列结论正确的是( )①；②；③当AB与相切时，；④当时，A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
初三数学南山区试卷答案
一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知实数a、b满足a + b = 5，a^2 + b^2 = 29，则a^3 + b^3的值为（）A. 70B. 80C. 90D. 100答案：A解析：由a + b = 5，得(a + b)^2 = 25，即a^2 + 2ab + b^2 = 25，又因为a^2 + b^2 = 29，所以2ab = -4，即ab = -2。
又因为a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)，代入a + b = 5，ab = -2，得a^3 + b^3 = 5(a^2 - ab + b^2) = 5(29 - (-2)) = 5 31 = 155。
2. 在直角坐标系中，点A（2，3），点B（-1，-4），则线段AB的中点坐标为（）A. (1.5，-0.5)B. (1，-1)C. (1.5，1)D. (2，2)答案：A解析：线段AB的中点坐标为两点坐标的平均值，即M((x1 + x2)/2, (y1 +y2)/2)，代入A、B点坐标得M((2 + (-1))/2, (3 + (-4))/2) = (1.5，-0.5)。
3. 若等差数列{an}的公差为d，首项为a1，第10项为45，则第20项an的值为（）A. 65B. 75C. 85D. 95答案：B解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，由题意知第10项an = a1 + 9d = 45，则第20项an = a1 + 19d = 45 + 10d。
由等差数列的性质，第20项an比第10项an多出10个公差，即10d = 45，解得d = 4.5，代入an = 45 + 10d得an = 45 + 10 4.5 = 75。
4. 若函数f(x) = x^2 - 2ax + a^2的图像开口向上，则a的取值范围为（）A. a < 0B. a > 0C. a ≥ 0D. a ≤ 0答案：B解析：函数f(x) = x^2 - 2ax + a^2是一个二次函数，其图像开口向上当且仅当二次项系数大于0，即1 > 0，所以a的取值范围为a > 0。
2024年广东省深圳市南山实验教育集团中考数学一模试卷及答案解析
2024年广东省深圳市南山实验教育集团中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（）A．B．C．D．2．（3分）下列运算结果中正确的是（）A．＝a B．（﹣2a2）3＝﹣6a6C．a2•a3＝a6D．a5÷a3+a2＝2a23．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣m的值等于（）A．1B．0C．﹣1D．24．（3分）估算的结果（）A．在6和7之间B．在7和8之间C．在8和9之间D．在9和10之间5．（3分）如图，AD∥BE∥CF，若AB＝2，BC＝3，EF＝6，则DF的长度是（）A．6B．8C．10D．126．（3分）尺规作图：如图（1），在△ABC中，∠C＝45°，AC＞AB，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．如图（2）是四名同学的作法，其中正确的有（）个．A．4B．3C．2D．17．（3分）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（）A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm8．（3分）若一次函数y＝x+k与反比例函数的图象没有公共点，则k的值可以是（）A．﹣4B．﹣2C．2D．49．（3分）我校“龙行数学”综合实践活动小组在下表中记录了二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）中两个变量x与y的5组对应值，其中x2＞x1＞﹣1，若当0＜x≤4时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（）x…﹣3﹣1x1x25…y…m0﹣20m…A．B．C．D．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上，点C在y轴上，AB＝AC，AC∥x轴，BD⊥AC于点D，若点A的横坐标为5，BD ＝3CD，则k值为（）A．3B．4C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）已知m，n满足，则的值为．12．（3分）如图，电路图上有三个开关S1，S2，S3，和两个小灯泡L1，L2，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L2发光的概率是．13．（3分）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板．我校“麒麟团”数学兴趣小组用边长为8的正方形，做了如图①所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图②所示的图形，则图②中阴影部分的面积为．14．（3分）将正方体的一种展开图，按如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则BC＝．15．（3分）在锐角△ABC中，AD，BE分别为△ABC的中线和角平分线，AD＝BE，且AD⊥BE，则＝．三、解答题（本大题共7小题，共55分）16．（6分）计算：．17．（6分）先化简，再求值：，其中x＝2024．18．（8分）开学初，为评估九年级学生的数学学情，并采取有针对性的教与学，以在中考取得佳绩，我校抽取了九下部分学生的适应性考试数学成绩作为样本分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）求样本中成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整；（3）若我校九年级共有1800人参加了这次考试，请你估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩达到优秀？19．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若直径AD＝10，cos B＝，求FD的长．20．（8分）“道路千万条，安全第一条”．公安交警部门提配市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售500个，3月份销售720个，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，并且尽可能让市民得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？21．（9分）综合与应用为促进中学生全面发展，培养良好体质，某班同学在“大课间”开展“集体跳绳”运动．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，若摇绳的两人之间间距为6米，摇绳时两人手离地面均为米；已知小丽身高1.575米，在距离摇绳者A的水平距离1.5米处，绳子刚好经过她的头顶．【阅读理解】（1）求图中抛物线的解析式；（不需要求自变量取值范围）【问题解决】（2）体育龙老师身高1.82米，请问他适合参加本次运动吗？说明理由；（3）若多人进入跳绳区齐跳，且大家身高均为1.7米，要求相邻两人之间间距至少为0.6米，试计算最多可供几人齐跳．22．（10分）综合与探究【问题背景】北师大版数学八年级下册P89第12题（以下图片框内）．11．如图（1），点D在等边三角形ABC的边BC上，将△ABD绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为点C．（1）在图（1）中画出旋转后的图形．（2）小明是这样做的：如图（2），过点C画BA的平行线l，△l上取CE＝BD，连接AE，则△ACE即为旋转后的图形，你能说说小明这样做的道理吗？12．如图，△ABC，△ADE均为顶角为42°的等腰三角形，BC，DE分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？【初步探究】（1）我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化．如图1，在△ABC 与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．求证：BD＝CE．【类比探究】（2）如图2，在边长为3的正方形ABCD中，点E，F分别是CD，BC上的点，且DE ＝1．连接AE，AF，EF，若∠EAF＝45°，请直接写出BF的长．【深入探究】（3）如图3，D、P是等边△ABC外两点，连接BD并取BD的中点M，∠APD=120°，∠MPC＝60°．试猜想PA与PD的数量关系，并证明你的结论．【拓展应用】（4）如图4，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，AD＝CD，，，请直接写出BC的长．2024年广东省深圳市南山实验教育集团中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．【分析】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看，可得如图：．故选：C．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从上面看到的视图是俯视图．2．【分析】A．利用二次根式的性质即可求出答案；B．利用幂的乘方与积的乘方运算法则即可得到答案；C．运用同底数幂的运算法则进行计算；D．先算除法再计算加法即可得到答案．【解答】解：A.＝|a|，故A选项不符合题意；B．（﹣2a2）3＝﹣8a6，故B选项不符合题意；C．a2•a3＝a5，故C选项不符合题意；D．a5÷a3+a2＝2a2，故D选项符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查二次根式的计算及幂的运算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的性质与化简及幂的运算法则．3．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m代入原方程即可求m2﹣m的值．【解答】解：把x＝m代入方程x2﹣x﹣1＝0可得：m2﹣m﹣1＝0，即m2﹣m＝1；故选：A．【点评】此题应注意把m2﹣m当成一个整体．利用了整体的思想．4．【分析】先根据二次根式乘除法的计算方法将原式化简后，再根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．【解答】解：原式＝×4＝4＝，∵＜＜，∴9＜＜10，即9＜×＜10，故选：D．【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握二次根式乘除法的计算方法以及算术平方根的定义是正确解答的关键．5．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，求出EF，进而求出DF．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝2，BC＝3，EF＝6，∴＝，解得：DE＝4，∴DF＝DE+EF＝4+6＝10，故选：C．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．6．【分析】①根据作图得不出BP⊥AC；②根据作图得出∠PBC＝∠C＝45°，即可得出结论；③根据作图得出PB＝PC，进而得出∠PBC＝∠C＝45°，即可得出结论；④根据作图得出AB的中点，再以AB为直径作圆，进而得出∠BPC＝90°，即可得出结论．【解答】解：①由作图不能得出BP⊥AC，故①作法不正确；②由作图得：∠PBC＝∠C＝45°，故②作法正确；③由作图知P在BC的垂直平分线上，∴BP＝CP，∴∠PBC＝∠C＝45°，故③作法正确；④由作图得：P在以AB为直径的圆上，∴∠APB＝∠C+∠PBC＝90°，∴∠PBC＝45°，故④作法正确；故选：B．【点评】本题考查了复杂作图，掌握几种基本作图是解题的关键．7．【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答．【解答】解：设蜡烛火焰的高度是x cm，由相似三角形的性质得到：＝．解得x＝4．即蜡烛火焰的高度是4cm．故选：B．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．8．【分析】两个函数图象没有交点，即两个图象的函数解析式组成的方程组无解．【解答】解：因为一次函数y＝x+k与反比例函数的图象没有公共点，所以方程无解，原方程可整理为x2+kx﹣k＝0，则k2﹣4×1×（﹣k）＜0，解得﹣4＜k＜0，所以四个选项中的选项符合题意．故选：B．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知函数图象的交点与方程组的解之间的关系是解题的关键．9．【分析】利用二次函数的图象的对称性求得抛物线的对称轴，利用待定系数法求得a，b 的值，再利用二次函数与直线的交点的特性解答即可．【解答】解：由表中信息可知：抛物线经过点（﹣3，m）和（5，m），∴抛物线的对称轴为直线x＝，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a．根据表中信息，抛物线经过点（﹣1，0），∴a﹣b﹣2＝0，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；∵yy＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣，∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣），抛物线的开口方向向上，抛物线经过（0，﹣2），（2，﹣2），∴当x＝1时，y由最小值﹣，当x＝0时，y＝﹣2，当x＝2时，y＝﹣2；当x＝4时，y＝，如图：∵当0＜x≤4时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，∴﹣＜k＜﹣2．故选：C．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，抛物线上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质和利用数形结合的方法解答是解题的关键．10．【分析】根据题意，作如图示辅助线，设B点坐标为（m，n），则BG＝CD＝OE＝m，BE＝n，根据勾股定理列出方程解方程得到m值，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到n＝5（n﹣3），解得n＝，继而得到n值，从而计算出k值即可．【解答】解：延长BD交x轴于点E，作BG⊥y轴于点G，作AF⊥x轴，则四边形OCAF、COED、ADEF、BGCD均为矩形，∴BG＝CD，AF＝DE，CD＝OE，设B点坐标为（m，n），则BG＝CD＝OE＝m，BE＝n，∵AC＝AB＝5，∴AD＝AC﹣CD＝5﹣m，∵BD＝3CD＝3m，∴AF＝DE＝n﹣3m，在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，∴（3m）2+（5﹣m）2＝52，解得m1＝1，m2＝0（舍去），∴DE＝n﹣3，AF＝n﹣3，∴B（1，n），A（5，n﹣3），∵点B（1，n），A（5，n﹣3）在反比例函数图象上，∴n＝5（n﹣3），解得n＝，∴k＝＝．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．【分析】根据比例的性质进行计算，即可解答．【解答】解：∵，∴3m＝2（m+n），3m＝2m+2n，3m﹣2m＝2n，m＝2n，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．12．【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，能让灯泡L2发光的2种，然后由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中能让灯泡L2发光的结果数为2，∴能让灯泡L2发光的概率为：＝，故答案为：．【点评】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．13．【分析】根据七巧板中，各部分的面积关系，利用割补法求出面积即可．【解答】解：由图形可知：阴影部分是由大正方形中1，2，3，4，这四部分组成的，∴阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个大等腰直角三角形的面积，再减去中等的等腰直角三角形的面积，即：阴影部分的面积＝；故答案为：24．【点评】本题考查七巧板．熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键．14．【分析】根据相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：如图所示：由题意得，∠EHF＝∠EPB＝90°，∠EFH＝∠B，∴△EFH∽△EBP，∴，∴，解得PB＝6，∴BC＝PB+CP＝6+2＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确求出BP的长是解答本题的关键．15．【分析】过D作DF∥BE，交AC于点F，因为AD⊥BE，所以FD⊥AD，证△CFD∽△CEB，因为AD是△ABC的中线，可得＝＝，CF＝EF，设FD＝x，则AD ＝2x，BE＝2x，由勾股定理得AF的长，因为BE为△ABC的角平分线，AD⊥BE，证△ABM≌△DBM（ASA），可得AB＝BD，AM＝DM，证△AEM∽△AFD，可得＝，AE＝EF，可得BM、AM的长，由勾股定理得AB的长，可得BC的长，所以AC＝，可得AC的长，即得的值．【解答】解：过D作DF∥BE，交AC于点F，，∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD，即CD＝BD＝BC，∵DF∥BE，∴∠CFD＝∠CEB，∠CDF＝∠CBE，∴△CFD∽△CEB，∴＝＝，∴CF＝EF，∵AD⊥BE，DF∥BE，∴FD⊥AD，即∠ADF＝90°，∵BE＝AD，∴AD＝2FD，设FD＝x，则AD＝2x，BE＝2x，由勾股定理得，AF＝＝x，∵BE为△ABC的角平分线，∴∠ABM＝∠DBM，∵AD⊥BE，∴∠DMB＝∠AMB＝90°，∵BM＝BM，∴△ABM≌△DBM（ASA），∴AM＝DM，即AM＝AD，AB＝BD，∵DF∥BE，∴∠AEM＝∠AFD，∠AME＝∠ADF，∴△AEM∽△AFD，∴＝，∴AE＝EF，EM＝x，BM＝BE﹣EM＝x，AM＝AD＝x，由勾股定理得AB＝＝x，∴BD＝AB＝x，∴BC＝2BD＝x，∵CF＝EF，∴AC＝＝x，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了三角形中位线、角平分线，证△CFD∽△CEB，△ABM≌△DBM，△AEM∽△AFD是本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共55分）16．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：＝2﹣1+2﹣＝3﹣．【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．17．【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把x的值代入进行计算即可．【解答】解：＝•＝•＝﹣＝，当x＝2024时，原式＝＝．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．18．【分析】（1）由良的人数除以占的百分比得到调查的总人数；（2）总人数乘以“中”对应百分比求出其人数即可补全图形．（3）该校九年级学生的数学成绩达到优秀的人数＝1800×成绩类别为“优”的学生所占比例．【解答】解：（1）22÷44%＝50（名），答：这次调查中，一共抽取了50名学生；（2）50×20%＝10（人），∴样本中表示成绩类别为“中”的人数有10人；补全图形如下：（3）1800×＝360（名），答：估计该校九年级共有360名学生的数学成绩达到优秀．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19．【分析】（1）根据切线的判定，连接OC，证明出OC⊥FC即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；（2）由cos B＝，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CD：AC：AD＝3：4：5，再根据相似三角形的性质可求出答案．【解答】（1）证明：连接OC，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠ADC+∠CAD＝90°，又∵OC＝OD，∴∠ADC＝∠OCD，又∵∠DCF＝∠CAD．∴∠DCF+∠OCD＝90°，即OC⊥FC，∴FC是⊙O的切线；（2）解：∵∠B＝∠ADC，cos B＝，∴cos∠ADC＝，在Rt△ACD中，∵cos∠ADC＝＝，AD＝10，∴CD＝AD•cos∠ADC＝10×＝6，∴AC＝＝8，∴＝，∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，∴△FCD∽△FAC，∴＝＝＝，设FD＝3x，则FC＝4x，AF＝3x+10，又∵FC2＝FD•FA，即（4x）2＝3x（3x+10），解得x＝（取正值），∴FD＝3x＝．【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．20．【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，利用该品牌头盔3月份的销售量＝该品牌头盔1月份的销售量×（1+该品牌头盔销售量的月增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；（2）设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个，则每个的销售利润为（y﹣30）元，月销售量为（1000﹣10y）个，利用总利润＝每个头盔的销售利润×月销售量，可列出关于y 的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽可能让市民得到实惠，即可确定结论．【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意得：500（1+x）2＝720，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；（2）设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个，则每个的销售利润为（y﹣30）元，月销售量为600﹣10（y﹣40）＝（1000﹣10y）个，根据题意得：（y﹣30）（1000﹣10y）＝10000，整理得：y2﹣130y+4000＝0，解得：y1＝50，y2＝80，又∵要尽可能让市民得到实惠，∴y＝50．答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21．【分析】（1）易得c＝，抛物线的对称轴为直线x＝3，那么﹣＝3；抛物线经过点（1.5，1.575），代入抛物线解析式可得a和b的值，即可求得抛物线的解析式；（2）根据抛物线解析式可得二次函数的最大值，与1.82米比较可得老师能否参加活动；（3）取二次函数的y的值为1.7，求得对应的x的值，进而求得两个x之间的间距，除以两个人之间最小的间距0.6，算出合适的人数即可．【解答】解：（1）∵摇绳的两人之间间距为6米，摇绳时两人手离地面均为米，∴抛物线的对称轴为直线x＝3．由题意得：抛物线经过点（0，），（1.5，1.575）．∴．解得：．∴图中抛物线的解析式为：y＝﹣0.1x2+0.6x+0.9；（2）∵﹣0.1＜0，∴二次函数有最大值＝＝＝1.8．∵1.8m＜1.82m，∴他不适合参加本次运动；（3）当y＝1.7时．﹣0.1x2+0.6x+0.9＝1.7．0.1x2﹣0.6x+0.8＝0．x2﹣6x+8＝0．（x﹣2）（x﹣4）＝0．∴x1＝2，x2＝4．∴4﹣2＝2（米）．∵相邻两人之间间距至少为0.6米，∴间距个数为：2÷0.6＝3．∴最多可供4人齐跳．答：最多可供4人齐跳．【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：抛物线与y轴交点的纵坐标为抛物线解析式中c的值；抛物线上两个点的纵坐标相等，横坐标分别为x1，x2，那么抛物线的对称轴为直线x＝．22．【分析】（1）证明△ABD≌△ACE即可；（2）将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，证明△AGF≌△AEF得出GF＝EF，设BF＝x，则EF＝x+1，CF＝3﹣x，CE＝2，根据勾股定理求出x几颗解答；（3）延长PM至F，使得PF＝PC，连接CF，BF，证明△BCF≌△ACP，△DPM≌△BFM，得出AP＝BF，PD＝BF即可求证；（4）过点D作DE⊥BD，连接BE，CE，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，延长DC至点G，先证明△ABD≌△CED，得出AB＝CE，然后求出BF和CF即可解答．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE．∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，如图：∴DE＝BG＝1，AE＝AG，∠DAE∠BAG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠C＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠DAE+∠BAF＝∠GAB+∠BAF＝∠GAF＝45°，∴∠EAF＝∠GAF，∵AF＝AF，∴△AGF≌△AEF（SAS），∴GF＝EF，设BF＝x，则EF＝x+1，CF＝3﹣x，CE＝2，∴EF2＝CF2+CE2，即（x+1）2＝（3﹣x）2+4，解得x＝，∴BF＝；（3）解：PA＝PD，延长PM至F，使得PF＝PC，连接CF，BF，如图：∵∠MPC＝60°，∴△PFC是等边三角形，∴CF＝CP，∠FCP＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠BCA＝60°，∴∠BCF＝∠ACP，∴△BCF≌△ACP（SAS），∴PA＝BF，∠APC＝∠BFC，∵∠APF＝∠APC﹣∠CPF＝∠APC﹣60°，∴∠MPD＝360°﹣∠APD﹣∠APF＝360°﹣120°﹣（∠APC﹣60°）＝300°﹣∠APC，∵∠MFP＝360°﹣∠PFC﹣∠BFC＝360°﹣60°﹣∠BFC＝300°﹣∠BFC，∵APC＝∠BFC，∴∠MPD＝∠MFB，∵M是BD的中点，∴BM＝DM，∵∠PMD＝∠FMB，∴△DPM≌△BFM（AAS），∴PD＝BF，∴PA＝PD；（4）解：过点D作DE⊥BD，连接BE，CE，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，延长DC至点G，如图：∵DE⊥DB，∠ADC＝90°，∴∠BDE＝∠ADC＝90°，∵∠CDE+∠BDC＝∠BDE，∠ADB+∠BDC＝∠ADC，∴∠CDE＝∠ADB，∵CD＝AD，DE＝BD，∴△ABD≌△CED（SAS），∴CE＝AB＝2，∠CED＝∠ABD，∵∠ABD+∠CBD＝∠ABC＝60°，∴∠CED+∠CBD＝60°，根据外角的性质可得∠BCE＝∠BCG+∠ECG＝∠CBD+∠BDC+∠CDE+∠CED＝∠CBD+∠BDE+∠CED＝60°+90°＝150°，∴∠ECF＝30°，∴EF＝CE＝，CF＝＝3，∵∠BDE＝90°，DE＝BD＝，∴BE＝，∴BF＝＝＝11，∴BC＝BF＝CF＝11﹣3＝8．【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题关键。
2022-2023学年广东省深圳市南山区南山实验学校七年级数学第一学期期末学业水平测试试题含解析
2022-2023学年七上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列各式中，符合代数书写规则的是（ ）A ．273xB ．14a ⨯C ．126p -D ．2y z ÷2．关于x 的方程3163a x --=与方程()2157x +-=的解相同，则a 的值为（ ） A ．103- B ．73- C ．53- D ．23- 3．有6个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4．2019年上半年，达州市地区生产总值约为110亿元，用科学记数法表示110亿元为（ ）A ．1．1×102B ．1．1×109C ．1．1×1010D ．1．1×10115．多项式218x x ++是（ ）A ．二次二项式B ．二次三项式C ．三次二项式D ．三次三项式6．若a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，c 是倒数等于它本身的自然数，则201820182019a b c ++的值为( ) A ．2019 B ．2014 C ．2015 D ．27．某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每件赔本40元；按原价的九折出售，那么每件盈利20元，则这种衬衫的原价是( )A ．160元B ．180元C ．200元D ．220元8．小明父亲拟用不锈钢制造一个上部是一个长方形、下部是一个正方形的窗户，相关数据（单位米）如图所示，那么制造这个窗户所需不锈钢的总长是（ ）A ．（5a +2b ）米B ．（6a +2b ）米C ．（7a +2b ）米D ．（a 2+ab ）米 9．如果单项式﹣25y²x a +3与y b ﹣3x 是同类项，那么a 、b 的值分别为（ ） A ．a ＝﹣2，b ＝5B ．a ＝﹣1，b ＝6C ．a ＝﹣3，b ＝4D ．a ＝﹣4，b ＝3 10．已知α∠的补角的一半比α∠小30°，则α∠等于（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80° 11．12-的相反数是（ ） A ．-2 B ．-5 C ．12 D ．-0.212．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是A ．美B ．丽C ．云D ．南二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．用四舍五入法把数6.5378精确到0.01，得近似数为________14．2536的平方根是______． 15．已知x ＋y ＝－5，xy ＝6，则x 2＋y 2＝________．16．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简c a b -+=________．17．计算：()12--=_______________．三、解答题 （本大题共7小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（5分）对于任意四个有理数a ，b ，c ，d ，可以组成两个有理数（a ，b ）和（c ，d ）．我们规定：（a ，b ）⊗（c ，d ）＝bc ﹣ad ．例如：（1，1）⊗（3，4）＝1×3﹣1×4＝1．（1）有理数对（1，﹣3）⊗（3，﹣1）＝ ； （1）如果有理数m ，n 满足等式（﹣3，1m ﹣1）⊗（1，m ﹣n ）＝5+1m ，求m ﹣3n ﹣[6m ﹣1（3n ﹣1）]的值．19．（5分）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O 按如图方式叠放在一起．（1）如图1，若∠BOD ＝25°，则∠AOC ＝ °；若∠AOC ＝125°，则∠BOD ＝ °；（2）如图2，若∠BOD ＝50°，则∠AOC ＝ °；若∠AOC ＝140°，则∠BOD ＝ °；（3）猜想∠AOC 与∠BOD 的大小关系： ；并结合图（1）说明理由．20．（8分）如图，点B 是线段AC 上一点，且AB ＝24cm ，BC ＝13AB ， （1）试求出线段AC 的长；（2）如果点O 是线段AC 的中点，请求线段OB 的长．21．（10分）如图，若点A 在数轴上对应的数为a ，点B 在数轴上对应的数为b ，且a ，b 满足22(1)0a b ++-= （1）求线段AB 的长；（2）点C 在数轴上对应的数为x ，且x 是方程12122x x -=+的解，在数轴上是否存在点P ，使得PA+PB=PC ？若存在，求出点P 对应的数；若不存在，说明理由；（3）在（1）（2）条件下，点A ，B ，C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点B 与点C 之间的距离表示为BC ，点A 与点B 之间的距离表示为AB ，请问：AB ﹣BC 的值是否随时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值．22．（10分）如图，点C 是AB 上一点，点D 是AC 的中点，若12AB =，7BD =，求CB 的长.23．（12分）如图，已知线段6AB cm =，点M 为线段AB 的中点，点P 在AB 上，点N 为的PB 中点，且1NB cm =，求线段MB 和MP 的长．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、A【分析】根据代数式的书写要求判断各项．【详解】A 、273x 符合代数书写规则，故选项A 正确． B 、应为14a ，故选项B 错误； C 、应为136p -，故选项C 错误； D 、应为2y z ，故选项D 错误； 故选：A ．【点睛】此题考查代数式，代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．2、A【分析】将方程()2157x +-=的解代入方程3163a x --=可得出a 的值． 【详解】解：∵()2157x +-=，解得：x=5，将x=5代入：3163a x --=， 解得：a=10-．【点睛】本题解决的关键是能够求解关于x的方程，根据同解的定义建立方程．3、C【解析】试题分析：根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案．解：从正面看第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形，右边一个小正方形．故选C．考点：简单组合体的三视图．4、C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：110亿＝110 0000 0000＝1．1×2．故选：C．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5、B【分析】根据多项式次数的定义和项数的定义即可得出结论．【详解】解：多项式218++中，次数最高的项为2x，其次数为2，由3个单项式组成，x x故多项式218++是二次三项式x x故选B．【点睛】此题考查的是多项式次数和项数的判断，掌握多项式次数的定义和项数的定义是解决此题的关键．6、D【分析】找出最大的负整数，绝对值最小的有理数，以及倒数等于本身的数，确定出a，b，c的值，代入原式计算即可得到结果．【详解】解：根据题意得：a=-1，b=0，c=1，则原式=1+0+1=2，故选：D．此题考查了代数式求值，有理数，以及倒数，确定出a，b，c的值是解本题的关键．7、C【分析】设这种衬衫的原价是x元，根据衬衫的成本不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设这种衬衫的原价是x元，依题意，得：0.6x+40=0.9x-20，解得：x=1．故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．8、A【分析】根据矩形周长公式进行解答．【详解】解：依题意得：2（a+b）+3a=5a+2b．故选：A．【点睛】考查了整式的加减运算．解题的关键是弄清楚该窗户所含有棱的条数和对应的棱长．9、A【分析】根据同类项；所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，求解即可．【详解】解：根据题意得a+3＝1，b﹣3＝2，解得a＝﹣2，b＝1．故选：A．【点睛】本题考查同类项的知识，解题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同．10、D【分析】根据补角的定义及题中等量关系列出方程求解即可．【详解】解：根据题意得：180302αα︒-=-︒，解得80α=︒，故答案为D．【点睛】本题考查了补角的定义及一元一次方程的解法，根据补角的定义及题中等量关系列出方程是解题的关键．【分析】由相反数的定义可得答案．【详解】解：12-的相反数是1,2故选C．【点睛】本题考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．12、D【分析】如图，根据正方体展开图的11种特征，属于正方体展开图的“1-4-1”型，折成正方体后，“建”与“南”相对，“设”与“丽”相对，“美”与“云”相对．【详解】如图，根据正方体展开图的特征，折成正方体后，“建”与“南”相对，“设”与“丽”相对，“美”与“云”相对．故选D．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13、6.1【分析】根据近似数的定义，将千分位上的数字7进行四舍五入即可解答．【详解】解：6.5378≈6.1，故答案为：6.1．【点睛】本题考查近似数和有效数字，理解有效数字和精确度的关系是解答的关键．14、5 6±【分析】根据平方根的定义求解即可．【详解】解：∵±56的平方等于2536，∴2536的平方根是：±56．故答案为：±56．【点睛】本题考查了平方根的定义和性质，算了掌握平方根的定义是解题的关键．【分析】把x+y=-5两边平方，根据完全平方公式和已知条件即可求出x 2+y 2的值．【详解】解：∵x+y=-5，∴（x+y ）2=25，∴x 2+2xy+y 2=25，∵xy=6，∴x 2+y 2=25-2xy=25-12=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．16、c a b ---【分析】根据字母在数轴上的位置，可判断正负，再利用绝对值的意义去掉绝对值，合并计算即可【详解】解：由题意可得： 101b c a <<-<<<∴ 原式=()()c a b c a b --+-=---【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握绝对值的意义，实数与数轴，去括号等知识点是解本题的关键17、3【分析】根据有理数的减法法则,减去一个数等于加上这个数的相反数,利用有理数加减法法则进行计算即可.【详解】()12123--=+=故答案为:3.【点睛】本题主要考查有理数减法法则,解决本题的关键是要熟练掌握有理数减法法则.三、解答题 （本大题共7小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18、（1）－5；（1）－2【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（1）已知等式利用题中的新定义化简，计算求出m 与n 的值，原式化简后代入计算即可求出值．【详解】解：（1）根据题中的新定义得：原式=−3×3−1×(−1)=﹣2+4=﹣5；故答案为：﹣5；（1）已知等式利用题中的新定义得：1(1m ﹣1)−(−3)(m ﹣n )=5+1m ，去括号得：4m ﹣1+3m ﹣3n =5+1m ，则m﹣3n﹣[6m﹣1(3n﹣1)]=m﹣3n﹣6m+6n﹣1=﹣(5m﹣3n)﹣1=﹣7﹣1=﹣2．【点睛】本题考查了新定义运算、整式的化简求值，解题的关键是正确理解新定义列出式子进行计算和化简．19、（1）11，1；（2）130，2；（3）∠AOC与∠BOD互补，理由见解析．【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD可分别计算出∠AOC、∠BOD的度数；（2）根据∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD计算可得；（3）由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180︒且∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC可知两角互补．【详解】解：（1）若∠BOD＝25︒，∵∠AOB＝∠COD＝90︒，∴∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD＝90︒+90︒﹣25︒＝11︒，若∠AOC＝125︒，则∠BOD＝∠AOB+∠COD﹣∠AOC＝90︒+90︒﹣125︒＝1︒；故答案为：11，1．（2）若∠BOD＝50︒，∴∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD＝90︒+90︒﹣50︒＝130︒，若∠AOC＝12︒，则∠BOD＝360︒﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD＝2︒；故答案为：130，2．（3）∠AOC与∠BOD互补．∵∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180︒，∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC，∴∠AOC+∠BOD＝180︒，即∠AOC与∠BOD互补．【点睛】此题主要考查角度之间的关系探究，解题的关键是熟知三角板的特点及补角的定义．20、（1）AC=32cm ；（2）OB=8cm．【分析】（1）由B在线段AC上可知AC＝AB＋BC，把AB＝24cm，BC＝13AB＝8cm代入即可求出结论；（2）根据O是线段AC的中点及AC的长可求出CO的长，由OB＝CO−BC即可得出结果．【详解】解：（1）∵AB＝24cm，BC＝13 AB，∴BC＝8cm，∴AC＝AB＋BC＝24＋8＝32cm；（2）由（1）知：AC＝32cm，∵点O是线段AC的中点，∴CO＝12AC＝12×32＝16cm，∴OB＝CO−BC＝16−8＝8cm．【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算问题，掌握线段的中点的性质、线段的和、差、倍的运算是解题的关键．21、（3）AB=3．（3）P所对应的数是﹣3或﹣3．（3）不随t的变化而变化，其常数值为3．【解析】试题分析：（3）根据绝对值及完全平方的非负性，可得出a、b的值，继而可得出线段AB的长；（3）先求出x的值，再由PA+PB=PC，可得出点P对应的数；（3）用含有t的代数式表示出AB和BC，求差即可．试题解析：（3）∵|a+3|+（b﹣3）3=0，∴a=﹣3，b=3，∴AB=b﹣a=3﹣（﹣3）=3．（3）3x﹣3=12x+3，解得：x=3，由题意得，点P只能在点B的左边，①当点P在AB之间时，x+3+3﹣x=3﹣x，解得：x=﹣3；②当点P在A点左边时，﹣3﹣x+3﹣x=3﹣x，解得：x=﹣3，综上可得P所对应的数是﹣3或﹣3．（3）t秒钟后，A点位置为：﹣3﹣t，B点的位置为：3+4t，C点的位置为：3+9t BC=3+9t﹣（3+4t）=3+5t AB=5t+3AB﹣BC=5t+3﹣（5t+3）=3所以不随t的变化而变化，其常数值为3．考点：一元一次方程的应用．22、2.【分析】首先根据AB 和BD 求出AD ，然后根据中点的性质求出AC ，即可得出CB.【详解】∵12AB =，7BD =，∴1275AD AB BD =-=-=.∵点D 是AC 的中点，∴22510AC AD ==⨯=.∴12102CB AB AC =-=-=.【点睛】此题主要考查线段的求解，熟练掌握，即可解题.23、MB =3cm ；MP =1cm.【分析】利用点M 是线段AB 的中点得出MB=12 AB =3cm ，再利用N 是PB 的中点得出BP=2cm ，最后进一步计算求解即可.【详解】∵点M 是线段AB 的中点，AB=6cm∴MB=1 2 AB=3cm ，∵N 是PB 的中点，1NB cm =，∴PN=NB=1cm ，∴BP=2cm ，∴MP=MB−BP=1cm【点睛】本题主要考查了线段长度的求取，熟练掌握相关概念是解题关键.。
南山区数学试卷答案初三
一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知函数f(x) = 2x + 3，那么f(-1)的值为（）A. -1B. 1C. 2D. 5答案：D2. 下列哪个数是偶数（）A. 2.5B. 3C. 4D. 5答案：C3. 若a > b，则下列哪个不等式成立（）A. a - b > 0B. a + b > 0C. ab > 0D. a/b > 0答案：A4. 下列哪个图形是正方形（）A. 矩形B. 菱形C. 等腰梯形D. 平行四边形答案：B5. 已知等边三角形ABC的边长为a，那么BC边上的高为（）A. a/2B. a√3/2C. a√2/2D. a答案：B6. 下列哪个方程的解为x = 3（）A. 2x + 4 = 10B. 3x - 6 = 9C. 4x + 2 = 14D. 5x - 15 = 0答案：B7. 若一个数加上它的倒数等于2，那么这个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A8. 下列哪个图形是轴对称图形（）A. 矩形B. 菱形C. 等腰梯形D. 平行四边形答案：B9. 若a、b、c是等差数列，且a + b + c = 12，那么b的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6答案：B10. 下列哪个函数是单调递增函数（）A. y = 2x + 1B. y = -x^2 + 1C. y = x^3D. y = 2/x答案：C二、填空题（每题5分，共20分）11. 若x^2 - 5x + 6 = 0，则x的值为______。
答案：2 或 312. 若a、b、c是等比数列，且a + b + c = 9，那么b的值为______。
答案：313. 已知等腰三角形ABC的底边BC长为8，腰AB=AC=5，那么三角形ABC的面积为______。
答案：16√214. 若函数f(x) = 3x^2 - 4x + 1的图像与x轴有两个交点，则其判别式△=______。
答案：16三、解答题（每题10分，共30分）15. （10分）已知数列{an}满足an = an-1 + 2n - 1，且a1 = 1，求出数列的前10项。
2024年广东省深圳市南山实验教育集团中考数学二模试卷及答案解析
2024年广东省深圳市南山实验教育集团中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）﹣2的倒数是（）A．﹣2B．﹣C．D．22．（3分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a3+a3＝a6C．a8÷a2＝a6D．（﹣a2）3＝a63．（3分）5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示1300000是（）A．13×105B．1.3×105C．1.3×106D．1.3×1074．（3分）教练组对运动员正式比赛的前5次训练成绩进行分析，判断谁的成绩更加稳定，一般要考查这5次成绩的（）A．平均数或中位数B．众数或频率C．方差或极差D．频数或众数5．（3分）使代数式有意义的x的取值范围是（）A．x≥0B．C．x≥0且D．一切实数6．（3分）在下列命题中，正确的是（）A．一组对边平行的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形7．（3分）在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P，Q，则PQ＝（）A．B．3﹣C．﹣2D．8．（3分）如图，已知钓鱼竿AC的长为6m，露在水面上的鱼线BC长为3m，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为m，则BB′的长为（）A．m B．2m C．m D．2m9．（3分）如图1，质量为m的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为10cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度△l（cm）之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（）A．小球从刚接触弹簧就开始减速B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为2cmD．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为4cm10．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C 点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P 的运动时间为t s，正方形DPEF的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知线段AB的长为（）A．7B．6C．5D．4二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）因式分解2x2﹣12x+18的结果是．12．（3分）若a，b是关于x的方程x2﹣2x﹣2022＝0的两个实数根，则a2﹣3a﹣b＝．13．（3分）如图，已知半径为1的⊙O上有三点A、B、C，OC与AB交于点D，∠ADO＝85°，∠CAB ＝20°，则阴影部分的扇形OAC面积是．14．（3分）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，连接AD，把△ABD沿AD翻折，得到△ADB′，DB′与AC交于点E，若BD＝2，，则△ADE的面积是．15．（3分）已知如图，直线y＝x分别与双曲线y＝（m＞0，x＞0）、双曲线y＝（n＞0，x＞0）交于点A，点B，且＝，将直线y＝x向左平移6个单位长度后，与双曲线y＝交于点C，若S△ABC＝4，则mn的值为．三、解答题（本大题共7小题，共55分）16．（6分）计算：|﹣2|+sin60°﹣﹣（﹣1）2+2﹣217．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，4），B（0，2），C（3，2）．（1）将△ABC以O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A的对应点A2的坐标为（2，2），请画出平移后对应的△A2B2C2；（3）求△A1C1C2的面积．18．（8分）“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷．为了解我校“双减”政策的实施情况，校学生会在全校范围内随机对一些学生进行了问卷调查，问卷共设有四个选项：A——学校作业有明显减少；B——学校作业没有明显减少；C——课外辅导班数量明显减少；D——课外辅导班数量没有明显减少；E——没有关注；已知参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中一个选项，将所有的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：请你根据以上信息，回答下列问题：（1）本次接受调查的学生共有人；m＝°；n＝；（2）补全条形统计图；（3）该校计划在某个班向家长展示“双减”背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共5个，其中有2个为八年级班级（分别用A、B表示），3个为九年级班级（分别用C、D、E表示），由于报名参加观摩课堂教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动，请用列表法或画树状图的方法求两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率．19．（8分）自2022年新课程标准颁布以来，我校高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%，用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台．（1）求A，B型设备单价分别是多少元；（2）我校计划购买两种设备共50台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的．设购买a台A型设备，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并设计出费用最低时的购买方案．20．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．（1）求证：∠ADC＝∠AOF；（2）若cos∠DCB＝，BD＝24，求EF的长．21．（9分）【定义】例如，如图1，过点A作AB⊥l1交l1于点B，线段AB的长度称为点A到l1的垂直距离，过A作AC平行于y轴交l1于点C，AC的长就是点A到l1的竖直距离．【探索】当l1与x轴平行时，AB＝AC．当l1与x轴不平行，且直线确定的时候，点到直线的垂直距离AB与点到直线的竖直距离AC存在一定的数量关系，当直线l1为时，AB＝AC．【应用】如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为30°，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高2m，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水口点O的距OA＝2m，建立如图2所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水运行的路线是抛物线y＝﹣x2+bx，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处．（1）b＝．（2）如图3，现决定在山上种另一棵树MN（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架PN，求出PN的最大值．【拓展】（3）如图4，原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出的水的路径近似可以看成圆弧，此时，圆弧与y轴相切于点O，若此时m，如图，种植一棵树MN（垂直于水平面），为了保证灌溉，请求出MN最高应为多少？22．（10分）（1）【探究发现】如图1，正方形ABCD两条对角线相交于点O，正方形A1B1C1O与正方形ABCD的边长相等，在正方形A1B1C1O绕点O旋转过程中，边OA1交边AB于点M，边OC1交边BC于点N．则①线段BM、BN、AB之间满足的数量关系是．②四边形OMBN与正方形ABCD的面积关系是S四边形OMBN＝S正方形ABCD；（2）【类比探究】如图2，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“含60°的菱形ABCD”，即∠B1OD1＝∠DAB＝60°，且菱形OB1C1D1与菱形ABCD的边长相等．当菱形OB1C1D1绕点O旋转时，保持边OB1交边AB于点M，边OD1交边BC于点N．请猜想：①线段BM、BN与AB之间的数量关系是；②四边形OMBN与菱形ABCD的面积关系是S四边形OMBN＝S菱形ABCD；请你证明其中的一个猜想．（3）【拓展延伸】如图3，把（2）中的条件“∠B1OD1＝∠DAB＝60°”改为“∠DAB＝∠B1OD1＝α”，其他条件不变，则①＝；（用含α的式子表示）②＝．（用含α的式子表示）2024年广东省深圳市南山实验教育集团中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答．【解答】解：∵﹣2×＝1．∴﹣2的倒数是﹣，故选：B．【点评】本题主要考查倒数的意义，解决本题的关键是熟记乘积是1的两个数叫做互为倒数．2．【分析】A．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；B．根据合并同类项法则进行计算，然后判断即可；C．根据同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可；D．根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可．【解答】解：∵a2•a3＝a5，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；B．∵a3+a3＝2a3，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；C．∵a8÷a2＝a6，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；D．∵（﹣a2）3＝﹣a6，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂乘除法则、幂的乘方法则和合并同类项法则．3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：1300000＝1.3×106，故选：C．【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．【分析】根据方差和极差的意义判断．方差和极差是反映一组数据波动大小的量．【解答】解：根据方差的意义：方差是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．同时，极差是最大与最小值的差，也反映波动越大小；故要判断谁的成绩更加稳定；一般要考查这5次成绩的方差或极差．故选：C．【点评】熟练掌握方差的意义和极差的概念．5．【分析】根据分式有意义的条件可得2x﹣1≠0，根据二次根式有意义的条件可得x≥0，解出结果即可．【解答】解：由题意得：2x﹣1≠0，x≥0，解得：x≥0，且x≠，故选：C．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数；分式有意义的条件是分母不等于零．6．【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．两组对边平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的四边形是矩形、直角梯形、总之，只要有一个角是直角即可；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．【解答】解：A、应为两组对边平行的四边形是平行四边形；B、有一个角是直角的四边形是矩形、直角梯形、总之，只要有一个角是直角即可；C、符合菱形定义；D、应为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．故选：C．【点评】本题考查平行四边形、矩形和菱形及正方形的判定与命题的真假区别．7．【分析】先根据黄金分割的定义得出较长的线段AP＝BQ＝AB，再根据PQ＝AP+BQ﹣AB，即可得出结果．【解答】解：根据黄金分割点的概念，可知AP＝BQ＝×1＝，则PQ＝AP+BQ﹣AB＝×2﹣1＝﹣2．故选：C．【点评】此题主要是考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系，能够熟练求解．8．【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB′，再根据BB′＝AB﹣AB′即可得出答案．【解答】解：∵AC＝6m，BC＝3m，∴AB＝＝＝3m，∵AC′＝6m，B′C′＝m，∴AB′＝＝＝m，∴BB′＝AB﹣AB′＝3﹣＝2m；故选：B．【点评】此题考查了二次根式的应用，用到的知识点是勾股定理，根据已知条件求出AB和AB′是解题的关键．9．【分析】根据图象给出的信息分析出小球何时开始减速，小球下落最低点时弹簧的长度，小球速度最大时，弹簧的长度即可解答．【解答】解：由图象可知，弹簧压缩2cm后开始减速，故选项A不符合题意；由图象可知，当弹簧被压缩至最短，小球的速度最小为0，故选项B不符合题意：由图象可知小球速度最大时，弹簧压缩2cm，此时弹簧的长度为10﹣2＝8cm，故选C不符合题意；由图象可知，当小球下落至最低点时，弹簧被压缩的长度为6cm时，此时弹簧的长度为10﹣6＝4（cm），故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，用数形结合的思想解决问题．10．【分析】在Rt△PCD中，CD＝，PC＝t，则S＝PD2＝t2+（）2＝t2+2，求得BC的长，设函数的顶点解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解．【解答】解：在Rt△PCD中，CD＝，PC＝t，则S＝PD2＝t2+（）2＝t2+2，当S＝6时，6＝t2+2，解得：t＝2（负值已舍去），∴BC＝2，∴抛物线经过点（2，6），∵抛物线顶点为：（4，2），设抛物线解析式为：S＝a（t﹣4）2+2，将（2，6）代入，得：6＝a（2﹣4）2+2，解得：a＝1，∴S＝（t﹣4）2+2，当y＝18时，18＝（t﹣4）2+2，t＝0（舍）或t＝8，∴AB＝8﹣2＝6，故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象，求二次函数解析式，解题的关键是：从图中获取信息．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．【分析】先提公因式2，再套用完全平方公式．【解答】解：原式＝2（x2﹣6x+9）＝2（x﹣3）2．故答案为：2（x﹣3）2．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和完全平方公式是解决本题的关键．12．【分析】把所求代数式a2﹣3a﹣b化成a2﹣2a﹣a﹣b，再利用方程根的定义及根与系数的关系可求得答案．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣2x﹣2022＝0的两根，∴a2﹣2a﹣2022＝0，a+b＝2，∴a2﹣2a＝2022，∴a2﹣3a﹣b＝a2﹣2a﹣（a+b）＝2022﹣2＝2020，故答案为：2020．【点评】本题主要考查方程根的定义及根与系数的关系，把所求代数式化为a2﹣2a﹣（a+b）是解题的关键．13．【分析】根据三角形外角的性质得到∠C＝∠ADO﹣∠CAB＝65°，根据等腰三角形的性质得到∠AOC ＝50°，由扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，∴∠C＝∠ADO﹣∠CAB＝65°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝65°，∴∠AOC＝50°，∴阴影部分的扇形OAC面积＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了扇形面积的计算，由等腰三角形的性质和三角形的内角和求出∠AOC是解题的关键．14．【分析】过A作AK⊥CB于K，由∠ADB＝45°，可得△ADK是等腰直角三角形，即得DK＝AK＝3，根据D是BC边上的中点，BD＝2，可得CK＝CD+DK＝5，由把△ABD沿AD翻折，得到△ADB′，可得∠BDB'＝90°＝∠CDE，DE∥AK，即知△CDE∽△CKA，对应边成比例求出DE，进而利用三角形的面积即可解决问题．【解答】解：过A作AK⊥CB于K，如图：∵∠ADB＝45°，∴△ADK是等腰直角三角形，∵AD＝3，∴DK＝AK＝AD＝3，∵D是BC边上的中点，BD＝2，∴CD＝BD＝2，∴CK＝CD+DK＝5，∵把△ABD沿AD翻折，得到△ADB′，∴∠ADB'＝∠ADB＝45°，∴∠BDB'＝90°＝∠CDE，∴DE∥AK，∴△CDE∽△CKA，∴＝，即＝，∴DE＝，＝CD•DE＝×2×＝，∴S△CDE＝CD•AK＝×2×3＝3，∵S△ACD＝S△ACD﹣S△CDE＝3﹣＝，∴S△ADE故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握翻折的性质，得到△CDE∽△CKA．15．【分析】先求出直线y＝x向左平移6个单位长度后的解析式为y＝x+4，那么直线y＝x+4交y 轴于E（0，4），作EF⊥OB于F．根据互相垂直的两直线斜率之积为﹣1得出直线EF的解析式为y＝＝4，求出AB＝，﹣x+4，再求出F（，），EF＝＝，根据S△ABC那么OA＝AB＝，进而求出A、B两点坐标，求出m、n即可解决问题．【解答】解：直线y＝x向左平移6个单位长度后的解析式为y＝（x+6），即y＝x+4，∴直线y＝x+4交y轴于E（0，4），作EF⊥OB于F．可得直线EF的解析式为y＝﹣x+4，由，解得，即F（，）．∴EF＝＝，＝4，∵S△ABC∴•AB•EF＝4，∴AB＝，∵＝，∴OA＝AB＝，∴A（3，2），B（5，），∴m＝6，n＝，∴mn＝100．故答案为100．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求直线的解析式，两点间的距离公式，三角形的面积，函数图象上点的坐标特征等知识，综合性较强．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（本大题共7小题，共55分）16．【分析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的意义和绝对值的意义计算．【解答】解：原式＝2﹣+﹣3﹣+＝﹣．【点评】本题考查了实数的运算：实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．17．【分析】（1）根据中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（2）根据平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；（3）利用割补法解答即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．（3）8×4﹣＝32﹣8﹣10﹣3＝11．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，坐标与图形变化﹣平移等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．18．【分析】（1）用选择B的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数；用360°乘以本次调查中选择A的学生所占的百分比，即可求得m；用本次调查中选择C的学生人数除以调查总人数再乘以百分之百，可求得n%，即可得出答案．（2）用本次调查的学生人数分别减去选择A，B，C，E的学生人数，可求出选择D的学生人数，补全条形统计图即可．（3）画树状图得出所有等可能的结果数和两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）本次接受调查的学生共有30÷15%＝200（人）．m＝360°×＝144°，n%＝100%＝20%，∴n＝20．故答案为：200；144；20．（2）200﹣80﹣30﹣40﹣20＝30（人）．补全条形统计图如图所示．（3）画树状图如下：共有20种等可能的结果，其中两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的结果有：AC，AD，AE，BC，BD，BE，CA，CB，DA，DB，EA，EB，共12种，∴两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．19．【分析】（1）设每台B型设备的价格为x元，则每台A型号设备的价格为1.2x元，根据“用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台”建立方程，解方程即可．（2）根据总费用＝购买A型设备的费用+购买B型设备的费用，可得出w与a的函数关系式，并根据两种设备的数量关系得出a的取值范围，结合一次函数的性质可得出结论．【解答】解：（1）设每台B型设备的价格为x元，则每台A型号设备的价格为1.2x元，根据题意得，＝+4，解得：x＝2500．经检验，x＝2500是原方程的解．∴1.2x＝3000，∴每台B型设备的价格为2500元，则每台A型号设备的价格为3000元．（2）设购买a台A型设备，则购买（50﹣a）台B型设备，∴w＝3000a+2500（50﹣a）＝500a+125000，由实际意义可知，，∴12.5≤a≤50且a为整数，∵500＞0，∴w随a的增大而增大，∴当a＝13时，w的最小值为500×13+125000＝131500（元）．∴w＝500a+125000，且最少购买费用为131500元．【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．20．【分析】（1）连接OD，得到∠ODC＝90°，结合∠ADB＝90°求得∠ADC＝∠ODB，然后利用OD＝OB得到∠ODB＝∠OBD，从而得到∠ADC＝∠OBD，再利用OF⊥AD得到OF∥BD，从而∠AOF＝∠OBD，最后得证结果；（2）根据三角形的中位线定理得到OE＝12，根据相似三角形的性质得到EF的长度．【解答】（1）证明：如图，连接OD，则OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵CD是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴∠ODC＝∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠ODB，∴∠ADC＝∠OBD，又∵OF⊥AD，∴∠OEA＝∠ADB＝90°，∴OF∥BD，∴∠AOF＝∠OBD，∴∠ADC＝∠AOF．（2）∵OF∥BD，OA＝OB，∴OE是△ABD的中位线，∴OE＝BD＝×24＝12，∵cos∠DCB＝＝，设CD＝4x，OC＝5x，∴OD＝＝3x，∴OB＝3x，∴CB＝OC+OB＝8x，∵OF∥BD，∴△COF∽△CBD，∴＝，∴＝，∴OF＝15，∴EF＝OF﹣OE＝15﹣12＝3．【点评】本题考查了圆的切线的性质、平行线的判定和性质、解直角三角形，三角形的中位线定理、相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．21．【分析】探索：先求得P（0，1），Q（﹣2，0），再运用勾股定理求得PQ＝，证得△ABC∽△QOP，利用相似三角形性质即可求得答案；应用：（1）延长BA交x轴于点H，则∠AHO＝90°，利用解直角三角形可得，把代入y＝﹣x2+bx，即可求得答案；（2）利用待定系数法可得直线OC的解析式y＝x，设，则N（t，﹣t2+2，可得MN＝﹣t2+2t，得PN＝MN•sin∠NMP＝﹣，运用二次函数的性质即可得出答案；拓展：取OC的中点G，作GH⊥OC交x轴于点H，延长HG交圆弧于点N，过点N作MN∥y轴交OC于点M，此时MN最大，运用垂径定理可得OG＝m，再利用解直角三角形即可求得答案．【解答】解：探索：∵直线l1为y＝x+1，如图，设直线l1与x、y轴分别交于Q、P点，令x＝0，得y＝1，∴P（0，1），即OP＝1，令y＝0，得x+1＝0，解得：x＝﹣2，∴Q（﹣2，0），即OQ＝2，∴PQ＝，∵AC∥y轴，∴∠1＝∠ACB，∵∠1＝∠QPO，∴∠ACB＝∠QPO，∵∠ABC＝∠QOP＝90°，∴△ABC∽△QOP，∴，∴AB＝AC，故答案为：；应用：（1）如图，延长BA交x轴于点H，则∠AHO＝90°，∵∠AOH＝30°，OA＝2m，∴AH＝OA＝1m，OH＝OA•cos∠AOH＝2cos30°＝2×，∵AB＝2m，∴BH＝AB+AH＝2+1＝3（m），∴，把代入y＝﹣x2+bx得：﹣3+b＝3，解得：b＝2，故答案为：2；（2）由（1）知，，设直线OC的解析式为y＝kx，则k＝1，解得：k＝，∴y＝x，如图，设，则，∴MN＝﹣t2+2t，∵∠1＝30°，∴∠2＝60°，∵MN∥y轴，∴∠NMP＝∠2＝60°，∵NP⊥OC，∴∠NPM＝90°，∴PN＝MN•sin∠NMP＝（﹣t2+•sin60°＝（﹣t2+t）×＝﹣（t﹣）2+，∴﹣＜0，∴当t＝时，PN取得最大值，答：PN的最大值为．【拓展】如图，取OC的中点G，作GH⊥OC交x轴于点H，延长HG交圆弧于点N，过点N作MN∥y轴交OC于点M，此时MN最大，∵OC＝4m，HG⊥OC，∴OG＝m，在Rt△OGH中，∠COH＝30°，∴GH＝OG•tan∠COH＝2＝2（m），OH＝2GH＝4m，又∵HN＝OH＝4m，∴NG＝HN﹣GH＝4﹣2＝2（m），∴∠1＝30°，∴∠2＝90°﹣30°＝60°，∵MN∥y轴，∴∠NMG＝∠2＝60°，∵∠NGM＝90°，∴MN＝（m），答：MN最高应为m．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的应用，二次函数最值求法，待定系数法求函数解析式，解直角三角形，圆的性质，垂径定理等，根据题意求出函数的解析式是解决此题的关键．22．【分析】（1）证明△AOM≌△BON（ASA），推出AM＝BN，可得结论；＝S菱形ABCD．如图2中，连接MN．将△OBN绕点O顺时针（2）猜想：BM+BN＝AB，S四边形OMBN旋转60°得到△OHM，证明AH＝HB，可得结论；（3）如图3中，在AB上取一点的H，连接OH，使得OH＝OB，证明△OBN≌△OHM（AAS），推出HM＝BN，可得BN+BM＝BH，再利用△BAD∽△BOH，可得结论．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∠OAB＝∠OBC＝45°，OA＝OB，∵∠A1OC1＝∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON，在△AOM和△BON中，，∴△AOM≌△BON（ASA），∴AM＝BN，∵AB＝AM+BM，∴AB＝BN+BM，＝S△BON，∵S△AOM＝S△AOB＝S正方形ABCD，∴S四边形OMBN故答案为：AB＝BN+BM，；＝S菱形ABCD．（2）猜想：BM+BN＝AB，S四边形OMBN理由：如图2中，连接MN．∵四边形ABCD是菱形，∠B1OD1＝∠DAB＝60°，∴∠ABC＝120°，∵∠MON+∠MBN＝180°，∴O，M，B，N四点共圆，∴∠OMN＝∠OBN＝60°，∵∠MON＝60°，∴△MON是等边三角形，∴OM＝ON，将△OBN绕点O顺时针旋转60°得到△OHM，∵OM＝ON，∠OMB+∠ONB＝180°，∴边BN刚好落在AB上，即为MH，∴BM+BN＝BH．∵OB＝OH，∠BOH＝60°，∴△OBH是等边三角形，∴BH＝OB＝AB，∴BM+BN＝AB，＝S△OBH＝S△OBA＝S菱形ABCD．∵S四边形OMBN故答案为：BM+BN＝AB，；（3）如图3中，在AB上取一点的H，连接OH，使得OH＝OB，∵OH＝OB，∴∠OBH＝∠OHB，∵∠ABD＝∠ADB，∴∠DAB＝∠BOH＝α，∴∠BOH＝∠MON＝α，∴∠MOH＝∠NOB，∵∠MON+∠MBN＝180°，∴∠OMB+∠ONB＝180°，∵∠OMB+∠OMH＝180°，∴∠ONB＝∠OMH，∴△OBN≌△OHM（AAS），∴HM＝BN，∴BN+BM＝BH，∵△BAD∽△BOH，∴＝＝sin，∴＝sin，∴＝＝sin2．故答案为：sin，sin2．【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题。
2023年广东省深圳市南山区中考数学二调试卷及答案解析
2023年广东省深圳市南山区中考数学二调试卷一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）如图所示的空心圆柱，其俯视图是（）A．B．C．D．2．（3分）2022年世界杯在卡塔尔举办，为了办好这届世界杯，人口仅有280万的卡塔尔投资2200亿美元修建各项设施．数据2200亿用科学记数法表示为（）A．22×1010B．2.2×1010C．2.2×1011D．0.22×1012 3．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．2x2+x+1＝0B．x（x﹣3）＝0C．3x2﹣x＝2D．（x+2）2＝4 4．（3分）如图，函数y＝﹣2x和y＝kx+5的图象相交于点A（a，2），则不等式﹣2x≤kx+5的解集为（）A．x≤2B．x≥﹣1C．x≤﹣1D．x＞﹣15．（3分）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝42°，则∠2的度数为（）A．92°B．102°C．112°D．114°6．（3分）下列说法正确的是（）A．某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定有一张中奖B．从装有10个红球的袋子中摸出一个白球是随机事件C．篮球巨星姚明在罚球线投篮一次投中是必然事件D．为了解一批日光灯的使用寿命可采用抽样调查7．（3分）如图，点O为△ABC的AB边上的一点，⊙O经过点B且恰好与边AC相切于点C，若∠B＝30°，AC＝2，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．8．（3分）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（）cm．A．B．6C．D．89．（3分）如图，等边△ABC内有一点E，BE＝4，CE＝6，当∠AEB＝150°时，则AE的长为（）A．2B．C．3D．10．（3分）如图，矩形ABCD中，∠BAC＝60°，点E在AB上，且BE：AB＝1：3，点F 在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时，的值为（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）分解因式：3x3+6x2+3x＝．12．（3分）有4张背面相同，正面分别印有0，﹣5，π，2.5的卡片，现将这4张卡片背面朝上，从中随机抽取1张，恰好抽到正面印有整数的卡片的概率为．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，过点D作DM⊥BC 于点M，延长DM至点E，且AC＝EM＝2DM，连接AE交BC于点N，若AC＝5，AB ＝13，则AE的长为．14．（3分）如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，OA在x轴上，AC平分∠OAB，OD平分∠AOB，AC与OD相交于点E，且OC＝，CE＝，反比例函数的图象经过点E，则k的值为．15．（3分）如图，点G是△ABC内的一点，且∠BGC＝120°，△BCF是等边三角形．若BC＝3，则FG的最大值为．三、解答题（共7小题，满分55分）16．（6分）化简分式：，并从1，2，3这三个数中取一个合适的数作为x的值代入求值．17．（6分）如图，已知点B（﹣3，6），C（﹣3，0），以坐标原点O为位似中心，在第四象限将△OBC缩小为原来的三分之一（即新图形与原图形的相似比为1：3）．（1）画出缩小后的图形；（2）写出B点的对应点坐标；（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出点M经位似变换后的对应点坐标．18．（7分）为了解市民对全市创卫工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在全市甲、乙两个区内进行了调查统计，将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．请结合图中信息，解决下列问题：（1）求此次调查中接受调查的人数，并补全条形统计图．（2）若本市人口300万人，估算该市对市创卫工作表示满意和非常满意的人数．（3）兴趣小组准备从调查结果为不满意的4位市民中随机选择2位进行回访，已知4位市民中有2位来自甲区，另2位来自乙区，请用列表或用画树状图的方法求出选择的市民均来自同区的概率．19．（8分）如图，⊙O的弦AB，CD交于点E，连接AC，BC，延长DC到点P，连结PB，PB与⊙O相切，且PB＝PE．（1）求证：点A是的中点；（2）若AE＝BE，AC＝4，求AE的长．20．（8分）铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元，购进苹果数量是试销时的2倍．（1）试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元？两次共购进多少苹果？（2）如果超市将该品种苹果按每千克10元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的500千克按定价的六折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？21．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式，利用函数图象研究其性质，运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．学习了一次函数之后，现在来解决下面的问题：在y＝a|x﹣1|+b中，如表是y与x的几组对应值．x…﹣3﹣2﹣10123…y…7m31n13…（1）m＝，n＝；（2）平面直角坐标系中，画出函数的图象；（3）根据图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的打√，错误的打×．①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线x＝1．（判断对错）②当x＜1时，y随x的增大而增大，当x≥1时，y随x的增大而减小．（判断对错）③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当x＝1时有最小值﹣1．（判断对错）（4）若方程组有且只有一个公共解，则t的取值范围是．22．（10分）平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连AE，点F在线段AE上，连BF，连AC．（1）如图1，已知AB⊥AC，点E为BC中点，BF⊥AE．若AE＝5，BF＝2，求AF 的长度；（2）如图2，已知AB＝AE，∠BFE＝∠BAC，将射线AE沿AC翻折交CD于H，过点C作CG⊥AC交AH于点G．若∠ACB＝45°，求证：AF+AE＝AG；（3）如图3，已知AB⊥AC，若∠ACB＝30°，AB＝2，直接写出AF+BF+CF的最小值．2023年广东省深圳市南山区中考数学二调试卷参考答案与试题解析一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：该空心圆柱体的俯视图是故选：D．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，掌握从上边看得到的图形是俯视图是关键．2．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：2200亿＝220000000000＝2.2×1011．故选：C．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．3．【分析】利用根的判别式的意义对A选项和C选项进行判断；通过解方程对B选项和D 选项进行判断．【解答】解：A．Δ＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，方程没有实数解，所以A选项符合题意；B．x＝0或x＝3，解得x1＝0，x2＝3，所以B选项不符合题意；C．方程化为一般式为3x2﹣x﹣2＝0，则Δ＝（﹣1）2﹣4×3××（﹣2）＝25＞0，方程有两个不相等的实数解，所以C选项不符合题意；D．x+2＝±2，解得x1＝0，x2＝﹣4，所以D选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．4．【分析】先求出a的横坐标，根据图象即可确定不等式﹣2x≤kx+5的解集．【解答】解：∵函数y＝﹣2x和y＝kx+5的图象相交于点A（a，2），∴﹣2a＝2，解得a＝﹣1，∴点A坐标为（﹣1，2），根据图象可知，不等式﹣2x≤kx+5的解集为x≥﹣1，故选：B．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，两条直线相交问题，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．5．【分析】根据等边三角形性质求出∠A＝∠ACB＝60°，根据平行线的性质求出∠2的度数．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∵∠1＝42°，∴∠ADE＝42°，∴∠AED＝180°﹣60°﹣42°＝78°，∴∠AEF＝180°﹣∠AED＝180°﹣78°＝102°，∵直线a∥直线b，∴∠2＝∠AEF，∴∠2＝102°，故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质的应用，解此题的关键掌握两直线平行，同位角相等．6．【分析】根据概率的意义、抽样调查、随机事件的定义解决此题．【解答】解：A．根据概率的定义，某彩票中奖率是1%指该彩票中奖的可能性为1%，并不是指买100张彩票一定有一张中奖，那么A错误，故A不符合题意．B．从装有10个红球的袋子中摸出一个白球的是不可能事件，那么B错误，故B不符合题意．C．篮球巨星姚明在罚球线投篮一次投中是随机事件，即有可能投中也有可能投不中，那么C错误，故C不符合题意．D．为了解一批日光灯的使用寿命，该调查对象的总体数量较大，可以采用抽样调查，以样本的情况估计推断总体的情况，那么D正确，故D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查概率、抽样调查、随机事件，熟练掌握概率的意义、抽样调查、随机事件是解决本题的关键．7．【分析】连接OC，由切线的性质得到∠OCA＝90°，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质求出∠AOC＝60°，由锐角的正切求出OC长，求出△ACB的面积，扇形ODC的面积，即可求出阴影的面积．【解答】解：连接OC，∵⊙O与AC相切于C，∴半径OC⊥AC，∴∠OCA＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B＝30°，∴∠AOC＝∠B+∠OCB＝30°+30°＝60°，∵tan∠AOC＝，AC＝2，∴OC＝＝，∴△ACB的面积＝AC•OC＝×2×＝，扇形ODC的面积＝＝π，∴阴影的面积＝△ACB的面积﹣扇形ODC的面积＝﹣π．故选：D．【点评】本题考查切线的性质，扇形面积的计算，三角形面积的计算，关键是掌握切线的性质，扇形面积公式，8．【分析】过点O作OE⊥CD，垂足为E，延长EO交AB于点F，根据题意可得：OE＝15cm，CD＝8cm，OF＝10cm，AB∥CD，然后利用平行线的性质可得：∠A＝∠C，∠B＝∠D 从而可得△ABO∽△CDO，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．【解答】解：如图：过点O作OE⊥CD，垂足为E，延长EO交AB于点F，由题意得：OE＝15cm，CD＝8cm，AB∥CD，∴OF⊥AB，∴OF＝10cm，∵AB∥CD，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴△ABO∽△CDO，∴＝，∴＝，解得：AB＝，∴蜡烛火焰的高度是cm，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．9．【分析】将△ABE绕点A逆时针旋转60°，使得E的对应点是F，则B的对应点是C，再判定△EFC是直角三角形，利用勾股定理求解．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，将△ABE绕点A逆时针旋转60°，使得E的对应点是F，则B的对应点是C，∴AF＝AE，∠EAF＝60°，∠AFC＝∠AEB＝150°，CF＝BE＝4，∴△AEF为等边三角形，∴AE＝EF，∠AFE＝60°，∴∠CFE＝90°，∴EF2＝CE2﹣CF2＝20，∴EF＝2，故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，添加辅助线是解题的关键．10．【分析】如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG，证明B，E，G，F在以O为圆心的圆上，得点G在∠ABC的平分线上，当CG⊥BG时，CG最小，此时，画出图2，根据△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，证明△EGB≌△FGC，可得BE＝CF，设AB＝m，根据BE：AB＝1：3，可得CF＝BE＝m，根据含30度角的直角三角形可得AD，进而可得结论．【解答】解：如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵O是EF的中点，∴OB＝OE＝OF，∵∠EGF＝90°，O是EF的中点，∴OG＝OE＝OF，∴OB＝OG＝OE＝OF，∴B，E，G，F在以O为圆心的圆上，∴∠EBG＝∠EFG，∵∠EGF＝90°，EG＝FG，∴∠GEF＝∠GFE＝45°，∴∠EBG＝45°，∴BG平分∠ABC，∴点G在∠ABC的平分线上，∴当CG⊥BG时，CG最小，此时，如图2，∵BG平分∠ABC，∴∠ABG＝∠GBC＝ABC＝45°，∵CG⊥BG，∴△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，∠BGC＝90°，∴BG＝CG，∵∠EGF＝∠BGC＝90°，∴∠EGF﹣∠BGF＝∠BGC﹣∠BGF，∴∠EGB＝∠FGC，在△EGB和△FGC中，，∴△EGB≌△FGC（SAS），∴BE＝CF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，设AB＝m，∵BE：AB＝1：3，∴CF＝BE＝m，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝2m，∴BC＝＝m，∴AD＝m，∴＝＝．故选：A．【点评】本题属于几何综合题，是中考选择题的压轴题，考查了矩形的性质，四点共圆，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是准确作辅助线综合运用以上知识．二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．【分析】先提取公因式．再利用完全平方公式．【解答】解：原式＝3x（x2+2x+1）＝3x（x+1）2．故答案为：3x（x+1）2．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提取公因式法和完全平方公式是解决本题的关键．12．【分析】直接由概率公式求解即可．【解答】解：一共有4张卡片，其中整数有2个，故从中随机抽取1张，恰好抽到正面印有整数的卡片的概率为．故答案为：．【点评】此题考查的是概率公式．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．13．【分析】证明△ACN≌△EMN（AAS），得CN＝MN，AN＝EN，由勾股定理求得BC，得CN，CM，再运用勾股定理求出AN即可．【解答】解：∵DM⊥BC，∴∠DMB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DMB＝∠ACB＝90°，∴DM∥AC，∵AC＝2DM，∴点M为BC的中点，∵AC＝EM，∠ANC＝∠ENM，∠C＝∠NME，∴△ACN≌△EMN（AAS），∴CN＝MN，AN＝EN，∵AC＝5，AB＝13，由勾股定理得BC＝12，∴CM＝6，∴CN＝MN＝3，∴AN＝＝，∴AE＝2AN＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握三角形全等是解题的关键．14．【分析】通过作垂线构造直角三角形，根据直角三角形的两锐角的平分线的夹角为45°，求出∠CEF＝45°，在Rt△CEF中根据特殊锐角三角函数值可求出CF、EF，在Rt△COF中，根据勾股定理求出OF，再根据△FOG∽△HOE，得出，＝，最后根据反比例函数系数k的几何意义求出结果即可．进而求出S△HOE【解答】解：过点C作CF⊥OD，垂足为F，延长CF交OA于点G，过点E作EH⊥OA，垂足为H，∵AC平分∠OAB，OD平分∠AOB，∠OBA＝90°，∴∠EOA+∠EAO＝（∠BOA+∠BAO）＝（180°﹣90°）＝45°＝∠CEF，在Rt△CEF中，∠CEF＝45°，CE＝，∴CF＝EF＝×＝1，在Rt△COF中，OC＝，CF＝1，∴OF＝＝2，在Rt△OCF和Rt△OGF中，∵∠OFC＝∠OFG＝90°，OF＝OF，∠COF＝∠GOF，∴Rt△OCF≌Rt△OGF（ASA），∴OG＝OC＝，FC＝FG＝1，∵∠OFG＝90°＝∠OHE，∠FOG＝∠HOE，∴△FOG∽△HOE，∴，＝×1×2＝1，又∵S△FOG＝|k|＝，∴S△HOE∴k＝（取正值），故答案为：．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，三角形全等以及解直角三角形，求出△HOE的面积是解决问题的前提．15．【分析】如图，作△BFC的外接圆⊙O，连接OG，OF，OC，过点O作OH⊥CF于点H．说明B，F，C，G四点共圆，求出OF，可得结论．【解答】解：如图，作△BFC的外接圆⊙O，连接OG，OF，OC，过点O作OH⊥CF 于点H．∵△BCF是等边三角形，∴∠BFC＝∠FBC＝60°，CB＝CF＝3，∵∠BGC＝120°，∴点G在△ABC的外接圆上，∴OG＝OF＝OC，∵OH⊥CF，∴FH＝CH＝，∵∠FOC＝2∠FBC＝120°，∴∠OFC＝∠OCF＝30°，∴OF＝＝，∵FG≤OF+OG＝2，∴FG的最大值为2．【点评】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，圆的有关知识等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（共7小题，满分55分）16．【分析】先根据分式混合运算的相关运算法则将原式化简，再在所给的值中选取一个使原式有意义的值代入计算即可．【解答】解：＝[﹣]•＝（﹣）•＝•＝x+2，∵要使原分式有意义，∴x的值不能取﹣2、2、3，∴x可取的值为1，当x＝1时，原式＝1+2＝3．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是熟悉分式混合运算的相关运算法则，代值计算时，所选取的值必须使原分式有意义．17．【分析】（1）由以原点O为位似中心，将△OBC缩小为原来的一半，根据位似图形性质，可求得其对应点的坐标，继而画出图形；（2）结合（1）可求得B点的对应点坐标；（3）根据位似图形的性质，即可求得点M经位似变换后的对应点坐标．【解答】解：（1）如图，△B′OC′，△B″OC″为所求，（2）B点的对应点坐标为：（1，﹣2）；（3）△OBC内部一点M的坐标为（x，y），则点M经位似变换后的对应点坐标为：（x，y），（﹣x，﹣y）．【点评】此题考查了位似图形变换．注意掌握关于原点位似的图形的变化特点是关键．18．【分析】（1）由非常满意的有20人，占40%，即可求得此次调查中接受调查的人数，用总人数减去其他几项的人数即为满意的人数，再补全统计图即可．（2）根据（1）求得的非常满意的人数和满意人数，用300×即可；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选择的市民均来自同区的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵非常满意的有20人，占40%，∴此次调查中接受调查的人数：20÷40%＝50（人），∴此次调查中结果为满意的人数为：50﹣4﹣8﹣20＝18（人），补全统计图如下：（2）该市对市创卫工作表示满意的人数＝＝108（万），该市对市创卫工作表示非常满意的人数＝300×＝120（万），答：估算该市对市创卫工作表示满意和非常满意的人数分别为108万，120万；（3）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，选择的市民均来自同区的有4种情况，∴选择的市民均来自甲区的概率为：＝．【点评】本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．【分析】（1）连接OB，OA，OA交CD于F点，如图，根据切线的性质得到∠OBP＝90°，再证明∠AFE＝90°，则根据垂径定理得到＝；（2）根据圆周角定理，由＝得到∠ACD＝∠ABC，则可证明△ACE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质得到AC：AB＝AE：AC，从而根据比例的性质可计算出AE的长．【解答】（1）证明：连接OB，OA，OA交CD于F点，如图，∵PB与⊙O相切，∴OB⊥PB，∴∠OBP＝90°，即∠OBA+∠PBE＝90°，∵PB＝PE，∴∠PBE＝∠PEB，∵∠PEB＝∠AEF，∴∠OBA+∠AEF＝90°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∴∠OAB+∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°，∴OA⊥CD，∴＝，即点A是的中点；（2）解：∵＝，∴∠ACD＝∠ABC，∵∠CAB＝∠EAC，∴△ACE∽△ABC，∴AC：AB＝AE：AC，∵AC＝4，AE＝BE，∴4：2AE＝AE：4，解得AE＝2，即AE的长为2．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质．20．【分析】（1）设试销时该品种苹果的进价是每千克x元，则第二次购进该品种苹果的进价是每千克（x+0.5）元，根据数量＝总价÷单价结合第二次购进苹果数量是试销的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）根据数量＝总价÷单价即可求出两次购进苹果的数量，再利用利用＝销售收入﹣成本即可求出结论．【解答】解：（1）设试销时该品种苹果的进价是每千克x元，则第二次购进该品种苹果的进价是每千克（x+0.5）元，根据题意得：×2＝，解得：x＝5，经检验，x＝5是原方程的根，且符合题意．则两次共购进苹果×3＝3000（千克），答：试销时该品种苹果的进价是每千克5元，两次共购进苹果3000千克．（2）10×（3000﹣500）+10×0.6×500﹣5000﹣11000＝12000（元）．答：超市在这两次苹果销售中共盈利12000元．【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据数量关系，列式计算．21．【分析】（1）观察表格，函数图象经过点（﹣1，3），（0，1），将这两点的坐标分别代入y＝a|x|+b，利用待定系数法即可求出这个函数的表达式；把x＝﹣2代入即可求出m，将x＝1代入即可求出n；（2）根据表格数据，描点连线即可画出该函数的图象；（3）根据图象判断即可；（4）根据图象得出当t＞﹣3时，直线y＝2x+t与函数y＝2|x﹣1|﹣1的图象只有一个交点，即可得出方程组有且只有一个公共解，则t的取值范围是t＞﹣3．【解答】解：（1）∵函数y＝a|x﹣1|+b的图象经过点（﹣1，3），（0，1），∴，解得，∴y＝2|x﹣1|﹣1，∴当x＝﹣2时，m＝2×|﹣2﹣1|﹣1＝5，当x＝1时，n＝2×|1﹣1|﹣1＝﹣1．故答案为：5，﹣1；（2）函数y＝2|x﹣1|﹣1的图象如图所示：（3）根据图象可知，①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线x＝1．正确；②当x＜1时，y随x的增大而增大，当x≥1时，y随x的增大而减小．错误；③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当x＝1时有最小值﹣1．正确；故答案为：√；×；√；（4）把（1，﹣1）代入y＝2x+t得，t＝﹣3，∴当t＞﹣3时，直线y＝2x+t与函数y＝2|x﹣1|﹣1的图象只有一个交点，∴方程组有且只有一个公共解，则t的取值范围是t＞﹣3．故答案为：t＞﹣3．【点评】本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．也考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与性质，综合性较强，难度适中．画出函数的图象利用数形结合是解题的关键．22．【分析】（1）根据“直角三角形的中线等于斜边长一半”，可以得到AE＝BE＝CE＝5，再在直角△BEF中，利用勾股定理求出EF，则AF＝AE﹣EF，即可求解；（2）由题意可得，AC是∠GCE的角平分线，且CG⊥AC，故延长AE，GC交于点M，可证AG＝AM，要证AG＝AE+AF，而AM＝AE+EM，即证明AF＝EM即可，延长BF交AC于N，过E作EP⊥AC于P，先证明△ABN≌△EAP，可以得到AN＝EP，再证明四边形EQCP是正方形，得到EQ＝EP＝AN，接着证明△ANF≌△EQM即可解决；（3）如图3，分别以AF和AC为边构造等边三角形，构造“手拉手”模型，即可得到△AFC≌△AMN，所以CF＝MN，FM＝AF，则AF+BF+CF＝BF+FM+MN，当B，F，M，N四点共线时，所求线段和的值最小，利用∠BAN＝150°，AB＝2，AC＝AN＝，解△ABN即可解决．【解答】（1）解：∵AB⊥AC，如图1，∴∠BAC＝90°，E为BC的中点，AE＝5，∴AE＝BE＝EC＝5，∵BF⊥AE，∴∠BFE＝90°，在Rt△BEF中，EF＝＝1，∴AF＝AE﹣EF＝4；（2）证明：如图2，设射线AE与射线GC交于点M，由题可设∠CAM＝∠CAG＝α，∵AC⊥CG，∴∠ACM＝∠ACG＝90°，∴∠AMG＝∠AGM＝90°﹣α，∴AM＝AG，∵∠BFE＝∠BAC，∴∠ABF+∠BAE＝∠CAM+∠BAE，∴∠ABF＝∠CAM＝α，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴∠ABF+∠FBE＝∠ACB+∠CAM，∵∠ABF＝∠CAM＝α，∠ACB＝45°，∴∠FBE＝∠ACB＝45°，延长BF交AC于N，∴BN＝CN，∠BNC＝∠ANF＝90°，过E作EP⊥AC于P，则∠APE＝∠BNA＝90°，在△ABN与△EAP中，，∴△ABN≌△EAP（AAS），∴AN＝EP，过E作EQ⊥CM于Q，∴∠EQC＝∠ACM＝∠EPC＝90°，∴四边形EQCP为矩形，∵∠BCM＝90°﹣∠ACB＝45°，∴∠BCM＝∠ACB，∴EP＝EQ＝AN，∴矩形EQCP为正方形，∴EQ∥AC，∴∠MEQ＝∠FAN，在△MEQ与△FAN中，，∴△EQM≌△ANF（ASA），∴AF＝EM，∵AM＝AE+EM，∴AG＝AE+AF；（3）解：如图3，以AC为边构等边△ACN，以AF为边构造等边△AFM，∴AF＝AM＝FM，AC＝AN＝CN，∠FAM＝∠CAN＝60°，∴∠FAM﹣∠MAC＝∠CAN﹣∠MAC，∴∠CAF＝∠NAM，在△AFC与△AMN中，，∴△AFC≌△AMN（SAS），∴CF＝CM，∴AF+BF+CF＝BF+FM+MN，当B，F，M，N四点共线时，AF+BF+CF最小，即为线段BN的长度，如图4，过N作NT⊥BA交其延长线于T，∴∠BTN＝90°，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵AB＝2，∠ACB＝30°，∴BC＝2AB＝4，∴AC＝＝，∴AN＝AC＝，∵∠BAN＝∠BAC+∠CAN＝150°，∴∠TAN＝180°﹣∠BAN＝30°，在Rt△TAN中，TN＝，∴＝3，∴TB＝TA+AB＝3+2＝5，∴BN＝＝，∴AF+BF+CF的最小值为．【点评】本题是一道四边形综合题，考查了线段的“截长补短”在证明三角形全等中的应用，同时要注意基本辅助线构造方法，比如第2问中的线段AC即是角平分线，又是垂线段，延长相交构等腰就是本题的突破口，再结合线段的截长补短来构造全等，还考查了多条线段和的最值问题，利用旋转变换来转化线段是解决此问的关键。
广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)
2024-2025学年第一学期九年级期中质量监测数学说明：1．答题前，考生务必在在答题卡指定位置用黑色字迹的钢笔或签字笔填写考试信息，并用2B 铅笔填涂考号．2．用黑色字迹的钢笔或签字笔在指定区域内作答．如需改动，先划掉原来的答案，再写新答案；作答选择题时，用2B 铅笔把对应题目答案的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．不按照以上要求作答，视为无效．第一部分 选择题一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．若关于x 的方程是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A. B. C.且 D.m 为任何实数2．如图所示的几何体的俯视图是（ ）A. B. C. D.3．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横线上，若线段，则线段BC 的长是（ ）A.B.C.1D.4．操场上立有三根等高的木杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是（ ）A. B. C. D.5．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b 为2米，则a 约为（ ）()2210m x x -++=2m ≠0m >0m ≥2m ≠3AB =123432A.0.764米B.1.236米C.1.412米D.1.632米6．如图，在长为30m ，宽为20m 的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为x （m ），则可列方程（ ）A. B.C. D.7．已知一次函数与反比例函数，则其图象可能是（ ）A. B. C. D.8．如图所示，在正方形ABCD 与等边中，A 、D ，F 三点在一条直线上，且，．若有一动点P 沿着ED 由E 往D 移动，则当CP 的长度最小时，EP 的长为（ ）A.2B. C. D.4第二部分 非选择题二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）9．一元二次方程的解是____．10．为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞鱼，通过多次试验后发现捕捞的鱼中有记号的频率稳定在0.1左右，则鱼塘中估计有鱼约____条．11．如图，实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山AC 距离为212468m ()()30220468x x --=()()20230468x x --=302023020468x x ⨯-⨯-=()()3020468x x --=()10y kx k =+≠()0ky k x=≠DEF △8AD=DF=26x x =米的B 处，然后沿着射线CB 退后到点E ，这时恰好在镜子里看到山头A ，利用皮尺测量米，若小宇的眼睛到地面的距离DE 为1.6米，则假山AC 高度为____米．12．如图，BD 、CF 将长方形ABCD 分成四块，的面积是，的面积是，则四边形ABEF 的面积是____平方厘米．13．如图，点A 是双曲线在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰，点C 在第二象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不断的变化，但始终在这一函数图象上运动，则这个函数的解析式为______．三、解答题（本大题共7小题，共61分）14．（本题8分）关于x 的一元二次方程有两个实数根，，并且．（1）求实数m 的取值范围；（2）若，求m 的值．15．（本题9分）10月8日，麒麟中学“第二十四届科技节”隆重开幕，当天举行了丰富多彩的活动，A.三阶6面魔方挑战赛；B.科技知识竞赛；C.环保调查；D.自制地球仪；E.机器人编程挑战赛．为了解学生对这五类活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．2.4BE =DEF △24cm CED △26cm y =Rt ABC △24250x x m --+=1x 2x 12x x ≠212126x x x x m ++=+根据上述信息，解决下列问题．（1）本次调查总人数为______，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；（2）我校有2700名学生，请估计该校参加环保调查的学生人数；（3）该校从C 类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市环保调查，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．16．（本题8分）如图，中，，，．（1）以O 为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在y 轴右侧画出．（2）的面积为______．（3）在网格中找一点D ，使得是以BC 为底边的等腰直角三角形，则点D 的坐标为______．17．（本题8分）某地一村民，2022年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2024年共种植288亩．假设每年的增长率相同．（1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率．（2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元?18．（本题9分）如图，在四边形ABCD 中，，，E ，F 分别是边CD ，BC 上的点，连接BE ，DF 交于点G ，．添加下列条件之一使四边形ABCD 成为菱形：①；②，．（1）你添加的条件是______（填序号），并证明．（2）在（1）的条件下，连接CG ，若，，求菱形ABCD 的面积．19．（本题9分）根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于CD对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH ，测得米．因水深足够，货船可以根ABC △()4,4A -()4,2B --()2,2C -ABC △12111A B C △111A B C △ABC △BCD △AB CD =BC AD =BE DF =CE CF =BE CD ⊥DF BC ⊥2CG =BC =BG =16AB =4CD =8EH =据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h （米）与货船增加的载重量t （吨）满足函数表达式．（1）问题解决：确定桥洞的形状．建立平面直角坐标系如图3所示，CD 落在第一象限的角平分线上．设点C 为，①点A 的坐标为______．（用m 的代数式表示）；②求出经过点A 的双曲线的函数表达式．（2）探索应用：这艘货船运载货物高3米（即米），此时货船能通过该桥洞吗?若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物?．）20．（本题10分）综合与实践课上，徐老师和同学们开展了一场以“最小值”为主题的探究活动．【提出问题】徐老师提出了一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，，，P 为AD 边上的一动点，以PC 为边向右作等边，连接BE ，如何求BE 的最小值?【探究发现】小亮发现：如图4所示，以BC 为边向下构造一个等边，便可得到，进而将BE 的最小值转化为PM 的最小值的问题．（1）按照小明的想法，求证：；并求出BE 的最小值．【拓展应用】（2）小刚受此启发，举一反三，提出新问题：如图2，若将图1当中构造的等边三角形，改为以PC 为边向右构造正方形PCFG ，在运动过程中，求出BG 的最小值．（3）小红同学深入研究了小刚的问题，并又提出了新的问题：如图3，若将图2当中构造的正方形改为以PC 为边向右构造菱形PCHI ，使，也可求得BI 的最小值．请你直接写出BI 最小值为______．2024-2025学年第一学期九年级期中质量监测参考答案一、选择题（共8小题）12345678ACCDBADB8．解：当时，CP 的长度最小，110h t =(),m m 3EF = 3.2≈ 3.6≈6AB =12BC =PCE △BCM △PCM ECB △△≌PCM ECB △△≌120CPI ∠=︒CP DE ⊥∵四边形ABCD 是正方形，∴，，∵是等边三角形，∴，，∴，∴，在中，，∴．故选：B.二、填空题（共3小题）9．， 10．100011．1412．1113．解：如图，连接OC ，作轴于D ，轴于E ，∵A 点、B 点是正比例函数图象与双曲线的交点，∴点A 与点B 关于原点对称，∴，∵为等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，∵在和中，∴（AAS ），设A 点坐标为，则，，∴C 点坐标为，∵，∴点C 在反比例函数图象上．90ADC CDF ∠=∠=︒6CD AD ==DEF △60EDF ∠=︒DE DF ==30CDP CDF EDF ∠=∠-∠=︒142CP CD ==Rt CDP△DP ==EP DE DP =-=-=10x =26x=)0y x =<CD x ⊥AE x⊥y =OA OB =ABC △OC OA =OC OA ⊥90DOC AOE ∠+∠=︒90DOC DCO ∠+∠=︒DCO AOE ∠=∠COD △OAE △,,DCO EOA DCO EOA CO OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩COD OAE △△≌a ⎛ ⎝OD AE ==CD OE a ==a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭a =)0y x =<故答案为：．三、解答题（共8小题）14．解：（1）∵方程有两个实数根，，并且，∴，∴；（2）∵，是该方程的两个根，∴，，∵，∴，解得：或，∵，∴．15．解：（1）（人），∴本次调查总人数为200；（人），∴喜欢24点游戏的有50人；补全条形统计图如下：（2）（人），∴该校参加魔方游戏的学生人数约为810人；（3）根据题意画树状图如下：共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生有8种，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率是．16．解：（1）如图，即为所求．)0y x =<1x 2x 12x x ≠()()2441250m --⨯⨯-+>12m >1x 2x 124x x +=1225x x m =-+212126x x x x m ++=+22546m m -++=+3m =-1m =12m >1m =2010%200÷=()2004020603050-+++=602700810200⨯=82123=111A B C △（2）∵，，∴，则，故答案为：6；（3）∵是以BC 为底边的等腰直角三角形，∴点D 在BC 的垂直平分线上，方法一：结合图形可知点D 的坐标为或；方法二：如图，是等腰直角三角形，∴，，过点作轴，，，则，，，则，∴，∴，∴（AAS ），∴，，∵，∴，则，又∵，∴，∴，同理可得，即点D 的坐标为或；()4,4A -()4,2B --6AB =()1162622ABC C A S AB x x =⋅-=⨯⨯=△BCD △()1,1--()5,1-2BCD △22BD CD =290BD C ∠=︒2D MN y ∥CM MN ⊥CN MN ⊥4C B MN y y =-=2D C CM x x =-2D B BN x x =-22290CMD D NB BD C ∠=∠=∠=︒2222BD N CD M CD M MCD ∠+∠=∠+∠22BD N MCD ∠=∠22BD N D CM △△≌2222D C D CM D N x x x ==-=+224D BN D M x ==+2222424D D MN D N D M x x ==+=+++21D x =-23D M =223C D D D M y y y =-=-=21D y =-()21,1D --()15,1D -()1,1--()5,1-故答案为：或．17．解：（1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x ，根据题意得：，解得：，（不符合题意，舍去）．答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为20%（2）设售价应降价y 元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去）．答：售价应降低6元．18．解：（1）②．证明：∵，，∴，在和中∴（AAS ），∴，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形．故答案为：②；（2）连接BD ，AC ，相交于O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴，设，由勾股定理可得，，即，解得：，∴，，，∴菱形ABCD 的面积19．解：（1）∵CD 落在第一象限的角平分线上，()1,1--()5,1-()22001288x +=10.220%x ==2 2.2x =-()188y --()12015y +()()188********y y --+=22240y y --=16y =24y =-BE CD ⊥DF BC ⊥90CFD CEB ∠=∠=︒CFD △CEB △CFD CEBC C DF BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩CFD CEB △△≌CD CB =AC BD ⊥OG x =22222BO BG OG BC OC =-=-((()22222x x -=-+2x =4OC =OB ==8AC =BD =11822AC BD =⋅=⨯⨯=∴A 、B 关于CD 对称，即A 、B 关于第一象限角平分线对称，∴点D 是AB 的中点，，过点C 、D 分别作x 轴、y 轴的平行线交于E ，过点A 作于F ，如图，则、是等腰直角三角形，∵，∵，∴，∴，∴∴，∴点A 在双曲线上（2）由（1）可求：，，，，∵四边形EFGH 是矩形，∴，，，设OD 和EH 交于点，若能加好通过，则点∴，∴∵，∴，∴此船最高载货2.8米∵，∴此船不能通过，∴，∵，∴，故要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞．答：此时货船不能通过该桥洞；要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞．20．解：（1）如图，过点M 作于K ，交BC 于L ，∵和都是等边三角形，∴，，，∴，即，y x =OD AB ⊥AF DE ⊥CDE △ADF △4CD =16AB =8AD =AF DF ==(A m m +-(2m m m+-=m =18y x=(A B(C (D FG EH =GH EF =8EH =(),M n n (H n n +-(18n n +-=n =7.2OM =≈10OD = 2.8CD EF =≈2.83<3 2.80.2h =-=110h t =102t h ==MKAD ⊥PCE △BCM △CE CP =CB CM =60PCE MCB MBC ∠=∠=∠=︒PCE PCB MCB PCB ∠+∠=∠+∠BCE MCP ∠=∠在和中，，∴（SAS ）∴当MP 最小时，BE 最小，∵M 为定点，∴当时，即点P 与点K 重合时，最小，∵四边形ABCD 是矩形，∴，，，∴，∵，∴四边形ABLK 是矩形，∴，在中，，∴，∴BE 的最小值为；（2）如图，以BC 为边向下作正方形BCKL ，连接BK 、CL 交于点O ，连接OP ，CG ，过点O 作于，交BC 于T ，∵四边形CPGF 、BCKL 是正方形，∴，，，是等腰直角三角形，∴，即，∵，∴，当BG 取得最小值时，最小，∵点O 为定点，∴当时，即点P 与点重合时，最小，∵，∴，即，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，∴，∴OP 的最小值为12，∴BG 的最小值为，（3）如图，连接CI 、PH 交于O ，在BC 下方作射线BM 、射线CN ，使，射线BCE △MCP △CE CP BCE MCP CB CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BCE MCP △△≌MP AD ⊥MP MK =AD BC ∥6BC =90A ABC ∠=∠=︒ML BC ⊥90AKL A ABC ∠=∠=∠=︒3KL AB ==Rt MCL △ML =6MK ML KL =+=+6+OP AD '⊥P '45PCG BCO ∠=∠=︒CG =OC OB BC ===BOC △PCG PCB BCO PCB ∠+∠=∠+∠BCG OCP ∠=∠CG BC CP OC==BCG OCP △△∽BG =OP BG =OP AD ⊥P 'OP OP '=BC AD ∥OP BC '⊥90CTO ∠=︒6OT ='90A ABC AP O ∠=∠=∠=︒ABTP '6TP AB '==6612OP OT TP ''=+=+=30CBM BCN ∠=∠=︒BM 、射线CN 交于点Q ，过点Q 作于，交BC 于K ，连接PQ ，∵四边形PCHI 是菱形，，∴，，，，在中，，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴当QP 取得最小值时，最小，∵点Q 为定点，∴当，即点P 与点重合时，最小，由（2）知：，∴，∴BI 的最小值QP AD '⊥P '60PCH ∠=︒PH CI ⊥PC PI =30PCI PIC ∠=∠=︒2CI CO =Rt CPO△CO PC =2CI CO ==30CBQ BCQ ∠=∠=︒QB QC =QP AD '⊥AD BC ∥QK BC ⊥162bK CK BC ===QK =CQ =BC CQ ==CI PC=BC CI CQ PC ==30BCI BCP ∠=∠+︒30QCP BCP ∠=∠+︒BCI QCP ∠=∠BCI QCP △△∽BI CI QP PC==BI =BI =QP AD ⊥P 'QP QP QK KP ''==+6KP AB '==6QP QK KP ''=+=+()66==+。
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市南山区2004年初中毕业生学业考试数学试卷说明：1．全卷七大题，共8页，考试时间90分钟，满分100分．2．答题前，请将考场号、试室号、座位号、考生号、写在试卷密封线．不得在试卷上作任何标记．3．解答选择题时，请将选项的字母代号写在答题表一；解答填空题时，请将答案写在答题表二；做解答题、证明题、应用题、分析题、探究题时，请将解答过程和结果写在指定的位置上．答题表一每小题给出4个答案，其中只有一个是正确的．请把正确答案的字母代号填在上．．．面的答题表一．．．．．．．1、 某物体的三视图是如图1所示的三个图形，那么该物体形状是（ ）。
A ． 长方体B ． 圆锥体C ． 立方体D ． 圆柱体２．今年6月5日是第33个世界环境日，其主题是“海洋存亡，匹夫有责”．目前全球海洋总面积约为36105.9万平方公里，用科学记数法(保留三个有效数字)表示为（ ）。
A ．3.61×108平方公里B ．3.60×108平方公里C ．361×106平方公里D ．36100万平方公里一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）正视图左视图俯视图图13．x 必须满足的条件是（ ）。
A ．x ≥1B ．x ＞－1C ．x ≥－1D ．x ＞14．下列轴对称图形中（如图2），只有两条对称轴的图形是（ ）。
5．如图3，AB ⊥BC ，∠ABD 的度数比∠DBC 的度数的两倍少15°，设∠ABD 和∠DBC 的度数分别为x 、y ，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是（ ）。
A ．9015x y x y +=⎧⎨=-⎩ B ．90215x y x y +=⎧⎨=-⎩C ．90152x y x y +=⎧⎨=-⎩D ．290215x x y =⎧⎨=-⎩6．为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班学生爱吃哪几种水果作了民意调查．那么最终买什么水果，下面的调查数据中最值得关注的是（ ）。
A ．中位数B ．平均数C ．众数D ．加权平均数7．如图4，若△ABC ≌△DEF ，则∠E 等于（ ）。
A ．30°B ． 50°C ．60°D ．100°8．如图5，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面 成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ）。
A ．10米B ．15米C ．25米D ．30米D E F 图4 A BC 图5 图 2 A ． B ． C ．D ．ADBC图3y°x°9．图6是市南山区地图的一角，用刻度尺、量角器测量可知，大学( ) 大约在南山区政府(★)的什么方向上（ ）。
A ．南偏东80°B ．南偏东10°C ．北偏西80°D ．北偏西10°10．图7所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同 时落在偶数上的概率是（ ）。
A ．525 B ．625 C ．1025 D ．192511．图8是2004年6月份的日历，如图中那样，用一个圈竖着圈住3个数．如果被圈的三个数的和为39，则这三个数中最大的一个为12．如图9，D 、E 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的点，请你添加一个条件，使 △ADE 与△ABC 相似．你添加的条件是二、填空题（本题有5小题，每题3分，共15分．请把答案填在答题表二内．．．．．．．相应的题号下．） A B C D E 图9图8图7图613．老师给出一个函数，甲、乙、丙各正确指出了这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一象限；乙：函数的图象经过第三象限；丙：在每个象限，y随x的增大而减小．14．如图10，在⊙O中，已知∠ACB=∠CDB=60°，AC=3，则△ABC的周长是15．小洪和小斌两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如图11所示，根据三、解答题（本部分共27分，第16、17、21题各4分，第18、19、20题解：原式＝解：16．（4分）计算：(10112cos302-︒⎛⎫++⋅⎪⎝⎭17．（4分）有这样一道题：“计算：2222111x x xxx x x-+-÷--+的值，其中2004x=．”甲同学把“2004x=”错抄成“2040x=”，图10（结果保留根号．．．．．．）图11体育项目测试成绩次数得分x解：（1） (2分) 球在空中运行的最大高度为多少米？ 解：（2） (3分) 框中心的水平距离是多少？ 解：18．（5分）解方程：23xx x ++19．（5分）如图12，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线213.55y x =-+运行，然后准确落入篮框内．已知篮框的中心离地面的距离为3.05米．解：解：22．如图14，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH 为菱形，并说明理由． 解：添加的条件： 理由：四、证明题（本题5分）20．（5分）在“深圳读书月”活动中，小华在书城买了一套科普读物，有上、中、下三册，要整齐的摆放在书架上，有哪几种摆法？其中恰好摆成“上、中、下”顺序的概率是多少？21．（4分）平移方格纸中的图形（如图13），使A 点平移到A ′点处，画出平移后的图形，并写上一句贴切、诙谐的解说词．图13AB C DEF G H 图14解说词： A · ·A ′23．某地拨号入网有两种收费方式，用户可以任选其一：（A ） 计时制：0.05元/分； (B) 包月制：50元/此外，每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分．（1） （4分）请你分别写出两种收费方式下用户每月应支付的费用y （元）与上网时间x （小时）之间的函数关系式；解：（2） （1分） 若某用户估计一个月上网的时间为20小时，你认为采用哪种方式较为合算？解： 723万．除少部分 参加各省中专、中职、考试的考生外，参加统考的考生中有文史类、理工类、文理综合类．下面的统计图（图15）反映了今年全国普通高校招生报名人数的部分情况，请认真阅读图表，解答下列问题：(1) (3分) (2) (3分) 三个以上的信息； 解：(3) (2分) 解：五、应用题（本题5分）六、图表阅读分析题（本题8分）25．如图16，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的面积为15，边OA 比OC 大2． E 为BC 的中点，以OE 为直径的⊙O ′交x 轴于D 点，过点D 作DF ⊥AE 于点F ． （1） (2分) 求OA 、OC 的长；解：（2） (3分) 求证：DF 为⊙O 证明：（3） (5分) 小明在解答本题时，发现△AOE 是等腰三角形．由此，他断定：“直线 BC 上一定存在除点E 以外的点P ，使△AOP 也是等腰三角形，且点P 一定在⊙O ′外”．你同意他的看法吗？请充分．．说明理由． 解：七、综合探究题（本题10分）祝贺你做完了考题,请再仔细检查一遍,看看有没有错的、漏的,别留下什么遗憾哦！市南山区2004年初中毕业生学业考试数学参考答案及评分建议一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）二、填空题（本题有5小题，每题3分，共15分）说明：填空题12题的答案写成AB AC=或DE//BC 也可以；13题的答案画出图形或 列出表格符合反比例函数性质，也给分。
三、解答题 16、原式=122++ …… (3分) (每个一分) =3+ …… (4分)17、∵ 2222111x x x x x x x -+-÷--+=()()()()211111x x x x x x x -+⋅-+-- =x x -=0 ……（3分）只要x 的取值使这个代数式有意义，其值就为0．∴2004x =错抄成2040x =不影响结果，都为0 ． ……（4分）18、 方程两边同乘以()3x x +，得 …… (1分)()()2233x x x x ++=+ ……（2分）22263x x x x ++=+∴6x =……（3分）检验：把6x =代入()3x x +=54≠0 …… （4分） ∴原方程的解为6x =． …… （5分）19、⑴ ∵抛物线 21 3.55y x =-+的顶点坐标为（0，3.5） ∴球在空中运行的最大高度为3.5米 ． ……（2分） ⑵ 在21 3.55y x =-+中 当 3.05y =时 213.05 3.55x =-+ ∴22.25x = ∴ 1.5x =±又∵x ＞0 ∴ 1.5x = …… （3分） 当 2.25y =时 212.25 3.55x =-+ ∴26.25x = ∴ 2.5x =±又∵x ＜0 ∴ 2.5x =- …… （4分） 故运动员距离篮框中心水平距离为1.5 2.54+-=米． …… （5分）20、摆法共有如下6种：上、中、下； 上、下、中；中、上、下； 中、下、上；下、上、中； 下、中、上． …… （3分） 恰好摆成“上、中、下”的概率为16． …… （5分）21、平移图形给3分，解说词给1分．四．证明题22、条件：对角线相等 …… （2分）理由：连结AC 、BD∵在△ABC 中，AE=BE BF=CFGABCDE FH∴EF 为△ABC 的中位线∴EF=12AC …… （3分） 同理可得FG=12BD GH=12AC HE=12BD 又∵AC= BD （添加条件）∴EF=FG= GH= HE故四边形EFGH 为菱形. …… （5分）说明：本题条件的给定只要具有对角线相等即可．五．应用题23、⑴ 依题意，得计时制：()600.050.02y x =⋅+即 4.2y x = …… （2分）包月制：50600.02y x =+⨯⋅即50 1.2y x =+ …… （4分）⑵ 当20x =时计时制： 4.22084y =⨯=（元）包月制：50 1.22074y =+⨯=（元）若某用户估计一个月上网20小时，采用包月制较为合算． …… （ 5分）六．图表阅读分析题24、⑴ 说明：本小题考生正确写出三个信息，即可给3分．⑵ 略（画图正确） …… （6分）（1）在矩形OABC 中，设OC=x 则OA= x +2，依题意得(2)15x x += 解得：123,5x x ==-25x =-（不合题意，舍去） ∴OC=3， OA=5 …… (2分) （只要学生写出OC ＝3，OA ＝5即给2分）（2）连结O ′D在矩形OABC 中，OC=AB ，∠OCB=∠ABC=900，CE=BE=52∴ △OCE ≌△ABE∴EA=EO ∴∠1=∠2在⊙O ′中， ∵ O ′O= O ′D ∴∠1=∠3∴∠3=∠2 ∴O ′D ∥AE ，∵DF ⊥AE ∴ DF ⊥O ′D又∵点D 在⊙O ′上，O ′D 为⊙O ′的半径 ，∴DF 为⊙O ′切线。