数学归纳法原理
第□讲
数学归纳法原理
[知识要点]:
1.归纳法
由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做。
2.数学归纳法
对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性，先证明当 取第1个值
时，命题成立，然后假设当
）时命题成立，证明当 时，命题也成立。在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值 开始的所有自然数都正确。这种证明方法叫做数学归纳法。
运用数学归纳法证明命题要分为两步。第一步是递推的，第二步是递推的，这两步是缺一不可的。
[激活思维]:
例1用数学归纳法证明
。
变式引申:求证:
。
例2求证:
例3是否存在常数 使等式
，依次计算 后，猜想 的表达式是
5.某个命题与自然数 有关，如果当
时该命题成立，那么可推得当 时该命题也成立，现已知 时，该命题不成立，那么可以推得
6.用数学归纳法证明“
”的过程中，第二步假设 时等式成立，则当 时应得到
7.观察下式：
则得出的结论：。
C.综合提高
8.数列 满足 ，
（1）计算 ，并由此猜想通项公式 ；
对一切正整数 成立？证明你的结论。
[分级训练]:
A.基础训练
1.用数学归纳法证明:“
”在验证 时，左端计算所得的项为
2.在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证
3.在数列 中， ，前 项和
，先算出数列的前4项的值，根据这些值时，
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想。
第 页
☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （21216123）△
第 □ 讲
数学归纳法原理
9.设 是否存在 的整式 ，使得等式
对于大于1的一切自然数 都成立？证明你的结论。
10.已知数列 ，其中 且
（1）求
（2）求数列 的通项公式；
（3）设数列 为等差数列，其中 且 为不等于零的常数，若 。
求 。
[备选练习]:
1.（2002.北京春季高考题）已知点的序列
，其中 是线段 的中点， 是线段 的中点， 是线段 的中点，
（1）写出 与 之间的关系式 ；
（2）设 ，计算 ，由此推测数列 的通项公式，并加以证明。
2.（2003.高考新课程。文）已知数列 满足
。
（1）求 ；（2）证明 。
第 页
数学归纳法证明的原理
数学归纳法证明的原理数学归纳法证明的原理数学归纳法证明的原理数学归纳法证明的原理数学归纳法证明的是与自然数有关的命题，它的依据是皮亚诺提出的自然数的序数理论，就是通常所说的自然数的皮亚诺公理，内容是：（１）ｌ是自然数。
（２）每个自然数ａ有一个确定的“直接后继”数ａ’，ａ也是自然数。
（２）ａ’≠１，即１不是任何自然数的“直接后继”数。
（４）由ａ’＝ｂ’，推得ａ＝ｂ，即每个自然数只能是另外的唯一自然的“直接后继”数。
（５）任一自然数的集合，如果包含１，并且假设包含ａ，也一定包含ａ的“直接后继”数ａ’，则这个集合包含所有的自然数。
皮亚诺公理中的（５）是数学归纳法的依据，又叫归纳公理数学归纳法的应用及举例。
因为由假设知４２ｋ＋１＋３ｋ＋２能被１３整除，１３４２ｋ＋１也能被１３整除，这就是说，当ｎ＝ｋ＋１时，ｆ（ｋ＋ｌ）能被１３整除。
根据（１）、（２），可知命题对任何ｎ∈Ｎ都成立。
下面按归纳步中归纳假设的形式向读者介绍数学归纳法的几种不同形式以及它们的应用。
（ｌ）简单归纳法。
即在归纳步中，归纳假设为“ｎ＝ｋ时待证命题成立”。
这是最常用的一种归纳法，称为简单归纳法，大家都比较熟悉，这里不再赘述。
（２）强归纳法。
这种数学归纳法，在归纳步中，其归纳假设为“ｎ≥ｋ时待证命题成立”。
我们称之为强归纳法，又叫串值归纳法。
通常，如果在证明ｐ（ｎ＋ｌ）成立时，不仅依赖于ｐ（ｎ）成立，而且还可能依赖于以前各步时，一般应选用强归纳法，下面举例说明其应用。
例有数目相等的'两堆棋子，两人轮流从任一堆里取几项棋子，但不能不取也不能同时从两堆里取，规定凡取得最后一项者胜。
求证后者必胜。
证：归纳元ｎ为每堆棋子的数目。
设甲为先取者，乙为后取者。
奠基ｎ＝ｌ，易证乙必胜。
归纳设Ｎｎ≤ｋ时，乙必胜。
现证ｎ＝ｋ＋ｌ时也是乙必胜。
设甲在某堆中先取ｒ颗，Ｏ＜ｒ≤ｋ。
乙的对策是在另一堆中也取ｒ颗。
有二种可能：（１）若ｒ＜ｋ，经过两人各取一次之后，两堆都只有ｋ－ｒ颗，ｋ－ｒ＜ｋ，现在又轮到甲先取，依归纳假设，乙必胜。
数学归纳法的应用
数学归纳法的应用数学归纳法是一种重要的数学证明方法，通常用于证明关于自然数的命题。
借助数学归纳法，我们可以通过证明命题在第一个自然数上成立，并证明若命题在某个自然数上成立，则它在其后的自然数上也成立。
在本文中，我们将探讨数学归纳法的基本原理及其在数论和组合数学中的应用。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法的基本原理可以归纳为以下三个步骤：1. 第一步（基础步骤）：首先证明命题在第一个自然数上成立。
这个步骤相对简单，通常可以直接验证或用简单的计算来证明。
2. 第二步（归纳假设）：假设命题在某个自然数k上成立，即假设命题P(k)为真。
这一步是数学归纳法的关键，也是证明的关键所在。
3. 第三步（归纳步骤）：基于归纳假设，证明命题在k+1上也成立，即证明P(k+1)为真。
这个步骤通常需要用到归纳假设以及一些合适的数学推理方法，如代入法、化简法等。
通过以上三个步骤，我们可以建立起一个扎实的证明结构，将命题在所有自然数上的成立进行了推演和证明。
二、数学归纳法在数论中的应用数学归纳法在数论中有着广泛的应用，以下是数论中常见的数学归纳法应用场景：1. 等差数列的求和公式：我们可以利用数学归纳法证明等差数列的求和公式。
首先在第一个自然数上验证公式的成立，然后利用归纳假设证明公式在k+1上也成立。
这样我们就可以确信等差数列的求和公式在所有自然数上成立。
2. 数学归纳法证明整数幂的性质：我们可以利用数学归纳法证明整数幂的一些性质，如指数幂相乘、指数幂相除、指数幂的乘方等。
通过归纳假设和适当的数学推理，我们可以确保这些性质在所有自然数上成立。
三、数学归纳法在组合数学中的应用除了数论，数学归纳法在组合数学中也有着广泛的应用。
以下是组合数学中常见的数学归纳法应用场景：1. 证明集合的基本性质：我们可以利用数学归纳法证明集合的基本性质，如幂集的元素个数、集合的包含关系等。
通过基础步骤、归纳假设和归纳步骤，我们可以逐步证明集合的性质在所有情况下都成立。
1、数学归纳法
a a2 a3 1 + + ⋅⋅⋅ + n ) + 。 n n 2 3
2
ak a2 a3 1 • 假设当 n = k 时，命题成立，即 ak > 2( + + ⋅⋅⋅ + ) + ， k k 2 3 则 2ak 1 2 1 2 2 ak +1 = (ak + ) = ak + + k +1 k + 1 (k + 1) 2 a a a 1 2 1 1 > 2( 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + k ) + + (ak +1 − )+ 2 3 k k k +1 k + 1 (k + 1) 2 a a a 1 1 = 2( 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + k +1 ) + − 2 3 k + 1 k (k + 1) 2 ak +1 a2 a3 1 )+ > 2( + + ⋅⋅⋅ + k +1 k +1 2 3
，知 n = k + 1时（1）（2）成立。 ，
• 故（1）（2）对一切自然数都成立，因此命题成立。 ，
1 3 • 例 7 证明： ( )( ) 2 4
2n − 1 1 ( )≤ 。 2n 3n
• 分析：用数学归纳法直接证明原不等式，当 n = k + 1时，即证 1 3 2n − 1 2n + 1 1 ( )( ) ( )( )≤ 。 2 4 2n 2n + 2 3n + 3
xk = 1时， x1 + x2 +
大学课件：数学归纳法及原理
证明 如果命题T不是对所有自然数都成立，那么使 命题不成立的自然数集合M就是非空集合，由定 理2，M中含有一个最小数k，且k>1(因为k=1命题
正确)，所以对一切n < k,命题T成立，又由（2）
推出命题T对k正确. 结论矛盾. 下面我们给出两个只能应用第二数学归纳法 而不能应用第一数学归纳法解题的例子
命题3 若 b > a,则b a+1. (即数a与a+1是邻接的两个数，中间没有其他
自然数，不存在b，使得a+1>b>a. )
证明 若b > a,则b = a + k. 因为k 1，所以a+k a+1，即b a+1.
最小数原理
定理2 自然数的任何非空集合A含有一个最小数，
即存在一个数 a A ，使得对集合A中任意数b， 均有 b a .
证明 设M这样的集合：
对于M中任意元素 m M ，对A中任意元素a，均
有
am
,则M是非空集合.
因为1 M ，由归纳公理（4）知，一定存在一 个元素 m M . ， 但 m M ,即 m 1 M 可能.
否则由 m M m M 得M=N，这显然不
现在我们证明 m A . 因为若 m A 则A中任意元素a>m.
足够了: 但是毕竟自然数是无限的，因而上述描述是
不够严格的，有了皮阿罗公理后，我们就能给出归纳 法的严格证明.
定理1 如果某个命题T，它的叙述含有自然数，如果
命题T对n=1是正确的，而且假定如果命题T对n的正确性
就能推出命题T对n+1也正确，则命题T对一切自然数都成 立.（第一数学归纳法）
数学归纳法
（一）第一数学归纳法：一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤：（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。
n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。
（二）第二数学归纳法：对于某个与自然数有关的命题P(n），（1）验证n=n0时P(n）成立；（2）假设n0≤n<=k时P(n）成立，并在此基础上，推出P(k+1）成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。
（三）倒推归纳法（反向归纳法）：（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n）成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）；（2）假设P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k）成立，综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立；（四）螺旋式归纳法对两个与自然数有关的命题P(n），Q(n），（1）验证n=n0时P(n）成立；（2）假设P(k）（k>n0）成立，能推出Q(k）成立，假设Q(k）成立，能推出P(k+1）成立；综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n），Q(n）都成立。
（1）确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。
（2）数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。
（3）证明数列前n项和与通项公式的成立。
（4）证明和自然数有关的不等式。
变体在应用，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。
下面介绍一些常见的数学归纳法变体。
从0以外的数字开始如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b 的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：第一步，证明当n=b时命题成立。
数学归纳法
（—）第一数学归纳法：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：（1）证明当n取第一个值时命题成立；（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1是命题也成立。
（二）第二数学归纳法：第二数学归纳法原理是设有一个与自然数n有关的命题，如果：（1）当n＝1回时，命题成立；（2）假设当n≤k时命题成立，则当n＝k+1时，命题也成立。
那么，命题对于一切自然数n来说都成立。
（三）螺旋归纳法：螺旋归纳法是归纳法的一种变式，其结构如下：Pi和Qi是两组命题，如果：P1成立Pi成立=>Qi成立那么Pi,Qi对所有自然数i成立利用第一数学归纳法容易证明螺旋归纳法是正确的编辑本段排列，组合·阶乘：n！=1×2×3×……×n，（n为不小于0的整数）规定0！=1。
·排列从n个不同元素中取m个元素的所有排列个数，A（n，m）= n！/(n - m)！（m是上标，n是下标，都是不小于0的整数，且m≤n）··组合从n个不同的元素里，每次取出m个元素，不管以怎样的顺序并成一组，均称为组合。
所有不同组合的种数C（n，m）= A（n，m）/m！=n！/［m！·（n－m）！］（m是上标，n 是下标，都是不小于0的整数，且m≤n）◆组合数的性质：C(n,k) = C(n,k-1) + C(n-1,k-1);对组合数C(n,k)，将n,k分别化为二进制，若某二进制位对应的n为0，而k为1 ，则C(n,k)为偶数；否则为奇数◆整次数二项式定理（binomial theorem）(a+b)^n=C(n,0)×a^n×b^0+C(n,1)×a^(n-1)×b+C(n,2)×a^(n-2)×b^2+ ...+C(n,n)×a^0×b^n所以，有 C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)=C(n,0)×1^n+C(n,1)×1^(n-1)×1+C(n,2)×1^(n-2)×1^2+...+C(n,n)×1^n =（1+1）^n= 2^n编辑本段微积分学极限的定义:设函数f(x)在点x。
数学三大原理
数学三大原理
1.数学的公理化原理：数学的基础是公理，公理是不需要证明的基本事实或假设。
公理是数学推理的出发点，从公理出发，推导出定理和结论。
数学的公理化使得数学变得精确、严密和可靠。
2. 数学归纳法原理：数学归纳法是一种常见的证明方法，它基于以下原理：若一个命题在某个整数上成立，并且对于任意一个整数n，若命题在n上成立，则命题在n+1上也成立。
这个原理使得我们可以证明有关自然数性质的定理。
3. 数学无矛盾性原理：数学无矛盾性原理是指数学中不存在矛盾的结论。
这个原理是数学的基本特点之一，它使得数学推理的结果是可靠的，并保证了数学研究的正确性。
数学家们一直在努力保持数学的无矛盾性，这也是数学研究的长期目标之一。
- 1 -。
20知识讲解 数学归纳法(提高)(理)1218
数学归纳法【学习目标】1．理解数学归纳法的原理及适用范围．掌握数学归纳法证题的思路和特点。
2．能够利用数学归纳法证明与正整数有关的命题。
【要点梳理】知识点一、数学归纳法的原理1.数学归纳法定义:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法要点诠释：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.2.数学归纳法的原理：数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法。
它的证明共分两步：①证明了第一步，就获得了递推的基础。
但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；②证明了第二步，就获得了递推的依据。
但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论。
其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）。
3.数学归纳法的功能和适用范围1.数学归纳法具有证明的功能，它将无穷的归纳过程根据归纳公理转化为有限的特殊演绎（直接验证和演绎推理相结合）过程.2. 数学归纳法一般被用于证明某些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。
但是，并不能简单地说所有与正整数n有关的数学命题都可使用数学归纳法证明。
知识点二、运用数学归纳法的步骤与技巧1用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确2．用数学归纳法证题的注意事项（1）弄错起始n0．n0不一定恒为1，也可能n0=2或3（即起点问题）．（2）对项数估算错误．特别是当寻找n=k与n=k+1的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）．（3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）．（4）关键步骤含糊不清．“假设n=k时结论成立，利用此假设证明n=k+1时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）．3.用数学归纳法证题的关键：运用数学归纳法由n=k到n=k+l的证明是证明的难点，突破难点的关键是掌握由n=k到n=k+1的推证方法．在运用归纳假设时，应分析由n=k到n=k+1的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，或从n=k+1时分离出n=k时的式子，再进行局部调整；也可以考虑二者的结合点，以便顺利过渡．知识点三、用数学归纳法证题的类型：1.用数学归纳法证明与正整数n有关的恒等式；对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．2.用数学归纳法证明与正整数n有关的整除性问题；用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。
数学归纳法【公开课教学PPT课件】
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1
数学归纳法的原理
数学归纳法的原理
数学归纳法是一种证明方法，它基于以下原理：
1. 基本步骤（基础情况）：首先证明命题在初始情况下成立。
通常需要证明命题在某个特定的基础情况（例如n=1）下成立。
2. 归纳假设：假设命题在某个特定的情况下成立（称为归纳假设），通常为n=k。
3. 归纳步骤：通过归纳假设，证明当n=k+1时，命题仍然成立。
也就是说，通过前面的归纳假设，证明命题在下一个情况（n=k+1）下仍然成立。
基本上，数学归纳法的原理是通过初始情况的验证以及递归的推理，证明了命题在所有的情况下都成立。
这种证明方法常用于证明整数上的命题，特别是与自然数（正整数）有关的命题。