2017年高中数学必修4课堂同步学案第三章 3.1 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
cos 2α
＝ π π 2sin4－αcos4 －α
cos 2α
cos 2α ＝ π sin2×4－2α cos 2α ＝ ＝1. cos 2α
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条件求值
π α＋ 4
[例2]
(1)已知cos
3 π 3π ＝ ， ≤α< ，求 5 2 2
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sin x sin 2x－2sin xcos x· cos x 或原式＝ 1－tan x sin 2x－sin 2xtan x ＝ 1－tan x sin 2x1－tan x ＝ 1－tan x ＝sin 2x.
π π ∵2x＝2x＋4 － ， 2
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∴sin
π π 2x＝sin2 x＋ 4 － 2 π 2x＋4 .
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化简求值
[例1] 求下列各式的值：
π π (1)sin cos ；(2)1－2sin2750° ； 12 12 2tan 150° 1 3 (3) ；(4) － ； sin 10° cos 10° 1－tan2150° (5)cos 20° cos 40° cos 80° .
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[ 解]
π 9π 17π 所以4α＋ ∈ 4 ， 4 ， 4 π 5π 9π 即4α＋ ＝ .故α＝ . 4 2 16
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9.二倍角的配凑问题
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[典例]
π 3 sin 2x－2sin2x 已知cos4＋x＝ ，求 的值． 1－tan x 5
2sin xcos x－2sin2x [解] 原式＝ sin x 1－ cos x 2sin xcos x－sin x ＝ cos x－sin x cos x ＝2sin xcos x ＝sin 2x，
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倍角公式的综合应用
[例3] 已知向量a＝(sin A，cos A)，b＝( 3 ，－1)， a· b＝1，且A为锐角． (1)求角A的大小； (2)求函数f(x)＝cos 2x＋4cos Asin x(x∈R)的值域．
[解] (1)由题意得a· b＝ 3sin A－cos A＝1，
π π 1 2sinA－6 ＝1，sinA－6 ＝ . 2
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[活学活用]
π π 1 π (1)已知sin4＋αsin4－α＝ ，α∈2，π，求sin 6
4α的
值； (2)已知sin22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，求锐角α.
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π π 解：(1)∵sin4＋αsin4 －α π π 1 ＝sin4＋αcos4＋α＝ ， 6 π 1 ∴sin2＋2α＝ ， 3
π π π π sinα－4 ＝－sin4 －α＝－cos －4－α 2 π ＝－cos4 ＋α，
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π π ∴原方程可化为1－2cos α＋4 ＝－cosα＋4 ，
2
π π 1 解得cos α＋4 ＝1或cos α＋4 ＝－ . 2 π π ∵α∈－2，2 ，
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(2)公式的变形用：公式间有着密切的联系，这就要求 思考时融会贯通，有目的的活用公式．主要形式有： 1± sin 2α＝sin2α＋cos2α± 2sin αcos α＝(sin α± cos α)2， 1＋cos 2α 1＋cos 2α＝2cos α，cos α＝ ， 2
2 2
1－cos 2α sin α＝ . 2
3 所以所求函数f(x)的值域是－3，2.
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[类题通法] 二倍角公式的灵活运用 (1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是 创新意识的体现．主要形式有： 1 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝ sin 2α， 2 sin 2α 2tan α 2 2 cos α＝ ，cos α－sin α＝cos 2α， ＝tan 2sin α 1－tan2α 2α.
1 ＝cos 2xsin 2x＋ cos 4x 2 1 ＝ (sin 4x＋cos 4x) 2
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π 2 ＝ sin4x＋4 ， 2 π 2 所以f(x)的最小正周期为 ，最大值为 . 2 2
π 2 (2)因为f(α)＝ ，所以sin4α＋4 ＝1. 2 π 因为α∈2，π，
1 理解教 材新知
知识点 题型一 题型二 题型三 随堂即时演练 课时达标检测
第 三 章
3．1 两角和 与差的 正弦、 余弦和 正切公 式
3.1.3 二倍 角的 正弦、 余弦、 正切 公式
2 突破常 考题型
3 跨越高 分障碍
4 应用落 实体验
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3．1.3
二倍角的正弦、余弦、正切公式
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二倍角公式
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[类题通法] 化简求值的四个方向 三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数 名”“幂”“形”着手分析，消除差异．
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[活学活用] 1 1 化简：(1) － 1－tan θ 1＋tan 2cos2α－1 (2) π π . 2tan4－αsin24＋α θ ；
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cos 10° － 3sin 10° (4)原式＝ sin 10° cos 10°
1 2 2cos 3 10° － sin 10° 2 sin 10° cos 10°
＝
4sin 30° cos 10° －cos 30° sin 10° 4sin 20° ＝ ＝ ＝4. 2sin 10° cos 10° sin 20° 2sin 20° · cos 20° · cos 40° · cos 80° (5)原式＝ 2sin 20° 2sin 40° · cos 40° · cos 80° 2sin 80° · cos 80° ＝ ＝ 4sin 20° 8sin 20° sin 160° 1 ＝ ＝ . 8sin 20° 8
2
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[活学活用] 1 (北京高考)已知函数f(x)＝(2cos x－1)sin 2x＋ cos 4x. 2
2
(1)求f(x)的最小正周期及最大值； 2 ，求α的值． 2 1 2 解：(1)因为f(x)＝(2cos x－1)sin 2x＋ cos 4x 2
π (2)若α∈2，π，且f(α)＝
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[化解疑难] 细解“倍角公式” (1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义． (2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值 3α 等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是 的2倍．这里 2 蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述 两个数量之间的关系的． (3)注意倍角公的灵活运用，要会正用、逆用、变形用.
[提出问题] 问题1：在公式C(α＋β)，S(α＋β)和T(α＋β)中，若α＝β，公式还 成立吗？
提示：成立．
问题2：在上述公式中，若α＝β，你能得到什么结论？
提示：cos 2α＝cos2α－sin2α，sin 2α＝2sin αcos α，tan 2tan α 2α＝ 2 . 1－tan α
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[导入新知] 二倍角公式
＝－cos
π 3 ∵cosx＋4 ＝ ， 5
∴cos
π π 2 2x＋4 ＝2cos x＋4 －1
9 7 ＝2× －1＝－ ， 25 25
7 7 ∴原式＝－－25＝ . 25
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[多维探究] π 1．解决上面典例要注意角“2x”与“ ＋x”的变换方 4 法，即 sin
π π 3π ∴α＋ ∈－4， 4 ， 4 π π 2π 故α＋ ＝0或α＋ ＝ ， 4 4 3 π 5π 即α＝－ 或α＝ . 4 12
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[类题通法] 解决条件求值问题的方法 给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联 系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； (2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用， 注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
1 即cos 2α＝ . 3
π ∵α∈2 ，π，∴2α∈(π，2π)．
2 2 ∴sin 2α＝－ 1－cos 2α＝－ . 3
2
∴sin 4α＝2sin 2αcos
2 2 1 4 2 2α＝2×－ ×3＝－ 9 . 3
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(2)由原式，得sin22α＋sin 2αcos α－2cos2α＝0， ∴(2sin αcos α)2＋2sin αcos2α－2cos2α＝0. ∴2cos2α(2sin2α＋sin α－1)＝0. ∴2cos2α(2sin α－1)(sin α＋1)＝0. ∵α为锐角，∴cos2α≠0，sin α＋1≠0. 1 π ∴2sin α－1＝0.∴sin α＝ ，∴α＝ . 2 6
2
π ＝1－2cos α＋4
3 7 2 ＝1－2× 5 ＝ . 25
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π ∴cos2α＋4 ＝
2 2 cos 2α－ sin 2α 2 2
2 24 7 ＝ ×－25－25 2 31 2 ＝－ . 50 (2)∵sin
π π 2 2α＝－cos2α＋2 ＝－2cos α＋4 －1，
π cos2α＋4 的值； π π (2)已知α∈－2，2 ，且sin π 2α＝sinα－4 ，求α.
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[解]
π 3π 3π π 7π (1)∵ ≤α< ，∴ ≤α＋ < . 2 2 4 4 4
π 3π π 7π ∵cos α＋4 >0，∴ <α＋ < . 2 4 4 π ∴sinα＋4 ＝－
π π 2x＝－cos2＋2x＝－cos24＋x；
常见的此类变换，还有：(1)sin
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 倍角公式和半角公式 3.2.1 倍角公式学案 新人教B版必修4
3.2.1 倍角公式点、易错点名师点拨(1)T 2α只有当α≠k π＋2(k ∈Z )及α≠2＋4(k ∈Z )时才成立．(2)对于二倍角公式的“倍”有广义的含义，2α是α的二倍角，同样地，4α是2α的二倍角，α是12α的二倍角，3α是32α的倍角．一般地，(2n m )α是(2n －1m )α的二倍角(n ∈Z )，于是二倍角公式可对应变形为：sin(2n m α)＝2sin(2n －1m α)cos(2n －1m α)；cos(2n m α)＝cos 2(2n －1m α)－sin 2(2n －1m α)；tan(2nm α)＝n －1m α1－tan 2n －1m α. 【自主测试1】已知tan α＝2，则tan 2α等于( )A ．4B ．45C ．－43D ．43答案：C【自主测试2】(2012·广东珠海质检)函数f (x )＝sin x cos x 是( ) A ．周期为2π的偶函数 B ．周期为2π的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为π的奇函数 答案：D【自主测试3】已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( )A ．－53 B ．－19 C ．19 D ．53解析：cos(π－2α)＝－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232－1＝－19.答案：B关于升降幂公式的解读 剖析：口诀如下： (1)1加余弦想余弦； (2)1减余弦想正弦； (3)幂升一次角减半； (4)幂降一次角翻番． 图表如下：归纳总结(1)对于公式sin 2α＝2sin αcos α，有①cos α＝sin 2α2sin α，②sin α＝sin 2α2cos α；(2)对于(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α，有(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α，同理有(sin α－cos α)2＝1－sin 2α；(3)对于公式tan 2α＝2tan α1－tan 2α，有1tan α－tan α＝1－tan 2αtan α＝2tan 2α； (4)对于等腰三角形，已知底角的三角函数值求顶角的三角函数值正用倍角公式，已知顶角的三角函数值求底角的三角函数值逆用倍角公式．题型一 化简、求值问题【例题1】求值：sin 50°(1＋3tan 10°)．分析：应通过“切化弦”化为关于弦函数的分式，然后利用“分式通分”技巧求解．解：原式＝sin 50°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝sin 50°×＋cos 10°＝2sin 40°sin 50°cos 10°＝2sin 40°cos 40°cos 10°＝sin 80°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1. 反思问题中含有正弦、正切，采用“切化弦”，变为仅含有正弦、余弦的三角函数式，然后利用两角和公式、倍角公式等变形，将问题化简到底．题型二 给值求值问题【例题2】若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α等于( ) A ．－79 B ．－13 C ．13 D ．79解析：观察发现2π3＋2α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，而⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝－79.答案：A反思通过角的形式的变化，生成所求的角或再变形即得所求角，是三角变换的重要方式．求解时应当对所给角有敏锐的感觉，这种感觉的养成要靠平时经验的积累．题型三 给值求角问题【例题3】已知tan α＝13，tan β＝－17且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．分析：tan α＝13→tan 2α→α－β→确定2α－β的范围→在确定范围中找出角解：∵tan α＝13＞0，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，2α∈(0，π)，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34＞0， ∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.又∵tan β＝－17＜0，β∈(0，π)，∴β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－171＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝1.又∵2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－3π4.反思在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角，确定角的范围是关键的一步．题型四 恒等式的证明【例题4】已知tan(α＋β)＝3tan α.求证：2sin 2β－sin 2α＝sin(2α＋2β)．分析：解答本题可先将条件式切化弦，再设法推出待证式，最后进行解答． 证明：tan(α＋β)＝3tan α，可变为sin(α＋β)cos α＝3sin αcos(α＋β)⇒sin(α＋β)cos α－sin αcos(α＋β)＝2sin αcos(α＋β) ⇒sin[(α＋β)－α]＝2sin α(cos αcos β－sin αsin β)⇒sin β＝2sin αcos αcos β－2sin 2αsin β⇒(1＋2sin 2α)sin β＝sin 2αcos β.当cos β＝0时，上式中因为1＋2sin 2α≠0，所以sin β＝0，矛盾．所以cos β≠0，上式两边同乘以2cos β，得(1＋2sin 2α)sin 2β＝sin 2α2cos 2β⇒sin 2β＋(1－cos 2α)sin 2β＝sin 2α(1＋cos 2β) ⇒2sin 2β－sin 2α＝sin 2αcos 2β＋cos 2αsin 2β＝ sin(2α＋2β)，所以等式成立，即得证．反思证明三角恒等式常用的方法是：观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，决定从该等式的哪边证明(也可两边同时化简)，当差异不易消除时，可采用转换命题法或分析法等方法作进一步的化简．题型五 三角函数的综合问题【例题5】已知函数f (x )＝(1＋cot x )sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的取值范围． 分析：(1)利用两角的和差公式、三角函数基本关系式、倍角公式，将f (x )化成同角的函数形式，然后变成切的形式代入求解；(2)将(1)中的结论用公式将其变形为正弦函数，再研究其性质．解：(1)f (x )＝(1＋cot x )sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋cos 2x＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45，cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.所以f (α)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，5π4， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1， 从而f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22. 即f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.题型六 易错辨析【例题6】已知sin α2＝45，cos α2＝－35，则角α所在的 象限为________．错解：由sin α2＝45＞0，cos α2＝－35＜0，可知α2为第二象限的角，即2k π＋π2＜α2＜2k π＋π(k ∈Z )，∴4k π＋π＜α＜4k π＋2π(k ∈Z )，∴α为第三或第四象限的角．错因分析：仅根据α2的正弦、余弦的正负来判断α2的范围是比较粗浅的，尤其由α2的范围通过不等式的性质得α的范围往往使范围扩大，具体的操作还要求出α的正弦值、余弦值来确定．正解：∵sin α＝2sin α2cos α2＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425＜0，cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725＜0，∴α是第三象限的角．1．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( )A ．724B ．－724C ．247D ．－247解析：∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45， ∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－247. 答案：D2．(2012·山东曲阜期末)函数y ＝cos 2x cos π5－2sin x ·cos x sin 6π5的递增区间是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π10，k π＋3π5(k ∈Z ) B ．⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π20，k π＋7π20(k ∈Z ) C ．⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π10，2k π＋3π5(k ∈Z ) D ．⎝⎛⎭⎪⎫k π－2π5，k π＋π10(k ∈Z ) 答案：D3．已知一个等腰三角形的一个底角的正弦值为23，那么这个等腰三角形顶角的正弦值为( )A ．259B ．－259C ．459D ．－459答案：C4．cos π12sin π12＝________，cos 2π12－sin 2π12＝________，tan 15°1－tan 215°＝________. 解析：cos π12sin π12＝12·2sin π12cos π12＝12sin π6＝14；cos 2π12－sin 2π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝cos π6＝32；tan 15°1－tan 215°＝12·2tan 15°1－tan 215°＝12tan(2×15°)＝12tan 30°＝36. 答案：14 32 365．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513，则cos 2α的值为__________．解析：∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴0＜π4－α＜π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，∴cos 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2×513×1213＝120169. 答案：1201696．已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 解：(1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.。
人教版高一数学必修4 第三章 《三角恒等变换》单元教学设计
三角恒等变换 单元教学设计一、本单元内容在《课程标准》与《考试大纲》中的目标表述1、本单元教学内容的范围3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 3.2 简单的三角恒等变换2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一.代数变换是学生熟悉的，与代数变换一样，三角变换也是只变其形不变其质的，它可以揭示那些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系.在本册第一章，学生接触了同角三角函数式的变换.在本章，学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式，由此出发推导其它三角函数恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换.通过本章学习，要进一步提高学生的推理能力和运算能力.三角恒等变换在数学及应用科学中应用广泛，同时有利于发展学生的推理能力和计算能力.本章将通过三角恒等变换揭示一些问题的数学本质.3、本单元教学内容总体教学目标（1）和差角公式与二倍角公式经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，掌握用向量证明数学问题的方法，进一步体会向量法的作用．能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系.能应用公式解决比较简单的有关应用问题.经历运用正弦、余弦、正切的和角公式，推导出它们对应的倍角公式及公式2C的两种变形，再运用二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式的过程，掌握倍角公式和半角公式，能正确运用公式进行简单的三角函数式的化简、求值、恒等式的证明.了解公式之间的内在联系，培养学生的逻辑推理能力.（2）简单的三角变换运用三角变换公式进行简单的三角变换，通过公式的综合运用，掌握三角变换的特点，预测变换的目标，设计变换的过程.4、本单元教学内容重点和难点分析（1）两角和与差的正弦、余弦、和正切公式重点：两角和与差的余弦公式求值和证明;难点：两角和的余弦公式的推导.（2）简单的三角变换重点：运用三角变换公式进行简单的三角恒等变换;难点：公式的综合运用，根据三角变换的特点，设计变换的过程.5.人教A版教材特点用向量证明差角公式，引导学生用向量研究三角问题；建立和角公式与旋转变换之间的联系；引导学生独立的由和角公式推导出倍角公式与和差化积、积化和差；和角公式在三角恒等变换及三角形计算中的应用.提供了“练习题”，“习题A、习题B”，“复习参考题A ”，“复习参考题B”，等多种形式的练习方式，为教学提供了丰富的可选择的空间.三、与本单元教学内容相适应的教学方式和教学方法概述1、选取与内容密切相关的，典型的，丰富的和学生熟悉的素材，用生动活泼的语言，创设能够体现数学的概念和结论，数学的思想和方法，以及数学应用的学习情境，使学生产生对数学的亲切感，引发学生“看个究竟”的冲动，以达到培养其兴趣的目的.通过“观察”，“思考”，“探究”等栏目，引发学生的思考和探索活动，切实改进学生的学习方式.在教学中强调类比，推广，特殊化，化归等数学思想方法，尽可能养成其逻辑思维的习惯.本单元公式较多，有些是要求学生记忆的，有些是不要求学生记忆的，但要求会推导、会运用；建议在教学中，注重公式内在的联系，尽量引导学生利用已有知识推导公式；在推导中记忆公式，运用公式，解决实际问题；四、设计意图与特色本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此设计的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.五、本单元教学内容及课时安排建议本章教学时间约8课时，具体分配如下：3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式约3课时3.2简单的恒等变换约3课时复习约2课时六、课时教学设计课题§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课标要求：本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.二、设计意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、学习重点与难点1.重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，会导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；2.难点：两角差的余弦公式的探索与证明.课题 3.1.1 两角差的余弦公式（第一课时）一、学习目标(1)掌握借助单位圆，运用三角函数定义和向量夹角的余弦公式推导出两角差的余弦公式；(2)通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及功能，为建立其它和（差）公式打好基础；(3)通过教学活动，使学生经历发现、猜想、论证的数学化的过程，并体验到数学学习的严谨、求实的科学态度，逐步培养学生探索问题的精神.二、学习重、难点1.重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2.难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、学习过程1、学习引导探究（一）：两角差的余弦公式思考1：设α，β为两个任意角, 你能判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成立吗?思考2：我们设想cos(α－β)的值与α，β的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？思考3：一般地，你猜想cos(α－β)等于什么？思考4：如图，设α，β为锐角，且α＞β，角α的终边与单位圆的交点为P 1, ∠P 1OP ＝β，那么cos(α－β)表示哪条线段长？思考5：上图中，如何用线段分别表示sin β和cos β？思考6：cos αcos β＝OAcos α，它表示哪条线段长？ sin αsin β＝PAsin α，它表示哪条线段长？思考7：利用OM ＝OB ＋BM ＝OB ＋CP 可得什么结论？思考8：上述推理能说明对任意角α，β，都有cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β成立吗？思考9：根据cos αcos β＋sin αsin β的结构特征，你能联想到一个相关计算原理吗？思考10：如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别为A 、B ，则向量OA 、OB 的坐标分别是什么？其数量积是什么？思考11：向量OA 与OB 的夹角θ与α、β有什么关系？根据量积定义，OA ⋅OB 等于什么？由此可得什么结论？思考12：公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β称为差角的余弦公式，记作()C αβ-，该公式有什么特点？如何记忆？ 探究（二）：两角差的余弦公式的变通思考1：若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？思考2：利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？思考3：若cos α＋cos β＝a ，sin α＋sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？思考4：若cos α－cos β＝a ，sin α－sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？2、随堂练习⑴、________15cos =⑵、)cos(),23,(,43cos ),,2(,32sin βαππββππαα-∈-=∈=求已知 ⑶、15sin cos 173πθθθ=-已知，是第二象限角，求（）的值3、知识拓展例11cos sin 7αβααββ=+=已知，为锐角，，（），求cos 例2 已知1cos()cos sin()sin,3且⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα2,23 , 求)4cos(πα-的值. 四、反思小结1.在差角的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，化归转换、归纳、猜想、构造、换元、向量等，我们要深刻理解和领会.2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.3.在差角的余弦公式中，α，β既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，2β＝(α＋β)－(α－β) 等. 同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.五、自我测评1cos79cos34sin 79sin34 +=、（） A 12B 1 CD 222、4,(,),cos()( )524ππααπα=-∈-=已知cos 则B -C -D 10101010AA cos sin cos sin2012AB 3、在平面直角坐标系中，已知两点（80，80），B(20，），则的值是（ ）A14sin sin 1cos ,cos()2αβαβαβ-=-=--=、若则 5cos cos cos 0,sin sin sin 0,cos()αβγαβγαβ++=++=-=、若则1116cos cos cos 714αβααββ=+=-、已知，都是锐角，，（），求的值。
【新】版高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式学案新人教A版必修4
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.(难点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.(易错点)[基础·初探]教材整理 二倍角的正弦、余弦、正切公式 阅读教材P 132～P 133例5以上内容，完成下列问题. 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式2.3.正弦的二倍角公式的变形(1)sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α.(2)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( ) (2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立.( ) (3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立.( )【解析】 (1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋k π(k ∈Z )且α≠±π4＋k π(k ∈Z )，故此说法错误.(2)√.当α＝k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α. (3)×.当cos α＝1－32时，cos 2α＝2cos α.【答案】 (1)× (2)√ (3)×2.已知cos α＝13，则cos 2α等于________.【解析】 由cos α＝13，得cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.【答案】 －79[小组合作型]利用二倍角公式化简三角函数式化简求值.(1)cos 4 α2－sin 4 α2；(2)sin π24·cos π24·cos π12；(3)1－2sin 2750°；(4)tan 150°＋1－3tan 2150°2tan 150°.【精彩点拨】 灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得.【自主解答】 (1)cos 4 α2－sin 4 α2＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2 α2－sin 2 α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2 α2＋sin 2 α2＝cos α.(2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π24cos π24·cos π12＝12sin π12·cos π12＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π12·cos π12＝14sin π6＝18.∴原式＝18.(3)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.∴原式＝12.(4)原式＝2tan 2150°＋1－3tan 2150°2tan 150°＝1－tan 2150°2tan 150°＝1tan 2×150°＝1tan 300°＝1tan360°－60°＝－1tan 60°＝－33.∴原式＝－33.二倍角公式的灵活运用：(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现.主要形式有： 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2 α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan α＝tan 2α. (2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式.主要形式有：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos 2α，cos 2 α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.[再练一题] 1.求下列各式的值： (1)sin π12cos π12；(2)2tan 150°1－tan 2150°；(3)1sin 10°－3cos 10°； (4)cos 20°cos 40°cos 80°.【解】 (1)原式＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.(2)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.(3)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝－2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.(4)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.利用二倍角公式解决求值问题(1)已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( ) A.2 B.－2 C.34D.－34(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α的值等于( ) A.79 B.13 C.－79D.－13(3)已知cos α＝－34，sin β＝23，α是第三象限角，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. ①求sin 2α的值；②求cos(2α＋β)的值.【精彩点拨】 (1)可先求tan α，再求tan 2α；(2)可利用23π－2α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α及π3－α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α求值； (3)可先求sin 2α，cos 2α，cos β，再利用两角和的余弦公式求cos(2α＋β). 【自主解答】 (1)因为sin α＝3cos α， 所以tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×31－32＝－34. (2)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.【答案】 (1)D (2)C(3)①因为α是第三象限角，cos α＝－34，所以sin α＝－1－cos 2α＝－74， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－74×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝378. ②因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin β＝23， 所以cos β＝－1－sin 2β＝－53， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×916－1＝18， 所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53－378×23＝－5＋6724.直接应用二倍角公式求值的三种类型(1)sin α(或cos α)――→同角三角函数的关系cos α(或sin α)――→二倍角公式sin 2α(或cos 2α).(2)sin α(或cos α)――→二倍角公式cos 2α＝1－2sin 2 α(或2cos 2α－1). (3)sin α(或cos α)――→同角三角函数的关系⎩⎨⎧cos α或sin α，tan α――→二倍角公式tan 2α.[再练一题] 2.(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sinα＝55，则sin 2α＝______，cos 2α＝________，tan 2α＝________.(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求tan 4α的值. 【导学号：70512043】【解析】 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－255，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－43.【答案】 －45 35 －43(2)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， 则已知条件可化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝16，即12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝16， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝13，所以cos 2α＝13.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2α∈(π，2π)，从而sin 2α＝－1－cos 22α＝－223，所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－22，故tan 4α＝2tan 2α1－tan 22α＝－421－－222＝427.利用二倍角公式证明求证：(1)cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B ； (2)cos 2θ(1－tan 2θ)＝cos 2θ.【精彩点拨】 (1)可考虑从左向右证的思路：先把左边降幂扩角，再用余弦的和、差角公式转化为右边形式.(2)证法一：从左向右：切化弦降幂扩角化为右边形式； 证法二：从右向左：利用余弦二倍角公式升幂后向左边形式转化. 【自主解答】 (1)左边＝1＋A ＋2B2－1－A －2B2＝cos2A ＋2B ＋cos 2A －2B2＝12(cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A cos 2B ＋sin 2A sin 2B ) ＝cos 2A cos 2B ＝右边， ∴等式成立.(2)法一：左边＝cos 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin 2θcos 2θ ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ＝右边. 法二：右边＝cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin 2θcos 2θ＝cos 2θ(1－tan 2θ)＝左边.证明问题的原则及一般步骤：观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.[再练一题]3.证明：1＋sin 2α2cos 2α＋sin 2α＝12tan α＋12. 【导学号：00680072】 【证明】 左边＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α2cos 2α＋2sin αcos α＝α＋cos α22cos αα＋cos α＝sin α＋cos α2cos α＝12tan α＋12＝右边.所以1＋sin 2α2cos 2α＋sin 2α ＝12tan α＋12成立. [探究共研型]倍角公式的灵活运用探究1 请利用倍角公式化简：2＋2＋2cos α(2π<α<3π). 【提示】 ∵2π<α<3π， ∴π<α2<3π2，π2<α4<3π4，∴2＋2＋2cos α＝2＋4cos2α2＝2－2cos α2＝4sin2α4＝2sin α4. 探究2 如何求函数f (x )＝2cos 2x －1－23·sin x cos x (x ∈R )的最小正周期？ 【提示】 求函数f (x )的最小正周期，可由f (x )＝(2cos 2x －1)－3×(2sin x cos x )＝cos 2x －3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ，知其最小正周期为π.求函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24的最小值，并求其单调减区间.【精彩点拨】 化简f x 的解析式→f x ＝A ωx ＋φ＋B→ωx ＋φ的范围→求最小值，单调减区间【自主解答】 f (x )＝53·1＋cos 2x 2＋3·1－cos 2x2－2sin 2x＝33＋23cos 2x －2sin 2x ＝33＋4⎝⎛⎭⎪⎫32cos 2x －12sin 2x＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos 2x －cos π3sin 2x ＝33＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝33－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.∵π4≤x ≤7π24，∴π6≤2x －π3≤π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22，∴当2x －π3＝π4，即x ＝7π24时，f (x )取最小值为33－2 2.∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递增，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递减.本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y ＝Aωx ＋φ的形式，再利用函数图象解决问题.[再练一题]4.求函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x 的最小正周期和最小值，并写出该函数在[0，π]上的单调递减区间.【解】 y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＋23sin x cos x ＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2x －12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以T ＝2π2＝π，y min ＝－2.由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，又x ∈[0，π]，所以令k ＝0，得函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.1.sin 22°30′·cos 22°30′的值为( ) A.22 B.24C.－22D.12【解析】 原式＝12sin 45°＝24.【答案】 B2.已知sin x ＝14，则cos 2x 的值为( )A.78B.18C.12D.22【解析】 因为sin x ＝14，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝78.【答案】 A3.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12的值为( ) 【导学号：00680073】 A.－32B.－12C.12D.32【解析】 原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32. 【答案】 D4.已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________.【解析】 sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56.小中高 精品 教案 试卷制作不易 推荐下载 11 【答案】 －565.求下列各式的值：(1)cos π5cos 2π5； (2)12－cos 2π8. 【解】 (1)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sin π54sin π5＝14. (2)原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24.。
人教版高中数学必修4学案 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程．2．灵活运用二倍角公式及其不同变形，能正用、逆用公式，进一步学习化归思想方法．基础梳理一、二倍角的正弦、余弦、正切公式α＋β＝sin αcos β＋cos αsin β中，令β＝α，在公式sin()得到sin 2α＝2sin_αcos_α，这就是二倍角的正弦公式；α＋β＝cos αcos β－sin αsin β中，令β＝α，在公式cos()得到cos 2α＝cos2α－sin2α，这就是二倍角的余弦公式，其变形形式有：cos 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； 在公式tan ()α＋β＝tan α＋tan β1－tan αtan β中，令β＝α，得到tan 2α＝2tan α1－tan α，这就是二倍角的正切公式．练习1：2sin 15°cos 15°＝12．练习2：cos 2α2－sin 2α2＝cos_α．练习3：2tan 2α1－tan 22α＝tan_4α． 思考应用1. 二倍角的正弦、余弦、正切公式中的角是否为任意角？解析：注意 tan 2α＝2tan α1－tan 2α这个公式，因为要使tan 2α，tan α有意义，即2α≠π2＋k π且α≠π2＋k π(k ∈Z)还有1－tan 2α≠0即tan α≠±1从而推出α≠π4＋k π(k ∈Z)综上所述α≠π4＋k π2且α≠π2＋k π(k ∈Z)而公式S 2α、C 2α中，角α可以是任意角．二、二倍角公式中应注意的问题(1)对“二倍角”公式应该有广泛的理解．如8α是4α的二倍角，α是α2的二倍角，α3是α6的二倍角等等．又如α＝2×α2，α2＝2×α4，…，α2n ＝2×α2n ＋1等等．(2)当α＝k π＋π2()k ∈Z 时，tan α的值不存在，这时求tan 2α的值可用诱导公式求得．(3)一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如sin π3≠2sin π6.(4)公式的逆用变形． 升幂公式： 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin2α2，1±sin 2α＝()sin α±cos α2．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2．思考应用2．试应用二倍角的正弦、余弦公式化简并讨论函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1的奇偶性与周期性．解析：∵y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π4－1＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π2 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2－2x ＝sin 2x ，∴函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4－1为奇函数， 且其最小正周期T ＝2π2＝π.自测自评1．若sin α2＝45，cos α2＝－35，则角α是(C )A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角 解析：∵sin α＝2sin α2cos α2＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425<0，cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725<0，∴角α是第三象限角．故选C.2．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，则tan 2α分析：由sin 2α＝2sin αcos α及sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π解出α，进而求得tan 2α的值．解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，sin α≠0，∴cos α＝－12，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3＝tan π3＝ 3.3.sin 20°cos 20°cos 2155°－sin 2155°的值是(A ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析：原式＝12sin 40°cos 310°＝sin 40°2cos ⎝⎛⎭⎫270°＋40° ＝sin 40°2sin 40°＝12.故选A. 4．已知x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝－247． 解析：∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，cos x ＝45， ∴sin x ＝－35，tan x ＝－34，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2 x＝－247.基础提升1．函数y ＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期是(A ) A ．π B.π2 C.π4D ．2π解析：∵y ＝cos 2x ，∴函数的最小正周期T ＝π.故选A. 2．化简2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α的结果是(B )A ．tan αB ．tan 2αC ．1 D.12解析：原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α.故选B. 3．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的结果是(B ) A.12sin 2x B.12cos 2x C ．－12cos 2x D ．－12sin 2x解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin π4cos x ＋cos π4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin π4cos x －cos π4sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x ＋22sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x＝12(cos 2x －sin 2x )＝12cos 2x .故选B. 4．已知cos α＝－35，且π<α<3π2，则cos α2＝ (B )A.55 B ．－55 C.255 D ．－255解析：∵cos α＝2cos2α2－1，∴cos2α2＝1＋cos α2＝15. ∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴cos α2＝－15＝－55.故选B. 5．当3π<α<4π时，化简1＋cos α2－ 1－cos α2(A ) A.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4 B ．－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4C.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4 D ．－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4解析：1＋cos α2－1－cos α2＝cos2α2－sin 2α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2，∵3π<α<4π， ∴3π2<α2<2π， ∴sin α2<0，cos α2>0.∴原式＝sin α2＋cos α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2＋π4.故选A. 巩固提高6．已知三角形的一个内角α满足sin α＋cos α＝34，则三角形的形状是(B )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 解析：∵sin α＋cos α＝34，且sin 2α＋cos 2α＝1， ∴1＋sin 2α＝916，∴sin 2α＝－716<0，又α是三角形的一个内角，故α是钝角． 故选B.7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值．解析：∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4， 又cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝35 ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45.∴cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×35＝－2425.又由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝35，得2cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4－1＝－725，即cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝－725，∴sin 2α＝725. ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2α＋π4＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4＝－2425×22－725×22＝－31250. 8．已知sin α＋cos α＝33(0<α<π)，求cos 2α的值．解析：∵sin α＋cos α＝33，∴(sin α＋cos α)2＝13， 2sin αcos α＝－23，又0<α<π，∴sin α>0，cos α<0.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝53，∴sin α－cos α＝153.∴cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝－153×33＝－53. 9．已知函数y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1()x ∈R .(1)当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(2)该函数的图象可由y ＝sin x ()x ∈R 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解析：(1)y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1＝14⎝⎛⎭⎫2cos 2x －1＋14＋34·()2sin x cos x ＋1 ＝14cos 2x ＋34sin 2x ＋54 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos 2x sin π6＋sin 2x cos π6＋54 ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋54. 所以y 取最大值时，只需2x ＋π6＝π2＋2k π⎝⎛⎭⎫k ∈Z ， 即x ＝π6＋k π⎝⎛⎭⎫k ∈Z . 所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝π6＋k π，k ∈Z.(2)将函数y ＝sin x 依次进行如下变换：①把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6的图象； ②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的图象； ③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的12倍(横坐标不变)，得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的图象； ④把得到的图象向上平移54个单位长度，得到函数 y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋54的图象． 综上得到y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1⎝⎛⎭⎫x ∈R 的图象．1．利用同角三角函数基本关系式求值常有两类题：一类是已知角α的某个三角函数值，求其他三角函数值．解法是直接利用三角函数基本关系式求解．另一类是已知tan α的值，求关于sin α，cos α的齐次分式的值的问题，比如求sin α＋cos αsin α－cos α的值，因为cos α≠0，所以用cos α除之，将待求式化为关于tan α的表达式，可整体代入tan α＝m 的值，从而完成待求式的求值．2．关于化简与证明：(1)sin 2α＋cos 2α＝1及()sin α＋cos α2＝1＋2sin αcos α是常用的技巧；同时应注意正切化两弦．(2)利用同角三角函数关系式证明时，要熟悉公式，方法有从左至右或从右至左或从两侧同时证明．。
高中数学教学设计 必修4 第三章
高中数学教学设计必修4 第三章《3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式》内容分析：本节内容是三角函数的重要公式，应用这些公式也是本章的重点内容。
同时，本节是学生在已经学习了两角和（差）的正弦、余弦和正切公式的基础上的进一步延伸，也是研究三角函数的图像及性质的基础。
因此，本节课有着奠定基础，承上启下的作用。
教法：根据本节课的教学内容，及面临的教学对象，我所采用的教学方法如下：（1）引导发现法，充分调动学生的主动性和积极性，培养他们的创新能力。
（2）从一般到特殊的化归思想方法，二倍角公式其实就是和角公式的特殊情况。
从一般到特殊的化归思想，有利于培养学生对知识进行主动构建，也有利于发挥学生的创造性和发现数学规律。
（3）巩固练习法，本节课设计了一道例题和几道练习题，以学生自己解决为主，这样更能突破难点，使学生的能力得到进一步提高。
学法：教给学生学习的方法远比教给学生的知识更重要。
本节课在学生的学法指导上注重调动学生的积极思考，主动探索。
真正让学生成为教学的主体，让学生们利用观察分析法通过旧公式得出新结论，及寻找出新旧公式的内在联系。
学情分析：在此这前，学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式，这为过渡到本节的学习起着铺垫的作用，同时学生已经具备了一定的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。
但对于所学知识的整合分析，综合应用方面还有一定的不足。
也就是说倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和（差）角公式的综合运用是本节课的一个难点。
教学目标：1、知识技能目标：能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用公式解决问题。
2、过程与方法目标：通过对倍角公式的正用、逆用、变形使用，提高三角变形的能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。
3、情感、态度与价值观：通过一提多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新意识和数学情感，提高数学素养。
高中数学北师大版必修四学案：第三章 3 二倍角的三角函数(一)
学习目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．知识点一二倍角公式思考1二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？思考2根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？梳理二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α，(S2α)(3.9)cos 2α＝cos2α－sin2α(C2α)(3.10)＝1－2sin2α (3.11)＝2cos2α－1，(3.12)tan 2α＝2tan α1－tan2α. (T2α)(3.13)知识点二二倍角公式的变形1．公式的逆用2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝____________，cos2α－sin2α＝________，2tan α1－tan2α＝tan 2α.2．二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式升幂公式1＋cos 2α＝________，1－cos 2α＝________，1＋cos α＝________________，1－cos α＝________________________ .降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.类型一 给角求值例1 求下列各式的值：(1)cos 72°cos 36°；(2)13－23cos 215°； (3)1－tan 275°tan 75°；(4)1sin 10°－3cos 10°.反思与感悟 对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．跟踪训练1求下列各式的值： (1)cos 2π7cos 4π7cos 6π7； (2)1sin 50°＋3cos 50°.类型二 给值求值例2(1)若sin α－cos α＝13，则sin 2α＝________. (2)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α等于() A.6425B.4825C ．1 D.1625引申探究在本例(1)中，若改为sin α＋cos α＝13，求sin 2α. 反思与感悟 (1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练2 已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．类型三 利用倍角公式化简例3 化简2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α.反思与感悟 (1)对于三角函数式的化简有下面的要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使三角函数式中的项数尽量少；④尽量使分母不含有三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．(2)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角．②降幂或升幂．③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练3化简下列各式：(1)π4＜α＜π2，则1－sin 2α＝________； (2)α为第三象限角，则1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝________.1.12sin π12cos π12的值等于() A.14 B.18 C.116 D.12 2．sin 4π12－cos 4π12等于() A ．－12 B ．－32 C.12 D.323.tan 7.5°1－tan 27.5°＝________. 4．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α＝________.5．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值．1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍； α3是α6的二倍；α2n ＝2·α2n ＋1(n ∈N ＋)． 2．二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α；②cos 2α＝1＋cos 2α2； ③1－cos 2α＝2sin 2α；④sin 2α＝1－cos 2α2. 答案精析问题导学知识点一思考1sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos 2α－sin 2α；tan 2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α. 思考2cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α)＝2cos 2α－1；或cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α.知识点二1.12sin 2αcos 2α 2．2cos 2α2sin 2α2cos 2α22sin 2α2题型探究例1解 (1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36° ＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14. (2)13－23cos 215°＝－13(2cos 215°－1)＝－13cos 30° ＝－36. (3)1－tan 275°tan 75°＝2·1－tan 275°2tan 75°＝2·1tan 150°＝－2 3. (4)1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10° cos 10° ＝4sin 20°sin 20°＝4. 跟踪训练1(1)18(2)4 例2(1)89(2)A 引申探究解 由题意，得(sin α＋cos α)2＝19， ∴1＋2sin αcos α＝19， 即1＋sin 2α＝19， ∴sin 2α＝－89. 跟踪训练2 解 (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝tan α＋tanπ41－tan αtan π4＝2＋11－2×1＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1. 例3解 方法一原式＝2cos 2α－12·sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝2cos 2α－12·sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2cos 2α－1sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1. 方法二 原式＝cos 2α2·1－tan α1＋tan α⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α2 ＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α(sin α＋cos α)2＝cos 2α(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝cos 2αcos 2α－sin 2α＝1. 跟踪训练3(1)sin α－cos α(2)0当堂训练1．B2.B3.1－324. 3 5．解 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x . ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝513，且0<x <π4， ∴π4＋x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝1213，∴原式＝2×1213＝2413.。
2017-2018学年高中数学(人教B版)必修4 同步导学案：第3章 3.3 三角函数的积化和差与
3.3三角函数的积化和差与和差化积1.能根据公式Sα±β和Cα±β进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式.(难点)2.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力.(重点)[基础·初探]教材整理积化和差与和差化积公式阅读教材P149内容，完成下列问题.1.积化和差公式：cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]；sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)].2.和差化积公式：设α＋β＝x，α－β＝y，则α＝x＋y2，β＝x－y2.这样，上面的四个式子可以写成，sin x＋sin y＝2sin x＋y2cosx－y2；sin x－sin y＝2cos x＋y2sinx－y2；cos x＋cos y＝2cos x＋y2cosx－y2；cos x－cos y＝－2sin x＋y2sinx－y2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cosB.( ) (2)sin(A ＋B )－sin(A －B )＝2cos A sinB.( ) (3)cos(A ＋B )＋cos(A －B )＝2cos A cosB.( ) (4)cos(A ＋B )－cos(A －B )＝2cos A cosB.( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________[小组合作型](1)(2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.【精彩点拨】 在利用积化和差与和差化积公式求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系.【自主解答】 (1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°)＝14－12sin 50°＋12cos 40°＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14.(2)原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70° ＝32cos 10°cos 50°cos 70° ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(cos 60°＋cos 40°)·cos 70° ＝38cos 70°＋34cos 40°cos 70° ＝38cos 70°＋38(cos 110°＋cos 30°) ＝38cos 70°＋38cos 110°＋316＝316.给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.[再练一题]1.求sin 220°＋cos 250°＋sin 20°·cos 50°的值.【解】 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 100°2＋12(sin 70°－sin 30°)＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12sin 70°－14 ＝34＋12(－2sin 70°sin 30°)＋12sin 70° ＝34－12sin 70°＋12sin 70°＝34.(2016·平原高一检测)已知cos α－cos β＝12，sin α－sinβ＝－13，求sin(α＋β)的值.【导学号：72010090】【精彩点拨】 解答本题利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解.【自主解答】 ∵cos α－cos β＝12， ∴－2sin α＋β2sin α－β2＝12.① 又∵sin α－sin β＝－13， ∴2cos α＋β2sin α－β2＝－13.② ∵sin α－β2≠0，∴由①②，得－tan α＋β2＝－32，即tan α＋β2＝32.∴sin(α＋β)＝2sin α＋β2cos α＋β2sin 2α＋β2＋cos 2α＋β2＝2tan α＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋94＝1213.对于给值求值问题，一般思路是先对条件化简，之后看能否直接求结果；若不满足，再对所求式化简，直到找到两者的联系为止.[再练一题]2.(2016·银川高一检测)已知sin α＝－45，π＜α＜32π，求sin α2，cos α2，tan α2的值. 【解】 ∵π＜α＜32π，sin α＝－45，∴cos α＝－35，且π2＜α2＜34π， ∴sin α2＝1－cos α2＝255， cos α2＝－1＋cos α2＝－55，tan α2＝sin α2cos α2＝－2. [探究共研型]探究1 【提示】 注意三角形中的隐含条件的应用，如A ＋B ＋C ＝π，a ＋b >c 等. 探究2 在△ABC 中有哪些重要的三角关系？ 【提示】 在△ABC 中的三角关系： sin(A ＋B )＝sin C ， cos(A ＋B )＝－cos C ，sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2， sin(2A ＋2B )＝－sin 2C ， cos(2A ＋2B )＝cos 2C .在△ABC 中，求证：sin A ＋sin B －sin C ＝4sin A 2sin B 2cos C2. 【精彩点拨】 利用和差化积进行转化，转化时要注意A ＋B ＋C ＝π. 【自主解答】 左边＝sin(B ＋C )＋2sin B －C 2·cos B ＋C2 ＝2sin B ＋C 2cos B ＋C 2＋2sin B －C 2cos B ＋C 2 ＝2cos B ＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B ＋C 2＋sin B －C 2＝4sin A 2sin B 2cos C2＝右边， ∴原等式成立.证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证.[再练一题]3.在△ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos A 2·cos B 2cos C2. 【证明】 由A ＋B ＋C ＝180°， 得C ＝180°－(A ＋B )， 即C2＝90°－A ＋B 2， ∴cos C2＝sin A ＋B 2. ∴sin A ＋sin B ＋sin C＝2sin A ＋B 2·cos A －B 2＋sin(A ＋B ) ＝2sin A ＋B 2·cos A －B 2＋2sin A ＋B 2·cos A ＋B 2 ＝2sin A ＋B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A －B 2＋cos A ＋B 2＝2cos C 2·2cos A 2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－B 2＝4cos A 2cos B 2cos C2，∴原等式成立.[构建·体系]1.计算sin 105°cos75°的值是( ) A.12 B.14 C.－14D.－12【解析】 sin 105°cos 75°＝12(sin 180°＋sin 30°)＝14.【答案】 B2.sin 75°－sin 15°的值为( ) A.12 B.22 C.32D.－12【解析】 sin 75°－sin 15＝2cos 75°＋15°2sin 75°－15°2＝2×22×12＝22. 故选B. 【答案】 B3.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos x 的最大值为( )【导学号：72010091】A.12 B.14 C.1D.22【解析】 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos x＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－x ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12 ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－14.∴取最大值14. 【答案】 B4.已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则sin αcos β＝________. 【解析】 sin αcos β＝12sin(α＋β)＋12sin(α－β)＝12×23＋12×15＝1330. 【答案】 1330 5.化简下列各式：(1)cos A ＋cos (120°＋B )＋cos (120°－B )sin B ＋sin (120°＋A )－sin (120°－A )； (2)sin A ＋2sin 3A ＋sin 5A sin 3A ＋2sin 5A ＋sin 7A . 【解】 (1)原式＝cos A ＋2cos 120°cos B sin B ＋2cos 120°sin A＝cos A －cos Bsin B －sin A＝2sin A ＋B 2sin B －A 22cos A ＋B 2sin B －A 2＝tan A ＋B 2. (2)原式＝(sin A ＋sin 5A )＋2sin 3A(sin 3A ＋sin 7A )＋2sin 5A＝2sin 3A cos 2A ＋2sin 3A 2sin 5A cos 2A ＋2sin 5A ＝2sin 3A (cos 2A ＋1)2sin 5A (cos 2A ＋1)＝sin 3A sin 5A .我还有这些不足：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________学业分层测评(二十九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.sin 37.5°cos 7.5°＝( ) A.22 B.24 C.2＋14D.2＋24【解析】 原式＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)] ＝12(sin 45°＋sin 30°)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＝2＋14.【答案】 C2.(2016·吉林高一检测)sin 10°＋sin 50°sin 35°·sin 55°＝( ) A.14 B.12 C.2D.4【解析】 原式＝2sin 30°cos 20°sin 35°cos 35°＝cos 20°12sin 70°＝2cos 20°cos 20°＝2.【答案】 C3.若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β等于( ) A.－23 B.－13 C.13D.23【解析】 ∵cos(α＋β)cos(α－β) ＝12(cos 2α＋cos 2β)＝12[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)] ＝cos 2α－sin 2β， ∴cos 2α－sin 2β＝13. 【答案】 C4.(2016·沈阳高一检测)在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形D.直角三角形【解析】 由sin A sin B ＝cos 2C2，得12cos(A －B )－12cos(A ＋B )＝1＋cos C 2，∴12cos(A －B )＋12cos C ＝12＋12cos C ， 即cos (A －B )＝1， ∴A －B ＝0，即A ＝B . ∴△ABC 是等腰三角形. 【答案】 B5.求值：sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80 °＝( ) A.12 B.22 C.32D.1【解析】 sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80°＝2sin 30°cos 10°＋sin 60°－sin 80°＝2×12×sin 80°＋32－sin 80°＝32.【答案】 C二、填空题6.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的最大值是________. 【解析】 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝12⎩⎨⎧cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＋ ⎭⎬⎫cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋cos 4x ＝12cos 4x －14. ∴取最大值14.【答案】 147.直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________.【解析】 ∵A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )] ＝12cos(A －B )， 又－π2＜A －B ＜π2，∴0＜cos(A －B )≤1，∴sin A sin B 有最大值12.【答案】 128.(2016·日照高一检测)化简：sin 42°－cos 12°＋sin 54°＝________.【导学号：72010092】【解析】 sin 42°－cos 12°＋sin 54°＝sin 42°－sin 78°＋sin 54°＝－2cos 60°sin18°＋sin 54°＝sin 54°－sin 18°＝2cos 36°sin 18°＝2cos 36°sin 18°cos 18°cos 18°＝cos 36°sin 36°cos 18°＝2cos 36°sin 36°2cos 18°＝sin 72°2cos 18°＝12.【答案】 12三、解答题9.(2016·济宁高一检测)已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，y ＝tan A 2＋2cos A 2sin A 2＋cos B －C 2，若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化？并证明你的结论. 【解】 ∵A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，∴A ＋B ＋C ＝π，A 2＝π2－B ＋C 2.∴y ＝tan A 2＋2sin B ＋C 2cos B ＋C 2＋cos B －C 2＝tan A 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B 2cos C 2＋cos B 2sin C 22cos B 2cos C 2＝tan A 2＋tan B 2＋tan C 2.因此，任意交换两个角的位置，y 的值不变.10.求函数f (x )＝sin x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最小正周期与最值.【解】 f (x )＝sin x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin x ·2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋14.∴最小正周期为T ＝2π2＝π.∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－1,1]，∴取最大值34，取最小值－14.[能力提升]1.若sin α＋sin β＝33(cos β－cos α)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于() A.－2π3 B.－π3 C.π3 D.2π3【解析】 ∵α，β∈(0，π)，∴sin α＋sin β＞0，∴cos β－cos α＞0，∴cos β＞cos α，又在(0，π)上，y ＝cos x 是减函数，∴β＜α，0＜α－β＜π，由原式可知：2sin α＋β2cos α－β2 ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫－2sin α＋β2sin β－α2，∴tan α－β2＝3，∴α－β2＝π3，∴α－β＝2π3.【答案】 D2.在△ABC 中，若B ＝30°，则cos A sin C 的取值范围是( )A.[－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14 【解析】 cos A sin C ＝12[sin(A ＋C )－sin(A －C )]＝14－12sin(A －C )，∵－1≤sin(A －C )≤1，∴cos A sin C ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34. 【答案】 C3.sin 220°＋cos 280°＋3sin 20°cos 80°＝________.【解析】 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 160°2＋ 32sin 100°－32sin 60°＝14－12cos 40°－12cos 20°＋32sin 100° ＝14－12×2cos 30°cos 10°＋32cos 10° ＝14－32cos 10°＋32cos 10°＝14.【答案】 144.已知3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12，求证：sin 2α＝1. 【证明】 ∵3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12， ∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12， ∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12， ∴32⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α－sin π6＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α＋sin π6， ∴3sin 2α－32＝sin 2α＋12， ∴sin 2α＝1.。
数学新学案必修四：第三章 三角恒等变换3.1.2 Word版含答案
3．1.2 两角和与差的正弦学习目标 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.能利用辅助角公式研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数的性质．知识点一 两角和与差的正弦思考1 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？ 答案 sin(α＋β)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－(α＋β)＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π2－α－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos β＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin β ＝sin αcos β＋cos αsin β .思考2 怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？ 答案 用－β代换β，即可得sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. 梳理 两角和与差的正弦公式记忆口诀：“正余余正，符号相同”． 知识点二 辅助角公式思考1 a sin x ＋b cos x 化简的步骤有哪些？ 答案 (1)提常数，提出a 2＋b 2得到 a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2 sin x ＋b a 2＋b 2cos x . (2)定角度，确定一个角θ满足： cos θ＝a a 2＋b 2，sin θ＝b a 2＋b 2⎝⎛ 或sin θ＝a a 2＋b 2，⎭⎪⎫cos θ＝b a 2＋b 2.一般θ为特殊角⎝⎛⎭⎫π4，π3等，则得到a 2＋b 2(cos θsin x ＋sin θcos x )(或a 2＋b 2(sin θsin x ＋cos θcos x ))．(3)化简、逆用公式得a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋θ)(或a sin x＋b cos x＝a2＋b2cos(x－θ))．思考2 在上述化简过程中，如何确定θ所在的象限？ 答案 θ所在的象限由a 和b 的符号确定． 梳理 辅助角公式 a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＝a 2＋b 2cos(x －θ)．其中cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b2，sin θ＝a a 2＋b2，cos θ＝ba 2＋b2，φ，θ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定．1．任意角α，β，都有sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.( √ ) 提示 由两角和的正弦公式知结论正确．2．存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β.( × )提示 由两角差的正弦公式知不存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β. 3．存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin αcos β－cos αsin β.( √ ) 提示 如α＝β＝0时，sin(α＋β)＝0，sin αcos β－cos αsin β＝0. 4．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ所在的象限由a ，b 的符号决定，φ与点(a ，b )同象限．( √ )5．sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.( × ) 提示 sin x ＋3cos x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.类型一 给角求值例1 (1)化简求值：sin(x ＋27°)cos(18°－x )－sin(63°－x )·sin(x －18°)． 解 原式＝sin(x ＋27°)cos(18°－x )－cos(x ＋27°)·sin(x －18°) ＝sin(x ＋27°)cos(18°－x )＋cos(x ＋27°)sin(18°－x ) ＝sin[(x ＋27°)＋(18°－x )]＝sin 45°＝22.(2)sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°＝________.答案 12解析 原式＝sin (20°＋30°)－sin 20°cos 30 °cos 20°＝sin 20°cos 30°＋cos 20°sin 30°－sin 20°cos 30°cos 20°＝cos 20°sin 30°cos 20°＝sin 30°＝12.反思与感悟 (1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦，统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解．跟踪训练1 计算：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°； (2)sin(54°－x )cos(36°＋x )＋cos(54°－x )sin(36°＋x )． 解 (1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°) ＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16° ＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12.(2)原式＝sin[(54°－x )＋(36°＋x )]＝sin 90°＝1. 类型二 给值求值(角)例2 已知sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)． 解 ∵0<α<π4<β<3π4，∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又∵sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝－1213，sin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－45. ∴cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝513×35－⎝⎛⎭⎫－1213×⎝⎛⎭⎫－45＝－3365.反思与感悟(1)给值(式)求值的策略：①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解．跟踪训练2 已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210，求α的值． 解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴α－β∈(0，π)．∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.∵β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，sin β＝－210， ∴cos β＝7210.∴sin α＝sin[(α－β)＋β] ＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×7210＋35×⎝⎛⎭⎫－210＝22. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＝π4. 类型三 辅助角公式例3 将下列各式写成A sin(ωx ＋φ)的形式． (1)3sin x －cos x ； (2)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x . 解 (1)3sin x －cos x ＝2⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x＝2⎝⎛⎭⎫cos π6sin x －sin π6cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6. (2)原式＝22⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋32cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22⎣⎡⎦⎤sin π6sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋cos π6cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－x －π6 ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π12－x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12. 反思与感悟 辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)可以把含sin x ，cos x 的一次式化为A sin(ωx ＋φ)的形式，其中φ所在象限由点(a ，b )决定，大小由tan φ＝ba确定．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数的性质都要用到该公式．跟踪训练3 已知函数f (x )＝3cos 2x －sin 2x ，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期与值域； (2)求f (x )的单调递增区间． 解 (1)f (x )＝－sin 2x ＋3cos 2x ＝－2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －32cos 2x＝－2⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π3－cos 2x sin π3 ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R . ∴最小正周期T ＝2π2＝π，函数的值域为[－2,2]．(2)由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ).1．计算2cosπ12＋6sin π12的值是( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D.22答案 B 解析2cosπ12＋6sin π12＝22⎝⎛⎭⎫12cos π12＋32sin π12 ＝22⎝⎛⎭⎫sin π6cos π12＋cos π6sin π12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫π6＋π12 ＝22sin π4＝2.2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.12答案 D解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.3．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于________． 答案 12解析 原式＝sin(43°－13°)＝sin 30°＝12.4．化简：cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________. 答案 cos α解析 cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＋ sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝2sin π6cos α＝cos α. 5．化简：sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x cos ⎝⎛⎭⎫π3－3x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋3x ·sin ⎝⎛⎭⎫π4＋3x . 解 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x cos ⎝⎛⎭⎫π3－3x －sin ⎝⎛⎭⎫π3－3x ·cos ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4－3x －⎝⎛⎭⎫π3－3x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－π3＝sin π4cos π3－cos π4sin π3 ＝22×12－22×32＝2－64.1．公式的推导和记忆 (1)理顺公式间的逻辑关系 C α－β―――→诱导公式S α＋β―――—→以－β代换βS α－β. (2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C α－β，C α＋β可记为“同名相乘，符号反”； 对于公式S α－β，S α＋β可记为“异名相乘，符号同”．(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C α－β，C α＋β，S α－β，且公式sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“地位”不同也要特别注意．2．应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin 2α＋cos 2α，1＝sin 90°，1＝2cos 60°，1＝2sin 30°等，再如：0，12，22，32等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数.一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，则sin α等于( ) A.210B.7210 C ．－210或7210D ．－7210答案 B解析 由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得3π4<α＋π4<5π4， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. 所以sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin π4 ＝22×⎝⎛⎭⎫35＋45 ＝7210，故选B. 2．sin 10°cos 20°＋sin 80°sin 20°等于( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案 C解析 sin 10°cos 20°＋sin 80°sin 20° ＝sin 10°cos 20°＋cos 10°sin 20° ＝sin(10°＋20°)＝sin 30°＝12，故选C.3．在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C 等于( )A.255 B ．－255 C.55 D ．－55答案 A解析 sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22(cos B ＋1－cos 2B )＝22×⎝⎛⎭⎫1010＋31010＝255. 4．已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β等于( )A ．0B ．0或2425 C.2425 D ．0或－2425答案 C解析 ∵0<α<π2<β<π，sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，∴cos α＝45，sin(α＋β)＝35或－35.∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝2425或0.∵π2<β<π，∴sin β＝2425. 5．在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形答案 D解析 ∵A ＝180°－(B ＋C )， ∴sin A ＝sin(B ＋C )＝2sin B cos C . 又∵sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， ∴sin B cos C －cos B sin C ＝sin(B －C )＝0.∴B ＝C ，故△ABC 为等腰三角形．6．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值为( ) A ．－235B.235 C ．－45 D.45答案 C解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435， ∴cos αcos π6＋sin αsin π6＋sin α＝435， ∴32cos α＋32sin α＝435， 即12cos α＋32sin α＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 二、填空题7．sin 15°＋sin 75°的值是________． 答案 62解析 sin 15°＋sin 75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin 45°cos 30°＝62. 8．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π3，则tan α＝________. 答案 19．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β＝________. 答案 π3解析 由题意，得sin αcos β－cos αsin β＝3314， ∴sin(α－β)＝3314.∵0＜β＜α＜π2，∴cos(α－β)＝ 1－27196 ＝1314. 又由cos α＝17，得sin α＝437. ∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3. 10.sin 27°＋cos 45°sin 18°cos 27°－sin 45°sin 18°＝________. 答案 1解析 原式＝sin (45°－18°)＋cos 45°sin 18°cos (45°－18°)－sin 45°sin 18°＝sin 45°cos 18°－cos 45°sin 18°＋cos 45°sin 18°cos 45°cos 18°＋sin 45°sin 18°－sin 45°sin 18°＝tan 45°＝1.11．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．答案 1解析 因为f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ，所以f (x )的最大值为1.三、解答题12．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，求β的值． 解 ∵α为锐角，sin α＝55，∴cos α＝255. ∵－π2<α－β<π2且sin(α－β)＝－1010， ∴cos(α－β)＝31010， ∴sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α＝1010×255＋31010×55＝22. 又∵β为锐角，∴β＝π4. 13．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝45，β是第三象限角，求sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4的值． 解 ∵sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝45， ∴sin β＝－45.又β是第三象限角， ∴cos β＝－1－sin 2β＝－35. ∴sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4＝sin βcos π4＋cos βsin π4＝⎝⎛⎭⎫－45×22＋⎝⎛⎭⎫－35×22＝－7210.四、探究与拓展14．已知A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)．若AC →·BC →＝－1，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 答案 23解析 ∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)， ∴AC →·BC →＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝cos 2α－3cos α＋sin 2α－3sin α＝1－3(sin α＋cos α)＝1－32⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α ＝1－32sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝23. 15．已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ. 解 (1)由f ⎝⎛⎭⎫5π12＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋π3 ＝A sin 3π4＝2A 2＝322，可得A ＝3. (2)f (θ)－f (－θ)＝3，则3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－3sin ⎝⎛⎭⎫π3－θ＝3， 即3⎝⎛⎭⎫12sin θ＋32cos θ－3⎝⎛⎭⎫32cos θ－12sin θ＝ 3. 故sin θ＝33. 因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos θ＝63. 所以f ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＋π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝3cos θ＝ 6.。
高中数学人教版必修4教学案：第三章 3.1 3.1.1 和角公式 Word版含答案
3．1.1 两角和与差的余弦预习课本P133～134，思考并完成以下问题(1)如何用α的三角函数与β的三角函数表示cos(α－β)，cos(α＋β)?(2)两角和与差的余弦公式是如何推导的？[新知初探]两角和与差的余弦公式名称 公式简记符号 两角和的余弦公式 cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_βC α＋β两角差的余弦公式 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β C α－β[点睛] 公式的左边是和(差)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的差(和)式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.( )(2)对于任意实数α，β，cos(α＋β)＝cos α＋cos β都不成立．( ) (3)对任意α，β∈R ，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√2．cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( ) A.12B.13C.32D.33答案：A3．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.75 B.15 C ．－75D ．－15答案：B4．cos 15°＝________. 答案：2＋64给角求值问题[典例] 求下列各式的值． (1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°； (2)sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°； (3)12cos 15°＋32sin 15°. [解] (1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195° ＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°) ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.(2)原式＝sin(180°－17°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋73°)·sin(360°－47°)＝－sin 17°sin 43°＋sin 73°sin 47°＝－sin 17°sin 43°＋cos 17°cos 43°＝cos 60°＝12.(3)∵12＝cos 60°，32＝sin 60°，∴12cos 15°＋32sin 15° ＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22.利用公式C (α＋β)，C (α－β)求值的方法技巧在利用两角和与差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差)，正用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值．[活学活用]计算下列各式的值：(1)cos 55°cos 20°－sin 55°sin 20°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos θ＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θsin θ. 解：(1)cos 55°cos 20°－sin 55°sin 20°＝cos 75° ＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° ＝22×32－22×12＝6－24. (2)cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos θ＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θsin θ ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋θ－θ＝cos π4＝22. 给值求值问题[典例] (1)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β是第三象限角，sin α＝45，cos β＝－513.求cos(α＋β)的值． (2)已知cos α＝45，cos(α＋β)＝35，且α，β均为锐角，求cos β的值．[解] (1)∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝45， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－ ⎝⎛⎭⎫452＝－35. ∵β是第三象限角，cos β＝－513，∴sin β＝－1－cos 2β＝－1－⎝⎛⎭⎫－5132＝－1213， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－513－45×⎝⎛⎭⎫－1213＝6365. (2)∵α，β均为锐角， ∴0<α＋β<π，∴sin(α＋β)>0. 由cos α＝45，cos(α＋β)＝35，得sin α＝35，sin(α＋β)＝45.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝35×45＋45×35＝2425.给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β； ②α＝α＋β2＋α－β2；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)． [活学活用] 1．已知cos θ＝－1213，θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ的值为________． 解析：∵cos θ＝－1213，θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， ∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－⎝⎛⎭⎫－12132＝－513，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝cos π4cos θ－sin π4sin θ ＝22×⎝⎛⎭⎫－1213－22×⎝⎛⎭⎫－513＝－7226.答案：－72262．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－45，且5π4<α<7π4，求cos α的值． 解：∵5π4<α<7π4，∴3π2<α＋π4<2π，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ 1－1625＝35， ∴cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin π4＝35×22－45×22＝－210.给值求角问题[典例](1)已知α，β均为锐角，且sin α＝25，sin β＝10，则α－β＝________. (2)已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则β＝________. [解析] (1)∵α，β均为锐角， ∴cos α＝55，cos β＝31010. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝55×31010＋255×1010＝22. 又∵sin α>sin β，∴0<β<α<π2，∴0<α－β<π2.故α－β＝π4.(2)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)． ∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝437，sin(α＋β)＝5314，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝12.∵0<β<π2，∴β＝π3.[答案] (1)π4 (2)π3[一题多变]1．[变条件]若本例中(1)中“sin α”变为“cos α”，“sin β ”变为“cos β ”，则α－β＝________.解析：∵α，β均为锐角，∴sin α＝55，sin β＝31010，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255×1010＋55×31010＝22. 又∵sin α<sin β，∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0，故α－β＝－π4.答案：－π42．[变条件]若本例(2)变为：已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值．解：由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437.由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又因为cos(α－β)＝1314，所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12， 所以β＝π3.已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角．层级一 学业水平达标1．cos 20°＝( )A ．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°B ．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°C ．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°D ．cos 30°cos 10°－sin 30°cos 10°解析：选B cos 20°＝cos(30°－10°)＝cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°. 2.12sin 15°－32cos 15°的值是( ) A.22 B ．－22 C.62D ．－62解析：选B 原式＝sin 30°sin 15°－cos 30°cos 15° ＝－(cos 30°cos 15°－sin 30°sin 15°) ＝－cos(30°＋15°)＝－cos 45°＝－22. 3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)的值为( )A ．－6365B ．－3365C.6365D.3365解析：选A ∵α为锐角，且cos α＝1213，∴sin α＝1－cos 2α＝513.∵β为第三象限角，且sin β＝－35，∴cos β＝－1－sin 2β＝－45，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1213×⎝⎛⎭⎫－45＋513×⎝⎛⎭⎫－35＝－6365.故选A. 4．已知向量a ＝(cos 75°，sin 75°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，那么|a －b |等于( )A.12B.22C.32D ．1解析：选D |a －b | ＝(cos 75°－cos 15°)2＋(sin 75°－sin 15°)2 ＝2－2(cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°) ＝2－2cos 60°＝1.5．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫7π4＋α等于( ) A.425B.7210C ．－425D ．－7210解析：选B 由题意可知cos α＝45，cos ⎝⎛⎭⎫7π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos α cos π4＋sin α·sin π4＝45×22＋35×22＝7210. 6．化简：cos(α－55°)cos(α＋5°)＋sin(α－55°)sin(α＋5°)＝________. 解析：原式＝cos[(α－55°)－(α＋5°)]＝cos(－60°)＝12.答案：127．若cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan αtan β＝________.解析：∵cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝13， ①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝15， ②由①②得cos αcos β＝415，sin αsin β＝－115，∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－115415＝－14.答案：－148．已知sin α＝1517，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为________． 解析：∵sin α＝1517，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫15172＝－817， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎫－817＋22×1517＝7234. 答案：72349．已知α，β为锐角，且cos α＝45，cos(α＋β)＝－1665，求cos β的值．解：因为0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π.由cos(α＋β)＝－1665，得sin(α＋β)＝6365.又因为cos α＝45，所以sin α＝35.所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1665×45＋6365×35＝513. 10．若x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，且sin x ＝45，求2cos ⎝⎛⎭⎫x －2π3＋2cos x 的值． 解：∵x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，sin x ＝45，∴cos x ＝－35. ∴2cos ⎝⎛⎭⎫x －2π3＋2cos x ＝2⎝⎛⎭⎫cos x cos 2π3＋sin x sin 2π3＋2cos x ＝2⎝⎛⎭⎫－12cos x ＋32sin x ＋2cos x＝3sin x ＋cos x ＝435－35＝43－35. 层级二 应试能力达标1．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( )A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1解析：选C cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－1.故选C. 2．已知α为钝角，且sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π12的值为( ) A.2 2＋36 B.2 2－36C ．－2 2＋36 D.－2 2＋36解析：选C ∵α为钝角，且sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－223， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π12＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12cos π3－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12sin π3 ＝⎝⎛⎭⎫－223×12－13×32＝－22＋36. 3．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos(2π－β)的值为( )A.3365 B ．－3365C.5465D ．－5465解析：选A ∵α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，∴sin α＝45，sin(α＋β)＝1213，∴cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－513×35＋1213×45＝3365.4．设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4D.5π4或7π4解析：选C 因为α，β为钝角，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫552＝－255.由cos β＝－31010，得sin β＝1－cos 2β＝1－⎝⎛⎭⎫－310102＝1010， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010 ＝22. 又因为π<α＋β<2π，所以α＋β＝7π4.5．已知cos α＝45，cos(α－β)＝－45，3π2<α<2π，π2<α－β<π ，则cos β＝________.解析：由条件知sin α＝－35，sin(α－β)＝35，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－1625－925＝－1.答案：－16．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0和cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________． 解析：由已知得，－sin γ＝sin α＋sin β，① －cos γ＝cos α＋cos β，②①2＋②2得，1＝1＋1＋2sin αsin β＋2cos αcos β， 化简得cos αcos β＋sin αsin β＝－12，即cos(α－β)＝－12.答案：－127．已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求角β的值．解：由α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213， 得sin(α－β)＝513.由α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213， 得sin(α＋β)＝－513，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝1213×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－513×513＝－1. 又∵α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴2β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，∴2β＝π，则β＝π2.8．已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 求：(1)cos(2α－β)的值； (2)β的值．解：(1)因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， 又sin(α－β)＝1010>0， ∴0<α－β<π2.所以sin α＝ 1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－2 55×1010＝210. (2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4.3．1.2 两角和与差的正弦预习课本P136～138，思考并完成以下问题(1)如何利用两角和与差的余弦公式导出两角和与差的正弦公式？(2)两角和与差的正弦公式是什么？[新知初探]两角和与差的正弦公式名称 公式简记符号 两角和的正弦 sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βS α＋β 两角差的正弦sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_βS α－β[点睛] 两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在α，β∈R ，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ) (3)对于任意α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)×2．sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°的值等于( ) A.12 B ．－12C ．0D ．1答案：D3．已知sin α＝－35，α是第四象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝________. 答案：7210给角求值问题[典例] 求值：(1)sin(－15°)； (2)(tan 10°－3)cos 10°sin 50°.[解] (1)sin(－15°)＝sin(30°－45°) ＝sin 30°cos 45°－cos 30°sin 45° ＝12×22－32×22 ＝2－64.(2)法一：原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝⎛⎭⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50° ＝sin (－50°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50° ＝－2.法二：原式＝⎝⎛⎭⎫sin 10°cos 10°－3cos 10°sin 50°＝sin 10°－3cos 10°cos 10°·cos 10°sin 50°＝2⎝⎛⎭⎫12sin 10°－32cos 10°sin 50°＝2sin (10°－60°)sin 50°＝－2.解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．[活学活用]求值：(1)sin 105°；(2)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°.解：(1)sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60° sin 45°＝32×22＋12×22＝6＋24. (2)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin (17°＋30°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝12.给值求值问题[典例] (1)已知sin α＝35，cos β＝－513，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值；(2)求值：3sinπ12＋cos π12； (3)已知π4＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值．[解] (1)[直接法]因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α＝35，cos β＝－513，所以cos α＝45，sin β＝1213，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝35×⎝⎛⎭⎫－513＋45×1213＝3365， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝35×⎝⎛⎭⎫－513－45×1213＝－6365. (2)[常值代换法] 原式＝2⎝⎛⎭⎫32sin π12＋12cos π12＝2⎝⎛⎭⎫sin π12cos π6＋cos π12sin π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝2sin π4＝ 2. (3)[角的代换法]∵π4＜β＜α＜3π4，∴π2＜α＋β＜3π2，0＜α－β＜π2. 又∵cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，∴sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45，∴sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝⎝⎛⎭⎫－35×1213＋⎝⎛⎭⎫－45×513＝－5665.给值求值的方法(1)直接法：当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)常值代换：用某些三角函数代替某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin 2α＋cos 2α，1＝tan 45°，1＝sin 90°等.1，3，33，12，22等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用．(3)角的代换：将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的代换方法就是角的代换．常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]＝12[(α＋β)－(β－α)]，α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β， α＋β＝(2α＋β)－α， 2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)等． [活学活用]在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C ＝( )A ．－55 B.55C ．－255D.255解析：选D ∵A ＝π4，∴cos A ＝sin A ＝22，又cos B ＝1010，0＜B ＜π，∴sin B ＝31010， ∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×1010＋22×31010＝255. 辅助角公式的应用[典例] 求y ＝3sin x －cos x 的最小正周期、最值及单调递增区间． [解] y ＝2⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x＝2⎝⎛⎭⎫sin x cos π6－cos x sin π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6. ∴此函数的最小正周期为2π，y max ＝2，y min ＝－2. 令2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z.∴y ＝3sin x －cos x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z)．辅助角公式及其运用(1)公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2cos(α－φ))将形如a sin α＋b cos α(a ，b 不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．(2)化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．[活学活用]求函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的最大值和最小值． 解：f (x )＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3＝32sin x －32cos x＝3⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， ∴f (x )的最大值为3，此时x ＝2π3＋2k π(k ∈Z)；f (x )的最小值为－3，此时x ＝－π3＋2k π(k ∈Z)．1．(全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160° sin 10°＝( ) A ．－32B.32C ．－12D.12解析：选D 原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝12.2.sin (α＋30°)－sin (α－30°)cos α的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 原式＝sin α cos 30°＋cos αsin 30°－sin αcos 30°＋cos αsin 30°cos α＝2cos αsin 30°cos α＝2sin 30°＝1.3．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．－7210 B.7210 C ．－210D.210解析：选A 因为cos α＝－45，α是第三象限的角，所以sin α＝－35，由两角和的正弦公式可得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝⎝⎛⎭⎫－35×22＋⎝⎛⎭⎫－45×22＝－7210. 4．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝14，则cos α＋3sin α的值为( ) A ．－14B.12 C ．2D ．－1解析：选B cos α＋3sin α＝2⎝⎛⎭⎫12cos α＋32sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝2×14＝12. 5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小值为( ) A. 2 B ．－2 C ．－ 2D. 3解析：选C 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin 2x cos π4＋cos 2x sin π4＋sin 2x cos π4－cos 2x sin π4＝2sin 2x ，所以所求函数的最小值为－ 2.6．化简sin 50°cos 38°＋cos 50°cos 128°的结果为________．解析：sin 50°cos 38°＋cos 50°cos 128°＝sin 50°cos 38°＋cos 50°(－sin 38°)＝sin 50°cos 38°－cos 50°sin 38°＝sin(50°－38°)＝sin 12°.答案：sin 12°7．已知π4<β<π2，sin β＝223，则sin ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝________. 解析：∵π4<β<π2，sin β＝223，∴cos β＝13，∴sin ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝sin β·cos π3＋cos β·sin π3＝223×12＋13×32＝23＋36＝22＋36. 答案：22＋368．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π3，则tan α＝________. 解析：cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝cos αcos π3－sin αsin π3＝12cos α－32sin α，sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝sin αcos π3－cos αsin π3＝12sin α－32cos α，∴⎝⎛⎭⎫12＋32sin α＝⎝⎛⎭⎫12＋32cos α，故tan α＝1.答案：19．已知cos α＝45(α为第一象限角)，求cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，sin ⎝⎛⎭⎫π3－α的值． 解：∵cos α＝45，且α为第一象限角，∴sin α＝1－cos 2 α＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.∴cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos π6cos α－sin π6sin α ＝32×45－12×35＝43－310. 同理可求sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝43－310.10．化简下列各式：(1)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－3cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ； (2)sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)．解：(1)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos 2π3·cos x －3sin2π3sin x＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x ＝⎝⎛⎭⎫12＋1－32sin x ＋⎝⎛⎭⎫32－3＋32cos x ＝0.(2)原式＝sin[(α＋β)＋α]－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α. 层级二 应试能力达标1．sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝( ) A ．±1 B ．1 C ．－1D ．0解析：选D 原式＝sin[60°＋(θ＋15°)]＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝－32cos(θ＋15°)＋12sin(θ＋15°)＋cos(θ＋45°)＝sin(θ－45°)＋cos(θ＋45°)＝0，故选D. 2．在△ABC 中，如果sin A ＝2sin C cos B ，那么这个三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：选C ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝π－(B ＋C )． 由已知可得 sin(B ＋C )＝2sin C cos B ⇒sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin C cos B ⇒sin B cos C －cos B sin C ＝0⇒sin(B －C )＝0. ∵0<B <π，0<C <π，∴－π<B －C <π. ∴B ＝C .故△ABC 为等腰三角形．3．函数f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－x 图象的一条对称轴为( ) A ．直线x ＝π2B ．直线x ＝πC ．直线x ＝π6D ．直线x ＝π3解析：选D f (x )＝sin x ＋sin2π3·cos x －cos 2π3·sin x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其图象的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，令k ＝0，得x ＝π3.4．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,3cos A ＋4sin B ＝1，则C 的大小为( ) A.π6 B.5π6 C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选A 由已知可得(3sin A ＋4cos B )2＋(3cos A ＋4sin B )2＝62＋12，即9＋16＋24sin(A ＋B )＝37.所以sin(A ＋B )＝12.所以在△ABC 中sin C ＝12，所以C ＝π6或C ＝5π6.又1－3cos A ＝4sin B >0，所以cos A <13.又13<12，所以A >π3，所以C <2π3， 所以C ＝5π6不符合题意，所以C ＝π6.5．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫β＋5π4＝________. 解析：sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α ＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，即sin β＝－35，又β是第三象限角，∴cos β＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎫β＋5π4＝sin βcos 5π4＋cos βsin 5π4＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－22＋⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫－22＝7210. 答案：72106．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝________. 解析：因为α为锐角，所以π6<α＋π6<2π3.又 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45. 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π4 ＝45×22－35×22＝210. 答案：2107．已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值． 解：∵α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010， ∴cos α＝255，sin β＝31010.∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝55×1010－255×31010＝－22. 又∵α，β均为锐角，∴－π2<α－β<π2.故α－β＝－π4.8．已知π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值． 解：∵π4＜α＜3π4，∴π2＜π4＋α＜π， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝45. ∵0＜β＜π4，∴3π4＜3π4＋β＜π，∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫3π4＋β ＝－1213，∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫3π4＋β ＝－⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＋cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β ＝－⎣⎡⎦⎤45×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－35×513＝6365. 3．1.3 两角和与差的正切预习课本P140～141，思考并完成以下问题(1)如何利用两角差(和)的正、余弦公式导出两角差(和)的正切公式？(2)公式T ()α±β的应用条件是什么？[新知初探]两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号使用条件两角和 的正切 tan(α＋β)＝ tan α＋tan β1－tan αtan βT (α＋β) α，β，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)两角差 的正切tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan βT (α－β)α，β，α－β≠k π＋π2(k ∈Z)[点睛] 当tan α，tan β，tan(α＋β)(或tan(α－β))中任一个的值不存在时，不能使用两角和(或差)的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法解题．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( ) (2)对任意α，β∈R ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立．( )答案：(1)√ (2)×2．已知tan α＝－34，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A ．－17 B ．－7 C.17 D ．7答案：D3．若tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝3，则tan α的值为( ) A ．－2 B ．－12C.12 D ．2答案：B 4.tan 17°＋tan 43°1－tan 17°tan 43°＝________.答案： 3给角求值问题[典例] 求值：(1)tan(－15°)； (2)tan 74°＋tan 76°1－tan 74°tan 76°； (3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°. [解] (1)tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝3－33＋3＝12－636＝2－3，tan(－15°)＝－tan 15°＝3－2. (2)原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－33.(3)∵tan 60＝3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23° tan 37°，∴tan 23°＋tan 37°＝3－3tan 23°tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3.利用公式T (α±β)化简求值的两点说明(1)分析式子结构，正确选用公式形式：T ()α±β是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“3”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan π4”，“3＝tan π3”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．[活学活用]求值：(1)tan 75°；(2)3－tan 15°1＋3tan 15°.解：(1)tan 75°＝tan (45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝3＋33－3＝12＋636＝2＋ 3.(2)原式＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan (60°－15°)＝tan 45°＝1.给值求值问题[典例] 已知cos α＝45，α∈(0，π)，tan (α－β)＝12，求tan β及tan (2α－β)．[解] ∵cos α＝45>0，α∈(0，π)，∴sin α>0. ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，∴tan α＝sin αcos α＝3545＝34.∴tan β＝tan [α－(α－β)]＝tan α－tan (α－β)1＋tan α·tan (α－β)＝34－121＋34×12＝211，tan (2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝tan α＋tan (α－β)1－tan α·tan (α－β)＝34＋121－34×12＝2.给值求值问题的两种变换(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实现求值．(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．[活学活用]1．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：选A ∵tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根， ∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2， ∴tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.2．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan (α－β)＝2，则tan (β－2α)＝________.解析：由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2.因为 tan (α－β)＝2， 所以 tan (β－α)＝－2， 故 tan (β－2α)＝tan [(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43.答案：43给值求角问题[典例] 已知tan α＝2，tan β＝－13，其中0<α<π2，π2<β<π.(1)求tan (α－β)； (2)求α＋β的值．[解] (1)因为tan α＝2，tan β＝－13，所以tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2＋131－23＝7.(2)因为tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1，又因为0<α<π2，π2<β<π，所以π2<α＋β<3π2，所以α＋β＝5π4.[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求tan (2α－β)的值． 解：因为tan (α－β)＝7，tan α＝2，所以tan (2α－β)＝tan (α－β)＋tan α1－tan (α－β)tan α＝7＋21－7×2＝－913.2．[变条件，变设问]若本例条件变为：tan α＝13，tan β＝17且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求2α＋β的值．解：因为tan α＝13，tan β＝17且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋171－13×17＝12>0，∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2α＋β∈(0，π)， ∴tan (2α＋β)＝tan (α＋β)＋tan α1－tan (α＋β)tan α＝12＋131－12×13＝1，∴2α＋β＝π4.解决给值求角问题的步骤(1)根据题设条件求角的某一三角函数值；(2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．层级一 学业水平达标1．化简：1－tan 27°tan 33°tan 27°＋tan 33°的值为( )A.33B. 3 C ．tan 6°D.1tan 6°解析：选A ∵tan 27°＋tan 33°1－tan 27°tan 33°＝tan (27°＋33°)＝tan 60°，∴原式＝1tan 60°＝33.2．tan 15°＋tan 105°等于( )A ．－2 3B ．2＋ 3C ．4D.433解析：选A tan 15°＋tan 105°＝tan (60°－45°)＋tan (45°＋60°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＋tan 45°＋tan 60°1－tan 45°tan 60°＝－23，故选A .3．已知tan (α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.1318 B.1322 C.322D.318解析：选C ∵tan (α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14， ∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322. 4．在△ABC 中，若tan A tan B>1，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．不能确定解析：选A 由tan A tan B>1，知tan A>0，tan B>0，从而A ，B 均为锐角．又tan (A ＋B)＝tan A ＋tan B1－tan A tan B <0，即tan C ＝－tan (A ＋B)>0，∴C 为锐角，故△ABC 为锐角三角形．5．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1＋ 2D ．1＋ 3解析：选B ∵tan 45°＝tan (20°＋25°)＝tan 20°＋tan 25°1－tan 20°tan 25°＝1，∴tan 20°＋tan 25°＝1－tan 20°tan 25°，∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°·tan 25°＝1＋1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.6．(江苏高考)已知tan α＝－2，tan (α＋β)＝17，则tan β的值为________． 解析：将β化为(α＋β)－α，利用两角差的正切公式求解．tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3. 答案：37.cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＝________. 解析：原式＝1－tan 15°1＋tan 15°＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝33. 答案：33 8．已知tan α＋tan β＝2，tan (α＋β)＝4，则tan α·tan β＝________.解析：∵tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β， ∴1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan (α＋β)＝24＝12， ∴tan α·tan β＝1－12＝12. 答案：129．已知tan ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝2，tan ⎝⎛⎭⎫β－π3＝22，求： (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4；(2)tan (α＋β)． 解：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4 ＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋⎝⎛⎭⎫β－π3 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋tan ⎝⎛⎭⎫β－π31－tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12×tan ⎝⎛⎭⎫β－π3＝2＋221－2×22＝－ 2.(2)tan (α＋β)＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＋π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4×tan π4＝－2＋11－(－2)×1＝22－3. 10．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，求角α＋β的大小．解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4， ∴tan α，tan β均为负，∴－π2<α<0，－π2<β<0. ∴－π<α＋β<0，又tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3. ∴α＋β＝－2π3.层级二 应试能力达标 1．已知tan α＝12，tan (α－β)＝－25，那么tan (β－2α)的值为( ) A ．－34B ．－112C ．－98 D.98 解析：选B tan (β－2α)＝－tan (2α－β)＝－tan [α＋(α－β)]＝－tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝－12－251＋12×25＝－112. 2．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 等于( )A.π3B.2π3C.π6D.π4解析：选A 由已知，得tan A ＋tan B ＝3(tan A tan B －1)，即tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，∴tan (A ＋B)＝－3，∴tan C ＝tan [π－(A ＋B)]＝－tan (A ＋B)＝3，∴C ＝π3.3．已知tan α＝12，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值是( )A ．2 B.12C ．－1D ．－3解析：选B 法一：因为tan α＝12，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4·tan α＝1＋tan α1－tan α＝3，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝3－11＋3＝12.故选B .法二：tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－tan π41＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·tan π4＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4＝tan α＝12.故选B .4．(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)·…·(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)的值为() A ．222 B ．223C ．224D ．225解析：选B (1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋tan 44°＋tan 1°＋tan 44°tan 1°，∵tan 45°＝tan (1°＋44°)＝tan 1°＋tan 44°1－tan 1°tan 44°＝1， ∴(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋1－tan 1°tan 44°＋tan 44°tan 1°＝2，同理，得(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝(1＋tan 2°)(1＋tan 43°)＝ (2)∴原式＝222×(1＋tan 45°)＝223.5．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是__________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)解析：由已知得⎩⎨⎧tan A ＋tan B ＝53，tan A·tan B ＝13. ∴tan (A ＋B)＝tan A ＋tan B 1－tan A·tan B ＝531－13＝52， 在△ABC 中，tan C ＝tan [π－(A ＋B)]＝－tan (A ＋B)＝－52<0，∴C 是钝角，∴△ABC 是钝角三角形． 答案：钝角6．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的最小正值为______________________________． 解析：(tan α－1)(tan β－1)＝2⇒tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2⇒tan α＋tan β＝tan αtan β－1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1， 即tan (α＋β)＝－1，∴α＋β＝k π－π4，k ∈Z. 当k ＝1，α＋β取得最小正值3π4. 答案：3π4 7．已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解：(1)因为tan(π＋α)＝－13，所以tan α＝－13，因为tan(α＋β)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α， 所以tan(α＋β)＝－13＋25＋13＝516. (2)因为tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α， 所以tan β＝516＋131－516×13＝3143.8．已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17且α，β∈(0，π)． (1)求tan α的值；(2)求2α－β的值．解：(1)tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171－12×⎝⎛⎭⎫－17＝13. (2)tan α＝13，α∈(0，π)， ∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. ∵tan β＝－17，β∈(0，π)， ∴β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝12>0， ∴－π<α－β<－π2， ∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)，。
高一数学人教A版必修4第三章3.1.1 两角差的余弦公式 教案
《两角差的余弦公式》教学设计教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修4课题：3.1.1 两角差的余弦公式课时：1课时一、教学内容分析三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇处，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力与运算能力的重要素材.由于和与差内在的联系性与统一性，教材选择两角差的余弦公式作为基础，使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握.教学没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果.这样安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、发展思维.因此，本节课的教学重点是：利用诱导公式发现两角差的余弦公式，并运用向量方法证明公式.二、教学目标1.掌握两角差的余弦公式，并能正确运用公式进行简单的求值运算；2.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；3.在利用诱导公式进行两角差余弦公式的探究过程中，体会“特殊到一般”、“数形结合”、“归纳猜想”等数学思想方法和思维方法，能体会到数学思维的合理性与条理性.三、学生学情分析学生此前已经掌握了任意角三角函数的概念、诱导公式的推导、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标运算等知识.同时，学生多次经历了由特殊到一般，归纳猜想等数学思维方法，基本具备数形结合的能力，这些都为本节课的学习建立了良好的知识基础.教材根据一个实例提出本章所要研究的主要内容，然后直接提出研究两角差的余弦公式，学生会感到有些突然；教材中用几何方法研究两角差的余弦公式学生不易想到用“割补法”求正弦线、余弦线；用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误.因此，我将本节课的教学难点确定为：发现并证明两角差的余弦公式.四、教学过程设计1.创设情景【情境问题】如图，某城市的电视发射塔CB 建筑市郊的一座小山CD 上,从山脚A 测得AC=50m,塔顶B的仰角(DAB ∠)为60︒，从A 点观测塔顶B 的视角（CAB ∠）约为45︒，求：A,B 两点间的距离.（请学生思考求解过程，某生表述：AB=2AD=2×50×()cos 6045︒-︒=100cos15︒.教师引导说明15︒角的余弦值是未知的，而60︒角、45︒角的三角函数值是已知的，不妨用它们来求差角6045︒-︒的余弦值.）【设计意图】从实际问题出发,有利于强调数学与实际的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性，使其感受到实际问题中对研究差角公式的需要.【思考1】()cos 6045︒-︒如何求角60︒，45︒的正弦、余弦值来表示呢？ （请学生大胆尝试说明，并根据自己的结论计算验证.在这个过程中，可将问题一般化：两角差αβ-的余弦值与这两个角,αβ的三角函数值之间有怎样的关系呢？引入课题：两角差的余弦公式）【设计意图】让学生体验如何用反例进行反驳，明确常犯的直接性错误为什么是错的，提出本节课的研究内容，统一对探究目标中“恒等”要求的认识.2.新知探究【思考2】在已学过的知识中，有没有类似求两角差余弦的式子呢？（请学生思考说明：诱导公式()cos cos πββ-=-，cos sin 2πββ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.） ()()cos cos cos 2πβαβπβ--−−−→⎛⎫- ⎪⎝⎭特殊化 【说明】观察以上两式就是把角α用特殊角π、2π来替换.由于特殊中往往能反映一般规律，我们不妨从上述公式出发，建立研究思路，寻找两角差的余弦公式的一般性规律.【设计意图】从学生的学习实际出发，回想已有的关于两角差的余弦的式子，寻找新旧知识之间的联系，使两角差的余弦公式的发现与推导是用“随机、自然进入”的方式呈现给学生.【探究1】()cos πβ-如何用角π和β的正弦、余弦值来表示呢？本环节以教师引导探究为主，展现知识的生成过程.【问题1】根据三角函数的定义,你能写出点12,P P 的坐标吗?（请学生说明，点 ()()12cos ,sin ,cos ,sin P P ππββ.）【问题2】根据三角函数的定义，()cos πβ-是角πβ-的终边与单位圆交点的横坐标.那么，你能在图1中画出角πβ-的终边吗？（请学生说明自己画图的过程，可能会有两种做法：方法一：由角β的终边画出角β-的终边，然后将角β-旋转角π，得角πβ-的终边；方法二：以角π的终边为始边旋转角β，得角πβ-的终边.设角πβ-的终边与单位圆交于点3P ，则点3P 的坐标为()()()cos ,sin πβπβ--）【过渡】在已知各点坐标的情况下，我们不妨用向量知识来解决问题.【问题3】观察图1，有几组向量的夹角相等？（请学生说明：0312P OP POP ∠=∠，又向量的模相等，0312OP OP OP OP ∴⋅=⋅，由向量数量积的坐标运算得：()cos cos cos sin sin πβπβπβ-=+.）【活动】根据上述推导过程，请同学们整理研究思路，在学案（附后表1）β的终边y x π-β的终边1,0()π的终边P3P1P2O P0上完成图1对应的表格.【设计意图】根据三角函数的定义及任意角三角函数的定义，建立几何图形与点的坐标之间的联系——向量，加强新旧知识之间的关联性，使向量方法的引入自然、合理.本环节设计为引导探究的学习方式，将探究一拆分为三个问题，帮助学生建立研究思路.【探究2】根据上述做法， cos 2πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值如何用角,2πβ的正弦、余弦值来表示呢？（请学生根据学案中的图2，四人一组完成探究. 教师引导说明角2πβ-的终边的形成过程，学生类比()cos πβ-的推导过程，以向量为工具，根据向量的夹角相等，得：0312OP OP OP OP ⋅=⋅βπβπβπsin 2sin cos 2cos 2cos +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴【设计意图】再一次经历由图形对称得等量关系，运用向量数量积的坐标运算建立数与形的联系，推导两脚差余弦的一个表达式.使学生从知识、方法、策略上多层次的感受式子的推导过程.【思考3】观察上面两个式子，猜想：若,αβ是任意角，那么()cos αβ-= ？（学生观察上式，归纳说明.）【设计意图】有特殊到一般，猜想任意角两角差的余弦公式，使学生成为数学结论的发现者，这对增强学生学习数学的信心、学会学习数学是有意义的.【探究3】你能否证明自己的猜想？π（请学生类比上面两式的推导过程，在学案中自主探究完成，并与周围同学相互交流，解决自己存在的问题.其中，差角αβ-的形成过程教师可利用几何画板旋转得到，帮助学生认识图形间的内在联系.之后投影展示某生的证明过程，并请该生解说： 0312OP OP OP OP ⋅=⋅()cos cos cos sin sin αβαβαβ∴-=+）【设计意图】通过对猜想进行证明，体现数学知识的严谨性、合理性，使学生对公式的认识上升到理性高度.同时，体会向量方法的作用.【归纳】两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+【问题4】观察两角差的余弦公式，我们如记忆公式呢？（请学生尝试说明，教师从式子左右两边的三角函数名及符号给予归纳：余余正正异相连.）【设计意图】引导学生总结公式特点，帮助学生记忆公式.3.应用举例例.求cos15︒的值.（本例由情景问题提出，可引导学生采用不同的方法求值，认识到拆分角的多样性.）【设计意图】帮助学生掌握两角差的余弦公式的应用，拓展数学思维，体会拆分的多样性，决定变换的多样性.4.课堂小结【问题5】本节课你学到了哪些知识，有什么样的心得体会？（学生说明，师生共同归纳总结.）（1）两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；（2）向量作为工具性知识的运用；（3）解决数学问题的思路：由已知到未知、由特殊到一般.β的终边α)【设计意图】让学生对探究的过程、思路与方法有一个清晰的认识，获得知识和能力的共同进步.5.作业布置（1）课本127页，练习2,3题；（2）查一查“两角差的余弦公式”还有其他证明方法吗？【设计意图】巩固所学知识，拓展解决数学问题的思路.。