杨辉三角 小学数学 精品

杨辉三角

人教版小学数学五年级下期第115页第10题，涉及著名的“杨辉三角”，

对此，教参中已有所介绍。为了提高学生的学习兴趣，加深对“杨辉三角”的理解，增强学生的民族自豪感和爱国热情，下面推荐一个有趣的数学游戏。

老师出示一张图(有条件的可以使用多媒体)：

宣布：“现在和同学们玩一个有趣的数学游戏。请一位同学在这个图的最下面一行6个圆圈里任意各填一个一位数，我随即在顶端那个圆圈里写一个数。然后，大家按照图中的连线，算出最下面那行相邻两个圆圈里的数的和，填入上一行的圆圈里。自下而上照这样进行下去，直到算出顶端那个圆圈里应该填的数，一定跟我已经填好的数一样。哪位同学愿意试一试？”

等那位同学把最下面一行的6个数填好以后，老师迅速算出左起第三、四两个数的和的10倍，加上第二、五两个数的和的5倍，再加上第一、六两个数，得数就是顶端那个圆圈里应该填的数。

比如，从左到右，学生所填的数是4、1、8、6、2、3，老师就应该填10

×(8＋6)＋5×(1＋2)＋(4＋3)＝140＋15＋7＝162。

这是为什么呢？原来，“杨辉三角”中的数是有规律的。

规律是：自上而下，每个圆圈里的数等于与它相连的，上一行圆圈里的数的和。比如，第三行中间圆圈里的数之所以是2，就因为与它相连的第二行两个圆圈里的数都是1，1＋1＝2。依此类推。

游戏相当于把上面的过程倒回去，所以要把圆圈里的数分别乘上1、5、10、10、5、1。

等玩过两三次以后，学生一定会急于知道老师是怎样做到未卜先知的，甚至有些爱动脑筋的学生，已经在开始探求其中的奥秘了。这时，可以启发学生用学过的“用字母表示数”的方法，看看最下面那行所填的6个数，在整个计算过程中究竟各用了几次。

设：第六行所填的6个数依次为A、B、C、D、E、F。第五行就是A＋B、B ＋C、C＋D、D＋E、E＋F；第四行就是A＋2B＋C、B＋2C＋D、C＋2D＋E、D＋2E＋F；第三行就是A＋3B＋3C＋D、B＋3C＋3D＋E、C＋3D＋3E＋F；第二行就是A＋4B＋6C＋4D＋E、B＋4C＋6D＋4E＋F；顶端的数就是A＋5B＋10C＋10D ＋5E＋F，即10(C＋D)＋5(B＋E)＋(A＋F)。从而得出前面所总结出的方法。

“杨辉三角”在数学中有着重要作用，同时又具有直观形象的特点，对于培养学生的思维能力很有好处，值得给学生提供一个加深印象的机会。

杨辉三角

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

……

中还隐藏着许多奥秘：

请看这些斜线上的数：

自然数 1

三角形数 1 1

四面体数 1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

……

一、自然数：1，2，3，4，…

求前n个自然数的和，无需使用公式，答案就在第n个自然数的左下方。比如，前4个自然数的和，就在第4个自然数4的左下方，是10。前5个自

然数的和，就在第5个自然数5的左下方，是15。依此类推。

二、三角形数：1，3，6，10，…

三角形数就是可以用点“排”成三角形的数。最顶端1个点，下一排2个点，再下一排3个点，再下一排4个点，5个点，6个点……所以，三角形数依次是1，1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，……即1，3，6，10，…

求前n个三角形数的和，无需使用公式，答案就在第n个三角形数的左下方。比如，前4个三角形数的和，就在第4个三角形数10的左下方，是20。前5个三角形数的和，就在第5个三角形数15的左下方，是35。依此类推。

三、四面体数：1，4，10，20，…

四面体数就是可以用三角形数“垒”成四面体的数。最顶端1个点，下一层3个点，再下一层6个点，再下一层10个点，15个点，21个点……所以，四面体数依次是1，1＋3＝4，1＋3＋6＝10，1＋3＋6＋10＝20，……即1，4，10，20，…

求前n个四面体数的和，无需使用公式，答案就在第n个四面体数的左下方。比如，前3个四面体数的和，就在第3个四面体数10的左下方，是15。前4个四面体数的和，就在第4个四面体数20的左下方，是35。依此类推。

最让人感到意外的是，“杨辉三角”竟然还与“菲波那契数列”有着密切的关系。请看下图：（图中的斜线可以一直画下去）

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

……

斜线上数的和，依次是1，1，1＋1＝2，1＋2＝3，1＋3＋1＝5，1＋4＋3＝8，1＋5＋6＋1＝13，1＋6＋10＋4＝21，1＋7＋15＋10＋1＝34，……

1，1，2，3，5，8，13，21，34，……不正是菲波那契数列吗？

“杨辉三角”真称得上是一个数学宝藏，它的这些奇妙之处都是后来陆续被发现的，究竟其中还隐藏着那些奥秘，仍然是一个未知数。发掘宝藏，需要

兴趣和毅力，也许新的发现正在向你招手呢！