1.3.2杨辉三角与二项式的性质

例3：试证：在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项 式系数和等于偶数项的二项式系数和. 证明：在展开式
(a b)n Cn0an Cn1an-1b Cnkan-kbk Cnnbn中，
令a=1,b= -1,则得
(1 1)n = Cn0 Cn1 + Cn2 Cn3 + (1)n Cnn ,
(1-x)6 (1+x)4的展开式的通项为: T (1)k C6kC4r xk+r，
令k+r=3,得
k 0 k 1 k 2 k 3

r

3
; r

2
;

r

1
;

r

0
,
所以展开式中的x3系数为：
C60C43 C61C42 + C62C41 C63C40 8.
5 10 ；
C163 , C173
在(1-x)13的展开式中，二项式系数最大为
.
2.(a b)n的展开式中的第十项和第十一项的 二项式系数最大，则，n
1.已知1

2C
1 n

22 Cn2

2n Cnn 2187,
则C
1 n

C
2 n

C
3 n

C
n n

127
1

6C
2 n
2n = Cn0 + Cn1 + Cn2 +
+ Cnk +
+ Cnn
例2.已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则
(1)a1+a2+a3+…+a7=_-_2___; (2)a0-a1+a2-a3+…3-7 a71=_3_7_
(3)a1+a3+a5+a7=____2 _; (4)a0+a2+a4+a6 =_3_7__1_;
“斜线和”
第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第6行 第7行
1 11
121
+
1 3 31 1 4 6+ 4 1 1 5 10+ 10 5 1 1 6 15 + 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
第n-1行 1 第n行 1
…
…
1
…
…
1
Crr

Cr r 1

Cr r2
小结 (1)二项式系数的三个性质
(2) 数学思想：函数思想 a 单调性； b 图象； c 最值.
(1 + x)n = 1 + Cn1 x + Cn2 x2 + + Cnk xk + + Cnn xn
令 x = 1，则有：
2n = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnk + + Cnn
(3)二项式各项系数的和
其定义域是：0,1,2,, n
当 n 6 时，其图象是右
图中的7个孤立点．
（1）对称性
与首末两端“等距离”的两 个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式 得到．
图象的对称轴： r n 2
（2）增减性与最大值
由于：Ckn

n(n
1)(n 2) (n k k (k 1)!
二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？
下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我 们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特 点？
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n
(a+b)n展开式的二项式系数
1 11
2 121
3 1331
4 14641
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1

1)

Ck 1 n

nk k
1
所以C
k n
相对于C
k n
1的增减情况由
决定．
由：n k 1 1 k n 1
k
可知，当 k

n
1
2
时，
2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的
后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
（2）增减性与最大值
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式 系数 取得最大值；

62 Cn3

63
C
4 n

7n 1 6n1Cnn 6
3.若展开式( x2

1 x
)n中的所有二项式系数和为512，
则该展开式中的常数项为（ B ）
A. －84 B.84
C. －36 D. 36
已知 (1 2x)7 a0 a1 x a2 x2 a7 x7
求:(1) a1 a2 a7 ； -2
例6、求 x (1 x)4 x2(1 2x)8 x3(1 3x)12展开式中
x 4的系数。
解:可逐项求得 x 4 的系数
(1 x)4 的展开式通项为 C4r (x)r 当r 3时
系数为-4
(1 2x)8的展开式通项为C8s (2x)s 当s 2 时
系数为 4C82 112
(2) a1 a3 a5 a7 ； 1094
(3)a0 a2 a4 a6
;
37 1 1093
2
(4)| a0 | | a1 | | a7 | 2187
2.求证：Cn0 2Cn1 3Cn2 n 1Cnn n 2 2n1
对称性
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
1）请看系数有没有明显的规律？ 2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
+ ++ + ++ ++++
2
练习：(1)若(2x 3)4 a0 a1x a2 x2 a3 x3 a4 x4,
则(a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2的值为( A ).
A.1 B.-1
C.0
D .2
(2)若(2x 1)5 a0 a1 x a2 x2 a5 x5 , 求 | a1 | | a2 | | a3 | | a4 | | a5 |的值.
(1 3x)12 的展开式通项为 C1t2 (3x)t 当 t 1时 系数为3C112 36
所以 x(1 x)4 x2 (1 2x)8 x3 (1 3x)12 展开式中的 系数为 4 112 36 144
例7. (2x2 1)n的展开式的各项系数和为__1__
即
0 = (Cn0 + Cn2 ) (Cn1 Cn3 + ),
所以 Cn0 + Cn2 Cn1 Cn3 + ,
即在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数和 等于偶数项的二项式系数和.
例4、计算：
(1).( x 1)5 5( x 1)4 10( x 1)3 10( x 1)2 5( x 1)
解：设 (2 x2 1)n a 0 x2n a1 x2(n1) an
展开式各项系数和为 a0 a1 a2 an ∵上式是恒等式，所以当且仅当x=1时，
(2-1)n= a0 a1 a2 an
∴ a0 a1 a2 an =(2-1)n=1 例题点评：求展开式中各项系数和常用赋值法： 令二项式中的字母为1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 、 相等，且同时取得最大值。
（3）各二项式系数的和
C
0 n
C1n

C
2 n



C
n n

2n
例1 证明：在(a+b)n展开式中，奇数项的二项 式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。
变式：完成课本P35 练习1（2），（3）， 练习2
C 课堂练习
1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为


Cr n1

如图从，第写三出个斜数线起上，各任行一数数字都的等和于，前有两什个么数规的律和？， 这就是著名的斐波那契数列 ，也称为兔子数列。
第0行
1
第1行
11
第2行
12 1
第3行
13 3 1
第4行
14 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第8行 1 8 28 56 …7…0 56 28 8 1
(2).1 2Cn1 4Cn2 ... 2n Cnn
例5、求(1 x)6 (1 x)4 的展开式中的 x3系数。
解： (1-x)6的展开式的通项为: Tk1 (1)k C6k xk， (k 0,1,2, 6)
(1+x)4的展开式的通项为:Tr1 C4r xr，(r 0,1, 2, 3,4)
+++++
①每行两端都是1 Cn0= Cnn=1 ②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩 上的两个数的和