大学物理II静电场习题
大连理工大学大学物理作业2(静电场二)及答案详解
1．如图所示，把点电荷q +从高斯面外P 移到R 处()OP OR =，O 为S 上一点，则[ ].A 穿过S 的电通量e φ发生改变，O 处E变.B e φ不变，E 变。
.C e φ变，E 不变。
.D e φ不变，E不变。
答案：【B 】[解]闭合面外的电荷对穿过闭合面的电通量无贡献，或者说，闭合面外的电荷产生的电场，穿过闭合面的电通量的代数和为零；移动点电荷，会使电荷重新分布，或者说改变电荷的分布，因此改变了O 点的场强。
2．半径为R 的均匀带电球面上，电荷面密度为σ，在球面上取小面元S ∆，则S ∆上的电荷受到的电场力为[ ]。
.A 0 .B 22Sσε∆ .C2S σε∆ .D2204SRσπε∆答案：【B 】解：应用高斯定理和叠加原理求解。
如图所示。
面元S ∆上的电荷受到的库仑力是其他电荷在面元S ∆处产生的总电场强度1E与面元S ∆上的电荷量S Q ∆=∆σ的乘积：111E S E Q F∆=∆=σ。
面元S ∆处电场强度E是面元S ∆电荷在此产生的电场强度2E 与其他电荷在面元S∆处产生的总电场强度1E 的矢量和，21E E E+=。
首先，由高斯定理求得全部球面分布电荷在面元S ∆处产生的总电场强度 R E ˆ0εσ=其次，面元S ∆上的电荷量S Q ∆=∆σ对于面元S ∆来说，相当于无限大带电平面，因此，面元S ∆上的电荷量S Q ∆=∆σ在面元S ∆处产生的电场强度为R E ˆ202εσ=由叠加原理，其他电荷在面元S ∆处产生的总电场强度为 R E E E ˆ2021εσ=-=面元S ∆上的电荷量S Q ∆=∆σ受到的库仑力为RS R S E S E Q F ˆ2ˆ2020111εσεσσσ∆=∆=∆=∆= 注：本题可以用叠加原理直接进行计算，太麻烦。
3．如图所示，一个带电量为q 的点电荷位于立方体的A 角上，则通过侧面abcd 的电场强度通量等于[ ]。
.A06q ε .B 012q ε .C24qε .D48q ε答案：【C 】[解] ：如果以A 为中心，再补充上7个相同大小的立方体，则组成一个边长为小立方体边长2倍大立方体，点电荷q 位于大立方体的中心。
2静电场二参考答案
静电场二 参考答案一 . 1.BC 2.D 3.B 4.B 5.D 6.E 7.A 解： 1. 由于0q W U PP =，所以C 正确. 再由电场力做功等于势能增量的负值，B 正确. 2. –q 在空间产生电势，它在A ，B ，C ，D 点产生的电势相等，所以试验电荷0q 在这四点具有相同的电势能U q W 0=， 电场力做功等于势能增量的负值，所以把试验电荷从A 移到B 、C 、D 各点，电场力做功均为0，相等。
3. 电势叠加原理，P 的电势等于q 在P 的电势加上Q 在P 的电势，得B4. 点电荷的电势aQa Q rQ U 0002)2/(44πεπεπε===5. 方法一：可根据场强积分计算⎰⋅=PMP l d E U .方法二：我们知道一点处的电势和电势零点的选取有关，但是两点之间的电势差和电势零点的选取无关. 如果以无穷远处作为电势零点，则aqa q a q U U P M 00084)2(4πεπεπε-=-=-，那么选取P 点为电势零点时（0=P U ），但同样应该aq U U P M 08πε-=-，则得aq U M 08πε-=.6. 场强等于电势的负梯度U E -∇=，分析可得结果.7. 方法一：先计算两带点球面之间的电场强度，再根据场强积分计算电势差 由高斯定理，两带点球面之间一点（距球心为r ）的电场强度为204r q E πε=)11(44020212121Rr qdr r q Edr l d E U U Rr-===⋅=-⎰⎰⎰πεπε 方法二：根据电势叠加原理，先分别计算两球面的电势，再求其差球面1处的电势：R Q r q U 00144πεπε+=球面2处的电势：RQRqU 00244πεπε+=，得21U U -的值二. 1. 106.36-⨯-； 106.36-⨯； 106.36-⨯； 106.36-⨯- 2. 不闭合3. V 0200-.4.垂直（正交）； 电势降落最快5. >6.22028d xR R l q +επ；2204x R q +πε；Rq 04πε；()2/32204x R qx +πε；⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-2200114a R Rqq πε解：1. 电场力做功等于势能增量的负值。
大学物理静电场练习题带标准答案
大学物理静电场练习题带答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：大物练习题（一）1、如图，在电荷体密度为ρ的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电体球心O 指向球形空腔球心O '的矢量用a 表示。
试证明球形空腔中任一点电场强度为 . A 、03ρεa B 、0ρεa C 、02ρεa D 、3ρεa2、如图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R ．试求环中心O 点处的场强A 、02πR λε-B 、0πRλε- C 、00ln 22π4λλεε+ D 、00ln 2π2λλεε+3、 如图所示，一导体球半径为1R ,外罩一半径为2R 的同心薄导体球壳, 外球壳所带总电荷为Q ,而内球的电势为0V ，求导体球和球壳之间的电势差 （填写A 、B 、C 或D ，从下面的选项中选取）。
A 、1020214R Q V R R πε⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B 、102024R Q V R R πε⎛⎫- ⎪⎝⎭C 、0024Q V R πε- D 、1020214R Q V R R πε⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4.如图所示，电荷面密度为1σ的带电无限大板A 旁边有一带电导体B ，今测得导体表面靠近P 点处的电荷面密度为2σ。
求：（1）P 点处的场强 ；（2）导体表面靠近P 点处的电荷元S ∆2σ所受的电场力 。
A 、20σεB 、202σεC 、2202S σε∆D 、220S σε∆5．如图，在一带电量为Q 的导体球外，同心地包有一各向同性均匀电介质球壳，其相对电容率为r ε，壳外是真空，则在壳外P 点处(OP r =)的场强和电位移的大小分别为［ ］Q Opr)（A ）2200,44r Q QE D rr εεε==ππ； （B ）22,44r Q QE D r r ε==ππ； （C ）220,44Q QE D r r ε==ππ； （D ）2200,44Q QE D r r εε==ππ。
大学物理：静电场练习题
由对称性可知 U p 0
l
l
l
0
12
的均匀电场！
练: 真空中一半径为R的均匀带电球面，总电量为 Q(Q > 0)。今在球面上挖去非常小块的面积
ΔS (连同电荷)， 且假设
不影响原来的电荷分布， 则挖去ΔS后球心处电场
R
O
S
强度的大小E＝ QS /(16 2 0 R 4 )
其方向为 由圆心O点指向S
解：由场强叠加原理，挖去S 后的电场可以看作
和Φ2 ，通过整个球面的电场强度通量为 ΦS ，则
(C) (A) Φ1 Φ2 , ΦS q / 0
S2
q S1 q
O a 2a X
(B)Φ1 Φ2 , ΦS 2q / 0
(C) Φ1 Φ2 , ΦS q / 0
(D) Φ1 Φ2 , ΦS q / 0
解：由高斯定理 ΦS q / 0
(D) 0
解：过P点作如图同轴圆柱形高斯面S，由高斯定理
SE dS 2rlE 0
R1
所以E＝0。
l
2
1 R2O r P
4. 有两个点电荷电量都是 +q， 相距为2a。今以左边的
点电荷所在处为球心，以a为半径作一球形高斯面，
在球面上取两块相等的小面积 S1 和 S2 , 其位置如图 所示。设通过 S1 和 S 2 的电场强度通量分别为 Φ1
2. 上半部带正电，下半部带负电，线密度为
3. 非均匀带电，线密度为 0sin
y
dq
d o
x
R
dE
思路：叠加法
dq dE E
解：1)
dq Rd
dE
dq
4 0 R 2
;沿径向
大学物理2期末复习
(2)假若线圈能以某一条水平边为轴自由摆动,当线圈平衡时,线圈平面与竖直面夹角为多少.
解：1.(1)Pm=IS=Ia2
方向垂直线圈平面.
线圈平面保持竖直,即Pm与B垂直.有
Mm=Pm×B
Mm=PmBsin(/2)=Ia2B
=9.4×10－4mN
(2)平衡即磁力矩与重力矩等值反向
在平面②的上方向左,在平面②的下方向右.
(1)两无限大电流流在平面之间产生的磁感强度方向都向左,故有B=B1+B2=0J
(2)两无限大电流流在平面之外产生的磁感强度方向相反,故有B=B1B2=0
练习九安培力
三、计算题
1.一边长a=10cm的正方形铜导线线圈(铜导线横截面积S=2.00mm2,铜的密度=8.90g/cm3),放在均匀外磁场中.B竖直向上,且B=9.40103T,线圈中电流为I=10A .线圈在重力场中求:
解：1.取窄条面元dS=bdr,
面元上磁场的大小为
B=0I/(2r),面元法线与磁场方向相反.有
1=
2=
1/2=1
2.半径为R的薄圆盘均匀带电，总电量为Q.令此盘绕通过盘心且垂直盘面的轴线作匀速转动，角速度为，求轴线上距盘心x处的磁感强度的大小和旋转圆盘的磁矩.
解;2.在圆盘上取细圆环电荷元dQ=2rdr,
解得1=4=(Q1+Q2)/(2S)=2.66108C/m2
2=3=(Q1Q2)/(2S)=0.89108C/m2
两板间的场强E=2/0=(Q1Q2)/(20S)
V=UA－UB
=Ed=(Q1Q2)d/(20S)=1000V
四、证明题
1.如图6.7所示，置于静电场中的一个导体，在静电平衡后，导体表面出现正、负感应电荷.试用静电场的环路定理证明，图中从导体上的正感应电荷出发，终止于同一导体上的负感应电荷的电场线不能存在.
大学物理II第10章静电场 作业题
10.1 四个点电荷到坐标原点的距离均为d ，如题10.1图所示，求点O 的电场强度的大小和方向 。
题图10.1解：由图所示x 轴上两点电荷在O 点产生场强为i d q i d q i d q i E i E E q q2020*********πεπεπε=+=+=-y 轴上两点电荷在点O 产生场强为j dq j d q j d q j E j E E q q2020*********πεπεπε-=--=+=- 所以，点O 处总场强为j dq i d q E E E O2020214343πεπε-=+= 大小为202221423dq E E E O πε=+=,方向与x 轴正向成045-角。
10.4 正方形的边长为a ，四个顶点都放有电荷，求如题10.4图所示的4种情况下，其中心处的电场强度。
q qq q (a ) (b ) (c ) (d )题图10.4解：在四种情况下，均以中心O 为坐标原点，水平向右为x 轴正方向，竖直向上为y 轴正方向建立坐标系，则有（a ）根据对称性，四个顶点处的电荷在中心处产生的场强两两相互抵消。
所以0=a E(b ) 根据对称性，电荷在中心处产生的场强在x 轴上抵消，只有y 轴上的分量，所以[]j aq j a a q j E E qy b20220245cos )2/()2/(444πεπε-=+-=-= (c ) 根据对称性，对角线上的电荷在中心处的场强可以相互抵消，所以0=c E(d ) 根据对称性，电荷在中心处产生的场强在y 轴上抵消，只有x 轴上的分量，所以[]i aq i a a q i E E qx d20220245sin )2/()2/(444πεπε=+== 10.5 一半径为R 的半圆细环上均匀地分布电荷+Q ，求环心处的电场强度。
题图10.5解：以环心O 为原心，取如图所示的坐标轴。
在环上取一线元dl ，其所带电量为RQdldq π=，它在环心O 处的电场强度E d 在y 轴上的分量为θππεsin 14120R R Qdl dE y =由于环对y 轴对称，电场强度在x 轴上的分量为零。
大学物理静电场(二)
λdl v0 ∫ 4πε0r2 r L
v dq v0 则 E= ∫ 4π ε0r2 r =
σdS v0 ∫ 4πε0r2 r S
ρdV v0 ∫ 4πε0r2 r V
** 式中 L, S, V, 是 产生电场的源电荷 占据的空间， 占据的空间，由此 来确定上述积分的 变量及上、下限。 变量及上、下限。
dx
dq = dl ⋅ dx ⋅σ
dq ∴ 带电线的线密度 λ = = σ ⋅ dx dl
6
(1).设P点与带电平面（宽度为 ,无限长）在同一平面内 设 点与带电平面 宽度为d,无限长） 点与带电平面（ 设每个细长带电线的线密度为λ
σ
λ dE = 2πε0r
λ =σ ⋅ dx
P o x d dx a
S
∴Φe总 = 0
v v 即 Φe = ∫∫ E ⋅ dS = 0
S
对任何形状的闭合面都成立（面内无电荷） 对任何形状的闭合面都成立（面内无电荷）
19
的圆柱面， 例：匀强电场中有一半径为R的圆柱面，其轴线与电场平 匀强电场中有一半径为 的圆柱面 行，求通过此闭合面的电通量 v v S3 v E S2 v
电通量是标量，有正、 电通量是标量，有正、负
v E v dS
v E
v E
v dS
v dS
0 ≤θ <
π
2
, Φe > 0
π θ = , Φe = 0
2
π
2
< θ ≤ π , Φe < 0
2. 非均匀场中
v n
dS
v v ∴dΦe = E ⋅ dS cosθ = E ⋅ dS
每个小面元视为处在匀强场中
−σ
大学物理学第五版马文蔚高等教育出版社静电场2
(5-13) (5-14)
S
规定： 闭合曲面上任一点的外法线为正向！
{
E 线穿出： </2, d E >0 E 线穿入： >/2, d E < 0
通过闭合曲面的电 场线数目与该曲面 内的电荷间的关系
三．高斯定理
q3
+ -
+ -q
2
q1
S
1. 定理的表述 q4 在任意的静电场中,通过任一闭合曲面的 E 通量,等于该曲面内电荷量的代数和除以0 。 1 E E d S qi (5-16) S
1
2
无限长均匀 带电圆柱
E E r O
+ + + S下 + + +
E
r 2 20 R
E
1 r
R
r
E
r 2 20 R
无限长均匀 带电圆柱面
E
E
E=0 O
1 r
无限长均匀带电圆柱面内 ？ E =0
R
r
用高斯定理求E的要点：
由电荷分布的对称性→电场分布的对称性！ 1．分析电场的对称性。 由此判断出：① 各点 E 的方向 ② 那些点 E 的大小相等。 点电荷，均匀带电球面(体)、球层(套叠)； a.球对称：
o
dE
x
(3) 分解变量
(4) 统一变量
dl d Ex dE sin sin 2 40 R dl d E y dE cos cos 2 40 R d l Rd
参与题：一均 匀带电圆弧， 电荷线密度为 ，圆弧圆心 角为0，求Eo=?
0
方向：沿y轴正向。
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孤立导体的电容 孤立导体球的电容
C? Q U
C ? 4?? 0R
平行板电容器 同心球形电容器 同轴柱形电容器
C ? ?0?r S
d
C ? 4?? 0?r R1R2 /(R2 ? R1 )
C ? 2??0?r L
ln R2 / R1
17
3.静电场中的电介质
电介质对电场的影响
电位移矢量
D ? ?0E ? P
P
还有电荷守恒定律，它时刻都起作用。
2. 求静电场的方法：
(1)求 E
场强叠加法 高斯定理法 电势梯度法
?
? E
?d
? s
?
q内
?S?
?0
E ? ? grad V
补偿法
8
??场强积分法：Up ?
?
?( P0 ) r
E
(P )
·d
r l
(2)求U ????
（E分段，积分也要分段）
??
??叠加法：U ? ? Ui（零点要同）；
???U ? ???U
? ?
1
4?? 0
1
4?? 0
Q R Q r
(r ? R) (r ? R)
? ??
E
?
?
1
4?? 0
Qr R3
? ??
E
?
1
4?? 0
Q r2
(r ? R) (r ? R)
无限长均匀带电直线： E ? 1 ?
2?? 0 r
14
均匀带电半径为 R的细 圆环轴线上一点：
E? 1
Qx
4?? 0 (x2 ? R2 )3/ 2
U
?
1
4?? 0
( x2
Q ? R2 ): (距电偶极子中心 x)
E? ? 2?0
v E
?
1
4?? 0
v 2p x3
电偶极子中垂线上一点 : (距电偶极子中心距离 y)
v E?
?
1
4?? 0
pv y3
15
i
V ? ?q 4?d?q0r （ U? ? 0）。
9
（3）电势、电势差的计算
1).方法一：场强积分法 (由定义) 步骤： (1) 先算场强 (2)选择合适的路径 L (3)分段积分 (计算)
2).方法二：电势叠加法 步骤：(1)把带电体 ? 分为无限多电荷元 dq (2)由dq ? dU
(3)由dU ? U = ?dU
E? ? 2?0
无限长柱面？
3.电势差： 电场中a、b两点的电势差，在数值上
等于单位正电荷从 a点移到b点时，电
场力做的功。
bv v
? U ab ? U a ? Ub ?
E ?dl
a
4.电势能： 电荷q在电场中某点的电势能，在数 值上等于把电荷 q从该点移到电势零 点时，电场力所做的功。
(0) v v
4?? 0 i?1 ri
? 连续分布电荷的电势： U ? 1 dq
4?? 0 r
电场强度与电势的关系 E ? ?? U
4
注重典型场 注重叠加原理
? E
?
Q
4π?0r 2
r?
U? Q
4 π?0 r
r <R E?0
U
?
Q
4 π? 0 R
r
>R
? E?
Q
4π?0r 2
r?
U? Q
4π?0r
E
?
? 2π?0r
相等。通常在球对称电场中取薄球壳为体积元 dV=4πr2dr；在轴对
称的电场中取薄圆柱壳为体积元 dV=2πrldr。
??? （c）按照电场能公式：We ? V wedV
正确定出积分上下限，计算出结果。
20
1.如图，在一电荷体密度为? 的均匀带电球体中，挖出一个以
O′为球心的球?状小空腔，空腔的球心相对带电球体中心O的
大学物理
——静电学部分
2015.5.18
1
基本概念
1.电场强度： 电场中某点电场强度在数值上等于单
位正电荷在该点受力
vv E ? F /q
点电荷的场强： 电荷组的场强：
v E
?
q
4??0r 2
r er
? v
E?
1
4?? 0
n i?1
qi ri 2
r eri
? 连续分布电荷的场强：
v E
?
1
4?? 0
D的高斯定理
??D ?dS ? ? q0
S
在电场具有某种对称性的情况下 ,可以首先由高斯定 理求解出电位移矢量 D:
思路
???
D ? E ? P ? ? ?? q?
18
4. 能量：
电容器的储能：
We
?
1 2
Q2 C
?
1 C?U2 2
?
1 Q? U 2
静电场的能量密度
we
?
1?E2
2
? 1 DE ? 1 D ?E
3. 几种典型电荷分布的 E 和 V
点电荷（？） 均匀带电球面（？） 均匀带电球体（？） 均匀带电无限长直线（？） 均匀带电无限大平面（？） 均匀带电细圆环轴线上一点（？） 无限长均匀带电圆柱面（？）
11
均匀带电球面：
?0
?
? ??
E
?
1
4?? 0
Q r2
(r ? R) (r ? R)
均匀带电球体：
? 电荷的面密度d, s 面元
3)电荷体分布 .dq ? ? dV
? 电荷的体密度 ,dV 体积元
2.电势： 电场中某点的电势在数值上等于将单位
正电荷由该点移动到电势零点时电场力
所做的功 点电荷的电势：
? U p
?
WP q0
?
(0) v v E ?dl
p
U? q
4??0 r
电荷组的电势：
? U ? 1 n qi
dq r r 2 er
2
场源为点电荷：
E
?
1
4?? 0
q r2
r?
场源为点电荷系 ：
? E ?
n1
i ?1 4?? 0
qi ri 2
e
ri
场源电荷连续分布
：dE
?
dq
4??0r 2
er
? ? E ?
dE ?
dq
4?? 0 r
2
er
1)电荷线分 dq ? ?dx
布.?电荷的线密度, dx线元
2)电荷面分布 . dq ? ? ds
2.导体的静电平衡
静电平衡---导体内部和表面无电荷定向移动
推论：静电平衡时,导体表面场强垂直表面
导体是个等势体，导体表面是个等势面．
有导体存在时静电场的分析与计算
电场
导体上的电荷重新分布
相互影响
利用：
静电场的基本规律 （高斯定理和环路定理）
静电场的叠加原理
电荷守恒定律
导体的静电平衡条件
16
电容： 表征导体和导体组静电性质的一个物理量
? Wa ? a qE ?dl ? qU a
6
基本规律
一、 真空中的静电场
1. 线索
? 库仑定律 ?
? ? ? ?
E ?
? E
? ?
F
?
/?q0 Ei
? ? ?
?
? ?高斯定理： E ?d s ?
?
S
q
?0
???静电场的环路定理：L E ?d l ? 0
? P点电势：U P ?
(
P0
)
r E
?d
r l
2
2
对任意电场都适合
? 静电场的能量 W e ? wedV
19
V
电场能量的计算
（1）带电电容器储存的能量可以按照公式进行计算：
W
?
1
Q2
?
1 CU 2
?
1 QU
2C 2
2
（2）电场能量计算的步骤：
（a）根据电荷分布，计算出电场强度的分布规律，得到电
场能量密度
we
?
1 DE 2
?
1 ?E2
2
（b）取适当的体积元dV，在所取的体积元中各点的电场强度量值