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人教版高二数学必修五：课时作业18(1)有答案

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高中数学必修5课后习题答案

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高中数学必修5课后习题答案(共30页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-人教版高中数学必修5课后习题解答第一章 解三角形1．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习（P4）1、（1）14a ≈，19b ≈，105B =︒； （2）18a ≈cm ，15b ≈cm ，75C =︒.2、（1）65A ≈︒，85C ≈︒，22c ≈；或115A ≈︒，35C ≈︒，13c ≈； （2）41B ≈︒，24A ≈︒，24a ≈. 练习（P8）1、（1）39.6,58.2, 4.2 cm A B c ≈︒≈︒≈； （2）55.8,81.9,10.5 cm B C a ≈︒≈︒≈.2、（1）43.5,100.3,36.2A B C ≈︒≈︒≈︒； （2）24.7,44.9,110.4A B C ≈︒≈︒≈︒. 习题 A 组（P10）1、（1）38,39,80a cm b cm B ≈≈≈︒； （2）38,56,90a cm b cm C ≈≈=︒2、（1）114,43,35;20,137,13A B a cm A B a cm ≈︒≈︒≈≈︒≈︒≈ （2）35,85,17B C c cm ≈︒≈︒≈；（3）97,58,47;33,122,26A B a cm A B a cm ≈︒≈︒≈≈︒≈︒≈；3、（1）49,24,62A B c cm ≈︒≈︒≈； （2）59,55,62A C b cm ≈︒≈︒≈； （3）36,38,62B C a cm ≈︒≈︒≈；4、（1）36,40,104A B C ≈︒≈︒≈︒； （2）48,93,39A B C ≈︒≈︒≈︒；习题 A 组（P10）1、证明：如图1，设ABC ∆的外接圆的半径是R ，①当ABC ∆时直角三角形时，90C ∠=︒时，ABC ∆的外接圆的圆心O 在Rt ABC ∆的斜边AB 上.在Rt ABC ∆中，sin BC A AB =，sin ACB AB =即sin 2a A R =，sin 2b B R = 所以2sin a R A =，2sin b R B = 又22sin902sin c R R R C ==⋅︒= 所以2sin , 2sin , 2sin a R A b R B c R C ===②当ABC ∆时锐角三角形时，它的外接圆的圆心O 在三角形内（图2），作过O B 、的直径1A B ，连接1A C ，则1A BC ∆直角三角形，190ACB ∠=︒，1BAC BAC ∠=∠.在1Rt A BC ∆中，11sin BCBAC A B=∠，即1sin sin 2aBAC A R=∠=， 所以2sin a R A =，同理：2sin b R B =，2sin c R C =③当ABC ∆时钝角三角形时，不妨假设A ∠为钝角， 它的外接圆的圆心O 在ABC ∆外（图3）作过O B 、的直径1A B ，连接1A C .则1A BC ∆直角三角形，且190ACB ∠=︒，1180BAC ∠=︒-∠在1Rt A BC ∆中，12sin BC R BAC =∠，（第1题图1） （第1题图2）即2sin(180)a R BAC =︒-∠即2sin a R A =同理：2sin b R B =，2sin c R C =综上，对任意三角形ABC ∆，如果它的外接圆半径等于R ，则2sin , 2sin , 2sin a R A b R B c R C ===2、因为cos cos a A b B =，所以sin cos sin cos A A B B =，即sin2sin2A B = 因为02,22A B π<<，所以22A B =，或22A B π=-，或222A B ππ-=-. 即A B =或2A B π+=.所以，三角形是等腰三角形，或是直角三角形.在得到sin2sin2A B =后，也可以化为sin2sin20A B -= 所以cos()sin()0A B A B +-= 2A B π+=，或0A B -=即2A B π+=，或A B =，得到问题的结论.1．2应用举例 练习（P13）1、在ABS ∆中，32.20.516.1AB =⨯= n mile ，115ABS ∠=︒，根据正弦定理，sin sin(6520)AS ABABS =∠︒-︒得sin 16.1sin115sin(6520)AS AB ABS ==⨯∠⨯︒-︒∴S 到直线AB 的距离是sin 2016.1sin115sin 207.06d AS =⨯︒=⨯︒≈（cm ）. ∴这艘船可以继续沿正北方向航行. 2、顶杆约长 m. 练习（P15）1、在ABP ∆中，180ABP γβ∠=︒-+，180()180()(180)BPA ABP αβαβγβγα∠=︒---∠=︒---︒-+=-在ABP ∆中，根据正弦定理，sin sin AP ABABP APB=∠∠ sin(180)sin()AP aγβγα=︒-+-sin()sin()a AP γβγα⨯-=-所以，山高为sin sin()sin sin()a h AP αγβαγα-==-2、在ABC ∆中，65.3AC =m ，25251738747BAC αβ'''∠=-=︒-︒=︒909025256435ABC α''∠=︒-=︒-︒=︒根据正弦定理，sin sin AC BCABC BAC=∠∠ sin 65.3sin7479.8sin sin6435AC BAC BC ABC '⨯∠⨯︒==≈'∠︒m井架的高约.3、山的高度为200sin38sin 29382sin9⨯︒︒≈︒m练习（P16） 1、约63.77︒. 练习（P18）1、（1）约2168.52 cm ； （2）约2121.75 cm ； （3）约2425.39 cm .2、约24476.40 m3、右边222222cos cos 22a b c a c b b C c B b c ab ac+-+-=+=⨯+⨯22222222222a b c a c b a a a a a+-+-=+===左边 【类似可以证明另外两个等式】习题 A 组（P19）1、在ABC ∆中，350.517.5BC =⨯= n mile ，14812622ABC ∠=︒-︒=︒78(180148)110ACB ∠=︒+︒-︒=︒，1801102248BAC ∠=︒-︒-︒=︒根据正弦定理，sin sin AC BCABC BAC=∠∠ sin 17.5sin 228.82sin sin 48BC ABC AC BAC ⨯∠⨯︒==≈∠︒n mile货轮到达C 点时与灯塔的距离是约 n mile. 2、70 n mile.3、在BCD ∆中，301040BCD ∠=︒+︒=︒，1801804510125BDC ADB ∠=︒-∠=︒-︒-︒=︒130103CD =⨯= n mile根据正弦定理，sin sin CD BDCBD BCD=∠∠10sin (18040125)sin 40BD=∠︒-︒-︒︒10sin 40sin15BD ⨯︒=︒在ABD ∆中，451055ADB ∠=︒+︒=︒，1806010110BAD ∠=︒-︒-︒=︒1801105515ABD ∠=︒-︒-︒=︒根据正弦定理，sin sin sin AD BD AB ABD BAD ADB ==∠∠∠，即sin15sin110sin55AD BD AB==︒︒︒10sin 40sin15sin1510sin 40sin15 6.84sin110sin110sin 70BD AD ⨯︒⨯︒⨯︒⨯︒︒===≈︒︒︒n mile sin5510sin 40sin5521.65sin110sin15sin70BD AB ⨯︒⨯︒⨯︒==≈︒︒⨯︒n mile如果一切正常，此船从C 开始到B 所需要的时间为：6.8421.65206010306086.983030AD AB +++⨯+≈+⨯≈ min即约1小时26分59秒. 所以此船约在11时27分到达B 岛. 4、约 m5、在ABD ∆中，700 km AB =，1802135124ACB ∠=︒-︒-︒=︒根据正弦定理，700sin124sin35sin 21AC BC==︒︒︒700sin35sin124AC ⨯︒=︒，700sin 21sin124BC ⨯︒=︒700sin35700sin 21786.89 km sin124sin124AC BC ⨯︒⨯︒+=+≈︒︒所以路程比原来远了约 km.6、飞机离A 处探照灯的距离是 m ，飞机离B 处探照灯的距离是 m ，飞机的高度是约 m.7、飞机在150秒内飞行的距离是15010001000 m 3600d =⨯⨯根据正弦定理，sin(8118.5)sin18.5d x=︒-︒︒这里x 是飞机看到山顶的俯角为81︒时飞机与山顶的距离. 飞机与山顶的海拔的差是：sin18.5tan81tan8114721.64 m sin(8118.5)d x ⨯︒⨯︒=⨯︒≈︒-︒山顶的海拔是2025014721.645528 m -≈8、在ABT ∆中，21.418.6 2.8ATB ∠=︒-︒=︒，9018.6ABT ∠=︒+︒，15 m AB =根据正弦定理，sin 2.8cos18.6AB AT =︒︒，即15cos18.6sin 2.8AT ⨯︒=︒塔的高度为15cos18.6sin 21.4sin 21.4106.19 m sin 2.8AT ⨯︒⨯︒=⨯︒≈︒9、3261897.8 km 60AE ⨯== 在ACD ∆中，根据余弦定理：AC =101.235== 根据正弦定理，sin sin AD ACACD ADC=∠∠ sin 57sin66sin 0.5144101.235AD ADC ACD AC ⨯∠⨯︒∠==≈30.96ACD ∠≈︒13330.96102.04ACB ∠≈︒-︒=︒在ABC ∆中，根据余弦定理：AB =245.93=222222245.93101.235204cos 0.584722245.93101.235AB AC BC BAC AB AC +-+-∠==≈⨯⨯⨯⨯54.21BAC ∠=︒在ACE ∆中，根据余弦定理：CE =90.75=≈22222297.890.75101.235cos 0.42542297.890.75AE EC AC AEC AE EC +-+-∠=≈≈⨯⨯⨯⨯（第9题）64.82AEC ∠=︒180(18075)7564.8210.18AEC ︒-∠-︒-︒=︒-︒=︒ 所以，飞机应该以南偏西10.18︒的方向飞行，飞行距离约90.75 km . 10、如图，在ABC ∆AC =37515.44 km =222222640037515.44422000.692422640037515.44AB AC BC BAC AB AC +-+-∠=≈≈-⨯⨯⨯⨯133.82BAC ∠≈︒， 9043.82BAC ∠-︒≈︒ 所以，仰角为43.82︒11、（1）211sin 2833sin 45326.68 cm 22S ac B ==⨯⨯⨯︒≈（2）根据正弦定理：sin sin a c A C =，36sin sin66.5sin sin32.8a c C A =⨯=⨯︒︒2211sin66.5sin 36sin(32.866.5)1082.58 cm 22sin32.8S ac B ︒==⨯⨯⨯︒+︒≈︒（3）约为 2cm12、212sin 2nR nπ.13、根据余弦定理：222cos 2a c b B ac +-= 所以222()2cos 22a a a m c c B =+-⨯⨯⨯ 22222()22a a c b c a c ac +-=+-⨯⨯ 222222222211()[42()]()[2()]22a c a c b b c a =+-+-=+-所以a m =b m =，c m =14、根据余弦定理的推论，222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2c a b B ca+-=所以，左边(cos cos )c a B b A =-222222()22c a b b c a c a b ca bc +-+-=⨯-⨯222222221()(22)222c a b b c a c a b c c +-+-=-=-=右边习题 B 组（P20）1、根据正弦定理：sin sin a b A B =，所以sin sin a Bb A=B （第13题）代入三角形面积公式得211sin 1sin sin sin sin 22sin 2sin a B B CS ab C a C a A A==⨯⨯= 2、（1）根据余弦定理的推论：222cos 2a b c C ab +-=由同角三角函数之间的关系，22222sin 1cos 1()2a b c C C ab+-=-=- 代入1sin 2S ab C =，得222211()22a b c S ab ab+-=- 222221(2)()4ab a b c =-+- 2222221(2)(2)4ab a b c ab a b c =++---+1()()()()4a b c a b c c a b c a b =+++-+--+记1()2p a b c =++，则可得到1()2b c a p a +-=-，1()2c a b p b +-=-，1()2a b c p c +-=-代入可证得公式（2）三角形的面积S 与三角形内切圆半径r 之间有关系式122S p r pr =⨯⨯=其中1()2p a b c =++，所以()()()S p a p b p c r p p ---==（3）根据三角形面积公式12a S a h =⨯⨯所以，22()()()a S h p p a p a p a a a ==---，即2()()()a h p p a p a p a a =---同理2()()()b h p p a p a p a b =---，2()()()c h p p a p a p a c=---第一章 复习参考题A 组（P24）1、（1）219,3851,8.69 cm B C c ''≈︒≈︒≈； （2）4149,10811,11.4 cm B C c ''≈︒≈︒≈；或13811,1149, 2.46 cm B C c ''≈︒≈︒≈ （3）112,3858,28.02 cm A B c ''≈︒≈︒≈； （4）2030,1430,22.92 cm B C a ''≈︒≈︒≈； （5）1620,1140,53.41 cm A C b ''≈︒≈︒≈； （6）2857,4634,10429A B C '''=︒=︒=︒； 2、解法1：设海轮在B 处望见小岛在北偏东75︒，在C 处望见小岛在北偏东60︒，从小岛A 向海轮的航线BD 作垂线，垂线段AD 的长度为x n mile ，CD 为y n mile.则 tan 30tan 308tan 30tan15tan1588tan15x x y y x x x x y y ⎧⎧=︒=⎪⎪⎪⎪︒⇒⇒=-⎨⎨︒︒⎪⎪=︒=+⎪⎪+︒⎩⎩ 8tan15tan304tan30tan15x ︒︒==︒-︒所以，这艘海轮不改变航向继续前进没有触礁的危险.（第23、根据余弦定理：2222cos AB a b abα=+- 所以 AB = 222cos 2a AB b B a AB+-=⨯⨯2222==从B ∠的余弦值可以确定它的大小.类似地，可以得到下面的值，从而确定A ∠的大小. cos A =4、如图，,C D 是两个观测点，C 到D 的距离是d ，航船在时刻1t 在A 处，以从A 到B 的航向航行，在此时测出ACD ∠和CDA ∠. 在时刻2t ，航船航行到B 处，此时，测出CDB ∠和BCD ∠. 根据正弦定理，在BCD ∆中，可以计算出BC 的长，在ACD ∆中，可以计算出AC 的长. 在ACB ∆中，AC 、BC 已经算出，ACB ACD BCD ∠=∠-∠，解ACD ∆，求出AB 的长，即航船航行的距离，算出CAB ∠，这样就可以算出航船的航向和速度.5、河流宽度是sin()sin sin h αβαβ-. 6、 m.7、如图，,A B 是已知的两个小岛，航船在时刻1t 在C 处，以从C 到D 的航向航行，测出ACD ∠和BCD ∠. 在时刻2t ，航船航行到D 处，根据时间和航船的速度，可以计算出C 到D 的距离是d ，在D 处测出CDB ∠和 CDA ∠. 根据正弦定理，在BCD ∆中，可以计算出BD 的长，在ACD ∆中，可以计算出AD 的长. 在ABD ∆中，AD 、BD 已经算出，ADB CDB CDA ∠=∠-∠，根据余弦定理，就可 以求出AB 的长，即两个海岛,A B 的距离.第一章 复习参考题B 组（P25）1、如图，,A B 是两个底部不可到达的建筑物的尖顶，在地面某点处，测出图中AEF ∠，AFE ∠的大小，以及EF 的距离. 定理，解AEF ∆，算出AE . 在BEF ∆中，测出BEF ∠和BFE ∠，利用正弦定理，算出BE . 在AEB ∆中，测出AEB ∠，利用余弦定理，算出AB 的长. 本题有其他的测量方法.2、关于三角形的面积公式，有以下的一些公式：（1）已知一边和这边上的高：111,,222a b c S ah S bh S ch ===；（2）已知两边及其夹角：111sin ,sin ,sin 222S ab C S bc A S ca B===；（3）已知三边：S =，这里2a b cp ++=；（4）已知两角及两角的共同边：222sin sin sin sin sin sin ,,2sin()2sin()2sin()b C Ac A B a B CS S S C A A B B C ===+++； （5）已知三边和外接圆半径R ：4abc S R=. 3、设三角形三边长分别是1,,1n n n -+，三个角分别是,3,2απαα-.由正弦定理，11sin sin 2n n αα-+=，所以1cos 2(1)n n α+=-. 由余弦定理，222(1)(1)2(1)cos n n n n n α-=++-⨯+⨯⨯.即2221(1)(1)2(1)2(1)n n n n n n n +-=++-⨯+⨯⨯-，化简，得250n n -=所以，0n =或5n =. 0n =不合题意，舍去. 故5n =所以，三角形的三边分别是4,5,6. 可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍. 另解：先考虑三角形所具有的第一个性质：三边是连续的三个自然数.（1）三边的长不可能是1,2,3. 这是因为123+=，而三角形任何两边之和大于第三边. （2）如果三边分别是2,3,4a b c ===.因为 2222223427cos 22348b c a A bc +-+-===⨯⨯22717cos22cos 12()1832A A =-=⨯-=2222222341cos 22234a b c C ab +-+-===-⨯⨯在此三角形中，A 是最小角，C 是最大角，但是cos2cos A C ≠， 所以2A C ≠，边长为2,3,4的三角形不满足条件.（3）如果三边分别是3,4,5a b c ===，此三角形是直角三角形，最大角是90︒，最小角不等于45︒. 此三角形不满足条件. （4）如果三边分别是4,5,6a b c ===.此时，2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯2231cos22cos 12()148A A =-=⨯-=2222224561cos 22458a b c C ab +-+-===⨯⨯此时，cos2cos A C =，而02,A C π<<，所以2A C = 所以，边长为4,5,6的三角形满足条件.（5）当4n >，三角形的三边是,1,2a n b n c n ==+=+时，三角形的最小角是A ，最大角是C . 222cos 2b c a A bc+-=222(1)(2)2(1)(2)n n n n n +++-=++2652(1)(2)n n n n ++=++52(2)n n +=+1322(2)n =++222cos 2a b c C ab +-=222(1)(2)2(1)n n n n n ++-+=+2232(1)n n n n --=+32n n -=1322n=-cos A 随n 的增大而减小，A 随之增大，cos C 随n 的增大而增大，C 随之变小. 由于4n =时有2C A =，所以，4n >，不可能2C A =. 综上可知，只有边长分别是4,5,6的三角形满足条件.第二章 数列2．1数列的概念与简单表示法 练习（P31） 1、2、前5项分别是：1,0,1,0,1--.3、例1（1）1(2,)1(21,)n n m m N na n m m N n⎧-=∈⎪⎪=⎨⎪=-∈⎪⎩**； （2）2(2,)0(21,)n n m m N a n m m N ⎧=∈⎪=⎨=-∈⎪⎩**说明：此题是通项公式不唯一的题目，鼓励学生说出各种可能的表达形式，并举出其他可能的通项公式表达形式不唯一的例子.4、（1）1()21n a n Z n +=∈-； （2）(1)()2n n a n Z n +-=∈； （3）121()2n n a n Z +-=∈ 习题 A 组（P33）1、（1）2,3,5,7,11,13,17,19；（2） （3）1,,,,…； 2,,,,…,.2、（1）11111,,,,491625； （2）2,5,10,17,26--.3、（1）（1），4-，9，（16-），25，（36-），49； 12(1)n n a n +=-；（2）12；n a =4、（1）1,3,13,53,2132； （2）141,5,,,5454--.5、对应的答案分别是：（1）16,21；54n a n =-；（2）10,13；32n a n =-；（3）24,35；22n a n n =+.6、15,21,28； 1n n a a n -=+. 习题 B 组（P34）1、前5项是1,9,73,585,4681.该数列的递推公式是：1118,1n n a a a +=+=.通项公式是：817n n a -=.2、110(10.72)10.072a =⨯+=﹪； 2210(10.72)10.144518a =⨯+=﹪； 3310(10.72)10.217559a =⨯+=﹪； 10(10.72)n n a =⨯+﹪. 3、（1）1,2,3,5,8； （2）358132,,,,2358.2．2等差数列 练习（P39）1、表格第一行依次应填：，，；表格第二行依次应填：15，11-，24-.2、152(1)213n a n n =+-=+，1033a =.3、4n c n =4、（1）是，首项是11m a a md +=+，公差不变，仍为d ；（2）是，首项是1a ，公差2d ；（3）仍然是等差数列；首项是716a a d =+；公差为7d . 5、（1）因为5375a a a a -=-，所以5372a a a =+. 同理有5192a a a =+也成立； （2）112(1)n n n a a a n -+=+>成立；2(0)n n k n k a a a n k -+=+>>也成立. 习题 A 组（P40）1、（1）29n a =； （2）10n =； （3）3d =； （4）110a =.2、略.3、60︒.4、2℃；11-℃；37-℃.5、（1）9.8s t =； （2）588 cm ，5 s. 习题 B 组（P40）1、（1）从表中的数据看，基本上是一个等差数列，公差约为2000，52010200280.2610a a d =+=⨯再加上原有的沙化面积5910⨯，答案为59.2610⨯；（2）2021年底，沙化面积开始小于52810 hm ⨯. 2、略. 2．3等差数列的前n 项和 练习（P45）1、（1）88-； （2）.2、59,11265,112n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩ 3、元素个数是30，元素和为900.习题 A 组（P46）1、（1）(1)n n +； （2）2n ； （3）180个，和为98550； （4）900个，和为494550.2、（1）将120,54,999n n a a S ===代入1()2n n n a a S +=，并解得27n =； 将120,54,27n a a n ===代入1(1)n a a n d =+-，并解得1713d =.（2）将1,37,6293n d n S ===代入1(1)n a a n d =+-，1()2n n n a a S +=，得111237()6292n n a a a a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩；解这个方程组，得111,23n a a ==.（3）将151,,566n a d S ==-=-代入1(1)2n n n S na d -=+，并解得15n =；将151,,1566a d n ==-=代入1(1)n a a n d =+-，得32n a =-.（4）将2,15,10n d n a ===-代入1(1)n a a n d =+-，并解得138a =-；将138,10,15n a a n =-=-=代入1()2n n n a a S +=，得360n S =-. 3、44.5510⨯m. 4、4.5、这些数的通项公式：7(1)2n -+，项数是14，和为665.6、1472.习题 B 组（P46）1、每个月的维修费实际上是呈等差数列的. 代入等差数列前n 项和公式，求出5年内的总共的维修费，即再加上购买费，除以天数即可. 答案：292元.2、本题的解法有很多，可以直接代入公式化简，但是这种比较繁琐. 现提供2个证明方法供参考. （1）由 61615S a d =+，1211266S a d =+，18118153S a d =+ 可得61812126()2()S S S S S +-=-. （2）1261212126()()S S a a a a a a -=+++-+++7812a a a =+++126(6)(6)(6)a d a d a d =++++++126()36a a a d =++++636S d =+同样可得：1812672S S S d -=+，因此61812126()2()S S S S S +-=-. 3、（1）首先求出最后一辆车出发的时间4时20分；所以到下午6时，最后一辆车行驶了1小时40分.（2）先求出15辆车总共的行驶时间，第一辆车共行驶4小时，以后车辆行驶时间依次递减，最后一辆行驶1小时40分. 各辆车的行驶时间呈等差数列分布，代入前n 项和公式，这个车队所有车的行驶时间为2418531522S +=⨯= h. 乘以车速60 km/h ，得行驶总路程为2550 km.4、数列1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式为111(1)1n a n n n n ==-++ 所以111111111()()()()1122334111n nS n n n n =-+-+-++-=-=+++ 类似地，我们可以求出通项公式为1111()()n a n n k k n n k==-++的数列的前n 项和.2．4等比数列练习（P52） 1、2、由题意可知，每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为180a =，公比为20q =的等比数列，则第5轮被感染的计算机台数5a 为 447518020 1.2810a a q ==⨯=⨯.3、（1）将数列{}n a 中的前k 项去掉，剩余的数列为12,,k k a a ++. 令,1,2,k i b a i +==，则数列12,,k k a a ++可视为12,,b b .因为11(1)i k i i k ib a q i b a ++++==≥，所以，{}n b 是等比数列，即12,,k k a a ++是等比数列.（2）{}n a 中的所有奇数列是135,,,a a a ，则235211321(1)k k a a a q k a a a +-=====≥.所以，数列135,,,a a a 是以1a 为首项，2q 为公比的等比数列.（3）{}n a 中每隔10项取出一项组成的数列是11223,,,a a a ，则1112231111121110(1)k k a a a q k a a a +-=====≥所以，数列11223,,,a a a 是以1a 为首项，11q 为公比的等比数列.猜想：在数列{}n a 中每隔m （m 是一个正整数）取出一项，组成一个新的数列，这个数列是以1a 为首项，1m q +为公比的等比数列.4、（1）设{}n a 的公比为q ，则24228511()a a q a q ==，而262837111a a a q a q a q ⋅=⋅=所以2537a a a =⋅，同理2519a a a =⋅（2）用上面的方法不难证明211(1)n n n a a a n -+=⋅>. 由此得出，n a 是1n a -和1n a +的等比中项.同理：可证明，2(0)n n k n k a a a n k -+=⋅>>. 由此得出，n a 是n k a -和n k a +的等比中项(0)n k >>.5、（1）设n 年后这辆车的价值为n a ，则13.5(110)n n a =-﹪.（2）4413.5(110)88573a =-≈﹪（元）. 用满4年后卖掉这辆车，能得到约88573元. 习题 A 组（P53）1、（1）可由341a a q =，得11a =-，6671(1)(3)729a a q ==-⨯-=-. 也可由671a a q =，341a a q =，得337427(3)729a a q ==⨯-=-（2）由131188a q a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12723a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，或12723a q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩（3）由416146a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得232q =，862291173692a a q a q q a q ==⋅==⨯=还可由579,,a a a 也成等比数列，即2759a a a =，得22795694a a a ===. （4）由411311156a q a a q a q ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩①②①的两边分别除以②的两边，得2152q q +=，由此解得12q =或2q =.当12q =时，116a =-. 此时2314a a q ==-. 当2q =时，11a =. 此时2314a a q ==. 2、设n 年后，需退耕n a ，则{}n a 是一个等比数列，其中18(110),0.1a q =+=﹪. 那么2005年需退耕5551(1)8(110)13a a q =+=+≈﹪（万公顷） 3、若{}n a 是各项均为正数的等比数列，则首项1a 和公比q 都是正数. 由11n n a a q-=11(1)22)n n qq --===.那么数列{}n a为首项，12q 为公比的等比数列.4、这张报纸的厚度为 mm ，对折一次后厚度为×2 mm ，再对折后厚度为×22 mm ，再对折后厚度为×32 mm. 设00.05a =，对折n 次后报纸的厚度为n a ，则{}n a 是一个等比数列，公比2q =. 对折50次后，报纸的厚度为505050131000.052 5.6310 mm 5.6310 m a a q ==⨯≈⨯=⨯这时报纸的厚度已经超出了地球和月球的平均距离（约83.8410 m ⨯），所以能够在地球和月球之间建一座桥.5、设年平均增长率为1,105q a =，n 年后空气质量为良的天数为n a ，则{}n a 是一个等比数列. 由3240a =，得2231(1)105(1)240a a q q =+=+=，解得10.51q =≈ 6、由已知条件知，,2a bA G +==，且02a b A G +-== 所以有A G ≥，等号成立的条件是a b =. 而,a b 是互异正数，所以一定有A G >. 7、（1）2±； （2）22()ab a b ±+. 8、（1）27，81； （2）80，40，20，10. 习题 B 组（P54）1、证明：由等比数列通项公式，得11m m a a q -=，11n n a a q -=，其中1,0a q ≠所以 1111m m n m n n a a q q a a q---== 2、（1）设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的原子核数为1个单位，年衰变率为q ，n 年后的残留量为n a ，则{}n a 是一个等比数列. 由碳14的半衰期为5730则 57305730112n a a qq===，解得157301()0.9998792q =≈ （2）设动物约在距今n 年前死亡，由0.6n a =，得10.9998790.6n n a a q ===. 解得 4221n ≈，所以动物约在距今42213、在等差数列1，2，3，…中，有7108917a a a a +==+，1040203050a a a a +==+ 由此可以猜想，在等差数列{}n a 中若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈，则k s p q a a a a +=+. 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{}n a 的图象，可以看出k p a k a p =，s q a sa q=根据等式的性质，有k s p q a a k sa a p q++=++，所以k s p q a a a a +=+. （第3题）猜想对于等比数列{}n a ，类似的性质为：若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈，则k s p q a a a a ⋅=⋅. 2．5等比数列的前n 项和 练习（P58） 1、（1）6616(1)3(12)189112a q S q --===--. （2）1112.7()9190311451()3n n a a q S q ----===----. 2、设这个等比数列的公比为q 所以 101256710()()S a a a a a a =+++++++555S q S =+55(1)q S =+50=同理 1015105S S q S =+. 因为 510S =，所以由①得 5101051416S q q S =-=⇒= 代入②，得1015105501610210S S q S =+=+⨯=.3、该市近10年每年的国内生产总值构成一个等比数列，首项12000a =，公比 1.1q =设近10年的国内生产总值是10S ，则10102000(1 1.1)31874.81 1.1S -=≈-（亿元）习题 A 组（P61）1、（1）由34164641a q a ===--，解得4q =-，所以144164(4)5111(4)a a q S q ---⨯-===---. （2）因为2131233(1)S a a a a q q --=++=++，所以2113q q --++=，即2210q q --=解这个方程，得1q =或12q =-. 当1q =时，132a =；当12q =-时，16a =.2、这5年的产值是一个以1138 1.1151.8a =⨯=为首项， 1.1q =为公比的等比数列所以5515(1)151.8(1 1.1)926.75411 1.1a q S q -⨯-==≈--（万元）3、（1）第1个正方形的面积为42cm ，第2个正方形的面积为22cm ，…，这是一个以14a =为首项，12q =为公比的等比数列所以第10个正方形的面积为99710114()22a a q -==⨯=（2cm ）（2）这10个正方形的面积和为77110101422821112a a qS q---⨯-===---（2cm ）4、（1）当1a =时，2(1)(1)(2)()12(1)2n n na a a n n --+-++-=-----=-当1a ≠时，22(1)(2)()()(12)n n a a a n a a a n -+-++-=+++-+++(1)(1)12n a a n n a -+=-- （2）1212(235)(435)(35)2(12)3(555)n n n n -------⨯+-⨯+-⨯=+++-+++11(1)5(15)323(1)(15)2154n n n n n n ----+-⨯-⨯=+--- （3）设21123n n S x x nx -=++++……①则 212(1)n n n xS x x n x nx -=+++-+……②①－②得，21(1)1n n n x S x x x nx --=++++-……③当1x =时，(1)1232n n n S n +=++++=；当1x ≠时，由③得，21(1)1n n n x nx S x x -=--- 5、（1）第10次着地时，经过的路程为91002(50251002)-++++⨯1291911002100(222)2(12)100200299.61 (m)12------=+⨯+++-=+⨯≈- （2）设第n 次着地时，经过的路程为 m ，则1(1)12(1)12(12)1002100(222)100200293.7512n n ---------+⨯+++=+⨯=-所以130********.75n --⨯=，解得120.03125n -=，所以15n -=-，则6n =6、证明：因为396,,S S S 成等差数列，所以公比1q ≠，且9362S S S =+即，936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---⨯=+--- 于是，9362q q q =+，即6321q q =+ 上式两边同乘以1a q ，得741112a q a q a q =+ 即，8252a a a =+，故285,,a a a 成等差数列 习题 B 组（P62） 1、证明：11111()(1())1n n n n n n n n n b bb a b a a a b b a a b aa ab a+++---+++=+++==--2、证明：因为7714789141277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++= 141421141516211277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++=所以71472114,,S S S --成等比数列3、（1）环保部门每年对废旧物资的回收量构成一个等比数列，首项为1100a =，公比为1.2q =.所以，2010年能回收的废旧物资为89100 1.2430a =⨯≈（t ）（2）从2002年到2010年底，能回收的废旧物资为9919(1)100(1 1.2)208011 1.2a q S q --==≈--（t ）可节约的土地为165048320⨯=（2m ）4、（1）依教育储蓄的方式，应按照整存争取定期储蓄存款利率计息，免征利息税，且若每月固定存入a 元，连续存n 个月，计算利息的公式为()2a na n+⨯月利率.因为整存整取定期储蓄存款年利率为2.52﹪，月利率为0.21﹪故到期3年时一次可支取本息共(505036)360.2118001869.932+⨯⨯⨯+=﹪（元）若连续存6年，应按五年期整存整取定期储蓄存款利率计息，具体计算略. （2）略.（3）每月存50元，连续存3年按照“零存整取”的方式，年利率为1.89﹪，且需支付20﹪的利息税所以到期3年时一次可支取本息共1841.96元，比教育储蓄的方式少收益27.97元.（4）设每月应存入x 元，由教育储蓄的计算公式得36(36)0.2136100002x x x +⨯+=﹪解得267.39x ≈（元），即每月应存入267.39（元） （5）（6）（7）（8）略5、设每年应存入x 万元，则2004年初存入的钱到2010年底利和为7(12)x +﹪，2005年初存入的钱到2010年底利和为6(12)x +﹪，……，2010年初存入的钱到2010年底利和为(12)x +﹪. 根据题意，76(12)(12)(12)40x x x ++++++=﹪﹪﹪根据等比数列前n 项和公式，得7(12)(1 1.02)401 1.02x +-=-﹪，解得52498x ≈（元）故，每年大约应存入52498元第二章 复习参考题A 组（P67）1、（1）B ； （2）B ； （3）B ； （4）A .2、（1）212n n n a -=； （2）12(1)(21)1(2)n n n a n +--=+；（3）7(101)9n n a =-； （4）1(1)n n a =+-或1cos n a n π=+.3、4、如果,,a b c 成等差数列，则5b =；如果,,a b c 成等比数列，则1b =，或1-.5、n a 按顺序输出的值为：12，36，108，324，972. 86093436sum =.6、81381.9(10.13)1396.3⨯+≈﹪（万）7、从12月20日到次年的1月1日，共13天. 每天领取的奖品价值呈等差数列分布.110,100d a ==. 由1(1)2n n n S a n d -=+得：1313121001310208020002S ⨯=⨯+⨯=>.所以第二种领奖方式获奖者受益更多. 8、因为28374652a a a a a a a +=+=+=所以34567285450()2a a a a a a a +++++==+，则28180a a +=.9、容易得到101010,1012002n n na n S +==⨯=，得15n =.10、212212()()()n n n n S a a a a nd a nd a nd ++=+++=++++++2121()n a a a n nd S n d =++++⨯=+32122312(2)(2)(2)n n n n S a a a a nd a nd a nd ++=+++=++++++2121()22n a a a n nd S n d =++++⨯=+容易验证2132S S S =+. 所以，123,,S S S 也是等差数列，公差为2n d . 11、221(1)(1)4(1)221a f x x x x x =+=+-++=-- 223(1)(1)4(1)267a f x x x x x =-=---+=-+ 因为{}n a 是等差数列，所以123,,a a a 也是等差数列. 所以，2132a a a =+. 即，20286x x =-+. 解得1x =或3x =. 当1x =时，1232,0,2a a a =-==. 由此可求出24n a n =-. 当3x =时，1232,0,2a a a ===-. 由此可求出42n a n =-.第二章 复习参考题B 组（P68）1、（1）B ； （2）D .2、（1）不成等差数列. 可以从图象上解释. ,,a b c 成等差，则通项公式为y pn q =+的形式，且,,a b c 位于同一直线上，而111,,a b c 的通项公式却是1y pn q =+的形式，111,,a b c不可能在同一直线上，因此肯定不是等差数列.（2）成等比数列. 因为,,a b c 成等比，有2b ac =. 又由于,,a b c 非零，两边同时取倒数，则有21111b ac a c==⨯.所以，111,,a b c也成等比数列.3、体积分数：60.033(125)0.126⨯+≈﹪，质量分数：60.05(125)0.191⨯+≈﹪.4、设工作时间为n ，三种付费方式的前n 项和分别为,,n n n A B C . 第一种付费方式为常数列；第二种付费方式为首项是4，公差也为4的等差数列；第三种付费方式为首项是，公比为2的等比数列. 则38n A n =，2(1)44222n n n B n n n -=+⨯=+， 0.4(12)0.4(21)12n n n C -==--. 下面考察,,n n n A B C 看出10n <时，380.4(21)n n >-. 因此，当工作时间小于10天时，选用第一种付费方式. 10n ≥时，,n n n n A C B C ≤≤因此，当工作时间大于10天时，选用第三种付费方式.5、第一星期选择A 种菜的人数为n ，即1a n =，选择B 种菜的人数为500a -.所以有以下关系式：2118030a a b =⨯+⨯﹪﹪3228030a a b =⨯+⨯﹪﹪……118030n n b a a b --=⨯+⨯﹪﹪ 500n n a b +=所以111502n n a a -=+，115003502n n n b a a -=-=-如果1300a =，则2300a =，3300a =，…，10300a = 6、解：由1223n n n a a a --=+得 1123()n n n n a a a a ---+=+以及1123(3)n n n n a a a a ----=--所以221213()37n n n n a a a a ---+=+=⨯，221213(1)(3)(1)13n n n n a a a a ----=--=-⨯. 由以上两式得，11437(1)13n n n a --=⨯+-⨯所以，数列的通项公式是11137(1)134n n n a --⎡⎤=⨯+-⨯⎣⎦ 7、设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金2002年底剩余资金是1000(150)x +-﹪2003年底剩余资金是2[1000(150)](150)1000(150)(150)x x x x +-+-=+-+-﹪﹪﹪﹪ ……5年后达到资金 54321000(150)(150)(150)(150)(150)2000x x x x +-+-+-+-+=﹪﹪﹪﹪﹪ 解得 459x ≈（万元）第三章 不等式3．1不等关系与不等式 练习（P74）1、（1）0a b +≥； （2）4h ≤； （3）(10)(10)3504L W L W ++=⎧⎨>⎩.2、这给两位数是57.3、（1）>； （2）<； （3）>； （4）<；习题 A 组（P75）1、略.2、（1）24+； （2>3、证明：因为20,04x x >>，所以21104x x x ++>+>因为22(1)02x +>>，所以12x+>4、设A 型号帐篷有x 个，则B 型号帐篷有(5)x +个，050448054853(5)484(4)48x x x x x x >⎧⎪+>⎪⎪<⎪⎨<-<⎪⎪+<⎪+⎪⎩≥5、设方案的期限为n 年时，方案B 的投入不少于方案A 的投入.所以，(1)5105002n n n -+⨯≥ 即，2100n ≥.习题 B 组（P75）1、（1）因为222259(56)30x x x x x ++-++=+>，所以2225956x x x x ++>++ （2）因为222(3)(2)(4)(69)(68)10x x x x x x x ----=-+--+=>所以2(3)(2)(4)x x x ->--（3）因为322(1)(1)(1)0x x x x x --+=-+>，所以321x x x >-+（4）因为22222212(1)1222(1)(1)10x y x y x y x y x y ++-+-=++-+-=-+-+> 所以2212(1)x y x y ++>+-2、证明：因为0,0a b c d >>>>，所以0ac bd >>又因为0cd >，所以10cd >于是0a bd c>>>3、设安排甲种货箱x 节，乙种货箱y 节，总运费为z .所以 352515301535115050x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪+=⎩≥≥ 所以28x ≥，且30x ≤所以 2822x y =⎧⎨=⎩，或2921x y =⎧⎨=⎩，或3020x y =⎧⎨=⎩ 所以共有三种方案，方案一安排甲种货箱28节，乙种货箱22节；方案二安排甲种货箱29节，乙种货箱21节；方案三安排甲种货箱30节，乙种货箱20节. 当3020x y =⎧⎨=⎩时，总运费0.5300.82031z =⨯+⨯=（万元），此时运费较少. 3．2一元二次不等式及其解法 练习（P80） 1、（1）1013x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤； （2）R ； （3）{}2x x ≠； （4）12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； （5）31,2x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或； （6）54,43x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或； （7）503x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.2、（1）使2362y x x =-+的值等于0的x 的集合是1⎧⎪+⎨⎪⎪⎩⎭；使2362y x x =-+的值大于0的x 的集合为11x x x ⎧⎪<>⎨⎪⎪⎩⎭或；使2362y x x =-+的值小于0的x 的集合是11x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭. （2）使225y x =-的值等于0的x 的集合{}5,5-； 使225y x =-的值大于0的x 的集合为{}55x x -<<； 使225y x =-的值小于0的x 的集合是{}5,5x x x <->或. （3）因为抛物线2+610y x x =+的开口方向向上，且与x 轴无交点 所以使2+610y x x =+的等于0的集合为∅； 使2+610y x x =+的小于0的集合为∅； 使2+610y x x =+的大于0的集合为R. （4）使231212y x x =-+-的值等于0的x 的集合为{}2； 使231212y x x =-+-的值大于0的x 的集合为∅； 使231212y x x =-+-的值小于0的x 的集合为{}2x x ≠. 习题 A 组（P80）1、（1）35,22x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或； （2）x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭；（3）{}2,5x x x <->或； （4）{}09x x <<.2、（1）解2490x x -+≥，因为200∆=-<，方程2490x x -+=无实数根所以不等式的解集是R ，所以y R. （2）解2212180x x -+-≥，即2(3)0x -≤，所以3x =所以y ={}3x x =3、{33m m m <-->-+或；4、R.5、设能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留t 秒.依题意，20122v t gt ->，即212 4.92t t ->. 这里0t >. 所以t 最大为2（精确到秒）答：能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留2秒. 6、设每盏台灯售价x 元，则15[302(15)]400x x x ⎧⎨-->⎩≥. 即1520x <≤.所以售价{}1520x x x ∈<≤习题 B 组（P81）1、（1）x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭； （2）{}37x x <<； （3）∅； （4）113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 2、由22(1)40m m ∆=--<，整理，得23210m m +->，因为方程23210m m +-=有两个实数根1-和13，所以11m <-，或213m >，m 的取值范围是11,3m m m ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.3、使函数213()324f x x x =--的值大于0的解集为33x x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭或.4、设风暴中心坐标为(,)a b ，则a =22450b +<，即150150b -<<151)13.72=≈（h ），3001520=. 所以，经过约小时码头将受到风暴的影响，影响时间为15小时.3．3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 练习（P86） 1、B . 2、D . 3、B .4解：设家具厂每天生产A 类桌子x 张，B 类桌子y 张.对于A 类桌子，x 张桌子需要打磨10x min ，着色6x min ，上漆6x min对于B 类桌子，y 张桌子需要打磨5y min ，着色12y min ，上漆9y min 而打磨工人每天最长工作时间是450min ，所以有105450x y +≤. 类似地，612480x y +≤，69450x y +≤ 在实际问题中，0,0x y ≥≥；所以，题目中包含的限制条件为 1054506124806945000x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥练习（P91）1、（1）目标函数为2z x y =+，可行域如图所示，作出直线2y x z =-+，可知z 要取最大值，即直线经过点C 时，解方程组11x y y +=⎧⎨=-⎩得(2,1)C -，所以，max 222(1)3z x y =+=⨯+-=.（2）目标函数为35z x y =+，可行域如图所示，作出直线35z x y =+可知，直线经过点B 时，Z 取得最大值. 直线经过点A 时，Z 取得最小值. 解方程组 153y x x y =+⎧⎨-=⎩，和15315y x x y =+⎧⎨+=⎩可得点(2,1)A --和点(1.5,2.5)B .所以max 3 1.55 2.517z =⨯+⨯=，min 3(2)5(1)11z =⨯-+⨯-=-（第12、设每月生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，每月收入为z 元，目标函数为30002000z x y =+，需要满足的条件是 2400250000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥当直线经过点A 时，z 取得最大值. 解方程组 24002500x y x y +=⎧⎨+=⎩可得点(200,100)A ，z 的最大值为800000元. 习题 A 组（P93）1、画图求解二元一次不等式：（1）2x y +≤； （2）22x y ->； （3）2y -≤； （4）3x ≥2、3解：设每周播放连续剧甲x 次，播放连续剧乙y 目标函数为6020z x y =+，（第2所以，题目中包含的限制条件为8040320600x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥≥可行域如图. 解方程组80403206x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(2,4)，所以max 6020200z x y =+=（万）答：电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率. 4、设每周生产空调器x 台，彩电y 台，则生产冰箱120x y --台，产值为z . 则，目标函数为432(120)2240z x y x y x y =++--=++ 所以，题目中包含的限制条件为111(120)402341202000x y x y x y x y ⎧++--⎪⎪⎪--⎨⎪⎪⎪⎩≤≥≥≥即，312010000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥ 可行域如图，解方程组3120100x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(10,90)，所以max 2240350z x y =++=（千元）答：每周应生产空调器10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是350千元.习题 B 组（P93）1、画出二元一次不等式组 231223600x y x y x y +⎧⎪+>-⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥，所表示的区域如右图2、画出(21)(3)0x y x y +--+>表示的区域.3、设甲粮库要向A 镇运送大米x 吨、向B 镇运送大米y 吨，总运费为z . 则乙粮库要向A 镇运送大米(70)x -吨、向B 镇运送大米(110)y -吨，目标函数（总运费）为 122025101512(70)208(110)609030200z x y x y x y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯-=++.所以，题目中包含的限制条件为 100(70)(110)800700x y x y x y +⎧⎪-+-⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≥.所以当70,30x y ==时，总运费最省 min 37100z =（元） 所以当0,100x y ==时，总运费最不合理 max 39200z =（元）使国家造成不该有的损失2100元.答：甲粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米30吨，乙粮库要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37100元. 最不合理的调运方案是要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米100吨，乙粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米10吨，此时总运费为39200元，使国家造成损失2100元.3．42a b+练习（P100）1、因为0x >，所以12x x +=≥当且仅当1x x =时，即1x =时取等号，所以当1x =时，即1x x+的值最小，最小值是2. 2、设两条直角边的长分别为,a b ，0,a >且0b >，因为直角三角形的面积等于50.即 1502ab =，所以20a b +==≥，当且仅当10a b ==时取等号.答：当两条直角边的长均为10时，两条直角边的和最小，最小值是20. 3、设矩形的长与宽分别为a cm ，b cm. 0a >，0b > 因为周长等于20，所以10a b +=所以 2210()()2522a b S ab +===≤，当且仅当5a b ==时取等号.答：当矩形的长与宽均为5时，面积最大. 4、设底面的长与宽分别为a m ，b m. 0a >，0b >因为体积等于323m ，高2m ，所以底面积为162m ，即16ab =所以用纸面积是222324()32323264S ab bc ac a b =++=+++=+=≥ 当且仅当4a b ==时取等号。

2017-2018学年高中数学人教A版必修5课时作业18简单的

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课时作业18 简单的线性规划问题 |基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：本题考查简单的线性规划问题． 作出约束条件表示的可行域如图：平移直线x ＋y ＝0，可得目标函数z ＝x ＋y 在A (3,0)处取得最大值，z max ＝3，故选D.答案：D2．(全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：画出可行域(如图中阴影部分所示)，易知A (0,3)，B (2,0)．由图可知，目标函数z ＝x －y 在点A ，B 处分别取得最小值与最大值，z min ＝0－3＝－3，z max ＝2－0＝2，故z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．故选B. 答案：B的距离的5倍．－2y＋2＝0的距离为区域内的点到直线的距离的最小⎧河南郑州一中押题卷二)若x，y满足约束条件⎨的值分别为0，3，所以取到最大值，，m)，所以8＝m－3m，分，共15分)⎧2x－y＋1≥0，的最小值为________．画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．＝－23x＋53＋z3过点A(－1，－＝－10.y＋1≥0，不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，，过点A(k，k)时，z＝2x＋分，共20分)作出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示，当其经过点A(－1，－1)时，作出可行域如图，并求出顶点的坐标A(1,3)表示可行域内任一点(x，y)到定点的垂线，易知垂足N在线段AC上，故时取得最大值的最优解不唯一，此时a ＝2或－1.故选2y －4≤0，0，0，则z ＝y x画出可行域如图， 表示可行域内的点P (x ，y )与点(1，－2)连线的斜率，的取值范围为(－∞，－2]∪⎣⎢⎡23，＋作出可行域如图所示．，并平移此直线，当平移直线过可行域内的取最小值；当平移直线过可行域内的B点时，z取得最大值．，。

高中数学必修五课时作业 [整书][全套]

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1．1 正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理(一)一、基础达标1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A ∶sin B 的值是() A.53 B.35C.37D.57答案 A解析 根据正弦定理得sin A sin B ＝a b ＝53.2．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形答案 B解析 由题意有asin A ＝b ＝bsin B ，则sin B ＝1，即角B 为直角，故△ABC 是直角三角形．3．在△ABC 中，若sin A a ＝cos C c ，则C 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 B解析 ∵sin A a ＝cos C c ，∴sin Acos C ＝a c ，又由正弦定理a c ＝sin Asin C .∴cos C ＝sin C ，即C ＝45°，故选B.4．在△ABC 中，若∠A ＝105°，∠B ＝45°，b ＝22，则c 等于() A ．1 B ．2 C. 2 D. 3答案 B解析 ∵∠A ＝105°，∠B ＝45°，∴∠C ＝30°.由正弦定理得c ＝b sin Csin B ＝22sin 30°sin 45°＝2.5．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( )A ．－223 B.223 C ．－63 D.63答案 D解析 由正弦定理得15sin 60°＝10sin B ，∴sin B ＝10·sin 60°15＝10×3215＝33. ∵a >b ，A ＝60°，∴B 为锐角．∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫332＝63. 6．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C＝________.答案 7解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝2， ∴a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C＝2＋1＋4＝7. 7．已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a 、b 和B . 解 根据正弦定理a sin A ＝c sin C， 得a ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. 由三角形内角和定理，B ＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵b sin B ＝c sin C， ∴b ＝c sin B sin C ＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75° ＝20×6＋24＝5(6＋2)． 二、能力提升8．在△ABC 中，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 的值为( ) A ．1 B ．2 C.3－1 D. 3答案 B 解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得3sin π3＝1sin B ， ∴sin B ＝12，由a >b ，得A >B ，∴B ＝π6.故C ＝π2，由勾股定理得c ＝2. 9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( )A.725 B ．－725 C ．±725 D.2425答案 A解析 由正弦定理及8b ＝5c ，得8sin B ＝5sin C ，又C ＝2B ，∴8sin B ＝5sin 2B ＝10sin B cos B ，∵sin B ≠0，∴cos B ＝45， ∴cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725. 10．锐角三角形的内角分别是A 、B 、C ，并且A >B .下面三个不等式成立的是________． ①sin A >sin B ；②cos A <cos B ；③sin A ＋sin B >cos A ＋cos B .答案 ①②③解析 A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，故①成立．函数y ＝cos x 在区间[0，π]上是减函数，∵A >B ，∴cos A <cos B ，故②成立．在锐角三角形中，∵A ＋B >π2， ∴A >π2－B ，则有sin A >sin(π2－B )， 即sin A >cos B ，同理sin B >cos A ，故③成立．11．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．解 ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝42sin(30°＋45°)＝2＋2 3.12．在△ABC 中，a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，判断△ABC 的形状． 解 法一 ∵a cos(π2－A )＝b cos(π2－B )， ∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得：a ·a 2R ＝b ·b 2R， ∴a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形．法二 ∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B .由正弦定理可得：2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B ，∴A ＝B .(A ＋B ＝π不合题意舍去)故△ABC 为等腰三角形．三、探究与创新13．在△ABC 中，a ＝5，B ＝45°，C ＝105°，解三角形．解 由三角形内角和定理知A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C， 得b ＝a ·sin B sin A ＝5·sin 45°sin 30°＝52； c ＝a ·sin C sin A ＝5·sin 105°sin 30°＝5·sin (60°＋45°)sin 30°＝5·sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°sin 30°＝52(6＋2)．1．1.2 余弦定理(一)一、基础达标1．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．4答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2. 2．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( )A.14B.34C.24D.23答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34. 3．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°答案 B解析 设中间角为θ，则cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°为所求． 4．在△ABC 中，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3答案 D解析由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 得(a 2＋c 2－b 2)2ac ＝32·cos B sin B 即cos B ＝32·cos B sin B所以sin B ＝32，又B 为△ABC 的内角，所以B 为π3或2π3. 5．在△ABC 中，若(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )，则A ＝________.答案 120°解析 a 2－c 2＝b 2＋bc ，b 2＋c 2－a 2＝－bc ，cos A ＝－12，A ＝120°. 6．三角形三边长分别为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2(a >0，b >0)，则最大角为________． 答案 120°解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12，又θ∈(0°，180°)，∴θ＝120°. 7．已知△ABC 顶点的直角坐标分别为A (3,4)，B (0,0)，C (c ，0)．(1)若c ＝5，求sin A 的值；(2)若A 是钝角，求c 的取值范围．解 (1)∵A (3,4)，B (0,0)，∴|AB |＝5，sin B ＝45. 当c ＝5时，|BC |＝5，|AC |＝(5－3)2＋(0－4)2＝2 5.根据正弦定理得：|BC |sin A ＝|AC |sin B ⇒sin A ＝|BC ||AC |sin B ＝255. (2)已知△ABC 顶点坐标为A (3,4)，B (0,0)，C (c,0)，所以|AC |2＝(c －3)2＋42，|BC |2＝c 2.根据余弦定理得：cos A ＝|AB |2＋|AC |2－|BC |22|AB |·|AC |， 若A 是钝角，则cos A ＜0⇒|AB |2＋|AC |2－|BC |2＜0，即52＋(c －3)2＋42－c 2＝50－6c ＜0.解得c ＞253. 8．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求AB 的长．解 (1)∵cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12，且C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. (2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.二、能力提升9．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形答案 B解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c ，∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc，∴a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 为直角三角形．10．如右图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径为( )A ．50 mB ．45 m C. 507 mD ．47 m答案 C解析 依题意得OD ＝100 m ，CD ＝150 m ，连接OC ，易知∠ODC ＝180°－∠AOB ＝60°， 因此由余弦定理有OC 2＝OD 2＋CD 2－2OD ·CD cos ∠ODC ，即OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12， 解得OC ＝507(m)．11．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________． 答案 3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22，∴sin C ＝22. ∴AD ＝AC ·sin C ＝ 3.12．在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求三边的长．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝4a ＋c ＝2b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＋4c ＝b －4. ∴a >b >c ，∴A ＝120°，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 120°，即(b ＋4)2＝b 2＋(b －4)2－2b (b －4)×(－12)， 即b 2－10b ＝0，解得b ＝0(舍去)或b ＝10.因此a ＝14，c ＝6.三、探究与创新13．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状．解 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， 代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca ＋c ·c 2－a 2－b 22ab＝0， 通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0，展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2.根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．1．2 应用举例(一)一、基础达标1．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．10 3 n mile B.1063 n mile C ．5 2 n mileD ．5 6 n mile 答案 D解析 由题意知，在△ABC 中AB ＝10，A ＝60°，B ＝75°，则C ＝180°－A －B ＝45°. 由正弦定理，得BC ＝AB sin A sin C ＝10sin 60°sin 45°＝56(n mile)． 2．甲骑电动自行车以 24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．6 kmB ．3 3 km C. 3 2 kmD ．3 km 答案 C解析 由题意知，AB ＝24×14＝6 km ，∠BAS ＝30°，∠ASB ＝75°－30°＝45°.由正弦定理，得BS ＝AB sin ∠BAS sin ∠ASB＝6sin 30°sin 45°＝3 2. 3．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为______m.答案 60解析 在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，∴∠ACB ＝75°.∠ACB ＝∠ABC .∴AC ＝AB ＝120(m)．如图，作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 即为河的宽度．由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CD sin ∠CAD， ∴120sin 90°＝CD sin 30°，∴CD ＝60(m)． ∴河的宽度为60 m.4．如图，一艘船以32.2 n mile/h 的速度向正北航行．在A 处看灯塔S 在船的北偏东20°的方向，30 min 后航行到B 处，在B 处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5 n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？解 在△ABS 中，AB ＝32.2×0.5＝16.1 (n mile)，∠ABS ＝115° ，根据正弦定理，AS sin ∠ABS ＝AB sin (65°－20°)， AS ＝AB ×sin ∠ABS sin (65°－20°)＝AB ×sin ∠ABS × 2 ＝16.1×sin 115°×2，S 到直线AB 的距离是d ＝AS ×sin 20°＝16.1×sin 115°×2×sin 20°≈7.06(n mile)． 由于7.06＞6.5，所以这艘船可以继续沿正北方向航行．5．要测量对岸两点A 、B 之间的距离，选取相距 3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A 、B 之间的距离．解 如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3 (km)．在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°.∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22(km)． 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－23×6＋22×cos 75° ＝3＋2＋3－3＝5， ∴AB ＝ 5 (km)．∴A 、B 之间的距离为 5 km.二、能力提升6．一架飞机从A 地飞到B 地，两地相距700 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞后，就沿与原来的飞行方向成21°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成35°夹角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来路程700 km 远了多少？解 在△ABC 中，AB ＝700 km ，∠ACB ＝180°－21°－35°＝124°，根据正弦定理，700sin 124°＝AC sin 35°＝BC sin 21°， AC ＝700·sin 35°sin 124°，BC ＝700·sin 21°sin 124°， AC ＋BC ＝700·sin 35°sin 124°＋700·sin 21°sin 124 °≈786.89(km)， 786．89－700＝86.89(km)．答 所以路程比原来远了约86.89 km.7．某人在M 汽车站的北偏西20°的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶．公路的走向是M 站的北偏东40°.开始时，汽车到A 的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A 的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M 汽车站？解 由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B 处．在△ABC中，AC ＝31，BC ＝20，AB ＝21，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝2331，则sin 2C ＝1－ cos 2C ＝432312， sin C ＝12331，所以sin ∠MAC ＝sin(120°－C )＝sin 120°cos C －cos 120°sin C ＝35362. 在△MAC 中，由正弦定理，得MC ＝AC sin ∠MAC sin ∠AMC ＝3132×35362＝35.从而有MB ＝ MC －BC ＝15.答 汽车还需要行驶15千米才能到达M 汽车站．三、探究与创新8．如右图，一人在C 地看到建筑物A 在正北方向，另一建筑物B 在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进30 km 到达D 处，看到A在他的北偏东45°方向，B 在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．解 依题意得，DC ＝30，∠ADB ＝∠BCD ＝30°＝∠BDC ，∠DBC ＝120°，∠ADC ＝60°，∠DAC ＝45°.在△BDC 中，由正弦定理可得，BC ＝DC sin ∠BDC sin ∠DBC ＝30·sin 30°sin 120°＝10， 在△ADC 中，由正弦定理可得，AC ＝DC sin ∠ADC sin ∠DAC＝30·sin 60°sin 45°＝3 5. 在△ABC 中，由余弦定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ＝(35)2＋(10)2－2×35×10×cos 45°＝25，∴AB ＝5.答这两座建筑物之间的距离为5 km.1．2 应用举例(二)一、基础达标1．为了测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB 的高为( )A ．20⎝⎛⎭⎫1＋33 mB ．20⎝⎛⎭⎫1＋32 m C ．20(1＋3) mD ．30 m答案 A 解析 如图，h ＝20tan 30°＋20tan 45°＝20⎝⎛⎭⎫1＋33(m)，故选A. 2．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 3 m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( )A ．200 mB ．300 mC ．400 mD ．100 3 m答案 B解析 法一 如图，△BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝600，BC ＝DC ＝200 3.在△BCD 中，由余弦定理可得cos 2θ＝6002＋(2003)2－(2003)22×600×2003＝32， ∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300，故选B. 法二 由于△BCD 是等腰三角形，12BD ＝DC cos 2θ， 即300＝2003cos 2θ.cos 2θ＝32，2θ＝30°，4θ＝60°. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300，故选B. 3．一架飞机在海拔8 000 m 的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________m.答案 5 856.4解析 宽＝8 000tan 30°－8 000tan 45°＝5 856.4(m)． 4．为测量某塔的高度，在A ，B 两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．解 在△ABT 中，∠ATB ＝21.4°－18.6°＝2.8°，∠ABT ＝90°＋18.6°，AB ＝15(m)．根据正弦定理，AB sin 2.8°＝AT cos 18.6°，AT ＝15×cos 18.6°sin 2.8°. 塔的高度为AT ·sin 21.4°＝15·cos 18.6°sin 2.8°sin 21.4°≈106.19(m)． 所以塔的高度为106.19 m.5．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在货轮的南偏东60°.求：(1)A 处与D 处的距离；(2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin B sin ∠ADB ＝126×2232＝24 (n mile)．所以A 处与D 处的距离为24 n mile.(2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos 30°＝192，解得CD ＝8 3 n mile.即灯塔C 与D 处的距离为8 3 n mile.二、能力提升6．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m 到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( )A ．15 mB ．5 mC ．10 mD ．12 m答案 C解析 如图，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h .在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h .在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理得OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos ∠OCD ，即(3h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos 120°，∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍)．7．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m ，则电视塔在这次测量中的高度是( )A ．100 2 mB ．400 mC ．200 3 mD ．500 m答案 D解析 由题意画出示意图，设高AB ＝h ，在Rt △ABC 中，由已知BC ＝h ，在Rt △ABD 中，由已知BD ＝3h ，在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos ∠BCD 得，3h 2＝h 2＋5002＋h ·500，解之得h ＝500 m ．故选D.8．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ，求证：山高h ＝a sin αsin (γ－β)sin (γ－α). 解 在△ABP 中，∠ABP ＝180°－γ＋β，∠BP A ＝180°－(α－β)－∠ABP ＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β)＝γ－α.在△ABP 中，根据正弦定理，AP sin ∠ABP ＝AB sin ∠APB ，AP sin (180°－γ＋β)＝αsin (γ－α)，AP ＝a ×sin (γ－β)sin (γ－α)所以山高h ＝AP sin α＝a sin αsin (γ－β)sin (γ－α). 9．如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B 、D 的距离(计算结果精确到0.01km ，2≈1.414，6≈2.449).解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，∴CD ＝AC ＝0.1， 又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，∴BD ＝BA ，在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC， 所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620. 因此，BD ＝32＋620≈0.33 km ，故B 、D 的距离约为0.33 km. 三、探究与创新10．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解 如图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C ，D 两点到考点的距离为1千米．在△ABC 中，AB ＝3≈1.732(千米)，AC ＝1(千米)，∠ABC ＝ 30°，由正弦定理sin ∠ACB ＝sin 30°AC ·AB ＝32， ∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)，∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1(千米)，在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°，∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1(千米)． ∵BC 12×60＝5，∴在BC 上需5分钟，CD 上需5分钟． 所以最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．1．2 应用举例(三)一、基础达标1．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为( )A ．0.5 hB ．1 hC ．1.5 hD ．2 h答案 B解析 设A 地东北方向上点P 到B 的距离为30 km 时，AP ＝x ，在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB cos A ，即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°，化简得x 2－402x ＋700＝0.设该方程的两根为x 1，x 2，则P 点的位置有两处，即P 1，P 2.则|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400，|x 1－x 2|＝20，即P 1P 2＝20，故t ＝P 1P 2v ＝2020＝1.故选B. 2．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的大小为( ) A ．135° B ．45° C ．60° D ．120°答案 B解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C ．由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝45° .3．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )A ．40 3B ．20 3C ．40 2D ．20 2 答案 A解析 设另两边长为8x,5x ，则cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2，解得x ＝2.两边长是16与10，三角形的面积是12×16×10×sin 60°＝40 3.4．△ABC 中，若A ＝60°，b ＝16，此三角形的面积S ＝2203，则a 的值为________． 答案 49解析 由12bc sin A ＝2203，∴c ＝55，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2 401. ∴a ＝49.5．在△ABC 中，若其面积S ＝a 2＋b 2－c 243，则角C ＝________.答案 π6解析 由已知得a 2＋b 2－c 243＝12ab sin C ，∴sin C ＝a 2＋b 2－c 223ab ＝33cos C ，即tan C ＝33.又角C 是△ABC 的内角，∴C ＝π6.6．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，求△ABC 的面积．解 由正弦定理，得7sin 120°＝5sin C ，∴sin C ＝5314，且∠C 为锐角(∠A ＝120°)．∴cos C ＝1114.∴sin B ＝sin(180°－120°－∠C )＝sin(60°－∠C )＝32cos C －12sin C ＝32×1114－12×5314＝3314.∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×5×7×3314＝1534.7．甲船在A 处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距a n mile ，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的3倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少n mile?解 如图所示，设两船在C 处相遇，并设∠CAB ＝θ， 乙船行驶距离BC 为x n mile ， 则AC ＝3x ，由正弦定理得sin θ＝BC ·sin 120°AC ＝12，而θ<60°，∴θ＝30°，即∠ACB ＝30°，AB ＝BC ＝a .答 甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a n mile. 二、能力提升8．在△ABC 中，若cos B ＝14，sin C sin A ＝2，且S △ABC ＝154，则b 等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 C解析 依题意得，c ＝2a ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋(2a )2－2×a ×2a ×14＝4a 2，所以b ＝c＝2a .因为B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝154，又S △ABC ＝12ac sin B ＝12×b 2×b ×154＝154，所以b ＝2，选C. 9．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西处40°，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔的距离为________ km. 答案6－1解析 由题意知，∠ACB ＝80°＋40°＝120°，AC ＝2，AB ＝3，设B 船到灯塔的距离为x ，即BC ＝x .由余弦定理可知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°，即9＝4＋x 2－2×2x ×(－12)，整理得x 2＋2x －5＝0，解得x ＝－1－6(舍去)或x ＝－1＋ 6.10．已知△ABC 的面积为1，tan B ＝12，tan C ＝－2，求△ABC 的各边长以及△ABC 外接圆的面积．解 ∵tan B ＝12>0，∴B 为锐角．∴sin B ＝55，cos B ＝255. ∵tan C ＝－2<0，∴C 为钝角． ∴sin C ＝255，cos C ＝－55.∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝55·⎝⎛⎭⎫－55＋255·255＝35. ∵S △ABC ＝12ab sin C ＝2R 2sin A sin B sin C ＝2R 2×35×55×255＝1.∴R 2＝2512，R ＝536.∴πR 2＝2512π，即外接圆的面积为2512π.∴a ＝2R sin A ＝3，b ＝2R sin B ＝153， c ＝2R sin C ＝2153.11．如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值． 解 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，∴BC ＝207. 由正弦定理AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC ，sin ∠ACB ＝AB BC sin ∠BAC ＝217.∵∠BAC ＝120°，则∠ACB 为锐角，cos ∠ACB ＝277.∴cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30° ＝277×32－217×12＝2114. 三、探究与创新12．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以103海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．解 如图所示，设所需时间为t 小时，则AB ＝103t ，CB ＝10t ，在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°，可得(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos 120°， 整理得2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)．即舰艇需1小时靠近渔船，此时AB ＝103，BC ＝10， 在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝BC sin 120°AB ＝10×32103＝12，所以∠CAB ＝30°，所以舰艇航行的方位角为75°.2．1 数列的概念与简单表示法(一)一、基础达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12，则该数列的前4项依次为( )A ．1,0,1,0B ．0,1,0,1 C.12，0，12，0 D ．2,0,2,0答案 A解析 当n 分别等于1,2,3,4时，a 1＝1，a 2＝0，a 3＝1，a 4＝0.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．非任何一项 答案 C解析 n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)． 3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2－n ＋1 B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n 2＋1答案 C解析 令n ＝1,2,3,4，代入A 、B 、C 、D 检验即可．排除A 、B 、D ，从而选C. 4．数列23，45，67，89，…的第10项是( )A.1617B.1819C.2021D.2223 答案 C解析 由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为a n ＝2n 2n ＋1，当n ＝10时，a 10＝2×102×10＋1＝2021. 5．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，7，________，11，…. 答案 3解析 由于数列的前几项的根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为9＝3. 6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝sin nθ，0＜θ＜π6，若a 3＝12，则a 15＝________.答案 12解析 a 3＝sin 3θ＝12，又0＜θ＜π6，∴0＜3θ＜π2，∴3θ＝π6，∴a 15＝sin 15θ＝sin 56π＝12.7．写出下列数列的一个通项公式：(可以不写过程)(1)3,5,9,17,33，…；(2)23，415，635，863，…；(3)1,0，－13，0，15，0，－17，0，….解 (1)a n ＝2n ＋1. (2)a n ＝2n(2n －1)(2n ＋1).(3)把数列改写成11，02，－13，04，15，06，－17，08，…分母依次为1,2,3，…，而分子1,0，－1,0，…周期性出现，因此，我们可以用sin n π2表示，故a n ＝sinn π2n .8．已知数列{n (n ＋2)}：(1)写出这个数列的第8项和第20项；(2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 解 (1)a n ＝n (n ＋2)＝n 2＋2n ，∴a 8＝80，a 20＝440. (2)由a n ＝n 2＋2n ＝323，解得n ＝17. ∴323是数列{n (n ＋2)}中的项，是第17项． 二、能力提升9．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式a n 等于( ) A.19(10n －1) B.13(10n －1) C.13(1－110n ) D.310(10n －1) 答案 C解析 代入n ＝1检验，排除A 、B 、D ，故选C.10．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________.答案n解析 ∵OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，OA n ＝n ，…， ∴a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，…，a n ＝n .11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)35，48，511，614，…； (2)－1，85，－157，249，…；(3)1,0,1,0，….解 (1)分子依次为3,4,5,6…其规律是后续项等于前项加1，又首项为3＝1＋2，故分子的通项为n ＋2；分母依次为5,8,11,14，…其规律是后继项等于前项加3，又首项为5＝3×1＋2，故分母的通项为3n ＋2.因此，数列的通项公式为a n ＝n ＋23n ＋2.(2)数列的符号规律是(－1)n ，若将第1项看作－33，先不考虑每一项的符号，则分母为3,5,7,9，…其通项公式为2n ＋1；分子为3,8,15,24，…其通项公式为(n ＋1)2－1.将以上规律统一起来，数列的通项公式为 a n ＝(－1)n n 2＋2n2n ＋1.(3)数列的奇数项为1，可写成1＋12，偶数项为0，可写成1－12.因此数列的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12. 12．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式a n 是n 的一次函数． (1)求{a n }的通项公式； (2)88是否是数列{a n }中的项？ 解 (1)设a n ＝kn ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝k ＋b ＝2a 17＝17k ＋b ＝66解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4b ＝－2.∴a n ＝4n －2. (2)令a n ＝88，即4n －2＝88，解得n ＝22.5∉N *. ∴88不是数列{a n }中的项．三、探究与创新13．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1： (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．(1)解 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1.令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831. (2)解 令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明 ∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内．(4)解 令13<a n ＝3n －23n ＋1<23，∴⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1＜9n －69n －6＜6n ＋2，∴⎩⎨⎧n ＞76n ＜83.∴76<n <83. ∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间⎝⎛⎭⎫13，23上有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.2．1 数列的概念与简单表示法(二)一、基础达标1．在递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是( ) A ．R B ．(0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，0]答案 C解析 ∵{a n }是递减数列， ∴a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k <0.2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A ．1 B.12 C.34 D.58答案 B3．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.3115 答案 C解析 a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22， a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116.4．由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝1n b a -，则b 6的值是( )A ．9B ．17C ．33D ．65 答案 C解析 ∵b n ＝1n b a -，∴b 2＝ab 1＝a 2＝3， b 3＝ab 2＝a 3＝5，b 4＝ab 3＝a 5＝9， b 5＝ab 4＝a 9＝17，b 6＝ab 5＝a 17＝33.5．数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－6n ，则它最小项的值是________． 答案 －9解析 a n ＝n 2－6n ＝(n －3)2－9，∴当n ＝3时，a n 取得最小值－9.6．已知数列{a n }，a n ＝a n ＋m (a <0，n ∈N *)，满足a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝________. 答案 2解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝a ＋m ，4＝a 2＋m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，m ＝3.∴a n ＝(－1)n ＋3，∴a 3＝(－1)3＋3＝2.7．已知函数f (x )＝x －1x .数列{a n }满足f (a n )＝－2n ，且a n >0.求数列{a n }的通项公式．解 ∵f (x )＝x －1x ，∴f (a n )＝a n －1a n ，∵f (a n )＝－2n . ∴a n －1a n ＝－2n .即a 2n ＋2na n －1＝0 ∴a n ＝－n ±n 2＋1. ∵a n >0， ∴a n ＝n 2＋1－n .8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n 2＋29n ＋3，求数列{a n }的最大项． 解 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋10818，由于n ∈N *，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n 取得最大值108. ∴数列{a n }中的最大值为a 7＝108. 二、能力提升9．若a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第4项是( )A.116B.117C.110D.125 答案 C解析 a 2＝a 13a 1＋1＝13＋1＝14，a 3＝a 23a 2＋1＝1434＋1＝17，a 4＝a 33a 3＋1＝1737＋1＝110. 10．已知数列{a n }满足要求a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则a 5等于( ) A ．15 B ．16 C ．31 D ．32 答案 C解析 ∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，∴a 2＝2×1＋1＝3，a 3＝2×3＋1＝7，a 4＝2×7＋1＝15，a 5＝2×15＋1＝31.故选C.11．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n⎝⎛⎭⎫0≤a n<12，2a n－1 ⎝⎛⎭⎫12≤a n<1.若a 1＝67，则a 2 012的值为________．答案 57解析 计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列，又知2 012除以3余2，所以a 2 012＝a 2＝57.12．根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)； (2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a nn ＋1； (3)a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ∈N *)．解 (1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9.猜想a n ＝(n －1)2. (2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42，a 4＝52.猜想a n ＝n ＋12.(3)a 1＝2，a 2＝3，a 3＝5，a 4＝9.猜想a n ＝2n －1＋1. 三、探究与创新13．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋1n a n，求{a n }的通项公式． 解 ∵a n ＋1＝n ＋1n a n ，∴a n ＋1a n ＝n ＋1n .∴a 2a 1＝2，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…，a n a n －1＝nn －1.把上述等式相乘，得a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a n a n －1＝2×32×43×…×nn －1，即a na 1＝n ，而a 1＝2，∴a n ＝2n .2．2 等差数列(一)一、基础达标1．若a ≠b ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是( ) A ．b －a B.b －a 2 C.b －a 3 D.b －a4答案 C解析 由等差数列的通项公式，得b ＝a ＋(4－1)d ，所以d ＝b －a3.2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0，则数列的通项a n 等于( ) A ．n 2＋1 B ．n ＋1 C ．1－n D ．3－n答案 D解析 ∵a n ＋1－a n ＝－1，∴数列{a n }是等差数列，公差为－1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×(－1)＝3－n .3．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( ) A ．第7项 B ．第8项 C ．第9项 D ．第10项答案 B解析 a 1＝20，d ＝－3，∴a n ＝20＋(n －1)×(－3)＝23－3n ，∴a 7＝2＞0，a 8＝－1＜0.4．若5，x ，y ，z,21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．26 B ．29 C ．39 D ．52 答案 C解析 ∵5，x ，y ，z,21成等差数列，∴y 是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项． ∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26. ∴x ＋y ＋z ＝39.5．等差数列的前三项依次是x －1，x ＋1,2x ＋3，则其通项公式为________． 答案 a n ＝2n －3解析 ∵x －1，x ＋1,2x ＋3是等差数列的前三项， ∴2(x ＋1)＝x －1＋2x ＋3，解得x ＝0. ∴a 1＝x －1＝－1，a 2＝1，a 3＝3，∴d ＝2， ∴a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3.6．已知数列{a n }满足a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n >0，则a n ＝________.答案 4n －3解析 由已知a 2n ＋1－a 2n ＝4，∴{a 2n }是等差数列，且首项a 21＝1，公差d ＝4，∴a 2n ＝1＋(n －1)·4＝4n －3. 又a n >0，∴a n ＝4n －3.7．若关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0和x 2－x ＋n ＝0(m ，n ∈R ，且m ≠n )的四个根组成首项为14的等差数列，求m ＋n 的值．解 设x 2－x ＋m ＝0，x 2－x ＋n ＝0的根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝1. 设数列的首项为x 1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x 2.由题意知x 1＝14，∴x 2＝34，数列的公差d ＝34－144－1＝16，∴数列的中间两项分别为 14＋16＝512，512＋16＝712.∴x 1·x 2＝316.x 3·x 4＝512×712＝35144.∴m ＋n ＝316＋35144＝3172.8．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：(1)(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min 能爬多远？它爬行49 cm 需要多长时间？解 (1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．因为a 1＝9.8，d ＝9.8，所以甲虫的爬行距离s 与时间t 的关系是s ＝9.8t . (2)当t ＝1 min ＝60 s 时， s ＝9.8t ＝9.8×60＝588 cm. 当s ＝49 cm 时，t ＝s 9.8＝499.8＝5 s.二、能力提升9．设函数f (x )＝(x －1)2＋n (x ∈[－1,3]，n ∈N *)的最小值为a n ，最大值为b n ，记c n ＝b 2n －a n ·b n ，则{c n }是( )A ．常数列B ．摆动数列C ．公差不为0的等差数列D ．递减数列 答案 C解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋n (x ∈[－1,3])， ∴a n ＝n ，b n ＝n ＋4，∴c n ＝b 2n －a n ·b n ＝b n (b n －a n )＝4(n ＋4)＝4n ＋16. 10．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列是( ) A ．公差为1的等差数列 B ．公差为13的等差数列C ．公差为－13的等差数列D ．不是等差数列 答案 B解析 由3a n ＋1＝3a n ＋1，得3a n ＋1－3a n ＝1，即a n ＋1－a n ＝13.所以数列{a n }为公差为13的等差数列．11．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________． 答案 83<d ≤3解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0a 10＝－24＋9d >0，解不等式得：83<d ≤3.12．若等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 2是关于x 的方程x 2－a 3x ＋a 4＝0的两根，求数列{a n }的通项公式．解 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝a 3，a 1a 2＝a 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝a 1＋2d ，a 1(a 1＋d )＝a 1＋3d .解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . 三、探究与创新13．已知等差数列{a n }：3,7,11,15，….(1)135,4m ＋19(m ∈N *)是{a n }中的项吗？试说明理由．(2)若a p ，a q (p ，q ∈N *)是数列{a n }中的项，则2a p ＋3a q 是数列{a n }中的项吗？并说明你的理由． 解 a 1＝3，d ＝4，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1. (1)令a n ＝4n －1＝135，∴n ＝34， ∴135是数列{a n }中的第34项．令a n ＝4n －1＝4m ＋19，则n ＝m ＋5∈N *. ∴4m ＋19是{a n }中的第m ＋5项． (2)∵a p ，a q 是{a n }中的项， ∴a p ＝4p －1，a q ＝4q －1. ∴2a p ＋3a q ＝2(4p －1)＋3(4q －1)＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1∈N*，∴2a p＋3a q是{a n}中的第2p＋3q－1项．2．2 等差数列(二)一、基础达标1．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( ) A ．12 B ．8 C ．6 D ．4 答案 B解析 由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32， ∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8.2．设公差为－2的等差数列{a n }，如果a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( )A ．－182B ．－78C ．－148D ．－82 答案 D解析 a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d ) ＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋2d ×33＝50＋2×(－2)×33＝－82. 3．下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列； p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列；其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4。

高中数学必修五课时作业 [整书][全套]

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§1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理(一)基础过关1.在△ABC中，BC＝a＝5，AC＝b＝3，则sin A∶sin B的值是()A.53 B.35C.37 D.57解析sin Asin B＝ab＝53.答案 A2.在△ABC中，A＞B，则下列不等式中不一定正确的是()A.sin A＞sin BB.cos A＜cos BC.sin 2A＞sin 2BD.cos 2A＜cos 2B解析A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B，A正确.由于(0，π)上，y＝cos x单调递减，∴cos A＜cos B，B正确.∵sin A＞sin B＞0，∴sin2A＞sin2B，1－2sin2A<1－2sin2B，∴cos 2A＜cos 2B，D正确.答案 C3.在△ABC 中，若a ＝2，b ＝23，A ＝30°，则B 为( ) A.60° B.60°或120° C.30°D.30°或150°解析 由正弦定理可知a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝23×122＝32， ∵B ∈(0°，180°)， ∴B ＝60°或120°，故选B. 答案 B4.在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________. 解析 在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ， 由正弦定理可得：a sin A ＝csin C ，3c sin 2π3＝c sin C ，sin C ＝12，由于c <a ，且C ∈(0，π).故C ＝π6， 则B ＝π－2π3－π6＝π6.三角形是等腰三角形，B ＝C ，则b ＝c ， 则b c ＝1. 答案 15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________．解析 由正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ⇒cos B ＝12⇒B ＝π3. 答案 π36.在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，已知A ＝45°，B ＝30°，c ＝10，解三角形.解 因为A ＋B ＋C ＝180°，所以C ＝105°.所以sin C ＝sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得a ＝sin A sin C ·c ＝10(3－1)， b ＝c sin B sin C ＝10sin 30°sin 105°＝5(6－2).所以C ＝105°，a ＝10(3－1)，b ＝5(6－2). 7.在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝30°，求边c 的长. 解 由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32. ∵a ＜b ，∴B ＞A ＝30°， ∴B 为60°或120°.当B ＝60°时，C ＝180°－60°－30°＝90°. 此时，c ＝a 2＋b 2＝1＋3＝2.当B ＝120°时，C ＝180°－120°－30°＝30°. 此时，c ＝a ＝1. 综上知c ＝1或2.能力提升8.在△ABC 中，已知B ＝60°，最大边与最小边的比为3＋12，则三角形的最大角为( ) A.60° B.75° C.90°D.115°解析 不妨设a 为最大边，c 为最小边，由题意有a c ＝sin A sin C ＝3＋12，即sin Asin （120°－A ）＝3＋12.整理得(3－3)sin A ＝(3＋3)cos A . ∴tan A ＝2＋3，又∵A ∈(0°，120°)，∴A ＝75°，故选B. 答案 B9.在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.56π解析 由5cos(B ＋C )＋3＝0得cos A ＝35， ∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin A ＝45， 由正弦定理得445＝52sin B ，∴sin B ＝12.又∵a ＞b ，∴A ＞B ，且A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B 必为锐角，∴B ＝π6. 答案 A10.在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b2sin B ＋2csin C＝________. 解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2， ∴a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝2，∴a sin A ＋b 2sin B ＋2csin C ＝2＋1＋4＝7. 答案 711.锐角三角形的内角分别是A ，B ，C ，并且A ＞B .则sin A ＋sin B 和cos A ＋cos B 的大小关系为________.解析 在锐角三角形中，∵A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ，函数y ＝sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，则有sin A ＞sin (π2－B )，即sin A ＞cos B ， 同理sin B ＞cos A ，故sin A ＋sin B ＞cos A ＋cos B.答案 sin A ＋sin B ＞cos A ＋cos B12.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3. (1)求sin C 的值； (2)求a 的值.解 (1)∵B ＝π3，cos A ＝45， ∴C ＝2π3－A ，sin A ＝35，∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310.(2)由(1)，知sin A ＝35， 又B ＝π3，b ＝3，∴由正弦定理，得a ＝b sin Asin B ＝3×35sin π3＝65. 创新突破13.在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值.解 (1)因为a ＝3，b ＝26，B ＝2A .所以在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin A ＝26sin 2A . 所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A＝63.(2)由(1)知cos A＝6 3，所以sin A＝1－cos2A＝33.又因为B＝2A，所以cos B＝2cos2A－1＝13.所以sin B＝1－cos2B＝223.在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝539.所以c＝a sin Csin A＝5.1.1.2.2 正、余弦定理解三角形一课一练一. 选择题1．在∆ABC 中，acosA =bcosB =ccosC ，则∆ABC 一定是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2. 在∆ABC 中，若sin 2A +sin 2B <sin 2C ，则∆ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定3. 在∆ABC 中，a =80，b =100，A =30°，则角B 的解的个数是（ ） A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．不能确定4. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若acosA =bsinB ，则 sinAcosA + cos 2B =（ ）A ．−12B ．12C ．−1D ．15. 在∆ABC 中，AB =3，AC =2，BC =√10 ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A ．−32B ．−23C ．23D ．326. 已知∆ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =c =√6+√2，且 A =75°，则b =（ ）A ．2B ．4+2√3C ．4−2√3D ．√6−√2 二. 填空题7. 在∆ABC 中，b =50√3，c =150，B =30°，则边长a =_____________.8. 若x 、x +1、x +2是钝角三角形的三边长，则实数x 的取值范围是_____________.9. 设∆ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosA =35，cosB =513，b =3，则c = _____________.三. 解答题10. 在△ABC 中，已知 b =3，c =3√3，B =30°，解此三角形.11．在∆ABC 中，已知︒=120A ，7=a ，8=+c b ，求b ，c .12．在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . （1）若sin (A +π6)=2cosA ，求 A 的值； （2）若cosA =13，b =3c ，求sinC 的值；一课一练参考答案一. 选择题 1．【答案】D【解析】由a cosA =b cosB =c cosC 和正弦定理a sinA =b sinB =csinC 得 tanA =tanB =tanC 故选D. 2.【答案】C 3.【答案】C【解析】∵ bsinA =100×sin30°=50 ∴ bsinA < a <b ∴ 该三角形有两组解，故选C.4.【答案】D【解析】由acosA =bsinB 及正弦定理得sinAcosA =sin 2B ，所以sinAcosA +cos 2B = sin 2B +cos 2B =1，故选D. 5.【答案】D【解析】 由余弦定理得cosA =AC 2+AB 2−BC 22AC∙AC=22+32−√1022×2×3=14，所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA =3×2×14=32，故选D. 6.【答案】A【解析】 由题意，A =C =75°，所以B =30°，由正弦定理得b =asinA ∙sinB =√6+√2√6+√24×12=2，故选A.二. 填空题7.【答案】a =100√3 或 a =50√3【解析】由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB 得(50√3)2=a 2+1502−2a ×150×cos30°，即a 2−150√3a +15000=0，解得a =100√3 或 a =50√3.8.【答案】1<x <3【解析】由题意知 x +2 所对的角为钝角，所以 x 2+(x +1)2−(x +2)2<0，解得−1<x <3，又由x +(x +1)>x +2 解得x >1，所以x 的取值范围是1<x <3 9.【答案】145【解析】 由题设知sinA =45，sinB =1213，所以sinC =sin (A +B )=sinAcosB +cosAsinB =5665，再由正弦定理得c =b sinB ∙sinC =145.三. 解答题10.【解析】方法1）由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB 得32=a 2+(3√3)2−2a ×3√3×cos30°，整理得 a 2−9a +18=0，解得a =3 或 a =6.当a=3时，A=B=30°∴C=120°；当a=6 时，由正弦定理得sinA=asinBb =6×123=1∴A=90°，C=60°方法2）由正弦定理得sinC=csinBb =3√3×123=√32∵0°<C<180°且由c>b得C>B∴C=60° 或 C=120°当C=60°时，A=90°∴a=√b2+c2=6当C=120° 时，A=B=30°，a=b=311．【解析】由(b+c)2=b2+c2+2bc=64得 b2+c2=64−2bc 由a2=b2+c2−2bccosA得49=64−2bc+bc，即 bc=15又b+c=8∴b=3，c=5或b=5，c=312．【解析】（1）由题设知sinAcosπ6+cosAsinπ6=2cosA，即sinA=√3cosA∴cosA≠0，tanA=√3又0<A<π A=π3（2）由cosA=13，b=3c 和余弦定理a2=b2+c2−2bccosA得a2=b2−c2∴∆ABC是直角三角形，且B=π2∴sinC=cosA=131.2.1 解三角形应用举例（一）测量距离的问题一课一练一．选择题1. 如图，为了测量障碍物两侧A ，B 间的的距离，给定下列四组数据，测量时能用到的数 据是（ ）A ．α，a ，bB ．α，β，aC ．a ，b ，γD ．α，β，b2． 两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°， 灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km3. 我军在海上有A 、B 两个小岛相距10海里，敌军在C 岛，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须知道B 岛和C 岛间的距离，你作为我方士兵，计算B 、C 间的距离是（ ） A ．10√3 海里 B ．10√63海里 C ． 5√2 海里 D ． 5√6 海里4．一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mlie 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向 上，则这艘船的速度是每小时( )A ．5n mlieB ．53n mlieC ．10n mlieD ．103n mlie 5．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ， 起吊的货物与岸的距离AD 为( )A ．30 m B.1523 m C ．153m D ．45m6． 飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行10 000m到达B 处，此时测得正前下方目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为 ( )A ．2 500(3－1)mB ．5 0002mC ．4 000mD ．4 0002m 二．填空题7．为了测量河的宽度，在一侧岸边选定两点A 、B ，对岸有一标记物C ，测得∠CAB =30°， ∠CBA =75°，AB =120m ，则河的宽度是_____________.8. 两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于10km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东30°，灯 塔B 在观察站C 南偏东60°，则A 、B 之间的距离为_____________.9．某海岛周围38n mile 有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30n mile后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁危险（填“有”或“无”）．三．解答题10．如图，一艘船以40 n mile/h的速度向正北航行.在A处看灯塔S在船的北偏东15°的方向，30 min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东60°的方向，已知距离此灯塔6 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续一直沿正北方向航行吗？11．如图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6 000 m．∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面B处时测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)12．海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为126n mile；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为83n mile；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B的方位角为120°.求：(1) A处与D处的距离；(2) 灯塔C与D处之间的距离．一课一练参考答案一．选择题1.【答案】C2．【答案】B【解析】∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，由余弦定理可得AB＝3a(km)．3.【答案】D4．【答案】C【解析】如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，∴∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10， 在Rt △ABC 中，求得AB ＝5 ∴这艘船的速度是50.5＝10(n mlie/h)． 5．【答案】D【解析】在△ABC 中，AC ＝15 m ，AB ＝519 m ，BC ＝10 m ，由余弦定理得cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22×AC×BC ＝152＋102－51922×15×10＝－12∴sin ∠ACB ＝32.又∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∴sin ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝32.在Rt △ACD 中，AD ＝AC sin ∠ACD ＝15×32＝1532(m)．故选D 6．【答案】A【解析】示意图如图，∠BAC ＝30°，∠DBC ＝75°，∴∠ACB ＝45°，AB ＝10 000.由正弦定理，得10 000sin45°＝BC sin30°，又cos75°＝BDBC，∴BD ＝10 000·sin30°sin45°·cos75°＝2 500(3－1)(m)．二．填空题 7．【答案】60m8.【答案】10√2 km9．【答案】无触礁的危险【解析】如图所示，由题意在△ABC 中，AB ＝30，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝135°，∴∠ACB ＝15°，由正弦定理，得BC ＝ABsin ∠BAC sin ∠ACB ＝30sin30°sin15°＝156－24＝15(6＋2)．在Rt △BDC 中，CD ＝22BC ＝15(3＋1)>38.∴ 此船无触礁的危险． 三．解答题10．【解析】在∆ASB 中，∠BAS =15°，∠ASB =60°−15°=45°，AB =20 (n mile)由正弦定理得 SB =ABsin ∠BAS sin ∠ASB=20sin15°sin45°=10(√3−1)(n mile)设点 S 到直线AB 的距离为d ,则d =SB ∙sin60°=15−5√3≈6.34(n mile)∵ d >6 n mile ∴ 这艘船可以继续一直沿正北方向航行.11．【解析】在△ACD 中，∠CAD ＝60°，AD ＝CD·sin45°sin60°＝63CD .在△BCD 中，∠CBD ＝135°，BD ＝CD·sin30°sin135°＝22CD ，∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝426CD ＝1 00042(m)．∴ 炮兵阵地到目标的距离为1 00042 m.12．【解析】由题意，画出示意图，如图所示．(1)在△ABD 中，由已知∠ADB ＝60°，则B ＝45°.由正弦定理，得AD ＝ABsin45°sin60°＝24(n mile)(2) 在△ADC 中，由余弦定理，得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC cos30°＝242＋(83)2－2×24×83×32＝(83)2，∴CD ＝83(n mile)∴ A 处与D 处之间距离为24n mile ，灯塔C 与D 处之间的距离为83n mile.1.2.2 解三角形应用举例之（Ⅱ）测量高度、角度的问题一课一练一.选择题1．某次测量中，A 在B 的北偏东55°，则B 在A 的( )A ．北偏西35°B ．北偏东55°C ．南偏西35°D ．南偏西55° 2．某工程中要将一长为100 m 倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡 高不变，则坡底需加长( )3. 若某人在点A 测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80米到达点B ，测得 金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高) ( ) A ．110米 B ．112米 C ．220米 D ．224米4．在地面上点D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A 与底部B 的仰角分别为 60°和30°，已知建筑物底部高出地面D 点20m ，则建筑物高度为( ) A ．20m B ．30m C ．40m D ．60m5．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测 得塔顶仰角为45°，A 、B 间距离是35 m ，则此电视塔的高度是( )A ．521mB ．10m C.4 90013m D ．35m6．一轮船从A 点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B ，又从B 沿北偏东10°的方向行 驶10海里至海岛C ，若此轮船从A 点直接沿直线行驶至海岛C ，则此船沿( )方向行 驶( )海里至海岛C ( ) A ．北偏东60°；10 2 B ．北偏东40°，10 3 C ．北偏东30°，10 3 D ．北偏东20°，10 2 二.填空题7．在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔沿直线行走30米，测得塔顶的 仰角为2θ，再向塔前进10√3米，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔高是__________米．8．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B 地测得树尖的仰角 为30°，量得AB ＝AC ＝10m 树根部为C (A 、B 、C 在同一水平面上)，则∠ACB ＝________.9．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船向正北行 驶．若甲船速度是乙船的3倍，则甲船应取方向______才能追上乙船，追上时甲船行驶 了_________海里．三.解答题10．如下图所示，两点C 、D 与烟囱底部在同一水平直线上，在点C 1、D 1，利用高为1.5 m的测角仪器，测得烟囱的仰角分别是α＝45°和β＝60°，C、D间的距离是12 m，计算烟囱的高AB.(精确到0.01 m)11. 如下图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，求建筑物的高度.12. 如下图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12n mile，渔船乙以10n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．一课一练一.选择题1．【答案】D【解析】根据题意和方向角的概念画出草图，如下图所示．α＝55°，则β＝α＝55°.所以B 在A的南偏西55°.故应选D.2．【答案】A【解析】如下图，由条件知，AD＝100sin75°＝100sin(45°＋30°)＝100(sin45°cos30°＋cos45°sin30°)＝25(6＋2)，CD＝100cos75°＝25(6－2)，BD＝ADtan30°＝256＋233＝25(32＋6)．∴BC＝BD－CD＝25(32＋6)－25(6－2)＝1002(m)．3.【答案】A【解析】设金字塔高CD＝h米．如下图，在Rt△BCD中，∠DBC＝45°，所以BC＝2CD＝2h米．在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，∴80sin15°＝2hsin30°∴2h ＝80×126－24＝1606＋24＝40(6＋2)，∴h ＝40(3＋1)米≈40×(1.73＋1)米＝109.2(米)． 故选A. 4．【答案】C【解析】设O 为塔顶在地面的射影， 在Rt △BOD 中，∠ODB ＝30°，OB ＝20，BD ＝40，OD ＝203， 在Rt △AOD 中，OA ＝OD ·tan60°＝60，∴AB ＝OA －OB ＝40. 5．【答案】A【解析】作出如下示意图，设塔高OC 为h m ，在Rt △AOC 中，OA ＝h cot60°＝33h ，OB ＝h . AB ＝35，∠AOB ＝150°，由余弦定理得352＝(33h )2＋h 2－2×33h ·h cos150°， 解得h ＝521.6．【答案】B【解析】由已知得在△ABC 中∠ABC ＝180°－70°＋10°＝120°，AB ＝BC ＝10， 故∠BAC ＝30°，所以从A 到C 的航向为北偏东70°－30°＝40°， 由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC＝102＋102－2×10×10×⎝⎛⎭⎫－12＝300，所以AC ＝10 3. 二.填空题 7．【答案】15【解析】作出示意图如下图所示，由题意知∠ABC ＝θ，∠ACD ＝2θ，∠ADE ＝4θ， AC ＝BC ＝30米，AD ＝CD ＝103米．在△ACD 中，cos2θ＝12AC CD ＝15103＝32，所以sin2θ＝12.在Rt △ACE 中，AE ＝AC sin2θ＝30×12＝15(米)．8．【答案】30°【解析】如下图，AC ＝10，∠DAC ＝45°，∴DC ＝10，∵∠DBC ＝30°，∴BC ＝103， cos ∠ACB ＝102＋1032－1022×10×103＝32，∴∠ACB ＝30°. 9．【答案】北偏东30° 3a【解析】如下图所示，设在C 点甲船追上乙船，乙到C 地用的时间为t ，乙船的速度为v ，则BC ＝tv ，AC ＝3tv ，∠B ＝120°，由正弦定理知BC sin ∠CAB ＝ACsin B，所以1sin ∠CAB ＝3sin120°，即sin ∠CAB ＝12，所以∠CAB ＝30°，∠ACB ＝30°，所以BC ＝AB ＝a ，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos120°＝a 2＋a 2－2a 2·⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2，所以AC ＝3a .三.解答题 10．【解析】在△BC 1D 1中，∠BD 1C 1＝120°，∠C 1BD 1＝15°.由正弦定理C 1D 1sin ∠C 1BD 1＝BC 1sin ∠BD 1C 1，∴BC 1＝12sin120°sin15°＝182＋66，∴A 1B ＝22BC 1＝18＋63，则AB ＝A 1B ＋AA 1≈29.89(m)．11.【解析】设建筑物的高度为h ，由题图知，P A ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ，∴在△PBA 中，由余弦定理，得cos ∠PBA ＝602＋2h 2－4h 22×60×2h，①在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PBC ＝602＋2h 2－43h 22×60×2h.②∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°， ∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0.③由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)， 即建筑物的高度为306m.12.【解析】(1) 在△ABC 中，∠BAC ＝180°－60°＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BAC ＝α. 由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14n mile/h.(2) 在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin120°，即sin α＝AB sin120°BC ＝12×3228＝3314.1.2.3 解三角形应用举例之（四）三角形中的计算问题一课一练一．选择题1．在∆ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则角B 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．在∆ABC 中，a =2bcosC ，则该三角形一定是（ ）A ．等腰∆B ．直角∆C ．等腰直角∆D ．等腰或Rt ∆ 3．在∆ABC 中，AB =3，BC =√13，AC =4，则边AC 上的高为（ ）A ．3√22B ．3√32C ．32D ．3√34．已知锐角∆ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°5．在∆ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当∆ABC 的面积等于32时，sin C 等于( )A.32B.12C.33D.346．在钝角三角形ABC 中，若sin A <sin B <sin C ，则( )A ．cos A ·cos C > 0B ．cos B ·cosC > 0 C ．cos A ·cos B > 0D ．cos A ·cos B ·cos C > 0 二．填空题7．在∆ABC 中，三边分别为a ，b ，c ，且S ∆ABC =a 2+b 2−c 24，那么C = _________.8．半径为1的圆内接∆ABC 的面积为14，则abc = ______________.9．已知在∆ABC 中，B =30°，b =6，c =6√3，则∆ABC 的面积为_______________. 三．解答题10．在∆ABC 中，已知 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1) 求证：tanB =3tanA ；(2) 若cosC =√55，求A 值的.11. 已知非等边∆ABC 的外接圆半径长为2，最大边长BC =2√3. （1）求角 A 的大小；（2）求sinB +sinC 的取值范围.12．在∆ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求∆ABC 的面积．一课一练一．选择题 1．【答案】B【解析】由正弦定理知sin A a ＝sin B b ，∵ sin A b ＝cos B b， ∴sin B ＝cos B ，又0°<B <180°，∴B ＝45°.2．【答案】A【解析】由 a =2bcosC 及正弦定理得 sinA =2sinBcosC又 A =π−(B +C) ∴ sinA =sin (B +C )=sinBcosC +cosBsinC∴ 再由sinA =2sinBcosC 得 sin (B −C )=0又 −π<B −C <π ∴ B −C =0，即B =C∴ 该三角形是等腰三角形，故选A. 3．【答案】B【解析】由余弦定理cosA =AB 2+AC 2−BC 22AB∙AC =12，∴ sinA =√32 ∴h =AB ∙sinA =3√32 4．【答案】B【解析】∵ 33＝12×4×3sin C ∴ sin C ＝32，∵ ∆ABC 为锐角三角形 ∴ C ＝60°，故选B.5．【答案】B【解析】由正弦定理得S △ABC ＝12·AB ·BC ·sin B ＝32AB ＝32，∴AB ＝1，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋4－4×12＝3，∴AC ＝3，再由正弦定理，得1sin C ＝3sin π3，∴sin C ＝12.6．【答案】C【解析】由正弦定理得，a <b <c ∴ 角C 是最大角∴ 角C 为钝角 ∴ cos C <0，cos A >0，cos B >0.二．填空题 7．【答案】45°【解析】由三角形面积公式得12absinC =a 2+b 2−c 24∴ sinC =a 2+b 2−c 22ab=cosC又 0<C <π ∴ C =π48．【答案】1【解析】由三角形面积公式得12absinC =14，即absinC =12，两边同乘以c 得abcsinC =c 2∴ abc =c 2sinC=R =19．【解析】9√3或18√3【解析】由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2ac ∙cosB 得a 2−18a +72=0 解得a =6或a =12当a =6时，S ∆ABC =12acsinB =9√3；当a =12时，S ∆ABC =12acsinB =18√3.三．解答题 10．【解析】(1) 设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c则由 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC⃗⃗⃗⃗⃗ 得 cb ∙cosA =3ca ∙cosB ，即b ∙cosA =3a ∙cosB ， 由正弦定理得sinBcosA =3sinAcosB ，两边同除以cosAcosB 得 tanB =3tanA .(2) ∵ ∆ABC 中，A +C =π−B∴ tan (A +C)=−tanB ，即 tanA+tanC1−tanA∙tanB =−3tanA 又 cosC =√55，0<C <π ∴ tanC =2∴ tanA+21−2tanA =−3tanA ，整理得 3tan 2A −2tanA −1=0， 解得tanA =1或tanA =−13又由(1)知tanA >0 ∴ tanA =1 ∴ A =π4 .11. 【解析】（1）由正弦定理BCsinA =4，即sinA =BC4=√32∵ BC 为最大边长，∆ABC 为非等边三角形 ∴ 60°<A <180° ∴ A =120°（2）sinB +sinC =sinB +sin (60°−C )=12sinB +√32cos =sin (B +60°) ∵ 0°<B <60° ∴ 60°<B +60°<120° ∴√32<sinB +sinC ≤1∴ sinB +sinC 的取值范围是(√32,1].12．【解析】(1) 由sin(C －A )＝1，－π<C －A <π，知C ＝A ＋π2.又 A ＋B ＋C ＝π ∴ 2A ＋B ＝π2，即2A ＝π2－B,0<A <π4.∴ cos2A ＝sin B ，即1－2sin 2A ＝13，sin A ＝33.(2) 由(1)得cos A ＝63.又 由正弦定理，得BC ＝AC sin Asin B＝3 2.∴ S △ABC ＝12·AC ·BC ·sin C ＝12AC ·BC ·cos A ＝3 2.2.1.1 数列的概念 一课一练一. 选择题1. 已知数列 31=-+n n a a ，则数列}{n a 是（ ）A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列2．已知a n ＝n (n ＋1)，以下四个数中，哪个是数列{a n }中的一项( )A ．18B ．21C ．25D ．303．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列 4．数列1，－3，5，－7，…，a n ，… 中的第n 项可以为( )A ．2n －1B ．(－1)n (1－2n )C ．(－1)n (2n －1)D ．(－1)n (2n ＋1)5．若数列的前4项分别为2,0,2,0，则这个数列的第n 项不可能是( )A ．1＋(－1)n ＋1 B ．1－cos n πC ．2sin 2n π2D ．1＋(－1)n －1＋(n －1)(n －2)6. 已知数列2，5，22，11，…，则25可能是这个数列的( )A ．第6项B ．第7项C ．第10项D ．第11项 二. 填空题7. 在横线上填上适当的数：8. 根据下列5个图形及相应点的个数n 的变化规律，试猜测个第6个图中有_______个点.9. 观察下面数列的特点，用适当的数填空：（1）－12×1，12×2，( )，12×4，－12×5；（2）12，－12，38，( )，532，( )；（3）3，8，15，（ ），35，48. 三. 解答题10．已知数列{a n }中，a n ＝nn ＋1，判断数列{a n }的增减性．一课一练一. 选择题 1.【答案】A 2．【答案】D【解析】依次令n (n ＋1)＝18,21,25和30检验．有正整数解的便是，知选D. 3．【答案】A 4．【答案】B【解析】当n ＝1时，a 1＝1排除C 、D ；当n ＝2时，a 2＝－3排除A ，故选B. 5．【答案】D 6.【答案】B【解析】该数列可改写为：2，5，8，11，可见每一项都含有根号．且被开方数后一项比前一项多3，又25＝20 ∴ 应是11后的第3项，即第7项，选B. 二. 填空题 7.【答案】24【解析】该数列可改写为：1×3，2×4，3×5，__________，5×7，6×8. 因而，该数列的一个通项公式为n(n +2)，因而第4项为4×6=24. 8.【答案】n 2−n +1【解析】第n 个图形有n 个分支，去掉最中间的一个点，每支有n -1个点，因而，第n 个图中点的个数为:n (n −1)+1=n 2−n +1.9.【答案】（1）−12×3 ；（2）−14 （3）24三. 解答题10．【解析】∵ a n ＝nn ＋1，a n ＋1＝n ＋1n ＋2∴ a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝(n+1)2−n(n+2)(n+2)(n+1)=1(n+2)(n+1).又n ∈N * ∴ n ＋2>0，n ＋1>0 ∴ 1(n+2)(n+1)>0 ∴ a n ＋1>a n . ∴ 数列{a n }是递增数列．2.1.2 数列的简单表示法一课一练一.选择题1．下面四个结论：① 数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3…，n })上的函数． ② 数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点． ③ 数列的项数是无限的．④ 数列通项的表示式是唯一的． 其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．②③D ．①②③④2．若数列的前4项分别为2,0,2,0，则这个数列的通项公式不能是( )A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1 B ．a n ＝1－cos n πC ．a n ＝2sin 2n π2D ．a n ＝1＋(－1)n －1＋(n －1)(n －2)3．函数f (x )满足f (1)＝1，f (n ＋1)＝f (n )＋3 (n ∈N *)，则f (n )是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定4．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n －1(n ∈N *)，则a 1000＝( )A ．1B ．1999C ．1000D ．－15．已知数列{a n }对任意的p 、q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( )A ．－165B ．－33C ．－30D ．－216．对任意的a 1∈(0,1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列满足a n ＋1>a n (n ∈N *)，则函数y ＝f (x ) 的图象是( )A ．图象AB ．图象BC ．图象CD ．图象D 二. 填空题7．数列8，88，888，8888，…，88 ⋯8⏞ 第n 项,共n 个8，…的通项公式为__________．8．已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2＋2a n1－a n，则a 6＝__________.9. 已知数列{a n }中，a 1＝1， a n ＋1＝－a n ，则a 2014=_________. 三.解答题10．写出下列数列的一个通项公式．(1) −12，15，−110，117，⋯ ；(2) 13，115，135，163，⋯ ；(3) 1，√22，12，√24，14⋯ .（4）1，1+3，1+3+5，1+3+5+7，⋯11. 已知数列 2，74，2，⋯ 的通项公式为a n =an 2+b cn.(1) 求这个数列的通项公式；(2) 判断6是不是这个数列中的项？12．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4.(1)求数列{a n }中有多少项是负数？(2)当n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．一课一练参考答案一. 选择题 1．【答案】A【解析】数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表示式可以不惟一．例如数列1,0，－1,0,1,0，－1,0…的通项可以是a n ＝sin n π2，也可以是a n ＝cos n ＋3π2等等．2．【答案】D【解析】当n ＝1时，D 不满足，故选D. 3．【答案】A【解析】∵ f (n ＋1)－f (n )＝3(n ∈N *) ∴ f (2)>f (1)，f (3)>f (2)，f (4)>f (3)，…，f (n ＋1)>f (n )，…， ∴ f (n )是递增数列．4．【答案】A【解析】a 1＝1，a 2＝2×1－1＝1，a 3＝2×1－1＝1，a 4＝2×1－1＝1，…，可知a n ＝1(n ∈N *)．5．【答案】C【解析】∵对任意p 、q ∈N *都有a p ＋q ＝a p ＋a q . ∴a 10＝a 8＋a 2＝a 4＋a 4＋a 2＝5a 2＝－30. 6．【答案】A【解析】据题意，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }，满足a n ＋1>a n ，即该函数y ＝f (x )的图象上任一点(x ，y )都满足y >x ，结合图象，只有A 满足，故选A.二. 填空题7．【答案】a n ＝89(10n －1)8．【答案】－143【解析】a n ＋1＝2＋2a n 1－a n ＝21－a n ，a 1＝－2，∴ a 2＝21－a 1＝23，a 3＝21－a 2＝6，a 4＝－25，a 5＝107，a 6＝－143.9.【答案】−1【解析】由题意a 1＝1，a 2＝－a 1＝－1，a 3＝－a 2＝1，a 4＝－a 3＝－1，……，a 2014=−1. 三. 解答题10．【解析】(1) 该数列可改写为−11+1，12+1，−13+1，14+1，⋯∴ 该数列的通项公式为 a n =(−1)n42+1(2) 该数列可改写为11×3，13×5，15×7，17×9，⋯∴ 该数列的通项公式为 a n =1(2n−1)(2n+1)=14n 2−1；(3) 该数列可改写为20，2−12，2−1，2−32，2−2，⋯∴ 该数列的通项公式为 a n =2−n−12.11.【解析】(1) ∵ 数列的前三项分别为2，74，2，且a n =an 2+b cn∴ { a+bc =24a+b2c =29a+b 3c=2，解得{a =1b =3c =2，∴ 这个数列的通项公式为 a n =n 2+32n(2) 令n 2+32n=6，整理得n 2−12n +3=0，解得n =6±√33，不是正整数∴ 6不是这个数列中的项.12．【解析】(1) 令a n ＝n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4，∵ n ∈N ＋ ∴ n ＝2，3∴ 数列{a n }中有两项是负数．(2) a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94，∴ 当n ＝2或3时，a n 取得最小值，最小值为－2.2.2.1.1 等差数列（一） 等差数列的概念与通项公式一课一练一．选择题1. 已知数列3,9,15，……，3(2n －1)，……那么81是它的第几项( )A ．12B ．13C ．14D ．152．若数列{a n }的通项公式为a n ＝－n ＋5，则此数列是( )A ．公差为－1的等差数列B ．公差为5的等差数列C ．首项为5的等差数列D ．公差为n 的等差数列 3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数是( )A ．92B ．47C ．46D ．454．若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1，d 2，则d 1d 2等于( ) A.32 B.23 C.43 D.345．等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( )A ．d > 875B ．d < 325 C.875 < d < 325 D.875 < d ≤ 3256．设等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 是( )A ．48B ．49C ．50D ．51 二．填空题7．一个直角三角形三边长a 、b 、c 成等差数列，面积为12，则它的周长为__________． 8．等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是________． 9. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 三． 解答题10．已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217.（1）求该数列的通项公式；（2）判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？11．若已知1，x ，y,10成等差数列，求x 、y 的值．12．某地区1997年底沙漠面积为9×105 hm 2. 地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化根据上表所给信息进行预测.(1) 如果不采取任何措施，到2010年年底，这个地区的沙漠面积将大约变成多少hm 2？ (2) 如果从2003年初开始，采取植树造林等措施，每年改造8000 hm 2沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将小于8×105hm 2.一课一练参考答案一．选择题 1.【答案】C【解析】a n ＝3(2n －1)＝6n －3，由6n －3＝81，得n ＝14. 2．【答案】A【解析】∵ a n ＝－n ＋5，∴ a n ＋1－a n ＝[－(n ＋1)＋5]－(－n ＋5)＝－1，∴ {a n }是公差d ＝－1的等差数列．3．【答案】C【解析】由条件a 1＝1，d ＝－1－1＝－2，∴ a n ＝1＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋3，由－89＝－2n ＋3得n ＝46.4．【答案】C【解析】由题意，得b ＝a ＋3d 1＝a ＋4d 2 ∴ d 1＝b －a 3，d 2＝b －a4，∴ d 1d 2＝b －a 3·4b －a ＝435．【答案】D【解析】由题意⎩⎨⎧a 10>1a 9≤1∴⎩⎨⎧125＋9d >1125＋8d ≤1 ∴875 < d ≤ 325.6．【答案】C【解析】a 1＝13，a 2＋a 5＝2a 1＋5d ＝23＋5d ＝4，∴ d ＝23，又a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋23(n －1)＝33，∴ n ＝50.二．填空题 7．【答案】12 2【解析】由条件知b 一定不是斜边，设c 为斜边，则⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c12ab ＝12a 2＋b 2＝c2，解得b ＝42，a ＝32，c ＝5 2 ∴ a ＋b ＋c ＝122．8．【答案】3【解析】设首项为a 1，公差为d ，由a 3＝7，a 11＝－1得，a 1＋2d ＝7，a 1＋10d ＝－1，所以a 1＝9，d ＝－1，则a 7＝3.9. 【答案】6766【解析】设此等差数列为{a n }，公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝33a 1＋21d ＝4，得⎩⎨⎧a 1＝1322d ＝766∴ a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.三． 解答题10．【解析】 （1）设首项为a 1，公差为d ，则由已知得{a 1+(15−1)d =33a 1+(61−1)d =217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23d ＝4∴ a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27（2）令 a n ＝153，即4n －27＝153，得n ＝45∈N *∴ 153是所给数列的第45项．11．【解析】由已知，x 是1和y 的等差中项，y 是x 和10的等差中项∴ 2x ＝1＋y ………… ① 2y ＝2x ＋10 ………… ② 由①、②解得x ＝4，y ＝7 ∴ x 、y 的值分别为4， 7.12．【解析】（1）从表中数据看，它们基本上是一个等差数列，公差 d 约为2000， ∴ 到2010年底，沙漠面积比原有面积的增加数为a 2010=a 2002+8d =0.26×105 又 原有沙漠面积9×105 hm 2 ∴ 如果不采取任何措施，到2010年底，这个地区的沙漠面积将大约变成9.26×105 hm 2 （2）设经过n 年，这个地区的沙漠面积将小于8×105hm 2.由(1)知，到2002年年底，该地区的沙漠面积为9.1×105又由题意，采取植树造林措施后，沙漠面积积仍成等差数列变化，且公差约为−6000 ，所以，经过n 年后，沙漠面积变为9.1×105+n ×(−6000)=9.1×105−0.06×105n令9.1×105−0.06×105n <8×105，得n >553又 n ∈N ∗，所以n 的最小值为19，所以到2021年年底，这个地区的沙漠面积将小于8×105hm 2.2.2.2 等差数列（二） 等差数列的基本性质一课一练一．选择题1． 等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于 ( )A ．3B ．－6 C ． 4D ．－3 2． 在等差数列{a n }中，已知a 4＝2，a 8＝14，则a 15等于 ( )A ．32B ．－32C ．35D ．－353．等差数列{a n }中，a 6＋a 9＝16，a 4＝1，则a 11＝( )A ．64B ．30C ．31D ．154．数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0且数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 4等于()A.12B.13C.14D.165．在a 和b 之间插入n 个数构成一个等差数列，则其公差为( )A.b －a nB.a －b n ＋1C.b －a n ＋1D.b －a n －16. 若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0和x 2－x ＋b ＝0(a ≠b )的4个根可组成首项为14的等差数列，则a ＋b 的值为( ) A.38 B.1124 C.1324 D.3172 二． 填空题7．在等差数列{a n }中，已知a m ＋n ＝A ，a m －n ＝B ，，则a m ＝__________. 8．在等差数列{a n }中，a 18＝95，a 32＝123，a n ＝199，则n ＝________. 9．在等差数列{a n }中，若a 3＝7，a 5＝a 2 + 6，则a 6 ＝________. 三． 解答题10．已知{a n }是递增数列，若a 2＋a 4＝16，a 1·a 5＝28，求通项a n ．11．已知三个数成等差数列，它们的和为9，它们的平方和为35，试求这三个数．12．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．一课一练参考答案一．选择题 1．【答案】B【解析】由等差数列的性质，得a 8－a 3＝(8－3)d ＝5d ，所以d ＝－20－105＝－6.2．【答案】C【解析】由a 8－a 4＝(8－4)d ＝4d ，得d ＝3，所以a 15＝a 8＋(15－8)d ＝14＋7×3＝35. 3．【答案】D【解析】解法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 6＋a 9＝16a 4＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋13d ＝16a 1＋3d ＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5d ＝2∴a 11＝a 1＋10d ＝15.解法二：∵6＋9＝4＋11，∴a 4＋a 11＝a 6＋a 9＝16，∴a 11＝15. 4．【答案】A【解析】令b n ＝1a n ＋1，则b 2＝1a 2＋1＝13，b 6＝1a 6＋1＝1，由条件知{b n }是等差数列，∴b 6－b 2＝(6－2)d ＝4d ＝23，∴d ＝16，∴b 4＝b 2＋2d ＝13＋2×16＝23，∵b 4＝1a 4＋1，∴a 4＝12.5．【答案】C【解析】∵a 1＝a ，a n ＋2＝b ∴公差d ＝a n ＋2－a 1n ＋2－1＝b －an ＋1.6.【答案】D【解析】 ∵ 两个方程中，每个方程的两个根的和都为1∴ 必有一个方程的根为14和34，不妨设方程x 2－x ＋a ＝0的根为 14 和 34，则 14为等差数列的首项，34为等差数列4项中的某一项，又 x 2－x ＋b ＝0的两根和为1，且两根为等差数列中的后3项中的两项，∴ 只有 34为第4项，才能满足中间两项之和为1的条件，∴ 四根的排列顺序为 14，512，712，34 ∴ a ＋b ＝14×34＋512×712＝3172.二． 填空题7．【答案】12(A ＋B )【解析】∵m －n ，m ，m ＋n 成等差数列，又{a n }是等差数列．∴a m －n ，a m ，a m ＋n 成等差数列，∴2a m ＝a m －n ＋a m ＋n ＝A ＋B ，∴a m ＝12(A ＋B )．8．【答案】70【解析】∵ a 32－a 18＝(32－18)d ＝123－95 ∴ d ＝2又a 18＝a 1＋17d ＝95 ∴ a 1＝61∴ a n ＝a 1＋(n －1)d ＝61＋2(n －1)＝199 ∴ n ＝70.9．【答案】13【解析】由a 5＝a 2 + 6 得3d ＝6 ，从而a 6 ＝a 3 +3d ＝13 三． 解答题10．【解析】∵a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝16，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 5＝16a 1·a 5＝28，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2a 5＝14或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14a 5＝2.又 等差数列{a n }是递增数列 ∴ a 1＝2，a 5＝14. ∴ d ＝a 5－a 15－1＝124＝3∴ a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3(n －1)＝3n －1. 11．【解析】设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，根据题意，得{(a −d )+a +(a +d )=9(a +d)2+a 2+(a −d)2=35，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3d ＝±2.∴这三个数为1,3,5或5,3,1. 【注】等差数列的常见设法(1) 若三个数成等差数列，可设为a －d ，a ，a ＋d ；(2) 若五个数成等差数列，可设为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ； (3) 若四个数成等差数列，可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .12．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．【解析】 设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题意得，(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94，即2a 2＋10d 2＝47…………①又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18，即8d 2＝18，解得d ＝±32，代入①得a ＝±72，∴ 所求四数为8，5，2，－1或1，－2，－5，－8或－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.。

2017-2018学年高中数学人教B版必修5课时作业：第三章

2017-2018学年高中数学人教B版必修5课时作业：第三章
其解集为{x|－2<x<3}．
11．你能用一根长为100 m的绳子围成一个面积大于600 m2的矩形吗？当长、宽分别为多少m时，所围成的矩形的面积最大？
解：设矩形一边的长为xm，则另一边的长为(50－x) m,0<x<50.由题意，得x(50－x)>600，即x2－50x＋600<0.解得20<x<30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形．
D．(－∞，－1)∪
解析：B＝{x|(2x－1)(x＋1)>0}＝ ，
所以A∩B＝ ，即 .
答案：B
3．不等式 ≥0的解集是()
A．[－1，＋∞)
B．(－1,1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1]∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析：原不等式等价于(x＋1)(x－1)≥0，且x－1≠0，解得x>1或x≤－1.
课时作业(十八)一元二次不等式及其解法
A组
(限时：10分钟)
1．不等式－x2－5x＋6≤0的解集为()
A．{x|x≥6或x≤－1}
B．{x|－1≤x≤6}
C．{x|－6≤x≤1}
D．{x|x≤－6或x≥1}
解析：由－x2－5x＋6≤0得x2＋5x－6≥0，即(x＋6)(x－1)≥0，
∴x≥1或x≤－6.
解析：∵函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝
∴原不等式等价于 或
由此可解得x>5或－5<x<0.
故应填(－5,0)∪(5，＋∞)．
答案：(－5,0)∪(5，＋∞)
9．已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．

人教版高中数学必修五课时作业18：滚动训练(二)

人教版高中数学必修五课时作业18：滚动训练(二)

滚动训练(二)一、选择题1.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝2，b ＝2，A ＝45°，则B 等于( )A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120° 考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形答案 A解析 由正弦定理可得a sin A ＝b sin B ，sin B ＝b sin A a ＝2×222＝12.又因为a ＝2，b ＝2，a >b ，所以A >B ，所以B ＝30°，故选A.2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A.a ＝2bB.b ＝2aC.A ＝2BD.B ＝2A考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合题点 正弦、余弦定理与三角变换的综合答案 A解析 ∵等式右边＝sin A cos C ＋(sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B ，等式左边＝sin B ＋2sin B cos C ，∴sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B .由cos C ＞0，得sin A ＝2sin B .根据正弦定理，得a ＝2b .故选A.3.数列{a n }中，a n ＝n ＋(－1)n ，则a 4＋a 5等于( )A.7B.8C.9D.10考点 数列的通项公式题点 已知通项公式求项或项数答案 C解析 因为a n ＝n ＋(－1)n ，所以a 4＝4＋(－1)4＝5，a 5＝5＋(－1)5＝4，所以a 4＋a 5＝9.故选C.4.600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的( )A.第20项B.第24项C.第25项D.第30项考点 数列的通项公式题点 判断某数是否为数列的项答案 B解析 由数列1×2,2×3,3×4,4×5，…可得通项公式为a n ＝n (n ＋1)，令n (n ＋1)＝600，求得n ＝24，故选B.5.已知{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9的值是A.24B.27C.30D.33考点 等差数列的性质题点 两个等差数列的性质问题答案 D解析 根据等差数列的性质可知a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9也成等差数列， 故a 3＋a 6＋a 9＝2×39－45＝33.故选D.6.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n为整数的正整数n 的个数是( )A.2B.3C.4D.5考点 等差数列的前n 项和性质运用题点 通项公式的综合应用答案 D解析 ∵a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1为正整数，∴n ＝1,2,3,5,11. 7.等差数列{a n }中，已知a 1＝－6，a n ＝0，公差d ∈N *，则n (n ≥3)的最大值为( )A.5B.6C.7D.8考点 等差数列的通项公式题点 通项公式的综合应用答案 C解析 由a n ＝a 1＋(n －1)d ，得－6＋(n －1)d ＝0，n ＝6d＋1，因为d ∈N *，所以当d ＝1时，n 取最大值7.故选C.二、填空题8.已知△ABC 的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径为________. 考点 用余弦定理解三角形题点 已知三边解三角形答案 733解析 由已知a ＝3，b ＝5，c ＝7，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， ∴sin C ＝32，∴R ＝c 2sin C ＝733. 9.数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________. 考点 数列的递推公式题点 由递推公式求项答案 12解析 由a n ＋1＝11－a n ，可得a n ＝1－1a n ＋1， 又a 8＝2，故a 7＝12，…依次下去得a 1＝12. 10.在等差数列{a n }中，已知a m ＋n ＝A ，a m －n ＝B ，m ，n ∈N *，且m >n ，则a m ＝________. 考点 等差中项题点 等差中项及其应用 答案 A ＋B 2解析 因为a m ＋n 与a m －n 的等差中项是a m ，所以a m ＝A ＋B 2. 11.已知数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n (2n －1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝________. 考点 数列前n 项和的求法题点 并项求和法答案 10解析 观察可知a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝2，…，a 9＋a 10＝2，故a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝10.三、解答题12.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B 2. (1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合题点 正弦、余弦定理与三角变换的综合解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B 2， 故sin B ＝4(1－cos B ).上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)或cos B ＝1517. 故cos B ＝1517. (2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac . 又S △ABC ＝2，则ac ＝172. 由余弦定理及a ＋c ＝6，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.13.设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，求{a n }的通项公式. 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 公式求a n解 因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1 ＝2(n －1).两式相减得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1(n ≥2) .又由题设可得a 1＝2，符合a n ＝22n －1， 从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1，n ∈N *. 四、探究与拓展14.设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( )A.d >0B.d <0C.a 1d >0D.a 1d <0 考点 等差数列综合题点 数列与不等式综合答案 D解析 由数列{2a 1a n }为递减数列，得2a 1a n <2a 1a n －1， 再由指数函数性质得a 1a n －1>a 1a n ，由等差数列的公差为d 知，a n －a n －1＝d ， 所以a 1a n －1>a 1a n ⇒a 1a n －a 1a n －1<0⇒a 1(a n －a n －1)<0⇒a 1d <0.15.已知等差数列{a n }的公差d >0，设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 考点 等差数列前n 项和题点 等差数列前n 项和有关的基本量计算问题 解 (1)由题意知，(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 解得d ＝2或d ＝－5(舍去).所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ＋n (n －1)＝n 2. (2)由(1)知，a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65，由m ，k ∈N *知，2m ＋k －1≥k ＋1>1， 故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4.。

高中数学课时作业必修5

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目录第一章 解三角形1．1正弦定理和余弦定理……………………………………………………1 课时1 正弦定理(1)…………………………………………………………1 课时2 正弦定理(2)…………………………………………………………3 课时3 余弦定理(1)…………………………………………………………5 课时4 余弦定理(2)…………………………………………………………7 1．2应用举例…………………………………………………………………9 课时5 正弦定理、余弦定理的综合运用…………………………………9 课时6 正弦定理、余弦定理的应用（测量距离、高度问题）…………11 课时7 正弦定理、余弦定理的应用（测量角度问题）…………………13 第二章 数列2．1 数列的概念与简单表示法……………………………………………15 课时1 数列的概念与简单表示法…………………………………………15 2．2等差数列…………………………………………………………………17 课时2 等差数列的概念与通项公式(1)……………………………………17 课时3 等差数列的概念与通项公式(2)……………………………………19 2． 3 等差数列的前n 项和…………………………………………………21 课时4 等差数列的前n 项和………………………………………………21 课时5 习题课(1)……………………………………………………………23 2．4等比数列…………………………………………………………………25 课时6 等比数列的概念与通项公式(1)……………………………………25 课时7 等比数列的概念与通项公式(2)……………………………………27 2． 5 等比数列的前n 项和…………………………………………………29 课时8 等比数列的前n 项和………………………………………………29 课时9 一般数列求通项……………………………………………………31 课时10 一般数列求和……………………………………………………33 课时11 习题课(2)…………………………………………………………35 第三章 不等式3．1 不等关系与不等式............................................................37 课时1 不等关系与不等式.........................................................37 3．2 一元二次不等式及其解法...................................................39 课时2 一元二次不等式及其解法(1).............................................39 课时3 一元二次不等式及其解法(2).............................................41 3． 3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题........................43 课时4二元一次不等式（组）表示的平面区域..............................43 课时5 简单的线性规划问题......................................................45 课时6 习题课(1) (47)3． 42a b…………………………………………49 课时7 基本不等式的证明………………………………………………49 课时8 基本不等式的应用………………………………………………51 课时9 习题课(2)…………………………………………………………53 附：第一章检测卷第二章检测卷 第三章检测卷 模块检测卷(1) 模块检测卷(2) 参考答案与点拨第一章 三角形1．1正弦定理和余弦定理课时1 正弦定理(1)1．在△ABC 中，已知a=8, ∠B=60°,∠C= 75°，则b 等于 ( )A ．B ．C ．．3232．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c ，若，∠B=45°，则∠A 等于 ( )A ． 30°B ． 30°或105°C ． 60°D ． 60°或120°3．（2008·北京）已知△ABC 中，，B=60°，那么∠A 等于 ( )A ． 135° B． 90° C． 45° D． 30°4．（2009·广东）已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若A=75°，则b= ( )A ．2B ．．5．在△ABC 中，若b=12，∠A=30°，∠B=120°，则a= ．6．已知△ABC 中，若a=2，，∠A=45°，则∠B= ．7．（2009·山东改编）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，已知，则∠C= ．8．（2008·陕西）△ABC 的内角∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．若，，∠B=120°，则a=9．已知△ABC 中，a=50，B=45°，C=105°，求b ．10．△ABC 中，，b=2，∠A=60°，求∠B ．11．（2009·四川）在△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且求A+B 的值； (2)若-1，求a 、b 、c 的值．12．在△ABC 中，tanA=14，tanB=35． (1)求∠C 的大小． (2)若AB BC 边的长．13．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若m =(b ，3a)，n =（c ，b)，且m ∥n ，∠C-∠A=2，求∠B ．14．（2008·全国Ⅱ）在△ABC 中，cosB=-513，cosC=45． (1)求sinA 的值． (2)设△ABC 的面积S △ABC=332，求BC 的长，课时2 正弦定理(2)1．若sin A a =cos B b =cos Cc，则△ABC 是 ( ) A ．等边三角形 B ．有一个内角是30°的直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．有一个内角是30°的等腰三角形 2．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 ( )A ．b=10,A=45°，∠C=75°B ．a=60,b=48，∠C=60°C ．a=7,b=5, ∠A=80°D ．a=14,b=16, ∠A=45°3．已知△ABC 中，a=x ，b=2，∠B=45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是 ( )A ．x>2B ．x<2C ．2<x<D ．2<x<4．（2008·四川）△ABC 的三内角∠A 、∠B 、∠C 的对边边长分别为a 、b 、c ．若，∠A=2∠B ．则cosB= ( )A ．5．在△ABC 中，，cosC=13，S △ABC b=____．6．（2009．湖南）在锐角△ABC 中，BC=1, ∠B=2∠A ，则cos AC A 的值等于____，AC 的取值范围为____．7．在△ABC 中，已知a 2tanB=b 2tanA ，则△ABC 为____ 三角形．8．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一条件模糊不清，具体如下：“在△ABC 中，角∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知，∠B=4π，_ ___，求∠A ．”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示∠A=6π，试在横线上将条件补充完整．9．在△ABC 中，已知B=45°，求∠A 、∠C 及c ．10．在△ABC 中，若∠B=30°，AC=2，求△ABC 的面积．11．（2009·全国Ⅱ）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,cos(A-C)+cosB=32，b 2=ac ，求∠B ．12．在△ABC 中，2∠A=∠B+∠C,b 2=ac ，求sin b B c的值．13．已知△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 对应的边是a 、b 、c ，∠A=2∠ (1)求sinC 的值． (2)若∠A 的内角平分线AD 的长为2，求b 的值．14．在锐角△ABC 中，若∠B=2∠A ，求b a 的取值范围，课时3 余弦定理(1)1．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若2222c a b ab-->0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形2．在△ABC 中，a ：b ：c=1：2，则∠A ：∠B ：∠C 的值为 ( )A ． 1: 2:3B ．2:3:1C ．1:3:2D ．3:1:23．（2008·福建）在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2+c 2-b 2ac ，则∠B 的值为( )A ．6πB ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π4．在△ABC 中，若a=2bcosC ，则△ABC 的形状为 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰或直角三角形5．（2008·重庆改编）在△ABC 中，∠A=60°，c=3b ，则a c ____．6．在△ABC 中，sinA ：sinB ：sinC=3：5：7，则最大角等于____．7．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ．若a=1，，，则∠B=____．8．在△ABC 中，c=3，∠B=30°，则边a 等于____．9．在△ABC 中，∠B=30°，AC ．10．设锐角三角形ABC 的内角∠A 、∠B 、∠C 的对边a 、b 、c ，a=2bsinA ． (1)求∠B 的大小． (2)若c=5，求b 。

高中数学人教版必修课时作业：作业5

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答案 －4 19
解析 由 f(x＋1)＝x(x＋3)＝(x＋1)2＋(x＋1)－2，得 f(x)＝x2＋x－2＝(x＋2)2－ 4，所以 f(x) 9
的最小值是－4. 13.求函数 y＝x2－12x＋20 当自变量 x 在下列范围内取值时的最值，并求此函数取最值时的
x 值，
(1)x∈R； (2)x∈[1，8]； (3)x∈[－1，1].
解析 (1)y＝(x－6)2－16，显然对称轴 x＝6，故 ymin＝－16，无最大值. (2)当 x＝6 时，ymin＝－16.当 x＝1 时，ymax＝9.
2
(3)当 x＝1 时，ymin＝9.当 x＝－1 时，ymax＝33. 14.求函数 y＝|x＋1|＋ （x－2）2的最小值.
答案 3
解析 将原函数 y＝|x＋1|＋ （x－2）2化为
课时作业(十五)
1.函数 y＝ax＋1(a<0)在区间[0，2]上的最大值、最小值分别是( )
A.1，2a＋1
B.2a＋1，1
C.1＋a，1
D.1，1＋a
答案 A
2.函数 y＝－x2＋2x－1 在[0，3]上的最小值为( )
A.0
B.－4
C.－1
D.以上都不对
答案 B
3.函数 f(x)＝x2＋3x＋2 在区间(－5，5)上的最大值、最小值分别为( )
{ ) －2x＋1
y＝ 3
（（x －≤ － 1＜1）x ≤，2），
2x－1 （x＞2）.
由函数的图像知 y 的最小值为 3.
►重点班·选做题
15.求函数 y＝x＋x 1(－4≤x≤－2)的最大值和最小值.
解析 方法一：设－4≤x1<x2≤－2，
x1－x2
∵f(x1)－f(x2)＝
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课时作业(十八)1．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．33B ．72C ．84D ．189答案 C2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝( )A ．2B ．4 C.172 D.152答案 D3．设公比为q (q ≠1)的等比数列{an }的前n 项和为Sn ，且Sn ＝q n ＋k ，那么k 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－1 答案 D 解析 Sn ＝a－q n 1－q ＝a 11－q －a 11－qq n＝A －A ·q n .4．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n ) 答案 C解析 考查的是等比数列的性质，令b n ＝a n a n ＋1＝16·(12)2n －1也是等比数列．5．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29答案 C解析 设数列{a n }的公比为q ，a 2·a 3＝a 21·q 3＝a 1·a 4＝2a 1⇒a 4＝2，a 4＋2a 7＝a 4＋2a 4q 3＝2＋4q 3＝2×54⇒q ＝12.故a 1＝a 4q 3＝16，S 5＝a 1－q 51－q＝31.6．在等比数列{an }中，已知a 1＋a 2＋…＋an ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2B.13(2n－1)2 C ．4n－1 D.13(4n－1) 答案 D解析 ∵Sn ＝2n －1，∴a 1＝1，q ＝2. ∴{a 2n }也成等比数列．a 21＝1，公比为4. ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝n－4－1＝13·(4n －1)． 7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________.答案 73解析 设数列{a n }的公比为q ，则S 6S 3＝1－q 61－q 3＝＋q 3－q 31－q 3＝1＋q 3＝3，所以q 3＝2.S 9S 6＝1－q 91－q 6＝1－231－22＝73.另解 ∵{a n }为等比数列， ∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比， 即(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)．又S 6S 3＝3，S 63＝S 3代入上式， 得49S 26＝S 63·(S 9－S 6)及S 9S 6＝73. 8．在数列{an }和{bn }中，a 1＝2，且对任意正整数n,3an ＋1－an ＝0，bn 是an 与an ＋1的等差中项，则{bn }的前n 项和为__________．答案 2－23n解析 {an }成等比数列a 1＝2，公比q ＝13.an ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.∴bn ＝an ＋an ＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝43·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1. ∴{bn }的前n 项和为 43·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－13n ＝2－23n .9．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．答案 13解析 由题意得2(2S 2)＝S 1＋3S 3，即4S 2＝S 1＋3S 3，很明显公比q ≠1，则4a 1－q 21－q ＝a 1＋3a 1－q 31－q ，解得q ＝13.10．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{an }是公比为q 的无穷等比数列，下列{an }的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第________组．(写出所有符合要求的组号)①S 1与S 2；②a 2与S 3；③a 1与an ；④q 与an . 其中n 为大于1的整数，Sn 为{an }的前n 项和． 答案 ①④解析 ②不能唯一．．确定 ③需对n 讨论． 11．(2013·陕西)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明：数列{a n ＋1}不是等比数列． 解析 (1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②，得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n .∴S n ＝a 1－q n1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－q n1－q，q ≠1.(2)证明 假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．12．已知数列{a n }是公差为2，首项a 1＝1的等差数列，求数列{2a n }的前n 项和S n .分析 先证明数列{2a n }是等比数列．解析 由题意得a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 则2a n ＝22n －1，所以2a n ＋12a n ＝2n ＋－122n －1＝4.所以数列{2a n }是首项为2a 1＝2，公比为4的等比数列． 所以S n ＝－4n 1－4＝23×4n－23.13．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n .已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．分析 列方程求出首项和公比． 解析 由题设知a 1≠0，S n ＝a 1－q n1－q，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2，a 1－q 41－q ＝5×a 1－q 21－q，q <1，解得a 1＝2，q ＝－1或a 1＝12，q ＝－2.则通项公式为a n ＝2×(－1)n －1或a n ＝12×(－2)n －1.14．已知{an }为等差数列，公差d ≠0，{an }中的部分项组成的数列ak 1，ak 2，…，akn ，…恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17.(1)求kn ；(2)求证：k 1＋k 2＋…＋kn ＝3n －n －1.解析 (1)由题设知：ak 1，ak 2，ak 3即为a 1，a 5，a 17成等比数列，则a 25＝a 1·a 17，即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )．∵d ≠0，∴a 1＝2d .公比q ＝a 5a 1＝a 1＋4da 1＝3.∴akn ＝ak 1·q n －1＝a 1·3n －1.又akn ＝a 1＋(kn －1)d ＝a 1＋(kn －1)·a 12，∴a 1＋(kn －1)·a 12＝a 1·3n －1.∵a 1≠0，∴kn ＝2×3n －1－1.(2)证明 k 1＋k 2＋…＋kn ＝2×(30＋31＋32＋…＋3n －1)－n ＝2×3n －13－1－n＝3n －n －1.1．已知数列{a n }成等比数列，且a n >0. (1)若a 2－a 1＝8，a 3＝m .①当m ＝48时，求数列{a n }的通项公式； ②若数列{a n }是唯一的，求m 的值．(2)若a 2k ＋a 2k －1＋…＋a k ＋1－(a k ＋a k －1＋…＋a 1)＝8，k ∈N *，求a 2k ＋1＋a 2k ＋2＋…＋a 3k 的最小值．解析 设公比为q ，则由题意，得q >0.(1)①由a 2－a 1＝8，a 3＝m ＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －a 1＝8，a 1q 2＝48. 解之，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，q ＝3＋3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝＋3，q ＝3－ 3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝8(2－3)(3＋3)n －1，或a n ＝8(2＋3)(3－3)n －1.②要使满足条件的数列{a n }是唯一的，即关于a 1与q 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －a 1＝8，a 1q 2＝m有唯一正数解，即方程8q 2－mq ＋m ＝0有唯一解．由Δ＝m 2－32m ＝0，a 3＝m >0，所以m ＝32，此时q ＝2. (2)由a 2k ＋a 2k －1＋…＋a k ＋1－(a k ＋a k －1＋…＋a 1)＝8， 得a 1(q k －1)(q k －1＋q k －2＋…＋1)＝8，且q >1.a 2k ＋1＋a 2k ＋2＋...＋a 3k ＝a 1q 2k (q k －1＋q k －2＋ (1)＝8q 2k q k －1＝8(q k－1＋1q k －1＋2)≥32， 当且仅当q k－1＝1q k －1，即q ＝k 2，a 1＝8(k2－1)时，a 2k ＋1＋a 2k ＋2＋…＋a 3k 的最小值为32.。

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