2016年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案
x2 y2 2 2 1 b 联立 2b ，消 y 可得： 3x 2 4 3x 6 2b2 0 ，………………..…….……2 分 x y 3 0
根据题意， 48 12 (6 2b2 ) 0 ，解得： b2 1 ，………………………..…….……3 分 所以，椭圆 E 的方程为：
第Ⅰ卷
一．选择题 （1） B （2） D （3） D （4） C （5） C （6） D （7） B （8） D （9） A （10）B （11）A（12）A 二．填空题： （13）
4 3
（14） 24
（15）
4 5
（16） [ , +¥)
9 2
三．解答题： （17） （本小题满分 12 分） 如图，在 ABC 中， C =60 ， D 是 BC 上一点， AB 31 ， BD 20 ， AD 21 ． （Ⅰ）求 cos B 的值； （Ⅱ）求 sin BAC 的值和 BC 边的长．
AP (0,1,1) ， PC ( 3,0, 1) ， DC (0, 2,0) ………………………………………8 分
设平面 APC 的一个法向量为 n1 ( x1 , y1 , z1 ) ，平面 PCD 的一个法向量为 n2 ( x2 , y2 , z2 ) ，则
3 ， 2
3 x , 10 10 2 联立 2 ，解得 y ，所以 | AB | ， x 4 2 y 2 1, 2
所以， SABO
1 30 ；…………………………………………………………………...……6 分 | AB | d 2 8
（II）当直线 l 与 y 轴不平行，设直线 l 的方程为 y kx m ， A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ， 所以 d
Ｄ
x
以 O 为坐标原点，分别以 OC ， OB ， OP 所在直线为 x ， y ， z 轴建立如图所示空间直角坐标系
O xyz ，
………………………………………7 分
则 O(0,0,0) ， A(0, 1,0) ， P(0, 0,1) ， B(0,1, 0) ， C ( 3, 0, 0) ， D( 3, 2,0) ，
CO AB ， OC 3 ，
∵ AP BP ，
理科数学试题第 3 页（共 12 页）
z
∴ PO
P
1 AB 1 2
A
2 2 2 2 2
而 PC 2 ， ∴ OP OC 1 ( 3) 2 PC
2
B
O
C
y
∴ CO PO ， ∴ CO 平面 PAB ， ∵ CO 平面 ABCD ， 平面 PAB 平面 ABCD .…………………………………………………6 分 （Ⅱ）∵ OP2 OA2 12 11 22 PA2 ， ∴ PO AO ， 由（Ⅰ）可知平面 PAB 平面 ABCD ， ∴ PO 平面 ABCD ， ∴直线 OC ， OB ， OP 两两垂直.
2
y 2 3 截得的弦长为 3 ，且与椭圆 E 交于 A 、 B 两点，求 ABO 面
x2 y 2 a 2 b2 2 2 2 ，解得 ，故 方程可化为： 1， E a 2b 2b2 b2 a 2
…………………………………………………………………………………………………………………….……1 分
∴ 则
|1 3 3 3 | 2 7 ， 7 7 12
所以，二面角 A PC D 的余弦值为
2 7 ……………………………………….………………….12 分 7
［命题意图］考查线线垂直、线面垂直、面面垂直，利用空间向量进行空间角的计算，考查空间想 象、推理论证与运算求解的能力。 （20） （本小题满分 12 分）
23 25 27 29 31 33 35
将河流水位在以上 6 段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响． （Ⅰ）求未来三年，至多 有 1 年河流水位 X [27,31) 的概率（结果用分数表示） ； ．． （Ⅱ）该河流对沿河 A 企业影响如下：当 X [23, 27) 时，不会造成影响；当 X [27,31) 时，损失
［命题意图］本题考查同角三角函数的关系式，和角公式，正余弦定理解三角形等知识，考查学生 的运算求解能力。 （18） （本小题满分 12 分） 根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位 X （单位：米）的频率分布直方图如下:
频率 组距
0.220
0.150
0.075 0.050 0.0025
水位（米）
1 12 3 23 3 35 3 . 2 31 31 2 62
在 ABC 中，根据正弦定理，有 …………………………………8 分
BC AB ， sin BAC sin C
∴ BC
AB sin BAC sin C
31
25 3 62 35 ． 3 2
…………………………………12 分
因为， 4k 2 m2 4(k 2 )(m2 1) 4k 2 2m2 2
1 2
5k 2 1 0， 2 2
2km x1 x2 2 1 k 2 所以， ， ② 2 x x m 1 1 2 1 k2 2
法一：
5 1 (1 k 2 )( k 2 ) 2 2 2 | AB | 1 6 k2 2
1 (3 3k 2 ) (5k 2 1) (3 3k 2 ) (5k 2 1) 2 2 2 2k 2 1 2k 1 6
理科数学试题第 1 页（共 12 页）
sin B 1 cos 2 B 1 (
23 2 12 3 ) 31 31
…………………………………6 分
sin BAC sin 180 (B 60)
sin(B 60)
sin B cos60 cos B sin 60
………………………………………………….................……8 分
因为， | AB | 1 k 2 | x1 x2 | 1 k 2 ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 ，
5 1 (1 k 2 )( k 2 ) 2 2 ，…………………………………………………...9 分 代入②式整理可得： | AB | 1 k2 2
X 2 分布列如下: X2
2000 62000
0.99 0.01 P 所以， E ( X 2 ) 62000 0.01 2000 0.99 2600 ，………………………9 分
X 3 分布列如下: X3
P
0 0.74 10000 0.25 60000 0.01
所以， E ( X 3 ) 60000 0.01 10000 0.25 3100 ，………………………11 分 因为采取方案 2 的平均损失最小,所以采取方案 2 较好．………………………12 分 ［命题意图］ 考查频率分布直方图， 独立重复实验的概率、 分布列和期望， 考查学生读取统计图表， 利用统计量进行决策的能力和意识。 （19） （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， ABC 60 ， PA PB ， PC 2 ． （Ⅰ）求证：平面 PAB 平面 ABCD ； （Ⅱ）若 PA PB ，求二面角 A PC D 的余弦值． ［解析］ （Ⅰ）取 AB 中点 O ，连结 AC 、 CO 、 PO ，……………………….1 分 ∵四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形， AB BC 2 ， ABC 60 ， ∴ ABC 是等边三角形，
|m| 1 k
2
，即 m
2
3 2 (k 1) ，…①…………………………………………………...……7 分 4
y kx m , 1 2 2 2 联立 x 2 消 y 可得： (k ) x 2kmx m 1 0 ， 2 2 y 1, 2
理科数学试题第 5 页（共 12 页）
10000 元；当 X [31,35] 时，损失 60000 元. 为减少损失，现有 3 种应对方案：
方案 1 ：防御 35 米的最高水位，需要工程费用 3800 元； 方案 2 ：防御不超过 31 米的水位，需要工程费用 2000 元；
理科数学试题第 2 页（共 12 页）
方案 3 ：不采取措施. 试比较哪种方案较好,并请说明理由. 解:（Ⅰ）由二项分布得，在未来 3 年，至多 有 1 年河流水位 X [27,31) 的概率为： ．．
27 0 3 3 1 3 2 1 P = C3 ( ) + C3 ( ) × = ．…………………………………………….3 分 4 4 4 32 27 所以，在未来 3 年，至多 有 1 年河流水位 X [27,31) 的概率为 ．． 32 ．…………4 分
（Ⅱ）由题意知
P(23 £ X < 27) = 0.74 ，……………………………………………………5 分 P(27 £ X < 31) = 0.25 ，……………………………………………………6 分 P(31 £ X £ 35) = 0.01，……………………………………………………7 分 用 X 1 , X 2 , X 3 分别表示采取采取方案 1 , 2 , 3 的损失.由题知 X1 3800,
A
D
C
解： （Ⅰ）在 ABD 中， AB 31 ， BD 20 ， AD 21 ， 根据余弦定理，有
cos B
AB 2 BD 2 AD 2 312 202 212 23 .…………………………………4 分 2 AB BD 2 31 20 31
广东省深圳市高三数学下学期第一次调研考试试题 理
2016年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合{})3)(1(|+-==x x y x A ，{}1log |2≤=x x B ，则=B A （ ）A ．{}13|≤≤-x x B ．{}10|≤<x x C ．{}23|≤≤-x x D ．{}2|≤x x 2．设i 为虚数单位，复数z 满足i i z 43+=⋅，则z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知平面向量a 、b2=1=，a 与b 的夹角为︒120，且()()b a b a -⊥+2λ，则实数λ的值为（ ）A ．7-B ．3-C ．2D ．34．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+0033022x y x y x ，则y x z -=的最小值为（ ）A ．3-B ．1C ．2-D ．25．公差为1的等差数列{}n a 中，631,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．65 B ．80 C ．85 D ．170 6．若函数)2)(2sin(2)(πϕϕ<+=x x f 的图像过点)1,6(π，则该函数图像的一条对称轴方程是（ ） A ．12π=x B ．125π=x C ．6π=x D ．3π=x7．62)1)(2(xx x -+的展开式中常数项为（ ） A ．40- B ．25- C ．25 D ．558．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图， 则在该几何体中，最长的棱的长度是（ ）A ．24B ．52C ．6D ．34 9．4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中 的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（ ） A ．94 B ．274 C ．649 D ．64310．点S 、A 、B 、C 在半径为2的同一球面上，点S 到平面ABC 的距离为21，3===CA BC AB ，则点S 与ABC ∆中心的距离为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．21 11．过点)2,0(b 的直线l 与双曲线)0,(1:2222>=-b a by a x C 的一条斜率为正值的渐进线平行，若双曲线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，则双曲线C 的离心率为取值范围是（ ）A ．(]2,1B ．()+∞,2C ．()2,1D ．()2,1 12．函数x ax x x f +-=2ln )(有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,0 B ．()1,∞- C ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞-21,e e D ．⎪⎭⎫⎝⎛+21,0e e二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．已知)(x f ，)(x g 分别是定义域为R 的奇函数和偶函数，且x x g x f 3)()(=+，则)1(f 的值为______14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利 用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值14.3，这 就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程 序框图，则输出的值为_______（参考数据：2588.015sin =︒，1305.05.7sin =︒）15．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线 交于B A ,两点，若弦AB 的垂直平分线经过点)2,0(，则p 等于_______16．数列{}n a 满足)2(,2,211212≥⎪⎩⎪⎨⎧≥<=---n na a na n a n n n n ，若{}n a 为等比数列，则1a 的取值范围是_______三．解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，︒=∠60C ，D 是BC 上一点，31=AB ，20=BD ，21=AD（1）求B ∠cos 的值；（2）求BAC ∠sin 的值和边BC 的长18．（本小题满分12分）根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X （单位：米）的频率分布直方图如下：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响（1）求未来三年，至多有1年河流水位)31,27[∈X 的概率（结果用分数表示）； （2）该河流对沿河A 企业影响如下：当)27,23[∈X 时，不会造成影响；当)31,27[∈X 时，损失10000元；当)35,31[∈X 时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案： 方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元； 方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元； 方案三：不采取措施；试比较哪种方案较好，并请说理由19．（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60ABC ，PB PA ⊥，2=PC（1）求证：平面⊥PAB 平面ABCD ；（2）若PB PA =，求二面角D PC A --的余弦值20．（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的离心率为22，直线03=++y x 与椭圆E 仅有一个公共点（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 被圆3:22=+y x O 截得的弦长为3，且与椭圆E 交于B A ,两点，求ABO ∆面积的最大值21．（本小题满分12分）已知函数x e x x f )1()(+=和函数2)1)(()(--=x a e x g x （e 为自然对数的底数） （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）判断函数)(x g 的极值点的个数，并说明理由； （3）若函数)(x g 存在极值为22a ，求a 的值请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在直角ABC ∆中，BC AB ⊥，D 为BC 边上异于C B ,的一点，以AB 为直径作圆O ，并分别交AD AC ,于点F E ,（1）证明：D F E C ,,,四点共圆；（2）若D 为BC 的中点，且3=AF ，1=FD ，求AE 的长23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos t y t x （t 为参数，πα<<0），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 1-=p（0>p ）（1）写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求OBOA 11+的值 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数3)(-++=x a x x f （R a ∈） （1）当1=a 时，求不等式8)(+≥x x f 的解集； （2）若函数)(x f 的最小值为5，求a 的值。
深圳市高三数学第一次调研考试(理)试题(扫描版含答案)
2009年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．二、填空题：本大题每小题5分(第12题前空2分，后空3分)，满分30分．9．20=n ． 10．25-． 11． 10<<a ． 12． 1；1．13．21<≤b ． 14．15 ． 15．24-≤≥a a 或．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数x x x x x f cos sin 2)cos (sin 3)(22--=．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）设[,]33x ππ∈-，求()f x 的值域和单调递增区间．【解】（Ⅰ）∵xx x x x f cos sin 2)sin (cos 3)(22---=…………………… 3分)(x f ∴的最小正周期为π． ………………… 5分（Ⅱ）∵[,]33x ππ∈-， 233x πππ∴-≤+≤， ． )(x f ∴的值域为]3,2[-． ……………… 10分当)32sin(π+=x y 递减时，()f x 递增． πππ≤+≤∴322x ，即312ππ≤≤x ． 故()f x 的递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,12ππ． ……………………12分 17．（本小题满分12分）如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，EF AB //，矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直．已知2=AB ,1=EF ．（Ⅰ）求证：平面⊥DAF 平面CBF ；（Ⅱ）求直线AB 与平面CBF 所成角的大小；(Ⅲ)当AD 的长为何值时，二面角B FE D --的大小为 60【解】（Ⅰ）证明： 平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥,平面 ABCD 平面ABEF =AB ， ⊥∴CB 平面ABEF ．⊂AF 平面ABEF ，CB AF ⊥∴，又AB 为圆O 的直径，BF AF ⊥∴，⊥∴AF 平面CBF ．⊂AF 平面A D ，∴平面⊥D A F 平面C B ．………………………4分 （Ⅱ）根据（Ⅰ）的证明，有⊥AF 平面CBF ，∴FB 为AB 在平面CBF 上的射影，因此，ABF ∠为直线AB 与平面C B 所成的角． ………………………5分EF AB // ，∴四边形ABEF 为等腰梯形，过点F 作AB FH ⊥，交AB 于H ． 2=AB ,1=EF ，则212=-=EF AB AH ． 在AFB Rt ∆中，根据射影定理AB AH AF ⋅=2，得1=AF ． ………………………7分21sin ==∠AB AF ABF ， 30=∠∴ABF ． ∴直线AB 与平面CBF 所成角的大小为30． ………………………8分(Ⅲ)（解法一）过点A 作EF AM ⊥，交EF 的延长线于点M ，连DM ．根据（Ⅰ）的证明，⊥DA 平面ABEF ，则EF DM ⊥，DMA ∠∴为二面角B FE D --的平面角， 60=∠DMA ． …………………9分在AFH Rt ∆中，21=AH ，1=AF ,23=∴FH ． ………………… 10分 又 四边形AMFH 为矩形， 23==∴FH MA ． 23323tan =⋅=∠⋅=∴DMA MA AD ． 因此，当AD 的长为23时，二面角B FE D --的大小为 60． …………………12分 （解法二）设EF 中点为G ，以O 为坐标原点，OA 、OG 、分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系（如图）设t AD =)0(>t ，则点D 的坐标为),0,1(t 在AFH Rt ∆中，21=AH ，1=AF ,23=∴FH ． ∴点F 的坐标为)0,23,21(，点E 的坐标为)0,23,21(-, ),23,21(t --=∴，),23,23(t -= 设平面DEF 的法向量为),,(1z y x n =，则01=⋅DF n ,01=⋅DE n ．即⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-.023,0232321tz y x tz y x 令3=z ，解得t y x 2,0== )3,2,0(1t n =∴ …………………10分取平面BEF 的一个法向量为)1,0,0(2=n ，依题意1n 与2n 的夹角为60 60cos =∴ ，即134300212⋅+++=t ， 解得23±=t （负值舍去） 因此，当AD 的长为23时，二面角B FE D --的大小为 60． …………………12分 18．（本小题满分14分）甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p )21(>p ， 且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛 停止的概率为95． 若右图为统计这次比赛的局数n 和甲、乙的总得分数S 、T 的程序框图．其中如果甲获胜，输入1=a ，0=b ；如果乙获胜，则输入1,0==b a ．（Ⅰ）在右图中，第一、第二两个判断框应分别填写什么条件？（Ⅱ）求p 的值；（Ⅲ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．注：“0=n ”，即为“0←n ”或为“0:=n ”．【解】（Ⅰ）程序框图中的第一个条件框应填2=M ，第二个应填6=n ． ………………… 4分注意：答案不唯一．如：第一个条件框填1>M ，第二个条件框填5>n ，或者第一、第二条件互换．都可以．（Ⅱ）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．∴有95)1(22=-+p p ． 解得32=p 或31=p ． …………………………………6分 21>p ， 32=∴p ． ………………………… 7分 （Ⅲ）（解法一）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6． ………………………… 8分 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为95．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==， 8120)95)(951()4(=-==ξP ， 81161)951)(951()6(=⋅--==ξP ． ∴随机变量ξ的分布列为： …………………………… 12分故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=． …………………………… 14分（解法二）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6． ………………… 8分令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜． 由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=， 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=，1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()()3381==． ………………… 12分∴随机变量ξ的分布列为：故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=． …………………14分19．（本题满分14分）已知函数2)1ln()(x ax x f -+=（0>a ，]1,0(∈x ）． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若不等式)21ln(12n n+≥+λ对一切正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围． 【解】（Ⅰ）x axax f 21)(-+=' ………………… 2分axa x ax ++--=1222，由0222=+--a x ax ，得aa x 21212+±-=．0>a ，021212<+--∴a a ，021212>++-aa ．又1112212122<++=++-a a aa．∴函数()f x 的单调递增区间为)2112,0(2a a -+,递减区间为)1,2112(2aa -+． ………… 6分（Ⅱ）【法一】不等式)21ln(12n n +≥+λ，即为21)21ln(n n -+≥λ．……………（※）令x n=1，当*∈N n 时，]1,0(∈x ． 则不等式（※）即为2)21l n (x x -+≥λ． …………………9分 令2)21ln()(x x x g -+=，(0,1]x ∈，在)(x f 的表达式中，当2=a 时，)(x f )(x g =， 又 2=a 时，2121212=++-a a ，∴)(x g 在)21,0(单调递增，在)1,21(单调递减．)(x g 在21=x 时，取得最大，最大值为412ln )21(-=g ． …………………12分 因此，对一切正整数n ，当2=n 时，21)21ln(n n -+取得最大值412ln -．∴实数λ的取值范围是412ln -≥λ． ………………………… 14分【法二】不等式)21ln(12n n+≥+λ，即为21)21ln(n n -+≥λ．………………（※）设21)21ln()(xx x g -+=)1(≥x ，)2(422212)(32322+++-=++-='x x x x x x x g x， 令)(='x g ，得1-=x 或2=x ． ………………………… 10分当)2,1(∈x 时，0)(>'x g ，当),2(∞+∈x 时，0)(<'x g ． ∴当2=x 时，)(x g 取得最大值412ln -． 因此，实数λ的取值范围是412ln -≥λ． ………………………… 14分20．（本题满分14分）在四边形ABCD 中，已知(0,0),(0,4)A D ，点B 在x 轴上， //BC AD ，且对角线AC BD ⊥．（Ⅰ) 求点C 的轨迹T 的方程；(Ⅱ)若点P 是直线52-=x y 上任意一点，过点P 作点C 的轨迹T 的两切线PA 、PB ，A 、B 为切点，M 为AB 的中点．求证：PM //y 轴或PM 与y 轴重合；(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，直线AB 是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．【解】（Ⅰ)如图，设点C 的坐标为),(y x )0,0(≠≠y x ，则(,0),(,),(,4)B x AC x y BD x ==-，AC BD ⊥ ，()40x x y ∴⋅-+⋅=，即214y x x =≠ (0)∴所求的轨迹T 是除去顶点的抛物线 ……………… 3分O（解法一）(Ⅱ)对函数214y x = 求导得，12y x '=． 设切点坐标为2001(,)4x x ，则过该切点的切线的斜率是012x ，该切线方程是200011()42y x x x x -=-． 又设点P 的坐标为)52,(-t t ，切线过点P ，∴有)(2141520020x t x x t -=--，化简，得02082020=-+-t tx x ． …………………………6分设A 、B 两点的坐标分别为2111(,)4x x 、2221(,)4x x ，则1x 、2x 为方程020822=-+-t tx x 的两根，208,22121-==+t x x t x x ．122M x xx t +∴==因此，当0=t 时，直线PM 与y 轴重合，当0≠t 时，直线PM 与y 轴平行 …………9分 (Ⅲ)2212111()244M y x x =+5221)]208(24[81]2)[(812221221+-=--=-+=t t t t x x x x ．∴点M 的坐标为)5221,(2+-t t t ．又221112441212111()2442AB x x k x x t t x x -==+=⋅=- ．∴直线AB 的方程为：)(21)5221(2t x t t t y -=+--，即0210)4(=-+-y x t ．………（*）当5,4==y x 时，方程（*）恒成立，∴对任意实数t ，直线AB 恒过定点，定点坐标为)5,4(． …………………………14分（解法二）(Ⅱ)设点P 的坐标为)52,(-t t ，利用切点弦直线方程的结论可得出直线AB 的方程为tx t y 412)52(=-+，即5221+-=t tx y …………………………7分 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.41,52221x y t tx y 得020822=-+-t tx x . 208,22121-==+∴t x x t x x ．122M x x x t +∴==. 因此，当0=t 时，直线PM 与y 轴重合，当0≠t 时，直线PM 与y 轴平行. ……………9分(Ⅲ) 由(Ⅱ)得知直线AB 的方程为5221+-=t tx y ，即0210)4(=-+-y x t ． 后面解法同解法一. 21．（本题满分14分）已知函数211()24f x x x =-+，()f x '为函数()f x 的导函数． （Ⅰ）若数列{}n a 满足：11a =，1()()n n a f a f n +''=+（n N *∈），求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：1b b =，12()n n b f b +=（n N *∈）． （ⅰ）当12b =时，数列{}n b 是否为等差数列？若是，请求出数列{}n b 的通项n b ；若不是，请说明理由；（ⅱ）当112b <<时， 求证：11221ni ib b =<-∑．【解】（Ⅰ）1()22f x x '=-， …………………………1分 111(2)(2)22122n n n a a n a n +∴=-+-=+-，即12(1)12(21)n n a n a n ++++=++． (3)分11a = ， ∴数列{21}n a n ++是首项为4，公比为2的等比数列．12142n n a n -∴++=⋅，即1221n n a n +=--． …………………………5分（Ⅱ）（ⅰ） 12()n n b f b +=2122n n b b =-+， 2112()2n n n b b b +∴-=-．∴当112b =时，212b =．假设12k b =，则k k b b =+1． 由数学归纳法，得出数列{}n b 为常数数列，是等差数列，其通项为12n b =． …………8分 （ⅱ）21122n n n b b b +=-+， 2112()2n n n b b b +∴-=-． ∴当1112b <<时，2112b b >>．假设12k b >，则 112k k b b +>>．由数学归纳法，得出数列12n b >(1,n = ． …………………………10分 又1112()22n n n b b b +-=- ， 11122111n n nb b b +∴=---， 即11122111n n n b b b +=---． …………………………12分∴11ni ib =∑111111()ni i i b b =+=---∑11112211n b b +=---． 112n b +>， 11111221ni i b b b =∴<=--∑． …………………………14分审题：石永生 命题：喻秋生 姚亮黄元华。
深圳市宝安区2016届高三第一学期调研考试(理数)
深圳市宝安区2016届高三第一学期调研考试数学（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列函数中，不满足．．．：(2)2()f x f x =的是 A ．()||f x x = B ．()||f x x x =-C ．()1f x x =+D ．()f x x =-2．复数Z =32ii-++的共轭复数是 ( ) A ．2i + B ．2i -C ．1i -+D ．1i --3．集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则M N =A ． (1,2)B ． [1,2)C ． (1,2]D ． [1,2]4．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结 果是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．85．已知点A(0,1),B(3,2)，向量(4,3)AC =--,则向量BC =( )A ．(-7,-4)B ．(1,2)C ．(-1,4)D ．(1,4)6．双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A ．5B ．24C ．3D ．5 7．已知函数()233x f x x +=，数列{}n a 满足1111,,n n a a f n N a *+⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭.数列{}n a 的通项公式；A ．2133n a n =+ B ．2133n a n =- C ．1133n a n =+ D ．2134n a n =+ 8．下列命题正确的是A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行9．设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a ba b =成立的充要条件是A ．a b =-B ．//a b 且方向相同C ．2a b =D ．//a b 且||||a b =10．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 11．设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x D ,0,1)(，则下列结论错误的是A ．)(x D 的值域为}1,0{B ．)(x D 是偶函数C ．)(xD 不是周期函数 D ．)(x D 不是单调函数12．已知四边形ABCD 是椭圆2214x y +=的内接菱形，则四边形ABCD 的内切圆方程是( ) A ．2215x y +=B ．222(1)5x y -+=C ．2245x y +=D ．2235x y += 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．已知递增的等差数列{}n a 满足21321,4a a a ==-，则_____n a =14．函数x x f6log 21)(-=的定义域为 15．4)(x a +的展开式中3x 的系数等于8，则实数=a _________16．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，则这个几何体的体积是三、解答题:本大题共6小题(其中22、23、24题任选一题)，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是a b c ，，，且,,A B C 成等差数列，（1）若1,a b ==求sin C ；（2）若a b c ，，成等差数列，试判断ABC ∆的形状.18．（本小题满分12分）某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：试根据图表中的信息解答下列问题：（1）求全班的学生人数及分数在[70,80)之间的频数；（2）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70,80)，[80,90)和[90,100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中成绩位于[70,80)分数段的人数X 的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）在平行四边形ABCD 中，6,10,8AB AD BD ===,E 是线段AD 的中点．如图所示，沿直线BD 将BCD ∆翻折成BC D '∆，使得平面BC D '⊥平面ABD .（1）求证：C D '⊥平面ABD ；（2）求直线BD 与平面BEC '所成角的正弦值． 20．（本小题满分12分）如图，在抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ．点C 在抛物线E 上，以C 为圆心OC 为半径作圆，设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N ． （1）若点C 的纵坐标为2，求MN ；（2）若2AFAM AN =⋅，求圆C 的半径．21．（本小题满分12分）设函数()y f x =在(,)a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(,)a b 上的导函数为()f x ''，若在(,)a b 上，()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在(,)a b 上为“凸函数”．已知432113()1262f x x mx x =--． （Ⅰ）若()f x 为区间(1,3)-上的“凸函数”，试确定实数m 的值；（Ⅱ）若当实数m 满足||2m ≤时，函数()f x 在(,)a b 上总为“凸函数”，求b a -的最大值．22．（本题满分10分）选修4-1几何证明选讲如图，AB 为圆O 的直径，AC 与圆O 相切于点A ，BC 交圆O 于点E（1）若D 为AC 的中点，证明DE 是圆O 的切线； （2）若OA =,求ACB ∠的大小。
《精编》广东省深圳市高三数学第一次调研考试试题 理 新人教A版.doc
密★启用前 试卷类型：A年深圳市高三年级第一次调研考试数学〔理科〕.2本试卷共6页，21小题，总分值150分．考试用时120分钟．本卷须知：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的、姓名和考生号，同时，将监考发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：如果事件A B 、互斥，那么P A B P A P B +=+()()()； 如果事件A B 、相互独立，那么P AB P A P B =()()()；假设锥体的底面积为S ，高为h ，那么锥体的体积为13V Sh =．一、选择题：本大题共8个小题；每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，有且只有一项为哪一项符合题目要求的．1．假设(1i)i z =+〔i 为虚数单位〕，那么z 的虚部是A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．b ，c 是平面α内的两条直线，那么“直线a α⊥〞是“直线a b ⊥，直线a c ⊥〞的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．直线:tan 3tan 0l x y αβ--=的斜率为2，在y 轴上的截距为1，那么tan()αβ+=A ．73-B ．73C ．57D ．14．执行图1的程序框图，如果依次输入函数：x x f 3)(=、x x f sin )(=、3)(x x f =、xx x f 1)(+=，那么输出的函数()f x 为 A ．3xB ．sin xC ．3xD ．1x x+5．符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，那么函数2()sgn(ln )ln f x x x =-的零点个数为A ．4B ．3C ．2D ．16．变量 x y ,满足约束条件23033010x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪-≤⎩，假设目标函数z y ax =-仅．在点(3,0)-处取到最大值，那么实数a 的取值范围为 A ．(3,5)B ．1(,)2+∞C ．(1,2) -D ．1(,1)37．“2012〞含有数字0, 1, 2，且有两个数字2．那么含有数字0, 1, 2，且有两个相同数字的四位数的个数为 A ．18B ．24C ．27D ．368．设S 是实数集R 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有,a b S a b S +∈-∈，那么称S 是一个“和谐集〞．下面命题为假命题．．．的是 A ．存在有限集S ，S 是一个“和谐集〞B ．对任意无理数a ，集合{},x x ka k =∈Z 都是“和谐集〞 C ．假设21S S ≠，且12,S S 均是“和谐集〞，那么12S S ≠∅D ．对任意两个“和谐集〞12,S S ，假设12,S S ≠≠R R ，那么12S S =R二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分．本大题分为必做题和选做题两局部．〔一〕必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．π40cos xdx =⎰．10．某中学组织了“迎新杯〞知识竞赛，从参加考试的学生中抽出假设干名学生，并将其成绩绘制成频率分布直方图〔如图2〕，其中成绩的范围是[50，图2图3N ABCDEM 100]，样本数据分组为[50，60〕，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，样本中成绩小于70分的个数是36，那么样本中成绩在)90,60[内的学生人数为 ．11．抛物线28y x =的准线l 与双曲线222:1x C y a-=相切，那么双曲线C 的离心率e = ．12．等比数列{}n a 的第5项是二项式613x ⎫⎪⎭展开式的常数项，那么37a a = ．13．如图3所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，平面⊥ABCD 平面ABE ，2=AB ，3==BE AE ，且当规定主〔正〕视方向垂直平面ABCD 时，该几何体的左〔侧〕视图的面积为22．假设M 、N 分别是线段DE 、CE 上的动点，那么NB MN AM ++的最小值为 ．〔二〕选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．〔坐标系与参数方程选做题〕在极坐标系中，点π(1,)2P 到曲线π:cos()4l ρθ+=上的点的最短距离为 ．15．〔几何证明选讲选做题〕如图4，,A B 是圆O 上的两点，且OA OB ⊥，2OA =，C 为OA 的中点，连接BC 并延长交圆O 于点D ，那么CD = ．三、解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．〔本小题总分值12分〕函数()sin()f x A x ωϕ=+，x ∈R 〔其中ππ0,0,22A ωϕ>>-<<〕，其局部图像如图5所示．〔1〕求函数()f x 的解析式；〔2〕横坐标分别为1-、1、5的三点M 、N 、P 都在函数()f x 的图像上，求sin MNP∠的值．图4DCOA B图517．〔本小题总分值13分〕随机调查某社区80个人，以研究这一社区居民在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别的关系，得到下面的数据表：〔1〕将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望；〔2〕根据以上数据，能否有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别有关系〞？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：18．〔本小题总分值13分〕如图6，平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，2AB =，BD 沿BD 将BCD ∆折起，使二面角A BD C --是大小为锐角α的二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O ．〔1〕当α为何值时，三棱锥OAD C-的体积最大？最大值为多少？ 〔2〕当AD BC ⊥时，求α的大小．19．〔本小题总分值14分〕 如图7，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：222(2)(0)x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ．DCOABCD图6〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；〔3〕设点P 是椭圆C 上异于M N ，的任意一点，且直线,MP NP 分别与x 轴交于点R S ，，O 为坐标原点，求证：OR OS ⋅为定值．20．〔本小题总分值14分〕函数d cx bx x x f +++=2331)(，设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ，()f x '为()f x 的导函数，满足)()2(x f x f '=-'．〔1〕求()f x ；〔2〕设()g x =0m >，求函数()g x 在[0,]m 上的最大值；〔3〕设()ln ()h x f x '=，假设对一切[0,1]x ∈，不等式(1)(22)h x t h x +-<+恒成立，求实数t 的取值范围．21．〔本小题总分值14分〕数列}{n a 满足：211=a ，*1,e en n n n a a n a +=∈+N 〔其中e 为自然对数的底数〕．〔1〕求数列}{n a 的通项n a ；〔2〕设n n a a a S +++= 21，n n a a a a T ⋅⋅⋅⋅= 321，求证：1+≤n nS n ， 2e n n T ->．年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细那么．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续局部的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该局部正确解容许得分数的一半；如果后续局部的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．二、填空题：本大题每题5分，总分值30分． 9．10． 90； 11．2 12．259；13．3； 14． 15 三、解答题 16．〔本小题总分值12分〕函数()sin()f x A x ωϕ=+，x ∈R 〔其中ππ0,0,22A ωϕ>>-<<〕，其局部图像如以以下图．(1) 求函数()f x 的解析式；(2) 横坐标分别为1-、1、5的三点M 、N 、P 都在函数()f x 的图像上，求sin MNP ∠的值．解：〔1〕由图可知，1A = ， ………………………………………………………1分最小正周期428,T =⨯=所以2ππ8,.4T ωω===…………………………………3分又π(1)sin()14f ϕ=+= ，且ππ22ϕ-<<所以ππ3π444ϕ-<+<，πππ,.424ϕϕ+== …………………5分所以π()sin (1)4f x x =+． ……………………6分(2) 解法一: 因为ππ(1)sin (11)0,(1)sin (11)1,44f f -=-+==+=π(5)sin (51)14f =+=-，所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --， ………………………………………………8分MN MP PN ===从而3cos5MNP ∠==-， ………………………………………………10分由[]0,πMNP ∠∈，得4sin 5MNP ∠==. …………………12分 解法二: 因为ππ(1)sin(11)0,(1)sin (11)1,44f f -=-+==+= π(5)sin (51)14f =+=-，所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --， ………………………………………………8分(2,1),(4,2)NM NP =--=-,6NM NP ⋅=-,5,20NM NP ===那么3cos 55NM NP MNP NM NP⋅∠===-⋅. (10)分由[]0,πMNP ∠∈，得4sin 5MNP ∠==. ……………12分 【说明】 本小题主要考查了三角函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象与性质，以及余弦定理，同角三角函数关系式，平面向量的数量积等根底知识，考查了简单的数学运算能力．17．〔本小题总分值13分〕随机调查某社区80个人，以研究这一社区居民在00:2200:20-时间段的休闲方这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望；〔2〕根据以上数据，能否有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别有关系〞？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ，其中n a b c d =+++．解：〔闲方式的概率为56p =． …………………………………………2分 方法一：2161)61()0(303===C X P ，725)65()61()1(213===C X P ，7225)65)(61()2(223===C X P ，216125)65()3(333===C X P ． ……………6分X ∴221637227212160=⨯+⨯+⨯+⨯=∴EX ． ……………………………8分方法二：根据题意可得)65,3(~B X ， ……………………………………4分k k k C k X P )65()61()(33-==∴，3,2,1,0=k ． ……………………………………6分∴25653=⨯==np EX ． …………………………………………8分(2) 提出假设0H ：休闲方式与性别无关系．根据样本提供的22⨯列联表得22()80(10101050)808.889 6.635()()()()602020609n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯．因为当0H 成立时，635.62≥K 的概率约为01.0，所以我们有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段性别与休闲方式有关〞． ………………………13分【说明】此题主要考察读图表、随机事件的概率、二项分布以及数学期望、独立性检验等根底知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识．18．〔本小题总分值13分〕如图，平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，2AB =，BD =BD 将BCD ∆折起，使二面角A BD C --是大小为锐角α的二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O ． 〔1〕当α为何值时，三棱锥OAD C -的体积最大？最大值为多少？〔2〕当AD BC ⊥时，求α的大小．解：〔1〕由题知OD 为CD 在平面ABD 上的射影， ∵BD CD ⊥，CO ⊥平面ABD ，∴BD OD ⊥， ∴ODC α∠=， ………………………2分111332C AOD AOD V S OC OD BD OC -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅sin cos 66OD OC CD CD αα=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ ………………4分sin 23α=⋅3≤， ……………………5分 当且仅当sin 21α=，即45α=︒时取等号，∴当45α=︒时，三棱锥O ACD -的体积最大，最大值为3． …………6分(2)(法一)连接OB ， ……………………7分 ∵CO ⊥平面ABD ，AD BC ⊥， ∴AD ⊥平面BOC ，∴AD OB ⊥， ………………………9分 ∴90OBD ADB ∠+∠=︒， 故OBD DAB ∠=∠，∴Rt ABD Rt BDO ∆∆∽， ………………11分 ∴OD BDBD AB=，∴2212BD OD AB ===， …………………………………………………12分 在Rt COD ∆中，1cos 2OD CD α==，得60α=︒(法二) 过O 作OE AB ⊥于E ，那么OEBD 为矩形， 以O 为原点，OE ，OD ，OC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如以以下图的空间直角坐标系，那么)0,2cos 2,2(),0,cos 2,0(),0,0,0(-ααA D O AABDC OD C O ABC D)sin 2,0,0(),0,cos 2,2(ααC B ， ………9分于是)0,2,2(-=AD ，)sin 2,cos 2,2(αα--=BC ， ……………10分 由AD BC ⊥，得0=⋅BC AD ，∴0sin 20)cos 2(2)2()2(=⨯+-⨯+-⨯-αα， ……………………12分 得21cos =α，又α为锐角，∴60α=︒ ． ………………………………13分 【说明】此题主要考察空间点、线、面位置关系，棱锥的体积、二面角及三角函数等根底知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力． 19．〔本小题总分值14分〕如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：222(2)(0)x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ． 〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；〔3〕设点P 是椭圆C 上异于M ,N 的任意一点，且直线,MP NP 分别与x 轴交于点,R S ，O 为坐标原点，求证：OR OS ⋅解：〔1〕依题意，得2a =，c e a ==， 1,322=-==∴c a b c ；故椭圆C 的方程为2214x y += ． ………………………………………3分 〔2〕方法一：点M 与点N 关于x 轴对称，设),(11y x M ，),(11y x N -， 不妨设01>y ．由于点M 在椭圆C 上，所以412121xy -=． 〔*〕 ……………………4分由(2,0)T -，那么),2(11y x TM +=，),2(11y x TN -+=，21211111)2(),2(),2(y x y x y x TN TM -+=-+⋅+=⋅∴3445)41()2(1212121++=--+=x x x x51)58(4521-+=x ． ……………………………………6分 由于221<<-x ，故当581-=x 时，TM TN ⋅取得最小值为15-．由〔*〕式，531=y ，故83(,)55M -，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =．故圆T 的方程为：2213(2)25x y ++=． ……………………8分方法二：点M 与点N 关于x 轴对称，故设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-， 不妨设sin 0θ>，由(2,0)T -，那么)sin ,2cos 2()sin ,2cos 2(θθθθ-+⋅+=⋅TN TM3cos 8cos 5sin )2cos 2(222++=-+=θθθθ51)54(cos 52-+=θ． ……………………………………………………6分故当4cos 5θ=-时，TM TN ⋅取得最小值为15-，此时83(,)55M -，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =．故圆T 的方程为：2213(2)25x y ++=． ……………………8分(3) 方法一：设),(00y x P ，那么直线MP 的方程为：)(010100x x x x y y y y ---=-，令0y =，得101001y y y x y x x R --=， 同理：101001y y y x y x x S ++=， ……………………10分故212021202021y y y x y x x x S R --=⋅ 〔**〕 ……………………11分又点M 与点P 在椭圆上，故)1(42020y x -=，)1(42121y x -=，……………………12分 代入〔**〕式，得： 4)(4)1(4)1(421202120212021202021=--=----=⋅y y y y y y y y y y x x S R ．所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值． ……………………14分方法二：设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-，不妨设sin 0θ>，)sin ,cos 2(ααP ，其中θαsin sin ±≠．那么直线MP 的方程为：)cos 2(cos 2cos 2sin sin sin αθαθαα---=-x y ，令0y =，得θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2--=R x ，同理：θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2++=S x ， …………………………12分故4sin sin )sin (sin 4sin sin )sin cos cos (sin 42222222222=--=--=⋅θαθαθαθαθαS R x x ． 所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值． ……………………14分 【说明】此题主要考查椭圆的方程与性质、圆的方程、向量、圆与椭圆的位置关系、直线方程等根底知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数 形结合思想、化归与转化思想． 20．〔本小题总分值14分〕函数d cx bx x x f +++=2331)(，设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ，()f x '为()f x 的导函数，满足)()2(x f x f '=-'．〔1〕求()f x ；〔2〕设()g x =0m >，求函数()g x 在[0,]m 上的最大值；〔3〕设()ln ()h x f x '=，假设对一切[0,1]x ∈，不等式(1)(22)h x t h x +-<+恒成立，求实数t 的取值范围．解：〔1〕2()2f x x bx c '=++， ………………………………1分)()2(x f x f '=-'，∴函数()y f x '=的图像关于直线1x =对称，那么1b =-． (2)分直线124-=x y 与x 轴的交点为(3,0)，∴(3)0f =，且(3)4f '=，即9930b c d +++=，且964b c ++=，解得1c =，3d =-． …………………………………………4分 那么321()33f x x x x =-+-． …………………………………………5分〔2〕22()21(1)f x x x x '=-+=-，22,1,()1, 1.x x xg x x xx x x⎧-≥⎪==-=⎨-<⎪⎩………………………………………7分其图像如以以下图．当214x x-=时，x=〔ⅰ〕当12m<≤时，()g x最大值为2m m-；〔ⅱ〕当12m<≤()g x最大值为14；〔ⅲ〕当m>时，()g x最大值为2m m-．10分〔3〕方法一：2()ln(1)2ln1h x x x=-=-，(1)2lnhx t x t+-=-，(22)2ln21h x x+=+，当[0,1]x∈时，2121x x+=+，∴不等式2ln2ln21x t x-<+恒成立等价于21x t x-<+且x t≠恒成立，由21x t x-<+恒成立，得131x t x--<<+恒成立，当[0,1]x∈时，31[1,4]x+∈，1[2,1]x--∈--，∴11t-<<，……………………………………………12分又当[0,1]x∈时，由x t≠恒成立，得[0,1]t∉，因此，实数t的取值范围是10t-<<．…………………………………14分方法二：〔数形结合法〕作出函数]1,0[,12∈+=xxy的图像，其图像为线段AB〔如图〕， txy-=的图像过点A时，1-=t或1=t，∴要使不等式21x t x-<+对[0,1]x∈恒成立，必须11t-<<，…………………………………12分又当函数)1(txh-+有意义时，x t≠，∴当[0,1]x∈时，由x t≠恒成立，得[0,1]t∉，因此，实数t的取值范围是10t-<<．…………………………………14分方法三：2()ln(1)h x x=-，()h x的定义域是{1}x x≠，∴要使(1)h x t+-恒有意义，必须t x≠恒成立，[0,1]x∈，[0,1]t∴∉，即0t<或1t>．………………①…………………12分由(1)(22)h x t h x+-<+得22()(21)x t x-<+，即223(42)10x t x t+++->对[0,1]x∈恒成立，令22()3(42)1x x t x tϕ=+++-，()xϕ的对称轴为23tx+=-，那么有20,3(0)0tϕ+⎧-<⎪⎨⎪>⎩或22201,3(42)43(1)0tt t+⎧≤-≤⎪⎨⎪∆=+-⨯⨯-<⎩或21,3(1)0tϕ+⎧->⎪⎨⎪>⎩解得11t-<<．………………②综合①、②，实数t的取值范围是10t-<<．…………………………………14分【说明】此题主要考查函数导数运算法那么、导数的几何意义、二次函数和分段函数的图像及其性质的运用、不等式的求解与证明等根底知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识．21．〔本小题总分值14分〕数列}{na满足：211=a，*1,e enn nnaa na+=∈+N〔其中e为自然对数的底数〕．〔1〕求数列}{na的通项na；〔2〕设nnaaaS+++=21，nnaaaaT⋅⋅⋅⋅=321，求证：1+≤nnSn，2e nnT->．解：〔1〕1e enn nnaaa+=+，11ee nn na a+∴=+，即11111e en nn na a-+=+．…………………………………3分令11en nnba-=，那么11+=+nnbb，2111==ab，因此，数列}{nb是首项为2，公差为1的等差数列．11)1(2+=⋅-+=nnbn，…………………………………5分1111e(1)en n nnab n--∴==+．…………………………………6分〔2〕〔方法一〕先证明当*n∈N时，1e n n-≥．设1()e,[1,)xf x x x-=-∈+∞，那么1()e1xf x-'=-，当1>x时，0)(>'xf，)(xf∴在),1(+∞上是增函数，那么当1≥x时，01)(=≥）（fxf，即1e x x-≥． (8)分因此，当*n∈N时，1e n n-≥，11111(1)e(1)1n nan n n n n-=≤=-+++，…………9分当*n ∈N 时，1e n n +<，(21)1111e (1)e e e n n n n n a n ----=>=+⋅． …………………10分 1111)111()3121()211(21+=+-=+-++-+-≤+++=∴n nn n n a a a S n n ．…………………………12分2135(21)[13521)]123e e e e e e n n n n n T a a a a ----+-++++--∴=⋅⋅⋅⋅>⋅⋅⋅⋅==（．………………………14分〔方法二〕数学归纳法证明〔1〕2111==a S ，211=+n n ，∴当1=n 时，1+≤n n S n成立； 2111==a T ，21e e n -=，又e 2>，112e∴>， ∴当1=n 时，2e n n T ->成立． ……………………………………………8分 〔2〕设k n =时命题成立，即1+≤k k S k ，2e k k T ->，当1+=k n 时，1111(2)e k k k kk S S a k k ++=+≤+++， 要证211++≤+k k S k ， 即证111(2)e 2k k k k k k ++≤+++，化简，即证e 1kk ≥+． …………………………9分 设()e 1,0,)x f x x x =--∈+∞（，那么()e 1x f x '=-， 当0>x 时，0)(>'x f ，)(x f ∴在),0(+∞上是增函数，那么当0≥x 时，00)(=≥）（f x f ，即e 1x x ≥+．因此，不等式e 1kk ≥+成立，即当1+=k n 时1+≤n n S n 成立． …………………11分当1+=k n 时，22111e e(2)e 2k kkk k k k T T a k k ---++=⋅>⋅=++， 要证2(1)1e k k T -++>， 即证22(1)e e 2k k k k ---+>+，化简，即证1e 2k k +>+．根据前面的证明，不等式1e 2k k +>+成立，那么1+=k n 时2e n n T ->成立．由数学归纳法可知，当*n ∈N 时，不等式1+≤n n S n ，2e n n T ->成立．……………14分【说明】考查了数列的递推公式的处理、等差数列的通项公式、数学归纳法等知识，考查学生的构造数列和函数解决问题的意识，考查了学生变形的能力，化归与转化的思想以及创新意识．命题：深圳实验喻秋生深圳中学姚亮深圳新安中学曹其元审题：深圳市教研室魏显锋。
广东省深圳市六校联盟2016届高三高考模拟数学(理)试题(A卷) 含答案
绝密★启用前2016届“六校联盟”高考模拟理科数学试题（A卷)命题学校：深圳实验本试卷共6页,21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项:1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0．5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0．5毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回．参考公式：如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+； 如果事件A B 、相互独立，那么()()()P AB P A P B =；若球的半径为R ，则球的表面积为24R S π=，体积为334R V π=．一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．如果复数)()2(R a i ai ∈+的实部与虚部互为相反数,则a 的值等于( ）A ． 1-B ．1 C ．2- D ．2 2.下列命题中，是真命题的是（ ) A ．00,0x xR e ∃∈≤ B ．2,2xx R x ∀∈>C ．已知,a b 为实数，则0a b +=的充要条件是1a b=- D ．已知,a b 为实数，则1,1a b >>是1ab >的充要条件 3．（东莞中学第6题）在等比数列{}na 中，首项11a=，且3454,2,a a a 成等差数列，若数列{}na 的前n 项之积为nT ，则10T 的值为( ) A 。
深圳市高三年级第一次调研考试 (2)
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）2016年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}A =-，2{ ,}B y y x x x A ==-∈，则AB =（ ）A ．{0}B ．{2}C ．{0,1}D ．{1,0}- 【答案】A【解析】∵{0}B =，{0}AB =．2．若平面向量(,1)m =a ，(2,1)=b ，且(2)-a b ∥b ，则m =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B【解析】2(4,1)m -=--a b ， ∵(2)-a b ∥b∴42m -=-，∴2m =． 3．设i 为虚数单位，已知11i1iz -=+，213i 22z =-+，则1z ，2z 的大小关系是（ ） A ．12z z < B ．12z z = C ．12z z > D ．无法比较 【答案】B 【解析】∵11i 211i2z -===+， 213i 122z =-+=，∴12z z =．4．研究人员随机调查统计了某地1000名“上班族”每天在工作之余使用手机上网的时间，并将其绘制为如图所示的频率分布直方图，若同一组数据用该区间的中点值作代表，则可估计该地“上班族”每天在工作之余使用手机上网的平均时间是（ ） A ．1.78小时 B ．2.24小时 C ．3.56小时 D ．4.32小时【答案】C【解析】(10.1230.250.170.08)2 3.56⨯+⨯+⨯+⨯⨯=． 5．已知函数22()cos sin f x x x =-，下列说法错误的（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．2x π=是()f x 的一条对称轴C ．()f x 在(,)44ππ-上单调递增 D ．()f x 的值域是[0,1] 【答案】C【解析】∵22()cos sin cos 2f x x x x =-=，∴()f x 在[0,)4π上单调递减，故错误．6．直线(1)()y k x k R =+∈与不等式组220,220,0.x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ．(,2][2,)-∞-+∞C ．11[,]22-D ．11(,][,)22-∞-+∞【答案】A【解析】直线(1)y k x =+恒过点(1,0)P -，∴PB PA k k k ≤≤，即22k -≤≤．7．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（ ） A ．42 B ．25 C ．6 D ．43xyOP A B–2–112–2–112【答案】D【解析】该几何体为边长为4的正方体的部分，如图，最长的边为43PC =．8．函数()cos f x x x =在[,]ππ-上的大致图像为（ ）【答案】B【解析】∵()cos f x x x =为奇函数，∴排除A ． ∵()cos f ππππ==-，∴排除C ．()cos sin cos (1tan )f x x x x x x x '=-=-，∵(0,)4x π∈，()0f x '>，()f x 在(0,)4π单调增，∴D ． 9．已知22ππα-<<，且2sin cos 2αα+=，则α的值为（ ）A ．12π-B ．12πC ．512π-D ．512π【答案】A【解析】∵2sin cos 2αα+=，∴1sin()42πα+=， ∵22ππα-<<，∴3444πππα-<+<，∴46ππα+=，∴12πα=-．10．已知,,A B C 是球面上三点，且6AB =，8BC =，10AC =，球心O 到平面ABC 的距离等于该球半径的12，则此球的表面积为（ ）A ．1003πB ．2003πC ．4003πD ．4009π【答案】C【答案】48π【解析】∵222AC AB BC =+，∴90ABC ∠=．∴ABC ∆的外心为AC 的中点D ，∴OD ⊥平面ABC ． ∵222OA AD OD =+，∴22215()2R R =+, ∴21003R =，240043S R ππ==． C D A B P CB A DO11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线交于,A B 两点，若弦AB 的垂直平分线经过点(0,2)，则p 等于（ ） A ．25 B ．23 C ．45 D ．43【答案】C【解析】直线AB 的方程为2p y x =-， 由222(0)p y x y px p ⎧=-⎪⎨⎪=>⎩，得2220y py p --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)x y ，则1202y y y p +==，00322p x y p =+=，∴弦AB 的垂直平分线方程为3()2y p x p -=--，∵弦AB 的垂直平分线经过点(0,2)，∴322p p -=，∴45p =．12．已知0a >，若函数2324ln ,0()34,0a x x x f x x a x x ⎧⋅->⎪=⎨--≤⎪⎩，且()()2g x f x a =+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．1(,1]2B ．(1,2]C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞ 【答案】D【解析】当1a =时，234ln ,0()34,0x x x f x x x x ⎧->⎪=⎨--≤⎪⎩，234ln 2,0()()232,0x x x g x f x a x x x ⎧-+>⎪=+=⎨-- ≤⎪⎩，当0x >时，2()4ln 2g x x x =-+．42(2)(2)()2x x g x x x x-+-'=-=， (0,2)x ∈时，()0g x '>，(2,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在2x =处取得极大值(2)2ln 20g =>，∵0x +→时，()0g x <，2()0g e <， 0x >时，()g x 有两个零点．当0x ≤时，3()32g x x x =--， 2()333(1)(1)g x x x x '=-=+-，(,1)x ∈-∞-时，()0g x '>，(1,0)x ∈-时，()0g x '<， ()g x 在1x =-处取得极大值(1)0g -=， 0x ≤时，()g x 有唯一零点．综上，1a =时，()g x 有三个零点，排除B ，C ．当2a =时，238ln ,0()124,0x x x f x x x x ⎧- >⎪=⎨-- ≤⎪⎩，238ln 4,0()()212,0x x x g x f x a x x x ⎧-+>⎪=+=⎨- ≤⎪⎩，当0x >时，2()8ln 4g x x x =-+．82(2)(2)()2x x g x x x x-+-'=-=， (0,2)x ∈时，()0g x '>，(2,)x ∈+∞时，()0g x '<， ()g x 在2x =处取得极大值(2)8ln 20g =>，∵0x +→时，()0g x <，4()0g e <， 0x >时，()g x 有两个零点．当0x ≤时，32()12(12)g x x x x x =-=-， 0x ≤时，()g x 有两个零点．综上，2a =时，()g x 有四个零点，排除A ．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．下列四个函数中：①y x =-；②2log (1)y x =+；③11y x =-+；④11()2x y -=，在(0,)+∞上为减函数的是_________(填上所有正确选项的序号) 【答案】①④14．甲、乙、丙、丁四支足球队举行“贺岁杯”足球友谊赛，每支球队都要与其它三支球队进行比赛， 且比赛要分出胜负，若甲、乙、丙队的比赛成绩分别是两胜一负、全败、一胜两负，则丁队的比赛成绩 是______． 【答案】全胜【解析】∵比赛为三胜三负，∴丁全胜．15．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n 值为______． （参考数据：sin150.2588=，sin 7.50.1305=）【答案】24【解析】由程序框图可知：n6 12 2416．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的顶点(5,0)B -和(5,0)C ，顶点A 在双曲线221916x y -=的右支上，则sin sin sin C BA-=______．【答案】35【解析】依题意，,B C 为双曲线的焦点， ∴2AB AC a -=，2BC c =， 在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin sin C B A -=2325AB AC a a BC c c -===．三、解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足138a a +=，2412a a +=． （1）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若12311119991000n S S S S +++⋅⋅⋅+=，求n 的值． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵138a a +=，2412a a +=，∴112282412a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩．∴21(1)2n n n dS na n n -=+=+． （2）由（1）知211111n S n n n n ==-++， ∴1231111nS S S S +++⋅⋅⋅+ 1111111(1)()()()223341n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+1999111000n =-=+，∴999n =．S3323 3.105618．（本小题满分12分）某房地产公司新建小区有,A B 两种户型住宅，其中A 户型住宅每套面积为100平方米，B 户型住宅 每套面积为80平方米，该公司准备从两种户型住宅中各拿出12套销售给内部员工，下表是这24套住宅每平方米的销售价格（单位：万元/平方米） 房号123456789101112A 户型 2.6 2.7 2.8 2.8 2.9 3.2 2.9 3.1 3.4 3.3 3.43.5 B 户型 3.6 3.7 3.7 3.9 3.8. 3.94.2 4.1 4.1 4.2 4.3 4.5（1）根据商标数据，完成下列茎叶图，并分别求出,A B 两类户型住宅每平方米销售价格的中位数； （2）该公司决定对上述24套住宅通过抽签方式销售，购房者根据自己的需求只能在其中一种户型中通过抽签方式随机获取房号，每位购房者只有一次抽签机会小明是第一位抽签的员工，经测算其购买能力最多为320万元，抽签后所得住房价格在其购买能力范围内则确定购买，否则，将放弃此次购房资格，为了使其购房成功的概率更大，他应该选择哪一种户型抽签？【解析】（1）茎叶图如下：A 户型销售价格的中位数是2.93.13.02+=． B 户型销售价格的中位数是3.94.14.02+=． （2）若选择A 户型抽签，则每平方米均价不得高于3.2万元，有能力购买其中的8套住房，B 户型A 户型 4.2.3.∴成功购房的概率是82123=； 若选择B 户型抽签，则每平方米均价不得高于4.0万元，有能力购买其中的6套住房， ∴成功购房的概率是61122=； ∵2132>，∴该员工选择购买A 户型住房的概率较大．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，且侧面11BB C C 是菱形，160B BC ∠=． （1）求证：1AB BC ⊥；（2）若AB AC ⊥，11AB BB =，且该三棱柱的体积为26，求AB 的长．【解析】（1）取BC 的中点M ，连结1,AM B M ， ∵AB AC =，M 是BC 中点，∴AM BC ⊥．∵侧面11BB C C 是菱形，且160B BC ∠=，∴1B M BC ⊥． ∵1AMB M M =，AM ⊂平面1AB M ，1B M ⊂平面1AB M ，∴BC ⊥平面1AB M ．∵1AB ⊂平面1AB M ，∴1AB BC ⊥． （2）设AB x =，依题意可得,2AC x BC x ==，∵M 是BC 中点，∴1126,2,22AM x BB x B M x ===． ∵11AB BB =，∴12AB x =，∴22211AB B M AM =+，即1B M AM ⊥．A 1C 1B 1CBAMABCB 1C 1A 1由（1）知1B M BC ⊥，且AMBC M =，∴1B M ⊥平面ABC ，,即1B M 为三棱柱111ABC A B C - 的高， ∴三棱柱111ABC A B C -的体积3166()26224V Sh x x x x ==⋅⋅⋅==，解得2x =，即 2AB =．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E 的中心在原点，经过点(0,1)A ，其左、右焦点分别为12,F F ，且120AF AF ⋅=．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(3,0)-的直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与圆222:(0)O x y r r +=>相切于点Q ，求r 的值及OPQ ∆的面积．【解析】（Ⅰ）设椭圆E 方程为22221(0)x y a b a b+=>>,∵椭圆E 经过点(0,1)A ，∴1b =． ∵120AF AF ⋅=，且12AF AF =， ∴1c b ==，2222a b c =+=，∴椭圆E 的方程为2212x y +=． （2）设直线l 的方程为(3)y k x =+，由22(3)12y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得2222(21)43620k x k x k +++-=，①∴22222(43)4(21)(62)8(1)k k k k ∆=-+-=-，∵直线l 与椭圆相切，∴0∆=，解得1k =±．代入①中得234340x x ++=，解得233x =-， 代入直线l 的方程得33y =±，即233(,)33P -±． ∵直线l 与圆222x y r +=相切，∴2336221k r k ===+， ∵222335()()333OP =-+=，2266PQ OP r =-=， ∴1124OPQ S PQ r ∆=⨯⨯=．21．（本小题满分12分）已知函数()(,,xf x e ax b a b R e =++∈是自然对数的底数）在点(0,1)处的切线与x 轴平行． （1）求,a b 的值；（2）若对一切x R ∈，关于的不等式()(1)f x m x n ≥-+恒成立，求m n +的最大值． 【解析】（1）()x f x e a '=+，由题意可知(0)10f a '=+=，(0)11f b =+=， ∴1a =-，0b =． （2）由（1）知()x f x e x =-， ∴不等式()(1)f x m x n ≥-+恒成立， 可转化为xe mx n ≥+恒成立．令()xg x e mx n =--，()xg x e m '=-．当0m ≤时，()0g x '>恒成立，则()g x 在R 上单调递增，没有最小值，故不成立． 当0m >时，令()0g x '=，解得ln x m =．令()0g x '<，解得ln x m <， 令()0g x '>，解得ln x m >，∴当(,ln )x m ∈-∞时，()g x 单调递减；当(ln ,)x m ∈+∞时，()g x 单调递增．∴当ln x m =时，()g x 取得最小值(ln )ln 0g m m m m n =--≥， 即ln m m m n -≥，令()ln h m m m m =-，则()1ln h m m '=-， 令()0h m '=，解得m e =．当(0,)m e ∈时，()h m 单调递增；当(,)m e ∈+∞时，()h m 单调递减． 故当m e =时，()h m 取得最大值()h e e =， ∴e m n ≥+，即m n +的最大值为e ．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在直角ABC ∆中，AB BC ⊥，D 为BC 边上异于,B C 的一点，以AB 为直径作圆O ，并分别交,AC AD 于点,E F ．（1）证明：,,,C E F D 四点共圆；（2）若D 为BC 的中点，且3AF =，1FD =，求AE 的长．【解析】（1）连结EF 、BE ，则ABE AFE ∠=∠， ∵AB 是⊙O 的直径，∴AE BE ⊥． ∵AB BC ⊥，∴ABE C ∠=∠， ∴AFE C ∠=∠，即180EFD C ∠+∠=， ∴,,,C E F D 四点共圆．（2）∵AB BC ⊥，AB 是⊙O 的直径，∴BC 是 O 的切线，24DB DF DA =⋅=，即2BD =． ∴224223AB =-=．∵D 为BC 的中点，∴4BC =，22(23)427AC =+=． ∵,,,C E F D 四点共圆，∴AE AC AF AD ⋅=⋅．DACOBE FFE BOCAD∴2712AE =,即677AE =． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系xOy 中，已知三圆221:4C x y +=，222:(3)(1)4C x y ++-=，332cos :(12sin x C y θθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数）有一公共点(0,2)P ．（1）分别求1C 与2C ，1C 与3C 异于点P 的公共点M 、N 的直角坐标；（2）以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过三点,,O M N 的圆C 的极坐标方程．【解析】（1）曲线3C 的普通方程为22(3)(1)4x y -+-=，由22224(3)(1)4x y x y ⎧+=⎪⎨++-=⎪⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩或31x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩．由22224(3)(1)4x y x y ⎧+=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩或31x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩．∴相异于点A 的公共点为(3,1)M --)，(3,1)N -． （2）线段OM OM 的中垂线为 32y x =-，线段ON 的中垂线为32y x =--，由3232y x y x ⎧=-⎪⎨=--⎪⎩，解得02x y =⎧⎨=-⎩，半径为2，∴圆C 的方程为22(2)4x y ++=， 化为极坐标方程得4sin 0ρθ+=．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()3()f x x a x a R =++-∈． （1）当1a =时，求不等式()8f x x ≥+的解集； （2）若函数()f x 的最小值为5，求a 的值． 【解析】（1）当1a =时，不等式()8f x x ≥+ 可化为138x x x ++-≥+，∴1228x x x <-⎧⎨-≥+⎩，或1348x x -≤<⎧⎨≥+⎩，或3228x x x ≥⎧⎨-≥+⎩，解得2x ≤-，或10x ≥，∴原不等式的解集为(,2][10,)-∞-+∞．（2）∵()3f x x a x =++-()(3)3x a x a ≥+--=+，令35a +=，解得2a =，或8a =-．。
2016年深圳市高三年级第一次调研考试数学(文科)试题
一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
（1）已知集合 A 1,0,1 ， B y y x2 x, x A ，则 A B =
（A） 0
（B）2
（C） 0,1
（D） 1, 0
（2）若平面向量 a (m,1) ， b (2,1) ，且 (a 2b) // b ，则 m =
深圳市 2016 年高三年级第一次调研考试数学（文科）试题 第 8 页 共 8 页
（Ⅰ）根据上表数据，完成下列茎叶图，并分别求出 A，B 两类户型住宅每平方米销
售价格的中位数；
A 户型
B 户型
2. 3. 4.
（Ⅱ）该公司决定对上述 24 套住房通过抽签方式销售，购房者根据自己的需求只能 在其中一种户型中通过抽签方式随机获取房．号．，每位购房者只有一次抽签机会．
小明是第一位抽签的员工，经测算其购买能力最多为 320 万元，抽签后所抽得住房价 格在其购买能力范围内则确定购买，否则，将放弃此次购房资格．为了使其购房成功的概 率更大，他应该选择哪一种户型抽签？
.（参考数据：
sin15 0.2588， sin 7.5 0.1305 ）
深圳市 2016 年高三年级第一次调研考试数学（文科）试题 第 4 页 共 8 页
开始 n6
S 1 n sin 360
2
n
n 2n
否 S 3.10
是 输出in
k 结束
（16）在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ABC 的顶点 B(5，0) 和 C(5，0) ，顶点 A 在双曲
（A）1
（B） 2
（C） 3
（D） 4
（3）设 i
《广东省深圳市宝安区二零一六届高三数学上学期调研测试试题理新人教a版》.doc
2013-2014学年第一学期宝安区高三调研测试卷数学(理科)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项屮，只有一项是符合题冃耍求的.1.已知集合［7 = {1,2,3,4,5,6},集合P 二{1,2,3,4},Q 二{3,4,5},则町(弘)=().A. {1,2,3,4,6,}B. {123,4,5}C. {1,2,5}2.复数i + 1(其屮i1是虚数单位)二().A. 0B. —iC. —2i2D. 2/3.已知平而向量d：f 1 f二(1,1)上二(1,一1),则向M-a3 f+ -b=()・2A. (-2-1)B. (2-1)C. (-1,0) 〉《3p.+ qi,2)4.为了了解深圳市高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17. 5—18岁的男生体重(kg)，得到频率分布直方图如下：—频率八组距0.070.050.03体重(kg)J----------------------------------- ►54.5 56.5 5&5 60.5 62.5 64.5 66.5 68.5 70.5 72.5 74.5 76.5根据上图可得这100名学生屮，体重在［56.5,64.5］的学生人数是().5.下列函数中，在其定义域中，既是奇函数乂是减函数的是().A. /(x) =B. f(x) = 2~x -2XC. /(x) = -tanxD. f(x)-—x6.运行右图椎图输出的S是254,则①应为()・A. n<5B. H < 6C. AZ <7D. n<87T rr7•函数f(x) = 2 sin( ------ x) sin(— + x)(x e R)是( )•4 4A.最小正周期为2龙的奇函数B.最小止周期为兀的奇函数C.最小正周期为2TT的偶函数D.最小止周期为兀的偶函数&给出卞列关于互不和同的百线®働和平面的四个命题：①若m(Z a9lQa =A,点A纟加，则/与m不共面;②若加,/是异面直线,/// a.mll a ,且加丄厶〃丄加,则料丄③若///a.mllp.allp,则/〃加；④ 若I u a 、m u a,1（｝m = AJ///3,mll 0,,则 a 〃0.二、填空题：木人题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 （一）必做题（9一13题）9.右图中的三个直角三角形是一个体积为20cm 3的几何体的三视图，则 h 二 _____ c m.a 的值为 __________ .11. ____________________ 已知｛%｝为等差数列，若a ｝+a 3^-a g = 8^，则 cos （tz 2 +经）的值为 ____ .2 212. 以抛物线宀2X 的焦点为圆心，且与双曲线話+ £ 的两条渐近线都相切的圆的方程为13. 实数兀y 满足< y < a （a > 1）,若目标函数z = x+ y 取得最大值4,x-y<0,（二）选做题（14一15题） 14. （几何证明选讲选做题）如图，。
mxt-深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科) (2)
深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
柱体的体积公式V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高。
如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+. 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知,a b R ∈，若3(1)a bi i i +=+⋅（其中i 为虚数单位），则( )A 、1,1a b =-=B 、1,1a b =-=-C 、1,1a b ==-D 、1,1a b == 2、已知p ：“2a =，q ：“直线0x y +=与圆22()1x y a +-=相切”，则p 是q 的( )A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、既非充分也非必要条件 3、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11S =，424S S =，则64S S 的值为（ ） A 、94 B 、32 C 、54D 、4 4、如图，圆O ：222x y π+=内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是（ ） A 、24π B 、34π C 、22π D 、32π5、在一条公路上每隔10公里有一个仓库，共有5个仓库。
一号仓库存有则10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。
现在要把所有的货物集中存放一个仓库里，若每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，则最少需要的运费是（ ） A 、450元 B 、500元 C 、550元 D 、600元6、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 、2B 、1C 、23 D 、137、设平面区域D 是由双曲线2214y x -=的两条渐近线 和直线680x y --=所围成三角形的边界及内部。
广东省深圳市届高三数学下学期第一次调研考试试题文
2016年深圳市高三年级第一次调研考试数 学（文科） 2016.2本试卷共8页，24小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名 和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、 不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定 区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和 涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答． 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．（1）已知集合A={-1,0,1 }，B={ y|y=x 2-x,x ∈A }，则A B= （A ）{0}（B ） {2} （C ）{0,1}（D ）{-1,0} （2）若平面向量a =(m,1)，b =(2,1)，且(a -2b )//b ，则m= （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（3）设i 为虚数单位，已知1211,12i z z i -==-++，则|z 1| ，|z 2| 的大小关系是 （A ）|z 1| <|z 2| （B ）|z 1| =|z 2| （C ）|z 1| >|z 2| （D ）无法比较（4）研究人员随机调查统计了某地1000名“上班族” 每天在工作之余使用手机上网的时间，并将其绘制为如图所示的频率分布直方图．若同一组数据用该区间的中点值作代表，则可估计该地“上班族”每天在工作之余使用手机上网的平均时间是 （A ）1.78小时 （B ）2.24小时 （C ）3.56小时 （D ）4.32小时（5）已知函数2()cos sin f x x x =-，下列说法错误的是 （A ）f (x )的最小正周期为π （B ）2x π=是f (x)的一条对称轴（C ）f (x) 在(4π-,4π)上单调递增 （D ）| f (x)|的值域是[0，1]（6）直线y=k(x+1)（k ∈R ）与不等式组2202200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，表示的平面区域有公共点，则k 的取值范围是（A ）[-2,2] （B ）(-∞, -2] [2,+ ∞) （C ）[-12,12] （D ）(-∞,-12][12, +∞)（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出 的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长 的棱的长度是（A ）（B ）（C ）6 （D ）（8）函数f (x)=xcosx 在[-π,π]的大致图象为(A)(B)(C) (D) （9）已知22ππα-<<，且sin cos αα+=，则a 的值为 （A ）-12π （B ）12π （C ）- 512π （D ）512π （10）已知A ，B ，C 是球面上三点，且AB=6，BC=8，AC=10，球心O 到平面ABC的距离等于该球半径的12，则此球的表面积为 （A ）1003π （B ）2003π （C ）4003π （D ）4009π （11）过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线交于A,B 两 点，若弦AB 的垂直平分线经过点(0,2)，则p 等于 （A ）25 （B ）23 （C ）45 （D ）43（12）已知a >0，若函数2324ln ,0,()34,0,a x x x f x x a x x ⎧⋅->⎪=⎨--≤⎪⎩且g(x)= f(x)+2a 至少有三个 零点，则a 的取值范围是（A ）(12,1] （B ）(1,2] （C ）(1, +∞) （D ）[1, +∞) 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。