中山大学一元微积分历年考研真题汇编
考研数学二(一元函数积分学)历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(95年)曲线y=x(x一1)(2一x)与x轴所围图形面积可表示为A．一∫02x(x—1)(2一x)dxB．∫01x(x一1)(2一x)dx—∫12x(x-1)(2一x)dxC．一∫01x(x一1)(2一x)dx+∫12x(x—1)(2一x)dxD．∫02x(x一1)(2一x)dx正确答案：C解析：y=x(x—1)(2一x)与x轴的交点为x=0,x=1,x=2，因此该曲线与x轴围成的面积为∫02|x(x-1)(2-x)|dx=-∫01x(x-1)(2一x)dx+∫12x(x-1)(2-x)dx所以应选(C)．知识模块：一元函数积分学2．(96年)设f(x)，g(x)在区间[a，b]上二连续，且g(x)＜f(x)＜m，(m为常数)，由曲线y=g(x)，y=f(x)，x=a及x=b所围平面图形绕直线y=m旋转而成的旋转体体积为A．∫abπ[2m—f(x)+g(x)][f(x)一g(x)]dxB．∫abπ[2m一f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dxC．∫abπ[m一f(x)+g(x)][f(x)一g(x)]dxD．∫abπ[m一f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dx正确答案：B解析：V=π∫ab(m一g(x))2dx一π∫ab(m一f(x))2dx =π∫ab[2m一g(x)一f(x)][f(x)一g(x)]dx所以应选(B)．知识模块：一元函数积分学3．(97年)设在闭区间[a，b]上f(x)＞0，f’(x)＜0．f”(x)＞0．记S1=∫abf(x)dx，S2=f(b)(b一a)，S3=[f(a)+f(b)](b一a)．则A．S1＜S2＜S3B．S2＜S3＜S1C．S3＜S1＜S2D．S2＜S1＜S3正确答案：D解析：在[0．ln2]上考虑f(x)=e-x，显然f(x)满足原题设条件，而则S2＜S1＜S3 知识模块：一元函数积分学4．(97年)设F(x)=∫xx+2πsintsintdt，则F(x)A．为正常数．B．为负常数．C．恒为零．D．不为常数．正确答案：A解析：F(0)=∫02πesintsintdt=-∫02πesintdcost=-esintcost|02π+∫02πesintcos2tdt=∫02πesintcos2tdt＞0 知识模块：一元函数积分学5．(99年)设则当x→0时，α(x)是β(x)的A．高阶无穷小．B．低阶无穷小．C．同阶但非等价无穷小．D．等价无穷小．正确答案：C解析：故，当x→0时，α(x)是β(x)的同阶但非等价无穷小．知识模块：一元函数积分学6．(99年)设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则A．当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数。
考研数学二(一元函数微分学)历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设函数f(x)在(－∞，＋∞)内连续，其导函数的图形如图1—2—4所示，则f(x)有A．一个极小值点和两个极大值点．B．两个极小值点和一个极大值点．C．两个极小值点和两个极火值点．D．一个极小值点和一个极大值点．正确答案：C解析：[分析] 答案与极值点的个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定．[详解] 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而x＝0则是导数不存在的点，三个一阶导数为零的点左、右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x＝0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x＝0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，故应选(C)．[评注] 本题也可利用f’(x)的严格单调性用第二充分条件判定极值，用加强条件法：假设f(x)二阶连续可导，则在y轴右侧，由f’(x)严格单调增加，知f”(x)＞0，可见y轴右侧的一阶导数为零的点必为极小值点，同理可判定y轴左侧有一个极大值点和一个极小值点，而x＝0则只能用第一允分条件进行判定．知识模块：一元函数微分学2．设函数f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0，使得A．f(x)在(0，δ)内单调增加．B．f(x)在(－δ，0)内单调减少．C．对任意的x∈(0，δ)，有f(x)＞f(0)．D．对任意的x∈(－δ，0)，有f(x)＞(0)．正确答案：C解析：[分析] 函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A)，(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析．[详解] 由导数的定义，知根据保号性，知存在δ＞0，当x∈(－δ，0)∪(0，δ)时，有即当x∈(－δ，0)时，f(x)＜f(0)；而当x∈(0，δ)时，有f(x)＞f(0)．故应选(C)．[评注] 若f’(a)＞0，且加强条件设f’(x)在x＝a连续，则可以证明存在δ＞0，使得f(x)在(a－δ，a＋δ)内单调上升．知识模块：一元函数微分学3．设函数f(x)满足关系式f”(x)＋[f’(x)]2＝x且f’(0)＝0，则A．f(0)是f(x)的极大值．B．f(0)是f(x)的极小值．C．点(0，f(0))是曲线y＝f(x)的拐点．D．f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y一＝f(x)的拐点．正确答案：C解析：[分析] 由题设f’(0)＝0，是否为极值点可通过f”(0)的符号来定，但易知f”(0)＝0，因此可进一步通过f”(0)的符号确定是否为拐点．若还有f”(0)＝0，则要通过更高阶导数的符号才能进行判断其为极值点或拐点．[详解] 因为f’(0)＝0，由原关系式f”(x)＋[f’(x)]2＝x知，f”(0)＝0，因此点(0，f(0))可能为拐点．由f”(x)＝－[f(x)]2＋x知f(x)的三阶导数存在，且f’’’(x)＝－2f’(x)f”(x)＋1，可见f’’’(0)＝1．因此在x＝0的左侧，f”(x)＜0，对应曲线弧是下凹(上凸)的；而在x＝0的右侧，f”(x)＞0，对应曲线弧是上凹(下凸)的，故点(0，f(0))是曲线y＝f(x)的拐点．[评注] 一般地，若f(x)在点x0处满足：f’(x0)＝0，…，f(k－1)(x0)＝0，fk(x0)≠0，则当k(k＞2)为偶数时，x0是函数．f(x)的极值点；当k为奇数时，点(x0，f(x0))是曲线y＝f(x)的拐点．知识模块：一元函数微分学4．曲线y＝(x—1)2(x－3)2的拐点个数为A．0．B．1C．2D．3正确答案：C解析：[分析] 可能的拐点是二阶导数为零或二阶导数不存在的点，本题二阶导数均存在，因此只需求出二阶导数为零的点，再根据二阶导数存零点左、右两侧(或三阶导数在零点)的符号进行判断即可．[详解1] 因为y’＝4(x －1)(x－2)(x－3)，y”＝4(3x2－12x＋11)，y’’’＝24(x－2)．显然y”＝0有两个零点，且在此两点处三阶导数y’’’≠0，因此曲线有两个拐点．故应选(C)．[详解2] 由于所给函数光滑、特殊，因此不必计算二阶导数即可判断出拐点的个数．首先，y是4次多项式，其曲线最多拐3个“弯儿”，因此拐点最多有2个．其次，x＝1，x＝3是极小点，在两点之间必有唯一的极大点，设为x0．又，y的大致图形如图1—2—5所示．于是在(1，x0)和(x0，3)内各有一个拐点．故应选(C)．[评注] 本题从一阶导函数有三个零点即知y”有两个零点，且显然不为2，故三阶导数一定非零，从而知曲线有两个拐点．一般地，若f”(x0)＝0，y’’’(x0)≠0，则点(x0，f(x0))一定是曲线y＝f(x)的拐点，事实上，由，知f’’’(x0)在x＝x0的左、右两侧变号，即曲线的凹向改变，因此点(x0，f(x0))为拐点．知识模块：一元函数微分学5．设f(x)＝｜x(1－x)｜，则A．x＝0是f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线y＝f(x)的拐点．B．x＝0不是f(x)的极值点，但(0，0)是曲线y＝f(x)的拐点．C．x＝0是f(x)的极值点，且(0，0)是曲线y＝f(x)的拐点．D．x＝0不是f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线y＝f(x)的拐点．正确答案：C解析：[分析] 求分段函数的极值点与拐点，按要求只需讨论x＝0两边，f’(x)，f”(x)的符号．[详解1]从而，当－1＜x＜0时，f(x)向上凹；当0＜x＜1时，f(x)向上凸，于是(0，0)为拐点．又f(0)＝0，x≠0，1时，f(x)＞0，从而x ＝0为极小值点．所以，x＝0是极值点，(0，0)是曲线y＝f(x)的拐点，故应选(C)．[详解2] (用图解法)令f(x)＝｜x(1－x)｜＝0，得曲线与x轴的交点：x1＝0，x2＝1，则图形如图1－2－6所示，由图可以看出(C)正确．知识模块：一元函数微分学6．曲线渐近线的条数为A．0．B．1C．2D．3正确答案：D解析：[分析] 先找出无定义点，确定其是否为对应铅直渐近线；再考虑水平或斜渐近线．[详解] 因为所以x＝0为铅直渐近线；又，所以y＝0为水平渐近线；进一步，于足有斜渐近线y＝x，故应选(D)．[评注] 一般来说，有水平渐近线就不再考虑斜渐近线．但当不存在时，就要分别讨论x→－∞和x→＋∞两种情况，即左、右两侧的渐近线．本题在x＜0的一侧有水平渐近线，而在x＞0的一侧有斜渐近线．关键应注意指数函数ex当x→－∞时极限不存在，必须分x→－∞和x→－∞进行讨论．知识模块：一元函数微分学7．曲线渐近线的条数为A．0．B．1C．2．D．3．正确答案：C解析：[详解] 由，知x＝1为铅直渐近线；由，知y＝1为水平渐近线；显然，没有斜渐近线．故应选(C)．[评注] 若求渐近线的上述极限不存在，则需要考虑单侧极限，即考虑一侧是否有这三种渐近线，在曲线的同侧若有水平渐近线，则一定没有斜渐近线．知识模块：一元函数微分学8．若f”(x)不变号，且曲线y＝f(x)存点(1，1)处的曲率圆为x2＋y2＝2，则函数f(x)在区间(1，2)内A．有极值点，无零点．B．无极值点，有零点．C．有极值点，有零点．D．无极值点，无零点．正确答案：B解析：[详解]由题意可知，f(x)是一个凸函数，即f”(x)＜0，且在点(1，1)处的曲率而f’(1)＝－1，由此可得，f”(1)＝－2，在[1，2]上，f’(x)≤f’(1)＝－1＜0，即f(x)单调减少，没有极值点．南拉格朗日中值定理f(2)－f(1)＝f’(ε)＜－1，ε∈(1，2)．所以f(2)＜0，而f(1)＝1＞0，由零点定理知，在(1，2)内f(x)有零点，故应选(B)．[评注]此题有一定难度，需对基本概念熟练掌握．知识模块：一元函数微分学9．设函数f(x)＝x2(x－1)(x－2)，则f’(x)的零点个数为A．0B．1C．2D．3正确答案：D解析：[详解] 因为f(0)＝f(1)＝f(2)＝0，因此f’(x)在区间(0，1)和(1，2)上各至少有一个零点，又显然f’(0)＝0，因此f’(x)的零点个数为3，故应选(D)．[评注] 若直接计算f’(x)有f’(x)＝x(4x2－9x＋4)也可推导出f’(x)的零点个数为3．知识模块：一元函数微分学10．函数f(x)＝ln｜(x－1)(x－2)(x－3)｜的驻点个数为A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：[分析]解方程f’(x)＝0，考察根的个数．[详解]由导数公式得。
考研数学二(一元函数积分学)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设在闭区间[a，b]上f(x)＞0，f’(x)＜0，f”(x)＞0．记S1＝∫ab(x)dx，S2＝f(b)(b－a)，S3＝，则A．S1＜S2＜S3．B．S2＜S3＜S1．C．S3＜S1＜S2．D．S2＜S1＜S3．正确答案：D解析：[分析] 根据f(x)及其导函数的符号，可知曲线的单凋性与凹凸性，再利用其几何意义即可推导出相关的不等式．[详解] 由f(x)＞0，f’(x)＜0，f”(x)＞0知，曲线y＝f(x)在[a，6]上单调减少且是凹曲线弧，于是有f(x)＞f(b)，f(x)＜f(a)＋，a＜x＜b。
从而S1＝∫af(x)dx＞f(b)(b－a)＝S2，s1＝∫af(x)dx。
即S2＜S1＜S3，故应选(D)．[评注] 本题也可直接根据几何直观引出结论：S1，S2，S3分别为如图1—3—1所示的面积，显然有S2＜S1＜S3。
知识模块：一元函数积分学2．设，则A．I1＞I2＞I．B．I＞I1＞I2．C．I2＞I1＞I．D．I＞I2＞I1．正确答案：B解析：[分析] 直接计算I1，I2是困难的，可应用不等式tan＞x，x＞0．[详解] 因为当x＞0时，有tanx＞x于是，从而有，可见有I1＞I2且，可排除(A)，(C)，(D)，故应选(B)．知识模块：一元函数积分学3．设，则I，J，K的大小关系是A．I＜J＜K．B．I＜K＜J．C．J＜I＜K．D．K＜J＜I．正确答案：B解析：[分析]用定积分比较大小的性质．[详解]在上，sinx≤cosx≤cotx．且lnx是增函数，则在上，lnsinx≤lncosx≤lncotx，且它们不恒等．由定积分的保号性。
故应选(B)．知识模块：一元函数积分学4．设Ik＝∫0kπex2sinxdx(k＝1，2，3)，则有A．I1＜I2＜I3．B．I3＜I2＜I1．C．I2＜I3＜I1．D．I2＜I1＜I3．正确答案：D解析：[分析] 此题考查定积分的基本性质和换元积分．[详解] 由Ik＝∫0kπex2sinxdx有：I2－I1＝∫π2πex2sinxdx＜0，即I2＜I1；I3－I2＝∫π3πex2sinxdx>0，即I3＞I2；I3－I1＝∫π3πex2sinxdx＝∫π2πex2sinxdx＋∫2π3πex2sinxdx ＝∫π2πex2sinxdx＋∫π2πex2sin(y＋π)d(y＋π) ＝∫π2πex2sinxdx－∫π2πex2sinydy ＝∫π2π(e2πx＋π2)ex2sinxdx＞0，即I1＜I3 由上知，I2＜I1＜I3．故应选(D)．知识模块：一元函数积分学5．设，则极限等于A．B．C．D．正确答案：B解析：[分析] 先用换元法计算积分，再求极限．[详解] 因为，可见。
考研数学二(一元函数积分学)历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1987年)设I＝tf(tχ)dχ，其中f(χ)连续，S＞0，t＞0，则I的值【】A．依赖于s，t．B．依赖于s，t，χ．C．依赖于t，χ，不依赖于s．D．依赖于s不依赖于t．正确答案：D解析：由此可见，I的值只与s有关，所以应选D．知识模块：一元函数积分学2．(1988年)设f(χ)与g(χ)在(－∞，＋∞)上皆可导，且f(χ)＜g(χ)，则必有【】A．f(－χ)＞g(－χ)B．f′(χ)＜g′(χ)C．D．∫0χf(t)dt＜∫0χg(t)dt正确答案：C解析：由于f(χ)和g(χ)在(－∞，＋∞)上皆可导，则必在(－∞，＋∞)上连续，则f(χ)＝f(χ0)，g(χ)＝g(χ0)，又f(χ)＜g(χ) 从而f(χ0)＜g(χ0)，即知识模块：一元函数积分学3．(1988年)由曲线y＝号z(0≤χ≤π)与χ轴围成的平面图形绕χ轴旋转而成的旋转体体积为【】A．B．C．D．正确答案：B解析：Vχ＝π∫0πdχ＝π∫0πsin3χdχ＝π∫(cosχ－1)dcosχ＝知识模块：一元函数积分学4．(1989年)曲线y＝cosχ()与χ轴所围成的图形，绕χ轴旋转一周所成旋转体的体积为【】A．B．πC．D．π2正确答案：C解析：知识模块：一元函数积分学5．(1990年)设函数f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，则d[∫f(χ)dχ]等于【】A．f(χ)B．f(χ)dχC．f(χ)＋CD．f′(χ)dχ正确答案：B解析：d[f(χ)dχ]＝(∫f(χ)dχ)′dχ＝f(χ)dχ知识模块：一元函数积分学6．(1990年)设f(χ)是连续函数，且F(χ)＝f(t)dt，则F′(χ)等于【】A．－e－χf(e－χ)－f(χ)B．－e－χf(e－χ)＋f(χ)C．e－χf(e－χ)－f(χ)D．e－χf(e－χ)＋f(χ)正确答案：A解析：由于则F′(χ)＝－f(e－χ)e－χ－f(χ)，故应选A．知识模块：一元函数积分学7．(1991年)设函数，记F(χ)＝∫0χf(t)dt，0≤χ≤2，则【】A．B．C．D．正确答案：B解析：当0≤χ≤1时，F(χ)＝∫0χf(t)dt＝∫0χt2dt＝当1＜χ≤2时，F(χ)＝∫tdt＋∫(2－t)dt＝由此可见应选B．知识模块：一元函数积分学填空题8．(1987年)∫f′(χ)dχ＝_______．∫abf′(2χ)dχ＝_______．正确答案：f(χ)＋C，[f(2b)－f(2a)]．解析：∫f′(χ)dχ＝f(χ)＋C 知识模块：一元函数积分学9．(1987年)积分中值定理的条件是_______，结论是_______．正确答案：f(χ)在[a，b]上连续；在[a，b]内至少存在一点ξ，使f(ξ)(b－a)＝∫ab(χ)dχ．解析：由定积分中值定理：若f(χ)在[a，b]上连续，则在[a，b]内至少存在一点ξ，使∫abf(χ)dχ＝f(ξ)(b－a) 知识模块：一元函数积分学10．(1988年)_______．正确答案：2(e2＋1)．解析：知识模块：一元函数积分学11．(1988年)设f(χ)连续，且f(t)dt＝χ，则f(7)＝_______．正确答案：解析：等式f(t)dt＝χ两边对χ求导得3χ3f(χ3－1)＝1 令χ＝2得12f(7)＝1 则f(7)＝知识模块：一元函数积分学12．(1989年)∫0πtsintdt＝_______．正确答案：π．解析：知识模块：一元函数积分学13．(1989年)曲线y＝∫0χ(t－1)(t－2)dt在点(0，0)处的切线方程是_______．正确答案：y＝2χ．解析：y′(χ－1)(χ－2)，y′(0)＝2 则所求切线方程为y－0＝2(χ－0)，即y＝2χ知识模块：一元函数积分学14．(1989年)设f(χ)是连续函数，且f(χ)＝χ＋2∫01f(t)dt，则f(χ)＝_______．正确答案：χ－1．解析：令∫01f(t)dt＝a，则f(χ)＝χ＋2a．将f(χ)＝χ＋2a代入∫01f(t)dt ＝a，得∫01(t＋2a)dt＝a即＋2a＝a 由此可得a＝－则f(χ)＝χ－1 知识模块：一元函数积分学15．(1990年)∫01χdχ＝_______．正确答案：解析：＝t，原式＝∫(t－1)2tdt＝2∫(t－t)dt＝知识模块：一元函数积分学16．(1990年)下列两个积分大小关系式：∫-2-1dχ_______∫-2-1dχ正确答案：“＞”．解析：由于当χ∈[－2，－1]时，，则知识模块：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
[考研类试卷]考研数学二(一元函数微分学)历年真题试卷汇编1.doc
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[考研类试卷]考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编1一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (2010年试题，3)曲线y=x2与曲线y=alnx(a≠0)相切，则a=( )．（A）4e（B）3e（C）2e（D）e2 (2005年试题，二)设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是( )．（A）（B）（C）一8ln2+3（D）81n2+33 (2006年试题，二)设函数g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h'(1)=1，g'(1)=2，则g(1)等于( )．（A）ln3—1（B）一ln3—1（C）一ln2—1（D）ln2—14 (1999年试题，二)设其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处( )．（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导5 (2006年试题，二)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f'(x)>0,f'(x)>0，△x为自变量x 在点x o处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x o处对应的增量与微分，若△x>0，则( )．（A）0<dy<△y（B）0<△y<dy（C）△y<dy<0（D）dy<△y<06 (2002年试题，二)设函数f(u)可导，y=f(x2)当自变量x在x=-1处取得增量△x=-0．1时，相应的函数增量△)，的线性主部为0．1，则f'(1)=( )．（A）一1（B）0．1（C）1（D）0.57 (2004年试题，二)设函数f(x)连续，且f'(0)>0，则存在δ>0，使得( )．（A）f(x)在(0，δ)内单调增加（B）f(x)在(一δ，0)内单调减少（C）对任意的x∈(0，δ)有f(x)>f(0)（D）对任意的x∈(一δ，0)有f(x)>f(0)8 (2003年试题，二)设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数的图形如右图1—2—3所示，则f(x)有( )．（A）一个极小值点和两个极大值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极小值点和一个极大值点9 (2001年试题，二)已知函数y=f(x)在其定义域内可导，它的图形如图1—2—4所示，则其导函数y=f'(x)的图形如图1一2—5所示：( )．（A）（B）（C）（D）10 (2000年试题，二)设函数f(x)，g(x)是大于零的可导函数，且f'(x)g(x)一f(x)g'(x) （A）f(x)g(b)>f(b)g(x)（B）f(x)g(a)>f(a)g(x)（C）f(x)g(x)>f(b)g(b)（D）f(x)g(x)>f(a)g(a)11 (1998年试题，二)设函数f(x)在x=a的某个领域内连续，且f(x)为其极大值，则存在δ>0，当x∈(a一δ，a+δ)时，必有( )．（A）(x一a)[f(x)-f(a)]≥0．（B）(x一a)[f(x)一f(a)]≤0．（C）（D）12 (1997年试题，二)已知函数y=f(x)对一切x满足xf''(x)+3x[f'(x)]2=1一e-x，若f'(x0)=0(x0≠0)，则( )．（A）f(x0)是f(x)的极大值（B）f(x0)是f(x)的极小值（C）(x0,f(x2))是曲线y=f(x)的拐点（D）f(x0)不是f(x)的极值，(x0,f(x0))也不是曲线y=f(x)的拐点二、填空题13 (2012年试题，二)曲线y=x2+x(x的点的坐标是__________．14 (2010年试题，13)已知一个长方形的长l以2cm／s的速率增加，宽W以3cm ／s的速率增加，则当l=12cm，w=5cm时，它的对角线增加速率为_______．15 (2009年试题，二)曲线在(0，0)处的切线方程为________.16 (2008年试题，二)曲线sin(xy)+ln(y一x)=x在点(0，1)处的切线方程为________．17 (2007年试题，二)曲线上对应于的点处的法线斜率为________．18 (2003年试题，一)设函数y=f(x)由方程xy+21nx=y4所确定，则曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线方程是__________.19 (2001年试题，一)设函数y=f(x)由方程e2x+y—cos(xy)=e—1所确定，则曲线)，=f(x)在点(0，1)处的法线方程为_________．20 (1999年试题，一)曲线，在点(0，1)处的法线方程为__________.21 (2010年试题，11)函数y=ln(1—2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=________．22 (2009年试题，二)设y=y(x)是由方程xy+e y=x+1确定的隐函数，则____________________.23 (2007年试题，二)设函数则Y(n)(0)=______．24 (2006年试题，一)设函数Y=y(x)由方程Y=1一xe y确定，则=__________.25 (1997年试题，三(2))设y=y(x)由所确定，求26 (1997年试题，一)设=__________.27 (2005年试题，一)设y=(1+sinx)x，则dy｜x=π=__________．28 (2000年试题，一)设函数y=y(x)由方程2xy=x+y所确定，则dy｜x=0__________.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(一元函数积分学)历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2006年)设f(χ)是奇函数，除χ＝0外处处连续，χ＝0是其第一类间断点，则∫0χf(t)dt是【】A．连续的奇函数．B．连续的偶函数．C．在χ＝0间断的奇函数．D．在χ＝0间断的偶函数．正确答案：B解析：由于f(χ)是奇函数，则∫0χf(t)dt是偶函数，又由于f(χ)除χ＝0外处处连续，且χ＝0是其第一类间断点，则f(χ)在任何一个有限区间上可积，从而∫0χf(t)dt为连续函数．故应选B．知识模块：一元函数积分学2．(2007年)如图，连续函数y＝f(χ)在区间[－3，－2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[－2，0]，[0，2]上的图形分别是直径为2的下、上半圆周．设F(χ)＝∫0χf(t)dt，则下列结论正确【】A．F(3)＝－F(－2)·B．F(3)＝F(2)．C．F(－3)＝F(2)．D．F(－3)＝－F(－2)．正确答案：C解析：根据定积分的几何意义知，故应选C．知识模块：一元函数积分学3．(2008年)如图，曲线段的方程为y＝f(χ)，函数f(χ)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分∫0aχf′(χ)dχ等于【】A．曲边梯形ABOD的面积．B．梯形ABOD的面积．C．曲边三角形ACD的面积．D．三角形ACD面积．正确答案：C解析：其中af(a)应等于矩形ABOC的面积，∫0af(χ)dχ应等于曲边梯形ABOD的面积，则∫0aχf′(χ)dχ应等于曲边三角形ACD的面积．知识模块：一元函数积分学4．(2009年)设函数y＝f(χ)在区间[－1，3]上的图形为则函数F(χ)＝∫0χf(t)dt的图形为A．B．C．D．正确答案：D解析：由题设知，当χ∈(－1，0)时F′(χ)＝f(χ)，而当χ∈(－1，0)时f(χ)≡1＞0，即F′(χ)＞0，从而F(χ)单调增．显然A选项是错误的，因为A选项中F(χ)在(－1，0)中单调减．由于F(χ)＝∫0χf(t)dt，则F(0)＝0，显然C 选项错误．由于当χ∈(2，3]时f(χ)≡0，则当χ∈(2，3]时则B选项是错误的，D项是正确的．知识模块：一元函数积分学5．(2010年)设m，n均是正整数，则反常积分的收敛性【】A．仅与m的取值有关．B．仅与n的取值有关．C．与m，n的取值都有关．D．与m，n的取值都无关．正确答案：D解析：反常积分两个元界点，χ＝0和χ＝1．先考察χ＝0，当χ→0时则反常积分同敛散，再讨论χ＝1，由于令0＜P＜1 故原反常积分的敛散件与m和n的取信无关．知识模块：一元函数积分学填空题6．(2005年)＝_______．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学7．(2006年)设函数f(χ)＝，在χ＝0处连续，则a＝_______．正确答案：解析：由于f(χ)在χ＝0处连续，则(χ)＝a，而则a＝知识模块：一元函数积分学8．(2006年)广义积分＝_______．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学9．(2009年)＝_______．正确答案：0．解析：知识模块：一元函数积分学10．(2009年)已知∫－∞＋∞ek｜χ｜dχ＝1，则k＝_______．正确答案：－2．解析：1＝k＝－2．知识模块：一元函数积分学11．(2010年)当0≤θ≤π时，对数螺线r＝eθ的弧长为_______．正确答案：(eπ－1)．解析：所求弧长为知识模块：一元函数积分学12．(2011年)曲线y＝∫0χtantdt(0≤χ≤)的弧长s＝_______．正确答案：ln(1＋)．解析：知识模块：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(一元函数微分学)历年真题试卷汇编11(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编11(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1991年)曲线y＝【】A．没有渐近线．B．仅有水平渐近线．C．仅有铅直渐近线．D．既有水平渐近线也有铅直渐近线．正确答案：D解析：由于＝1，则原曲线有水平渐近线y＝1，又＝∞，则原曲线有垂直渐近线χ＝0，所以应选D．知识模块：一元函数微分学2．(1992年)当χ→0时，χ－sinχ是χ2的【】A．低阶无穷小．B．高阶无穷小．C．等价无穷小．D．同阶但非等价无穷小．正确答案：B解析：由于则当χ→0时，χ－sinχ是χ2的高阶无穷小．知识模块：一元函数微分学3．(1993年)设f(χ)＝，则在点χ＝1处函数f(χ) 【】A．不连续．B．连续，但不可导．C．可导，但导数不连续．D．可导，且导数连续．正确答案：A解析：即不存在，则f(χ)在χ＝1处不连续．知识模块：一元函数微分学4．(1993年)设常数k＞0，函数f(χ)－lnχ－＋k在(0，＋∞)内零点个数为【】A．3B．2C．1D．0正确答案：B解析：由f(χ)＝lnχ－＋k可知，f′(χ)＝令f′(χ)＝0得χ＝e，且当χ∈(0，e)时f′(χ)＞0，则f(χ)严格单调增；而当χ∈(e，＋∞)时，f′(χ)＜0，则f(χ)严格单调减，又f(e)＝k＞0，而，则f(χ)在(0，e)和(e，＋∞)分别有唯一零点，故f(χ)＝lnχ－＋k在(0，＋∞)内零点个数为2．知识模块：一元函数微分学5．(1993年)若f(χ)＝－f(－χ)，在(0，＋∞)内f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0，则f(χ)在(－∞，0)内【】A．f′(χ)＜0，f〞(χ)＜0B．f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0C．f′(χ)＞0，f〞(χ)＜0D．f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0正确答案：C解析：由f(χ)＝－f(－χ)知f(－z)＝－f(χ)，即f(χ)的图形关于原点对称，从而由在(0，＋∞)内f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0可知，在(－∞，0)内f′(χ)＞0，f〞(χ)＜0，因此应选C．知识模块：一元函数微分学6．(1994年)设＝2，则【】A．a＝1，b＝－B．a＝0，b＝－2C．a＝0，b＝－D．a＝1，b＝－2正确答案：A解析：由上式右端可知a＝1，否则原式极限为无穷．知识模块：一元函数微分学7．(1994年)设f(χ)＝，则f(χ)在χ＝1处的【】A．左、右导数都存在．B．左导数存在，但右导数不存在．C．左导数不存在，但右导数存在．D．左、右导数都不存在．正确答案：B解析：＝1，但f(1)＝，则f(χ)在χ＝1不右连续，从而f′+(1)不存在，又χ3在χ＝1可导，而χ≤1时f(χ)＝χ3，则f′-存在，故应选B．知识模块：一元函数微分学8．(1994年)设y＝f(χ)是满足微分方程y〞＋y′－esinχ＝0的解，且f′(χ0)＝0，则f(χ)在【】A．χ0某邻域内单调增加．B．χ0某邻域内单调减少．C．χ0处取得极小值．D．χ0处取得极大值．正确答案：C解析：由于y＝f(χ)满足方程y〞＋y′＝esinχ＝0，则f〞(χ)＋f′(χ)＝esinχ≡0 令χ＝χ0，得f〞(χ0)＋f′(χ0)－＝0 即f〞(χ0)＝＞0 又f′(χ0)＝0 则f(χ)在χ0处取极小值．知识模块：一元函数微分学9．(1994年)曲线y＝的渐近线有【】A．1条．B．2条．C．3条．D．4条．正确答案：B解析：由可知原曲线有水平渐近线y＝又＝∞，则原曲线有垂直渐近线χ＝0，虽然原题中当χ＝1，χ＝－2时分母为零，但都不是∞，则原曲线的渐近线有两条．知识模块：一元函数微分学10．(1995年)设f(χ)在(－∞，＋∞)内可导，且对任意χ1，χ2，当χ1＞χ2时，都有f(χ1)＞f(χ2)，则【】A．对任意χ，f′(χ)＞0．B．对任意χ，f′(－χ)≤0．C．函数f(－χ)单调增加．D．函数－f(－χ)单调增加．正确答案：D解析：由于对任意的χ1，χ2，当χ1＞χ2时－χ1＜－χ2，则有f(－χ1)＜(－χ2)，即－f(－χ1)＞－f(－χ2)，也就是说，当χ1＞χ2时，－f(－χ1)＞－f(－χ2)，故－f(－χ)单调增．知识模块：一元函数微分学11．(1995年)设函数f(χ)在[0，1]上f〞(χ)＞0，则f′(1)、f′(0)、f(1)－f(0)或f(0)－f(1)的大小顺序是【】A．f′(1)＞f′(0)＞f(1)－f(0)B．f′(1)＞f(1)－f(0)＞f′(0)C．f(1)－f(0)＞f′(1)＞f′(0)D．f′(1)＞f(0)－f(1)＞f′(0)正确答案：B解析：由于f〞(χ)＞0 χ∈[0，1] 则f′(χ)单调增，又f(1)－f(0)＝f′(c) c∈(0，1) 从而f′(1)＞f′(c)＞f′(0) 即f′(1)＞f(1)－f(0)＞f′(0) 知识模块：一元函数微分学12．(1995年)设f(χ)可导，F(χ)＝f(χ)(1＋｜sinχ｜)．若F(χ)在χ＝0处可导，则必有【】A．f(0)＝0B．f′(0)＝0C．f(0)＋f′(0)＝0D．f(0)－f′(0)＝0正确答案：A解析：由于F(χ)＝f(χ)＋f(χ)｜sinχ｜，而f(χ)可导，则F(χ)在χ＝0可导等价于f(χ)｜sinχ｜在χ＝0可导，令φ(χ)＝f(χ)｜sinχ｜则要使F(χ)在χ＝0可导，当且仅当f(0)＝－(0)，即f(0)＝0．知识模块：一元函数微分学填空题13．(1992年)设，其中f可导，且f′(0)≠0，则＝________．正确答案：3．解析：知识模块：一元函数微分学14．(1992年)函数y＝χ＋2cosχ在区间[0，]上的最大值为_______．正确答案：解析：y′＝1－2sinχ，令y′＝0得χ＝y〞＝－2cosχ，＜0，则y＝χ＋2cosχ在χ＝取得极大值，又在(0，)上极值点唯一，则该极大值为最大值，最大值为知识模块：一元函数微分学15．(1993年)χlnχ＝_______．正确答案：0．解析：知识模块：一元函数微分学16．(1993年)函数y＝y(χ)由方程sin(χ2＋y2)＋eχ＝0所确定，则＝_______．正确答案：解析：等式sin(χ2＋y2)＋ey－χy2＝0两边对χ求导得知识模块：一元函数微分学17．(1994年)设函数y＝y(χ)由参数方程所确定，则＝_______．正确答案：(6t＋5)(t＋1)．解析：知识模块：一元函数微分学18．(1995年)设y＝cos(χ2)sin2，则y′＝_______．正确答案：－2χsin(χ2)sin2cos(χ2)．解析：知识模块：一元函数微分学19．(1995年)曲线，在t＝2处的切线方程为_______．正确答案：3χ－y－7＝0．解析：当t＝2时χ＝5，y＝8．则所求切线方程为y－8＝3(χ－5)，即3χ－y－7＝0．知识模块：一元函数微分学20．(1995年)曲线y＝χ2的渐近线方程为_______．正确答案：y＝0．解析：由于＝0，原曲线仅有一条水平渐近线y＝0．知识模块：一元函数微分学21．(1996年)设y＝＝_______．正确答案：解析：知识模块：一元函数微分学22．(1997年)设y＝＝_______．正确答案：解析：由对数的性质可知y＝[ln(1－χ)－ln(1＋χ2)] 知识模块：一元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(一元函数微分学)历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．函数f(x)＝(x2－x－2)｜x3－x｜不可导点的个数是A．3．B．2C．1D．0正确答案：B解析：[分析] 本题可按定义逐点讨论绝对值符号内为零的点是否均为不可导点，但计算量会很大．注意到｜x—x0｜在x＝x0处不可导，但(x－x0)｜x－x0｜在x＝x0处可导，则可方便地找到答案．[详解] 因为f(x)＝(x2－x－2)｜x2－x｜＝(x－2)(x＋1)｜x(x－1)(x＋1)｜，可见f(x)在x＝0，1处不可导，而在x＝－1处可导，故f(x)的不可导点的个数为2．[评注] 一般地，若F(x)＝｜f(x)｜ψ(x)，其中f(x0)＝0，f’(x0)存在且不为零，ψ(x)在x＝x0处连续，则F(x)在x＝x0处可导的充要条件是ψ(x0)＝0．知识模块：一元函数微分学2．设函数，则f(x)在(－∞，＋∞)内A．处处可导．B．恰有一个不可导点．C．恰有两个不可导点．D．至少有三个不可导点．正确答案：C解析：[分析] 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形．[详解] 当｜x｜＜1时，f(x)＝；当｜x｜＝1时，f(x)＝；当｜x｜＞1时，f(x)＝。
即f(x)＝可见f(x)仅在x＝±1时不可导，故应选(C)．[评注] 本题综合考查了数列极限与分段函数在分段点的导数问题．将两个或三个知识点综合起来命题是考题的一种典型表现形式．知识模块：一元函数微分学3．设函数f(x)在x＝0处连续，下列命题错误的是A．若存在，则f(0)＝0．B．若存在，则f(0)0．C．若存在，则f(0)存在．D．若存在，则f’(0)存在．正确答案：D解析：[分析] 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论．[详解](A)，(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)＝0．若存在，则f(0)＝0，f’(0)＝，可见(C)也正确．故应选(D)．事实上，可举反例：f(x)＝｜x｜在x＝0处连续，且存在，但f(x)＝｜x｜在x＝0处不可导．知识模块：一元函数微分学4．设函数f(x)在x＝0处可导，且f(0)＝0，则A．－2f’(0)．B．－f’(0)．C．f’(0)．D．0正确答案：B解析：[分析]利用导数的定义，属基本题型．[详解]故应选(B)．[评注]导数的定义一直是历年考试的重点内容．知识模块：一元函数微分学5．设函数y＝f(x)由方程cos(xy)＋lny－x＝1确定，则A．2．B．1C．-1D．-2正确答案：A解析：[分析]利用隐函数求导方法与导数定义．[详解]存方程cos(xy)＋lny －x＝1中，令x＝0，得y＝1，等式两端对x求导得将x＝0，y＝1代入上式，得y’(0)＝1．于是．选(A)．知识模块：一元函数微分学6．设函数y＝y(x)由参数方程确定，则曲线y＝y(x)在x＝3处的法线与x 轴交点的横坐标是A．B．C．－8ln2＋3．D．8ln2＋3．正确答案：A解析：[分析] 先由x＝3确定t的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所求的横坐标．[详解] 当x＝3时，有t2＋2t＝3，得t＝1，t ＝－3(舍去，此时y无意义)，于是可见过点x＝3(此时y＝ln2)的法线方程为：y—ln2＝－8(x－3)，令y＝0，得其与x轴交点的横坐标为：，故应选(A)．[评注] 注意本题法线的斜率应为－8．此类问题没有本质困难，但在计算过程中应特别小心，稍不注意就可能出错．知识模块：一元函数微分学7．曲线y＝x2与曲线y＝aln x(a≠0)相切，则a＝A．4e．B．3e．C．2e．D．e．正确答案：C解析：[分析] 利用导数的几何意义(切点处斜率相等)及两条曲线都经过切点．[详解] 因y＝x2与y＝aln x(a≠0)相切，故在y＝x2上，；在y＝alnx(a≠0)上，y＝因此，即a＝2e．所以选(C)．知识模块：一元函数微分学8．设函数g(x)可微，h(x)＝e1＋g(x)，h’(x)＝1，g’(1)＝2，则g(1)等于A．ln3—1．B．－ln3－1．C．－ln2—1．D．ln2－1．正确答案：C解析：[详解] 由h(x)＝e1＋g(x)得h’(x)＝e1＋g(x).g’(x)．将x＝1代入，并由题设条件知1＝e1＋g(x).2 1＋g(1)＝－ln2，于是g(1)＝－ln2－1．故应选(C)．知识模块：一元函数微分学9．设函数f(x)＝(ex一1)(e2x－2).….(enx－n)，其中n为正整数，则f’(0)＝A．(－1)n－1(n－1)!．B．(－1)n(n－1)!．C．(－1)n－1n!．D．(－1)nn!．正确答案：A解析：[详解] 方法一用一点处导数定义求．故应选(A)．方法二用导数运算法则先求导函数，再求f’(0)．因f’(x)＝ex.(e2x－2)(e3x－3).….(enx－n)＋(ex－1).2e2x.(e3x－3). ….(enx－n)＋…＋(ex－1)(e2x－2).….[e(n－1)x－n＋1].nenx，故f’(0)＝e0.(e0－2)(e0－3).….(e0－n)＝(－1)n－1(n－1)!，故应选(A)．知识模块：一元函数微分学10．设f(x)＝______。